تعاریف و نشانه های سینوس، کسینوس، مماس زاویه. نحوه به خاطر سپردن مقادیر کسینوس و سینوس نقاط اصلی دایره عددی دایره مثلثاتی مثبت و منفی

به عبارت ساده، اینها سبزیجاتی هستند که طبق دستور العمل خاصی در آب پخته می شوند. من دو جزء اولیه (سالاد سبزیجات و آب) و نتیجه نهایی - گل گاوزبان را در نظر خواهم گرفت. از نظر هندسی، این می تواند به عنوان یک مستطیل نشان داده شود که در آن یک طرف نشان دهنده کاهو و طرف دیگر نشان دهنده آب است. مجموع این دو ضلع نشانگر گل گاوزبان خواهد بود. مورب و مساحت چنین مستطیل "بورشت" مفاهیمی کاملاً ریاضی است و هرگز در دستور العمل های گل گاوزبان استفاده نمی شود.

چگونه کاهو و آب از نظر ریاضی به گل گاوزبان تبدیل می شوند؟ چگونه مجموع دو بخش می تواند به مثلثات تبدیل شود؟ برای درک این موضوع به توابع زاویه خطی نیاز داریم.

در کتاب های ریاضی چیزی در مورد توابع زاویه خطی پیدا نمی کنید. اما بدون آنها ریاضیات وجود ندارد. قوانین ریاضیات، مانند قوانین طبیعت، چه بدانیم که وجود دارند یا نه، کار می کنند.

توابع زاویه ای خطی قوانین جمع هستند.ببینید چگونه جبر به هندسه و هندسه به مثلثات تبدیل می شود.

آیا می توان بدون توابع زاویه ای خطی انجام داد؟ شما می توانید، زیرا ریاضیدانان هنوز بدون آنها مدیریت می کنند. ترفند ریاضیدانان در این واقعیت نهفته است که آنها همیشه فقط در مورد مسائلی به ما می گویند که خودشان می توانند حل کنند و هرگز در مورد مسائلی که نمی توانند حل کنند به ما نمی گویند. دیدن. اگر حاصل جمع و یک جمله را بدانیم، برای یافتن جمله دیگر از تفریق استفاده می کنیم. همه چيز. ما مشکلات دیگر را نمی دانیم و قادر به حل آنها نیستیم. اگر فقط نتیجه جمع را بدانیم و هر دو اصطلاح را ندانیم چه کنیم؟ در این حالت، نتیجه جمع باید با استفاده از توابع زاویه ای خطی به دو ترم تجزیه شود. علاوه بر این، ما خودمان انتخاب می‌کنیم که یک جمله چه چیزی باشد، و توابع زاویه‌ای خطی نشان می‌دهند که عبارت دوم چقدر باید باشد تا نتیجه جمع دقیقاً همان چیزی باشد که ما نیاز داریم. می تواند تعداد نامتناهی از این جفت عبارت وجود داشته باشد. در زندگی روزمره، بدون تجزیه مجموع، خیلی خوب عمل می کنیم؛ تفریق برای ما کافی است. اما در مطالعات علمی قوانین طبیعت، بسط مجموع به اصطلاح می تواند بسیار مفید باشد.

یکی دیگر از قوانین جمع که ریاضیدانان دوست ندارند در مورد آن صحبت کنند (یکی دیگر از ترفندهای آنها) مستلزم این است که اصطلاحات واحد اندازه گیری یکسانی داشته باشند. برای کاهو، آب و گل گاوزبان، اینها ممکن است واحدهای وزن، حجم، هزینه یا واحد اندازه گیری باشند.

شکل دو سطح تفاوت را برای ریاضی نشان می دهد. سطح اول تفاوت در زمینه اعداد است که نشان داده شده است آ, ب, ج. این کاری است که ریاضیدانان انجام می دهند. سطح دوم تفاوت در مساحت واحدهای اندازه گیری است که در پرانتز نشان داده شده و با حرف نشان داده شده است. U. این کاری است که فیزیکدانان انجام می دهند. ما می توانیم سطح سوم - تفاوت در محدوده اشیاء توصیف شده را درک کنیم. اجسام مختلف می توانند تعداد واحدهای اندازه گیری یکسانی داشته باشند. چقدر این مهم است، می‌توانیم در مثال مثلثات بورشت ببینیم. اگر برای واحدهای اندازه‌گیری اشیاء مختلف، زیرنویس‌هایی را به یک نماد اضافه کنیم، می‌توانیم دقیقاً بگوییم که چه کمیت ریاضی یک شی خاص را توصیف می‌کند و چگونه در طول زمان یا در ارتباط با اعمال ما تغییر می‌کند. حرف دبلیوآب را با حرف علامت می زنم اسسالاد را با حرف مشخص می کنم ب- بورش در اینجا توابع زاویه خطی برای گل گاوزبان چگونه به نظر می رسند.

اگر مقداری از آب و مقداری از سالاد را برداریم با هم تبدیل به یک وعده گل گاوزبان می شوند. در اینجا به شما پیشنهاد می کنم کمی از گل گاوزبان فاصله بگیرید و دوران کودکی دور خود را به یاد بیاورید. یادتان هست چگونه به ما یاد دادند که خرگوش و اردک را کنار هم قرار دهیم؟ لازم بود تا مشخص شود که چند حیوان ظاهر می شوند. آن وقت به ما یاد دادند که چه کار کنیم؟ به ما یاد دادند که واحدها را از اعداد جدا کنیم و اعداد را جمع کنیم. بله، هر عددی را می توان به هر عدد دیگری اضافه کرد. این یک مسیر مستقیم به اوتیسم ریاضیات مدرن است - ما نمی‌فهمیم چه چیزی، مشخص نیست چرا، و ما بسیار ضعیف می‌دانیم که چگونه این با واقعیت ارتباط دارد، زیرا به دلیل سه سطح تفاوت، ریاضیدانان فقط روی یک کار می‌کنند. یادگیری نحوه حرکت از یک واحد اندازه گیری به واحد دیگر صحیح تر خواهد بود.

و خرگوش ها و اردک ها و حیوانات کوچک را می توان تکه تکه شمرد. یک واحد اندازه گیری مشترک برای اجسام مختلف به ما امکان می دهد آنها را با هم جمع کنیم. این یک نسخه کودکانه از مشکل است. بیایید به یک مشکل مشابه برای بزرگسالان نگاه کنیم. وقتی خرگوش و پول اضافه می کنید چه چیزی بدست می آورید؟ در اینجا دو راه حل ممکن وجود دارد.

گزینه اول. ما ارزش بازار خرگوش ها را تعیین می کنیم و آن را به پول نقد موجود اضافه می کنیم. ما ارزش کل ثروت خود را از نظر پول بدست آوردیم.

گزینه دوم. می توانید تعداد خرگوش ها را به تعداد اسکناس هایی که داریم اضافه کنید. مقدار اموال منقول را تکه تکه به دست می آوریم.

همانطور که می بینید، قانون جمع یکسان به شما امکان می دهد نتایج متفاوتی بدست آورید. همه چیز بستگی به این دارد که دقیقاً چه چیزی می خواهیم بدانیم.

اما به گل گاوزبان خودمان برگردیم. اکنون می توانیم ببینیم که برای مقادیر مختلف زاویه توابع زاویه خطی چه اتفاقی می افتد.

زاویه صفر است. ما سالاد داریم اما آب نداریم. ما نمی توانیم گل گاوزبان بپزیم. مقدار گل گاوزبان نیز صفر است. این اصلا به این معنی نیست که صفر گاوزبان برابر با صفر آب است. برش صفر نیز می تواند در سالاد صفر باشد (زاویه راست).

برای من شخصا، این دلیل اصلی ریاضی این واقعیت است که . صفر هنگام اضافه شدن عدد را تغییر نمی دهد. این به این دلیل است که اگر فقط یک جمله وجود داشته باشد و جمله دوم وجود نداشته باشد، خود جمع غیرممکن است. شما می توانید هر طور که دوست دارید با این موضوع ارتباط برقرار کنید، اما به یاد داشته باشید - تمام عملیات ریاضی با صفر توسط خود ریاضیدانان اختراع شده است، بنابراین منطق خود را دور بریزید و تعاریف ابداع شده توسط ریاضیدانان را احمقانه جمع کنید: "تقسیم بر صفر غیرممکن است"، "هر عددی ضربدر صفر شود." برابر با صفر" ، "پشت نقطه صفر" و مزخرفات دیگر است. کافی است یک بار به یاد داشته باشید که صفر یک عدد نیست و هرگز این سوال برای شما پیش نخواهد آمد که آیا صفر یک عدد طبیعی است یا خیر، زیرا چنین سوالی به طور کلی معنای خود را از دست می دهد: چگونه می توان عددی را غیر عددی در نظر گرفت. . مثل این است که بپرسیم یک رنگ نامرئی را به چه رنگی نسبت دهیم. افزودن صفر به یک عدد مانند نقاشی با رنگی است که وجود ندارد. آنها برس خشک را تکان دادند و به همه گفتند "ما نقاشی کرده ایم". اما کمی منحرف می شوم.

زاویه بزرگتر از صفر اما کمتر از چهل و پنج درجه است. ما کاهو زیاد داریم اما آب کم. در نتیجه یک گل گاوزبان غلیظ بدست می آوریم.

زاویه چهل و پنج درجه است. ما به مقدار مساوی آب و کاهو داریم. این گل گاوزبان عالی است (شاید آشپزها مرا ببخشند، این فقط ریاضی است).

زاویه بزرگتر از چهل و پنج درجه اما کمتر از نود درجه است. آب زیاد داریم و کاهو کم. گل گاوزبان مایع بگیرید.

زاویه راست. ما آب داریم فقط خاطراتی از کاهو باقی مانده است، زیرا ما به اندازه گیری زاویه از خطی که زمانی کاهو را مشخص می کرد، ادامه می دهیم. ما نمی توانیم گل گاوزبان بپزیم. مقدار گل گاوزبان صفر است. در این صورت دست نگه دارید و تا زمانی که آب در دسترس است بنوشید)))

اینجا. چیزی مثل این. من می توانم داستان های دیگری را در اینجا بگویم که در اینجا مناسب تر است.

این دو دوست سهم خود را در تجارت مشترک داشتند. بعد از قتل یکی از آنها همه چیز به سراغ دیگری رفت.

ظهور ریاضیات در سیاره ما.

همه این داستان ها به زبان ریاضیات با استفاده از توابع زاویه ای خطی گفته می شود. زمانی دیگر جایگاه واقعی این توابع را در ساختار ریاضیات به شما نشان خواهم داد. در ضمن به مثلثات گل گاوزبان برگردیم و پیش بینی ها را در نظر بگیریم.

شنبه 26 اکتبر 2019

ویدیوی جالبی در موردش دیدم ردیف گراندی یک منهای یک به علاوه یک منهای یک - Numberphile. ریاضیدانان دروغ می گویند. آنها آزمون برابری را در استدلال خود انجام ندادند.

این با استدلال من در مورد .

بیایید نگاهی دقیق‌تر به نشانه‌هایی داشته باشیم که نشان می‌دهد ریاضی‌دانان به ما تقلب می‌کنند. در همان ابتدای استدلال، ریاضیدانان می گویند که مجموع دنباله به زوج بودن یا نبودن تعداد عناصر آن بستگی دارد. این یک واقعیت عینی است. بعد چه اتفاقی می افتد؟

سپس، ریاضیدانان دنباله را از وحدت کم می کنند. این به چه چیزی منجر می شود؟ این منجر به تغییر در تعداد عناصر در دنباله می شود - یک عدد زوج به یک عدد فرد، یک عدد فرد به یک عدد زوج تغییر می کند. پس از همه، ما یک عنصر برابر با یک به دنباله اضافه کرده ایم. با وجود تمام شباهت های بیرونی، دنباله قبل از تبدیل با دنباله بعد از تبدیل برابر نیست. حتی اگر در مورد یک دنباله نامتناهی صحبت می کنیم، باید به خاطر داشته باشیم که یک دنباله نامتناهی با تعداد فرد فرد با یک دنباله نامتناهی با تعدادی عنصر زوج برابر نیست.

با قرار دادن علامت مساوی بین دو دنباله متفاوت از نظر تعداد عناصر، ریاضیدانان ادعا می کنند که مجموع دنباله به تعداد عناصر موجود در دنباله بستگی ندارد، که با یک واقعیت عینی تثبیت شده در تضاد است. استدلال بیشتر در مورد مجموع یک دنباله نامتناهی نادرست است، زیرا بر اساس یک برابری کاذب است.

اگر می بینید که ریاضیدانان در دوره اثبات پرانتز قرار می دهند، عناصر یک عبارت ریاضی را دوباره مرتب می کنند، چیزی اضافه یا حذف می کنند، بسیار مراقب باشید، به احتمال زیاد آنها سعی دارند شما را فریب دهند. مانند جادوگران کارت، ریاضی‌دانان توجه شما را با دستکاری‌های مختلف بیان منحرف می‌کنند تا در نهایت نتیجه‌ای نادرست به شما بدهند. اگر نمی توانید حقه کارت را بدون دانستن راز تقلب تکرار کنید، در ریاضیات همه چیز بسیار ساده تر است: شما حتی به چیزی در مورد تقلب مشکوک نیستید، اما تکرار تمام دستکاری ها با یک عبارت ریاضی به شما امکان می دهد دیگران را متقاعد کنید. درستی نتیجه، درست مثل زمانی که شما را متقاعد کرده اید.

سوال مخاطب: و بی نهایت (به عنوان تعداد عناصر دنباله S) زوج است یا فرد؟ چگونه می توانید برابری چیزی را تغییر دهید که برابری ندارد؟

بی نهایت برای ریاضیدانان مانند پادشاهی بهشت ​​برای کشیشان است - هیچ کس تا به حال آنجا نبوده است، اما همه دقیقاً می دانند که همه چیز در آنجا چگونه کار می کند))) موافقم، پس از مرگ شما کاملاً بی تفاوت خواهید بود، چه تعداد روز زندگی کرده باشید یا فرد. ، اما ... با اضافه کردن فقط یک روز به ابتدای زندگی شما، یک شخص کاملاً متفاوت دریافت می کنیم: نام خانوادگی، نام و نام خانوادگی او دقیقاً یکسان است، فقط تاریخ تولد کاملاً متفاوت است - او یک متولد شده است. روز قبل از شما

و حالا به اصل مطلب))) فرض کنید یک دنباله متناهی که برابری دارد، وقتی به سمت بی نهایت می رود، این برابری را از دست می دهد. سپس هر قطعه متناهی از یک دنباله نامتناهی نیز باید برابری را از دست بدهد. ما این را رعایت نمی کنیم. این واقعیت که نمی‌توانیم با اطمینان بگوییم که تعداد عناصر در یک دنباله نامتناهی زوج یا فرد است، اصلاً به این معنی نیست که برابری ناپدید شده است. برابری، اگر وجود داشته باشد، نمی تواند بدون هیچ ردی در بی نهایت ناپدید شود، مانند آستین یک کارت تیزتر. قیاس بسیار خوبی برای این مورد وجود دارد.

آیا تا به حال از فاخته ای که در ساعت نشسته است پرسیده اید که عقربه ساعت در کدام جهت می چرخد؟ برای او، فلش در جهت مخالف آنچه ما "جهت عقربه های ساعت" می نامیم می چرخد. ممکن است متناقض به نظر برسد، اما جهت چرخش تنها به این بستگی دارد که ما چرخش را از کدام سمت مشاهده کنیم. و بنابراین، ما یک چرخ داریم که می چرخد. ما نمی توانیم بگوییم که چرخش در کدام جهت رخ می دهد، زیرا می توانیم آن را هم از یک طرف صفحه چرخش و هم از طرف دیگر مشاهده کنیم. ما فقط می توانیم به این واقعیت شهادت دهیم که چرخش وجود دارد. قیاس کامل با برابری یک دنباله نامتناهی اس.

حالا بیایید چرخ دوار دومی را اضافه کنیم که صفحه چرخش آن موازی با صفحه چرخش اولین چرخ دوار است. ما هنوز نمی‌توانیم دقیقاً بگوییم این چرخ‌ها در کدام جهت می‌چرخند، اما می‌توانیم با اطمینان کامل بگوییم که آیا هر دو چرخ در یک جهت می‌چرخند یا در جهت مخالف. مقایسه دو دنباله بی نهایت اسو 1-S، من با کمک ریاضیات نشان دادم که این دنباله ها برابری متفاوتی دارند و قرار دادن علامت مساوی بین آنها اشتباه است. من شخصاً به ریاضیات اعتقاد دارم ، به ریاضیدانان اعتماد ندارم))) به هر حال ، برای درک کامل هندسه تبدیل دنباله های بینهایت ، لازم است این مفهوم را معرفی کنیم. "هم زمان". این باید ترسیم شود.

