Der größte Wert der Ableitung 2.1.1 2. Ableitung einer Funktion

Aufgabe B9 gibt einen Graphen einer Funktion oder Ableitung an, aus dem Sie eine der folgenden Größen bestimmen müssen:

Der Wert der Ableitung an einem Punkt x 0,
Maximale oder minimale Punkte (Extrempunkte),
Intervalle steigender und fallender Funktionen (Intervalle der Monotonie).

Die in diesem Problem vorgestellten Funktionen und Ableitungen sind immer stetig, was die Lösung erheblich erleichtert. Obwohl die Aufgabe zum Bereich der mathematischen Analysis gehört, ist sie auch für die schwächsten Studierenden zu bewältigen, da hier keine tiefgreifenden theoretischen Kenntnisse erforderlich sind.

Um den Wert der Ableitung, der Extrempunkte und der Monotonieintervalle zu ermitteln, gibt es einfache und universelle Algorithmen – alle werden im Folgenden besprochen.

Lesen Sie die Bedingungen der Aufgabe B9 sorgfältig durch, um dumme Fehler zu vermeiden: Manchmal stößt man auf recht lange Texte, aber es gibt nur wenige wichtige Bedingungen, die den Lösungsverlauf beeinflussen.

Berechnung des Ableitungswertes. Zwei-Punkte-Methode

Wenn dem Problem ein Graph einer Funktion gegeben ist f(x), tangential zu diesem Graphen an einem Punkt x 0, und es erforderlich ist, den Wert der Ableitung an diesem Punkt zu finden, wird der folgende Algorithmus angewendet:

Finden Sie zwei „geeignete“ Punkte im Tangentendiagramm: Ihre Koordinaten müssen ganzzahlig sein. Bezeichnen wir diese Punkte als A (x 1 ; y 1) und B (x 2 ; y 2). Schreiben Sie die Koordinaten richtig auf – das ist ein zentraler Punkt der Lösung, und jeder Fehler hier führt zu einer falschen Antwort.
Wenn man die Koordinaten kennt, ist es einfach, das Inkrement des Arguments Δx = x 2 − x 1 und das Inkrement der Funktion Δy = y 2 − y 1 zu berechnen.
Schließlich finden wir den Wert der Ableitung D = Δy/Δx. Mit anderen Worten: Sie müssen das Inkrement der Funktion durch das Inkrement des Arguments dividieren – und das ist die Antwort.

Beachten wir noch einmal: Die Punkte A und B müssen genau auf der Tangente gesucht werden und nicht auf dem Graphen der Funktion f(x), wie es oft der Fall ist. Die Tangente muss unbedingt mindestens zwei solcher Punkte enthalten, sonst wird das Problem nicht richtig formuliert.

Betrachten Sie die Punkte A (−3; 2) und B (−1; 6) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Finden wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 3) und B (3; 0) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Nun ermitteln wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 2) und B (5; 2) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Es bleibt noch der Wert der Ableitung zu finden: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Aus dem letzten Beispiel können wir eine Regel formulieren: Wenn die Tangente parallel zur OX-Achse verläuft, ist die Ableitung der Funktion am Tangentialpunkt Null. In diesem Fall müssen Sie nicht einmal etwas zählen – schauen Sie sich einfach die Grafik an.

Berechnung der maximalen und minimalen Punkte

Manchmal gibt Problem B9 anstelle eines Graphen einer Funktion einen Graphen der Ableitung an und erfordert die Ermittlung des Maximal- oder Minimalpunkts der Funktion. In dieser Situation ist die Zwei-Punkte-Methode nutzlos, aber es gibt einen anderen, noch einfacheren Algorithmus. Definieren wir zunächst die Terminologie:

Der Punkt x 0 heißt Maximalpunkt der Funktion f(x), wenn in einer Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≥ f(x).
Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt der Funktion f(x), wenn in einer Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≤ f(x).

