سرعت خطی هنگام حرکت در یک دایره. حرکت یک نقطه مادی در یک دایره
حرکت یک جسم در دایره با سرعت مطلق ثابت- این حرکتی است که در آن یک بدن کمان های یکسان را در هر بازه زمانی مساوی توصیف می کند.
موقعیت بدن روی دایره مشخص می شود بردار شعاع\(~\vec r\) از مرکز دایره کشیده شده است. مدول بردار شعاع برابر با شعاع دایره است آر(عکس. 1).
در طول زمان Δ تیحرکت بدن از یک نقطه آدقیقا که در، یک جابجایی \(~\Delta \vec r\) برابر با وتر ایجاد می کند AB، و مسیری برابر با طول کمان را طی می کند ل.
بردار شعاع با زاویه Δ می چرخد φ . زاویه بر حسب رادیان بیان می شود.
سرعت \(~\vec \upsilon\) حرکت بدن در امتداد یک مسیر (دایره) مماس بر مسیر است. نامیده می شود سرعت خطی. مدول سرعت خطی برابر است با نسبت طول قوس دایره ای لبه بازه زمانی Δ تیکه برای آن این قوس تکمیل می شود:
\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)
یک کمیت فیزیکی اسکالر که از نظر عددی برابر با نسبت زاویه چرخش بردار شعاع به دوره زمانی است که در طی آن این چرخش رخ داده است، نامیده می شود. سرعت زاویهای:
\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)
واحد SI سرعت زاویه ای رادیان بر ثانیه (rad/s) است.
با حرکت یکنواخت در یک دایره، سرعت زاویه ای و مدول سرعت خطی کمیت های ثابت هستند: ω = const; υ = ثابت
موقعیت جسم را می توان در صورتی تعیین کرد که مدول بردار شعاع \(~\vec r\) و زاویه φ ، که با محور می سازد گاو نر(مختصات زاویه ای). اگر در لحظه اولیه زمان تی 0 = 0 مختصات زاویه ای است φ 0، و در زمان تیبرابر است φ ، سپس زاویه چرخش Δ φ بردار شعاع برای زمان \(~\Delta t = t - t_0 = t\) برابر است با \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). سپس از آخرین فرمول می توانیم بدست آوریم معادله سینماتیکی حرکت یک نقطه مادی در امتداد یک دایره:
\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)
این به شما امکان می دهد موقعیت بدن را در هر زمان تعیین کنید تی. با توجه به اینکه \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\)، \[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) بدست می آوریم. \فلش راست\]
\(~\upsilon = \omega R\) - فرمولی برای رابطه بین سرعت خطی و زاویه ای.
فاصله زمانی Τ که در طی آن بدن یک چرخش کامل می گویند دوره چرخش:
\(~T = \frac(\Delta t)(N)،\)
جایی که ن- تعداد دورهای انجام شده توسط بدن در طول زمان Δ تی.
در طول زمان Δ تی = Τ بدن مسیر \(~l = 2 \pi R\) را طی می کند. از این رو،
\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T)؛ \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)
اندازه ν ، معکوس دوره که نشان می دهد یک جسم در واحد زمان چند دور می کند، نامیده می شود سرعت دوران:
\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)
از این رو،
\(~\upsilon = 2 \pi \nu R؛ \\omega = 2 \pi \nu .\)
ادبیات
Aksenovich L. A. فیزیک در دبیرستان: نظریه. وظایف. تست ها: کتاب درسی. کمک هزینه برای مؤسسات ارائه دهنده آموزش عمومی. محیط زیست، آموزش / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; اد. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 18-19.
مسافت و زمان لازم برای طی کردن این مسافت توسط یک مفهوم فیزیکی - سرعت به هم مرتبط هستند. و شخص، به عنوان یک قاعده، هیچ سوالی در مورد تعیین این مقدار ندارد. همه می دانند که رانندگی با ماشین با سرعت 100 کیلومتر در ساعت یعنی رانندگی 100 کیلومتر در یک ساعت.
اما اگر بدن بچرخد چه؟ به عنوان مثال، یک فن معمولی خانگی ده ها دور در ثانیه انجام می دهد. و در عین حال سرعت چرخش تیغه ها به گونه ای است که به راحتی با دست می توان آنها را بدون آسیب رساندن به خود متوقف کرد. زمین به دور ستاره خود - خورشید - یک دور در یک سال کامل می کند که بیش از 30 میلیون ثانیه است، اما سرعت حرکت آن در مدار دور ستاره ای حدود 30 کیلومتر در ثانیه است!
