Lösen von C4-Problemen aus dem Wort Mathematik (Start). IV.

Zeit zur Prüfung ist immer weniger eGE. Es ist immer öfter, die Nerven von Schulkindern und ihre Lehrer spannen alle stärker. Am Vorabend der Eröffnung der Saison "Intensive Vorbereitung" für Abschluss- und Aufnahmeprüfungen schlage ich Ihnen vor, C4-Probleme aus dem von Mio entwickelten Nutzen zu lösen, um Schulkinder auf die Prüfung in der Mathematik vorzubereiten. Die Aufgaben sind mit Lösungen angegeben, es wäre jedoch nützlich, sie zuerst unabhängig zu lösen.

Option 3. Dreieck ABC in den Kreis des Radius 12 eingeschrieben. Es ist bekannt, dass Ab \u003d 6 I. Bc. \u003d 4. Finden. AC..

Entscheidung:

Vom Sinus-Theorem für ein Dreieck ABC Wir haben:

Vom main trigonometrische Identität Finde das:

Dann auf dem Cosinus-Satz für das Dreieck ABC Wir haben für beide Fälle:

Antworten: √35 ± √15.

Option 5. In einem Dreieck. ABChehhöhe gehalten. Bm.und Cn., Ö.- Center eingeschriebener Kreis. Es ist bekannt, dass Bc \u003d.24 , Mn \u003d.12. Suchen Sie den Kreisradius, der in der Nähe des Dreiecks beschrieben ist BOC..

Entscheidung:

Zwei mögliche Fälle: ∠a - scharf und ∠a - dumm

Zwei Fälle sind möglich:

1) lass ∠ EIN. - akute (linke Zeichnung). Wir beweisen, dass Dreiecke Amn. und ABC Mögen. In der Tat, Punkte B., N., M. und C. Auf einem Kreis mit einem Durchmesser liegen Bc., also ∠ Nmb. = ∠Ncb.von rechteckigen Dreiecke Bam. und BNC.:
∠Amn. = 90 0 — ∠Nmb,∠B \u003d.90 0 — ∠Ncb., von denen offensichtlich das ∠ folgt Amn.= ∠B.Außerdem ∠. EIN.- Gemeinsam für beide Dreiecke, daher ähneln sie zwei Ecken.

Von rechteckiges Dreieck. Amb.: cos∠. EIN. = AM./Ab Anc.: cos∠. EIN. = EIN./AC.Die gleichen Beziehungen sind offensichtlich die Verhältnisse der Parteien in solche Dreiecke Amn. und ABCwas folgt diesem cos∠ A \u003d nm./Bc \u003d.1/2, was bedeutet ∠ A \u003d.60 0, da die Summe der Ecken im Dreieck 180 0 ist, ∠ B +.∠C \u003d. 120 0. Die im Dreieck des Kreises eingeschriebenen Zentrum liegt, wie bekannt ist, am Schnittpunkt seines Bisevers. Daraus schließen wir das:
∠Obc +.∠Ö. Cb \u003d. 1/2 · (∠ B +.∠C) \u003d. 60 0, was bedeutet ∠ Boc \u003d.120 0. Von dem Sinus-Theorem für ein Dreieck BOC. Wir haben: Bc./ Sin∠. BOC. = 2R.wo R. R. = 8√3.

2) Lass uns jetzt ∠ EIN. - dumme (rechte Zeichnung). Von einem rechteckigen Dreieck ABM. Finde das cos∠. Bam. = AM./Ab, aus einem rechteckigen Dreieck KÖNNEN Finde das cos∠. Kann \u003d ein./AC.. ∠Bam \u003d.∠C. EIN. Da sind sie vertikales Mittel AM./Ab = EIN./AC. \u003d Cos∠. Bam. \u003d Cos∠. Bas Da sind die letzten vorderen Ecken benachbart. Also Dreiecke ABC und Anm. Wie die Ecke und zwei proportionale Parteien. Das Ähnlichkeitsverhältnis ist cos∠ Bac \u003d mn. /Bc \u003d. -1/2 und die Ecke selbst ∠ Bac \u003d. 120 0 .

