Eigenschaften von Quantensystemen. Quantensysteme und ihre Eigenschaften

Energieniveaus (atomar, molekular, nuklear)

1. Eigenschaften des Zustands eines Quantensystems
2. Energieniveaus von Atomen
3. Energieniveaus von Molekülen
4. Energieniveaus von Kernen

Eigenschaften des Zustands eines Quantensystems

Die Grundlage zur Erklärung der Eigenschaften von Atomen, Molekülen und Atomkernen, d.h. Phänomene, die in Volumenelementen mit linearen Maßstäben von 10 -6 -10 -13 cm auftreten, fallen unter die Quantenmechanik. Gemäß der Quantenmechanik ist jedes Quantensystem (d. h. ein System von Mikroteilchen, das den Quantengesetzen gehorcht) durch eine bestimmte Menge von Zuständen gekennzeichnet. Im Allgemeinen kann diese Menge von Zuständen entweder diskret (diskretes Zustandsspektrum) oder kontinuierlich (kontinuierliches Zustandsspektrum) sein. Merkmale des Zustands eines isolierten Phänomensystems. innere Energie des Systems (im Folgenden einfach Energie), Gesamtdrehimpuls (MCM) und Parität.

Energie des Systems.
Ein Quantensystem hat, wenn es sich in verschiedenen Zuständen befindet, im Allgemeinen unterschiedliche Energien. Die Energie eines vernetzten Systems kann jeden beliebigen Wert annehmen. Diese Menge möglicher Energiewerte wird aufgerufen. diskretes Energiespektrum, und Energie wird als quantisiert bezeichnet. Ein Beispiel wäre Energie. Spektrum des Atoms (siehe unten). Ein ungebundenes System wechselwirkender Teilchen hat ein kontinuierliches Energiespektrum und die Energie kann beliebige Werte annehmen. Ein Beispiel für ein solches System ist freies Elektron (E) im Coulomb-Feld des Atomkerns. Ein kontinuierliches Energiespektrum kann als Menge einer unendlich großen Anzahl diskreter Zustände dargestellt werden, zwischen denen Energie liegt. die Lücken sind verschwindend gering.

Der Zustand, dem die niedrigste mögliche Energie für ein gegebenes System entspricht, wird aufgerufen. main: Alle anderen Zustände werden aufgerufen. aufgeregt. Es ist oft zweckmäßig, eine herkömmliche Energieskala zu verwenden, in der die Energie hauptsächlich enthalten ist Als Ausgangspunkt gilt der Zustand, d.h. wird als gleich Null angenommen (in dieser konventionellen Skala wird Energie im Folgenden mit dem Buchstaben bezeichnet). E). Wenn sich das System in einem Zustand befindet N(und der Index N=1 ist main zugewiesen. Zustand), hat Energie E n, dann sagen sie, dass sich das System auf dem Energieniveau befindet E n. Nummer N, Nummerierung U.e., genannt. Quantenzahl. Im Allgemeinen ist jedes U.e. kann nicht durch eine Quantenzahl charakterisiert werden, sondern durch eine Kombination davon; dann indizieren N bedeutet die Gesamtheit dieser Quantenzahlen.

Wenn die Bedingungen n 1, Nr. 2, Nr. 3,..., nk entspricht der gleichen Energie, d.h. ein U.E., dann heißt diese Ebene entartet und die Zahl k- Vielfalt der Entartung.

Bei allen Transformationen eines geschlossenen Systems (sowie eines Systems in einem konstanten äußeren Feld) bleibt seine Gesamtenergie unverändert. Daher bezieht sich Energie auf das sogenannte. konservierte Werte. Aus der Homogenität der Zeit folgt der Energieerhaltungssatz.

Gesamtdrehimpuls.
Diese Menge ist Vektor und wird durch Addition der MCD aller im System enthaltenen Partikel erhalten. Jedes Teilchen hat sein eigenes MKD – Spin und Bahnimpuls, verursacht durch die Bewegung des Teilchens relativ zum allgemeinen Massenschwerpunkt des Systems. Die Quantisierung von MCD führt dazu, dass seine ABS. Größe J nimmt streng definierte Werte an: , wo J- eine Quantenzahl, die nichtnegative ganzzahlige und halbzahlige Werte annehmen kann (die Quantenzahl eines Orbital-MKD ist immer eine ganze Zahl). Projektion der MCD auf die s.l. Namensachse Mag. Quantenzahl und kann annehmen 2j+1 Werte: mj =j, j-1,...,-J. Wenn k.-l. Moment J yavl. die Summe zweier anderer Momente, dann nach den Regeln zur Addition von Momenten in der Quantenmechanik die Quantenzahl J kann folgende Werte annehmen: J=|J 1 -J 2 |, |J 1 -J 2 -1|, ...., |J 1 +J 2 -1|, J 1 +J 2, a. Die Summation einer größeren Anzahl von Momenten erfolgt analog. Der Kürze halber ist es üblich, von MCD-Systemen zu sprechen J, impliziert den Moment, abs. dessen Wert ist; o Mag. Die Quantenzahl wird einfach als Projektion des Impulses bezeichnet.

Bei verschiedenen Transformationen eines Systems in einem zentralsymmetrischen Feld bleibt die gesamte MCD erhalten, d. h. sie ist wie die Energie eine Erhaltungsgröße. Das MCD-Erhaltungsgesetz folgt aus der Isotropie des Raumes. In einem axialsymmetrischen Feld bleibt nur die Projektion der gesamten MCD auf die Symmetrieachse erhalten.

Staatsparität.
In der Quantenmechanik werden die Zustände eines Systems durch die sogenannten beschrieben. Wellenfunktionen. Parität charakterisiert die Änderung der Wellenfunktion des Systems während des Betriebs der räumlichen Inversion, d.h. Ändern der Vorzeichen der Koordinaten aller Teilchen. Bei einer solchen Operation ändert sich die Energie nicht, während die Wellenfunktion entweder unverändert bleiben (gerader Zustand) oder ihr Vorzeichen in das Gegenteil ändern kann (ungerader Zustand). Parität P nimmt jeweils zwei Werte an. Ob das System nuklear oder elektromagnetisch arbeitet. Kräfte, Parität bleibt bei atomaren, molekularen und nuklearen Transformationen erhalten, d.h. Diese Größe bezieht sich auch auf Erhaltungsgrößen. Paritätserhaltungsgesetz eine Folge der Raumsymmetrie in Bezug auf Spiegelreflexionen und wird bei Prozessen verletzt, an denen schwache Wechselwirkungen beteiligt sind.

Quantenübergänge
- Übergänge des Systems von einem Quantenzustand in einen anderen. Solche Übergänge können zu beiden Energieveränderungen führen. den Zustand des Systems und seine Qualitäten. Änderungen. Dabei handelt es sich um gebunden-gebundene, frei-gebundene, frei-freie Übergänge (siehe Wechselwirkung von Strahlung mit Materie), zum Beispiel Anregung, Deaktivierung, Ionisation, Dissoziation, Rekombination. Auch das ist eine Chemikalie. und Kernreaktionen. Übergänge können unter dem Einfluss von Strahlung auftreten – Strahlungsübergänge (oder Strahlungsübergänge) oder wenn ein bestimmtes System mit einem Teilchen kollidiert. anderes System oder Teilchen – nichtstrahlende Übergänge. Ein wichtiges Merkmal von Quantenübergangsphänomenen. seine Wahrscheinlichkeit in Einheiten. Zeit und zeigt an, wie oft dieser Übergang stattfinden wird. Dieser Wert wird in s -1 gemessen. Strahlungswahrscheinlichkeiten Übergänge zwischen Ebenen M Und N (m>n) Mit der Emission oder Absorption eines Photons, dessen Energie gleich ist, wird der Koeffizient bestimmt. Einstein A mn, B mn Und Bnm. Ebenenübergang M pro Level N kann spontan auftreten. Wahrscheinlichkeit der Photonenemission B mn in diesem Fall gleich Eine Minute. Übergänge dieser Art unter Strahlungseinfluss (induzierte Übergänge) werden durch die Wahrscheinlichkeiten der Emission eines Photons und der Absorption eines Photons charakterisiert, wobei es sich um die Energiedichte der Strahlung mit der Frequenz handelt.

