مثال هایی با لگاریتم و حل آنها برای امتحان. حل معادلات لگاریتمی

لگاریتم چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

لگاریتم چیست؟ چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟ این سوالات بسیاری از فارغ التحصیلان را سردرگم می کند. به طور سنتی، موضوع لگاریتم پیچیده، غیرقابل درک و ترسناک در نظر گرفته می شود. به خصوص - معادلات با لگاریتم.

این کاملا درست نیست. کاملا! باور نمی کنی؟ باشه. اکنون برای حدود 10 تا 20 دقیقه شما:

1. درک کنید لگاریتم چیست.

2. حل یک کلاس کامل از معادلات نمایی را یاد بگیرید. حتی اگر نام آنها را نشنیده باشید.

3. محاسبه لگاریتم های ساده را یاد بگیرید.

علاوه بر این، برای این شما فقط باید جدول ضرب را بدانید و اینکه چگونه یک عدد به توان می رسد ...

من احساس می کنم شما شک دارید ... خوب، زمان را نگه دارید! برو

ابتدا معادله زیر را در ذهن خود حل کنید:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر نمونه هایی از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم، استفاده کنیم.
• اگر در قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابه شرکت کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

عبارات لگاریتمی، حل مثال ها. در این مقاله به بررسی مسائل مربوط به حل لگاریتم می پردازیم. تکالیف پرسش از یافتن ارزش عبارت را مطرح می کند. لازم به ذکر است که مفهوم لگاریتم در بسیاری از کارها استفاده می شود و درک معنای آن بسیار مهم است. در مورد USE، لگاریتم در حل معادلات، در مسائل کاربردی و همچنین در کارهای مربوط به مطالعه توابع استفاده می شود.

در اینجا مثال هایی برای درک معنای لگاریتم آورده شده است:

هویت لگاریتمی پایه:

خواص لگاریتم که همیشه باید به خاطر بسپارید:

*لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم عوامل.

* * *

* لگاریتم ضریب (کسری) برابر است با اختلاف لگاریتم عوامل.

* * *

* لگاریتم درجه برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم پایه آن.

* * *

* انتقال به پایگاه جدید

* * *

خواص بیشتر:

* * *

محاسبه لگاریتم ارتباط نزدیکی با استفاده از خواص توان دارد.

ما تعدادی از آنها را فهرست می کنیم:

ماهیت این خاصیت این است که هنگام انتقال صورت به مخرج و بالعکس، علامت توان به مخالف تغییر می کند. مثلا:

پیامد این خاصیت:

* * *

هنگام افزایش توان به توان، پایه ثابت می ماند، اما توان ها ضرب می شوند.

* * *

همانطور که می بینید، مفهوم لگاریتم ساده است. نکته اصلی این است که تمرین خوب مورد نیاز است، که مهارت خاصی را می دهد. مسلما دانش فرمول ها واجب است. اگر مهارت در تبدیل لگاریتم های ابتدایی شکل نگیرد، هنگام حل کارهای ساده، به راحتی می توان اشتباه کرد.

تمرین کنید، ابتدا ساده ترین مثال های درس ریاضی را حل کنید، سپس به سراغ نمونه های پیچیده تر بروید. در آینده ، من قطعاً نشان خواهم داد که چگونه لگاریتم های "زشت" حل می شوند ، چنین مواردی در امتحان وجود نخواهد داشت ، اما آنها جالب هستند ، آن را از دست ندهید!

همین! موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ

P.S: اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی بگویید ممنون می شوم.

در این آموزش ویدیویی، ما به حل یک معادله لگاریتمی نسبتاً جدی نگاه خواهیم کرد، که در آن نه تنها باید ریشه ها را پیدا کنید، بلکه آنهایی را که در یک بخش معین قرار دارند نیز انتخاب کنید.

وظیفه C1. معادله را حل کنید. تمام ریشه های این معادله را که به بازه تعلق دارند پیدا کنید.