چهارشنبه 7 آگوست 2019

در پایان گفتگو در مورد ، باید مجموعه ای بی نهایت را در نظر بگیریم. با توجه به این که مفهوم "بی نهایت" بر ریاضیدانان تأثیر می گذارد، مانند یک بوآ بر روی خرگوش. وحشت لرزان بی نهایت ریاضیدانان را از عقل سلیم محروم می کند. به عنوان مثال:

منبع اصلی قرار دارد. آلفا یک عدد واقعی را نشان می دهد. علامت مساوی در عبارات بالا نشان می دهد که اگر یک عدد یا بینهایت را به بی نهایت اضافه کنید چیزی تغییر نمی کند، نتیجه همان بی نهایت خواهد بود. اگر مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی را به عنوان مثال در نظر بگیریم، نمونه های در نظر گرفته شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

برای اثبات بصری ادعای خود، ریاضیدانان روش های مختلفی را ارائه کرده اند. من شخصاً به همه این روش ها به عنوان رقص شمن ها با تنبور نگاه می کنم. در اصل، همه آنها به این واقعیت می رسند که یا برخی از اتاق ها اشغال نشده و مهمانان جدید در آنها مستقر می شوند یا اینکه برخی از بازدیدکنندگان را به داخل راهرو پرتاب می کنند تا برای مهمانان جا باز کنند (بسیار انسانی). من دیدگاه خود را در مورد چنین تصمیماتی در قالب داستانی خارق العاده در مورد بلوند ارائه کردم. استدلال من بر چه اساسی است؟ جابجایی تعداد بی نهایت بازدید کننده زمان بی نهایت می برد. پس از اینکه اولین اتاق مهمان را خالی کردیم، یکی از بازدیدکنندگان همیشه تا پایان زمان در امتداد راهرو از اتاق خود به اتاق بعدی راه می رود. البته می توان عامل زمان را به طور احمقانه نادیده گرفت، اما این قبلاً از دسته "قانون برای احمق ها نوشته نشده است" خواهد بود. همه چیز به کاری که انجام می دهیم بستگی دارد: تطبیق واقعیت با تئوری های ریاضی یا بالعکس.

"هتل بی نهایت" چیست؟ مسافرخانه اینفینیتی مسافرخانه ای است که همیشه هر تعداد جای خالی دارد، مهم نیست چند اتاق اشغال شده باشد. اگر تمام اتاق‌های راهروی بی‌انتها «برای بازدیدکنندگان» اشغال شود، راهروی بی‌انتهای دیگری با اتاق‌هایی برای «مهمان» وجود دارد. تعداد نامحدودی از این راهروها وجود خواهد داشت. در عین حال، "هتل بینهایت" دارای تعداد بی نهایت طبقه در تعداد نامتناهی ساختمان در تعداد بی نهایت سیاره در تعداد بی نهایت جهان است که توسط تعداد بی نهایت خدا ایجاد شده اند. از سوی دیگر، ریاضیدانان قادر به دور شدن از مشکلات پیش پا افتاده روزمره نیستند: خدا-الله-بودا همیشه یکی است، هتل یکی است، راهرو تنها یکی است. بنابراین ریاضیدانان در تلاشند تا شماره سریال اتاق‌های هتل را به اشتباه بیاندازند و ما را متقاعد کنند که می‌توان «بی فشارها را هل داد».

من منطق استدلال خود را با استفاده از مثال مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی به شما نشان خواهم داد. ابتدا باید به یک سوال بسیار ساده پاسخ دهید: چند مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد - یک یا چند؟ هیچ پاسخ درستی برای این سوال وجود ندارد، زیرا ما خودمان اعداد را اختراع کرده ایم، در طبیعت هیچ عددی وجود ندارد. بله، طبیعت می داند که چگونه بشمرد، اما برای این کار از ابزارهای ریاضی دیگری استفاده می کند که برای ما آشنا نیستند. همانطور که طبیعت فکر می کند، یک بار دیگر به شما خواهم گفت. از آنجایی که ما اعداد را اختراع کردیم، خودمان تصمیم خواهیم گرفت که چند مجموعه از اعداد طبیعی وجود داشته باشد. هر دو گزینه را همانطور که شایسته یک دانشمند واقعی است در نظر بگیرید.

گزینه یک «بگذارید به ما داده شود» یک مجموعه واحد از اعداد طبیعی، که به آرامی در یک قفسه قرار دارد. این مجموعه را از قفسه می گیریم. همین است، هیچ عدد طبیعی دیگری در قفسه باقی نمانده و جایی برای بردن آنها وجود ندارد. ما نمی توانیم یکی را به این مجموعه اضافه کنیم، زیرا از قبل آن را داریم. اگه واقعا بخوای چی؟ مشکلی نیست می‌توانیم یک واحد از مجموعه‌ای که قبلاً گرفته‌ایم برداریم و به قفسه برگردانیم. پس از آن، می توانیم یک واحد از قفسه برداریم و آن را به چیزی که باقی مانده اضافه کنیم. در نتیجه، دوباره مجموعه ای بی نهایت از اعداد طبیعی را دریافت می کنیم. شما می توانید تمام دستکاری های ما را اینگونه بنویسید:

من عملیات را در نماد جبری و تئوری مجموعه ها نوشته ام و عناصر مجموعه را با جزئیات فهرست کرده ام. زیرنویس نشان می دهد که ما یک و تنها مجموعه اعداد طبیعی داریم. معلوم می شود که مجموعه اعداد طبیعی تنها در صورتی بدون تغییر باقی می ماند که یک عدد از آن کم شود و همان واحد اضافه شود.

گزینه دو ما مجموعه های بی نهایت متفاوتی از اعداد طبیعی در قفسه داریم. تاکید می کنم - متفاوت هستند، علیرغم این واقعیت که آنها عملاً قابل تشخیص نیستند. یکی از این مجموعه ها را می گیریم. سپس از مجموعه اعداد طبیعی دیگری یکی را می گیریم و به مجموعه ای که قبلاً گرفته ایم اضافه می کنیم. حتی می توانیم دو مجموعه اعداد طبیعی را اضافه کنیم. در اینجا چیزی است که ما دریافت می کنیم:

زیرنویس "یک" و "دو" نشان می دهد که این عناصر به مجموعه های مختلف تعلق داشته اند. بله، اگر یکی را به یک مجموعه بی نهایت اضافه کنید، نتیجه نیز یک مجموعه بی نهایت خواهد بود، اما با مجموعه اصلی یکسان نخواهد بود. اگر یک مجموعه نامتناهی به مجموعه نامتناهی دیگری اضافه شود، نتیجه یک مجموعه نامتناهی جدید است که از عناصر دو مجموعه اول تشکیل شده است.

مجموعه اعداد طبیعی برای شمارش به همان روشی که خط کش برای اندازه گیری ها استفاده می شود. حال تصور کنید که یک سانتی متر به خط کش اضافه کرده اید. این قبلاً یک خط متفاوت خواهد بود، نه با خط اصلی.

شما می توانید استدلال من را بپذیرید یا نپذیرید - این کار خودتان است. اما اگر روزی با مشکلات ریاضی مواجه شدید، به این فکر کنید که آیا در مسیر استدلال نادرست هستید که توسط چندین نسل از ریاضیدانان زیر پا گذاشته شده است. از این گذشته ، کلاس های ریاضی اول از همه یک کلیشه پایدار از تفکر در ما شکل می دهند و فقط در این صورت توانایی های ذهنی را به ما اضافه می کنند (یا برعکس ، ما را از تفکر آزاد محروم می کنند).

pozg.ru

یکشنبه 4 آگوست 2019

من در حال نوشتن پس‌نوشته‌ای برای مقاله‌ای درباره‌اش بودم و این متن فوق‌العاده را در ویکی‌پدیا دیدم:

می خوانیم: «... مبنای نظری غنی ریاضیات بابل، ویژگی کل نگر نداشت و به مجموعه ای از فنون ناهمگون، عاری از یک سیستم و پایگاه شواهد مشترک، تقلیل یافت.

وای! چقدر باهوشیم و چقدر می توانیم کاستی های دیگران را ببینیم. آیا برای ما ضعیف است که به ریاضیات مدرن در همین چارچوب نگاه کنیم؟ با تعبیر کمی متن بالا، شخصاً موارد زیر را دریافت کردم:

مبانی نظری غنی ریاضیات مدرن ویژگی کل نگر ندارد و به مجموعه ای از بخش های نامتجانس کاهش می یابد که فاقد یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد است.

من برای تأیید سخنانم زیاد نمی روم - زبان و قراردادهایی دارد که با زبان و قراردادهای بسیاری از شاخه های دیگر ریاضی متفاوت است. نام های مشابه در شاخه های مختلف ریاضی می تواند معانی مختلفی داشته باشد. من می خواهم یک چرخه کامل از انتشارات را به آشکارترین اشتباهات ریاضیات مدرن اختصاص دهم. به زودی میبینمت.

شنبه 3 آگوست 2019

چگونه یک مجموعه را به زیر مجموعه ها تقسیم کنیم؟ برای این کار باید واحد اندازه گیری جدیدی را وارد کنید که در برخی از عناصر مجموعه انتخاب شده وجود دارد. یک مثال را در نظر بگیرید.

باشد که ما بسیاری داشته باشیم ولیمتشکل از چهار نفر این مجموعه بر اساس "مردم" تشکیل شده است. بیایید عناصر این مجموعه را از طریق حرف مشخص کنیم آ، زیرنویس با یک عدد نشان دهنده شماره ترتیبی هر فرد در این مجموعه خواهد بود. بیایید یک واحد اندازه گیری جدید "ویژگی جنسی" را معرفی کنیم و آن را با حرف نشان دهیم ب. از آنجایی که ویژگی های جنسی در همه افراد ذاتی است، هر عنصر مجموعه را ضرب می کنیم ولیدر مورد جنسیت ب. توجه کنید که مجموعه "مردم" ما اکنون به مجموعه "افراد با جنسیت" تبدیل شده است. پس از آن می توان ویژگی های جنسی را به مردان تقسیم کرد bmو زنانه bwویژگی های جنسیتی حالا می‌توانیم یک فیلتر ریاضی اعمال کنیم: یکی از این ویژگی‌های جنسی را انتخاب می‌کنیم، فرقی نمی‌کند کدام یک مرد باشد یا زن. اگر در شخصی وجود داشته باشد آن را در یک ضرب می کنیم، اگر چنین علامتی وجود نداشته باشد آن را در صفر ضرب می کنیم. و سپس ریاضیات معمول مدرسه را اعمال می کنیم. ببین چی شد

پس از ضرب، کاهش و بازآرایی، دو زیرمجموعه بدست آوردیم: زیرمجموعه مذکر bmو زیر مجموعه ای از زنان bw. تقریباً به همان روشی که ریاضی‌دانان وقتی نظریه مجموعه‌ها را در عمل به کار می‌برند، استدلال می‌کنند. اما آنها به ما اجازه ورود به جزئیات را نمی دهند، اما نتیجه نهایی را به ما می دهند - "بسیاری از مردم از زیرمجموعه ای از مردان و زیر مجموعه ای از زنان تشکیل شده اند." به طور طبیعی، ممکن است برای شما این سوال پیش بیاید که چگونه ریاضیات را به درستی در تبدیل های فوق به کار برد؟ من جرات می کنم به شما اطمینان دهم که در واقع تبدیل ها به درستی انجام شده است، کافی است توجیه ریاضی حساب، جبر بولی و سایر بخش های ریاضیات را بدانید. چیست؟ یک بار دیگر در مورد آن به شما خواهم گفت.

در مورد ابرمجموعه ها، می توان با انتخاب واحد اندازه گیری که در عناصر این دو مجموعه وجود دارد، دو مجموعه را در یک سوپرست ترکیب کرد.

همانطور که می بینید، واحدهای اندازه گیری و ریاضی رایج، تئوری مجموعه ها را به گذشته تبدیل می کند. نشانه این که همه چیز با تئوری مجموعه ها خوب نیست این است که ریاضیدانان زبان و نماد خود را برای نظریه مجموعه ها ارائه کرده اند. ریاضیدانان همان کاری را کردند که زمانی شمن ها انجام می دادند. فقط شمن ها می دانند که چگونه "دانش" خود را "درست" به کار ببرند. این «دانش» را به ما می آموزند.

در پایان، من می خواهم به شما نشان دهم که ریاضیدانان چگونه دستکاری می کنند
فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل این مسافت را می دود، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم بدود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند به طور نامحدود ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، گیلبرت... همگی، به نوعی، آپوریاهای زنون را در نظر گرفتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث در حال حاضر ادامه دارد، جامعه علمی هنوز نتوانسته است در مورد ماهیت پارادوکس ها به یک نظر مشترک برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده جهانی برای مشکل تبدیل نشدند ...«[ویکی‌پدیا»، «آپوریاهای زنو»]. همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب چیست.

از نقطه نظر ریاضیات، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از مقدار به را نشان داد. این انتقال به معنای اعمال به جای ثابت است. تا آنجا که من متوجه شدم، دستگاه ریاضی برای به کارگیری واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما با اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را برای متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد در لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد، زمان کاهش می یابد و به توقف کامل می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد.

اگر منطقی را که به آن عادت کرده‌ایم بچرخانیم، همه چیز سر جای خودش قرار می‌گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر خود ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت به سرعت از لاک پشت پیشی خواهد گرفت».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به مقادیر متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو، به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی، برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. گفته انیشتین در مورد غیرقابل حل بودن سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آشیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنون از یک تیر پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا نکته دیگری قابل ذکر است. از یک عکس از یک ماشین در جاده، نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین واقعیت حرکت ماشین، دو عکس گرفته شده از یک نقطه در نقاط مختلف زمان مورد نیاز است، اما نمی توان از آنها برای تعیین فاصله استفاده کرد. برای تعیین فاصله تا ماشین، شما نیاز به دو عکس دارید که از نقاط مختلف فضا به طور همزمان گرفته شده اند، اما نمی توانید واقعیت حرکت را از آنها تعیین کنید (البته، هنوز هم برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند) . چیزی که می خواهم به طور خاص به آن اشاره کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در فضا دو چیز متفاوت هستند که نباید اشتباه گرفته شوند زیرا فرصت های متفاوتی برای کاوش فراهم می کنند.
من روند را با یک مثال نشان خواهم داد. ما "جامد قرمز در یک جوش" را انتخاب می کنیم - این "کل" ما است. در عین حال می بینیم که این چیزها با کمان هستند و بدون کمان هستند. پس از آن قسمتی از «کل» را انتخاب می کنیم و مجموعه «با کمان» را تشکیل می دهیم. این گونه است که شمن ها با گره زدن نظریه مجموعه خود به واقعیت، خود را تغذیه می کنند.

حالا بیایید یک ترفند کوچک انجام دهیم. بیایید "جامد در یک جوش با کمان" را بگیریم و این "کل" را با رنگ متحد کنیم و عناصر قرمز را انتخاب کنیم. "قرمز" زیادی گرفتیم. حالا یک سوال پیچیده: آیا ست های دریافتی "با کمان" و "قرمز" یک ست هستند یا دو ست متفاوت؟ فقط شمن ها جواب را می دانند. به عبارت دقیق تر، آنها خودشان چیزی نمی دانند، اما همانطور که می گویند، همینطور باشد.

این مثال ساده نشان می دهد که نظریه مجموعه ها در مورد واقعیت کاملاً بی فایده است. راز چیست؟ مجموعه ای از "جوال قرمز جامد با کمان" را تشکیل دادیم. شکل گیری بر اساس چهار واحد اندازه گیری مختلف صورت گرفت: رنگ (قرمز)، استحکام (جامد)، زبری (در یک دست انداز)، تزئینات (با کمان). تنها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری، توصیف مناسب اشیاء واقعی را در زبان ریاضی ممکن می سازد.. در اینجا به نظر می رسد.

حرف "a" با شاخص های مختلف نشان دهنده واحدهای اندازه گیری متفاوت است. در پرانتز، واحدهای اندازه گیری برجسته شده است، که بر اساس آن "کل" در مرحله مقدماتی اختصاص داده می شود. واحد اندازه گیری که بر اساس آن مجموعه تشکیل می شود، از براکت ها خارج می شود. آخرین خط نتیجه نهایی را نشان می دهد - یک عنصر از مجموعه. همانطور که می بینید، اگر از واحدها برای تشکیل یک مجموعه استفاده کنیم، نتیجه به ترتیب اعمال ما بستگی ندارد. و این ریاضیات است و نه رقص شمن ها با تنبور. شمن ها می توانند "به طور شهودی" به همان نتیجه برسند و آن را با "بدیهی" استدلال کنند، زیرا واحدهای اندازه گیری در زرادخانه "علمی" آنها گنجانده نشده است.

با کمک واحدهای اندازه گیری، شکستن یک یا ترکیب چند مجموعه در یک سوپرست بسیار آسان است. بیایید نگاهی دقیق تر به جبر این فرآیند بیندازیم.

در آخرین درس، ما با موفقیت بر مفاهیم کلیدی همه مثلثات تسلط یافتیم (یا آن را تکرار کردیم - همانطور که هر کسی دوست دارد). آی تی دایره مثلثاتی , زاویه روی یک دایره , سینوس و کسینوس این زاویه و همچنین تسلط یافت نشانه های توابع مثلثاتی در ربع . به تفصیل یاد گرفت. در انگشتان، می توان گفت.

