نحوه محاسبه میانگین حسابی نحوه محاسبه میانگین

نحوه محاسبه میانگین اعداد در Excel

میانگین را بیابید اعداد حسابیدر Excel می توانید از تابع استفاده کنید.

نحو AVERAGE

= AVERAGE (number1، [number2]، ...) - نسخه روسی

استدلال ها به طور متوسط

• شماره 1- اولین عدد یا محدوده اعداد برای محاسبه میانگین حسابی ؛
• شماره 2(اختیاری) - دومین عدد یا محدوده اعداد برای محاسبه میانگین حسابی. حداکثر تعداد آرگومان تابع 255 است.

برای محاسبه ، مراحل زیر را دنبال کنید:

• هر سلول را انتخاب کنید ؛
• فرمول را در آن بنویسید = AVERAGE (
• محدوده سلولهایی را که می خواهید برای آنها محاسبه شود انتخاب کنید.
• کلید "Enter" را در صفحه کلید خود فشار دهید

تابع مقدار متوسط ​​را در محدوده مشخص شده در بین سلولهایی که دارای اعداد هستند محاسبه می کند.

چگونه می توان میانگین متن را با توجه به متن پیدا کرد

اگر خطوط یا متن خالی در محدوده داده وجود داشته باشد ، تابع آنها را "صفر" تلقی می کند. اگر در بین داده ها وجود داشته باشد عبارات منطقی FALSE یا TRUE ، سپس عملکرد FALSE به عنوان "صفر" و TRUE به عنوان "1" تلقی می شود.

نحوه یافتن میانگین حسب شرط

برای محاسبه میانگین یک شرط یا معیار ، از یک تابع استفاده می شود. به عنوان مثال ، فرض کنید داده های فروش محصول داریم:

وظیفه ما محاسبه میانگین ارزش فروش قلم است. برای انجام این کار ، مراحل زیر را انجام می دهیم:

• در یک سلول A13نام محصول را "قلم" بنویسید ؛
• در یک سلول B13ما فرمول را معرفی می کنیم:

= AVERAGEIF (A2: A10 ، A13 ، B2: B10)

محدوده سلولی " A2: A10”لیستی از محصولات را نشان می دهد که ما در آن کلمه" قلم "را جستجو می کنیم. بحث و جدل A13این پیوند به یک سلول با متن است که ما آن را در بین کل لیست محصولات جستجو می کنیم. محدوده سلولی " B2: B10”محدوده ای با داده های فروش محصول است که در میان آنها تابع“ قلم ”را پیدا کرده و میانگین را محاسبه می کند.

در ریاضیات و آمار میانگینحسابی (یا به راحتی) میانگین) از مجموعه اعداد مجموع همه اعداد موجود در این مجموعه بر تعداد آنها تقسیم می شود. میانگین حسابی به طور کلی و رایج ترین نمایندگی از میانگین است.

شما نیاز خواهید داشت

• دانش ریاضی.

دستورالعمل ها

1. اجازه دهید مجموعه ای از چهار عدد داده شود. نیاز به کشف میانگین معنیاین کیت برای انجام این کار ، ابتدا مجموع همه این اعداد را پیدا می کنیم. این اعداد ممکن است 1 ، 3 ، 8 ، 7 باشد. مجموع آنها برابر است با S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. مجموعه اعداد باید از اعداد یک علامت یکسان تشکیل شده باشد ، در غیر این صورت در محاسبه مقدار متوسط گم شده است.

2. میانگین معنیمجموعه اعداد برابر است با مجموع اعداد S تقسیم بر تعداد این اعداد. یعنی معلوم می شود که میانگین معنیبرابر: 19/4 = 4.75.

