Jede partielle Ableitung (von X und von j) einer Funktion zweier Variablen ist die gewöhnliche Ableitung einer Funktion einer Variablen nach einem festen Wert der anderen Variablen:

(Wo j= const),

(Wo X= const).

Daher werden partielle Ableitungen mit berechnet Formeln und Regeln zur Berechnung von Ableitungen von Funktionen einer Variablen, während die andere Variable konstant berücksichtigt wird.

Wenn Sie keine Beispielanalyse und die dafür erforderliche Mindesttheorie, sondern lediglich eine Lösung Ihres Problems benötigen, dann gehen Sie zu Online-Rechner für partielle Ableitungen .

Wenn es schwierig ist, sich darauf zu konzentrieren, den Überblick darüber zu behalten, wo sich die Konstante in der Funktion befindet, können Sie im Lösungsentwurf des Beispiels anstelle einer Variablen einen festen Wert durch eine beliebige Zahl ersetzen – dann können Sie die partielle Ableitung schnell berechnen als die gewöhnliche Ableitung einer Funktion einer Variablen. Sie müssen nur daran denken, die Konstante (eine Variable mit einem festen Wert) an ihren Platz zurückzubringen, wenn Sie den endgültigen Entwurf fertigstellen.

Die oben beschriebene Eigenschaft partieller Ableitungen ergibt sich aus der Definition einer partiellen Ableitung, die in Prüfungsfragen vorkommen kann. Um sich mit der folgenden Definition vertraut zu machen, können Sie daher die theoretische Referenz öffnen.

Konzept der Kontinuität der Funktion z= F(X, j) an einem Punkt wird ähnlich wie dieses Konzept für eine Funktion einer Variablen definiert.

Funktion z = F(X, j) heißt stetig an einem Punkt, wenn

Differenz (2) wird als Gesamtinkrement der Funktion bezeichnet z(wird als Ergebnis der Inkremente beider Argumente erhalten).

Die Funktion sei gegeben z= F(X, j) und Punkt

Wenn sich die Funktion ändert z tritt auf, wenn sich nur eines der Argumente ändert, z. B. X, mit einem festen Wert eines anderen Arguments j, dann erhält die Funktion ein Inkrement

wird als partielles Inkrement der Funktion bezeichnet F(X, j) Von X.

Erwägen Sie eine Funktionsänderung z Je nachdem, ob wir nur eines der Argumente ändern, wechseln wir effektiv zu einer Funktion einer Variablen.

Wenn es eine endliche Grenze gibt

dann heißt sie partielle Ableitung der Funktion F(X, j) durch Argument X und wird durch eines der Symbole angezeigt

(4)

Das Teilinkrement wird auf ähnliche Weise bestimmt z Von j:

und partielle Ableitung F(X, j) Von j:

(6)

Beispiel 1.

Lösung. Finden Sie die partielle Ableitung nach der Variablen „x“:

(j Fest);

Wir finden die partielle Ableitung nach der Variablen „y“:

(X Fest).

Wie Sie sehen, spielt es keine Rolle, inwieweit die Variable fixiert ist: In diesem Fall ist es einfach eine bestimmte Zahl, die ein Faktor (wie im Fall der gewöhnlichen Ableitung) der Variablen ist, mit der wir die partielle Ableitung finden . Wenn die feste Variable nicht mit der Variablen multipliziert wird, mit der wir die partielle Ableitung finden, dann verschwindet diese einsame Konstante, egal in welchem ​​Ausmaß, wie im Fall der gewöhnlichen Ableitung.

Beispiel 2. Gegeben eine Funktion

Finden Sie partielle Ableitungen

(durch X) und (durch Y) und berechnen Sie ihre Werte an dem Punkt A (1; 2).

Lösung. Bei Fest j Die Ableitung des ersten Termes ergibt sich als Ableitung der Potenzfunktion ( Tabelle der Ableitungsfunktionen einer Variablen):

.

Bei Fest X die Ableitung des ersten Termes ergibt sich als Ableitung der Exponentialfunktion und die zweite als Ableitung einer Konstante:

Berechnen wir nun die Werte dieser partiellen Ableitungen an diesem Punkt A (1; 2):

Sie können die Lösung partieller Ableitungsprobleme unter überprüfen Online-Rechner für partielle Ableitungen .

