Winkel zwischen Geraden. Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene

Im Juli 2020 startet die NASA eine Expedition zum Mars. Die Raumsonde wird ein elektronisches Medium mit den Namen aller registrierten Expeditionsteilnehmer an den Mars liefern.

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Wieder ein Silvesterabend ... frostiges Wetter und Schneeflocken auf der Fensterscheibe ... All dies veranlasste mich, erneut über ... Fraktale zu schreiben und was Wolfram Alpha darüber weiß. Zu diesem Thema gibt es einen interessanten Artikel, der Beispiele für zweidimensionale fraktale Strukturen enthält. Hier werden wir uns komplexere Beispiele dreidimensionaler Fraktale ansehen.

Ein Fraktal kann visuell als geometrische Figur oder Körper dargestellt (beschrieben) werden (was bedeutet, dass beide eine Menge, in diesem Fall eine Menge von Punkten) sind, deren Details dieselbe Form wie die ursprüngliche Figur selbst haben. Das heißt, es handelt sich um eine selbstähnliche Struktur, deren Details wir bei Vergrößerung genauso sehen wie ohne Vergrößerung. Bei einer gewöhnlichen geometrischen Figur (kein Fraktal) hingegen werden wir bei der Vergrößerung Details sehen, die eine einfachere Form haben als die ursprüngliche Figur selbst. Bei einer ausreichend hohen Vergrößerung sieht beispielsweise ein Teil einer Ellipse wie ein gerades Liniensegment aus. Dies ist bei Fraktalen nicht der Fall: Bei jeder Vergrößerung werden wir wieder dieselbe komplexe Form sehen, die sich bei jeder Vergrößerung immer wieder wiederholt.

Benoit Mandelbrot, der Begründer der Fraktalwissenschaft, schrieb in seinem Artikel Fraktale und Kunst im Namen der Wissenschaft: „Fraktale sind geometrische Formen, die in ihren Details ebenso komplex sind wie in ihrer Gesamtform, sofern sie Teil des Fraktals sind.“ auf die Größe des Ganzen vergrößert wird, erscheint es als Ganzes, entweder exakt oder vielleicht mit einer leichten Verformung.“

Eine Gerade im Raum kann immer als Schnittlinie zweier nichtparalleler Ebenen definiert werden. Wenn die Gleichung einer Ebene die Gleichung der zweiten Ebene ist, dann lautet die Gleichung der Geraden wie folgt:

Hier nichtkollinear
. Diese Gleichungen heißen allgemeine Gleichungen direkt im Raum.

Kanonische Gleichungen der Linie

Jeder Vektor ungleich Null, der auf einer gegebenen Geraden oder parallel dazu liegt, wird als Richtungsvektor dieser Geraden bezeichnet.

Wenn der Punkt bekannt ist
Gerade und ihr Richtungsvektor
, dann haben die kanonischen Gleichungen der Geraden die Form:

. (9)

Parametrische Gleichungen einer Linie

Gegeben seien die kanonischen Gleichungen der Geraden

.

Von hier aus erhalten wir die parametrischen Gleichungen der Geraden:

(10)

Diese Gleichungen sind nützlich, um den Schnittpunkt einer Linie und einer Ebene zu ermitteln.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft
Und
hat die Form:

.

Winkel zwischen Geraden

Winkel zwischen Geraden

Und

gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren. Daher kann es mit Formel (4) berechnet werden:

Bedingung für parallele Linien:

.

Bedingung dafür, dass Ebenen senkrecht stehen:

Abstand eines Punktes von einer Linie

P Nehmen wir an, der Punkt ist gegeben
und gerade

.

Aus den kanonischen Gleichungen der Geraden kennen wir den Punkt
, zu einer Geraden gehörend, und ihr Richtungsvektor
. Dann die Entfernung des Punktes
von einer Geraden ist gleich der Höhe eines aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms Und
. Somit,

.

Bedingung für den Schnittpunkt von Geraden

Zwei nicht parallele Linien

,

schneiden sich genau dann, wenn

.

Die relative Position einer Geraden und einer Ebene.