3. برای یک مجموعه ، مجاز است نه تنها تشخیص دهد میانگینحسابی ، بلکه میانگینهندسی میانگین هندسی چندین عدد واقعی معمولی ، عددی است که مجاز است هر یک از این اعداد را جایگزین کند تا حاصلضرب آنها تغییر نکند. میانگین هندسی G با فرمول یافت می شود: ریشه N- حاصلضرب مجموعه ای از اعداد ، که N تعداد اعداد موجود در مجموعه است. بیایید به همان مجموعه اعداد نگاه کنیم: 1 ، 3 ، 8 ، 7. آنها را پیدا کنید میانگینهندسی برای انجام این کار ، بیایید محصول را بشماریم: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. اکنون ، از عدد 168 ، باید ریشه درجه 4 را استخراج کنید: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. بدین ترتیب میانگینمجموعه هندسی اعداد 3.61 است.

میانگینهندسه در مجموع کمتر از میانگین حسابی استفاده می شود ، با این حال ، هنگام محاسبه مقدار متوسط ​​شاخص هایی که در طول زمان تغییر می کنند (حقوق یک کارمند ، پویایی شاخص های عملکرد و غیره) می تواند مفید باشد.

شما نیاز خواهید داشت

• ماشین حساب مهندسی

دستورالعمل ها

1. برای یافتن میانگین هندسی یک سری اعداد ، ابتدا باید همه این اعداد را ضرب کنید. فرض کنید مجموعه ای از پنج شاخص به شما داده می شود: 12 ، 3 ، 6 ، 9 و 4. بیایید همه این اعداد را ضرب کنیم: 12x3x6x9x4 = 7776.

2. اکنون ، از عدد بدست آمده ، لازم است ریشه درجه برابر با تعداد عناصر سری استخراج شود. در مورد ما ، از شماره 7776 لازم است ریشه پنجم را با استفاده از آن استخراج کنیم ماشین حساب مهندسی... عددی که پس از این عملیات بدست می آید در است این موردعدد 6 - میانگین هندسی گروه اولیه اعداد خواهد بود.

3. اگر ماشین حساب مهندسی در دست ندارید ، می توانید میانگین هندسی یک سری اعداد را با پشتیبانی از تابع SRGEOM در Excel یا با استفاده از یکی از ماشین حساب های آنلاین ، که عمداً برای محاسبه مقادیر میانگین هندسی آماده شده است ، محاسبه کنید.

توجه داشته باشید!
اگر می خواهید میانگین هندسی هر کدام را برای 2 عدد بیابید ، نیازی به ماشین حساب مهندسی ندارید: می توانید ریشه درجه 2 (ریشه مربع) هر عددی را با استفاده از معمولی ترین ماشین حساب استخراج کنید.

نصیحت مفید
بر خلاف میانگین حسابی ، میانگین هندسی چندان تحت تأثیر انحرافات و نوسانات عظیم بین مقادیر فردی در مجموعه شاخص های مورد مطالعه قرار نمی گیرد.

میانگینمعنی یکی از مجموعه ای از مجموعه اعداد است. نشان دهنده عددی است که نمی تواند خارج از محدوده تعریف شده توسط بزرگترین و کوچکترین مقادیر در این مجموعه اعداد باشد. میانگینمعنای حسابی یک نوع میانگین است که معمولاً استفاده می شود.

دستورالعمل ها

1. همه اعداد موجود در مجموعه را جمع کرده و آنها را بر تعداد اصطلاحات تقسیم کنید تا میانگین حسابی بدست آید. بسته به شرایط خاص محاسبه ، گاهی اوقات آسان تر است که هر یک از اعداد را بر تعداد مقادیر موجود در مجموعه تقسیم کرده و مجموع آنها را جمع بندی کنیم.

2. اگر محاسبه میانگین حساب در سر شما امکان پذیر نیست ، مثلاً از ماشین حساب ویندوز استفاده کنید. مجاز است آن را با پشتیبانی گفتگوی راه اندازی برنامه باز کند. برای انجام این کار ، "کلیدهای داغ" WIN + R را فشار دهید یا روی دکمه "شروع" کلیک کنید و دستور "اجرا" را در منوی اصلی انتخاب کنید. سپس در قسمت ورودی calc را تایپ کرده و Enter را از صفحه کلید فشار دهید یا دکمه "OK" را کلیک کنید. همین کار را می توان از طریق منوی اصلی انجام داد - آن را باز کنید ، به بخش "همه برنامه ها" و به بخش "معمولی" بروید و خط "ماشین حساب" را انتخاب کنید.