Um die maximalen und minimalen Punkte aus dem Ableitungsdiagramm zu ermitteln, befolgen Sie einfach diese Schritte:

Zeichnen Sie den Ableitungsgraphen neu und entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Wie die Praxis zeigt, beeinträchtigen unnötige Daten nur die Entscheidung. Deshalb markieren wir die Nullstellen der Ableitung auf der Koordinatenachse – und das war’s.
Finden Sie die Vorzeichen der Ableitung der Intervalle zwischen Nullen heraus. Wenn für einen Punkt x 0 bekannt ist, dass f'(x 0) ≠ 0, dann sind nur zwei Optionen möglich: f'(x 0) ≥ 0 oder f'(x 0) ≤ 0. Das Vorzeichen der Ableitung ist aus der Originalzeichnung leicht zu ermitteln: Wenn der Ableitungsgraph oberhalb der OX-Achse liegt, dann ist f'(x) ≥ 0. Und umgekehrt, wenn der Ableitungsgraph unterhalb der OX-Achse liegt, dann ist f'(x) ≤ 0.
Wir überprüfen noch einmal die Nullstellen und Vorzeichen der Ableitung. Wo das Vorzeichen von Minus zu Plus wechselt, ist der Mindestpunkt. Ändert sich umgekehrt das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus, ist dies der Maximalpunkt. Gezählt wird immer von links nach rechts.

Dieses Schema funktioniert nur für kontinuierliche Funktionen – andere gibt es in Problem B9 nicht.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−5; 5]. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden und nur die Grenzen [−5; 5] und Nullstellen der Ableitung x = −3 und x = 2,5. Wir beachten auch die Zeichen:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = −3 das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus. Dies ist die Mindestpunktzahl.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−3; 7]. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Zeichnen wir den Graphen neu und lassen nur die Grenzen [−3; 7] und Nullstellen der Ableitung x = −1,7 und x = 5. Beachten wir die Vorzeichen der Ableitung im resultierenden Diagramm. Wir haben:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = 5 das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus – dies ist der Maximalpunkt.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−6; 4]. Finden Sie die Anzahl der Maximalpunkte der Funktion f(x), die zum Segment [−4; 3].

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass es ausreicht, nur den durch das Segment [−4; 3]. Deshalb erstellen wir einen neuen Graphen, auf dem wir nur die Grenzen markieren [−4; 3] und Nullstellen der darin enthaltenen Ableitung. Nämlich die Punkte x = −3,5 und x = 2. Wir erhalten:

In diesem Diagramm gibt es nur einen Maximalpunkt x = 2. An diesem Punkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus.

Eine kleine Anmerkung zu Punkten mit nicht ganzzahligen Koordinaten. Beispielsweise wurde im letzten Problem der Punkt x = −3,5 berücksichtigt, aber mit dem gleichen Erfolg können wir x = −3,4 annehmen. Bei richtiger Problemstellung dürften solche Änderungen keinen Einfluss auf die Lösung haben, da die Punkte „ohne festen Wohnsitz“ keinen unmittelbaren Beitrag zur Lösung des Problems leisten. Natürlich funktioniert dieser Trick nicht mit ganzzahligen Punkten.

Finden von Intervallen steigender und fallender Funktionen

Bei einem solchen Problem wie den Maximal- und Minimalpunkten wird vorgeschlagen, den Ableitungsgraphen zu verwenden, um Bereiche zu finden, in denen die Funktion selbst zunimmt oder abnimmt. Definieren wir zunächst, was Zunahme und Abnahme sind:

Eine Funktion f(x) heißt auf einem Segment wachsend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 aus diesem Segment die folgende Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Mit anderen Worten: Je größer der Argumentwert, desto größer der Funktionswert.
Eine Funktion f(x) heißt auf einem Segment abnehmend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 aus diesem Segment die folgende Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Diese. Ein größerer Argumentwert entspricht einem kleineren Funktionswert.

Lassen Sie uns ausreichende Bedingungen für die Erhöhung und Verringerung formulieren:

Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment ansteigt, reicht es aus, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments positiv ist, d. h. f’(x) ≥ 0.
Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment abnimmt, reicht es aus, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments negativ ist, d. h. f’(x) ≤ 0.

Akzeptieren wir diese Aussagen ohne Beweise. Somit erhalten wir ein Schema zum Finden von Anstiegs- und Abfallintervallen, das in vielerlei Hinsicht dem Algorithmus zur Berechnung von Extrempunkten ähnelt:

Entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Im Originalgraphen der Ableitung interessieren uns vor allem die Nullstellen der Funktion, daher belassen wir nur diese.
Markieren Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Abständen zwischen den Nullen. Wenn f’(x) ≥ 0, nimmt die Funktion zu, und wenn f’(x) ≤ 0, nimmt sie ab. Wenn das Problem Einschränkungen für die Variable x vorsieht, markieren wir diese zusätzlich in einem neuen Diagramm.
Nachdem wir nun das Verhalten der Funktion und die Einschränkungen kennen, müssen wir noch die für das Problem erforderliche Menge berechnen.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−3; 7.5]. Finden Sie die Abnahmeintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzen Zahlen an.