Gegeben sei die Gerade
und Flugzeug. Ecke zwischen ihnen kann mithilfe der Formel ermittelt werden

.

Aufgabe 73. Schreiben Sie die kanonischen Gleichungen der Geraden

(11)

Lösung. Um die kanonischen Gleichungen der Geraden (9) aufzuschreiben, ist es notwendig, jeden zur Geraden gehörenden Punkt und den Richtungsvektor der Geraden zu kennen.

Finden wir den Vektor , parallel zu dieser Linie. Da es senkrecht zu den Normalenvektoren dieser Ebenen stehen muss, d.h.

,
, Das

.

Aus den allgemeinen Gleichungen der Geraden ergibt sich das
,
. Dann

.

Da der Punkt
Beliebiger Punkt auf einer Geraden, dann müssen seine Koordinaten die Gleichungen der Geraden erfüllen und eine davon kann angegeben werden, zum Beispiel
, finden wir die anderen beiden Koordinaten aus System (11):

Von hier,
.

Somit haben die kanonischen Gleichungen der gewünschten Geraden die Form:

oder
.

Aufgabe 74.

Und
.

Lösung. Aus den kanonischen Gleichungen der ersten Zeile sind die Koordinaten des Punktes bekannt
der zur Geraden gehörenden Linie und den Koordinaten des Richtungsvektors
. Aus den kanonischen Gleichungen der zweiten Zeile sind auch die Koordinaten des Punktes bekannt
und Koordinaten des Richtungsvektors
.

Der Abstand zwischen parallelen Linien ist gleich dem Abstand des Punktes
ab der zweiten Geraden. Dieser Abstand wird durch die Formel berechnet

.

Finden wir die Koordinaten des Vektors
.

Berechnen wir das Vektorprodukt
:

.

Aufgabe 75. Finden Sie einen Punkt symmetrischer Punkt
relativ gerade

.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung einer Ebene auf, die senkrecht zu einer bestimmten Geraden steht und durch einen Punkt verläuft . Als sein Normalvektor Sie können den Richtungsvektor einer geraden Linie nehmen. Dann
. Somit,

Finden wir einen Punkt
der Schnittpunkt dieser Linie und der Ebene P. Dazu schreiben wir die parametrischen Gleichungen der Linie unter Verwendung der Gleichungen (10), wir erhalten

Somit,
.

Lassen
Punkt symmetrisch zum Punkt
relativ zu dieser Linie. Dann zeigen Sie
Mittelpunkt
. Um die Koordinaten eines Punktes zu finden Wir verwenden die Formeln für die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments:

,
,
.

Also,
.

Aufgabe 76. Schreiben Sie die Gleichung einer Ebene, die durch eine Gerade verläuft
Und

a) durch einen Punkt
;

b) senkrecht zur Ebene.

Lösung. Schreiben wir die allgemeinen Gleichungen dieser Linie auf. Betrachten Sie dazu zwei Gleichheiten:

Dies bedeutet, dass die gewünschte Ebene zu einem Bündel von Ebenen mit Generatoren gehört und ihre Gleichung in der Form (8) geschrieben werden kann:

a) Finden wir es
Und aus der Bedingung, dass die Ebene durch den Punkt geht
Daher müssen seine Koordinaten die Gleichung der Ebene erfüllen. Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes
in die Gleichung einer Reihe von Ebenen:

Wert gefunden
Setzen wir es in Gleichung (12) ein. wir erhalten die Gleichung der gewünschten Ebene:

b) Finden wir es
Und aus der Bedingung, dass die gewünschte Ebene senkrecht zur Ebene steht. Der Normalenvektor einer gegebenen Ebene
, Normalenvektor der gewünschten Ebene (siehe Ebenengleichung (12).

Zwei Vektoren sind genau dann senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Somit,

Ersetzen wir den gefundenen Wert
in die Gleichung eines Ebenenbündels (12). Wir erhalten die Gleichung der gewünschten Ebene:

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

Aufgabe 77. Reduzieren Sie die Geradengleichung auf die kanonische Form:

1)
2)

Aufgabe 78. Schreiben Sie die parametrischen Gleichungen der Geraden
, Wenn:

1)
,
; 2)
,
.