چگونه سرعت معمول را با سرعت چرخش وصل کنیم، فرمول سرعت زاویه ای چگونه است؟
مفهوم سرعت زاویه ای
مفهوم سرعت زاویه ای در مطالعه قوانین چرخش استفاده می شود. برای تمام اجسام در حال چرخش کاربرد دارد. چه چرخش یک جرم خاص به دور جرم دیگر، مانند مورد زمین و خورشید، یا چرخش خود بدن حول محور قطبی (چرخش روزانه سیاره ما).
تفاوت بین سرعت زاویه ای و سرعت خطی در این است که تغییر زاویه و نه فاصله را در واحد زمان ثبت می کند. در فیزیک، سرعت زاویه ای معمولاً با حرف الفبای یونانی "omega" - ω نشان داده می شود.
فرمول کلاسیک سرعت زاویه ای چرخش به صورت زیر در نظر گرفته می شود.
بیایید تصور کنیم که یک جسم فیزیکی به دور یک مرکز خاص A با سرعت ثابت می چرخد. موقعیت آن در فضا نسبت به مرکز با زاویه φ تعیین می شود. در نقطه ای از زمان t1، جسم مورد نظر در نقطه B است. زاویه انحراف جسم از φ1 اولیه.
سپس جسم به نقطه C حرکت می کند. در زمان t2 آنجاست. زمان لازم برای این حرکت:
موقعیت بدن در فضا نیز تغییر می کند. اکنون زاویه انحراف φ2 است. تغییر زاویه در طول دوره زمانی Δt بود:
∆φ = φ2 - φ1.
اکنون فرمول سرعت زاویه ای به صورت زیر فرموله می شود: سرعت زاویه ای به عنوان نسبت تغییر زاویه Δφ در طول زمان ∆t تعریف می شود.
واحدهای سرعت زاویه ای
سرعت خطی یک جسم در مقادیر مختلف اندازه گیری می شود. حرکت وسایل نقلیه در جاده ها معمولاً بر حسب کیلومتر در ساعت نشان داده می شود؛ کشتی های دریایی گره ایجاد می کنند - مایل دریایی در ساعت. اگر حرکت اجسام کیهانی را در نظر بگیریم، کیلومتر در ثانیه اغلب در اینجا ظاهر می شود.
سرعت زاویه ای بسته به قدر و جسمی که در حال چرخش است نیز بر حسب واحدهای مختلف اندازه گیری می شود.
رادیان در ثانیه (rad/s) معیار کلاسیک سرعت در سیستم بین المللی واحدها (SI) است. آنها نشان می دهند که بدن در یک ثانیه چند رادیان (در یک چرخش کامل 2 ∙ 3.14 رادیان) می تواند بچرخد.
دور در دقیقه (rpm) رایج ترین واحد برای نشان دادن سرعت چرخش در فناوری است. شفت موتورهای برقی و خودرو دقیقاً (فقط به سرعت سنج ماشین خود نگاه کنید) دور در دقیقه تولید می کند.
چرخش در ثانیه (rps) - کمتر مورد استفاده قرار می گیرد، عمدتاً برای اهداف آموزشی.
دوره گردش
گاهی اوقات استفاده از مفهوم دیگری برای تعیین سرعت چرخش راحت تر است. دوره چرخش معمولاً زمانی نامیده می شود که در طی آن یک جسم خاص یک دور 360 درجه (یک دایره کامل) به دور مرکز چرخش می کند. فرمول سرعت زاویه ای که بر حسب دوره انقلاب بیان می شود، به شکل زیر است:
بیان سرعت چرخش اجسام با دوره چرخش در مواردی که بدن نسبتاً کند می چرخد توجیه می شود. بیایید به بررسی حرکت سیاره خود به دور ستاره بازگردیم.
فرمول سرعت زاویه ای به شما امکان می دهد با دانستن دوره انقلاب آن را محاسبه کنید:
ω = 2P/31536000 = 0.000000199238499086111 راد در ثانیه.