Weitere Begründung sind ähnlich. Da ist die Summe der Ecken im Dreieck 180 0, ∠ B +.∠C \u003d. 60 0. Das im Dreieck des Kreises eingeschriebene Zentrum liegt an der Kreuzungspunkt ihres Bisektors, also:
∠Obc +.∠Ö. Cb \u003d. 1/2 · (∠ B +.∠C) \u003d. 30 0, was bedeutet ∠ Boc \u003d.150 0. Von dem Sinus-Theorem für ein Dreieck BOC. Wir haben: Bc./ Sin∠. BOC. = 2R.wo R.- der gewünschte Radius, der in der Nähe des Dreiecks des Kreises beschrieben ist. Von hier: R. = 24.

Antworten: 8√3 oder 24.

Option 8. Der Umfang eines dämmten Trapeziums ist 52. Es ist bekannt, dass Sie in dieser Trapez in den Kreis eindringen können, und die Seite ist durch einen Berührungspunkt in Bezug auf 4: 9 geteilt, direkt durch die Mitte des Kreises und der Scheitelpunkt des Trapezs schneidet von der Trapez des Dreiecks ab. Finden Sie die Haltung dieses Dreiecksbereichs in den Trapezbereich.

Entscheidung:

Abbildung, um die C4-Aufgabe mit einem Trapez zu lösen

Vom Satz in den Tangentensegmenten KB. = Bp = PC. = Cq. = 4x., Qd. = Dl = LA. = AK. = 9x., dann ist der Umkreis des Trapezs 4 · (9 x. + 4x.) \u003d 52, von wo x. \u003d 1. Von hier aus berechnen wir die Seiten Ab = CD \u003d 13 und Basis Bc. = 8, ANZEIGE \u003d 18. Dann AH. = (ANZEIGE — Bc.) / 2 \u003d 5. aus einem rechteckigen Dreieck Bha. Laut Pythagora-Theorem finden wir die Höhe des Trapezs Bh. \u003d 12, Sin∠ EIN. \u003d Sin∠. D. \u003d 12/13. Die Fläche des Trapezs ist dann gleich S. = (Bc. + ANZEIGE) · Bh./2 = 156.

Je nachdem, was Direkt in Bezug auf das Problem bezeichnet wird, sind zwei Fälle möglich:

1) Lassen Sie diese Richtung durch den Scheitelpunkt durchlaufen, der eine kleinere Basis des Trapezs enthält (in der Zeichnung ist gerade Bm.). Die in der Ecke des Kreises, die in der Ecke des Kreises eingeschrieben ist, liegt auf seiner Bisektor, das heißt ∠ ABM. = ∠Mbc., ∠Mbc. = ∠Amb. (als der Lügner mit parallelen geraden Linien Bc., ANZEIGE Und verkauf. Bm.) bedeutet ∠. ABM. = ∠Amb. und Dreieck. ABM. - Isol, AM. = Ab \u003d 13. Dann die Fläche des Dreiecks ABM. \u003d 0,5 · Ab · AM. · Sin∠. EIN. \u003d 0,5 · 13 · 13 · 12/13 \u003d 78 und das gewünschte Verhältnis beträgt 78/156 \u003d 1/2.

2) Lassen Sie nun die direkte Bezugnahme auf den Zustand durch einen Scheitelpunkt, der eine kleinere Basis des Trapezs enthält (in der Zeichnung ist gerade EIN.). Führen Sie zusätzliche Konstruktion aus: Ich verlängere die Basis Bc. Und gerade EIN. Vor der Kreuzung am Punkt Y.. In ähnlicher Weise beweisen wir, dass das Dreieck Ego. - Isol, Ab = Durch = 13, CY. = Durch — Bc. \u003d 5. Dreiecke CNY und Und. Wie zwei Ecken (∠ Und. = ∠CNY wie vertikal, ∠ Cya. = ∠Yad. Wie wird die Lügen mit parallelen geraden Linien zugrunde liegen? Bc., ANZEIGE Und verkauf. Ay.) So DN. : Nc. = ANZEIGE : CY. \u003d 18: 5, dann DN. = 18/23 CD = 18/23 Ab \u003d 234/23. Dann die Fläche des Dreiecks Adn. \u003d 0,5 · ANZEIGE · DN. · Sin∠. D. \u003d 0,5 · 18 · 234/23 · 12/13 \u003d 1944/23 und die gewünschte Beziehung beträgt 162/299.