Die Möglichkeit, einen Quantenübergang von einem gegebenen e.e. auf k.-l. ein anderes U.e. bedeutet, dass das Merkmal vgl. Zeit, in der sich das System in dieser U.E. befinden kann, natürlich. Sie ist definiert als der Kehrwert der Gesamtwahrscheinlichkeit des Zerfalls eines bestimmten Niveaus, d. h. die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Übergänge von der betrachteten Ebene zu allen anderen. Für Strahlung Übergänge beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit , und . Die Endlichkeit der Zeit führt gemäß der Unschärferelation dazu, dass das Energieniveau nicht absolut genau bestimmt werden kann, d. h. U.e. hat eine bestimmte Breite. Daher erfolgt die Emission bzw. Absorption von Photonen bei einem Quantenübergang nicht bei einer genau definierten Frequenz, sondern innerhalb eines bestimmten Frequenzintervalls, das in der Nähe des Wertes liegt. Die Intensitätsverteilung innerhalb dieses Intervalls wird durch das Spektrallinienprofil angegeben, das die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Frequenz eines Photons, das während eines bestimmten Übergangs emittiert oder absorbiert wird, gleich ist:
(1)
Dabei ist die Halbwertsbreite des Linienprofils. Wenn die Ausweitung von U.e. und Spektrallinien nur durch spontane Übergänge entstehen, dann spricht man von einer solchen Verbreiterung. natürlich. Wenn Kollisionen des Systems mit anderen Teilchen eine gewisse Rolle bei der Verbreiterung spielen, dann hat die Verbreiterung einen kombinierten Charakter und der Wert sollte durch die Summe ersetzt werden, wobei er ähnlich berechnet wird, jedoch die Strahlung. Übergangswahrscheinlichkeiten müssen durch Kollisionswahrscheinlichkeiten ersetzt werden.

Übergänge in Quantensystemen unterliegen bestimmten Auswahlregeln, d. h. Regeln, die festlegen, wie sich Quantenzahlen, die den Zustand des Systems charakterisieren (MCD, Parität usw.), während eines Übergangs ändern können. Am einfachsten sind die Auswahlregeln für Strahlung formuliert. Übergänge. In diesem Fall werden sie durch die Eigenschaften des Anfangs- und Endzustands sowie die Quanteneigenschaften des emittierten oder absorbierten Photons, insbesondere dessen MCD und Parität, bestimmt. Die wahrscheinlichsten sind die sogenannten. elektrische Dipolübergänge. Diese Übergänge werden zwischen Ebenen entgegengesetzter Parität durchgeführt, deren vollständige MCDs sich um einen Betrag unterscheiden (der Übergang ist unmöglich). Im Rahmen der etablierten Terminologie werden diese Übergänge als bezeichnet. erlaubt. Alle anderen Arten von Übergängen (magnetischer Dipol, elektrischer Quadrupol usw.) werden aufgerufen. verboten. Die Bedeutung dieses Begriffs besteht nur darin, dass ihre Wahrscheinlichkeiten viel geringer sind als die Wahrscheinlichkeiten elektrischer Dipolübergänge. Das sind sie jedoch nicht absolut verboten.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONIERTER ELEKTRONISCHER SYSTEME Das Prinzip der dimensionalen Quantisierung Der gesamte Phänomenkomplex, der üblicherweise unter den Worten „elektronische Eigenschaften niedrigdimensionaler elektronischer Systeme“ verstanden wird, basiert auf einer grundlegenden physikalischen Tatsache: einer Änderung des Energiespektrums von Elektronen und Löcher in Strukturen mit sehr kleinen Größen. Lassen Sie uns die Grundidee der Größenquantisierung am Beispiel von Elektronen demonstrieren, die sich in einem sehr dünnen Metall- oder Halbleiterfilm der Dicke a befinden.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN ELEKTRONISCHER SYSTEME NIEDRIGER DIMENSION Das Prinzip der Dimensionsquantisierung Elektronen im Film befinden sich in einem Potentialtopf mit einer Tiefe gleich der Austrittsarbeit. Die Tiefe des Potentialtopfs kann als unendlich groß angesehen werden, da die Austrittsarbeit die thermische Energie der Träger um mehrere Größenordnungen übersteigt. Typische Austrittsarbeitswerte in den meisten Festkörpern sind W = 4 -5 Oe. B, mehrere Größenordnungen höher als die charakteristische thermische Energie von Trägern, mit einer Größenordnung von k. T gleich bei Raumtemperatur 0,026 e. B. Nach den Gesetzen der Quantenmechanik ist die Energie der Elektronen in einem solchen Brunnen quantisiert, das heißt, sie kann nur einige diskrete Werte En annehmen, wobei n ganzzahlige Werte 1, 2, 3, … annehmen kann. . Diese diskreten Energiewerte werden Größenquantisierungsniveaus genannt.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN ELEKTRONISCHER SYSTEME NIEDRIGER DIMENSION Das Prinzip der Dimensionsquantisierung Für ein freies Teilchen mit einer effektiven Masse m*, dessen Bewegung in einem Kristall in Richtung der z-Achse durch undurchdringliche Barrieren (d. h. Barrieren mit unendlichem Potential) begrenzt ist Energie) erhöht sich die Energie des Grundzustands gegenüber dem Zustand ohne Begrenzung um den Betrag. Diese Energiezunahme wird als Größenquantisierungsenergie des Teilchens bezeichnet. Die Quantisierungsenergie ist eine Folge des Unschärfeprinzips in der Quantenmechanik. Wenn ein Teilchen im Raum entlang der z-Achse innerhalb einer Entfernung a begrenzt ist, erhöht sich die Unsicherheit der z-Komponente seines Impulses um einen Betrag in der Größenordnung von ħ/a. Dementsprechend erhöht sich die kinetische Energie des Teilchens um den Betrag E 1. Daher wird der betrachtete Effekt oft als Quantengrößeneffekt bezeichnet.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN ELEKTRONISCHER SYSTEME NIEDRIGER DIMENSION Das Prinzip der dimensionalen Quantisierung Die Schlussfolgerung über die Quantisierung der Energie der elektronischen Bewegung gilt nur für die Bewegung über den Potentialtopf (entlang der z-Achse). Das Wannenpotential hat keinen Einfluss auf die Bewegung in der xy-Ebene (parallel zu den Filmgrenzen). In dieser Ebene bewegen sich Träger als freie Träger und zeichnen sich wie in einer massiven Probe durch ein kontinuierliches Energiespektrum mit quadratischem Impuls und effektiver Masse aus. Die Gesamtenergie der Ladungsträger in einem quantengroßen Film weist ein gemischtes diskretes kontinuierliches Spektrum auf

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN ELEKTRONISCHER SYSTEME NIEDRIGER DIMENSION Das Prinzip der Größenquantisierung Neben der Erhöhung der Mindestenergie eines Teilchens führt der Quantengrößeneffekt auch zur Quantisierung der Energien seiner angeregten Zustände. Energiespektrum eines quantengroßen Films – Impuls der Ladungsträger in der Filmebene