Zeichnen wir wie üblich den Graphen neu und markieren die Grenzen [−3; 7.5], sowie Nullstellen der Ableitung x = −1.5 und x = 5.3. Dann notieren wir die Vorzeichen der Ableitung. Wir haben:

Da die Ableitung im Intervall (− 1,5) negativ ist, ist dies das Intervall der abnehmenden Funktion. Es müssen noch alle ganzen Zahlen summiert werden, die innerhalb dieses Intervalls liegen:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall [−10; 4]. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden. Lassen wir nur die Grenzen [−10; 4] und Nullstellen der Ableitung, von denen es diesmal vier gab: x = −8, x = −6, x = −3 und x = 2. Markieren wir die Vorzeichen der Ableitung und erhalten das folgende Bild:

Uns interessieren die Intervalle zunehmender Funktion, d.h. So ist f’(x) ≥ 0. Es gibt zwei solcher Intervalle im Diagramm: (−8; −6) und (−3; 2). Berechnen wir ihre Längen:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Da wir die Länge des größten Intervalls ermitteln müssen, schreiben wir als Antwort den Wert l 2 = 5.

In der Zwischenzeit ( A,B), A X- ist ein zufällig ausgewählter Punkt in einem bestimmten Intervall. Lassen Sie uns das Argument vorbringen X ZuwachsΔx (positiv oder negativ).

Die Funktion y =f(x) erhält ein Inkrement Δу gleich:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

Bei unendlich kleinem Δx Zuwachs Auch Δy ist unendlich klein.

Zum Beispiel:

Betrachten wir die Lösung der Ableitung einer Funktion am Beispiel eines frei fallenden Körpers.

Da t 2 = t l + Δt, dann

Nachdem wir den Grenzwert berechnet haben, finden wir:

Die Notation t 1 wird eingeführt, um die Konstanz von t bei der Berechnung des Grenzwerts der Funktion hervorzuheben. Da t 1 ein beliebiger Zeitwert ist, kann Index 1 verworfen werden; dann erhalten wir:

Es ist zu erkennen, dass die Geschwindigkeit v, wie der Weg S, Es gibt Funktion Zeit. Funktionstyp v hängt ganz von der Art der Funktion ab S, also die Funktion S als würde man eine Funktion „erzeugen“. v. Daher der Name " Ableitungsfunktion».

Betrachten Sie einen anderen Beispiel.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion:

y = x 2 bei x = 7.

Lösung. Bei x = 7 wir haben y=7 2 = 49. Lassen Sie uns das Argument vorbringen X Zuwachs Δ X. Das Argument wird gleich sein 7 + Δ X, und die Funktion erhält den Wert (7 + Δ x) 2.

Liebe Freunde! Die Aufgabengruppe im Zusammenhang mit der Ableitung umfasst Aufgaben – die Bedingung ergibt einen Graphen einer Funktion, mehrere Punkte auf diesem Graphen und die Frage lautet:

An welchem Punkt ist die Ableitung am größten (am kleinsten)?

Wiederholen wir kurz:

Die Ableitung an einem Punkt ist gleich der Steigung der durch ihn verlaufenden TangenteDieser Punkt in der Grafik.
UDer globale Koeffizient der Tangente wiederum ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels dieser Tangente.

*Dies bezieht sich auf den Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse.

1. In Intervallen mit steigender Funktion hat die Ableitung einen positiven Wert.

2. In Intervallen seiner Abnahme hat die Ableitung einen negativen Wert.

Betrachten Sie die folgende Skizze:

An den Punkten 1,2,4 hat die Ableitung der Funktion einen negativen Wert, da diese Punkte zu abnehmenden Intervallen gehören.

An den Punkten 3,5,6 hat die Ableitung der Funktion einen positiven Wert, da diese Punkte zu zunehmenden Intervallen gehören.

Wie Sie sehen, ist mit der Bedeutung der Ableitung alles klar, das heißt, es ist überhaupt nicht schwer zu bestimmen, welches Vorzeichen sie an einem bestimmten Punkt im Diagramm hat (positiv oder negativ).

Wenn wir außerdem gedanklich Tangenten an diesen Punkten konstruieren, werden wir sehen, dass gerade Linien, die durch die Punkte 3, 5 und 6 verlaufen, Winkel mit der oX-Achse im Bereich von 0 bis 90 ° bilden, und dass gerade Linien, die durch die Punkte 1, 2 und 4 verlaufen, Winkel bilden Mit der OX-Achse reichen die Winkel von 90° bis 180°.