Antworten: 1/2 oder 162/299.

Sergey Valerievich.

Abschnitte: Mathematik

Bei den letzten Lehren auf der Geometrie der Zeit, um die Aufgaben rund um den Kurs insgesamt zu brechen, bleibt praktisch nicht. A B. Kim Eger Traditionell sind Aufgaben enthalten, deren Lösung das Wissen über Planimeuria auf dem Thema "eingeschriebenen und beschriebenen Kreisen erfordert. Daher hilft das vorgeschlagene Material nicht nur, sich an dieses Thema zu erinnern, sondern auch, um das zuvor erhaltene Wissen zu systematisieren, um die planimetrischen Aufgaben an den eingeschriebenen und beschriebenen Kreisen zu lösen sowie die Lösung solcher Aufgaben in der Verwendung vorzubereiten. Es wird davon ausgegangen, dass der Student zumindest auf dem Mindestgrad den gesamten Verlauf der Schulgeometrie (Planimetrie) besitzt.

Das erste und wichtigste Phase der Entscheidung des geometrischen Problems besteht darin, eine Zeichnung aufzubauen. Es ist unmöglich, ausreichend sinnvolle Aufgaben zu lösen, ohne starke Fähigkeiten für die Herstellung von "guten" Zeichnungen zu erarbeiten, ohne die Gewohnheiten zu trainieren (sogar Reflex) - nicht anfangen, die Aufgabe zu lösen, bis "große und schöne" Zeichnung erfolgt. Als Hauptmethode zur Lösung geometrischer Probleme wird ein algebraisches Verfahren mit der Zusammenstellung des nachfolgenden Algorithmus vorgelegt. Die algebraische Methode ist auf den Kopf einer übermäßigen Leidenschaft von Algebra und der Punktzahl eingestellt, vergessen Sie nicht, dass wir immer noch über geometrische Aufgaben sprechen, und daher, damit an der Aufgabe zu arbeiten, sollten Sie nach geometrischen Funktionen suchen, lernen Sie zu sehen und sehen Geometrie. Wenn Sie die beiden Komponenten hervorheben, die die Fähigkeit zur Lösung geometrischer Aufgaben ermitteln, fügen Sie die Zeichnung zuzüglich der Methode das Dritte zum Besitz bestimmter theorems und Referenzaufgaben hinzu, die den geometrischen Fakten bekannt sind.

I. Die notwendigen Theorems und Referenzaufgaben für den in dem Dreieck und dem Viereck, der in der Nähe des Dreiecks und des Vierecks beschriebenen Kreises, der in das Dreieck bezeichnet ist. ( Anhang 1 )

II. Lösen von Aufgaben auf fertigen Zeichnungen (bequem das Codecope bequem).

In diesem Fall erklären die Studierenden verbal den Verlauf der Lösung von Problemen, formulieren theorems und Referenzaufgaben, die zur Lösung von Aufgaben auf fertigen Zeichnungen verwendet werden.