3. با فشار دادن کلید "بعلاوه" بعداً (در کنار آخرین مورد) روی صفحه کلید ، یا با کلیک روی دکمه مربوطه در رابط ماشین حساب ، همه اعداد موجود در مجموعه را مرحله به مرحله وارد کنید. همچنین وارد کردن اعداد هم از صفحه کلید و هم با کلیک روی دکمه های مربوطه در رابط مجاز است.

4. پس از واردکردن آخرین مقدار مجموعه ، تعداد اسلاید رو به جلو را فشار دهید یا بر روی این نماد در رابط ماشین حساب کلیک کنید و تعداد اعداد را در دنباله تایپ کنید. سپس علامت مساوی را فشار دهید و ماشین حساب میانگین حسابی را محاسبه و نمایش می دهد.

5. مجاز است از ویرایشگر صفحه گسترده Microsoft Excel برای همین منظور استفاده کنید. در این حالت ، ویرایشگر را راه اندازی کنید و تمام مقادیر دنباله اعداد را در سلول های مجاور وارد کنید. اگر پس از وارد کردن کل شماره ، Enter یا کلید پیکان رو به پایین یا راست را فشار دهید ، ویرایشگر فوکوس ورودی را به خود سلول مجاور منتقل می کند.

6. همه مقادیر وارد شده را انتخاب کنید و در گوشه سمت چپ پایین پنجره ویرایشگر (در نوار وضعیت) مقدار میانگین حسابی برای سلول های انتخاب شده را مشاهده خواهید کرد.

7. اگر تنها با مشاهده میانگین حسابی راضی نیستید ، روی سلول کنار آخرین شماره وارد شده کلیک کنید. لیست کشویی را با حرف یونانی sigma (Σ) در گروه "ویرایش" دستورات در برگه "Main" گسترش دهید. خط را انتخاب کنید " میانگین"و ویرایشگر فرمول لازم را برای محاسبه میانگین وارد می کند مقدار حسابیبه سلول برجسته شده کلید Enter را فشار دهید تا مقدار محاسبه شود.

میانگین حسابی یکی از معیارهای گرایش مرکزی است که به طور گسترده در ریاضیات و محاسبات آماری مورد استفاده قرار می گیرد. یافتن میانگین حسابی برای چندین مقدار بسیار آسان است ، اما هر کاری دارای تفاوت های ظریف خاص خود است که برای انجام محاسبات صحیح باید آنها را بدوی بدانید.

میانگین حسابی چیست

میانگین حسابی مقدار متوسط ​​هر آرایه اولیه اعداد را تعیین می کند. به عبارت دیگر ، از مجموعه خاصی از اعداد ، مقداری که برای همه عناصر جهانی است ، انتخاب می شود که مقایسه ریاضی آن با همه عناصر تقریباً برابر است. میانگین حسابی ترجیحاً در تهیه گزارشهای مالی و آماری یا برای محاسبه نتایج کمی مهارتهای مشابه استفاده می شود.

چگونه میانگین حسابی را بیابیم

یافتن میانگین حسابی برای آرایه اعداد باید با تعیین مجموع جبری این مقادیر شروع شود. به عنوان مثال ، اگر آرایه شامل اعداد 23 ، 43 ، 10 ، 74 و 34 باشد ، مجموع جبری آنها 184 خواهد بود. هنگام نوشتن میانگین حسابی با حرف مشخص می شود؟ (mu) یا x (x با یک نوار). علاوه بر این ، مجموع جبری باید بر تعداد اعداد موجود در آرایه تقسیم شود. در مثال مورد بررسی ، پنج عدد وجود داشت ، بنابراین میانگین حسابی 5/184 و 36/8 خواهد بود.