Beispiel 3. Finden Sie partielle Ableitungen von Funktionen

Lösung. In einem Schritt finden wir

(j X, als ob das Argument des Sinus 5 wäre X: auf die gleiche Weise erscheint 5 vor dem Funktionszeichen);

(X ist fest und liegt in diesem Fall einem Multiplikator bei j).

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Die partiellen Ableitungen einer Funktion von drei oder mehr Variablen werden auf ähnliche Weise definiert.

Wenn jeder Wertesatz ( X; j; ...; T) unabhängige Variablen aus der Menge D entspricht einem bestimmten Wert u Von vielen E, Das u eine Funktion von Variablen genannt X, j, ..., T und bezeichnen u= F(X, j, ..., T).

Für Funktionen von drei oder mehr Variablen gibt es keine geometrische Interpretation.

Partielle Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen werden ebenfalls bestimmt und berechnet unter der Annahme, dass sich nur eine der unabhängigen Variablen ändert, während die anderen fest sind.

Beispiel 4. Finden Sie partielle Ableitungen von Funktionen

.

Lösung. j Und z Fest:

X Und z Fest:

X Und j Fest:

Finden Sie selbst partielle Ableitungen und schauen Sie sich dann die Lösungen an

Beispiel 5.

Beispiel 6. Finden Sie partielle Ableitungen einer Funktion.

Die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen hat dasselbe Die mechanische Bedeutung ist dieselbe wie die Ableitung einer Funktion einer Variablen ist die Änderungsrate der Funktion relativ zu einer Änderung in einem der Argumente.

Beispiel 8. Quantitativer Wert des Durchflusses P Bahnpassagiere können durch die Funktion ausgedrückt werden

Wo P- Anzahl der Passagiere, N– Anzahl der Einwohner der Korrespondenzpunkte, R– Abstand zwischen Punkten.

Partielle Ableitung einer Funktion P Von R, gleich

zeigt, dass der Rückgang des Passagierstroms umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen entsprechenden Punkten mit der gleichen Anzahl von Einwohnern in Punkten ist.

Partielle Ableitung P Von N, gleich

zeigt, dass der Anstieg des Passagierstroms proportional zur doppelten Anzahl der Bewohner von Siedlungen mit gleicher Entfernung zwischen Punkten ist.

Sie können die Lösung partieller Ableitungsprobleme unter überprüfen Online-Rechner für partielle Ableitungen .

Volles Differential

Das Produkt einer partiellen Ableitung und dem Inkrement der entsprechenden unabhängigen Variablen wird partielles Differential genannt. Partielle Differentiale werden wie folgt bezeichnet:

Die Summe der partiellen Differentiale für alle unabhängigen Variablen ergibt das Gesamtdifferential. Für eine Funktion zweier unabhängiger Variablen wird das Gesamtdifferential durch die Gleichheit ausgedrückt

(7)

Beispiel 9. Finden Sie das vollständige Differential einer Funktion

Lösung. Das Ergebnis der Verwendung von Formel (7):

Eine Funktion, die an jedem Punkt eines bestimmten Bereichs ein totales Differential aufweist, heißt in diesem Bereich differenzierbar.

Finden Sie selbst die Gesamtdifferenz und schauen Sie sich dann die Lösung an

Ebenso wie im Fall einer Funktion einer Variablen impliziert die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem bestimmten Bereich ihre Kontinuität in diesem Bereich, nicht jedoch umgekehrt.

Formulieren wir ohne Beweis eine hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit einer Funktion.

Satz. Wenn die Funktion z= F(X, j) hat stetige partielle Ableitungen

in einem bestimmten Bereich, dann ist es in diesem Bereich differenzierbar und sein Differential wird durch Formel (7) ausgedrückt.

Es kann gezeigt werden, dass, genau wie im Fall einer Funktion einer Variablen, das Differential der Funktion der lineare Hauptteil des Inkrements der Funktion ist, und dass im Fall einer Funktion mehrerer Variablen das Gesamtdifferential der lineare Hauptteil ist der Hauptteil, linear in Bezug auf die Inkremente unabhängiger Variablen, Teil des Gesamtinkrements der Funktion.