*Die Beziehung ist klar: Tangenten, die durch Punkte gehen, die zu Intervallen steigender Funktionen gehören, bilden spitze Winkel mit der oX-Achse, Tangenten, die durch Punkte gehen, die zu Intervallen fallender Funktionen gehören, bilden stumpfe Winkel mit der oX-Achse.

Jetzt die wichtige Frage!

Wie verändert sich der Wert des Derivats? Schließlich bildet die Tangente an verschiedenen Punkten im Diagramm einer stetigen Funktion unterschiedliche Winkel, je nachdem, durch welchen Punkt im Diagramm sie verläuft.

*Oder vereinfacht ausgedrückt: Die Tangente liegt eher „horizontal“ oder „vertikal“. Sehen:

Gerade Linien bilden mit der oX-Achse Winkel im Bereich von 0 bis 90 °

Gerade Linien bilden mit der oX-Achse Winkel im Bereich von 90° bis 180°

Wenn Sie also Fragen haben:

— An welchem der angegebenen Punkte im Diagramm hat die Ableitung den kleinsten Wert?

- An welchem der angegebenen Punkte im Diagramm hat die Ableitung den größten Wert?

Um zu antworten, muss man verstehen, wie sich der Wert des Tangens des Tangentenwinkels im Bereich von 0 bis 180 ° ändert.

*Wie bereits erwähnt, ist der Wert der Ableitung der Funktion an einem Punkt gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Tangente an die oX-Achse.

Der Tangenswert ändert sich wie folgt:

Wenn sich der Neigungswinkel der Geraden von 0° auf 90° ändert, ändert sich der Wert der Tangente und damit der Ableitung entsprechend von 0 auf +∞;

Wenn sich der Neigungswinkel der Geraden von 90° auf 180° ändert, ändert sich der Wert der Tangente und damit die Ableitung entsprechend –∞ auf 0.

Dies ist aus dem Diagramm der Tangensfunktion deutlich zu erkennen:

In einfachen Worten:

Bei einem tangentialen Neigungswinkel von 0° bis 90°

Je näher es an 0 o liegt, desto größer ist der Wert der Ableitung nahe Null (auf der positiven Seite).

Je näher der Winkel bei 90° liegt, desto stärker steigt der Ableitungswert in Richtung +∞.

Mit einem tangentialen Neigungswinkel von 90° bis 180°

Je näher er bei 90 o liegt, desto mehr nimmt der Ableitungswert in Richtung –∞ ab.

Je näher der Winkel bei 180° liegt, desto größer ist der Wert der Ableitung nahe Null (auf der negativen Seite).

317543. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = F(X) und die Punkte sind markiert–2, –1, 1, 2. An welchem dieser Punkte ist die Ableitung am größten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Wir haben vier Punkte: Zwei davon gehören zu den Intervallen, in denen die Funktion abnimmt (das sind die Punkte –1 und 1) und zwei zu den Intervallen, in denen die Funktion zunimmt (das sind die Punkte –2 und 2).

Wir können sofort schließen, dass die Ableitung an den Punkten –1 und 1 einen negativen Wert hat und an den Punkten –2 und 2 einen positiven Wert. Daher ist es in diesem Fall notwendig, die Punkte –2 und 2 zu analysieren und zu bestimmen, welcher von ihnen den größten Wert hat. Konstruieren wir Tangenten, die durch die angegebenen Punkte verlaufen:

Der Wert des Tangens des Winkels zwischen der Geraden a und der Abszissenachse wird größer sein als der Wert des Tangens des Winkels zwischen der Geraden b und dieser Achse. Das bedeutet, dass der Wert der Ableitung am Punkt –2 am größten sein wird.

Beantworten wir die folgende Frage: An welchem Punkt –2, –1, 1 oder 2 ist der Wert der Ableitung am negativsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Die Ableitung wird an Punkten, die zu den abnehmenden Intervallen gehören, einen negativen Wert haben. Betrachten wir also die Punkte –2 und 1. Konstruieren wir Tangenten, die durch sie verlaufen:

Wir sehen, dass der stumpfe Winkel zwischen der Geraden b und der oX-Achse „näher“ bei 180 liegtÖ , daher ist sein Tangens größer als der Tangens des Winkels, der von der Geraden a und der oX-Achse gebildet wird.

Somit ist der Wert der Ableitung am Punkt x = 1 am größten negativ.