ویژگی های کار با اعداد منفی

اگر آرایه شامل اعداد منفی باشد ، میانگین حسابی با استفاده از الگوریتم مشابه یافت می شود. تفاوت تنها در هنگام محاسبه در محیط برنامه نویسی یا در صورت وجود داده های اضافی در کار است. در این موارد ، یافتن میانگین حسابی اعداد با علائم مختلف به سه مرحله کاهش می یابد: 1. یافتن میانگین حسابی عمومی به روش استاندارد ؛ 2. یافتن میانگین حسابی اعداد منفی 3. محاسبه میانگین حسابی اعداد مثبت نتایج هر یک از اقدامات با کاما جداگانه نوشته می شود.

کسرهای طبیعی و اعشاری

اگر آرایه اعداد نمایش داده شود کسرهای اعشاری، راه حل با روش محاسبه میانگین حسابی اعداد صحیح انجام می شود ، اما مجموع مطابق الزامات مسئله برای دقت نتیجه کاهش می یابد. هنگام کار با کسرهای طبیعی ، آنها باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد ، عددی که در تعداد اعداد موجود در آرایه ضرب می شود. عدد بدست آمده حاصل مجموع اعداد و ارقام کسری اولیه است.

میانگین هندسی اعداد نه تنها به مقدار مطلق خود اعداد بلکه به تعداد آنها بستگی دارد. نمی توان میانگین هندسی و میانگین حساب اعداد را با هم اشتباه گرفت ، زیرا آنها با توجه به روش های مختلف یافت می شوند. در این مورد ، میانگین هندسی به طور ثابت کمتر یا مساوی از میانگین حساب است.

شما نیاز خواهید داشت

• ماشین حساب مهندسی

دستورالعمل ها

1. در نظر بگیرید که در حالت کلی ، میانگین هندسی اعداد با ضرب این اعداد و استخراج ریشه توان مربوط به تعداد اعداد از آنها پیدا می شود. به عنوان مثال ، اگر لازم است میانگین هندسی پنج عدد را پیدا کنیم ، لازم است ریشه پنجم را از محصول استخراج کنیم.

2. از قانون اساسی برای یافتن میانگین هندسی 2 عدد استفاده کنید. محصول آنها را بیابید ، و سپس ریشه مربع را از آن استخراج کنید ، از این واقعیت که عدد دو است ، که با درجه ریشه مطابقت دارد. برای مثال ، برای یافتن میانگین هندسی اعداد 16 و 4 ، حاصلضرب آنها را 16 4 = 64 پیدا کنید. از عدد بدست آمده ، ریشه مربع را استخراج کنید؟ 64 = 8. این مقدار مورد نظر خواهد بود. لطفاً توجه داشته باشید که میانگین حسابی این 2 عدد بزرگتر و برابر 10 است. اگر ریشه کاملاً استخراج نشده باشد ، مجموع را به ترتیب لازم گرد کنید.

3. برای یافتن میانگین هندسی بیش از 2 عدد ، از قانون اساسی نیز استفاده کنید. برای انجام این کار ، حاصل ضرب همه اعدادی را که باید میانگین هندسی را برای آنها بیابید ، بیابید. از محصول بدست آمده ، ریشه توان معادل تعداد اعداد را استخراج کنید. برای مثال ، برای یافتن میانگین هندسی اعداد 2 ، 4 و 64 ، حاصلضرب آنها را بیابید. 2 4 64 = 512. از آنجا که لازم است مجموع میانگین هندسی 3 عدد را پیدا کنید ، ریشه درجه سوم را از محصول استخراج کنید. انجام این کار به صورت شفاهی دشوار است ، بنابراین از ماشین حساب مهندسی استفاده کنید. برای انجام این کار ، یک دکمه "x ^ y" دارد. شماره 512 را بگیرید ، دکمه "x ^ y" را فشار دهید ، سپس شماره 3 را بگیرید و دکمه "1 / x" را فشار دهید ، برای پیدا کردن مقدار 1/3 ، دکمه "=" را فشار دهید. ما نتیجه افزایش 512 به توان 1/3 را دریافت می کنیم که مربوط به ریشه قدرت سوم است. 512 ^ 1/3 = 8 را بدست آورید. این میانگین هندسی اعداد 2.4 و 64 است.