نکته ای در مورد معادلات لگاریتمی

با این حال، سال به سال، دانش‌آموزانی به سراغ من می‌آیند که سعی می‌کنند این موارد را، صادقانه، حل کنند. معادلات دشوار، اما در عین حال نمی توانند بفهمند: اصلاً از کجا شروع می شوند و چگونه به لگاریتم ها نزدیک می شوند؟ چنین مشکلی می تواند حتی در دانش آموزان قوی و آماده به وجود بیاید.

در نتیجه، بسیاری از این موضوع می ترسند یا حتی خود را احمق می دانند. بنابراین، به یاد داشته باشید: اگر نمی توانید چنین معادله ای را حل کنید، به هیچ وجه به این معنی نیست که شما احمق هستید. زیرا برای مثال می توانید تقریباً به صورت شفاهی با این معادله برخورد کنید:

log 2 x = 4

و اگر اینطور نبود، الان این متن را نمی‌خوانید، زیرا مشغول کارهای ساده‌تر و پیش پا افتاده‌تر بودید. البته، کسی اکنون اعتراض خواهد کرد: "این ساده ترین معادله چه ربطی به طراحی سالم ما دارد؟" من پاسخ می دهم: هر معادله لگاریتمی، مهم نیست که چقدر پیچیده باشد، در نهایت به چنین ساختارهای ساده و شفاهی حل شده ای ختم می شود.

البته، لازم است از معادلات لگاریتمی پیچیده به معادلات ساده تر نه با کمک انتخاب یا رقصیدن با تنبور، بلکه بر اساس قوانین واضح و طولانی تعریف شده، که اصطلاحاً به آنها گفته می شود، حرکت کنیم. قوانین تبدیل عبارات لگاریتمی. با دانستن آنها، می توانید به راحتی حتی پیچیده ترین معادلات را در امتحان ریاضی کشف کنید.

و در مورد این قوانین است که در درس امروز صحبت خواهیم کرد. برو

حل معادله لگاریتمی در مسئله C1

پس بیایید معادله را حل کنیم:

اول از همه، وقتی صحبت از معادلات لگاریتمی می شود، تاکتیک اصلی را به یاد می آوریم - اگر بتوانم بگویم، قانون اساسی برای حل معادلات لگاریتمی. این شامل موارد زیر است:

قضیه فرم متعارف. هر معادله لگاریتمی، صرف نظر از اینکه شامل چه چیزی باشد، چه لگاریتمی، چه مبنایی، و چه چیزی که c به خودی خود داشته باشد، لازم است آن را به معادله ای از شکل برسانیم:

log a f (x) = log a g (x)

اگر به معادله خود نگاه کنیم، بلافاصله متوجه دو مشکل می شویم:

1. در سمت چپ ما داریم مجموع دو عددکه یکی از آنها اصلا لگاریتمی نیست.
2. در سمت راست کاملاً یک لگاریتم است، اما در پایه آن یک ریشه است. و لگاریتم سمت چپ فقط 2 دارد، یعنی. پایه لگاریتم های سمت چپ و راست متفاوت است.

بنابراین ما به لیستی از مسائلی رسیده ایم که معادله ما را از آن جدا می کند معادله متعارف، که باید هر معادله لگاریتمی را در فرآیند حل به آن کاهش دهید. بنابراین، حل معادله ما در این مرحله به حذف دو مشکل توضیح داده شده در بالا خلاصه می شود.

هر معادله لگاریتمی را می توان به سرعت و به راحتی حل کرد اگر به شکل متعارف آن کاهش یابد.

مجموع لگاریتم ها و لگاریتم حاصلضرب

بیایید به ترتیب پیش برویم. ابتدا بیایید به ساختاری بپردازیم که در سمت چپ قرار دارد. در مورد مجموع دو لگاریتم چه می توانیم بگوییم؟ بیایید فرمول فوق العاده را به خاطر بسپاریم:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

اما شایان توجه است که در مورد ما عبارت اول اصلا لگاریتمی نیست. بنابراین، شما باید واحد را به عنوان لگاریتم به پایه 2 نشان دهید (یعنی 2، زیرا لگاریتم به پایه 2 در سمت چپ است). چگونه انجامش بدهیم؟ باز هم، فرمول فوق العاده را به خاطر بسپارید:

a = log b b a

در اینجا باید درک کنید: وقتی می گوییم "هر پایه b"، پس منظور ما این است که b هنوز نمی تواند یک عدد دلخواه باشد. اگر عددی را در لگاریتم وارد کنیم، بلافاصله اعداد خاصی روی آن قرار می گیرند. محدودیت های، یعنی: پایه لگاریتم باید بزرگتر از 0 باشد و نباید برابر با 1 باشد. در غیر این صورت، لگاریتم به سادگی معنا ندارد. بیایید آن را بنویسیم:

0 < b ≠ 1

بیایید ببینیم در مورد ما چه اتفاقی می افتد:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

حالا بیایید کل معادله خود را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی کنیم. و بلافاصله قانون دیگری را اعمال می کنیم: مجموع لگاریتم ها برابر است با لگاریتم حاصلضرب آرگومان ها. در نتیجه دریافت می کنیم:

ما یک معادله جدید داریم. همانطور که می بینید، در حال حاضر به هم ترازی متعارفی که ما برای آن تلاش می کنیم بسیار نزدیکتر است. اما یک مشکل وجود دارد، ما آن را به شکل نقطه دوم نوشتیم: لگاریتم های ما که در سمت چپ و در سمت راست قرار دارند. زمینه های مختلف. بیایید به مرحله بعدی برویم.

قوانینی برای گرفتن توان از لگاریتم

بنابراین لگاریتم سمت چپ دارای پایه فقط 2 است و لگاریتم سمت راست دارای یک ریشه در پایه است. اما این هم مشکلی نیست، اگر به یاد داشته باشیم که از مبانی آرگومان های لگاریتم می توان به توان خارج کرد. بیایید یکی از این قوانین را بنویسیم:

log a b n = n log a b

ترجمه به زبان انسانی: می توانید درجه را از پایه لگاریتم خارج کنید و آن را به عنوان فاکتور در جلو قرار دهید. عدد n از لگاریتم خارج شد و به یک ضریب در جلو تبدیل شد.

همچنین ممکن است توان را از پایه لگاریتم خارج کنیم. شبیه این خواهد شد:

به عبارت دیگر، اگر توان را از آرگومان لگاریتم خارج کنید، این توان نیز به عنوان ضریب در مقابل لگاریتم نوشته می شود، اما نه به صورت عدد، بلکه به صورت متقابل 1/k.

با این حال، این همه چیز نیست! می توانیم این دو فرمول را با هم ترکیب کنیم و به فرمول زیر برسیم:

وقتی توان هم در مبنا و هم در آرگومان لگاریتم باشد، می‌توانیم با حذف هم‌زمان توان‌ها از پایه و آرگومان، در زمان صرفه‌جویی کنیم و محاسبات را ساده کنیم. در این صورت، آنچه در استدلال بود (در مورد ما ضریب n است) در صورتگر خواهد بود. و درجه در پایه چقدر بود، a k، به مخرج خواهد رفت.

و این فرمول ها هستند که اکنون برای کاهش لگاریتم های خود به یک پایه استفاده خواهیم کرد.

اول از همه یک پایه کم و بیش زیبا انتخاب می کنیم. بدیهی است که دوش در پایه کار با آن بسیار خوشایندتر از ریشه است. پس بیایید سعی کنیم لگاریتم دوم را مبنای 2 قرار دهیم، بیایید این لگاریتم را جداگانه بنویسیم:

اینجا چه کار می توانیم بکنیم؟ فرمول توان را با توان گویا به یاد بیاورید. به عبارت دیگر، می‌توان ریشه‌ها را به‌عنوان یک توان با توان منطقی نوشت. و سپس توان 1/2 را هم از آرگومان و هم از پایه لگاریتم خارج می کنیم. دوتا را در ضرایب صورت و مخرج جلوی لگاریتم کاهش می دهیم:

در نهایت، معادله اصلی را با در نظر گرفتن ضرایب جدید بازنویسی می کنیم:

log 2 2 (9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

ما معادله لگاریتمی متعارف را به دست آورده ایم. هم در سمت چپ و هم در سمت راست ما یک لگاریتمی در همان پایه 2 داریم. علاوه بر این لگاریتم ها، هیچ ضرایبی، هیچ عبارتی در سمت چپ یا راست وجود ندارد.