با نگاهی به نتیجه به دست آمده، می توان فهمید که چرا هنگام در نظر گرفتن چرخش اجرام آسمانی، استفاده از دوره انقلاب راحت تر است. شخص اعداد واضحی را در مقابل خود می بیند و مقیاس آنها را به وضوح تصور می کند.
رابطه بین سرعت های زاویه ای و خطی
در برخی مسائل باید سرعت خطی و زاویه ای تعیین شود. فرمول تبدیل ساده است: سرعت خطی یک جسم برابر است با حاصل ضرب سرعت زاویه ای و شعاع چرخش. همانطور که در تصویر نشان داده شده است.
عبارت نیز به ترتیب معکوس "کار می کند"؛ با کمک آن، سرعت زاویه ای تعیین می شود. فرمول از طریق سرعت خطی از طریق دستکاری های ساده حسابی به دست می آید.
معمولاً وقتی از حرکت صحبت می کنیم، جسمی را تصور می کنیم که در یک خط مستقیم حرکت می کند. سرعت چنین حرکتی معمولاً خطی نامیده می شود و محاسبه مقدار متوسط آن ساده است: کافی است نسبت مسافت طی شده به زمانی که بدن طی آن طی شده است را پیدا کنید. اگر جسمی در یک دایره حرکت کند، در این صورت خطی نیست که تعیین می شود، بلکه این کمیت چیست و چگونه محاسبه می شود؟ این دقیقاً همان چیزی است که در این مقاله مورد بحث قرار خواهد گرفت.
سرعت زاویه ای: مفهوم و فرمول
هنگام حرکت در امتداد یک دایره، سرعت حرکت آن را می توان با بزرگی زاویه چرخش شعاع مشخص کرد که جسم متحرک را به مرکز این دایره متصل می کند. واضح است که این مقدار بسته به زمان دائما در حال تغییر است. سرعتی که این فرآیند با آن اتفاق می افتد چیزی بیش از سرعت زاویه ای نیست. به عبارت دیگر، این نسبت انحراف بردار شعاع یک جسم به مدت زمانی است که جسم برای انجام چنین چرخشی صرف کرده است. فرمول سرعت زاویه ای (1) را می توان به صورت زیر نوشت:
w = φ / t، که در آن:
φ - زاویه چرخش شعاع،
t - دوره زمانی چرخش.
واحد های اندازه گیری
در سیستم بین المللی واحدهای مشترک (SI)، رادیان برای مشخص کردن چرخش ها استفاده می شود. بنابراین، 1 راد بر ثانیه واحد پایه مورد استفاده در محاسبات سرعت زاویه ای است. در عین حال، هیچ کس استفاده از درجه را ممنوع نمی کند (به یاد داشته باشید که یک رادیان برابر با 180/pi یا 57˚18' است). همچنین سرعت زاویه ای را می توان به تعداد دور در دقیقه یا بر ثانیه بیان کرد. اگر حرکت در اطراف دایره به طور یکنواخت رخ دهد، این مقدار را می توان با استفاده از فرمول (2) پیدا کرد:
که در آن n سرعت چرخش است.
در غیر این صورت، مانند سرعت معمولی، سرعت زاویه ای متوسط یا لحظه ای محاسبه می شود. لازم به ذکر است که کمیت مورد نظر بردار است. برای تعیین جهت آن معمولاً از آن استفاده می شود که اغلب در فیزیک استفاده می شود. بردار سرعت زاویه ای در همان جهت پیچ با رزوه سمت راست هدایت می شود. به عبارت دیگر، در امتداد محوری که بدن به دور آن می چرخد، در جهتی که چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت دیده می شود، هدایت می شود.
مثال های محاسباتی
فرض کنید باید تعیین کنید که سرعت خطی و زاویه ای یک چرخ چقدر است، در صورتی که می دانید قطر آن برابر با یک متر است و زاویه چرخش مطابق با قانون φ = 7t تغییر می کند. بیایید از فرمول اول خود استفاده کنیم:
w = φ / t = 7t / t = 7 s -1 .