اما این هنوز کافی نیست. برای اینکه بتوانیم با موفقیت تمام این مفاهیم ساده را در عمل به کار ببریم، به مهارت مفید دیگری نیاز داریم. یعنی درسته کار با گوشه ها در مثلثات بدون این مهارت در مثلثات - هیچ چیز. حتی در ابتدایی ترین نمونه ها. چرا؟ بله، زیرا زاویه، نقش کلیدی در تمام مثلثات است! نه، نه توابع مثلثاتی، نه سینوس با کسینوس، نه مماس با کوتانژانت، یعنی خود گوشه. بدون زاویه - بدون توابع مثلثاتی، بله ...

چگونه با گوشه ها روی دایره کار کنیم؟ برای این کار باید از قضا دو نکته را یاد بگیریم.

1) چگونهآیا زوایای یک دایره شمارش می شود؟

2) چیآیا آنها شمارش می شوند (اندازه گیری می شوند)؟

پاسخ سوال اول موضوع درس امروز است. ما در اینجا و اکنون به طور مفصل به سؤال اول خواهیم پرداخت. پاسخ سوال دوم در اینجا داده نخواهد شد. چون کاملا توسعه یافته است. مثل خود سوال دوم خیلی لغزنده است، بله) فعلا وارد جزئیات نمی شوم. این موضوع درس جداگانه بعدی است.

شروع کنیم؟

زوایای یک دایره چگونه محاسبه می شود؟ زوایای مثبت و منفی.

کسانی که عنوان پاراگراف را می خوانند ممکن است از قبل موهایشان سیخ شده باشد. چطور؟! گوشه های منفی؟ آیا این حتی ممکن است؟

به منفی شمارهما قبلاً به آن عادت کرده ایم. می‌توانیم آنها را روی محور عددی نشان دهیم: مثبت به سمت راست صفر، منفی به سمت چپ صفر. بله، و ما به صورت دوره ای به دماسنج خارج از پنجره نگاه می کنیم. به خصوص در زمستان، در یخبندان.) و پول تلفن در "منهای" است (یعنی. وظیفه) گاهی از بین می روند. همه اش آشناست

اما گوشه ها چطور؟ به نظر می رسد که زوایای منفی در ریاضیات نیز اتفاق می افتد!همه چیز به نحوه شمارش این زاویه بستگی دارد ... نه، نه روی یک خط اعداد، بلکه روی یک دایره اعداد! یعنی در یک دایره. دایره - اینجاست، آنالوگ خط اعداد در مثلثات!

بنابراین، زوایای یک دایره چگونه محاسبه می شود؟کاری نمی توان کرد، ابتدا باید همین دایره را ترسیم کنیم.

من این تصویر زیبا را می کشم:

بسیار شبیه به عکس های درس قبل است. محور وجود دارد، یک دایره وجود دارد، یک زاویه وجود دارد. اما اطلاعات جدیدی نیز وجود دارد.

من همچنین اعداد 0 درجه، 90 درجه، 180 درجه، 270 درجه و 360 درجه را روی محورها اضافه کردم. حالا این جالب تر است.) این اعداد چیست؟ به درستی! این مقادیر زوایای اندازه گیری شده از سمت ثابت ما هستند که سقوط می کنند در محورهای مختصاتبه یاد می آوریم که سمت ثابت زاویه همیشه محکم به نیم محور مثبت OX متصل است. و هر زاویه ای در مثلثات از این نیم محور اندازه گیری می شود. این خاستگاه اصلی زوایا را باید از قضا باید در نظر داشت. و محورها - آنها در زوایای قائم تلاقی می کنند، درست است؟ بنابراین در هر ربع 90 درجه اضافه می کنیم.

و موارد دیگر اضافه شد فلش قرمز. با یک امتیاز قرمز از عمد برای جلب توجه است. و به خوبی در حافظه ام ماندگار شد. برای این باید به طور قابل اعتماد به خاطر بسپارید.) این فلش به چه معناست؟

بنابراین معلوم می شود، اگر ما گوشه خود را بچرخانیم به علاوه فلش(در خلاف جهت عقربه های ساعت، در مسیر شماره گذاری ربع)، سپس زاویه مثبت تلقی خواهد شد!شکل به عنوان مثال زاویه +45 درجه را نشان می دهد. به هر حال، لطفاً توجه داشته باشید که زوایای محوری 0 درجه، 90 درجه، 180 درجه، 270 درجه و 360 درجه نیز دقیقاً در حالت مثبت قرار دارند! با فلش قرمز

حالا بیایید به تصویر دیگری نگاه کنیم:

اینجا تقریبا همه چیز یکسان است. فقط زوایای روی محورها شماره گذاری می شوند معکوس شد.در جهت عقربه های ساعت و علامت منفی دارند.) فلش آبی همچنین با منهای. این فلش جهت قرائت منفی زوایای روی دایره است. او به ما نشان می دهد که اگر گوشه خود را به تعویق بیندازیم در جهت عقربه های ساعت، سپس زاویه منفی در نظر گرفته خواهد شد.برای مثال من زاویه 45- را نشان دادم.

به هر حال، لطفا توجه داشته باشید که شماره گذاری یک چهارم هرگز تغییر نمی کند! فرقی نمی کند که گوشه ها را به مثبت یا منفی بپیچیم. همیشه کاملاً خلاف جهت عقربه های ساعت.)

یاد آوردن:

1. شروع شمارش زوایا از نیم محور مثبت ОХ است. ساعت - "منهای"، در مقابل ساعت - "به علاوه".

2. شماره گذاری ربع ها بدون توجه به جهت محاسبه زوایا همیشه در خلاف جهت عقربه های ساعت است.

ضمناً علامت زدن زوایای روی محورهای 0°, 90°, 180°, 270°, 360° در هر بار کشیدن دایره به هیچ وجه الزامی نیست. این صرفا برای درک اصل است. اما این اعداد باید وجود داشته باشند در سر شماهنگام حل هر مسئله ای در مثلثات. چرا؟ بله، زیرا این دانش ابتدایی به بسیاری از سوالات دیگر در تمام مثلثات پاسخ می دهد! مهمترین سوال این است زاویه ای که ما به آن علاقه مندیم در کدام چهارم قرار می گیرد؟ باور کنید یا نه، پاسخ صحیح به این سوال سهم بزرگی از مشکلات دیگر مثلثات را حل می کند. به این درس مهم (توزیع زوایا در ربع) در همان درس اما کمی بعد می پردازیم.

مقادیر زوایای قرار گرفته بر روی محورهای مختصات (0 درجه، 90 درجه، 180 درجه، 270 درجه و 360 درجه) باید به خاطر بسپارید! به طور قاطعانه، به اتوماسیون را به خاطر بسپارید. و هر دو مثبت و منفی.

اما از این لحظه اولین شگفتی ها شروع می شود. و همراه با آنها سوالات حیله گر خطاب به من، بله ...) و اگر زاویه منفی روی دایره باشد چه اتفاقی می افتد با مثبت مطابقت دارد؟معلوم می شود که همین نکتهروی یک دایره را می توان به عنوان یک زاویه مثبت، و یک منفی نشان داد ???

کاملا درسته! همینطور است.) برای مثال، زاویه مثبت 270+ روی یک دایره اشغال می‌شود همان موقعیت که زاویه منفی 90 درجه است. یا مثلاً زاویه مثبت +45 درجه روی یک دایره خواهد گرفت همان موقعیت که زاویه منفی -315 درجه است.

ما به تصویر بعدی نگاه می کنیم و همه چیز را می بینیم:

به طور مشابه، زاویه مثبت 150+ در جایی که زاویه منفی 210 درجه و زاویه مثبت 230+ درجه به همان نقطه منفی 130 درجه می رود. و غیره…

و حالا چه کاری می توانم انجام دهم؟ اگر اینجوری و آن طرفی امکان پذیر است، دقیقاً چگونه می توان زوایا را شمرد؟ چقدر درسته؟

پاسخ: به هر حال درست است!ریاضیات هیچ یک از دو جهت را برای شمارش زوایا منع نمی کند. و انتخاب یک جهت خاص فقط به کار بستگی دارد. اگر تکلیف چیزی در متن ساده در مورد علامت زاویه نگوید (مانند "بزرگترین را تعیین کنید منفیگوشه"و غیره)، سپس ما با راحت ترین زاویه برای خود کار می کنیم.

البته برای مثال در موضوعات جالبی مانند معادلات مثلثاتی و نامساوی، جهت محاسبه زوایا می تواند تاثیر زیادی در پاسخ داشته باشد. و در تاپیک های مربوطه به بررسی این دام ها می پردازیم.

یاد آوردن:

هر نقطه از دایره را می توان با هر دو زاویه مثبت و منفی نشان داد. هر کسی! چیزی که ما می خواهیم.

حالا بیایید به این موضوع فکر کنیم. متوجه شدیم که زاویه 45 درجه دقیقاً با زاویه -315 درجه یکسان است؟ من از کجا متوجه همین 315 شدم° ? نمی توانید حدس بزنید؟ آره! از طریق یک چرخش کامل.) در 360 درجه. زاویه 45 درجه داریم. قبل از نوبت کامل چقدر کم است؟ 45 را کم کنید° از 360° - در اینجا ما 315 را دریافت می کنیم° . ما در جهت منفی باد می کنیم - و زاویه 315- درجه به دست می آید. هنوز مشخص نیست؟ سپس دوباره به تصویر بالا نگاه کنید.

و این باید همیشه هنگام ترجمه زوایای مثبت به زوایای منفی (و بالعکس) انجام شود - یک دایره بکشید، توجه داشته باشید در بارهدر یک زاویه مشخص، چند درجه قبل از یک پیچ کامل را در نظر می گیریم و اختلاف حاصل را در جهت مخالف می پیچیم. و بس.)

چه چیز دیگری در مورد گوشه هایی که روی دایره همان موقعیت را اشغال می کنند جالب است، نظر شما چیست؟ و این واقعیت است که گوشه و کنار دقیقا همینطور سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت! همیشه ... هست!

مثلا:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249 ° = tg (-111 درجه)

Ctg333° = ctg (-27°)

و اکنون این بسیار مهم است! برای چی؟ بله، همه برای همین!) برای ساده کردن عبارات. برای ساده سازی عبارات یک روش کلیدی برای یک راه حل موفق است هرتکالیف در ریاضیات و مثلثات نیز.

بنابراین، ما قانون کلی برای شمارش زوایای یک دایره را کشف کردیم. خوب، اگر در اینجا به پیچ‌های کامل، حدود یک چهارم اشاره می‌کردیم، وقت آن است که همین گوشه‌ها را بپیچانیم و ترسیم کنیم. بکشیم؟)

بیا شروع کنیم با مثبتگوشه ها ترسیم آنها آسان تر خواهد بود.

زوایایی را در یک دور رسم کنید (بین 0 تا 360 درجه).

برای مثال زاویه 60 درجه را رسم می کنیم. همه چیز در اینجا ساده است، بدون زواید. ما محورهای مختصات، یک دایره رسم می کنیم. شما می توانید به طور مستقیم با دست، بدون هیچ قطب نما و خط کش. ترسیم می کنیم به صورت شماتیکپاسخ: ما پیش نویسی با شما نداریم. نیازی به رعایت GOST ها نیست، آنها مجازات نمی شوند.)

می توانید (برای خودتان) مقادیر زاویه ها را روی محورها علامت گذاری کنید و فلش را در جهت نشان دهید. خلاف ساعتپس از همه، ما قصد داریم پول را به عنوان یک مزیت پس انداز کنیم؟) شما نمی توانید این کار را انجام دهید، اما باید همه چیز را در ذهن خود نگه دارید.

و حالا ضلع دوم (متحرک) گوشه را می کشیم. چه ربعی؟ البته در اولی! برای 60 درجه به شدت بین 0 تا 90 درجه است. بنابراین در کوارتر اول مساوی می کنیم. در یک زاویه در باره 60 درجه به سمت ثابت. نحوه شمارش در باره 60 درجه بدون نقاله؟ به آسانی! 60 درجه است دو سوم زاویه قائمه!ربع اول دایره را ذهنی به سه قسمت تقسیم می کنیم، دو سوم را برای خودمان می گیریم. و ما ترسیم می کنیم ... واقعاً چقدر به آنجا می رسیم (اگر نقاله را وصل کنیم و اندازه گیری کنیم) - 55 درجه یا 64 - مهم نیست! مهم است که هنوز جایی است حدود 60 درجه.

ما یک تصویر دریافت می کنیم:

همین. و هیچ ابزاری لازم نبود. ما یک چشم را توسعه می دهیم! در کارهای هندسه به کارتان می آید.) این طراحی نامناسب می تواند زمانی ضروری باشد که بخواهید یک دایره و یک زاویه را با عجله خراش دهید، بدون اینکه واقعاً به زیبایی فکر کنید. اما در عین حال خط خطی کنید درست، بدون خطا، با تمام اطلاعات لازم. به عنوان مثال، به عنوان کمکی در حل معادلات و نابرابری های مثلثاتی.

حالا بیایید یک زاویه مثلا 265 درجه رسم کنیم. حدس بزنید ممکن است کجا باشد؟ خب، واضح است که نه در سه ماهه اول و نه حتی در دوم: آنها در 90 و 180 درجه به پایان می رسند. می توانید فکر کنید که 265 درجه 180 درجه به اضافه 85 درجه دیگر است. یعنی به نیم محور منفی OX (که در آن 180 درجه) باید اضافه شود در باره 85 درجه یا، حتی ساده تر، حدس زدن اینکه 265 درجه به نیمه محور منفی OY (که در آن 270 درجه است) از 5 درجه تاسف بار نمی رسد. در یک کلام، در کوارتر سوم این گوشه وجود خواهد داشت. خیلی نزدیک به محور منفی OY، به 270 درجه، اما همچنان در سوم!

قرعه کشی:

باز هم، دقت مطلق در اینجا لازم نیست. بگذارید در واقعیت این زاویه مثلاً 263 درجه باشد. اما مهمترین سوال (چه ربعی؟)ما درست جواب دادیم چرا این مهمترین سوال است؟ بله، چون هر کاری با زاویه در مثلثات (چه این زاویه را رسم کنیم چه نکشیم) با پاسخ به همین سوال شروع می شود! همیشه ... هست. اگر این سوال را نادیده بگیرید یا سعی کنید ذهنی به آن پاسخ دهید، اشتباهات تقریباً اجتناب ناپذیر هستند، بله ... آیا به آن نیاز دارید؟

یاد آوردن:

هر کار با زاویه (از جمله کشیدن همین زاویه روی یک دایره) همیشه با تعیین یک چهارمی که این زاویه در آن قرار می گیرد شروع می شود.

حالا امیدوارم زوایا را درست رسم کنید مثلاً 182 درجه، 88 درجه، 280 درجه. AT درستچهارم. در سوم، اول و چهارم، اگر چیزی ...)

کوارتر چهارم با زاویه 360 درجه به پایان می رسد. این یک دور کامل است. فلفل واضح است که این زاویه روی دایره همان موقعیت 0 درجه (یعنی نقطه مرجع) را اشغال می کند. اما گوشه ها به همین جا ختم نمی شوند، بله...

با زوایای بیشتر از 360 درجه چه کنیم؟

"آیا چنین چیزهایی وجود دارد؟"- تو پرسیدی. وجود دارد، چگونه! به عنوان مثال، زاویه 444 درجه اتفاق می افتد. و گاهی اوقات، مثلا، زاویه 1000 درجه. همه نوع زاویه وجود دارد.) فقط از نظر بصری، چنین زوایای عجیب و غریب کمی پیچیده تر از زوایای معمول در یک چرخش درک می شوند. اما شما همچنین باید بتوانید چنین زوایایی را ترسیم و محاسبه کنید، بله.

برای ترسیم صحیح چنین زوایایی روی یک دایره، باید همین کار را انجام دهید - پیدا کنید زاویه بهره در کدام چهارم قرار می گیرد. در اینجا توانایی تعیین دقیق ربع بسیار مهمتر از زوایای 0 درجه تا 360 درجه است! روش تعیین یک چهارم تنها با یک مرحله پیچیده است. کدام را به زودی خواهید دید.

بنابراین، برای مثال، ما باید دریابیم که زاویه 444 درجه در کدام یک چهارم سقوط می کند. شروع به چرخیدن می کنیم. جایی که؟ به عنوان یک مزیت، البته! به ما زاویه مثبت دادند! +444 درجه ما می پیچیم، می پیچیم ... ما یک دور پیچ خوردیم - به 360 درجه رسیدیم.

چقدر تا 444 درجه باقی مانده است؟دم باقی مانده را می شماریم:

444-360 درجه = 84 درجه.

بنابراین 444 درجه یک دور کامل (360 درجه) به اضافه 84 درجه دیگر است. بدیهی است که این سه ماهه اول است. بنابراین، زاویه 444 درجه سقوط می کند در سه ماهه اولنیمه تمام.