در نتیجه، می‌توانیم از شر علامت لگاریتم خلاص شویم. البته با در نظر گرفتن دامنه تعریف. اما قبل از انجام این کار، اجازه دهید به عقب برگردیم و کمی در مورد کسرها توضیح دهیم.

تقسیم کسر بر کسری: ملاحظات اضافی

همه دانش‌آموزان نمی‌دانند که عوامل مقابل لگاریتم درست از کجا می‌آیند و به کجا می‌روند. بیایید دوباره آن را بنویسیم:

بیایید بفهمیم کسر چیست. بیا بنویسیم:

و اکنون قانون تقسیم کسرها را یادآوری می کنیم: برای تقسیم بر 1/2، باید در کسر معکوس ضرب کنید:

البته، برای راحتی محاسبات بیشتر، می‌توانیم دوس را به صورت 2/1 بنویسیم - و این دقیقاً همان چیزی است که به عنوان ضریب دوم در فرآیند حل مشاهده می‌کنیم.

امیدوارم اکنون همه بفهمند که ضریب دوم از کجا می آید، بنابراین ما مستقیماً به حل معادله لگاریتمی متعارف خود می رویم.

خلاص شدن از علامت لگاریتم

به شما یادآوری می کنم که اکنون می توانیم از شر لگاریتم خلاص شویم و عبارت زیر را بگذاریم:

2 (9x2 + 5) = 8x4 + 14

بیایید براکت های سمت چپ را گسترش دهیم. ما گرفتیم:

18x2 + 10 = 8x4 + 14

بیایید همه چیز را از سمت چپ به راست حرکت دهیم:

8x4 + 14 - 18x2 - 10 = 0

موارد مشابه را می دهیم و می گیریم:

8x4 - 18x2 + 4 = 0

برای ساده کردن ضرایب می توانیم هر دو طرف این معادله را بر 2 تقسیم کنیم و به دست می آوریم:

4x4 - 9x2 + 2 = 0

قبل از ما معمول است معادله دو درجه ای، و ریشه های آن به راحتی بر حسب ممیز محاسبه می شود. پس بیایید تفکیک کننده را بنویسیم:

D \u003d 81 - 4 4 2 \u003d 81 - 32 \u003d 49

خوب، Discriminant "زیبا" است، ریشه آن 7 است. همین، ما خود X را در نظر می گیریم. اما در این حالت، ریشه ها نه x، بلکه x 2 خواهند شد، زیرا ما یک معادله دو درجه ای داریم. بنابراین گزینه های ما عبارتند از:

لطفا توجه داشته باشید: ما ریشه ها را استخراج کردیم، بنابراین دو پاسخ وجود خواهد داشت، زیرا. مربع - حتی عملکرد. و اگر فقط ریشه دو را بنویسیم، به سادگی ریشه دوم را از دست خواهیم داد.

اکنون ریشه دوم معادله دو درجه ای خود را ترسیم می کنیم:

باز هم جذر حسابی دو طرف معادله خود را می گیریم و دو ریشه می گیریم. با این حال، به یاد داشته باشید:

کافی نیست که استدلال های لگاریتم ها را به شکل متعارف یکسان کنیم. دامنه را به خاطر بسپار!

در کل چهار ریشه گرفتیم. همه آنها در واقع راه حلی برای معادله اصلی ما هستند. نگاهی بیندازید: در معادله لگاریتمی اصلی ما، داخل لگاریتم ها یا 9x 2 + 5 است (این تابع همیشه مثبت است)، یا 8x 4 + 14 - همچنین همیشه مثبت است. بنابراین، دامنه تعریف لگاریتم ها در هر صورت، صرف نظر از اینکه چه ریشه ای به دست می آوریم، برآورده می شود، به این معنی که هر چهار ریشه راه حل معادله ما هستند.

عالی، حالا بیایید به قسمت دوم مشکل برویم.

انتخاب ریشه های یک معادله لگاریتمی در یک قطعه

ما از بین چهار ریشه خود ریشه هایی را انتخاب می کنیم که در بازه [-1; 8/9]. ما به ریشه های خود باز می گردیم و اکنون انتخاب آنها را انجام خواهیم داد. برای شروع، من پیشنهاد می کنم یک محور مختصات رسم کنید و انتهای بخش را روی آن علامت بزنید:

هر دو نقطه سایه خواهند داشت. آن ها با توجه به شرایط مشکل، ما به بخش سایه دار علاقه مند هستیم. حالا بیایید به ریشه ها بپردازیم.