Für eine Funktion aus zwei Variablen hat das Gesamtinkrement der Funktion die Form

(8)

wobei α und β bei und verschwindend klein sind.

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Partielle Ableitungen und Funktionen F(X, j) selbst sind einige Funktionen derselben Variablen und können wiederum Ableitungen nach verschiedenen Variablen haben, die als partielle Ableitungen höherer Ordnung bezeichnet werden.

Konzept einer Funktion vieler Variablen

Es gebe n-Variablen und jedem x 1, x 2 ... x n aus einer bestimmten Menge von x sei eine Definition zugewiesen. Zahl Z, dann ist die Funktion Z = f (x 1, x 2 ... x n) vieler Variablen auf der Menge x gegeben.

X – Bereich der Funktionsdefinition

x 1, x 2 ... x n – unabhängige Variable (Argumente)

Z – Funktion Beispiel: Z=P x 2 1 *x 2 (Zylindervolumen)

Betrachten Sie Z=f(x;y) – die Funktion von 2 Variablen (x 1, x 2 ersetzt durch x,y). Die Ergebnisse werden analog auf andere Funktionen vieler Variablen übertragen. Der Bereich zur Bestimmung der Funktion von 2 Variablen ist die gesamte Schnur (OH) oder ein Teil davon. Die Anzahl der Werte der Funktion von 2 Variablen ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum.

Techniken zur Erstellung von Diagrammen: - Betrachten Sie den Querschnitt der Oberfläche in Quadraten || Koordinatenquadrate.

Beispiel: x = x 0, zn. Quadrat X || 0уz y = y 0 0хz Funktionstyp: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

Zum Beispiel: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Parabelumrandung(Mitte(0,1)

Grenzen und Stetigkeit von Funktionen zweier Variablen

Sei Z=f(x;y) gegeben, dann ist A der Grenzwert der Funktion in t.(x 0 ,y 0), falls für jede beliebig kleine Menge. Zahl E>0 ist eine positive Zahl b>0, die für alle x, y |x-x 0 | erfüllt<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y) ist stetig im t (x 0 ,y 0), wenn: - es in diesem t definiert ist. - hat ein Ende. Grenze bei x, tendierend zu x 0 und y zu y 0; - diese Grenze = Wert

Funktionen in t. (x 0 ,y 0), d.h. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

Wenn die Funktion in jedem stetig ist t. mn-va X, dann ist es in diesem Bereich stetig

Differentialfunktion, ihre geometrische Bedeutung. Anwendung des Differentials in Näherungswerten.

dy=f’(x)∆x – Differentialfunktion

dy=dx, d.h. dy=f ’(x)dx wenn y=x

Aus geologischer Sicht ist das Differential einer Funktion das Inkrement der Ordinate der Tangente, die an den Graphen der Funktion im Punkt mit der Abszisse x 0 gezogen wird

Dif-l wird zur Berechnung von ca. verwendet. Werte der Funktion gemäß der Formel: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Je näher ∆x an x ​​liegt, desto genauer ist das Ergebnis

Partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung

Ableitung erster Ordnung (die man partiell nennt)

A. Seien x, y die Inkremente der unabhängigen Variablen x und y an einem Punkt aus der Region X. Dann wird der Wert gleich z = f(x+ x, y+ y) = f(x, y) als Gesamtwert bezeichnet Inkrement am Punkt x 0, y 0. Wenn wir die Variable x fixieren und der Variablen y das Inkrement y geben, dann erhalten wir zó = f(x,y,+ y) – f(x,y)

Die partielle Ableitung der Variablen y wird auf ähnliche Weise bestimmt, d.h.

Die partielle Ableitung einer Funktion zweier Variablen wird nach denselben Regeln ermittelt wie für Funktionen einer Variablen.

Der Unterschied besteht darin, dass bei der Differenzierung einer Funktion nach der Variablen x y als konstant betrachtet wird und bei der Differenzierung nach y, x als konstant betrachtet wird.