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN ELEKTRONISCHER SYSTEME NIEDRIGER DIMENSION Das Prinzip der Größenquantisierung Angenommen, die Elektronen im System haben Energien kleiner als E 2 und gehören daher zur niedrigeren Ebene der Größenquantisierung. Dann kann kein elastischer Prozess (z. B. Streuung an Verunreinigungen oder akustischen Phononen) sowie die Streuung von Elektronen aneinander die Quantenzahl n verändern und das Elektron auf ein höheres Niveau übertragen, da dies zusätzliche Energie erfordern würde. Dies bedeutet, dass Elektronen bei der elastischen Streuung ihren Impuls nur in der Filmebene ändern können, sich also wie rein zweidimensionale Teilchen verhalten. Daher werden quantengroße Strukturen, in denen nur ein Quantenniveau gefüllt ist, oft als zweidimensionale elektronische Strukturen bezeichnet.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Das Prinzip der dimensionalen Quantisierung Es gibt andere mögliche Quantenstrukturen, bei denen die Bewegung von Trägern nicht in einer, sondern in zwei Richtungen begrenzt ist, wie bei einem mikroskopischen Draht oder Faden (Quantenfäden oder -drähte). In diesem Fall können sich die Träger nur in einer Richtung frei bewegen, entlang des Fadens (nennen wir es die x-Achse). Im Querschnitt (yz-Ebene) wird die Energie quantisiert und nimmt diskrete Werte Emn an ​​(wie jede zweidimensionale Bewegung wird sie durch zwei Quantenzahlen m und n beschrieben). Das gesamte Spektrum ist ebenfalls diskret kontinuierlich, jedoch mit nur einem kontinuierlichen Freiheitsgrad:

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN ELEKTRONISCHER SYSTEME NIEDRIGER DIMENSION Das Prinzip der dimensionalen Quantisierung Es ist auch möglich, Quantenstrukturen zu erzeugen, die künstlichen Atomen ähneln, bei denen die Bewegung von Trägern in alle drei Richtungen begrenzt ist (Quantenpunkte). Bei Quantenpunkten enthält das Energiespektrum keinen kontinuierlichen Anteil mehr, das heißt, es besteht nicht aus Teilbändern, sondern ist rein diskret. Wie im Atom wird es durch drei diskrete Quantenzahlen beschrieben (den Spin nicht mitgezählt) und kann als E = Elmn geschrieben werden, und wie im Atom können die Energieniveaus entartet sein und nur von einer oder zwei Zahlen abhängen. Ein gemeinsames Merkmal niedrigdimensionaler Strukturen ist die Tatsache, dass sich ihr Energiespektrum merklich ändert, wenn die Bewegung der Ladungsträger zumindest entlang einer Richtung auf einen sehr kleinen Bereich beschränkt wird, dessen Größe mit der De-Broglie-Wellenlänge der Ladungsträger vergleichbar ist teilweise oder vollständig diskret.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN ELEKTRONISCHER SYSTEME NIEDRIGER DIMENSION Definitionen Quantenpunkte sind Strukturen, deren Abmessungen in allen drei Richtungen mehrere interatomare Abstände betragen (nulldimensionale Strukturen). Quantendrähte (Fäden) - Quantendrähte - Strukturen, deren Abmessungen in zwei Richtungen mehreren interatomaren Abständen entsprechen, und in der dritten - einem makroskopischen Wert (eindimensionale Strukturen). Quantentöpfe sind Strukturen, deren Größe in einer Richtung mehrere interatomare Abstände beträgt (zweidimensionale Strukturen).

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Minimale und maximale Größen Die untere Grenze der Größenquantisierung wird durch die kritische Größe Dmin bestimmt, bei der mindestens eine elektronische Ebene in der quantendimensionalen Struktur existiert. Dmin hängt von der Leitungsbandlücke DEc im entsprechenden Heteroübergang ab, der zum Erhalten von Quantentopfstrukturen verwendet wird. In einem Quantentopf existiert mindestens ein Elektronenniveau, wenn DEc den Wert von h – dem Planckschen Wirkungsquantum – überschreitet, me* ist die effektive Masse des Elektrons, DE 1 QW ist das erste Niveau in einem rechteckigen Quantentopf mit unendlichen Wänden.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN VON ELEKTRONISCHEN SYSTEMEN MIT NIEDRIGEN DIMENSIONEN Minimale und maximale Abmessungen Wenn der Abstand zwischen den Energieniveaus mit der thermischen Energie k vergleichbar wird. BT, dann nimmt die Bevölkerung hoher Ebenen zu. Für einen Quantenpunkt wird die Bedingung, unter der die Besetzung höher liegender Niveaus vernachlässigt werden kann, als E 1 QD, E 2 QD geschrieben – die Energien der ersten bzw. zweiten Quantisierungsniveaus. Dies bedeutet, dass die Vorteile der Größenquantisierung vollständig genutzt werden können, wenn diese Bedingung Obergrenzen für die Größenquantisierung festlegt. Für Ga. As-Alx. Ga 1 -x. Da dieser Wert 12 nm beträgt.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Ein wichtiges Merkmal jedes elektronischen Systems ist neben seinem Energiespektrum die Zustandsdichte g(E) (die Anzahl der Zustände pro Einheitsenergieintervall E). ). Für dreidimensionale Kristalle wird die Zustandsdichte mithilfe zyklischer Born-Karman-Randbedingungen bestimmt, woraus folgt, dass sich die Komponenten des Elektronenwellenvektors nicht kontinuierlich ändern, sondern eine Reihe diskreter Werte annehmen, hier ni = 0 , ± 1, ± 2, ± 3 und sind die Abmessungen des Kristalls (in Form eines Würfels mit der Seite L). Das Volumen des k-Raums pro Quantenzustand ist gleich (2)3/V, wobei V = L 3 das Volumen des Kristalls ist.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Somit ist die Anzahl der elektronischen Zustände pro Volumenelement dk = dkxdkydkz, berechnet pro Volumeneinheit, gleich, hier berücksichtigt der Faktor 2 zwei mögliche Spinorientierungen. Die Anzahl der Zustände pro Volumeneinheit im reziproken Raum, d. h. die Zustandsdichte, hängt nicht vom Wellenvektor ab. Mit anderen Worten: Im reziproken Raum sind die zulässigen Zustände mit einer konstanten Dichte verteilt.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Im Allgemeinen ist es praktisch unmöglich, die Funktion der Zustandsdichte in Bezug auf die Energie zu berechnen, da isoenergetische Oberflächen eine ziemlich komplexe Form haben können. Im einfachsten Fall eines isotropen parabolischen Dispersionsgesetzes, das für die Kanten von Energiebändern gilt, kann man die Anzahl der Quantenzustände pro Volumen einer sphärischen Schicht ermitteln, die zwischen zwei nahe beieinander liegenden isoenergetischen Oberflächen eingeschlossen ist, die den Energien E und E+d entsprechen. E.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Volumen einer sphärischen Schicht im k-Raum. dk – Schichtdicke. Dieses Volumen wird d ausmachen. N Zustände Unter Berücksichtigung der Verbindung zwischen E und k gemäß dem Parabelgesetz erhalten wir: Daher ist die Energiedichte der Zustände gleich m* – der effektiven Masse des Elektrons

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in Strukturen reduzierter Dimensionalität Somit nimmt in dreidimensionalen Kristallen mit einem parabolischen Energiespektrum mit zunehmender Energie die Dichte der zulässigen Energieniveaus (Zustandsdichte) proportional zu die Dichte der Niveaus im Leitungsband und im Valenzband. Die Fläche der schraffierten Bereiche ist proportional zur Anzahl der Niveaus im Energieintervall d. E