اکنون باقی مانده است که این زاویه را به تصویر بکشیم. چگونه؟ بسیار ساده! یک دور کامل در امتداد فلش قرمز (به علاوه) می زنیم و 84 درجه دیگر اضافه می کنیم.

مثل این:

در اینجا من نقاشی را به هم ریختم - یک چهارم علامت بزنید، روی محورها زاویه بکشید. این همه خوبی باید برای مدت طولانی در ذهن من بود.)

اما من با یک "حلزون" یا یک مارپیچ نشان دادم که دقیقاً چگونه زاویه 444 درجه از زوایای 360 درجه و 84 درجه تشکیل می شود. خط قرمز نقطه چین یک دور کامل است. که 84 درجه نیز به آن پیچ می شود (خط جامد). ضمناً ، لطفاً توجه داشته باشید که اگر این چرخش بسیار کامل دور ریخته شود ، این به هیچ وجه بر موقعیت گوشه ما تأثیر نمی گذارد!

اما این مهم است! موقعیت زاویه 444 درجه کاملا منطبق استبا موقعیت زاویه 84 درجه. هیچ معجزه ای وجود ندارد، فقط اتفاق می افتد.)

آیا می توان نه یک دور کامل، بلکه دو یا بیشتر را دور انداخت؟

چرا که نه؟ اگر گوشه سنگین است، پس نه تنها ممکن است، بلکه حتی ضروری است! زاویه تغییر نمی کند! به طور دقیق تر، خود زاویه، البته، در بزرگی تغییر خواهد کرد. اما موقعیت او در دایره - به هیچ وجه!) به همین دلیل آنها پر شدهحرکت، که مهم نیست چند نسخه اضافه کنید، هر چقدر هم کم کنید، باز هم به همان نقطه خواهید رسید. خوبه، درسته؟

یاد آوردن:

اگر هر زاویه ای را اضافه (کم کنیم). کلتعداد دور کامل، موقعیت گوشه اصلی روی دایره تغییر نخواهد کرد!

مثلا:

زاویه 1000 درجه در کدام ربع سقوط می کند؟

مشکلی نیست! ما در نظر می گیریم که چند دور کامل در هزار درجه نشسته است. یک دور 360 درجه است، دیگری در حال حاضر 720 درجه است، سومی 1080 درجه است... توقف کنید! نیم تنه بنابراین، در زاویه 1000 درجه می نشیند دوگردش مالی کامل آنها را از 1000 درجه پرتاب کنید و باقیمانده را محاسبه کنید:

1000 درجه - 2 360 درجه = 280 درجه

بنابراین موقعیت زاویه 1000 درجه روی دایره یکسانکه همان زاویه 280 درجه است. کار کردن با آنها در حال حاضر بسیار لذت بخش تر است.) و این گوشه کجا می افتد؟ در ربع چهارم قرار می گیرد: 270 درجه (نیم محور OY منفی) به اضافه 10 درجه دیگر.

قرعه کشی:

در اینجا من دیگر دو چرخش کامل را با یک مارپیچ نقطه‌دار نکشیدم: به‌طور دردناکی طولانی است. فقط بقیه دم اسبی را کشید از صفر، دور انداختن همهچرخش اضافی انگار اصلا وجود نداشتند.)

یک بار دیگر. به خوبی، زوایای 444 درجه و 84 درجه و همچنین 1000 درجه و 280 درجه متفاوت هستند. اما برای سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت، این زوایا هستند همان!

همانطور که می بینید، برای کار با زوایای بزرگتر از 360 درجه، باید تعریف کنید چند دور کامل در یک زاویه بزرگ مشخص می‌شوند. این مرحله بسیار اضافی است که باید قبل از کار با چنین زوایایی انجام شود. هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟

البته انداختن دورهای کامل تجربه خوشایندی است.) اما در عمل، هنگام کار با زوایای کاملاً کابوس‌وار، مشکلاتی نیز پیش می‌آید.

مثلا:

زاویه 31240 درجه در کدام ربع سقوط می کند؟

و چه، ما 360 درجه را چندین و چند بار اضافه خواهیم کرد؟ این امکان وجود دارد، اگر به خصوص نسوزد. اما ما نه تنها می توانیم اضافه کنیم.) ما همچنین می توانیم تقسیم کنیم!

پس بیایید زاویه عظیم خود را به 360 درجه تقسیم کنیم!

با این عمل تازه متوجه می شویم که چه تعداد دور کامل در 31240 درجه ما پنهان شده است. شما می توانید یک گوشه را به اشتراک بگذارید، می توانید (در گوش خود زمزمه کنید :)) در ماشین حساب.)

ما 31240:360 = 86.777777 را دریافت می کنیم….

این واقعیت که معلوم شد عدد کسری است ترسناک نیست. ما فقط هستیم کلمن به گردش مالی علاقه مند هستم! بنابراین، نیازی به تقسیم تا انتها نیست.)

بنابراین، در گوشه پشمالو ما به اندازه 86 دور کامل نشسته است. وحشت…

بر حسب درجه خواهد بود86 360 درجه = 30960 درجه

مثل این. این همان چند درجه است که می توان بدون درد از یک زاویه 31240 درجه به بیرون پرتاب کرد. باقی:

31240 درجه - 30960 درجه = 280 درجه

همه چيز! موقعیت زاویه 31240 درجه کاملاً مشخص شد! در همان مکان 280 درجه. آن ها ربع چهارم.) به نظر می رسد قبلاً این زاویه را به تصویر کشیده ایم؟ زاویه 1000 درجه کی کشیده شد؟) اونجا هم 280 درجه رفتیم. اتفاقی.)

بنابراین اخلاقیات داستان این است:

اگر گوشه سنگین وحشتناکی به ما داده شود، پس:

1. تعیین کنید که چند دور کامل در این گوشه قرار دارد. برای این کار، زاویه اصلی را بر 360 تقسیم کرده و قسمت کسری را دور بریزید.

2. در نظر می گیریم که تعداد دورهای دریافتی چند درجه است. برای این کار تعداد دورها را در 360 ضرب کنید.

3. این چرخش ها را از زاویه اصلی کم کنید و با زاویه معمول در محدوده 0 تا 360 درجه کار کنید.

چگونه با زوایای منفی کار کنیم؟

مشکلی نیست! همانطور که با موارد مثبت، تنها با یک تفاوت واحد. چی؟ آره! باید گوشه ها را بچرخانید سمت معکوس، منهای! در جهت عقربه های ساعت.)

برای مثال، زاویه 200- درجه را رسم می کنیم. در ابتدا، همه چیز برای زوایای مثبت معمول است - محورها، یک دایره. بیایید یک فلش آبی با منهای رسم کنیم و زوایای محورها را به شکل دیگری امضا کنیم. البته آنها نیز باید در جهت منفی شمرده شوند. این زوایای همگی یکسان خواهند بود، از 90 درجه عبور می کنند، اما در جهت مخالف شمارش می شوند، منهای: 0°، -90°، -180°، -270°، -360°.

تصویر به شکل زیر خواهد بود:

هنگام کار با زوایای منفی، اغلب احساس سردرگمی جزئی وجود دارد. چطور؟! معلوم می شود که همان محور هر دو است، مثلاً +90 درجه و -270 درجه؟ نه، اینجا چیزی اشتباه است...

بله، همه چیز تمیز و شفاف است! از این گذشته ، ما قبلاً می دانیم که هر نقطه روی دایره را می توان هم زاویه مثبت و هم زاویه منفی نامید! مطلقا هر. از جمله در برخی از محورهای مختصات. در مورد ما، ما نیاز داریم منفیمحاسبه زوایا بنابراین ما تمام گوشه‌ها را به منفی می‌کشیم.)

اکنون ترسیم زاویه مناسب 200- درجه مشکلی ندارد. این -180 درجه است و منهای 20 درجه دیگر از صفر تا منفی شروع به پیچیدن می کنیم: از سه ماهه چهارم پرواز می کنیم، سومی نیز گذشته است، به -180 درجه می رسیم. بیست تای باقیمانده را کجا باد کنیم؟ بله، همه چیز درست است! با ساعت.) زاویه کل -200 درجه به آن می رسد دومینربع.

اکنون متوجه شدید که یادآوری زوایای روی محورهای مختصات چقدر مهم است؟

زوایای محورهای مختصات (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) باید دقیقاً به خاطر بسپارید تا به طور دقیق یک چهارمی که زاویه سقوط می کند مشخص شود!

و اگر زاویه زیاد باشد با چندین دور کامل؟ مشکلی نیست! چه فرقی می کند که این سرعت های کامل در کجا چرخانده شوند - مثبت یا منفی؟ نقطه روی یک دایره موقعیت آن را تغییر نمی دهد!

مثلا:

زاویه -2000 درجه در کدام ربع سقوط می کند؟

همه همینطور! برای شروع، ما در نظر می گیریم که چند انقلاب کامل در این گوشه شیطانی نشسته اند. برای اینکه در علائم به هم نخوریم، فعلاً منفی را رها می کنیم و فقط 2000 را بر 360 تقسیم می کنیم. با یک دم 5 می گیریم. دم هنوز اذیتمون نمیکنه، وقتی گوشه رو کشیدیم کمی بعد میشماریم. ما معتقدیم پنجچرخش کامل بر حسب درجه:

5 360 درجه = 1800 درجه

Voot. این همان تعداد درجه اضافی است که می توانید با خیال راحت از گوشه ما بیرون بیاورید بدون اینکه به سلامتی آسیب برساند.

دم باقی مانده را می شماریم:

2000 - 1800 درجه = 200 درجه

و اکنون می توانید منهای را نیز به خاطر بسپارید.) کجا دم را 200 درجه می پیچیم؟ البته جنبه منفی! به ما زاویه منفی داده می شود.)

2000 درجه = -1800 درجه - 200 درجه

بنابراین زاویه 200- درجه را فقط بدون چرخش اضافی ترسیم می کنیم. من فقط آن را کشیدم، اما، اینطور باشد، یک بار دیگر آن را رنگ می کنم. با دست.

فلفل واضح است که زاویه داده شده -2000 درجه و همچنین -200 درجه، در ربع دوم.

بنابراین، ما خودمان را روی یک دایره می پیچیم ... متاسفم ... روی سبیل:

اگر یک زاویه منفی خیلی بزرگ داده شود، اولین قسمت کار با آن (یافتن تعداد دورهای کامل و دور انداختن آنها) مانند کار با زاویه مثبت است. علامت منفی در این مرحله از راه حل هیچ نقشی ندارد. هنگام کار با زاویه باقی مانده پس از حذف کامل چرخش، علامت فقط در انتها مورد توجه قرار می گیرد.

همانطور که می بینید، کشیدن زوایای منفی روی یک دایره دشوارتر از ترسیم زوایای مثبت نیست.

همه چیز همان است، فقط در جهت دیگر! به ساعت!

و اکنون - جالب ترین! ما زوایای مثبت، زوایای منفی، زوایای بزرگ، زوایای کوچک - محدوده کامل را پوشش داده‌ایم. ما همچنین متوجه شدیم که هر نقطه از دایره را می توان یک زاویه مثبت و منفی نامید، ما چرخش کامل را دور انداختیم ... فکر نمی کنید؟ باید به تعویق بیفتد...

آره! هر نقطه از دایره را که بگیرید، با آن مطابقت دارد زوایای بی پایان! بزرگ و نه چندان مثبت و منفی - همه! و تفاوت بین این زوایا خواهد بود کل تعداد چرخش کامل همیشه ... هست! بنابراین دایره مثلثاتی مرتب شده است، بله ...) به همین دلیل است معکوسوظیفه یافتن زاویه توسط سینوس / کسینوس / مماس / کوتانژانت شناخته شده است - حل شده است به طور مبهم. و خیلی سخت تر. در مقابل مشکل مستقیم - یافتن کل مجموعه توابع مثلثاتی آن برای یک زاویه معین. و در مباحث جدی تر مثلثات ( قوس ها، مثلثاتی معادلاتو نابرابری ها ) مدام با این تراشه مواجه خواهیم شد. عادت کردن.)

1. زاویه -345 درجه در چه ربع سقوط می کند؟

2. زاویه 666 درجه در کدام ربع سقوط می کند؟

3. زاویه 5555 درجه در چه ربع قرار می گیرد؟

4. زاویه -3700 درجه در چه ربع قرار می گیرد؟

5. نشانه چیستcos999 درجه؟

6. نشانه چیستctg999 درجه؟

و آیا کار کرد؟ فوق العاده! مشکلی وجود دارد؟ سپس شما.

پاسخ ها:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

این بار با سنت شکنی پاسخ ها به ترتیب داده می شود. زیرا فقط چهار ربع وجود دارد و فقط دو نشانه وجود دارد. فرار نمی کنی...)

در درس بعدی در مورد رادیان صحبت خواهیم کرد، در مورد عدد مرموز "پی"، یاد خواهیم گرفت که چگونه رادیان ها را به راحتی و به سادگی به درجه تبدیل کنیم و بالعکس. و ما متعجب خواهیم شد اگر متوجه شویم که حتی همین دانش و مهارت های ساده برای حل موفقیت آمیز بسیاری از مسائل غیر پیش پا افتاده در مثلثات کافی است!

به عبارت ساده، اینها سبزیجاتی هستند که طبق دستور العمل خاصی در آب پخته می شوند. من دو جزء اولیه (سالاد سبزیجات و آب) و نتیجه نهایی - گل گاوزبان را در نظر خواهم گرفت. از نظر هندسی، این می تواند به عنوان یک مستطیل نشان داده شود که در آن یک طرف نشان دهنده کاهو و طرف دیگر نشان دهنده آب است. مجموع این دو ضلع نشانگر گل گاوزبان خواهد بود. مورب و مساحت چنین مستطیل "بورشت" مفاهیمی کاملاً ریاضی است و هرگز در دستور العمل های گل گاوزبان استفاده نمی شود.

چگونه کاهو و آب از نظر ریاضی به گل گاوزبان تبدیل می شوند؟ چگونه مجموع دو بخش می تواند به مثلثات تبدیل شود؟ برای درک این موضوع به توابع زاویه خطی نیاز داریم.

در کتاب های ریاضی چیزی در مورد توابع زاویه خطی پیدا نمی کنید. اما بدون آنها ریاضیات وجود ندارد. قوانین ریاضیات، مانند قوانین طبیعت، چه بدانیم که وجود دارند یا نه، کار می کنند.

توابع زاویه ای خطی قوانین جمع هستند.ببینید چگونه جبر به هندسه و هندسه به مثلثات تبدیل می شود.

آیا می توان بدون توابع زاویه ای خطی انجام داد؟ شما می توانید، زیرا ریاضیدانان هنوز بدون آنها مدیریت می کنند. ترفند ریاضیدانان در این واقعیت نهفته است که آنها همیشه فقط در مورد مسائلی به ما می گویند که خودشان می توانند حل کنند و هرگز در مورد مسائلی که نمی توانند حل کنند به ما نمی گویند. دیدن. اگر حاصل جمع و یک جمله را بدانیم، برای یافتن جمله دیگر از تفریق استفاده می کنیم. همه چيز. ما مشکلات دیگر را نمی دانیم و قادر به حل آنها نیستیم. اگر فقط نتیجه جمع را بدانیم و هر دو اصطلاح را ندانیم چه کنیم؟ در این حالت، نتیجه جمع باید با استفاده از توابع زاویه ای خطی به دو ترم تجزیه شود. علاوه بر این، ما خودمان انتخاب می‌کنیم که یک جمله چه چیزی باشد، و توابع زاویه‌ای خطی نشان می‌دهند که عبارت دوم چقدر باید باشد تا نتیجه جمع دقیقاً همان چیزی باشد که ما نیاز داریم. می تواند تعداد نامتناهی از این جفت عبارت وجود داشته باشد. در زندگی روزمره، بدون تجزیه مجموع، خیلی خوب عمل می کنیم؛ تفریق برای ما کافی است. اما در مطالعات علمی قوانین طبیعت، بسط مجموع به اصطلاح می تواند بسیار مفید باشد.

یکی دیگر از قوانین جمع که ریاضیدانان دوست ندارند در مورد آن صحبت کنند (یکی دیگر از ترفندهای آنها) مستلزم این است که اصطلاحات واحد اندازه گیری یکسانی داشته باشند. برای کاهو، آب و گل گاوزبان، اینها ممکن است واحدهای وزن، حجم، هزینه یا واحد اندازه گیری باشند.

شکل دو سطح تفاوت را برای ریاضی نشان می دهد. سطح اول تفاوت در زمینه اعداد است که نشان داده شده است آ, ب, ج. این کاری است که ریاضیدانان انجام می دهند. سطح دوم تفاوت در مساحت واحدهای اندازه گیری است که در پرانتز نشان داده شده و با حرف نشان داده شده است. U. این کاری است که فیزیکدانان انجام می دهند. ما می توانیم سطح سوم - تفاوت در محدوده اشیاء توصیف شده را درک کنیم. اجسام مختلف می توانند تعداد واحدهای اندازه گیری یکسانی داشته باشند. چقدر این مهم است، می‌توانیم در مثال مثلثات بورشت ببینیم. اگر برای واحدهای اندازه‌گیری اشیاء مختلف، زیرنویس‌هایی را به یک نماد اضافه کنیم، می‌توانیم دقیقاً بگوییم که چه کمیت ریاضی یک شی خاص را توصیف می‌کند و چگونه در طول زمان یا در ارتباط با اعمال ما تغییر می‌کند. حرف دبلیوآب را با حرف علامت می زنم اسسالاد را با حرف مشخص می کنم ب- بورش در اینجا توابع زاویه خطی برای گل گاوزبان چگونه به نظر می رسند.