Isolierte Konstanten werden mithilfe von Additions-/Subtraktionsoperationen mit einer Funktion verbunden.

Gebundene Konstanten werden durch Multiplikations-/Divisionsoperationen mit einer Funktion verbunden.

Ableitung von isoliert const = 0

1.4.Vollständige Differentialfunktion zweier Variablen und ihre Anwendungen

Dann sei z = f(x,y).

tz = - Vollinkrement genannt

Partielle Ableitung 2. Ordnung

Für stetige Funktionen zweier Variablen fallen die gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung zusammen.

Die Anwendung partieller Ableitungen zur Bestimmung der partiellen Ableitungen von Max- und Min-Funktionen werden als Extrema bezeichnet.

A. Punkte heißen max oder min z = f(x,y), wenn es einige Segmente gibt, so dass für alle x und y aus dieser Umgebung f(x,y)

T. Wenn ein Extrempunkt einer Funktion von 2 Variablen gegeben ist, dann ist der Wert der partiellen Ableitungen an diesem Punkt gleich 0, d.h. ,

Die Punkte, an denen partielle Ableitungen erster Ordnung auftreten, werden als stationär oder kritisch bezeichnet.

Um die Extrempunkte einer Funktion von zwei Variablen zu finden, werden daher ausreichende Extremumbedingungen verwendet.

Sei die Funktion z = f(x,y) zweimal differenzierbar und ein stationärer Punkt,

1) und maxA<0, minA>0.

1.4.(*)Volles Differential. Geometrische Bedeutung des Differentials. Anwendung des Differentials in Näherungsberechnungen

A. Die Funktion y = f(x) sei in einer bestimmten Umgebung an den Punkten definiert. Eine Funktion f(x) heißt an einem Punkt differenzierbar, wenn ihr Inkrement an diesem Punkt gleich ist , wo es in der Form (1) dargestellt wird

Wobei A ein konstanter Wert ist, unabhängig von an einem festen Punkt x, und bei unendlich klein ist. Eine relativ lineare Funktion A heißt Differential der Funktion f(x) an einem Punkt und wird mit df() oder dy bezeichnet.

Somit kann Ausdruck (1) geschrieben werden als ().

Das Differential der Funktion in Ausdruck (1) hat die Form dy = A. Wie jede lineare Funktion ist sie für jeden Wert definiert während das Inkrement der Funktion nur für diejenigen berücksichtigt werden muss, für die + zum Definitionsbereich der Funktion f(x) gehört.

Um das Differential einfacher schreiben zu können, wird das Inkrement mit dx bezeichnet und als Differential der unabhängigen Variablen x bezeichnet. Daher wird das Differential als dy = Adx geschrieben.

Wenn die Funktion f(x) an jedem Punkt eines bestimmten Intervalls differenzierbar ist, dann ist ihr Differential eine Funktion zweier Variablen – des Punktes x und der Variablen dx:

T. Damit die Funktion y = g(x) irgendwann differenzierbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie an dieser Stelle eine Ableitung hat, und

(*)Nachweisen. Notwendigkeit.

Die Funktion f(x) sei im Punkt differenzierbar, d.h. . Dann

Daher existiert die Ableitung f’() und ist gleich A. Daher ist dy = f’()dx

Angemessenheit.

Es gebe eine Ableitung f’(), d.h. = f'(). Dann ist die Kurve y = f(x) ein Tangentensegment. Um den Wert einer Funktion an einem Punkt x zu berechnen, nehmen Sie einen Punkt in der Nähe davon, so dass es nicht schwierig ist, f() und f’()/ zu finden.

Die Funktion sei gegeben. Da x und y unabhängige Variablen sind, kann sich eine von ihnen ändern, während die andere ihren Wert behält. Geben wir der unabhängigen Variablen x ein Inkrement, während der Wert von y unverändert bleibt. Dann erhält z ein Inkrement, das als partielles Inkrement von z in Bezug auf x bezeichnet wird und mit bezeichnet wird. Also, .

Ebenso erhalten wir das Teilinkrement von z über y: .