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Berechnen wir die Zustandsdichte für ein zweidimensionales System. Die Gesamtträgerenergie für ein isotropes parabolisches Dispersionsgesetz in einem quantengroßen Film hat, wie oben gezeigt, ein gemischtes diskret kontinuierliches Spektrum. In einem zweidimensionalen System werden die Zustände eines Leitungselektrons durch drei Zahlen (n, kx) bestimmt , ky). Das Energiespektrum ist in separate zweidimensionale En-Unterzonen unterteilt, die festen Werten von n entsprechen.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Konstantenergiekurven sind Kreise im reziproken Raum. Jede diskrete Quantenzahl n entspricht dem Absolutwert der z-Komponente des Wellenvektors. Daher wird das Volumen im reziproken Raum, das im Fall eines zweidimensionalen Systems durch eine geschlossene Oberfläche einer gegebenen Energie E begrenzt wird, unterteilt Anzahl der Abschnitte.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Bestimmen wir die Abhängigkeit der Zustandsdichte von der Energie für ein zweidimensionales System. Dazu ermitteln wir für ein gegebenes n die Fläche S des Rings, der von zwei isoenergetischen Flächen begrenzt wird, die den Energien E und E+d entsprechen. E: Hier ist die Größe des zweidimensionalen Wellenvektors, der dem gegebenen n und E entspricht; dkr – Ringbreite. Da ein Zustand in der Ebene (kxky) der Fläche entspricht, wobei L 2 die Fläche eines zweidimensionalen Films der Dicke a ist, beträgt die Anzahl der elektronischen Zustände im Ring, berechnet pro Volumeneinheit des Kristalls gleich, unter Berücksichtigung des Elektronenspins

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Denn hier entspricht die Energie dem Boden des n-ten Teilbandes. Somit ist die Zustandsdichte in einem zweidimensionalen Film, wobei Q(Y) die Heaviside-Einheitsfunktion ist, Q(Y) =1 für Y≥ 0 und Q(Y) =0 für Y

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Die Zustandsdichte in einem zweidimensionalen Film kann auch als ganzzahliger Teil dargestellt werden, der der Anzahl der Teilbänder entspricht, deren Boden unterhalb der Energie E liegt. Somit Für zweidimensionale Filme mit einem parabolischen Dispersionsgesetz ist die Zustandsdichte in jeder Subzone konstant und hängt nicht von der Energie ab. Jedes Teilband trägt gleichermaßen zur Gesamtzustandsdichte bei. Bei einer festen Filmdicke ändert sich die Zustandsdichte abrupt, wenn sie sich nicht um eins ändert.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Abhängigkeit der Zustandsdichte eines zweidimensionalen Films von Energie (a) und Dicke a (b).

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Bei einem beliebigen Dispersionsgesetz oder einer anderen Art von Potentialtopf kann die Abhängigkeit der Zustandsdichte von Energie und Filmdicke von den oben angegebenen abweichen. aber das Hauptmerkmal – das nichtmonotone Verhalten – bleibt bestehen.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Berechnen wir die Zustandsdichte für eine eindimensionale Struktur – einen Quantenfaden. Das isotrope parabolische Dispersionsgesetz kann in diesem Fall in der Form geschrieben werden, dass x entlang des Quantenfadens gerichtet ist, d die Dicke des Quantenfadens entlang der y- und z-Achse ist und kx der eindimensionale Wellenvektor ist. m, n sind positive ganze Zahlen, die die Wo-Achse der Quantenteilbänder charakterisieren. Das Energiespektrum eines Quantenfadens wird somit in separate überlappende eindimensionale Teilbänder (Parabeln) unterteilt. Die Bewegung der Elektronen entlang der x-Achse erweist sich als frei (aber mit effektiver Masse), während die Bewegung entlang der beiden anderen Achsen begrenzt ist.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Elektronenenergiespektrum für einen Quantenfaden

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Zustandsdichte in einem Quantenfaden im Verhältnis zur Energie Anzahl der Quantenzustände pro Intervall dkx, berechnet pro Volumeneinheit, wobei die Energie ist, die dem unteren Teil des Unterbands entspricht gegeben n und m.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Zustandsdichte in einem Quantenfaden als Funktion der Energie Daher Daher Daher Bei der Ableitung dieser Formel werden die Spin-Entartung von Zuständen und die Tatsache berücksichtigt, dass ein Intervall d ist berücksichtigt. E entspricht zwei Intervallen ±dkx jedes Teilbands, für das (E-En, m) > 0. Die Energie E wird vom unteren Ende des Leitungsbands der massiven Probe aus gemessen.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Zustandsdichte in einem Quantenfaden von der Energie Abhängigkeit der Zustandsdichte eines Quantenfadens von der Energie. Die Zahlen neben den Kurven zeigen die Quantenzahlen n und m. Die Entartungsfaktoren der Teilbandniveaus sind in Klammern angegeben.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONIERTER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Zustandsdichte in einem Quantenfaden als Funktion der Energie Innerhalb eines bestimmten Teilbandes nimmt die Zustandsdichte mit zunehmender Energie ab. Die Gesamtzustandsdichte ist eine Überlagerung identischer abnehmender Funktionen (die einzelnen Teilbändern entsprechen), die entlang der Energieachse verschoben sind. Bei E = E m, n ist die Zustandsdichte gleich unendlich. Teilbänder mit Quantenzahlen nm erweisen sich als doppelt entartet (nur für Ly = Lz d).

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Zustandsdichte in einem Quantenpunkt als Funktion der Energie Mit der dreidimensionalen Einschränkung der Teilchenbewegung kommen wir zum Problem, erlaubte Zustände in einem Quant zu finden Punkt- oder nulldimensionales System. Unter Verwendung der effektiven Massennäherung und des parabolischen Dispersionsgesetzes hat das Spektrum der zulässigen Zustände eines Quantenpunkts mit den gleichen Abmessungen d entlang aller drei Koordinatenachsen für den Rand des isotropen Energiebands die Form n, m, l = 1 , 2, 3 ... - positive Zahlen zur Nummerierung der Teilbänder. Das Energiespektrum eines Quantenpunkts ist eine Menge diskreter erlaubter Zustände, die festen n, m, l entsprechen.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Zustandsdichte in einem Quantenpunkt als Funktion der Energie Anzahl der Zustände in Teilbändern entsprechend einem Satz n, m, l, berechnet pro Volumeneinheit, Gesamt Anzahl der Zustände mit gleicher Energie, berechnet pro Volumeneinheit. Die Entartung der Niveaus wird hauptsächlich durch die Symmetrie des Problems bestimmt. g – Niveau-Entartungsfaktor

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER ELEKTRONISCHER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Zustandsdichte in einem Quantenpunkt als Funktion der Energie Die Entartung von Niveaus wird hauptsächlich durch die Symmetrie des Problems bestimmt. Für den betrachteten Fall eines Quantenpunkts mit den gleichen Abmessungen in allen drei Dimensionen werden die Niveaus beispielsweise dreimal entartet, wenn zwei Quantenzahlen einander gleich und ungleich der dritten sind, und sechsmal entartet, wenn alle Quantenzahlen gleich sind Zahlen sind einander nicht gleich. Eine bestimmte Art von Potenzial kann auch zu einer zusätzlichen, sogenannten zufälligen Entartung führen. Beispielsweise gilt für den betrachteten Quantenpunkt eine dreifache Entartung der Niveaus E(5, 1, 1); E(1, 5, 1); E(1, 1, 5), verbunden mit der Symmetrie des Problems, ist mit der zufälligen Entartung E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 sowohl im ersten als auch im zweiten Fall) verbunden mit dem Formbegrenzungspotential (unendlicher rechteckiger Potentialtopf).