اگر مقداری از آب و مقداری از سالاد را برداریم با هم تبدیل به یک وعده گل گاوزبان می شوند. در اینجا به شما پیشنهاد می کنم کمی از گل گاوزبان فاصله بگیرید و دوران کودکی دور خود را به یاد بیاورید. یادتان هست چگونه به ما یاد دادند که خرگوش و اردک را کنار هم قرار دهیم؟ لازم بود تا مشخص شود که چند حیوان ظاهر می شوند. آن وقت به ما یاد دادند که چه کار کنیم؟ به ما یاد دادند که واحدها را از اعداد جدا کنیم و اعداد را جمع کنیم. بله، هر عددی را می توان به هر عدد دیگری اضافه کرد. این یک مسیر مستقیم به اوتیسم ریاضیات مدرن است - ما نمی‌فهمیم چه چیزی، مشخص نیست چرا، و ما بسیار ضعیف می‌دانیم که چگونه این با واقعیت ارتباط دارد، زیرا به دلیل سه سطح تفاوت، ریاضیدانان فقط روی یک کار می‌کنند. یادگیری نحوه حرکت از یک واحد اندازه گیری به واحد دیگر صحیح تر خواهد بود.

و خرگوش ها و اردک ها و حیوانات کوچک را می توان تکه تکه شمرد. یک واحد اندازه گیری مشترک برای اجسام مختلف به ما امکان می دهد آنها را با هم جمع کنیم. این یک نسخه کودکانه از مشکل است. بیایید به یک مشکل مشابه برای بزرگسالان نگاه کنیم. وقتی خرگوش و پول اضافه می کنید چه چیزی بدست می آورید؟ در اینجا دو راه حل ممکن وجود دارد.

گزینه اول. ما ارزش بازار خرگوش ها را تعیین می کنیم و آن را به پول نقد موجود اضافه می کنیم. ما ارزش کل ثروت خود را از نظر پول بدست آوردیم.

گزینه دوم. می توانید تعداد خرگوش ها را به تعداد اسکناس هایی که داریم اضافه کنید. مقدار اموال منقول را تکه تکه به دست می آوریم.

همانطور که می بینید، قانون جمع یکسان به شما امکان می دهد نتایج متفاوتی بدست آورید. همه چیز بستگی به این دارد که دقیقاً چه چیزی می خواهیم بدانیم.

اما به گل گاوزبان خودمان برگردیم. اکنون می توانیم ببینیم که برای مقادیر مختلف زاویه توابع زاویه خطی چه اتفاقی می افتد.

زاویه صفر است. ما سالاد داریم اما آب نداریم. ما نمی توانیم گل گاوزبان بپزیم. مقدار گل گاوزبان نیز صفر است. این اصلا به این معنی نیست که صفر گاوزبان برابر با صفر آب است. برش صفر نیز می تواند در سالاد صفر باشد (زاویه راست).

برای من شخصا، این دلیل اصلی ریاضی این واقعیت است که . صفر هنگام اضافه شدن عدد را تغییر نمی دهد. این به این دلیل است که اگر فقط یک جمله وجود داشته باشد و جمله دوم وجود نداشته باشد، خود جمع غیرممکن است. شما می توانید هر طور که دوست دارید با این موضوع ارتباط برقرار کنید، اما به یاد داشته باشید - تمام عملیات ریاضی با صفر توسط خود ریاضیدانان اختراع شده است، بنابراین منطق خود را دور بریزید و تعاریف ابداع شده توسط ریاضیدانان را احمقانه جمع کنید: "تقسیم بر صفر غیرممکن است"، "هر عددی ضربدر صفر شود." برابر با صفر" ، "پشت نقطه صفر" و مزخرفات دیگر است. کافی است یک بار به یاد داشته باشید که صفر یک عدد نیست و هرگز این سوال برای شما پیش نخواهد آمد که آیا صفر یک عدد طبیعی است یا خیر، زیرا چنین سوالی به طور کلی معنای خود را از دست می دهد: چگونه می توان عددی را غیر عددی در نظر گرفت. . مثل این است که بپرسیم یک رنگ نامرئی را به چه رنگی نسبت دهیم. افزودن صفر به یک عدد مانند نقاشی با رنگی است که وجود ندارد. آنها برس خشک را تکان دادند و به همه گفتند "ما نقاشی کرده ایم". اما کمی منحرف می شوم.

زاویه بزرگتر از صفر اما کمتر از چهل و پنج درجه است. ما کاهو زیاد داریم اما آب کم. در نتیجه یک گل گاوزبان غلیظ بدست می آوریم.

زاویه چهل و پنج درجه است. ما به مقدار مساوی آب و کاهو داریم. این گل گاوزبان عالی است (شاید آشپزها مرا ببخشند، این فقط ریاضی است).

زاویه بزرگتر از چهل و پنج درجه اما کمتر از نود درجه است. آب زیاد داریم و کاهو کم. گل گاوزبان مایع بگیرید.

زاویه راست. ما آب داریم فقط خاطراتی از کاهو باقی مانده است، زیرا ما به اندازه گیری زاویه از خطی که زمانی کاهو را مشخص می کرد، ادامه می دهیم. ما نمی توانیم گل گاوزبان بپزیم. مقدار گل گاوزبان صفر است. در این صورت دست نگه دارید و تا زمانی که آب در دسترس است بنوشید)))

اینجا. چیزی مثل این. من می توانم داستان های دیگری را در اینجا بگویم که در اینجا مناسب تر است.

این دو دوست سهم خود را در تجارت مشترک داشتند. بعد از قتل یکی از آنها همه چیز به سراغ دیگری رفت.

ظهور ریاضیات در سیاره ما.

همه این داستان ها به زبان ریاضیات با استفاده از توابع زاویه ای خطی گفته می شود. زمانی دیگر جایگاه واقعی این توابع را در ساختار ریاضیات به شما نشان خواهم داد. در ضمن به مثلثات گل گاوزبان برگردیم و پیش بینی ها را در نظر بگیریم.

شنبه 26 اکتبر 2019

ویدیوی جالبی در موردش دیدم ردیف گراندی یک منهای یک به علاوه یک منهای یک - Numberphile. ریاضیدانان دروغ می گویند. آنها آزمون برابری را در استدلال خود انجام ندادند.

این با استدلال من در مورد .

بیایید نگاهی دقیق‌تر به نشانه‌هایی داشته باشیم که نشان می‌دهد ریاضی‌دانان به ما تقلب می‌کنند. در همان ابتدای استدلال، ریاضیدانان می گویند که مجموع دنباله به زوج بودن یا نبودن تعداد عناصر آن بستگی دارد. این یک واقعیت عینی است. بعد چه اتفاقی می افتد؟

سپس، ریاضیدانان دنباله را از وحدت کم می کنند. این به چه چیزی منجر می شود؟ این منجر به تغییر در تعداد عناصر در دنباله می شود - یک عدد زوج به یک عدد فرد، یک عدد فرد به یک عدد زوج تغییر می کند. پس از همه، ما یک عنصر برابر با یک به دنباله اضافه کرده ایم. با وجود تمام شباهت های بیرونی، دنباله قبل از تبدیل با دنباله بعد از تبدیل برابر نیست. حتی اگر در مورد یک دنباله نامتناهی صحبت می کنیم، باید به خاطر داشته باشیم که یک دنباله نامتناهی با تعداد فرد فرد با یک دنباله نامتناهی با تعدادی عنصر زوج برابر نیست.

با قرار دادن علامت مساوی بین دو دنباله متفاوت از نظر تعداد عناصر، ریاضیدانان ادعا می کنند که مجموع دنباله به تعداد عناصر موجود در دنباله بستگی ندارد، که با یک واقعیت عینی تثبیت شده در تضاد است. استدلال بیشتر در مورد مجموع یک دنباله نامتناهی نادرست است، زیرا بر اساس یک برابری کاذب است.

اگر می بینید که ریاضیدانان در دوره اثبات پرانتز قرار می دهند، عناصر یک عبارت ریاضی را دوباره مرتب می کنند، چیزی اضافه یا حذف می کنند، بسیار مراقب باشید، به احتمال زیاد آنها سعی دارند شما را فریب دهند. مانند جادوگران کارت، ریاضی‌دانان توجه شما را با دستکاری‌های مختلف بیان منحرف می‌کنند تا در نهایت نتیجه‌ای نادرست به شما بدهند. اگر نمی توانید حقه کارت را بدون دانستن راز تقلب تکرار کنید، در ریاضیات همه چیز بسیار ساده تر است: شما حتی به چیزی در مورد تقلب مشکوک نیستید، اما تکرار تمام دستکاری ها با یک عبارت ریاضی به شما امکان می دهد دیگران را متقاعد کنید. درستی نتیجه، درست مثل زمانی که شما را متقاعد کرده اید.

سوال مخاطب: و بی نهایت (به عنوان تعداد عناصر دنباله S) زوج است یا فرد؟ چگونه می توانید برابری چیزی را تغییر دهید که برابری ندارد؟

بی نهایت برای ریاضیدانان مانند پادشاهی بهشت ​​برای کشیشان است - هیچ کس تا به حال آنجا نبوده است، اما همه دقیقاً می دانند که همه چیز در آنجا چگونه کار می کند))) موافقم، پس از مرگ شما کاملاً بی تفاوت خواهید بود، چه تعداد روز زندگی کرده باشید یا فرد. ، اما ... با اضافه کردن فقط یک روز به ابتدای زندگی شما، یک شخص کاملاً متفاوت دریافت می کنیم: نام خانوادگی، نام و نام خانوادگی او دقیقاً یکسان است، فقط تاریخ تولد کاملاً متفاوت است - او یک متولد شده است. روز قبل از شما

و حالا به اصل مطلب))) فرض کنید یک دنباله متناهی که برابری دارد، وقتی به سمت بی نهایت می رود، این برابری را از دست می دهد. سپس هر قطعه متناهی از یک دنباله نامتناهی نیز باید برابری را از دست بدهد. ما این را رعایت نمی کنیم. این واقعیت که نمی‌توانیم با اطمینان بگوییم که تعداد عناصر در یک دنباله نامتناهی زوج یا فرد است، اصلاً به این معنی نیست که برابری ناپدید شده است. برابری، اگر وجود داشته باشد، نمی تواند بدون هیچ ردی در بی نهایت ناپدید شود، مانند آستین یک کارت تیزتر. قیاس بسیار خوبی برای این مورد وجود دارد.

آیا تا به حال از فاخته ای که در ساعت نشسته است پرسیده اید که عقربه ساعت در کدام جهت می چرخد؟ برای او، فلش در جهت مخالف آنچه ما "جهت عقربه های ساعت" می نامیم می چرخد. ممکن است متناقض به نظر برسد، اما جهت چرخش تنها به این بستگی دارد که ما چرخش را از کدام سمت مشاهده کنیم. و بنابراین، ما یک چرخ داریم که می چرخد. ما نمی توانیم بگوییم که چرخش در کدام جهت رخ می دهد، زیرا می توانیم آن را هم از یک طرف صفحه چرخش و هم از طرف دیگر مشاهده کنیم. ما فقط می توانیم به این واقعیت شهادت دهیم که چرخش وجود دارد. قیاس کامل با برابری یک دنباله نامتناهی اس.

حالا بیایید چرخ دوار دومی را اضافه کنیم که صفحه چرخش آن موازی با صفحه چرخش اولین چرخ دوار است. ما هنوز نمی‌توانیم دقیقاً بگوییم این چرخ‌ها در کدام جهت می‌چرخند، اما می‌توانیم با اطمینان کامل بگوییم که آیا هر دو چرخ در یک جهت می‌چرخند یا در جهت مخالف. مقایسه دو دنباله بی نهایت اسو 1-S، من با کمک ریاضیات نشان دادم که این دنباله ها برابری متفاوتی دارند و قرار دادن علامت مساوی بین آنها اشتباه است. من شخصاً به ریاضیات اعتقاد دارم ، به ریاضیدانان اعتماد ندارم))) به هر حال ، برای درک کامل هندسه تبدیل دنباله های بینهایت ، لازم است این مفهوم را معرفی کنیم. "هم زمان". این باید ترسیم شود.

چهارشنبه 7 آگوست 2019

در پایان گفتگو در مورد ، باید مجموعه ای بی نهایت را در نظر بگیریم. با توجه به این که مفهوم "بی نهایت" بر ریاضیدانان تأثیر می گذارد، مانند یک بوآ بر روی خرگوش. وحشت لرزان بی نهایت ریاضیدانان را از عقل سلیم محروم می کند. به عنوان مثال:

منبع اصلی قرار دارد. آلفا یک عدد واقعی را نشان می دهد. علامت مساوی در عبارات بالا نشان می دهد که اگر یک عدد یا بینهایت را به بی نهایت اضافه کنید چیزی تغییر نمی کند، نتیجه همان بی نهایت خواهد بود. اگر مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی را به عنوان مثال در نظر بگیریم، نمونه های در نظر گرفته شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

برای اثبات بصری ادعای خود، ریاضیدانان روش های مختلفی را ارائه کرده اند. من شخصاً به همه این روش ها به عنوان رقص شمن ها با تنبور نگاه می کنم. در اصل، همه آنها به این واقعیت می رسند که یا برخی از اتاق ها اشغال نشده و مهمانان جدید در آنها مستقر می شوند یا اینکه برخی از بازدیدکنندگان را به داخل راهرو پرتاب می کنند تا برای مهمانان جا باز کنند (بسیار انسانی). من دیدگاه خود را در مورد چنین تصمیماتی در قالب داستانی خارق العاده در مورد بلوند ارائه کردم. استدلال من بر چه اساسی است؟ جابجایی تعداد بی نهایت بازدید کننده زمان بی نهایت می برد. پس از اینکه اولین اتاق مهمان را خالی کردیم، یکی از بازدیدکنندگان همیشه تا پایان زمان در امتداد راهرو از اتاق خود به اتاق بعدی راه می رود. البته می توان عامل زمان را به طور احمقانه نادیده گرفت، اما این قبلاً از دسته "قانون برای احمق ها نوشته نشده است" خواهد بود. همه چیز به کاری که انجام می دهیم بستگی دارد: تطبیق واقعیت با تئوری های ریاضی یا بالعکس.

"هتل بی نهایت" چیست؟ مسافرخانه اینفینیتی مسافرخانه ای است که همیشه هر تعداد جای خالی دارد، مهم نیست چند اتاق اشغال شده باشد. اگر تمام اتاق‌های راهروی بی‌انتها «برای بازدیدکنندگان» اشغال شود، راهروی بی‌انتهای دیگری با اتاق‌هایی برای «مهمان» وجود دارد. تعداد نامحدودی از این راهروها وجود خواهد داشت. در عین حال، "هتل بینهایت" دارای تعداد بی نهایت طبقه در تعداد نامتناهی ساختمان در تعداد بی نهایت سیاره در تعداد بی نهایت جهان است که توسط تعداد بی نهایت خدا ایجاد شده اند. از سوی دیگر، ریاضیدانان قادر به دور شدن از مشکلات پیش پا افتاده روزمره نیستند: خدا-الله-بودا همیشه یکی است، هتل یکی است، راهرو تنها یکی است. بنابراین ریاضیدانان در تلاشند تا شماره سریال اتاق‌های هتل را به اشتباه بیاندازند و ما را متقاعد کنند که می‌توان «بی فشارها را هل داد».

من منطق استدلال خود را با استفاده از مثال مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی به شما نشان خواهم داد. ابتدا باید به یک سوال بسیار ساده پاسخ دهید: چند مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد - یک یا چند؟ هیچ پاسخ درستی برای این سوال وجود ندارد، زیرا ما خودمان اعداد را اختراع کرده ایم، در طبیعت هیچ عددی وجود ندارد. بله، طبیعت می داند که چگونه بشمرد، اما برای این کار از ابزارهای ریاضی دیگری استفاده می کند که برای ما آشنا نیستند. همانطور که طبیعت فکر می کند، یک بار دیگر به شما خواهم گفت. از آنجایی که ما اعداد را اختراع کردیم، خودمان تصمیم خواهیم گرفت که چند مجموعه از اعداد طبیعی وجود داشته باشد. هر دو گزینه را همانطور که شایسته یک دانشمند واقعی است در نظر بگیرید.