ریشه های غیر منطقی

بیایید با ریشه های غیرمنطقی شروع کنیم. توجه داشته باشید که 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

از این نتیجه می شود که ریشه دو در بخش مورد علاقه ما قرار نمی گیرد. به طور مشابه، ما با یک ریشه منفی دریافت می کنیم: کمتر از -1 است، یعنی در سمت چپ بخش مورد علاقه ما قرار دارد.

ریشه های عقلانی

دو ریشه باقی مانده است: x = 1/2 و x = -1/2. بیایید توجه کنیم که انتهای سمت چپ بخش (-1) منفی است و انتهای سمت راست (8/9) مثبت است. بنابراین، جایی بین این انتها عدد 0 قرار دارد. ریشه x = -1/2 بین -1 و 0 خواهد بود، یعنی. در پاسخ نهایی گنجانده خواهد شد. همین کار را با ریشه x = 1/2 انجام می دهیم. این ریشه نیز در بخش مورد بررسی قرار دارد.

اطمینان از بزرگتر بودن عدد 8/9 از 1/2 بسیار آسان است. بیایید این اعداد را از یکدیگر کم کنیم:

ما کسری 7/18 > 0 را دریافت کردیم، که طبق تعریف به این معنی است که 8/9 > 1/2.

بیایید ریشه های مناسب را روی محور مختصات علامت گذاری کنیم:

پاسخ نهایی دو ریشه خواهد بود: 1/2 و −1/2.

مقایسه اعداد غیر منطقی: یک الگوریتم جهانی

در پایان، من می خواهم یک بار دیگر به اعداد غیر منطقی برگردم. با استفاده از مثال آنها، اکنون خواهیم دید که چگونه می توان کمیت های منطقی و غیرمنطقی را در ریاضیات مقایسه کرد. برای شروع، چنین تیک V بین آنها وجود دارد - علامت "بیشتر" یا "کمتر"، اما ما هنوز نمی دانیم به کدام جهت هدایت می شود. بیا بنویسیم:

اصلاً چرا به الگوریتم های مقایسه ای نیاز داریم؟ واقعیت این است که در این مشکل ما بسیار خوش شانس بودیم: در روند حل، شماره جداکننده 1 به وجود آمد که در مورد آن قطعاً می توان گفت:

با این حال، همیشه چنین عددی را در حال حرکت نخواهید دید. بنابراین، بیایید سعی کنیم اعداد خود را مستقیماً مقایسه کنیم.

چگونه انجام می شود؟ ما همان کار را با نابرابری های معمول انجام می دهیم:

1. ابتدا، اگر در جایی ضرایب منفی داشتیم، هر دو طرف نابرابری را در -1 ضرب می‌کردیم. البته تغییر علامت. چنین تیک V به چنین - Λ تغییر می کند.
2. اما در مورد ما، هر دو طرف از قبل مثبت هستند، بنابراین نیازی به تغییر چیزی نیست. آنچه واقعاً مورد نیاز است این است دو طرف مربعبرای خلاص شدن از شر رادیکال

اگر هنگام مقایسه اعداد غیر منطقی، نمی توان یک عنصر جداکننده را در حال حرکت انتخاب کرد، توصیه می کنم چنین مقایسه ای را "روی پیشانی" انجام دهید - آن را به عنوان یک نابرابری معمولی توصیف کنید.

هنگام حل آن، به نظر می رسد:

اکنون مقایسه همه چیز آسان است. واقعیت این است که 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

تمام است، ما یک اثبات دقیق دریافت کرده ایم که همه اعداد در خط عددی x به درستی و دقیقاً به ترتیبی که در واقع باید باشند علامت گذاری شده اند. هیچ کس از چنین تصمیمی شکایت نخواهد کرد، بنابراین به یاد داشته باشید: اگر بلافاصله عدد جداکننده را نمی بینید (در مورد ما 1 است)، پس با خیال راحت ساختار فوق را بنویسید، ضرب کنید، مربع - و در پایان شما یک نابرابری زیبا دریافت خواهد کرد. از این نابرابری دقیقاً مشخص خواهد شد که کدام عدد بزرگتر و کدام کوچکتر است.