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER SYSTEME Verteilung von Quantenzuständen in niedrigdimensionalen Strukturen Zustandsdichte in einem Quantenpunkt als Funktion der Energie Verteilung der Anzahl zulässiger Zustände N im Leitungsband für einen Quantenpunkt mit insgesamt gleichen Abmessungen drei Dimensionen. Die Zahlen stellen Quantenzahlen dar; Die Level-Entartungsfaktoren sind in Klammern angegeben.

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER SYSTEME Statistik von Ladungsträgern in niedrigdimensionalen Strukturen Dreidimensionale elektronische Systeme Die Eigenschaften von Gleichgewichtselektronen in Halbleitern hängen von der Fermi-Verteilungsfunktion ab, die die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass sich ein Elektron in einem Quantenzustand mit der Energie E EF befindet – Fermi-Niveau oder elektrochemisches Potential, T – absolute Temperatur, k – Boltzmann-Konstante. Die Berechnung verschiedener statistischer Größen wird erheblich vereinfacht, wenn das Fermi-Niveau in der Energielücke liegt und deutlich vom unteren Ende des Leitungsbandes Ec (Ec – EF) > k entfernt ist. T. Dann kann in der Fermi-Dirac-Verteilung die Einheit im Nenner vernachlässigt werden und es geht zur Maxwell-Boltzmann-Verteilung der klassischen Statistik über. Dies ist der Fall bei einem nicht entarteten Halbleiter

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER SYSTEME Statistik von Ladungsträgern in niedrigdimensionalen Strukturen Dreidimensionale elektronische Systeme Zim Leitungsband g(E), Fermi-Dirac-Funktion für drei Temperaturen und Maxwell-Boltzmann-Funktion für dreidimensional Elektronengas. Bei T = 0 hat die Fermi-Dirac-Funktion die Form einer unstetigen Funktion. Für E EF ist die Funktion Null und die entsprechenden Quantenzustände sind völlig frei. Bei T > 0 die Fermi-Funktion. Dirac verschmiert in der Nähe der Fermi-Energie, wo sie schnell von 1 auf 0 wechselt und diese Verschmierung proportional zu k ist. T, d. h. je höher die Temperatur, desto größer. (Abb. 1. 4. Gurtov)

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER SYSTEME Statistik von Ladungsträgern in niedrigdimensionalen Strukturen Dreidimensionale elektronische Systeme Die Elektronenkonzentration im Leitungsband wird durch Summieren über alle Zustände ermittelt. Beachten Sie, dass wir als Obergrenze in diesem Integral das nehmen müssten Energie der Oberkante des Leitungsbandes. Da aber die Fermi-Dirac-Funktion für Energien E > EF mit zunehmender Energie exponentiell schnell abnimmt, ändert das Ersetzen der Obergrenze durch Unendlich nichts am Wert des Integrals. Wenn wir die Werte der Funktionen in das Integral einsetzen, erhalten wir eine effektive Zustandsdichte im Leitungsband

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER SYSTEME Statistik von Ladungsträgern in niedrigdimensionalen Strukturen Zweidimensionale elektronische Systeme Lassen Sie uns die Ladungsträgerkonzentration in einem zweidimensionalen Elektronengas bestimmen. Da wir die Zustandsdichte eines zweidimensionalen Elektronengases erhalten, wird auch hier die Obergrenze der Integration gleich unendlich angenommen, wobei die starke Abhängigkeit der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion von der Energie berücksichtigt wird. Wo integrieren

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER SYSTEME Statistik von Ladungsträgern in niedrigdimensionalen Strukturen Zweidimensionale elektronische Systeme Für ein nicht entartetes Elektronengas, wenn Im Fall ultradünner Filme, wenn die Füllung nur des unteren Teilbandes berücksichtigt werden kann starke Entartung des Elektronengases, wenn n 0 ein ganzzahliger Teil ist

ELEKTRONISCHE EIGENSCHAFTEN NIEDRIGDIMENSIONALER SYSTEME Statistik von Ladungsträgern in niedrigdimensionalen Strukturen Es ist zu beachten, dass in Systemen mit Quantengröße aufgrund der geringeren Zustandsdichte der Zustand der vollständigen Entartung keine extrem hohen Konzentrationen oder niedrigen Temperaturen erfordert und dies auch der Fall ist ziemlich oft in Experimenten realisiert. Zum Beispiel in n-Ga. Da bei N 2 D = 1012 cm-2 die Entartung bereits bei Raumtemperatur stattfindet. In Quantenthreads wird das Integral für die Berechnung im Gegensatz zu den zweidimensionalen und dreidimensionalen Fällen nicht analytisch bei willkürlicher Entartung berechnet, und einfache Formeln können nur in Grenzfällen geschrieben werden. In einem nicht entarteten eindimensionalen Elektronengas im Fall ultradünner Filamente ist es möglich, die Füllung nur des niedrigsten Niveaus mit der Energie E 11 der Elektronenkonzentration zu berücksichtigen, bei der es sich um die eindimensionale effektive Zustandsdichte handelt

Quantensysteme identischer Teilchen

Quantenmerkmale des Verhaltens von Mikropartikeln, die sie von den Eigenschaften makroskopischer Objekte unterscheiden, treten nicht nur bei der Betrachtung der Bewegung eines Partikels auf, sondern auch bei der Analyse des Verhaltens Systeme Mikropartikel . Am deutlichsten wird dies am Beispiel physikalischer Systeme, die aus identischen Teilchen bestehen – Systeme aus Elektronen, Protonen, Neutronen usw.

Für ein System von N Teilchen mit Massen T 01 , T 02 , … T 0 ich , … M 0 N, mit Koordinaten ( X ich , j ich , z ich) kann die Wellenfunktion dargestellt werden als

Ψ (X 1 , j 1 , z 1 , … X ich , j ich , z ich , … X N , j N , z N , T) .

Für elementares Volumen

dV ich = dx ich . dy ich . dz ich

Größe

w =

bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen im Volumen befindet dV 1, der andere im Volumen dV 2 usw.

Wenn man also die Wellenfunktion eines Teilchensystems kennt, kann man die Wahrscheinlichkeit jeder räumlichen Konfiguration eines Mikroteilchensystems sowie die Wahrscheinlichkeit jeder mechanischen Größe sowohl für das System als Ganzes als auch für ein einzelnes Teilchen ermitteln. und berechnen Sie auch den Durchschnittswert der mechanischen Größe.

Die Wellenfunktion eines Teilchensystems ergibt sich aus der Schrödinger-Gleichung

, Wo

Hamilton-Funktionsoperator für ein Teilchensystem

+ .

Leistungsfunktion für ich- oh Teilchen in einem externen Feld, und

Energie der Interaktion ich- Oh und J- oh Teilchen.

Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen im Quantum

Mechanik

Teilchen mit gleicher Masse, gleicher elektrischer Ladung, gleichem Spin usw. wird sich unter den gleichen Bedingungen genauso verhalten.

Der Hamilton-Operator eines solchen Systems von Teilchen mit identischen Massen M oi und identische Potenzfunktionen U Ich kann in der oben dargestellten Form geschrieben werden.