317544. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y = F(X) und die Punkte sind markiert–2, –1, 1, 4. An welchem dieser Punkte ist die Ableitung am kleinsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Wir haben vier Punkte: Zwei davon gehören zu den Intervallen, in denen die Funktion abnimmt (das sind die Punkte –1 und 4) und zwei zu den Intervallen, in denen die Funktion zunimmt (das sind die Punkte –2 und 1).

Wir können sofort daraus schließen, dass die Ableitung an den Punkten –1 und 4 einen negativen Wert hat und an den Punkten –2 und 1 einen positiven Wert. Daher ist es in diesem Fall notwendig, die Punkte –1 und 4 zu analysieren und zu bestimmen, welcher von ihnen den kleinsten Wert hat. Konstruieren wir Tangenten, die durch die angegebenen Punkte verlaufen:

Antwort: 4

Ich hoffe, ich habe Sie mit der Fülle des Schreibens nicht „überfordert“. Tatsächlich ist alles sehr einfach, Sie müssen nur die Eigenschaften der Ableitung, ihre geometrische Bedeutung und wie sich der Wert des Tangens des Winkels von 0 auf 180 ° ändert, verstehen.

1. Bestimmen Sie zunächst die Vorzeichen der Ableitung an diesen Punkten (+ oder -) und wählen Sie die erforderlichen Punkte aus (abhängig von der gestellten Frage).

2. Konstruieren Sie Tangenten an diesen Punkten.

3. Markieren Sie mithilfe des Tangesoiddiagramms schematisch die Winkel und zeigen Sie sie anAlexander.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Guten Tag! Bewältigen wir das bevorstehende Einheitliche Staatsexamen mit einer qualitativ hochwertigen, systematischen Vorbereitung und der Beharrlichkeit, den Granit der Wissenschaft zu schleifen!!! INAm Ende des Beitrags gibt es eine Wettbewerbsaufgabe: Seien Sie der Erste! In einem der Artikel in diesem Abschnitt „Du und ich“, in dem ein Diagramm der Funktion dargestellt und verschiedene Fragen zu Extrema, Anstiegs- (Abnahmeintervallen) und anderen aufgeworfen wurden.

In diesem Artikel betrachten wir die Probleme des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik, in dem ein Diagramm der Ableitung einer Funktion angegeben und die folgenden Fragen gestellt werden:

1. An welchem Punkt eines bestimmten Segments nimmt die Funktion den größten (oder kleinsten) Wert an?
2. Ermitteln Sie die Anzahl der maximalen (oder minimalen) Punkte der Funktion, die zu einem bestimmten Segment gehören.
3. Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion, die zu einem bestimmten Segment gehören.
4. Finden Sie den Extrempunkt der Funktion, die zum gegebenen Segment gehört.
5. Finden Sie die Intervalle der steigenden (oder fallenden) Funktion und geben Sie in der Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.
6. Finden Sie die Intervalle der Zunahme (oder Abnahme) der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten dieser Intervalle an.
7. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zu einer Geraden der Form y = kx + b verläuft oder mit dieser zusammenfällt.
8. Finden Sie die Abszisse des Punktes, an dem die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Abszissenachse verläuft oder mit dieser zusammenfällt.

Möglicherweise gibt es noch weitere Fragen, aber diese werden Ihnen keine Schwierigkeiten bereiten, wenn Sie sie verstehen und (es werden Links zu Artikeln bereitgestellt, die die für die Lösung notwendigen Informationen liefern, ich empfehle, sie zu wiederholen).

Grundlegende Informationen (kurz):

1. Die Ableitung in zunehmenden Abständen hat ein positives Vorzeichen.

Wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen positiven Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall zu.

2. In abnehmenden Abständen hat die Ableitung ein negatives Vorzeichen.

Wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen negativen Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall ab.

3. Die Ableitung am Punkt x ist gleich der Steigung der Tangente, die am selben Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird.

4. An den Extrempunkten (Maximum-Minimum) der Funktion ist die Ableitung gleich Null. Die Tangente an den Funktionsgraphen verläuft an diesem Punkt parallel zur x-Achse.

Dies muss klar verstanden und beachtet werden!!!

Der Ableitungsgraph „verwirrt“ viele Menschen. Manche Leute verwechseln es versehentlich mit dem Graphen der Funktion selbst. Deshalb richten Sie in solchen Gebäuden, in denen Sie sehen, dass ein Graph gegeben ist, Ihre Aufmerksamkeit in der Bedingung sofort auf das, was gegeben ist: den Graphen der Funktion oder den Graphen der Ableitung der Funktion?