این سرعت زاویه ای مورد نظر خواهد بود. حالا بیایید به جستجوی سرعت حرکتی که برای ما آشناست بپردازیم. همانطور که مشخص است، v = s/t. با توجه به اینکه s در مورد ما چرخ ها است (l = 2π*r)، و 2π یک دور کامل است، به صورت زیر می گیریم:
v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0.5 = 3.5 متر بر ثانیه
در اینجا یک پازل دیگر در مورد این موضوع وجود دارد. مشخص است که در خط استوا 6370 کیلومتر است. لازم است سرعت خطی و زاویه ای حرکت نقاط واقع در این موازی که در نتیجه چرخش سیاره ما به دور محور خود ایجاد می شود، تعیین شود. در این صورت به فرمول دوم نیاز داریم:
w = 2π*n = 2*3.14 *(1/(24*3600)) = 7.268 *10 -5 راد در ثانیه.
باقی مانده است که بفهمیم سرعت خطی برابر است: v = w*r = 7.268 * 10 -5 * 6370 * 1000 = 463 m/s.
حرکت یکنواخت در اطراف یک دایره- این ساده ترین مثال است. به عنوان مثال، انتهای عقربه ساعت به صورت دایره ای در اطراف یک صفحه حرکت می کند. سرعت حرکت جسم در دایره نامیده می شود سرعت خطی.
با حرکت یکنواخت یک جسم در یک دایره، مدول سرعت جسم در طول زمان تغییر نمی کند، یعنی v=st، و فقط جهت بردار سرعت تغییر می کند؛ در این حالت، تغییری ایجاد نمی شود (a r = 0) و تغییر بردار سرعت در جهت با کمیتی به نام مشخص می شود شتاب گریز از مرکز() یک n یا یک CS. در هر نقطه، بردار شتاب مرکزگرا به سمت مرکز دایره در امتداد شعاع هدایت می شود.
مدول شتاب گریز از مرکز برابر است با
a CS = v 2 / R
در جایی که v سرعت خطی است، R شعاع دایره است
برنج. 1.22. حرکت بدن در دایره.
هنگام توصیف حرکت یک جسم در یک دایره، از زاویه چرخش شعاع- زاویه φ که در طول زمان t شعاع کشیده شده از مرکز دایره به نقطه ای که جسم متحرک در آن لحظه در آن قرار دارد می چرخد. زاویه چرخش بر حسب رادیان اندازه گیری می شود. برابر با زاویه بین دو شعاع یک دایره است که طول قوس بین آنها برابر با شعاع دایره است (شکل 1.23). یعنی اگر l=R باشد، پس
1 رادیان = l/R
زیرا دورمساوی با
l = 2πR
360 o = 2πR / R = 2π راد.
از این رو
1 راد = 57.2958 o = 57 o 18'
سرعت زاویهایحرکت یکنواخت یک جسم در یک دایره مقدار ω است، برابر با نسبت زاویه چرخش شعاع φ به دوره زمانی که در طی آن این چرخش انجام می شود:
ω = φ / t
واحد اندازه گیری سرعت زاویه ای رادیان بر ثانیه [rad/s] است. ماژول سرعت خطی با نسبت طول مسیر طی شده l به فاصله زمانی t تعیین می شود:
v=l/t
سرعت خطیبا حرکت یکنواخت در اطراف یک دایره، در امتداد مماس در یک نقطه معین از دایره هدایت می شود. هنگامی که یک نقطه حرکت می کند، طول l قوس دایره ای که نقطه عبور می کند به زاویه چرخش φ با عبارت مربوط می شود.
l = Rφ
که در آن R شعاع دایره است.
سپس در مورد حرکت یکنواخت نقطه، سرعت های خطی و زاویه ای با رابطه:
v = l / t = Rφ / t = Rω یا v = Rω
برنج. 1.23. رادیان.
دوره گردش- این دوره زمانی T است که در طی آن جسم (نقطه) یک دور به دور دایره می چرخد. فرکانس- این متقابل دوره انقلاب است - تعداد دور در واحد زمان (در هر ثانیه). فرکانس گردش با حرف n نشان داده می شود.
n=1/T
در یک دوره، زاویه چرخش φ یک نقطه برابر با 2π راد است، بنابراین 2π = ωT، از این رو
T = 2π/ω
یعنی سرعت زاویه ای برابر است با
ω = 2π / T = 2πn
شتاب مرکزگرارا می توان بر حسب دوره T و فرکانس گردش n بیان کرد:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
در این درس به حرکت منحنی، یعنی حرکت یکنواخت یک جسم در دایره خواهیم پرداخت. ما یاد خواهیم گرفت که سرعت خطی چیست، شتاب مرکزگرا هنگامی که یک جسم در یک دایره حرکت می کند. همچنین کمیت هایی را معرفی خواهیم کرد که حرکت دورانی را مشخص می کنند (دوره چرخش، فرکانس چرخش، سرعت زاویه ای) و این کمیت ها را با یکدیگر مرتبط می کنیم.