با بازگشت به مسئله خود، می خواهم یک بار دیگر توجه شما را به آنچه در همان ابتدا هنگام حل معادله خود انجام دادیم جلب کنم. یعنی، ما از نزدیک به معادله لگاریتمی اصلی خود نگاه کردیم و سعی کردیم آن را به کاهش دهیم ابتداییمعادله لگاریتمی جایی که فقط لگاریتمی در سمت چپ و راست وجود دارد - بدون هیچ عبارت اضافی، ضرایب در جلو، و غیره. ما نیازی به دو لگاریتم برای پایه a یا b نداریم، یعنی لگاریتمی برابر با لگاریتم دیگر.

علاوه بر این، پایه لگاریتم ها نیز باید برابر باشند. در عین حال اگر معادله به درستی تشکیل شده باشد، با کمک تبدیل های لگاریتمی ابتدایی (مجموع لگاریتم ها، تبدیل عدد به لگاریتم و ...) این معادله را به معادله متعارف کاهش می دهیم.

بنابراین، از این پس، وقتی معادله لگاریتمی را می بینید که بلافاصله "روی پیشانی" حل نمی شود، نباید گم شوید یا سعی کنید پاسخی پیدا کنید. کافی است این مراحل را دنبال کنید:

1. تمام عناصر رایگان را به لگاریتم بیاورید.
2. سپس این لگاریتم ها را اضافه کنید.
3. در ساخت به دست آمده، همه لگاریتم ها به یک پایه منتهی می شوند.

در نتیجه یک معادله ساده بدست می آورید که با جبر ابتدایی از مواد درجه های 8-9 حل می شود. در کل برو تو سایت من حل لگاریتم رو تمرین کن مثل من معادلات لگاریتمی حل کن بهتر از من حل کن. و این همه برای من است. پاول بردوف با شما بود. به زودی میبینمت!

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، توان آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b * a c = a b + c). این قانون ریاضی توسط ارشمیدس استخراج شد و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان ویراسن جدولی از شاخص های اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا یافت که در آن لازم است ضرب دست و پا گیر به جمع ساده ساده شود. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. زبان ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log ab=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" با پایه "a" آن توان "c" در نظر گرفته می شود. ، که باید پایه "a" را به آن بالا برد تا در پایان مقدار "b" به دست آید. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید چنین مدرکی پیدا کنید که از 2 تا مدرک مورد نیاز، 8 بگیرید. با انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و به درستی چون 2 به توان 3 عدد 8 را در جواب می دهد.

انواع لگاریتم ها

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع، لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه نوع متمایز از عبارت لگاریتمی وجود دارد:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b به پایه a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم با استفاده از قضایای لگاریتمی حل می شوند. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، باید ویژگی های آنها و ترتیب اعمال را در تصمیم گیری ها به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده ـ محدودیت وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده اند، یعنی قابل بحث نیستند و صادق هستند. برای مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان ریشه یک درجه زوج را از اعداد منفی استخراج کرد. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی یاد بگیرید که چگونه با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ کار کنید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد، و در عین حال برابر با 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، این وظیفه داده شد که پاسخ معادله 10 x \u003d 100 را پیدا کنید. بسیار آسان است، شما باید چنین توانی را انتخاب کنید، عدد ده را که به 100 می رسیم بالا ببرید. البته این 10 است. 2 \u003d 100.