Fertige Zeichnung	Dano. Finden	Entscheidung Antworten
	Ab \u003d bc.	Tanner-Segmente sind: BM \u003d BK \u003d 5 Ab \u003d bc \u003d 12 MC \u003d CN \u003d 7, AC \u003d 14, AK \u003d AN \u003d 7, PABC \u003d 12 + 12 + 14 \u003d 38 Antwort: p abc \u003d 38
	Ab \u003d 6, JSC \u003d.	Tanner-Abschnitte sind gleich: Av \u003d Sun 1) , 2) ab \u003d Sun, weil In - bissektris. 3) ABC - quilateral, PABC \u003d 6 3 \u003d 18 Antwort: p abc \u003d 18
	Ad - Durchmesser des Kreises, Ab \u003d 3, Vd \u003d 4. 1. Beweisen Sie: NM-Anzeige 2. R \u003d?	1. Weil Anzeigendurchmesser, dann db An und AC DN, d. H. AC und DB - Höhe und dann NK - Höhe, weil Sie kreuzen sich an einem Punkt. So nm n. 2. AD \u003d \u003d 5, R \u003d Antwort: R \u003d 2,5
	R \u003d?	AC-Durchmesser des Kreises und Hypotenuse von rechteckiger ABC, R \u003d \u003d 1,5 Antwort: r \u003d 1,5
	Ab \u003d 24, Ok \u003d 5.	O ist der Schnittpunkt der mittleren Senkrechten an die Parteien. BKO - rechteckig, vk \u003d Ak \u003d 12, KO \u003d 5, at \u003d \u003d 13 \u003d r Antwort: r \u003d 13

III. Aufgaben lösen

1. Finden Sie den Umfang des rechteckigen Dreiecks, wenn der Radius des eingeschriebenen Kreises 2 cm beträgt, und die Hypotenuse ist 13 cm.

Sei mal \u003d a \u003d x, dann ac \u003d x + 2, cb \u003d 2 + 13 - x \u003d 15 - x (x + 2) 2 + (15 - x) 2 \u003d 169 x 2 - 13x + 30 \u003d 0 x 1 \u003d 10, x 2 \u003d 3; AC \u003d 6, cb \u003d 12; P \u003d 30 cm Antwort: p \u003d 30 cm.

2. Der in das rechteckige Dreieck des Kreises eingeschriebene Radius beträgt 3 cm, O - Center eingeschriebener Kreis ,,. Finden Sie einen Dreieckbereich.

JSC - Bissektris, Ako - rechteckig, sin \u003d sin 30 o \u003d , Ao \u003d 6, AN \u003d AK \u003d \u003d 3, AC \u003d 3 + 3, Tg 60 o \u003d, cb \u003d S abc \u003d. = Antwort: s \u003d cm2.

3. Dreieck-Umkreis 84. Der Berührungspunkt des eingeschriebenen Kreises teilt eine der Seiten in die Segmente 12 und 14 ein. Finden Sie den Radius des eingeschriebenen Kreises und des ABC-Bereichs, wenn der OV \u003d 18, O die Mitte des Eingeschriebenen ist Kreis.

In einem gleichermaßenkettigen Dreieck beträgt der Abstand von der Mitte des eingeschriebenen Kreises zum Scheitelpunkt eines nicht gleicher Winkels 5 cm. Die Bohrung ist 10 cm. Finden Sie den Radius des eingeschriebenen Kreises.

Ob \u003d 5, , Om \u003d ob. . = , Bh \u003d 5 + r, AH \u003d 2R, AHB - rechteckig, 4R 2 \u003d 100 - (5 + R) 2, R 2 + 2R - 15 \u003d 0, R 1 \u003d - 5, R 2 \u003d 3 Antwort: r \u003d 3 cm.

5. Die Grundlage eines gleichgroßen Dreiecks, das in einem Radiuskreis von 5 cm eingeschrieben ist, beträgt 6 cm. Finden Sie den Umfang des Dreiecks.

Aho - rechteckig: OH \u003d 4, BH \u003d 4 + 5 \u003d 9, Ab \u003d bc \u003d \u003d P \u003d Antwort: p \u003d cm.

6. Der Umfang des ABC-Dreiecks beträgt 72 cm. AB \u003d BC, AB: AC \u003d 13:10. Finden Sie den in der Nähe des Dreiecks des Kreises beschriebenen Radius.