منظور ما از حرکت دایره ای یکنواخت این است که بدن در هر دوره زمانی مساوی از یک زاویه می چرخد (شکل 6 را ببینید).
برنج. 6. حرکت یکنواخت در یک دایره
یعنی ماژول سرعت لحظه ای تغییر نمی کند:
این سرعت نامیده می شود خطی.
اگر چه اندازه سرعت تغییر نمی کند، جهت سرعت به طور مداوم تغییر می کند. بیایید بردارهای سرعت را در نقاط در نظر بگیریم آو ب(شکل 7 را ببینید). آنها در جهت های مختلف هدایت می شوند، بنابراین آنها برابر نیستند. اگر از سرعت در نقطه کم کنیم بسرعت در نقطه آ، بردار را می گیریم.
برنج. 7. بردارهای سرعت
نسبت تغییر سرعت () به زمانی که در طی آن این تغییر رخ داده است () شتاب است.
بنابراین، هر حرکت منحنی شتاب می گیرد.
اگر مثلث سرعت به دست آمده در شکل 7 را در نظر بگیریم، با آرایش بسیار نزدیک نقاط آو بنسبت به یکدیگر، زاویه (α) بین بردارهای سرعت نزدیک به صفر خواهد بود:
همچنین مشخص است که این مثلث متساوی الساقین است، بنابراین ماژول های سرعت برابر هستند (حرکت یکنواخت):
بنابراین، هر دو زاویه در قاعده این مثلث به طور نامحدود نزدیک به:
این بدان معنی است که شتابی که در امتداد بردار هدایت می شود، در واقع عمود بر مماس است. مشخص است که یک خط در یک دایره عمود بر مماس یک شعاع است، بنابراین شتاب در امتداد شعاع به سمت مرکز دایره هدایت می شود. این شتاب مرکز محور نامیده می شود.
شکل 8 مثلث سرعت و یک مثلث متساوی الساقین را نشان می دهد (دو ضلع شعاع دایره هستند). این مثلث ها شبیه هم هستند زیرا دارای زوایای مساوی هستند که توسط خطوط متقابل عمود بر هم تشکیل شده اند (شعاع و بردار عمود بر مماس هستند).
برنج. 8. تصویری برای استخراج فرمول شتاب مرکزگرا
بخش خط ABحرکت (). ما حرکت یکنواخت را در یک دایره در نظر می گیریم، بنابراین:
اجازه دهید عبارت حاصل را جایگزین کنیم ABبه فرمول تشابه مثلث:
مفاهیم "سرعت خطی"، "شتاب"، "مختصات" برای توصیف حرکت در طول یک مسیر منحنی کافی نیستند. بنابراین، لازم است کمیت های مشخص کننده حرکت چرخشی معرفی شوند.
1. دوره چرخش (تی ) زمان یک انقلاب کامل نامیده می شود. در واحدهای SI در ثانیه اندازه گیری می شود.
نمونه هایی از دوره ها: زمین در 24 ساعت () و به دور خورشید - در 1 سال () به دور محور خود می چرخد.
فرمول محاسبه دوره:
زمان کل چرخش کجاست - تعداد انقلاب ها
2. فرکانس چرخش (n ) - تعداد دورهایی که یک بدن در واحد زمان انجام می دهد. در واحدهای SI در ثانیه های متقابل اندازه گیری می شود.
فرمول یافتن فرکانس:
زمان کل چرخش کجاست - تعداد انقلاب ها
فرکانس و دوره کمیت هایی با نسبت معکوس هستند:
3. سرعت زاویهای () نسبت تغییر زاویه چرخش جسم را به زمانی که در طی آن این چرخش رخ داده است، می گویند. در واحدهای SI بر حسب رادیان تقسیم بر ثانیه اندازه گیری می شود.
فرمول یافتن سرعت زاویه ای:
تغییر زاویه کجاست - زمانی که در طی آن چرخش از طریق زاویه رخ داده است.