Wenn Sie das System ändern ich- Juhuu und J- y Teilchen, dann sollte sich der Zustand des Systems aufgrund der Identität identischer Teilchen nicht ändern. Die Gesamtenergie des Systems sowie alle seinen Zustand charakterisierenden physikalischen Größen bleiben unverändert.

Das Prinzip der Identität identischer Teilchen: In einem System identischer Teilchen werden nur solche Zustände realisiert, die sich beim Austausch der Teilchen nicht ändern.

Symmetrische und antisymmetrische Zustände

Lassen Sie uns den Operator der Permutation von Teilchen im betrachteten System einführen - . Der Effekt dieses Operators besteht darin, dass er vertauscht ich- Wow UndJ- y Teilchen des Systems.

Das Identitätsprinzip identischer Teilchen in der Quantenmechanik führt dazu, dass alle möglichen Zustände eines aus identischen Teilchen gebildeten Systems in zwei Typen unterteilt werden:

symmetrisch, wofür

antisymmetrisch, wofür

(X 1 , j 1 ,z 1 … X N , j N , z N , T) = - Ψ A ( X 1 , j 1 ,z 1 … X N , j N , z N , T).

Wenn die Wellenfunktion, die den Zustand des Systems beschreibt, zu jedem Zeitpunkt symmetrisch (antisymmetrisch) ist, dann handelt es sich um diese Art von Symmetrie bleibt zu jeder anderen Zeit gleich.

Bosonen und Fermionen

Man nennt Teilchen, deren Zustände durch symmetrische Wellenfunktionen beschrieben werden Bosonen Bose-Einstein-Statistik . Zu den Bosonen gehören Photonen, π- Und Zu- Mesonen, Phononen in Festkörpern, Exzitonen in Halbleitern und Dielektrika. Alle Bosonen habenNull oder ganzzahliger Spin .

Man nennt Teilchen, deren Zustände durch antisymmetrische Wellenfunktionen beschrieben werden Fermionen . Systeme, die aus solchen Teilchen bestehen, gehorchen Fermi-Dirac-Statistik . Zu den Fermionen gehören Elektronen, Protonen, Neutronen, Neutrinos und alle Elementarteilchen und Antiteilchen mitHalb-Ganz-Spin.

Der Zusammenhang zwischen dem Spin eines Teilchens und der Art der Statistik bleibt auch bei komplexen, aus Elementarteilchen bestehenden Teilchen bestehen. Wenn der Gesamtspin eines komplexen Teilchens gleich einer ganzen Zahl oder Null ist, dann ist dieses Teilchen ein Boson, und wenn er gleich einer halben ganzen Zahl ist, dann ist das Teilchen ein Fermion.

Beispiel: α-Teilchen() besteht aus zwei Protonen und zwei Neutronen, d.h. vier Fermionen mit Spins +. Daher beträgt der Spin des Kerns 2 und dieser Kern ist ein Boson.

Der Kern eines leichten Isotops besteht aus zwei Protonen und einem Neutron (drei Fermionen). Der Spin dieses Kerns. Daher ist der Kern ein Fermion.

Pauli-Prinzip (Pauli-Ausschluss)

Im System der IdentischenFermionen Es kann nicht zwei Teilchen im selben Quantenzustand geben.

Für ein aus Bosonen bestehendes System stellt das Prinzip der Symmetrie der Wellenfunktionen keine Beschränkungen für die Zustände des Systems dar. Kann im selben Zustand sein beliebig viele identische Bosonen.

Periodensystem

Auf den ersten Blick scheint es, dass in einem Atom alle Elektronen die Ebene mit der geringstmöglichen Energie füllen sollten. Die Erfahrung zeigt, dass dies nicht der Fall ist.

Und zwar nach dem Pauli-Prinzip in einem Atom Es kann keine Elektronen mit den gleichen Werten aller vier Quantenzahlen geben.

Jeder Wert der Hauptquantenzahl P entspricht 2 P 2 Zustände, die sich in den Werten der Quantenzahlen voneinander unterscheiden l , M Und M S .

Ein Satz Elektronen in einem Atom mit identischen Quantenzahlwerten P bildet die sogenannte Schale. Der Zahl entsprechend P

Muscheln sind unterteilt in Unterschalen, unterschiedlich in der Quantenzahl l . Die Anzahl der Zustände in einer Unterschale beträgt 2(2 l + 1).

Verschiedene Zustände in der Unterschale unterscheiden sich in den Quantenzahlwerten T Und M S .

Hülse

Unterschale

T S

Das System besteht aus große Zahl identisch Subsysteme ist eine Synchronisierung von Strahlern möglich. QuantumÜbergänge zu einer anderen...Klasse werden nicht ausgegeben. QuantumÜbergänge bilden Tunneldurchgänge Partikel. Tunnel Quantum Mit Übergängen können Sie beschreiben... Berechnung Quantum- Chemische Parameter von PAS und Bestimmung der Struktur-Wirkungs-Beziehung am Beispiel von Sulfonamiden Abschlussarbeit >> Chemie Xn) - Wellenfunktion für Systeme aus N Partikel, was von ihrem... Platz abhängt. Tatsächlich Elektronen identisch Ihr Rücken versucht, die Ungenauigkeit der Ergebnisse zu vermeiden. Sulfonamid Quantum chemisches organisches Molekül Mehr... Allgemeine und anorganische Chemie Studienführer >> Chemie Es gibt zwei Elektronen gleichzeitig das gleiche Satz von vier Quantum Quantum Zahlen (Orbitale mit Elektronen füllen... nahe dem Energiewert E Systeme aus N Partikel. Erstmals wird der Zusammenhang zwischen E. und der Wahrscheinlichkeit eines Zustandes aufgezeigt Systeme wurde von L. Boltzmann gegründet...

Quantensystem

Zur Erklärung vieler Eigenschaften von Mikroteilchen (Photonen, Elektronen etc.) sind spezielle Gesetze und Ansätze der Quantenmechanik erforderlich. Die Quanteneigenschaften der Mikrowelt manifestieren sich durch die Eigenschaften von Makrosystemen. Mikroobjekte bilden ein bestimmtes physikalisches System, das Quanten genannt wird. Beispiele für Quantensysteme sind: Photonengas, Elektronen in Metallen. Unter den Bedingungen Quantensystem, Quantenteilchen man sollte ein materielles Objekt verstehen, das mit dem speziellen Apparat der Quantenmechanik beschrieben wird.

Die Quantenmechanik erforscht die Eigenschaften und Phänomene der Welt der Mikroteilchen, die die klassische Mechanik nicht interpretieren kann. Solche Merkmale waren beispielsweise: Welle-Teilchen-Dualität, Diskretion und die Existenz von Spins. Die Methoden der klassischen Mechanik können das Verhalten von Teilchen der Mikrowelt nicht beschreiben. Die gleichzeitigen Wellen- und Korpuskulareigenschaften eines Mikropartikels ermöglichen es nicht, den Zustand des Partikels aus klassischer Sicht zu bestimmen.

Diese Tatsache spiegelt sich in der Heisenberg-Unschärferelation ($1925) wider:

wobei $\triangle x$ der Fehler bei der Bestimmung der Koordinate ist, $\triangle p$ der Fehler bei der Bestimmung des Impulses des Mikropartikels. Diese Beziehung kann wie folgt geschrieben werden:

wobei $\triangle E$ die Unsicherheit im Energiewert ist, $\triangle t$ die Unsicherheit in der Zeit ist. Die Beziehungen (1) und (2) zeigen, dass, wenn eine der Größen in diesen Beziehungen mit hoher Genauigkeit bestimmt wird, der andere Parameter einen großen Bestimmungsfehler aufweist. In diesen Beziehungen ist $\hbar =1.05\cdot (10)^(-34)J\cdot s$. Daher kann der Zustand eines Mikroteilchens in der Quantenmechanik nicht gleichzeitig durch Koordinaten und Impuls beschrieben werden, was in der klassischen Mechanik möglich ist. Eine ähnliche Situation gilt für die Energie zu einem bestimmten Zeitpunkt. Zustände mit einem bestimmten Energiewert können nur in stationären Fällen (also in Fällen, die zeitlich nicht genau definiert sind) erhalten werden.