Das Gesamtinkrement der Funktion z wird durch die Gleichheit bestimmt.

Wenn es einen Grenzwert gibt, wird dieser als partielle Ableitung der Funktion an einem Punkt nach der Variablen x bezeichnet und mit einem der folgenden Symbole bezeichnet:

.

Partielle Ableitungen nach x an einem Punkt werden normalerweise mit den Symbolen bezeichnet .

Die partielle Ableitung von nach der Variablen y wird ähnlich definiert und bezeichnet:

Somit wird die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer (zwei, drei oder mehr) Variablen als Ableitung einer Funktion einer dieser Variablen definiert, sofern die Werte der übrigen unabhängigen Variablen konstant sind. Daher werden partielle Ableitungen einer Funktion mithilfe der Formeln und Regeln zur Berechnung von Ableitungen einer Funktion einer Variablen ermittelt (in diesem Fall werden x bzw. y als konstante Werte betrachtet).

Partielle Ableitungen werden partielle Ableitungen erster Ordnung genannt. Sie können als Funktionen von betrachtet werden. Diese Funktionen können partielle Ableitungen haben, die partielle Ableitungen zweiter Ordnung genannt werden. Sie sind wie folgt definiert und gekennzeichnet:

; ;

; .

Differentiale 1. und 2. Ordnung einer Funktion zweier Variablen.

Das Gesamtdifferential einer Funktion (Formel 2.5) wird Differential erster Ordnung genannt.

Die Formel zur Berechnung der Gesamtdifferenz lautet wie folgt:

(2.5) bzw , Wo ,

partielle Differentiale einer Funktion.

Die Funktion soll stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung haben. Das Differential zweiter Ordnung wird durch die Formel bestimmt. Finden wir es:

Von hier: . Symbolisch wird es so geschrieben:

.

UNBESTIMMTES INTEGRAL.

Stammfunktion einer Funktion, unbestimmtes Integral, Eigenschaften.

Die Funktion F(x) wird aufgerufen Stammfunktion für eine gegebene Funktion f(x), wenn F"(x)=f(x) oder, was dasselbe ist, wenn dF(x)=f(x)dx.

Satz. Wenn eine Funktion f(x), definiert in einem Intervall (X) endlicher oder unendlicher Länge, eine Stammfunktion F(x) hat, dann hat sie auch unendlich viele Stammfunktionen; sie sind alle im Ausdruck F(x)+C enthalten, wobei C eine beliebige Konstante ist.

Die Menge aller Stammfunktionen für eine gegebene Funktion f(x), die in einem bestimmten Intervall oder auf einem Segment endlicher oder unendlicher Länge definiert ist, wird aufgerufen unbestimmtes Integral aus der Funktion f(x) [oder aus dem Ausdruck f(x)dx ] und wird mit dem Symbol bezeichnet.

Wenn F(x) eine der Stammfunktionen für f(x) ist, dann gemäß dem Stammfunktionssatz

, wobei C eine beliebige Konstante ist.

Per Definition einer Stammfunktion ist F"(x)=f(x) und daher dF(x)=f(x) dx. In Formel (7.1) heißt f(x) eine Integrandenfunktion und f( x) dx heißt Integrandenausdruck.

Fassen wir zusammen, wie sich das Finden partieller Ableitungen vom Finden „gewöhnlicher“ Ableitungen einer Funktion einer Variablen unterscheidet:

1) Wenn wir die partielle Ableitung finden, Das Variable gilt als Konstante.

2) Wenn wir die partielle Ableitung finden, Das Variable gilt als Konstante.

3) Die Regeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen sind gültig und anwendbar für jede Variable ( , oder etwas anderes), nach dem differenziert wird.

Schritt zwei. Wir finden partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Es gibt vier davon.

Bezeichnungen:

Oder – die zweite Ableitung nach „x“

Oder – die zweite Ableitung nach „Y“

Oder - gemischt Ableitung „von x igrek“

Oder - gemischt Ableitung „von igrek x“

Das Konzept der zweiten Ableitung ist nicht kompliziert. In einfachen Worten, Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung.