گزینه یک «بگذارید به ما داده شود» یک مجموعه واحد از اعداد طبیعی، که به آرامی در یک قفسه قرار دارد. این مجموعه را از قفسه می گیریم. همین است، هیچ عدد طبیعی دیگری در قفسه باقی نمانده و جایی برای بردن آنها وجود ندارد. ما نمی توانیم یکی را به این مجموعه اضافه کنیم، زیرا از قبل آن را داریم. اگه واقعا بخوای چی؟ مشکلی نیست می‌توانیم یک واحد از مجموعه‌ای که قبلاً گرفته‌ایم برداریم و به قفسه برگردانیم. پس از آن، می توانیم یک واحد از قفسه برداریم و آن را به چیزی که باقی مانده اضافه کنیم. در نتیجه، دوباره مجموعه ای بی نهایت از اعداد طبیعی را دریافت می کنیم. شما می توانید تمام دستکاری های ما را اینگونه بنویسید:

من عملیات را در نماد جبری و تئوری مجموعه ها نوشته ام و عناصر مجموعه را با جزئیات فهرست کرده ام. زیرنویس نشان می دهد که ما یک و تنها مجموعه اعداد طبیعی داریم. معلوم می شود که مجموعه اعداد طبیعی تنها در صورتی بدون تغییر باقی می ماند که یک عدد از آن کم شود و همان واحد اضافه شود.

گزینه دو ما مجموعه های بی نهایت متفاوتی از اعداد طبیعی در قفسه داریم. تاکید می کنم - متفاوت هستند، علیرغم این واقعیت که آنها عملاً قابل تشخیص نیستند. یکی از این مجموعه ها را می گیریم. سپس از مجموعه اعداد طبیعی دیگری یکی را می گیریم و به مجموعه ای که قبلاً گرفته ایم اضافه می کنیم. حتی می توانیم دو مجموعه اعداد طبیعی را اضافه کنیم. در اینجا چیزی است که ما دریافت می کنیم:

زیرنویس "یک" و "دو" نشان می دهد که این عناصر به مجموعه های مختلف تعلق داشته اند. بله، اگر یکی را به یک مجموعه بی نهایت اضافه کنید، نتیجه نیز یک مجموعه بی نهایت خواهد بود، اما با مجموعه اصلی یکسان نخواهد بود. اگر یک مجموعه نامتناهی به مجموعه نامتناهی دیگری اضافه شود، نتیجه یک مجموعه نامتناهی جدید است که از عناصر دو مجموعه اول تشکیل شده است.

مجموعه اعداد طبیعی برای شمارش به همان روشی که خط کش برای اندازه گیری ها استفاده می شود. حال تصور کنید که یک سانتی متر به خط کش اضافه کرده اید. این قبلاً یک خط متفاوت خواهد بود، نه با خط اصلی.

شما می توانید استدلال من را بپذیرید یا نپذیرید - این کار خودتان است. اما اگر روزی با مشکلات ریاضی مواجه شدید، به این فکر کنید که آیا در مسیر استدلال نادرست هستید که توسط چندین نسل از ریاضیدانان زیر پا گذاشته شده است. از این گذشته ، کلاس های ریاضی اول از همه یک کلیشه پایدار از تفکر در ما شکل می دهند و فقط در این صورت توانایی های ذهنی را به ما اضافه می کنند (یا برعکس ، ما را از تفکر آزاد محروم می کنند).

pozg.ru

یکشنبه 4 آگوست 2019

من در حال نوشتن پس‌نوشته‌ای برای مقاله‌ای درباره‌اش بودم و این متن فوق‌العاده را در ویکی‌پدیا دیدم:

می خوانیم: «... مبنای نظری غنی ریاضیات بابل، ویژگی کل نگر نداشت و به مجموعه ای از فنون ناهمگون، عاری از یک سیستم و پایگاه شواهد مشترک، تقلیل یافت.

وای! چقدر باهوشیم و چقدر می توانیم کاستی های دیگران را ببینیم. آیا برای ما ضعیف است که به ریاضیات مدرن در همین چارچوب نگاه کنیم؟ با تعبیر کمی متن بالا، شخصاً موارد زیر را دریافت کردم:

مبانی نظری غنی ریاضیات مدرن ویژگی کل نگر ندارد و به مجموعه ای از بخش های نامتجانس کاهش می یابد که فاقد یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد است.

من برای تأیید سخنانم زیاد نمی روم - زبان و قراردادهایی دارد که با زبان و قراردادهای بسیاری از شاخه های دیگر ریاضی متفاوت است. نام های مشابه در شاخه های مختلف ریاضی می تواند معانی مختلفی داشته باشد. من می خواهم یک چرخه کامل از انتشارات را به آشکارترین اشتباهات ریاضیات مدرن اختصاص دهم. به زودی میبینمت.

شنبه 3 آگوست 2019

چگونه یک مجموعه را به زیر مجموعه ها تقسیم کنیم؟ برای این کار باید واحد اندازه گیری جدیدی را وارد کنید که در برخی از عناصر مجموعه انتخاب شده وجود دارد. یک مثال را در نظر بگیرید.

باشد که ما بسیاری داشته باشیم ولیمتشکل از چهار نفر این مجموعه بر اساس "مردم" تشکیل شده است. بیایید عناصر این مجموعه را از طریق حرف مشخص کنیم آ، زیرنویس با یک عدد نشان دهنده شماره ترتیبی هر فرد در این مجموعه خواهد بود. بیایید یک واحد اندازه گیری جدید "ویژگی جنسی" را معرفی کنیم و آن را با حرف نشان دهیم ب. از آنجایی که ویژگی های جنسی در همه افراد ذاتی است، هر عنصر مجموعه را ضرب می کنیم ولیدر مورد جنسیت ب. توجه کنید که مجموعه "مردم" ما اکنون به مجموعه "افراد با جنسیت" تبدیل شده است. پس از آن می توان ویژگی های جنسی را به مردان تقسیم کرد bmو زنانه bwویژگی های جنسیتی حالا می‌توانیم یک فیلتر ریاضی اعمال کنیم: یکی از این ویژگی‌های جنسی را انتخاب می‌کنیم، فرقی نمی‌کند کدام یک مرد باشد یا زن. اگر در شخصی وجود داشته باشد آن را در یک ضرب می کنیم، اگر چنین علامتی وجود نداشته باشد آن را در صفر ضرب می کنیم. و سپس ریاضیات معمول مدرسه را اعمال می کنیم. ببین چی شد

پس از ضرب، کاهش و بازآرایی، دو زیرمجموعه بدست آوردیم: زیرمجموعه مذکر bmو زیر مجموعه ای از زنان bw. تقریباً به همان روشی که ریاضی‌دانان وقتی نظریه مجموعه‌ها را در عمل به کار می‌برند، استدلال می‌کنند. اما آنها به ما اجازه ورود به جزئیات را نمی دهند، اما نتیجه نهایی را به ما می دهند - "بسیاری از مردم از زیرمجموعه ای از مردان و زیر مجموعه ای از زنان تشکیل شده اند." به طور طبیعی، ممکن است برای شما این سوال پیش بیاید که چگونه ریاضیات را به درستی در تبدیل های فوق به کار برد؟ من جرات می کنم به شما اطمینان دهم که در واقع تبدیل ها به درستی انجام شده است، کافی است توجیه ریاضی حساب، جبر بولی و سایر بخش های ریاضیات را بدانید. چیست؟ یک بار دیگر در مورد آن به شما خواهم گفت.

در مورد ابرمجموعه ها، می توان با انتخاب واحد اندازه گیری که در عناصر این دو مجموعه وجود دارد، دو مجموعه را در یک سوپرست ترکیب کرد.

همانطور که می بینید، واحدهای اندازه گیری و ریاضی رایج، تئوری مجموعه ها را به گذشته تبدیل می کند. نشانه این که همه چیز با تئوری مجموعه ها خوب نیست این است که ریاضیدانان زبان و نماد خود را برای نظریه مجموعه ها ارائه کرده اند. ریاضیدانان همان کاری را کردند که زمانی شمن ها انجام می دادند. فقط شمن ها می دانند که چگونه "دانش" خود را "درست" به کار ببرند. این «دانش» را به ما می آموزند.

در پایان، من می خواهم به شما نشان دهم که ریاضیدانان چگونه دستکاری می کنند
فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل این مسافت را می دود، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم بدود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند به طور نامحدود ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، گیلبرت... همگی، به نوعی، آپوریاهای زنون را در نظر گرفتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث در حال حاضر ادامه دارد، جامعه علمی هنوز نتوانسته است در مورد ماهیت پارادوکس ها به یک نظر مشترک برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده جهانی برای مشکل تبدیل نشدند ...«[ویکی‌پدیا»، «آپوریاهای زنو»]. همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب چیست.

از نقطه نظر ریاضیات، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از مقدار به را نشان داد. این انتقال به معنای اعمال به جای ثابت است. تا آنجا که من متوجه شدم، دستگاه ریاضی برای به کارگیری واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما با اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را برای متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد در لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد، زمان کاهش می یابد و به توقف کامل می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد.

اگر منطقی را که به آن عادت کرده‌ایم بچرخانیم، همه چیز سر جای خودش قرار می‌گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر خود ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت به سرعت از لاک پشت پیشی خواهد گرفت».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به مقادیر متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو، به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی، برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. گفته انیشتین در مورد غیرقابل حل بودن سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آشیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنون از یک تیر پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا نکته دیگری قابل ذکر است. از یک عکس از یک ماشین در جاده، نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین واقعیت حرکت ماشین، دو عکس گرفته شده از یک نقطه در نقاط مختلف زمان مورد نیاز است، اما نمی توان از آنها برای تعیین فاصله استفاده کرد. برای تعیین فاصله تا ماشین، شما نیاز به دو عکس دارید که از نقاط مختلف فضا به طور همزمان گرفته شده اند، اما نمی توانید واقعیت حرکت را از آنها تعیین کنید (البته، هنوز هم برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند) . چیزی که می خواهم به طور خاص به آن اشاره کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در فضا دو چیز متفاوت هستند که نباید اشتباه گرفته شوند زیرا فرصت های متفاوتی برای کاوش فراهم می کنند.
من روند را با یک مثال نشان خواهم داد. ما "جامد قرمز در یک جوش" را انتخاب می کنیم - این "کل" ما است. در عین حال می بینیم که این چیزها با کمان هستند و بدون کمان هستند. پس از آن قسمتی از «کل» را انتخاب می کنیم و مجموعه «با کمان» را تشکیل می دهیم. این گونه است که شمن ها با گره زدن نظریه مجموعه خود به واقعیت، خود را تغذیه می کنند.

حالا بیایید یک ترفند کوچک انجام دهیم. بیایید "جامد در یک جوش با کمان" را بگیریم و این "کل" را با رنگ متحد کنیم و عناصر قرمز را انتخاب کنیم. "قرمز" زیادی گرفتیم. حالا یک سوال پیچیده: آیا ست های دریافتی "با کمان" و "قرمز" یک ست هستند یا دو ست متفاوت؟ فقط شمن ها جواب را می دانند. به عبارت دقیق تر، آنها خودشان چیزی نمی دانند، اما همانطور که می گویند، همینطور باشد.

این مثال ساده نشان می دهد که نظریه مجموعه ها در مورد واقعیت کاملاً بی فایده است. راز چیست؟ مجموعه ای از "جوال قرمز جامد با کمان" را تشکیل دادیم. شکل گیری بر اساس چهار واحد اندازه گیری مختلف صورت گرفت: رنگ (قرمز)، استحکام (جامد)، زبری (در یک دست انداز)، تزئینات (با کمان). تنها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری، توصیف مناسب اشیاء واقعی را در زبان ریاضی ممکن می سازد.. در اینجا به نظر می رسد.

حرف "a" با شاخص های مختلف نشان دهنده واحدهای اندازه گیری متفاوت است. در پرانتز، واحدهای اندازه گیری برجسته شده است، که بر اساس آن "کل" در مرحله مقدماتی اختصاص داده می شود. واحد اندازه گیری که بر اساس آن مجموعه تشکیل می شود، از براکت ها خارج می شود. آخرین خط نتیجه نهایی را نشان می دهد - یک عنصر از مجموعه. همانطور که می بینید، اگر از واحدها برای تشکیل یک مجموعه استفاده کنیم، نتیجه به ترتیب اعمال ما بستگی ندارد. و این ریاضیات است و نه رقص شمن ها با تنبور. شمن ها می توانند "به طور شهودی" به همان نتیجه برسند و آن را با "بدیهی" استدلال کنند، زیرا واحدهای اندازه گیری در زرادخانه "علمی" آنها گنجانده نشده است.

با کمک واحدهای اندازه گیری، شکستن یک یا ترکیب چند مجموعه در یک سوپرست بسیار آسان است. بیایید نگاهی دقیق تر به جبر این فرآیند بیندازیم.

گوناگون، متنوع. برخی از آنها در مورد اینکه کسینوس در کدام ربع مثبت و منفی است و در کدام ربع سینوس مثبت و منفی است. اگر بدانید که چگونه مقدار این توابع را در زوایای مختلف محاسبه کنید و با اصل رسم توابع در نمودار آشنا باشید، همه چیز ساده می شود.

مقادیر کسینوس چیست؟

اگر در نظر بگیریم، نسبت ابعاد زیر را داریم که آن را تعیین می کند: کسینوس زاویه آنسبت پای مجاور BC به هیپوتنوز AB است (شکل 1): cos آ= BC/AB.

با استفاده از همان مثلث، می توانید سینوس زاویه، مماس و کوتانژانت را پیدا کنید. سینوس نسبت زاویه پای مخالف AC به هیپوتنوز AB خواهد بود. مماس یک زاویه در صورتی پیدا می شود که سینوس زاویه مورد نظر بر کسینوس همان زاویه تقسیم شود. با جایگزینی فرمول های مربوطه برای یافتن سینوس و کسینوس، آن tg را دریافت می کنیم آ\u003d AC / BC. کوتانژانت، به عنوان تابعی معکوس بر مماس، به این صورت پیدا می شود: ctg آ= BC/AC.

یعنی برای همان مقادیر زاویه مشخص شد که در یک مثلث قائم الزاویه نسبت ابعاد همیشه یکسان است. به نظر می رسد مشخص شد که این مقادیر از کجا می آیند، اما چرا اعداد منفی به دست می آیند؟

برای انجام این کار، باید مثلثی را در سیستم مختصات دکارتی در نظر بگیرید، جایی که مقادیر مثبت و منفی وجود دارد.

به وضوح در مورد محله ها، کجاست که

مختصات دکارتی چیست؟ اگر در مورد فضای دو بعدی صحبت کنیم، دو خط جهت دار داریم که در نقطه O قطع می شوند - این محور آبسیسا (Ox) و محور مختصات (Oy) است. از نقطه O در جهت خط مستقیم اعداد مثبت و در جهت مخالف - منفی هستند. در نهایت، مستقیماً به این بستگی دارد که کسینوس در کدام ربع مثبت و در کدام چهارم به ترتیب منفی است.

سه ماهه اول

اگر یک مثلث قائم الزاویه را در ربع اول (از 0 تا 90 درجه) قرار دهید، جایی که محورهای x و y دارای مقادیر مثبت هستند (قطعات AO و BO روی محورهایی قرار دارند که مقادیر در آن قرار دارند. علامت "+" داشته باشید)، سپس سینوس چیست، کسینوس چه چیزی است مقادیر مثبت خواهد داشت و یک مقدار با علامت مثبت به آنها اختصاص داده می شود. اما اگر مثلث را به ربع دوم (از 90 درجه به 180 درجه) ببرید چه اتفاقی می افتد؟

ربع دوم

می بینیم که در امتداد محور y، AO یک مقدار منفی دریافت کرد. کسینوس یک زاویه آاکنون این سمت را نسبت به منهای دارد و بنابراین مقدار نهایی آن منفی می شود. معلوم می شود که در کدام ربع کسینوس مثبت است به قرارگیری مثلث در دستگاه مختصات دکارتی بستگی دارد. و در این حالت کسینوس زاویه مقدار منفی می گیرد. اما برای سینوس چیزی تغییر نکرده است زیرا برای تعیین علامت آن به سمت OB نیاز است که در این حالت با علامت مثبت باقی مانده است. بیایید دو فصل اول را خلاصه کنیم.

برای اینکه بفهمیم کسینوس در کدام ربع مثبت و در کدام یک منفی است (و همچنین سینوس و سایر توابع مثلثاتی)، باید بررسی کرد که کدام علامت به یک پا اختصاص داده شده است. برای کسینوس یک زاویه آپای AO برای سینوس مهم است - OB.

سه ماهه اول تاکنون تنها به این سوال پاسخ می دهد: "سینوس و کسینوس در کدام چهارم به طور همزمان مثبت است؟". اجازه دهید بیشتر ببینیم که آیا تصادفات بیشتری در نشانه این دو عملکرد وجود خواهد داشت یا خیر.

در ربع دوم، پایه AO شروع به منفی شدن کرد، به این معنی که کسینوس منفی شد. یک مقدار مثبت برای سینوس ذخیره می شود.

ربع سوم

حالا هر دو پا AO و OB منفی شده اند. نسبت های کسینوس و سینوس را به یاد بیاورید:

Cos a \u003d AO / AB؛

Sin a \u003d BO / AB.