Aufgrund seiner korpuskulären und gleichzeitig wellenförmigen Eigenschaften hat ein Mikroteilchen keine exakte Koordinate, sondern ist in einem bestimmten Raumbereich „verschmiert“. Befinden sich zwei oder mehr Teilchen in einem bestimmten Raumbereich, ist es nicht möglich, sie voneinander zu unterscheiden, da es unmöglich ist, die Bewegung jedes einzelnen zu verfolgen. Daraus folgt, dass Teilchen in der Quantenmechanik identisch sind.

Einige Parameter im Zusammenhang mit Mikropartikeln nehmen diskrete Werte an, die mit der klassischen Mechanik nicht erklärt werden können. Gemäß den Bestimmungen und Gesetzen der Quantenmechanik kann neben der Energie des Systems auch der Drehimpuls des Systems diskret sein:

wobei $l=0,1,2,\dots $

spin kann folgende Werte annehmen:

wobei $s=0,\ \frac(1)(2),\ 1,\ \frac(3)(2),\dots $

Die Projektion des magnetischen Moments auf die Richtung des äußeren Feldes nimmt folgende Werte an:

wobei $m_z$ eine magnetische Quantenzahl ist, die die folgenden Werte annimmt: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$

$(\mu )_B$ – Bohr-Magneton.

Um die Quantenmerkmale physikalischer Größen mathematisch zu beschreiben, wird jeder Größe ein Operator zugeordnet. So werden in der Quantenmechanik physikalische Größen durch Operatoren dargestellt und ihre Werte werden durch den Durchschnitt der Eigenwerte der Operatoren bestimmt.

Zustand des Quantensystems

Jeder Zustand in einem Quantensystem wird durch eine Wellenfunktion beschrieben. Allerdings sagt diese Funktion die Parameter des zukünftigen Zustands des Systems mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit und nicht zuverlässig voraus, was einen grundlegenden Unterschied zur klassischen Mechanik darstellt. Somit bestimmt die Wellenfunktion für die Parameter des Systems die Wahrscheinlichkeitswerte. Diese Unsicherheit und Ungenauigkeit der Vorhersagen sorgte vor allem unter Wissenschaftlern für Kontroversen.

Gemessene Parameter eines Quantensystems

Die globalsten Unterschiede zwischen der klassischen und der Quantenmechanik liegen in der Rolle der Messung der Parameter des untersuchten Quantensystems. Das Problem bei Messungen in der Quantenmechanik besteht darin, dass der Forscher beim Versuch, die Parameter eines Mikrosystems zu messen, mit einem Makrogerät auf das System einwirkt und dadurch den Zustand des Quantensystems selbst verändert. Wenn wir also versuchen, einen Parameter eines Mikroobjekts (Koordinate, Impuls, Energie) genau zu messen, werden wir mit der Tatsache konfrontiert, dass der Messprozess selbst die Parameter, die wir messen möchten, erheblich verändert. Es ist unmöglich, im Mikrokosmos genaue Messungen durchzuführen. Nach dem Unschärfeprinzip wird es immer Fehler geben.

In der Quantenmechanik werden dynamische Variablen durch Operatoren dargestellt, daher macht es keinen Sinn, über numerische Werte zu sprechen, da der Operator die Wirkung auf den Zustandsvektor bestimmt. Das Ergebnis wird auch als Hilbert-Raumvektor und nicht als Zahl dargestellt.

Anmerkung 1

Nur wenn der Zustandsvektor ein Eigenvektor des Operators einer dynamischen Variablen ist, kann seine Wirkung auf den Vektor auf eine Multiplikation mit einer Zahl reduziert werden, ohne den Zustand zu ändern. In diesem Fall kann der Operator einer dynamischen Variablen einer einzelnen Zahl zugeordnet werden, die gleich dem Eigenwert des Operators ist. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass die dynamische Variable einen bestimmten numerischen Wert hat. Dann hat die dynamische Variable einen von der Messung unabhängigen quantitativen Wert.

Für den Fall, dass der Zustandsvektor kein Eigenvektor des Operators einer dynamischen Variablen ist, wird das Messergebnis nicht eindeutig und sie sagen nur über die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten bei der Messung erhaltenen Wertes aus.

Das empirisch überprüfbare Ergebnis der Theorie ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung mit einer großen Anzahl von Messungen für den gleichen Zustandsvektor eine dynamische Größe zu erhalten.

Das Hauptmerkmal eines Quantensystems ist die Wellenfunktion, die von M. Born eingeführt wurde. Die physikalische Bedeutung wird meist nicht anhand der Wellenfunktion selbst bestimmt, sondern anhand des Quadrats ihres Moduls, das die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass sich ein Quantensystem zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Punkt im Raum befindet. Die Grundlage der Mikrowelt ist die Wahrscheinlichkeit. Zur Beschreibung eines Quantensystems sind neben der Kenntnis der Wellenfunktion auch Informationen über weitere Parameter erforderlich, beispielsweise über die Parameter des Feldes, mit dem das System interagiert.

Die im Mikrokosmos ablaufenden Prozesse liegen außerhalb der Grenzen der menschlichen Sinneswahrnehmung. Folglich sind die Konzepte und Phänomene, die die Quantenmechanik verwendet, nicht klar.

Beispiel 1

Übung: Was ist der minimale Fehler, mit dem die Geschwindigkeit eines Elektrons und eines Protons bestimmt werden kann, wenn die Koordinaten der Teilchen mit einer Unsicherheit von $1$ µm bekannt sind?

Lösung:

Als Grundlage zur Lösung des Problems verwenden wir die Heisenberg-Unschärferelation in der Form:

\[\triangle p_x\triangle x\ge \hbar \left(1.1\right),\]

Dabei ist $\triangle x$ die Unsicherheit der Koordinate, $\triangle p_x$ die Unsicherheit der Projektion des Teilchenimpulses auf die X-Achse. Die Größe der Impulsunsicherheit kann ausgedrückt werden als:

\[\triangle p_x=m\triangle v_x\left(1.2\right).\]

Wenn wir die rechte Seite des Ausdrucks (1.2) anstelle der Unsicherheit der Impulsprojektion im Ausdruck (1.1) einsetzen, erhalten wir:

Aus Formel (1.3) drücken wir die gewünschte Geschwindigkeitsunsicherheit aus:

\[\triangle v_x\ge \frac(\hbar )(m\triangle x)\left(1.4\right).\]

Aus der Ungleichung (1.4) folgt, dass der minimale Fehler bei der Bestimmung der Teilchengeschwindigkeit gleich ist:

\[\triangle v_x=\frac(\hbar )(m\triangle x).\]

Da wir die Masse des Elektrons $m_e=9.1\cdot (10)^(-31)kg,$ kennen, führen wir die Berechnungen durch:

\[\triangle v_(ex)=\frac(1.05\cdot (10)^(-34))(9.1\cdot (10)^(-31)\cdot (10)^(-6) )=1.1\ cdot (10)^2(\frac(m)(s)).\]

Die Protonenmasse ist gleich $m_p=1,67\cdot (10)^(-27)kg$. Berechnen wir den Fehler bei der Messung der Protonengeschwindigkeit unter bestimmten Bedingungen:

\[\triangle v_(px)=\frac(1.05\cdot (10)^(-34))(1.67\cdot (10)^(-27)\cdot (10)^(-6) )=0.628\ cdot (10)^(-1)(\frac(m)(s)).\]

Antwort:$\triangle v_(ex)=1.1\cdot (10)^2\frac(m)(s),$ $\triangle v_(px)=0.628\cdot (10)^(-1)\frac( m) (s).$

Beispiel 2

Übung: Was ist der minimale Fehler bei der Messung der kinetischen Energie eines Elektrons, wenn es sich in einem Bereich mit der Größe l befindet?