Der Übersichtlichkeit halber werde ich die bereits gefundenen partiellen Ableitungen erster Ordnung umschreiben:

Lassen Sie uns zunächst gemischte Derivate finden:

Wie Sie sehen, ist alles einfach: Wir nehmen die partielle Ableitung und differenzieren sie erneut, aber in diesem Fall – diesmal nach dem „Y“.

Ebenfalls:

Für praktische Beispiele gilt, wenn alle partiellen Ableitungen stetig sind, die folgende Gleichung:

Daher ist es sehr praktisch, anhand gemischter Ableitungen zweiter Ordnung zu überprüfen, ob wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung korrekt gefunden haben.

Finden Sie die zweite Ableitung nach „x“.

Keine Erfindungen, nehmen wir es und differenziere es noch einmal durch „x“:

Ebenfalls:

Es ist zu beachten, dass Sie beim Finden etwas zeigen müssen erhöhte Aufmerksamkeit, da es keine wunderbaren Gleichheiten gibt, die überprüft werden müssen.

Beispiel 2

Finden Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Partielle Ableitungen aus den Beispielen Nr. 1 und 2 können Sie mit etwas Erfahrung mündlich lösen.

Kommen wir zu komplexeren Beispielen.

Beispiel 3

Prüfe das . Geben Sie die Gesamtdifferenz erster Ordnung an.

Lösung: Finden Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

Achten Sie auf den Index: Neben dem „X“ ist es nicht verboten, in Klammern zu schreiben, dass es sich um eine Konstante handelt. Dieser Hinweis kann für Anfänger sehr nützlich sein, um die Navigation in der Lösung zu erleichtern.

Weitere Kommentare:

(1) Wir nehmen alle Konstanten außerhalb des Vorzeichens der Ableitung. In diesem Fall und und daher wird ihr Produkt als konstante Zahl betrachtet.

(2) Vergessen Sie nicht, wie man Wurzeln richtig unterscheidet.

(1) Wir nehmen alle Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung; in diesem Fall ist die Konstante .

(2) Unter der Primzahl bleibt das Produkt zweier Funktionen übrig, daher müssen wir die Regel zur Differenzierung des Produkts verwenden .

(3) Vergessen Sie nicht, dass dies eine komplexe Funktion ist (wenn auch die einfachste aller komplexen). Wir verwenden die entsprechende Regel: .

Nun finden wir gemischte Ableitungen zweiter Ordnung:

Dies bedeutet, dass alle Berechnungen korrekt durchgeführt wurden.

Schreiben wir die Gesamtdifferenz auf. Im Kontext der betrachteten Aufgabe macht es keinen Sinn zu sagen, wie hoch das Gesamtdifferential einer Funktion zweier Variablen ist. Es ist wichtig, dass genau dieser Unterschied sehr oft in praktischen Problemen niedergeschrieben werden muss.

Das Gesamtdifferential erster Ordnung einer Funktion zweier Variablen hat die Form:

In diesem Fall:

Das heißt, Sie müssen lediglich die bereits gefundenen partiellen Ableitungen erster Ordnung in die Formel einsetzen. In dieser und ähnlichen Situationen ist es am besten, Differentialzeichen in Zählern zu schreiben:

Beispiel 4

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion . Prüfe das . Geben Sie die Gesamtdifferenz erster Ordnung an.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die vollständige Lösung und ein Beispiel des Problems finden Sie am Ende der Lektion.

Schauen wir uns eine Reihe von Beispielen an, die komplexe Funktionen beinhalten.

Beispiel 5

Finden Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion.

(1) Wir wenden die Differenzierungsregel komplexer Funktionen an . Aus dem Unterricht Ableitung einer komplexen Funktion Ein sehr wichtiger Punkt sollte beachtet werden: Wenn wir mithilfe der Tabelle einen Sinus (externe Funktion) in einen Kosinus umwandeln, dann haben wir eine Einbettung (interne Funktion) ändert sich nicht.

(2) Hier nutzen wir die Eigenschaft der Wurzeln: Wir nehmen die Konstante aus dem Vorzeichen der Ableitung und stellen die Wurzel in der für die Differentiation notwendigen Form dar.