Ab + bc + ac \u003d 72, , AC \u003d 20, AB \u003d BC \u003d \u003d 26, BH \u003d 24 Bn \u003d na \u003d 13, R \u003d. Antwort: r \u003d cm.

7. Die Grundlage eines dummen, isseligen Dreiecks ist gleich 24 cm, und der Radius des beschriebenen Kreises beträgt 13 cm. Finden Sie die Seitenseite des Dreiecks.

8. Der Kreis, der Durchmesser dient dem ABS-Dreieck, durchläuft den Schnittpunkt des Medians dieses Dreiecks. Finden Sie das Verhältnis der Länge der Seite des Wechselstroms auf die Länge des Medians, der darauf ausgegeben wird.

Ao \u003d oc \u003d r \u003d om, bm \u003d 2r, Bo \u003d 3r, Antworten:.

9. Suchen Sie den gleichen Trapezbereich, der in der Nähe des Kreises mit einem Radius 4 beschrieben ist, falls bekannt ist, dass die seitliche Seite des Trapeziums gleich 10 ist.

S abcd \u003d. weil Kreis eingeschrieben, dann ab + cd \u003d ad + bc \u003d 20 H \u003d 2r \u003d 8, S ABCD \u003d 10 8 \u003d 80 Antwort: 80

10. Dan Rhombd ABCD. Der in der Nähe des ABD-Dreiecks beschriebenen Kreises überquert die große Diagonale der AC-Rhombus an der Stelle E. Finden Sie CE, falls AB \u003d, BD \u003d 16.

IV. Aufgaben für selbst entscheiden.

Der Radius des Kreises, der in das rechteckige Dreieck bezeichnet ist, beträgt 2 cm, und der Radius des beschriebenen Kreises beträgt 5 cm. Finden Sie einen größeren Dreieck-Catache.

Antwort: (6; 8).

In der Nähe eines äquidierbaren Dreiecks mit der Basis des Wechselstroms und eines Winkels an der Basis des 75. beschreibt ein Kreis mit der Mitte von O. Finden Sie seinen Radius, wenn der Bereich des Dreiecks gleich 16 ist.

Antwort: (8).

3. Finden Sie den Kreislaufradius, der im akuten Dreieck des ABC enthalten ist, wenn die Höhe BH 12 ist und das bekannt ist.

Antwort: (4).

4. Eine der Katheten des rechteckigen Dreiecks ist 15, und die Projektion der zweiten Kategorie an der Hypotenuse ist 16. Suchen Sie den in der Nähe dieses Dreiecks beschriebenen Kreisdurchmessers.

Antwort: (25).

5. Ein Umfang ist in einem ebenso lingenden Dreieck eingeschrieben. Parallel dazu wurde seine Basis des AU tangential in den Kreis durchgeführt, wobei die Seiten an den Punkten D und E kreuzte. Finden Sie den Kreisradius, wenn de \u003d 8, AC \u003d 18.

Antwort: (6).

6. In der Nähe des ABC-Dreiecks wird beschrieben. Der Median des AM-Dreiecks verlängert sich auf die Kreuzung mit einem Kreis an Punkt K. Finden Sie die Ackseite, wenn AM \u003d 18, mk \u003d 8, bk \u003d 10.

Antwort: (15).

Der in einem Gleichgewichtsdreieck eingeschriebene Kreis betrifft seine Seitenseiten an den Punkten K und A. Punkt k unterteilt die Seite dieses Dreiecks in den Segmenten 15 und 10, die von der Basis zählen. Finden Sie die Länge der CA-Länge.

Antwort: (12).

Der Winkel in dem ABS-Dreieck beträgt 60 °, der Radius des über ABC beschriebenen Kreises beträgt 2, um den Radius des Kreises zu finden, der durch die Punkte A und C und der in der ABC eingeschriebenen Kreiskreis verläuft.

Antwort: (2).