Wenn es sich um einen Graphen der Ableitung einer Funktion handelt, dann betrachten Sie ihn als „Spiegelbild“ der Funktion selbst, die Ihnen lediglich Informationen über diese Funktion liefert.

Betrachten Sie die Aufgabe:

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–2;21).

Wir beantworten folgende Fragen:

1. An welchem Punkt des Segments befindet sich die Funktion? F(X) nimmt den größten Wert ein.

In einem bestimmten Intervall ist die Ableitung einer Funktion negativ, was bedeutet, dass die Funktion in diesem Intervall abnimmt (sie nimmt von der linken Grenze des Intervalls nach rechts ab). Somit wird der größte Wert der Funktion am linken Rand des Segments erreicht, also bei Punkt 7.

Antwort: 7

2. An welchem Punkt des Segments befindet sich die Funktion? F(X)

Aus diesem Ableitungsgraphen können wir Folgendes sagen. In einem bestimmten Intervall ist die Ableitung der Funktion positiv, was bedeutet, dass die Funktion in diesem Intervall zunimmt (sie nimmt von der linken Grenze des Intervalls nach rechts zu). Somit wird der kleinste Wert der Funktion am linken Rand des Segments erreicht, also am Punkt x = 3.

Antwort: 3

3. Ermitteln Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion F(X)

Die maximalen Punkte entsprechen den Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung von positiv nach negativ ändert. Betrachten wir, wo sich das Vorzeichen auf diese Weise ändert.

Auf der Strecke (3;6) ist die Ableitung positiv, auf der Strecke (6;16) negativ.

Auf der Strecke (16;18) ist die Ableitung positiv, auf der Strecke (18;20) negativ.

Somit hat die Funktion auf einem gegebenen Segment zwei Maximalpunkte x = 6 und x = 18.

Antwort: 2

4. Ermitteln Sie die Anzahl der Mindestpunkte der Funktion F(X), zum Segment gehörend.

Minimale Punkte entsprechen Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung von negativ nach positiv ändert. Unsere Ableitung ist im Intervall (0;3) negativ und im Intervall (3;4) positiv.

Somit hat die Funktion auf dem Segment nur einen Minimalpunkt x = 3.

*Seien Sie beim Aufschreiben der Antwort vorsichtig – es wird die Anzahl der Punkte notiert, nicht der x-Wert; ein solcher Fehler kann durch Unaufmerksamkeit passieren.

Antwort 1

5. Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion F(X), zum Segment gehörend.

Bitte beachten Sie, was Sie finden müssen Menge Extrempunkte (dies sind sowohl Maximal- als auch Minimalpunkte).

Extremumpunkte entsprechen Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung ändert (von positiv zu negativ oder umgekehrt). Im in der Bedingung angegebenen Graphen sind dies die Nullstellen der Funktion. Die Ableitung verschwindet an den Punkten 3, 6, 16, 18.

Somit hat die Funktion 4 Extrempunkte auf dem Segment.

Antwort: 4

6. Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion F(X)

Anstiegsintervalle dieser Funktion F(X) entsprechen den Intervallen, in denen seine Ableitung positiv ist, also den Intervallen (3;6) und (16;18). Bitte beachten Sie, dass die Grenzen des Intervalls darin nicht enthalten sind (runde Klammern - Grenzen sind nicht im Intervall enthalten, eckige Klammern - enthalten). Diese Intervalle enthalten die ganzzahligen Punkte 4, 5, 17. Ihre Summe ist: 4 + 5 + 17 = 26

Antwort: 26

7. Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion F(X) in einem bestimmten Intervall. Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Abnehmende Intervalle einer Funktion F(X) entsprechen Intervallen, in denen die Ableitung der Funktion negativ ist. In dieser Aufgabe sind dies die Intervalle (–2;3), (6;16), (18:21).

Diese Intervalle enthalten die folgenden ganzzahligen Punkte: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ihre Summe ist:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Antwort: 140

*Achten Sie auf die Bedingung: ob die Grenzen im Intervall enthalten sind oder nicht. Sind Grenzen enthalten, so müssen in den im Lösungsprozess betrachteten Intervallen auch diese Grenzen berücksichtigt werden.

8. Finden Sie die Intervalle der steigenden Funktion F(X)

Intervalle zunehmender Funktion F(X) entsprechen Intervallen, in denen die Ableitung der Funktion positiv ist. Wir haben sie bereits angedeutet: (3;6) und (16:18). Das größte davon ist das Intervall (3;6), seine Länge beträgt 3.