Ebenfalls:

Schreiben wir das vollständige Differential erster Ordnung auf:

Beispiel 6

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .

Notieren Sie die Gesamtdifferenz.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion). Ich werde Ihnen keine vollständige Lösung geben, da sie recht einfach ist.

Sehr oft werden alle oben genannten Regeln in Kombination angewendet.

Beispiel 7

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .

(1) Wir verwenden die Regel der Differenzierung der Summe.

(2) Der erste Term wird in diesem Fall als Konstante betrachtet, da es im Ausdruck nichts gibt, was von „x“ abhängt – nur „y“.

(Weißt du, es ist immer schön, wenn ein Bruch in Null umgewandelt werden kann).

Für den zweiten Term wenden wir die Produktdifferenzierungsregel an. Übrigens hätte sich am Algorithmus nichts geändert, wenn stattdessen eine Funktion angegeben worden wäre – wichtig ist, dass wir sie hier haben Produkt zweier Funktionen, von denen JEDE von „x“ abhängt Daher müssen Sie die Produktdifferenzierungsregel verwenden. Für den dritten Term wenden wir die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion an.

Gegeben sei eine Funktion zweier Variablen. Erhöhen wir das Argument und lassen es unverändert. Dann erhält die Funktion ein Inkrement, das als Teilinkrement durch Variable bezeichnet wird und wie folgt bezeichnet wird:

In ähnlicher Weise erhalten wir durch Festlegen des Arguments und Erhöhen des Arguments ein teilweises Inkrement der Funktion um die Variable:

Die Menge wird als Gesamtinkrement der Funktion an einem Punkt bezeichnet.

Definition 4. Die partielle Ableitung einer Funktion zweier Variablen nach einer dieser Variablen ist die Grenze des Verhältnisses des entsprechenden Teilinkrements der Funktion zum Inkrement einer gegebenen Variablen, wenn diese gegen Null tendiert (wenn diese Grenze gilt). existiert). Die partielle Ableitung wird wie folgt bezeichnet: oder, oder.

Somit haben wir per Definition:

Partielle Ableitungen von Funktionen werden nach denselben Regeln und Formeln als Funktion einer Variablen berechnet, wobei zu berücksichtigen ist, dass bei der Differenzierung nach einer Variablen diese als konstant und bei der Differenzierung nach einer Variablen als konstant betrachtet wird .

Beispiel 3. Finden Sie partielle Ableitungen von Funktionen:

Lösung. a) Um es zu finden, betrachten wir es als konstanten Wert und differenzieren es als Funktion einer Variablen:

Unter der Annahme eines konstanten Wertes finden wir in ähnlicher Weise:

Definition 5. Das Gesamtdifferential einer Funktion ist die Summe der Produkte der partiellen Ableitungen dieser Funktion und der Inkremente der entsprechenden unabhängigen Variablen, d.h.

Wenn man bedenkt, dass die Differentiale der unabhängigen Variablen mit ihren Zuwächsen übereinstimmen, d. h. , die totale Differentialformel kann geschrieben werden als

Beispiel 4. Finden Sie das vollständige Differential der Funktion.

Lösung. Da wir die Gesamtdifferentialformel verwenden, finden wir

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Partielle Ableitungen werden partielle Ableitungen erster Ordnung oder erste partielle Ableitungen genannt.

Definition 6. Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion sind die partiellen Ableitungen der partiellen Ableitungen erster Ordnung.

Es gibt vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Sie werden wie folgt bezeichnet:

Partielle Ableitungen 3., 4. und höherer Ordnung werden ähnlich definiert. Für eine Funktion gilt beispielsweise:

Partielle Ableitungen zweiter oder höherer Ordnung, die nach verschiedenen Variablen gebildet werden, werden gemischte partielle Ableitungen genannt. Für eine Funktion sind dies Ableitungen. Beachten Sie, dass Gleichheit gilt, wenn die gemischten Ableitungen stetig sind.

Beispiel 5. Finden Sie partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion

Lösung. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung für diese Funktion finden Sie in Beispiel 3:

Wenn wir nach den Variablen x und y differenzieren, erhalten wir