Die Seiten des Dreiecks sind gleich 5, 6 und 7. Finden Sie das Verhältnis von Segmenten, an das der Feiertor des größeren Winkels dieses Dreiecks durch die Mitte des in das Dreieck eingeschriebenen Kreiss geteilt ist.

Antwort: (11: 7).

10. Der im rechteckige Dreieck bezeichnete Radius des Kreises ist gleich der Haltbarkeit seiner Katheten. Finden Sie das Verhältnis einer größeren Kategorie zu einem kleineren.

. Finden Sie den Hypotenuse und den Radius des in der Nähe des Dreiecks beschriebenen Kreises.

Wenn alle Seiten des Polygons den Kreis berühren, wird der Umfang aufgerufen in einem Polygon eingeschriebenund Polygon - beschrieben In der Nähe dieses Kreises. In Fig. 231 ist der EFMN-Quadrilator in der Nähe des Kreises mit der Mitte O beschrieben, und der DKMN-Quadroller wird nicht in der Nähe dieses Umfangs beschrieben, da die DK-Seite nicht auf den Kreis gilt.

Feige. 231.

In Fig. 232 wird das ABC-Dreieck in der Nähe des Kreises mit der Mitte von O beschrieben.

Feige. 232.

Wir beweisen den Satz um den Kreis, der in das Dreieck eingeschrieben ist.

Satz

Beweise

Betrachten Sie ein willkürliches Dreieck ABC und bezeichnen den Buchstaben auf den Schnittpunkt des BISECKE. Aus dem senkrechten Punkt, OK, OL und OH OH, zu den Parteien von AV, Sun und CA (siehe Abb. 232) herausschneiden. Da der Punkt von der Seite des ABC-Dreiecks äquidistant ist, dann ok \u003d ol \u003d ohm. Daher geht der Kreis mit der Mitte des Radius ok durch Punkte K, L und M. Die Seiten des ABC-Dreiecks berührt diesen Kreis an Punkten zu, L, M, da sie senkrecht zu den Radien OK, OL und OM sind. Ein Kreis mit der Mitte des Radius in Ordnung ist also in das ABC-Dreieck eingeschrieben. Theorem ist bewiesen.

Anmerkung 1.

Beachten Sie, dass nur ein Kreis ein Dreieck eindringen kann.

Tatsächlich sagen wir, dass Sie in einem Dreieck zwei Kreisen eingeben können. Dann ist die Mitte jedes Kreises äquidistant der Seiten des Dreiecks, was bedeutet, dass der Punkt des Kreuzungspunkts des Dreiecks zusammenfein ist, und der Radius ist gleich dem Abstand von dem Punkt der Seite des Dreiecks. Folglich stimmen diese Kreise überein.

Anmerkung 2.

Lassen Sie uns in Abbildung 232 drehen. Wir sehen, dass das ABC-Dreieck aus drei Dreiecke besteht: ABO und SAO. Wenn sich in jedem dieser Dreiecke für die Basis der Seite des ABC-Dreiecks annehmen, ist der Radius des im ABC-Dreiecks eingeschriebenen Kreiss Höhe. Daher wird das Dreieck ABC der Fläche von der Formel ausgedrückt

Auf diese Weise,

Notiz 3.

Im Gegensatz zum Dreieck nicht in jedem Quadril kann den Kreis betreten.

Betrachtet man zum Beispiel ein Rechteck, in dem benachbarte Seiten nicht gleich sind, dh ein Rechteck, das nicht quadratisch ist. Es ist klar, dass Sie in einem solchen Rechteck einen Kreis auf drei seiner Parteien "platzieren können (Abb. 233, A), aber es ist unmöglich, einen Kreis so zu" setzen ", so dass es alle vier ihrer Parteien betrifft Sie können den Kreis nicht eingeben. Wenn Sie einen Kreis in einen Quadriden betreten können, haben die Parteien die folgende wunderbare Immobilie:

Feige. 233.