Antwort: 3

9. Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Abnehmende Intervalle einer Funktion F(X) entsprechen Intervallen, in denen die Ableitung der Funktion negativ ist. Wir haben sie bereits angegeben; das sind die Intervalle (–2;3), (6;16), (18;21), ihre Längen betragen jeweils 5, 10, 3.

Die Länge des größten beträgt 10.

Antwort: 10

10. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen liegt F(X) parallel zur Geraden y = 2x + 3 oder fällt mit dieser zusammen.

Der Wert der Ableitung am Tangentenpunkt ist gleich der Steigung der Tangente. Da die Tangente parallel zur Geraden y = 2x + 3 verläuft oder mit dieser zusammenfällt, sind ihre Winkelkoeffizienten gleich 2. Dies bedeutet, dass die Anzahl der Punkte ermittelt werden muss, an denen y′(x 0) = 2 ist. Geometrisch entspricht dies der Anzahl der Schnittpunkte des Ableitungsgraphen mit der Geraden y = 2. Auf diesem Intervall gibt es 4 solcher Punkte.

Antwort: 4

11. Finden Sie den Extrempunkt der Funktion F(X), zum Segment gehörend.

Der Extrempunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem ihre Ableitung gleich Null ist, und in der Nähe dieses Punktes ändert die Ableitung das Vorzeichen (von positiv zu negativ oder umgekehrt). Auf dem Segment schneidet der Ableitungsgraph die x-Achse, die Ableitung ändert das Vorzeichen von negativ nach positiv. Daher ist der Punkt x = 3 ein Extrempunkt.

Antwort: 3

12. Finden Sie die Abszisse der Punkte, an denen die Tangenten an den Graphen y = f (x) parallel zur Abszissenachse verlaufen oder mit dieser zusammenfallen. Geben Sie in Ihrer Antwort den größten davon an.

Die Tangente an den Graphen y = f (x) kann parallel zur Abszissenachse sein oder mit dieser zusammenfallen, nur an Punkten, an denen die Ableitung gleich Null ist (dies können Extrempunkte oder stationäre Punkte sein, in deren Nähe die Ableitung dies tut). sein Vorzeichen nicht ändern). Diese Grafik zeigt, dass die Ableitung an den Punkten 3, 6, 16,18 Null ist. Der größte ist 18.

Sie können Ihre Argumentation folgendermaßen strukturieren:

Der Wert der Ableitung am Tangentenpunkt ist gleich der Steigung der Tangente. Da die Tangente parallel zur x-Achse verläuft oder mit dieser zusammenfällt, ist ihre Steigung 0 (tatsächlich ist die Tangente eines Winkels von null Grad null). Daher suchen wir nach dem Punkt, an dem die Steigung gleich Null ist und daher die Ableitung gleich Null ist. Die Ableitung ist an dem Punkt gleich Null, an dem ihr Graph die x-Achse schneidet, und das sind die Punkte 3, 6, 16,18.

Antwort: 18

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–8;4). An welcher Stelle des Segments [–7;–3] befindet sich die Funktion? F(X) nimmt den kleinsten Wert an.

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–7;14). Ermitteln Sie die maximale Punktzahl der Funktion F(X), gehört zum Segment [–6;9].

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–18;6). Finden Sie die Anzahl der minimalen Punkte der Funktion F(X), gehört zum Segment [–13;1].

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–11; –11). Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion F(X), gehört zum Segment [–10; -10].

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–7;4). Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–5;7). Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–11;3). Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

F Die Abbildung zeigt eine Grafik

Die Bedingungen des Problems sind die gleichen (die wir berücksichtigt haben). Finden Sie die Summe von drei Zahlen:

1. Die Summe der Quadrate der Extrema der Funktion f (x).

2. Die Differenz zwischen den Quadraten der Summe der Maximalpunkte und der Summe der Minimalpunkte der Funktion f (x).

3. Die Anzahl der Tangenten an f (x) parallel zur Geraden y = –3x + 5.

Der erste, der die richtige Antwort gibt, erhält einen Anreizpreis in Höhe von 150 Rubel. Schreiben Sie Ihre Antworten in die Kommentare. Wenn dies Ihr erster Kommentar im Blog ist, erscheint er nicht sofort, sondern etwas später (keine Sorge, der Zeitpunkt, zu dem der Kommentar geschrieben wurde, wird erfasst).

Viel Glück!