Lösung:

Als Grundlage zur Lösung des Problems verwenden wir die Heisenberg-Unschärferelation in der Form:

\[\triangle p_xl\ge \hbar \to \triangle p_x\ge \frac(\hbar )(l)\left(2.1\right).\]

Aus der Ungleichung (2.1) folgt, dass der minimale Impulsfehler gleich ist:

\[\triangle p_x=\frac(\hbar )(l)\left(2.2\right).\]

Der kinetische Energiefehler kann ausgedrückt werden als:

\[\triangle E_k=\frac((\left(\triangle p_x\right))^2)(2m)=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\ rechts))^22\cdot m_e).\]

Antwort:$\triangle E_k=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\right))^22\cdot m_e).$

Im ersten und zweiten Teil des Lehrbuchs wurde angenommen, dass die Teilchen, aus denen makroskopische Systeme bestehen, den Gesetzen der klassischen Mechanik gehorchen. Es stellte sich jedoch heraus, dass wir zur Erklärung vieler Eigenschaften von Mikroobjekten anstelle der klassischen Mechanik die Quantenmechanik verwenden müssen. Die Eigenschaften von Teilchen (Elektronen, Photonen usw.) unterscheiden sich in der Quantenmechanik qualitativ von den üblichen klassischen Eigenschaften von Teilchen. Die Quanteneigenschaften von Mikroobjekten, aus denen ein bestimmtes physikalisches System besteht, manifestieren sich auch in den Eigenschaften des makroskopischen Systems.

Als solche Quantensysteme betrachten wir Elektronen in einem Metall, Photonengas usw. Im Folgenden verstehen wir unter dem Wort Quantensystem oder Teilchen ein bestimmtes materielles Objekt, das durch den Apparat der Quantenmechanik beschrieben wird.

Die Quantenmechanik beschreibt die den Teilchen der Mikrowelt innewohnenden Eigenschaften und Merkmale, die wir mit klassischen Konzepten oft nicht erklären können. Zu diesen Merkmalen zählen beispielsweise der Teilchen-Wellen-Dualismus von Mikroobjekten in der Quantenmechanik, der durch zahlreiche experimentelle Fakten entdeckt und bestätigt wurde, die Diskretion verschiedener physikalischer Parameter, „Spin“-Eigenschaften usw.

Die besonderen Eigenschaften von Mikroobjekten erlauben es nicht, ihr Verhalten mit herkömmlichen Methoden der klassischen Mechanik zu beschreiben. Zum Beispiel das Vorhandensein eines Mikropartikels, das gleichzeitig Wellen- und Korpuskulareigenschaften aufweist

erlaubt aus klassischer Sicht nicht die gleichzeitige genaue Messung aller Parameter, die den Zustand eines Teilchens bestimmen.

Diese Tatsache spiegelt sich in der sogenannten Unschärferelation wider, die 1925 von Heisenberg entdeckt wurde und darin besteht, dass Ungenauigkeiten bei der Bestimmung der Koordinate und des Impulses eines Mikroteilchens durch die Beziehung zusammenhängen:

Die Folge dieser Beziehung sind eine Reihe weiterer Beziehungen zwischen verschiedenen Parametern und insbesondere:

Wo ist die Unsicherheit im Wert der Energie des Systems und die Unsicherheit in der Zeit?

Beide oben genannten Beziehungen zeigen, dass, wenn eine der Größen mit großer Genauigkeit bestimmt wird, sich herausstellt, dass die zweite Größe mit geringer Genauigkeit bestimmt wird. Ungenauigkeiten werden hier durch das Plancksche Wirkungsquantum bestimmt, das die Genauigkeit der Messung verschiedener Größen für makroskopische Objekte praktisch nicht einschränkt. Doch für Mikropartikel mit niedrigen Energien, kleinen Größen und Impulsen reicht die Genauigkeit der gleichzeitigen Messung der genannten Parameter nicht mehr aus.

Daher kann der Zustand eines Mikroteilchens in der Quantenmechanik nicht gleichzeitig durch Koordinaten und Impulse beschrieben werden, wie dies in der klassischen Mechanik (Hamiltons kanonische Gleichungen) der Fall ist. Ebenso können wir nicht über den Wert der Teilchenenergie zu einem bestimmten Zeitpunkt sprechen. Zustände mit einer bestimmten Energie können nur in stationären Fällen erhalten werden, d. h. sie sind zeitlich nicht genau definiert.

Jedes Mikroteilchen besitzt Korpuskularwelleneigenschaften und hat keine absolut genau definierte Koordinate, sondern scheint im gesamten Raum „verschmiert“ zu sein. Wenn es in einem bestimmten Raumbereich zwei oder mehr Teilchen gibt, können wir sie nicht voneinander unterscheiden, da wir die Bewegung jedes einzelnen nicht verfolgen können. Dies impliziert die grundsätzliche Ununterscheidbarkeit oder Identität von Teilchen in der Quantenmechanik.

Darüber hinaus stellt sich heraus, dass sich die Größen, die einige Parameter von Mikropartikeln charakterisieren, nur in bestimmten Anteilen, Quanten, ändern können, daher der Name Quantenmechanik. Auch diese Diskretion vieler Parameter, die den Zustand von Mikropartikeln bestimmen, kann in der klassischen Physik nicht beschrieben werden.

Gemäß der Quantenmechanik können neben der Energie des Systems auch diskrete Werte den Drehimpuls des Systems oder den Spin, das magnetische Moment und deren Projektionen in eine beliebige ausgewählte Richtung annehmen. Somit kann das Quadrat des Drehimpulses nur die folgenden Werte annehmen:

Spin kann nur Werte annehmen

wo könnte es sein

Die Projektion des magnetischen Moments auf die Richtung des äußeren Feldes kann Werte annehmen

Wo ist das Bohr-Magneton und die magnetische Quantenzahl, wobei der Wert angenommen wird:

Um diese Merkmale physikalischer Größen mathematisch zu beschreiben, musste jede physikalische Größe einem bestimmten Operator zugeordnet werden. In der Quantenmechanik werden daher physikalische Größen durch Operatoren dargestellt und ihre Werte als Mittelwerte über die Eigenwerte der Operatoren bestimmt.

Bei der Beschreibung der Eigenschaften von Mikroobjekten war es notwendig, zusätzlich zu den Eigenschaften und Parametern, die in der klassischen Beschreibung von Mikropartikeln vorkommen, neue, reine Quantenparameter und Eigenschaften einzuführen. Dazu gehören der „Spin“ des Teilchens, der seinen eigenen Drehimpuls charakterisiert, die „Austauschwechselwirkung“, das Pauli-Prinzip usw.

Aufgrund dieser Eigenschaften lassen sich Mikropartikel nicht mit der klassischen Mechanik beschreiben. Dadurch werden Mikroobjekte durch die Quantenmechanik beschrieben, die die genannten Merkmale und Eigenschaften von Mikropartikeln berücksichtigt.