AB همیشه یک علامت مثبت در یک سیستم مختصات داده شده دارد، زیرا به هیچ یک از دو طرف تعریف شده توسط محورها هدایت نمی شود. اما پاها منفی شده اند، یعنی نتیجه هر دو تابع نیز منفی است، زیرا اگر عملیات ضرب یا تقسیم را با اعداد انجام دهید که در بین آنها یکی و تنها یک علامت منفی دارد، نتیجه نیز با این علامت خواهد بود. .

نتیجه در این مرحله:

1) کسینوس در چه ربع مثبت است؟ در اول از سه.

2) سینوس در چه سه ماهه مثبت است؟ در اول و دوم از سه.

سه ماهه چهارم (از 270 درجه تا 360 درجه)

در اینجا پای AO دوباره علامت مثبت را به دست می آورد و از این رو کسینوس را نیز به دست می آورد.

برای سینوس، چیزها هنوز "منفی" هستند، زیرا OB پا زیر نقطه شروع O باقی مانده است.

نتیجه گیری

برای اینکه بفهمید کسینوس در کدام ربع مثبت، منفی و غیره است، باید نسبت محاسبه کسینوس را به خاطر بسپارید: پای مجاور زاویه، تقسیم بر هیپوتانوس. برخی از معلمان پیشنهاد می کنند این را به خاطر بسپارید: گوشه k (osine) \u003d (k). اگر این "تقلب" را به خاطر بیاورید، به طور خودکار می فهمید که سینوس نسبت مخالف به زاویه پا به هیپوتنوز است.

یادآوری اینکه کسینوس در کدام ربع مثبت و کدام یک منفی است بسیار دشوار است. توابع مثلثاتی زیادی وجود دارد و همه آنها مقادیر خاص خود را دارند. اما همچنان، در نتیجه: مقادیر مثبت برای سینوس - 1، 2 چهارم (از 0 o تا 180 o)؛ برای کسینوس 1، 4 چهارم (از 0 تا 90 درجه و از 270 درجه تا 360 درجه). در سه ماهه های باقی مانده، توابع دارای مقادیر با منهای هستند.

شاید برای کسی راحت تر باشد که با توجه به تصویر تابع به یاد بیاورد کدام علامت کجاست.

برای سینوس می توان دید که از صفر تا 180 درجه تاج بالای خط مقادیر sin (x) قرار دارد، به این معنی که تابع در اینجا مثبت است. برای کسینوس به همین صورت است: کسینوس در کدام ربع مثبت است (عکس 7) و در هر ربع منفی است، با حرکت دادن خط بالا و پایین محور cos (x) قابل مشاهده است. در نتیجه، می‌توانیم دو روش را برای تعیین علامت سینوس، توابع کسینوس به خاطر بسپاریم:

1. در یک دایره خیالی با شعاع یک (اگرچه، در واقع، مهم نیست که شعاع دایره چقدر است، اما کتاب های درسی اغلب چنین مثالی را ارائه می دهند؛ این امر درک را آسان تر می کند، اما در در عین حال، اگر مشخص نکنید که این مهم نیست، کودکان ممکن است گیج شوند).

2. با توجه به تصویر وابستگی تابع به (x) به خود آرگومان x مانند شکل آخر.

با استفاده از روش اول، می توانید بفهمید که علامت دقیقاً به چه چیزی بستگی دارد، و ما در بالا این را با جزئیات توضیح دادیم. شکل 7 که بر اساس این داده ها ساخته شده است، تابع حاصل و عضویت علامت آن را به بهترین شکل ممکن به تصویر می کشد.

به طور کلی، این موضوع سزاوار توجه ویژه است، اما همه چیز در اینجا ساده است: در زاویه درجه، سینوس و کسینوس هر دو مثبت هستند (شکل را ببینید)، سپس علامت مثبت را می گیریم.

حال بر اساس موارد فوق سعی کنید سینوس و کسینوس زوایا: و را بیابید

شما می توانید تقلب کنید: به ویژه برای زاویه در درجه. از آنجایی که اگر یک زاویه از مثلث قائم الزاویه برابر با درجه باشد، زاویه دوم برابر با درجه است. اکنون فرمول های آشنا به اجرا در می آیند:

بعد از آن، پس و. از آن زمان و. با درجه، حتی ساده تر است: بنابراین اگر یکی از زوایای یک مثلث قائم الزاویه برابر با درجه باشد، دیگری نیز برابر با درجه است، به این معنی که چنین مثلثی متساوی الساقین است.

بنابراین پاهای او برابر است. پس سینوس و کسینوس آن با هم برابرند.

حالا با توجه به تعریف جدید (از طریق x و y!) سینوس و کسینوس زاویه ها را در درجه و درجه پیدا کنید. اینجا مثلثی برای کشیدن وجود ندارد! آنها بیش از حد صاف هستند!

باید می گرفتی:

با استفاده از فرمول های زیر می توانید مماس و کتانژانت را خودتان پیدا کنید:

توجه داشته باشید که نمی توانید بر صفر تقسیم کنید!

اکنون تمام اعداد دریافتی را می توان در یک جدول خلاصه کرد:

در اینجا مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زوایا آمده است. من یک چهارم. برای راحتی، زوایا هم بر حسب درجه و هم بر حسب رادیان ارائه می شوند (اما اکنون رابطه بین آنها را می دانید!). به 2 خط تیره در جدول توجه کنید: هم‌تانژانت صفر و مماس درجه. این تصادفی نیست!

به خصوص:

حال بیایید مفهوم سینوس و کسینوس را به یک زاویه کاملاً دلخواه تعمیم دهیم. من در اینجا دو مورد را بررسی می کنم:

1. زاویه از تا درجه متغیر است
2. زاویه بزرگتر از درجه

به طور کلی، من کمی روحم را پیچیدم و در مورد "کاملاً همه" گوشه ها صحبت کردم. آنها همچنین می توانند منفی باشند! اما این مورد را در مقاله دیگری بررسی خواهیم کرد. بیایید ابتدا روی مورد اول تمرکز کنیم.

اگر زاویه در 1 چهارم باشد، پس همه چیز روشن است، ما قبلاً این مورد را در نظر گرفته ایم و حتی جداول را ترسیم کرده ایم.

حالا بگذارید زاویه ما بیشتر از درجه باشد و بیشتر از آن نباشد. این بدان معنی است که یا در سه ماهه دوم یا سوم یا چهارم واقع شده است.

حال ما چطور است؟ بله دقیقا همینطوره!

در نظر بگیریم به جای چیزی شبیه به این ...

... مثل این:

یعنی زاویه ربع دوم را در نظر بگیرید. در مورد او چه بگوییم؟

نقطه ای که نقطه تلاقی پرتو و دایره است هنوز 2 مختصات دارد (هیچ چیز ماوراء طبیعی نیست، درست است؟). اینها مختصات و

علاوه بر این، مختصات اول منفی است و دومی مثبت! معنیش اینه که در گوشه های ربع دوم، کسینوس منفی است و سینوس مثبت است!

شگفت انگیز است، درست است؟ قبل از آن هرگز با کسینوس منفی مواجه نشده بودیم.

بله، و در اصل زمانی که ما توابع مثلثاتی را به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث در نظر بگیریم، این نمی تواند باشد. به هر حال، به این فکر کنید که کدام زاویه مساوی است؟ و کدام یک سینوس دارد؟

به همین ترتیب، می‌توانید زوایای دیگر را در نظر بگیرید. فقط یادآوری می کنم که زاویه در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش می شود! (همانطور که در تصویر آخر نشان داده شده است!).

البته می توانید در جهت دیگری هم حساب کنید، اما رویکرد به چنین زوایایی تا حدودی متفاوت خواهد بود.

بر اساس استدلال فوق، می توان علائم سینوس، کسینوس، مماس (به صورت تقسیم بر کسینوس) و کتانژانت (به صورت کسینوس تقسیم بر سینوس) را برای هر چهار ربع قرار داد.

اما یک بار دیگر تکرار می کنم، حفظ این نقاشی فایده ای ندارد. همه ی چیزهایی که لازم است بدانی:

بیایید کمی با شما تمرین کنیم. پازل های بسیار ساده:

دریابید که مقادیر زیر چه علامتی دارند:

بررسی کنیم؟

1. درجه - این یک زاویه است، بزرگتر و کوچکتر، به این معنی که در 3 چهارم قرار دارد. هر زاویه ای را در 3 چهارم بکشید و ببینید چه نوع y دارد. منفی خواهد شد. سپس.
   درجه - زاویه 2 چهارم. سینوس مثبت و کسینوس منفی است. به علاوه تقسیم بر منفی منهای است. به معنای.
   درجه - زاویه، بزرگتر و کوچکتر. بنابراین او در 4 چهارم دراز می کشد. هر گوشه ای از سه ماهه چهارم "X" مثبت خواهد بود، به این معنی
2. ما با رادیان ها به روشی مشابه کار می کنیم: این زاویه ربع دوم است (از و. سینوس ربع دوم مثبت است.
   .
   ، این گوشه ای از کوارتر چهارم است. کسینوس وجود دارد مثبت است.
   - دوباره گوشه کوارتر چهارم. کسینوس مثبت و سینوس منفی است. سپس مماس کمتر از صفر خواهد بود:

شاید تعیین ربع بر حسب رادیان برای شما مشکل باشد. در آن صورت، همیشه می توانید به درجات بروید. جواب البته دقیقاً یکسان خواهد بود.

اکنون می‌خواهم به اختصار به نکته دیگری بپردازم. بیایید دوباره هویت مثلثاتی اولیه را به یاد بیاوریم.

همانطور که گفتم، از آن می توانیم سینوس را از طریق کسینوس یا برعکس بیان کنیم:

انتخاب علامت فقط تحت تأثیر ربعی است که آلفای زاویه ما در آن قرار دارد. برای دو فرمول آخر، وظایف زیادی در امتحان وجود دارد، به عنوان مثال، اینها عبارتند از:

یک وظیفه

پیدا کردن اگر و.

در واقع این کار یک ربع است! ببینید چگونه حل می شود:

راه حل

از آنجا که، پس ما مقدار را در اینجا جایگزین می کنیم. حالا کار کوچک است: با علامت برخورد کنید. برای این به چه چیزی نیاز داریم؟ بدانید گوشه ما در کدام ربع است. با توجه به شرایط مشکل: . این چه ربع است؟ چهارم علامت کسینوس در ربع چهارم چیست؟ کسینوس در ربع چهارم مثبت است. سپس برای ما باقی می ماند که علامت مثبت را از قبل انتخاب کنیم. ، سپس.

من اکنون روی چنین وظایفی نمی پردازم، می توانید تجزیه و تحلیل دقیق آنها را در مقاله "" بیابید. فقط می خواستم به شما اشاره کنم که این یا آن تابع مثلثاتی بسته به ربع چه علامتی می گیرد.

زوایای بزرگتر از درجه

آخرین چیزی که در این مقاله می خواهم به آن توجه کنم این است که چگونه با زوایای بزرگتر از درجه برخورد کنیم؟

چیست و با چه چیزی می توان خورد که خفه نشوید؟ بیایید، فرض کنیم، یک زاویه بر حسب درجه (رادیان) بگیریم و از آن در خلاف جهت عقربه های ساعت برویم ...

در تصویر، من یک مارپیچ کشیدم، اما شما متوجه می شوید که در واقع ما هیچ مارپیچی نداریم: ما فقط یک دایره داریم.

پس اگر از زاویه خاصی شروع کنیم و کل دایره (درجه یا رادیان) را طی کنیم به کجا می رسیم؟

کجا داریم میریم؟ و ما به همان گوشه می رسیم!

البته برای هر زاویه دیگری هم همینطور است:

با گرفتن یک زاویه دلخواه و عبور از کل دایره، به همان زاویه برمی گردیم.

چه چیزی به ما خواهد داد؟ این چیزی است که: اگر، پس

از جایی که در نهایت می‌گیریم:

برای هر عدد صحیح معنیش اینه که سینوس و کسینوس توابع تناوبی با نقطه هستند.

بنابراین، هیچ مشکلی برای یافتن علامت زاویه دلخواه وجود ندارد: ما فقط باید تمام "کل دایره" را که در گوشه ما قرار می گیرند دور بیندازیم و بفهمیم که گوشه باقی مانده در کدام چهارم قرار دارد.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن یک علامت:

بررسی می کنیم:

1. در درجه، بارها بر حسب درجه (درجه) متناسب است:
   درجه باقی مانده است این زاویه ربع چهارم است. یک سینوس منفی وجود دارد، بنابراین
2. . درجه. این زاویه ربع 3 است. کسینوس در آنجا منفی است. سپس
3. . . از آنجا که، پس از آن - گوشه سه ماهه اول. کسینوس وجود دارد مثبت است. سپس cos
4. . . از آنجایی که زاویه ما در ربع دوم است، جایی که سینوس مثبت است.

ما می توانیم همین کار را برای مماس و کوتانژانت انجام دهیم. با این حال، در واقع، با آنها حتی ساده تر است: آنها همچنین توابع دوره ای هستند، فقط دوره آنها 2 برابر کمتر است:

بنابراین، متوجه می شوید که دایره مثلثاتی چیست و برای چیست.

اما هنوز سوالات زیادی داریم:

1. زوایای منفی چیست؟
2. نحوه محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی در این زوایا
3. چگونه از مقادیر شناخته شده توابع مثلثاتی سه ماهه اول برای جستجوی مقادیر توابع در سه ماهه دیگر استفاده کنیم (آیا واقعاً نیاز به پر کردن جدول دارید؟!)
4. چگونه از دایره برای ساده کردن حل معادلات مثلثاتی استفاده کنیم؟

سطح متوسط

خب در این مقاله به بررسی دایره مثلثاتی می پردازیم و به نکات زیر می پردازیم:

1. زوایای منفی چیست؟
2. چگونه می توان مقادیر توابع مثلثاتی را در این زوایا محاسبه کرد؟
3. چگونه از مقادیر شناخته شده توابع مثلثاتی سه ماهه اول برای جستجوی مقادیر توابع در سه ماهه دیگر استفاده کنیم؟
4. محور مماس و محور کتانژانت چیست؟

به جز مهارت های اولیه کار با دایره واحد (مقاله قبلی) نیازی به دانش اضافی نخواهیم داشت. خوب، اجازه دهید به سوال اول برسیم: زوایای منفی چیست؟

زوایای منفی

زوایای منفی در مثلثاتاز ابتدا روی یک دایره مثلثاتی در جهت حرکت در جهت عقربه های ساعت قرار گرفته اند:

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه قبلاً زوایا را روی یک دایره مثلثاتی رسم کردیم: از جهت مثبت محور رفتیم. پادساعتگرد:

سپس در شکل ما زاویه ای برابر با ساخته شده است. به طور مشابه، ما تمام گوشه ها را ساختیم.

با این حال هیچ چیز ما را از حرکت از جهت مثبت محور منع نمی کند در جهت عقربه های ساعت.

ما همچنین زوایای مختلفی دریافت خواهیم کرد، اما آنها قبلا منفی خواهند بود:

تصویر زیر دو زاویه را نشان می دهد که از نظر قدر مطلق مساوی هستند، اما در علامت مخالف هستند:

به طور کلی، قانون را می توان به صورت زیر تنظیم کرد:

• ما خلاف جهت عقربه های ساعت می رویم - زوایای مثبت می گیریم
• ما در جهت عقربه های ساعت حرکت می کنیم - زوایای منفی دریافت می کنیم

به صورت شماتیک، قانون در این شکل نشان داده شده است:

شما می توانید یک سوال کاملا منطقی از من بپرسید: خوب، ما برای اندازه گیری مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به زاویه نیاز داریم.

پس آیا وقتی زاویه مثبت داریم و زمانی که زاویه منفی داریم تفاوتی وجود دارد؟ من به شما پاسخ خواهم داد: به عنوان یک قاعده وجود دارد.

با این حال، همیشه می توانید محاسبه تابع مثلثاتی را از زاویه منفی به محاسبه تابع در زاویه کاهش دهید.مثبت .

به تصویر زیر نگاه کنید:

من دو زاویه را رسم کردم، آنها از نظر قدر مطلق مساوی هستند اما علامت مخالف دارند. برای هر یک از زوایا به سینوس و کسینوس آن روی محورها توجه کنید.

من و تو چه می بینیم؟ و این چیزی است که:

• سینوس ها در گوشه و کنار هستند و در علامت مخالف هستند! سپس اگر
• کسینوس گوشه ها و منطبق! سپس اگر
• از آن به بعد:
• از آن به بعد:

بنابراین، همیشه می‌توانیم از شر علامت منفی در داخل هر تابع مثلثاتی خلاص شویم: یا با از بین بردن آن، مانند کسینوس، یا با قرار دادن آن در مقابل تابع، مانند سینوس، مماس و کوتانژانت.

به هر حال، به یاد داشته باشید که نام تابع چیست، که در آن برای هر مجاز درست است: ?

چنین تابعی فرد نامیده می شود.