Aufgabe 79. Schreiben Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt verläuft
senkrecht zu einer Geraden

Aufgabe 80. Schreiben Sie die Gleichungen einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft
senkrecht zur Ebene.

Aufgabe 81. Finden Sie den Winkel zwischen den Linien:

1)
Und
;

2)
Und

Aufgabe 82. Beweisen Sie die Parallelität von Geraden:

Und
.

Aufgabe 83. Beweisen Sie die Rechtwinkligkeit der Linien:

Und

Aufgabe 84. Berechnen Sie die Entfernung eines Punktes
aus der Geraden:

1)
; 2)
.

Aufgabe 85. Berechnen Sie den Abstand zwischen parallelen Linien:

Und
.

Aufgabe 86. In den Gleichungen der Linie
Parameter definieren so dass diese Linie die Linie schneidet und den Punkt ihres Schnittpunkts findet.

Aufgabe 87. Zeigen Sie, dass es gerade ist
parallel zur Ebene
und die Gerade
liegt in dieser Ebene.

Aufgabe 88. Finden Sie einen Punkt symmetrischer Punkt relativ zur Ebene
, Wenn:

1)
, ;

2)
, ;.

Aufgabe 89. Schreiben Sie die Gleichung einer Senkrechten, die von einem Punkt aus fällt
direkt
.

Aufgabe 90. Finden Sie einen Punkt symmetrischer Punkt
relativ gerade
.

Oh-oh-oh-oh-oh... na ja, das ist hart, als würde er sich einen Satz vorlesen =) Entspannung hilft aber später, zumal ich mir heute die passenden Accessoires gekauft habe. Fahren wir daher mit dem ersten Abschnitt fort. Ich hoffe, dass ich am Ende des Artikels eine fröhliche Stimmung bewahren werde.

Die relative Position zweier gerader Linien

Dies ist der Fall, wenn das Publikum im Chor mitsingt. Zwei Geraden können:

1) Spiel;

2) parallel sein: ;

3) oder sich in einem einzigen Punkt schneiden: .

Hilfe für Dummies : Bitte denken Sie an das Mathe-Zeichen Kreuzungen, es wird sehr oft vorkommen. Die Notation bedeutet, dass die Linie die Linie im Punkt schneidet.

Wie bestimmt man die relative Position zweier Linien?

Beginnen wir mit dem ersten Fall:

Zwei Geraden fallen genau dann zusammen, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt eine Zahl „Lambda“, so dass die Gleichheiten gelten

Betrachten wir die Geraden und erstellen wir drei Gleichungen aus den entsprechenden Koeffizienten: . Aus jeder Gleichung folgt, dass diese Geraden zusammenfallen.

In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung mit –1 multiplizieren (Vorzeichen ändern) und alle Koeffizienten der Gleichung durch 2 geschnitten, erhält man die gleiche Gleichung: .

Der zweite Fall, wenn die Geraden parallel sind:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten der Variablen proportional sind: , Aber .

Betrachten Sie als Beispiel zwei Geraden. Wir prüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen:

Es ist jedoch ziemlich offensichtlich, dass.

Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:

Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten für die Variablen NICHT proportional sind, das heißt, es gibt KEINEN solchen „Lambda“-Wert, den die Gleichungen erfüllen

Für gerade Linien erstellen wir also ein System:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass und aus der zweiten Gleichung: , was bedeutet Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten der Variablen nicht proportional.

Fazit: Linien schneiden sich

Bei praktischen Problemen können Sie das gerade besprochene Lösungsschema verwenden. Es erinnert übrigens sehr an den Algorithmus zur Überprüfung von Vektoren auf Kollinearität, den wir uns im Unterricht angesehen haben Das Konzept der linearen (Un-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren. Aber es gibt eine zivilisiertere Verpackung:

Beispiel 1

Ermitteln Sie die relative Position der Linien:

Die Lösung basiert auf der Untersuchung der Richtungsvektoren gerader Linien:

a) Aus den Gleichungen ermitteln wir die Richtungsvektoren der Geraden: .

, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind und sich die Geraden schneiden.

Für alle Fälle stelle ich an der Kreuzung einen Stein mit Schildern auf:

Der Rest springt über den Stein und folgt weiter, direkt zu Kashchei dem Unsterblichen =)

b) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Die Linien haben den gleichen Richtungsvektor, das heißt, sie sind entweder parallel oder fallen zusammen. Die Determinante muss hier nicht gezählt werden.

Es ist offensichtlich, dass die Koeffizienten der Unbekannten proportional sind und .

Finden wir heraus, ob die Gleichheit wahr ist:

Auf diese Weise,

c) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Berechnen wir die Determinante, die aus den Koordinaten dieser Vektoren besteht:
Daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.

Der Proportionalitätskoeffizient „Lambda“ lässt sich leicht direkt aus dem Verhältnis der kollinearen Richtungsvektoren ablesen. Es kann jedoch auch über die Koeffizienten der Gleichungen selbst ermittelt werden: .

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind Null, also:

Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung (im Allgemeinen erfüllt sie jede Zahl).

Somit fallen die Linien zusammen.

Antwort :

Schon bald werden Sie lernen (oder haben es sogar schon gelernt), das verbal besprochene Problem buchstäblich in Sekundenschnelle zu lösen. In dieser Hinsicht sehe ich keinen Sinn darin, etwas für eine eigenständige Lösung anzubieten; es ist besser, einen weiteren wichtigen Baustein in das geometrische Fundament zu legen:

Wie konstruiere ich eine Linie parallel zu einer gegebenen Linie?

Für die Unkenntnis dieser einfachsten Aufgabe wird die Nachtigall, der Räuber, hart bestraft.

Beispiel 2

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung für eine parallele Gerade, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Bezeichnen wir die unbekannte Zeile mit dem Buchstaben . Was sagt der Zustand über sie aus? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Geraden parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtungsvektor der Geraden „tse“ auch zur Konstruktion der Geraden „de“ geeignet ist.

Wir nehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung heraus:

Antwort :

Die Geometrie des Beispiels sieht einfach aus:

Das analytische Testen besteht aus den folgenden Schritten:

1) Wir überprüfen, ob die Linien den gleichen Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, sind die Vektoren kollinear).

2) Prüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

In den meisten Fällen können analytische Tests problemlos mündlich durchgeführt werden. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an, und viele von Ihnen werden schnell die Parallelität der Linien bestimmen, ohne sie zeichnen zu müssen.

Beispiele für eigenständige Lösungen werden heute kreativ sein. Weil Sie immer noch mit Baba Yaga konkurrieren müssen, und sie ist, wie Sie wissen, eine Liebhaberin aller möglichen Rätsel.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden verläuft

Es gibt einen rationalen und einen weniger rationalen Weg, das Problem zu lösen. Der kürzeste Weg ist am Ende der Lektion.

Wir haben ein wenig mit parallelen Linien gearbeitet und werden später darauf zurückkommen. Der Fall übereinstimmender Linien ist von geringem Interesse. Betrachten wir daher ein Problem, das Ihnen aus dem Lehrplan sehr bekannt ist:

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Wenn gerade sich im Punkt schneiden, dann sind seine Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen

Wie finde ich den Schnittpunkt von Linien? Lösen Sie das System.

Hier ist die geometrische Bedeutung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten – dies sind (meistens) zwei sich schneidende Geraden in einer Ebene.

Beispiel 4

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien

Lösung: Es gibt zwei Lösungswege – grafisch und analytisch.

Die grafische Methode besteht darin, einfach diese Linien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung herauszufinden:

Hier ist unser Punkt: . Um dies zu überprüfen, sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung der Linie einsetzen. Sie sollten sowohl dort als auch dort passen. Mit anderen Worten: Die Koordinaten eines Punktes sind eine Lösung des Systems. Im Wesentlichen haben wir uns eine grafische Lösung angesehen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten.

Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, es geht nicht darum, dass Siebtklässler so entscheiden, sondern darum, dass es einige Zeit dauern wird, eine korrekte und GENAUE Zeichnung zu erstellen. Darüber hinaus sind einige Geraden nicht so einfach zu konstruieren und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im dreißigsten Königreich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.

Daher ist es sinnvoller, den Schnittpunkt mit einer analytischen Methode zu suchen. Lassen Sie uns das System lösen:

Zur Lösung des Systems wurde die Methode der Term-für-Term-Addition von Gleichungen verwendet. Nehmen Sie an einer Unterrichtsstunde teil, um relevante Fähigkeiten zu entwickeln Wie löst man ein Gleichungssystem?

Antwort :

Die Prüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.

Beispiel 5

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, wenn sie sich schneiden.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Es ist zweckmäßig, die Aufgabe in mehrere Phasen aufzuteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass Folgendes erforderlich ist:
1) Schreiben Sie die Geradengleichung auf.
2) Erstellen Sie eine Geradengleichung.
3) Ermitteln Sie die relative Position der Linien.
4) Wenn sich die Linien schneiden, ermitteln Sie den Schnittpunkt.

Die Entwicklung eines Aktionsalgorithmus ist typisch für viele geometrische Probleme, und ich werde mich immer wieder darauf konzentrieren.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion:

Nicht einmal ein Paar Schuhe war abgenutzt, bevor wir zum zweiten Abschnitt der Lektion kamen:

Senkrechte Linien. Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Winkel zwischen Geraden

Beginnen wir mit einer typischen und sehr wichtigen Aufgabe. Im ersten Teil haben wir gelernt, wie man eine gerade Linie parallel zu dieser baut, und jetzt dreht sich die Hütte auf Hühnerbeinen um 90 Grad:

Wie konstruiert man eine Gerade senkrecht zu einer gegebenen Geraden?

Beispiel 6

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung senkrecht zur Geraden, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Durch die Bedingung ist bekannt, dass . Es wäre schön, den Richtungsvektor der Linie zu finden. Da die Linien senkrecht stehen, ist der Trick einfach:

Aus der Gleichung „entfernen“ wir den Normalenvektor: , der der Richtungsvektor der Geraden sein wird.

Stellen wir die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen:

Antwort :

Erweitern wir die geometrische Skizze:

Hmmm... Orangefarbener Himmel, orangefarbenes Meer, orangefarbenes Kamel.

Analytische Überprüfung der Lösung:

1) Wir entnehmen die Richtungsvektoren aus den Gleichungen und mit der Hilfe Skalarprodukt von Vektoren Wir kommen zu dem Schluss, dass die Geraden tatsächlich senkrecht stehen: .

Übrigens können Sie Normalenvektoren verwenden, das ist noch einfacher.

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt .

Auch der Test lässt sich leicht mündlich durchführen.

Beispiel 7

Finden Sie den Schnittpunkt senkrechter Geraden, wenn die Gleichung bekannt ist und Punkt.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Das Problem hat mehrere Aktionen, daher ist es zweckmäßig, die Lösung Punkt für Punkt zu formulieren.

Unsere spannende Reise geht weiter:

Abstand vom Punkt zur Linie

Vor uns liegt ein gerader Flussstreifen und unsere Aufgabe ist es, auf dem kürzesten Weg dorthin zu gelangen. Es gibt keine Hindernisse und die optimale Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge des senkrechten Abschnitts.

In der Geometrie wird der Abstand traditionell mit dem griechischen Buchstaben „rho“ bezeichnet, zum Beispiel: – der Abstand vom Punkt „em“ zur Geraden „de“.

Abstand vom Punkt zur Linie ausgedrückt durch die Formel

Beispiel 8

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Lösung: Alles, was Sie tun müssen, ist, die Zahlen sorgfältig in die Formel einzusetzen und die Berechnungen durchzuführen:

Antwort :

Machen wir die Zeichnung:

Der gefundene Abstand vom Punkt zur Linie entspricht genau der Länge des roten Segments. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 Einheit erstellen. = 1 cm (2 Zellen), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.