حال بیایید این عبارت را به صورت لگاریتمی نشان دهیم. ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم ها، همه اقدامات عملاً با یافتن درجه ای که پایه لگاریتم باید وارد شود تا یک عدد معین را وارد کنیم، همگرا می شوند.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، اگر ذهنیت فنی و دانش جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از توان ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال، مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارند. حتی برای کسانی که در مباحث پیچیده ریاضی اصلاً چیزی نمی فهمند می توان از آن استفاده کرد. ستون سمت چپ شامل اعداد (مبنای a) است، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می یابد. در تقاطع سلول ها، مقادیر اعداد تعیین می شود که پاسخ (a c =b) است. برای مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرایان نیز متوجه خواهند شد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط خاص، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک معادله لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم 81 تا پایه 3، که چهار است (log 3 81 = 4) نوشت. برای توان های منفی، قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 به عنوان لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، مبحث "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و راه حل های معادلات را کمی پایین تر در نظر خواهیم گرفت. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

عبارتی از شکل زیر داده می شود: log 2 (x-1) > 3 - این یک نابرابری لگاریتمی است، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتم است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شود: لگاریتم عدد مورد نظر در پایه دو از عدد سه بزرگتر است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها در این است که معادلات با لگاریتم (مثلا لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند مقدار عددی خاص در پاسخ دارند، در حالی که هنگام حل نابرابری، هر دو محدوده مقادیر قابل قبول و نقاط شکستن این تابع. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد فردی نیست، همانطور که در پاسخ معادله است، بلکه یک سری یا مجموعه ای از اعداد پیوسته است.

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف اولیه برای یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح همه ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه با مثال هایی از معادلات آشنا می شویم، اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری تحلیل کنیم.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط در صورتی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان با فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. در این مورد، پیش نیاز این است: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتم ها با مثال و راه حل اثبات کنید. اجازه دهید log به عنوان 1 = f 1 و log به عنوان 2 = f 2، سپس a f1 = s 1، a f2 = s 2. دریافت می کنیم که s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ویژگی های درجه ) و در ادامه با تعریف: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log به عنوان 2 که قرار بود ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه به خواص درجات معمولی است، و تعجب آور نیست، زیرا تمام ریاضیات بر فرضیه های منظم استوار است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

بگذارید a b \u003d t را وارد کنید، معلوم می شود t \u003d b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانید: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل لگاریتمی مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتابهای مسئله یافت می شوند و همچنین در بخش اجباری امتحانات ریاضی گنجانده شده اند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در آزمون های ورودی ریاضی، باید بدانید که چگونه این گونه کارها را به درستی حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، با این حال، قوانین خاصی را می توان برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده کرد یا به یک فرم کلی تقلیل داد. اگر از خصوصیات آنها به درستی استفاده کنید، می توانید عبارات لگاریتمی طولانی را ساده کنید. بیایید به زودی با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، لازم است تعیین کنیم که چه نوع لگاریتمی در پیش داریم: یک مثال از یک عبارت ممکن است حاوی یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که باید درجه ای را تعیین کنید که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای حل لگاریتم های طبیعی، باید هویت های لگاریتمی یا ویژگی های آنها را اعمال کرد. بیایید به نمونه هایی از حل مسائل لگاریتمی در انواع مختلف نگاه کنیم.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید نمونه هایی از استفاده از قضایای اصلی در لگاریتم ها را بررسی کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم محصول می توان در کارهایی استفاده کرد که لازم است مقدار زیادی از عدد b را به عوامل ساده تر تجزیه کنیم. مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید، با استفاده از ویژگی چهارم درجه لگاریتم، در نگاه اول موفق شدیم یک عبارت پیچیده و غیرقابل حل را حل کنیم. فقط باید پایه را فاکتورسازی کرد و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کرد.

وظایف از امتحان

لگاریتم ها اغلب در امتحانات ورودی یافت می شوند، به خصوص بسیاری از مشکلات لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی (امتحان دولتی برای همه فارغ التحصیلان مدرسه). معمولاً این کارها نه تنها در بخش A (آسان ترین بخش آزمایشی امتحان) بلکه در قسمت C (سخت ترین و پرحجم ترین کارها) وجود دارد. آزمون به معنی دانش دقیق و کامل از مبحث "لگاریتم های طبیعی" است.

نمونه ها و حل مسئله از نسخه های رسمی آزمون گرفته شده است. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به گزارش 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• بهتر است همه لگاریتم ها به یک پایه تقلیل داده شوند تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم به عنوان مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگام خارج کردن توان نشان بیان، که زیر علامت لگاریتم و به عنوان پایه آن است، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.