Herzliche Grüße, Alexander Krutitsikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Sergey Nikiforov

Wenn die Ableitung einer Funktion in einem Intervall ein konstantes Vorzeichen hat und die Funktion selbst an ihren Rändern stetig ist, werden die Randpunkte sowohl zu steigenden als auch zu fallenden Intervallen hinzugefügt, was vollständig der Definition von steigenden und fallenden Funktionen entspricht.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Guten Tag. Wie (auf welcher Grundlage) können wir sagen, dass die Funktion an dem Punkt zunimmt, an dem die Ableitung gleich Null ist? Gib Gründe. Ansonsten ist es nur jemandes Laune. Nach welchem Satz? Und auch Beweise. Danke.

Unterstützung

Der Wert der Ableitung an einem Punkt steht nicht in direktem Zusammenhang mit der Zunahme der Funktion über das Intervall. Betrachten Sie zum Beispiel Funktionen – sie nehmen alle im Intervall zu

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Wenn eine Funktion im Intervall (a;b) wächst und an den Punkten a und b definiert und stetig ist, dann nimmt sie im Intervall zu. Diese. Punkt x=2 ist in diesem Intervall enthalten.

Allerdings werden Zunahme und Abnahme in der Regel nicht auf einem Segment, sondern auf einem Intervall betrachtet.

Aber am Punkt x=2 selbst hat die Funktion ein lokales Minimum. Und wie kann man Kindern erklären, dass wir bei der Suche nach Punkten der Zunahme (Abnahme) nicht die Punkte des lokalen Extremums zählen, sondern in Intervalle der Zunahme (Abnahme) eintreten?

Wenn man bedenkt, dass der erste Teil des Einheitlichen Staatsexamens für die „mittlere Gruppe des Kindergartens“ gedacht ist, dann sind solche Nuancen wahrscheinlich zu viel.

Unabhängig davon möchte ich mich bei allen Mitarbeitern für „Lösung des Einheitlichen Staatsexamens“ bedanken – ein ausgezeichneter Leitfaden.

Sergey Nikiforov

Eine einfache Erklärung erhält man, wenn man von der Definition einer steigenden/abfallenden Funktion ausgeht. Ich möchte Sie daran erinnern, dass es sich so anhört: Eine Funktion heißt in einem Intervall erhöhend/verringernd, wenn ein größeres Argument der Funktion einem größeren/kleineren Wert der Funktion entspricht. In dieser Definition wird das Konzept der Ableitung in keiner Weise verwendet, sodass keine Fragen zu den Punkten aufkommen können, an denen die Ableitung verschwindet.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Guten Tag. Hier in den Kommentaren sehe ich die Überzeugung, dass Grenzen einbezogen werden müssen. Nehmen wir an, ich stimme dem zu. Schauen Sie sich aber bitte Ihre Lösung zur Aufgabe 7089 an. Dort werden bei der Angabe zunehmender Intervalle keine Grenzen berücksichtigt. Und das beeinflusst die Antwort. Diese. Die Lösungen zu den Aufgaben 6429 und 7089 widersprechen sich. Bitte klären Sie diese Situation.

Alexander Iwanow

Die Aufgaben 6429 und 7089 haben völlig unterschiedliche Fragestellungen.

Beim einen geht es um die Vergrößerung von Intervallen, beim anderen um Intervalle mit positiver Ableitung.

Es gibt keinen Widerspruch.

Die Extrema sind in den Intervallen der Zunahme und Abnahme enthalten, aber die Punkte, in denen die Ableitung gleich Null ist, sind nicht in den Intervallen enthalten, in denen die Ableitung positiv ist.

A Z 28.01.2019 19:09

Kolleginnen und Kollegen, es gibt ein Konzept der Steigerung an einem Punkt

(siehe zum Beispiel Fichtenholtz)

und Ihr Verständnis des Anstiegs bei x=2 widerspricht der klassischen Definition.

Zu- und Absteigen ist ein Prozess und an diesem Prinzip möchte ich festhalten.

In jedem Intervall, das den Punkt x=2 enthält, nimmt die Funktion nicht zu. Daher ist die Einbeziehung eines gegebenen Punktes x=2 ein besonderer Vorgang.

Um Verwirrung zu vermeiden, wird die Einbeziehung der Intervallenden normalerweise separat besprochen.

Alexander Iwanow

Eine Funktion y=f(x) heißt über ein bestimmtes Intervall wachsend, wenn ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem größeren Wert der Funktion entspricht.

Im Punkt x=2 ist die Funktion differenzierbar und im Intervall (2; 6) ist die Ableitung positiv, also im Intervall )