Betrachten wir eine andere Aufgabe, die auf derselben Zeichnung basiert:

Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten eines Punktes zu finden, der relativ zur Geraden symmetrisch zum Punkt ist . Ich schlage vor, die Schritte selbst durchzuführen, aber ich werde den Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen skizzieren:

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zur Linie steht.

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Geraden: .

Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich besprochen.

3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Von Formeln für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments wir finden .

Es wäre eine gute Idee zu überprüfen, ob der Abstand ebenfalls 2,2 Einheiten beträgt.

Hier kann es beim Rechnen zu Schwierigkeiten kommen, aber im Turm ist ein Mikrorechner eine große Hilfe, mit dem man gewöhnliche Brüche berechnen kann. Ich habe Sie schon oft beraten und werde Sie auch weiterhin weiterempfehlen.

Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?

Beispiel 9

Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Dies ist ein weiteres Beispiel, über das Sie selbst entscheiden können. Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Nachbesprechung am Ende der Lektion, aber es ist besser, selbst zu raten, ich denke, Ihr Einfallsreichtum war gut entwickelt.

Winkel zwischen zwei Geraden

Jede Ecke ist ein Pfosten:


In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als der KLEINERE Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Linien betrachtet. Und sein „grüner“ Nachbar bzw gegensätzlich ausgerichtet„Himbeer“-Ecke.

Wenn die Linien senkrecht zueinander stehen, kann jeder der vier Winkel als Winkel zwischen ihnen angenommen werden.

Wie unterscheiden sich die Winkel? Orientierung. Erstens ist die Richtung, in der der Winkel „gescrollt“ wird, von grundlegender Bedeutung. Zweitens wird ein negativ ausgerichteter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, zum Beispiel wenn .

Warum habe ich dir das erzählt? Es scheint, dass wir mit dem üblichen Winkelkonzept auskommen können. Tatsache ist, dass die Formeln, mit denen wir Winkel ermitteln, leicht zu einem negativen Ergebnis führen können, und das sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit einem Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. Achten Sie in der Zeichnung darauf, bei einem negativen Winkel dessen Ausrichtung mit einem Pfeil (im Uhrzeigersinn) anzugeben.

Wie finde ich den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:

Beispiel 10

Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Lösung und Methode Eins

Betrachten wir zwei Geraden, die durch Gleichungen in allgemeiner Form definiert sind:

Wenn die Linien nicht senkrecht sind, dann orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden:

Achten wir genau auf den Nenner – genau dieser ist es Skalarprodukt richtende Vektoren von Geraden:

Wenn , dann wird der Nenner der Formel Null und die Vektoren sind orthogonal und die Linien sind senkrecht. Aus diesem Grund wurde in der Formulierung ein Vorbehalt hinsichtlich der Nichtsenkrechtigkeit von Geraden gemacht.

Basierend auf dem oben Gesagten ist es zweckmäßig, die Lösung in zwei Schritten zu formalisieren:

1) Berechnen wir das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Linien:
, was bedeutet, dass die Linien nicht senkrecht sind.

2) Ermitteln Sie den Winkel zwischen Geraden mit der Formel:

Mit der Umkehrfunktion lässt sich der Winkel selbst leicht ermitteln. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arkustangens (siehe. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen ):

Antwort :

In Ihrer Antwort geben wir den genauen Wert sowie einen mit einem Taschenrechner berechneten Näherungswert (vorzugsweise sowohl in Grad als auch im Bogenmaß) an.

Nun ja, Minus, Minus, keine große Sache. Hier ist eine geometrische Illustration:

Es ist nicht verwunderlich, dass sich herausstellte, dass der Winkel eine negative Ausrichtung hatte, da in der Problemstellung die erste Zahl eine Gerade ist und das „Abschrauben“ des Winkels genau damit begann.

Wenn Sie wirklich einen positiven Winkel erhalten möchten, müssen Sie die Linien vertauschen, also die Koeffizienten aus der zweiten Gleichung übernehmen , und nehmen Sie die Koeffizienten aus der ersten Gleichung. Kurz gesagt, Sie müssen direkt beginnen .