Diese Eigenschaft ist einfach zu installieren, wobei 233, b verwendet, auf dem die gleichen Buchstaben mit gleichen Tangentensegmenten gekennzeichnet sind. Tatsächlich AV + CD \u003d A + B + C + D, Flugzeug + AD-A + B + C + D, daher AV + CD \u003d Flugzeug + Anzeige. Es stellt sich heraus, dass die entgegengesetzte Erklärung ebenfalls trifft.

Beschriebener Kreis

Wenn alle Tops des Polygons auf dem Kreis liegen, wird der Umfang aufgerufen beschrieben In der Nähe des Polygons und ein Polygon - eingeschrieben In diesem Kreis. In Fig. 234 wird der ABCD-Quadril mit der Mitte von OH in einen Kreis eingegeben, und der AECD-Quadrilator ist in diesem Kreis nicht eingeschaltet, da der Scheitelpunkt E nicht auf dem Kreis liegt.

Feige. 234.

Das ABC-Dreieck in Fig. 235 ist in einem Kreis mit der Mitte von O eingeschrieben.

Feige. 235.

Wir beweisen den Satz um den in der Nähe des Dreiecks beschriebenen Kreises.

Satz

Beweise

Betrachten Sie ein willkürliches Dreieck ABC. Begeben Sie sich durch den Brief an den Kreuzungspunkt der Mitte senkrecht zu ihren Parteien und führen Sie die Segmente von OA, OB und OS (Abb. 235) aus. Da der Punkt von den Scheitelpunkten des ABC-Dreiecks äquidistant ist, dann über A \u003d OS \u003d OS. Daher läuft der Kreis mit der Mitte des OA-Radius alle drei Scheitelpunkte des Dreiecks und bedeutet, dass sie in der Nähe des ABC-Dreiecks beschrieben ist. Theorem ist bewiesen.

Anmerkung 1.

Beachten Sie, dass in der Nähe des Dreiecks kann nur von einem Kreis beschrieben werden..

In der Tat nehmen wir an, dass Sie in der Nähe des Dreiecks zwei Kreise beschreiben können. Dann ist die Mitte jedes von ihnen gleich seinen Scheitelpunkten und fällt daher mit dem Punkt der Kreuzung der mittleren Senkrechten an den Seiten des Dreiecks zusammen, und der Radius ist gleich dem Abstand von dem Punkt der Dreieckscheitelpunkte. Folglich stimmen diese Kreise überein.

Anmerkung 2.

Im Gegensatz zum Dreieck Über das Quadril kann den Kreis nicht immer beschreiben.

Zum Beispiel ist es unmöglich, einen Kreis in der Nähe einer Raute zu beschreiben, die kein Quadrat ist (Erklären Sie warum). Wenn Sie einen Kreis um einen Quadril beschreiben können, haben die Ecken die folgende wunderbare Immobilie:

Diese Eigenschaft ist einfach zu installieren, wenn Sie auf Abbildung 236 beziehen und den eingesetzten Ecksatz verwenden. Tatsächlich,

wo folgt

Feige. 236.

Es stellt sich wahr und das Gegenteil heraus:

Aufgaben

689. In einem gleichermaßenkettigen Dreieck ist die Base 10 cm, und die Seite ist 13 cm. Finden Sie den Radius des in diesem Dreiecks eingeschriebenen Kreis.

690. Finden Sie die Basis eines ansosefreien Dreiecks, wenn das darin eingeschriebene Zentrum die in der Basis in Bezug auf 12: 5 leitete Höhe teilt, die vom Scheitelpunkt gezählt wird, und die Seite ist 60 cm.

Der Punkt des Berührens des in einem Gleichgewichtsdreiecks eingeschriebenen Kreis teilt eine der seitlichen Seiten an Segmente von 3 cm und 4 cm, das von der Basis zählt. Finden Sie den Umkreis des Dreiecks.

692. Ein Kreis ist in das ABC-Dreieck eingeschrieben, das die Parteien der AV, Sun und CA an den Punkten P, Q und R betrifft, und RV, BQ, QC, SV, RA, wenn av \u003d 10 cm, Sun \u003d 12 cm, SA \u003d 5 cm.