و اگر برای هر مورد قبولی محقق شود: ? در این حالت تابع زوج نامیده می شود.

بنابراین، ما فقط نشان دادیم که:

سینوس، مماس و کوتانژانت توابع فرد هستند، در حالی که کسینوس زوج است.

بنابراین، همانطور که متوجه شدید، تفاوتی وجود ندارد که آیا ما به دنبال سینوس از زاویه مثبت یا منفی هستیم: برخورد با یک منفی بسیار ساده است. بنابراین برای زوایای منفی نیازی به جداول جداگانه نداریم.

از سوی دیگر، باید اعتراف کنید، با دانستن تنها توابع مثلثاتی زوایای ربع اول، بسیار راحت است که بتوانیم توابع مشابه را برای ربع های باقی مانده محاسبه کنیم. آیا می توان آن را انجام داد؟ بله، مطمئناً ممکن است! شما حداقل 2 راه دارید: اولین راه این است که یک مثلث بسازید و قضیه فیثاغورث را اعمال کنید (اینگونه است که من و شما مقادیر توابع مثلثاتی را برای زوایای اصلی ربع اول پیدا کردیم) دوم - به خاطر سپردن مقادیر توابع برای زوایای ربع اول و چند قانون ساده، قادر به محاسبه توابع مثلثاتی برای تمام ربع های دیگر باشید.راه دوم شما را از سر و صداهای زیادی در مورد مثلث ها و فیثاغورس نجات می دهد، بنابراین من آن را امیدوارکننده تر می دانم:

بنابراین، این روش (یا قانون) فرمول های کاهش نامیده می شود.

فرمول های بازیگری

به طور کلی، این فرمول ها به شما کمک می کند که چنین جدولی را به خاطر بسپارید (به هر حال، شامل 98 عدد است!):

اگر این یکی را به خاطر دارید (فقط 20 عدد):

یعنی با شماره های 78 کاملا غیر ضروری نمی توانید خودتان را به زحمت بیاندازید! اجازه دهید، برای مثال، ما نیاز به محاسبه. واضح است که در میز کوچک چنین چیزی وجود ندارد. چه کنیم؟ و این چیزی است که:

ابتدا به دانش زیر نیاز داریم:

1. سینوس و کسینوس دارای دوره (درجه) هستند، یعنی.

   مماس (کتانژانت) دارای دوره (درجات) است

   هر عدد صحیح

2. سینوس و مماس توابع فرد هستند و کسینوس زوج است:

ما قبلاً اولی را با شما ثابت کرده ایم و اعتبار دومی اخیراً ثابت شده است.

قانون ریخته گری واقعی به این صورت است:

1. اگر مقدار تابع مثلثاتی را از زاویه منفی محاسبه کنیم، با استفاده از گروهی از فرمول ها (2) آن را مثبت می کنیم. مثلا:
2. برای سینوس و کسینوس دوره های آن را کنار می گذاریم: (در درجه) و برای مماس - (درجه). مثلا:
3. اگر "گوشه" باقی مانده کمتر از درجه باشد، مشکل حل می شود: ما به دنبال آن در "جدول کوچک" هستیم.
4. در غیر این صورت، ما به دنبال این هستیم که گوشه ما در کدام یک از سه ماهه قرار دارد: کوارتر دوم، سوم یا چهارم خواهد بود. ما به علامت تابع مورد نظر در ربع نگاه می کنیم. این علامت را به خاطر بسپار!
5. یک زاویه را به یکی از اشکال زیر نشان دهید:

   (اگر در سه ماهه دوم)
   (اگر در سه ماهه دوم)
   (اگر در سه ماهه سوم)
   (اگر در سه ماهه سوم)
   
   (اگر در سه ماهه چهارم)

   به طوری که زاویه باقیمانده بزرگتر از صفر و کمتر از درجه باشد. مثلا:

   در اصل، فرقی نمی کند که در کدام یک از دو شکل جایگزین برای هر چهارم، گوشه را نشان دهید. این تاثیری بر نتیجه نهایی نخواهد داشت.

6. حالا بیایید ببینیم چه چیزی به دست آوردیم: اگر چیزی را از طریق یا درجه به اضافه منهای ضبط کنید، علامت تابع تغییر نخواهد کرد: فقط سینوس، کسینوس یا مماس زاویه باقیمانده را بردارید یا بنویسید. اگر انتخاب کردید که از طریق یا درجه ضبط کنید، سپس سینوس را به کسینوس، کسینوس به سینوس، مماس به کوتانژانت، کتانژانت به مماس تغییر دهید.
7. علامت پاراگراف 4 را جلوی عبارت بدست آمده قرار می دهیم.

بیایید همه موارد فوق را با مثال نشان دهیم:

1. محاسبه
2. محاسبه
3. یافتن-دی-این معانی you-ra-same-nia:

بیایید به ترتیب شروع کنیم:

1. ما طبق الگوریتم خود عمل می کنیم. تعداد صحیح حلقه ها را برای:

   به طور کلی نتیجه می گیریم که کل 5 بار در گوشه قرار می گیرد، اما چقدر باقی مانده است؟ ترک کرد. سپس

   خب ما زیاده را کنار گذاشته ایم. حالا بیایید به علامت بپردازیم. در 4 چهارم قرار دارد. سینوس ربع چهارم علامت منفی دارد و فراموش نکنم که آن را در جواب قرار دهم. در ادامه، طبق یکی از دو فرمول بند 5 قوانین کاهش ارائه می کنیم. من انتخاب خواهم کرد:

   اکنون به آنچه اتفاق افتاده است نگاه می کنیم: یک مورد با درجه داریم، سپس آن را کنار می گذاریم و سینوس را به کسینوس تغییر می دهیم. و جلوی آن علامت منفی بگذارید!

   درجه زاویه در ربع اول است. معنی آن را می دانیم (به من قول داده بودی یک جدول کوچک یاد بگیرم!!)

   سپس پاسخ نهایی را می گیریم:

   پاسخ:

2. همه چیز یکسان است، اما به جای درجه - رادیان. مشکلی نیست. نکته اصلی که باید به خاطر بسپارید این است

   اما شما نمی توانید رادیان را با درجه جایگزین کنید. این موضوع سلیقه شماست. من چیزی را تغییر نمی دهم من دوباره با دور انداختن حلقه‌های کامل شروع می‌کنم:

   ما دور می اندازیم - این دو دایره کامل هستند. باقی مانده است که محاسبه شود. این زاویه در کوارتر سوم است. کسینوس سه ماهه سوم منفی است. فراموش نکنید که در پاسخ خود علامت منفی بگذارید. را می توان تصور کرد. دوباره این قانون را به یاد می آوریم: مورد یک عدد صحیح (یا) داریم، سپس تابع تغییر نمی کند:

   سپس.
   پاسخ: .

3. . شما باید همین کار را انجام دهید، اما با دو عملکرد. کمی مختصرتر می گویم: و درجات زوایای ربع دوم هستند. کسینوس ربع دوم دارای علامت منفی و سینوس دارای علامت مثبت است. را می توان به صورت: اما چگونه، پس

   هر دو مورد "نیمه های یک کل" هستند. سپس سینوس تبدیل به کسینوس و کسینوس تبدیل به سینوس می شود. علاوه بر این، یک علامت منفی در جلوی کسینوس وجود دارد:

پاسخ: .

حالا خودتان با مثال های زیر تمرین کنید:

و در اینجا راه حل ها وجود دارد:

1. 
   ابتدا با حرکت دادن آن در جلوی سینوس از شر منهای خلاص می شویم (زیرا سینوس یک تابع فرد است !!!). سپس زوایا را در نظر بگیرید:

   یک عدد صحیح دایره را کنار می گذاریم - یعنی سه دایره ().
   باقی مانده است که محاسبه شود: .
   ما همین کار را با گوشه دوم انجام می دهیم:

   یک عدد صحیح دایره را حذف کنید - 3 دایره () سپس:

   اکنون فکر می کنیم: گوشه باقی مانده در کدام ربع قرار دارد؟ او به همه چیز «نمی‌رسد». پس ربع چیست؟ چهارم علامت کسینوس ربع چهارم چیست؟ مثبت. حالا بیایید تصور کنیم. از آنجایی که از یک عدد صحیح کم می کنیم، علامت کسینوس را تغییر نمی دهیم:

   تمام داده های دریافتی را با فرمول جایگزین می کنیم:

   پاسخ: .

2. 
   استاندارد: با استفاده از این واقعیت که منهای را از کسینوس حذف می کنیم.
   باقی مانده است که کسینوس درجه را بشماریم. بیایید کل دایره ها را حذف کنیم: . سپس

   سپس.
   پاسخ: .

3. مانند مثال قبلی عمل می کنیم.

   از آنجایی که به یاد دارید که دوره مماس بر خلاف کسینوس یا سینوس (یا) است که در آن 2 برابر بزرگتر است، پس عدد صحیح را حذف می کنیم.

   درجه زاویه در ربع دوم است. مماس کوارتر دوم منفی است، پس «منهای» را در پایان فراموش نکنیم! را می توان به صورت نوشتاری تغییرات مماس به کوتانژانت. در نهایت می رسیم:

   سپس.
   پاسخ: .

خب خیلی کم مونده!

محور مماس ها و محور تانژانت ها

آخرین چیزی که در اینجا می خواهم به آن بپردازم روی دو محور اضافی است. همانطور که قبلاً بحث کردیم، دو محور داریم:

1. محور - محور کسینوس
2. محور - محور سینوسی

در واقع، ما فاقد محورهای مختصات هستیم، اینطور نیست؟ اما در مورد مماس ها و کوتانژانت ها چطور؟

واقعاً برای آنها تفسیر گرافیکی وجود ندارد؟

در واقع، این است، شما می توانید آن را در این تصویر ببینید:

به طور خاص از این تصاویر می توان به موارد زیر اشاره کرد:

1. مماس و کتانژانت در ربع علائم یکسانی دارند
2. آنها در سه ماهه اول و سوم مثبت هستند
3. آنها در کوارتر دوم و چهارم منفی هستند
4. مماس در زوایا تعریف نشده است
5. کوتانژانت در زوایا تعریف نشده است

این عکسا دیگه واسه چیه؟ شما در سطح پیشرفته یاد خواهید گرفت، جایی که من به شما خواهم گفت که چگونه می توانید حل معادلات مثلثاتی را با کمک یک دایره مثلثاتی ساده کنید!

سطح پیشرفته

در این مقاله نحوه انجام آن را شرح خواهم داد دایره واحد (دایره مثلثاتی)می تواند در حل معادلات مثلثاتی مفید باشد.

من می توانم دو مورد را که می تواند مفید باشد برجسته کنم:

1. در پاسخ، ما زاویه "زیبا" دریافت نمی کنیم، اما با این وجود باید ریشه ها را انتخاب کنیم.
2. جواب خیلی از ریشه هاست

شما به هیچ دانش خاصی نیاز ندارید، به جز دانش موضوع:

سعی کردم مبحث "معادلات مثلثاتی" را بدون توسل به دایره بنویسم. خیلی ها مرا به خاطر چنین رویکردی تحسین نمی کنند.

اما من فرمول را ترجیح می دهم، پس چه کاری می توانید انجام دهید. با این حال، در برخی موارد فرمول ها کافی نیستند. مثال زیر مرا برای نوشتن این مقاله ترغیب کرد:

معادله را حل کنید:

خب پس حل خود معادله آسان است.

تعویض معکوس:

بنابراین، معادله اصلی ما معادل چهار معادله ساده است! آیا واقعاً باید 4 سری ریشه را بنویسیم:

در اصل، این می توانست متوقف شود. اما نه برای خوانندگان این مقاله، که ادعا می کند نوعی "پیچیدگی" است!

اجازه دهید ابتدا سری اول ریشه ها را در نظر بگیریم. بنابراین، یک دایره واحد می گیریم، حالا بیایید این ریشه ها را به دایره اعمال کنیم (به طور جداگانه برای و برای):

توجه کنید: چه زاویه ای بین گوشه ها و؟ این گوشه است. حالا بیایید همین کار را برای سریال انجام دهیم: .

بین ریشه های معادله، دوباره زاویه c به دست می آید. حالا بیایید این دو تصویر را با هم ترکیب کنیم:

ما چه می بینیم؟ و سپس، تمام زوایای بین ریشه های ما برابر است. چه مفهومی داره؟

اگر از یک گوشه شروع کنیم و زوایای مساوی بگیریم (برای هر عدد صحیح)، همیشه یکی از چهار نقطه دایره بالایی را می زنیم! بنابراین 2 سری ریشه:

را می توان در یک ترکیب کرد:

افسوس، برای یک سری از ریشه ها:

این استدلال ها دیگر معتبر نیستند. یک نقاشی بکشید و بفهمید که چرا اینطور است. با این حال، آنها را می توان به صورت زیر ترکیب کرد:

سپس معادله اصلی دارای ریشه است:

که پاسخی بسیار کوتاه و مختصر است. و اختصار و اختصار یعنی چه؟ در مورد سطح سواد ریاضی شما.

این اولین نمونه ای بود که در آن استفاده از دایره مثلثاتی نتایج مفیدی به همراه داشت.

مثال دوم معادلاتی است که «ریشه زشت» دارند.

مثلا:

1. معادله را حل کنید.
2. ریشه های آن را که متعلق به شکاف است پیدا کنید.

قسمت اول سخت نیست.

از آنجایی که شما قبلاً با موضوع آشنا هستید، به خودم اجازه می دهم در محاسبات خود مختصر باشم.

سپس یا

بنابراین ما ریشه های معادله خود را پیدا کردیم. هیچ چیز پیچیده ای نیست.

حل قسمت دوم کار دشوارتر است، زیرا دقیقاً نمی دانید کسینوس قوس منهای یک چهارم چقدر است (این یک مقدار جدولی نیست).

با این حال، می‌توانیم سری ریشه‌های یافت شده را روی یک دایره واحد به تصویر بکشیم:

ما چه می بینیم؟ اولاً، این شکل برای ما روشن کرد که آرکوزین در چه حدودی قرار دارد:

این تفسیر بصری به ما کمک می کند ریشه هایی را که متعلق به بخش هستند پیدا کنیم: .

ابتدا خود شماره وارد آن می شود، سپس (شکل را ببینید).

نیز متعلق به بخش است.

بنابراین، دایره واحد کمک می کند تا مشخص شود گوشه های "زشت" در چه محدوده هایی قرار می گیرند.

حداقل یک سوال دیگر باید داشته باشید: اما در مورد مماس ها و کوتانژانت ها چطور؟

در واقع، آنها نیز تبرهای خاص خود را دارند، اگرچه ظاهر کمی خاص دارند:

در غیر این صورت نحوه رسیدگی به آنها مانند سینوس و کسینوس خواهد بود.

مثال

معادله ای داده شده است.

• این معادله را حل کنید.
• ریشه های این معادله را که به بازه تعلق دارند را مشخص کنید.

راه حل:

یک دایره واحد رسم می کنیم و جواب های خود را روی آن علامت گذاری می کنیم:

از شکل می توان فهمید که:

یا حتی بیشتر: از آن زمان

سپس ریشه های متعلق به بخش را پیدا می کنیم.

، (زیرا)

این را به شما واگذار می کنم تا مطمئن شوید که معادله ما هیچ ریشه دیگری متعلق به بازه ندارد.

خلاصه و فرمول اساسی

ابزار اصلی مثلثات است دایره مثلثاتی،به شما امکان می دهد زاویه ها را اندازه گیری کنید، سینوس ها، کسینوس ها و غیره آنها را پیدا کنید.

دو روش برای اندازه گیری زاویه وجود دارد.

1. از طریق درجه
2. از طریق رادیان

و بالعکس: از رادیان به درجات:

برای پیدا کردن سینوس و کسینوس یک زاویه به موارد زیر نیاز دارید:

1. یک دایره واحد رسم کنید که مرکز آن با راس گوشه منطبق باشد.
2. نقطه تلاقی این زاویه با دایره را پیدا کنید.
3. مختصات "x" آن کسینوس زاویه مورد نظر است.
4. مختصات "بازی" آن سینوس زاویه مورد نظر است.

فرمول های بازیگری

اینها فرمول هایی هستند که به شما امکان می دهند عبارات پیچیده یک تابع مثلثاتی را ساده کنید.

این فرمول ها به شما کمک می کند که چنین جدولی را به خاطر بسپارید:

خلاصه کردن

شما یاد گرفتید که چگونه یک خار مثلثاتی جهانی بسازید.

شما یاد گرفته اید که مشکلات را بسیار ساده تر و سریع تر و مهمتر از همه بدون خطا حل کنید.

متوجه شدید که نیازی به چیدن هیچ میزی ندارید و به طور کلی چیز کمی برای چیدمان وجود دارد!

حالا من می خواهم از شما بشنوم!

آیا موفق به پرداختن به این موضوع پیچیده شده اید؟

چه چیزی را دوست داشتید؟ چه چیزی را دوست نداشتید؟

شاید اشتباهی پیدا کردی؟

در نظرات بنویسید!

و در امتحان موفق باشید!