693. In einem rechteckigen Dreieck wird der Radiuskreis in den Umkreis des Dreiecks eingeschrieben, wenn: a) Hypotenuse 26 cm, R \u003d 4 cm; b) Der Berührungspunkt teilt die Hypotenuse auf Segmente, die gleich 5 cm und 12 cm unterteilt.

694. Suchen Sie den Kreisdurchmesser, der in das rechteckige Dreieck eingeschrieben ist, wenn die Dreieck-Hypotienose gleich C ist, und die Menge an Katheten ist gleich m.

695. Die Summe der zwei gegenüberliegenden Seiten des beschriebenen Vierecks beträgt 15 cm. Finden Sie den Umfang dieses Quadrils.

696. Beweisen Sie, dass, wenn Sie in die Parallelogramme einen Kreis eingeben können, dieses Parallelogramm Raute ist.

697. Nachweisen, dass der Bereich des beschriebenen Polygons gleich der Hälfte des Werks seines Umfangs auf dem Radius des eingeschriebenen Kreises ist.

698. Die Summe der zwei gegenüberliegenden Seiten des beschriebenen vierseitigen, 12 cm ist 12 cm, und der darin eingeschriebene Radius beträgt 5 cm. Finden Sie den Bereich des Quadrikes.

699. Die Summe der beiden gegenüberliegenden Seiten des beschriebenen Quadrilmers beträgt 10 cm, und seine Fläche beträgt 12 cm 2. Finden Sie den Kreisverkehrradius, der in diesem Quadril bezeichnet ist.

700. Beweisen Sie, dass Sie in irgendeiner Rhombus einen Kreis eingeben können.

701. Weisen Sie drei Dreiecke an: akut, rechteckig und dumm. Geben Sie in jedem von ihnen den Kreis ein.

Das Dreieck des ABC ist in den Kreis eingeschrieben, sodass AV der Kreisdurchmesser ist. Finden Sie die Ecken des Dreiecks, wenn: a) bc \u003d 134 °; b) AC \u003d 70 °.

703. Rechnungen von ABC sind das Dreieck mit der Basis des Flugzeugs gekettet. Finden Sie die Ecken des Dreiecks, wenn die Sonne \u003d 102 ° ist.

704. Der Kreis mit der Mitte O ist in der Nähe des rechteckigen Dreiecks beschrieben. a) beweisen, dass der Punkt die Mitte der Hypotenuse ist. b) Finden Sie die Seiten des Dreiecks, wenn der Kreisdurchmesser entspricht, und einer von akute Ecken Das Dreieck ist gleich α.

705. In der Nähe des rechteckigen Dreiecks ABC mit einem direkten Winkel mit einem beschriebenen Kreis. Finden Sie den Radius dieses Kreises, wenn: a) ac \u003d 8 cm, sun \u003d 6 cm; b) AC \u003d 18 cm, ∠b \u003d 30 °.

706. Finden Sie die Seite des gleichseitigen Dreiecks, wenn der Radius des Umfangs, der in der Nähe ist, 10 cm beträgt.

Der Winkel, eine gegenüberliegende Basis eines einströmten Dreiecks beträgt 120 °, die Seitenseite des Dreiecks beträgt 8 cm. Finden Sie den in der Nähe dieses Dreiecks beschriebenen Kreisdurchmessers.

708. Beweisen Sie, dass Sie den Kreis beschreiben können: a) in der Nähe von jedem Rechteck; b) in der Nähe eines täglichen Trapeziums.

709. Beweisen Sie, dass, wenn sich der Parallelogramm den Kreis beschreiben kann, dann dieses Parallelogramm ein Rechteck ist.

710. Beweisen Sie, dass, wenn der Kreis in der Nähe der Trapez beschrieben werden kann, dann ist dieses Trapez frei.

711. Zebe drei Dreiecke: dumm, rechteckig und gleichseitig. Bauen Sie für jeden von ihnen den beschriebenen Kreis auf.