4. با پشتیبانی یک ماشین حساب مهندسی ، می توان میانگین هندسی را با روش دیگری پیدا کرد. دکمه log را در صفحه کلید پیدا کنید. بعداً ، لگاریتم همه اعداد را بگیرید ، مجموع آنها را بیابید و بر تعداد اعداد تقسیم کنید. آنتی لوگاریتم را از عدد بدست آمده بردارید. این میانگین هندسی اعداد خواهد بود. به عنوان مثال ، برای یافتن میانگین هندسی همان اعداد 2 ، 4 و 64 ، مجموعه ای از عملیات را روی ماشین حساب انجام دهید. شماره 2 را بگیرید ، سپس دکمه log را فشار دهید ، دکمه "+" را فشار دهید ، شماره 4 را بگیرید و log و "+" را دوباره فشار دهید ، 64 را شماره گیری کنید ، log و "=" را فشار دهید. نتیجه عددی برابر با مجموع خواهد بود لگاریتم اعشاریاعداد 2 ، 4 و 64. عدد حاصله را بر 3 تقسیم کنید ، از این جهت که این تعداد اعدادی است که با استفاده از آنها میانگین هندسی جستجو می شود. از کل ، با تغییر دکمه مورد ، ضد لگاریتم را گرفته و از همان کلید ورود استفاده کنید. نتیجه نهایی عدد 8 است که میانگین هندسی مورد نظر است.

توجه داشته باشید!
مقدار متوسط ​​نمی تواند از بزرگترین عدد در مجموعه و کوچکتر از کوچکترین باشد.

نصیحت مفید
در آمار ریاضی ، مقدار متوسط ​​انتظار ریاضی نامیده می شود.

میانگین حسابی یک شاخص آماری است که مقدار متوسط ​​یک آرایه داده مشخص را نشان می دهد. چنین شاخصی به عنوان کسری محاسبه می شود که در شمارنده آن مجموع تمام مقادیر آرایه و در مخرج - تعداد آنها است. میانگین حساب یک ضریب مهم است که در محاسبات خانوار استفاده می شود.

معنای ضریب

میانگین حسابی یک شاخص اولیه برای مقایسه داده ها و محاسبه مقدار قابل قبول است. به عنوان مثال ، فروشگاه های مختلف یک قوطی آبجو از یک تولید کننده خاص می فروشند. اما در یک فروشگاه 67 روبل ، در دیگری - 70 روبل ، در سوم - 65 روبل ، و در آخرین - 62 روبل. قیمت بسیار بالایی دارد ، بنابراین خریدار به قیمت متوسط ​​قوطی علاقه مند می شود ، بنابراین هنگام خرید یک محصول ، می تواند هزینه های خود را مقایسه کند. به طور متوسط ​​، یک قوطی آبجو در شهر قیمت دارد:

قیمت متوسط ​​= (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 روبل.

با دانستن قیمت متوسط ​​، به راحتی می توان تعیین کرد که خرید محصول از کجا سودآور است و در کجا باید هزینه اضافی پرداخت کنید.

میانگین حسابی در مواردی که مجموعه ای همگن از داده ها مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد ، دائماً در محاسبات آماری مورد استفاده قرار می گیرد. در مثال بالا ، این قیمت قوطی یک مارک آبجو است. با این حال ، ما نمی توانیم قیمت آبجو از تولیدکنندگان مختلف یا قیمت آبجو و لیموناد را مقایسه کنیم ، زیرا در این مورد دامنه مقادیر بیشتر خواهد بود ، قیمت متوسط ​​مبهم و غیرقابل اعتماد است و معنای محاسبات به کاریکاتور "دمای متوسط ​​در بیمارستان" تحریف می شود. برای محاسبه مجموعه داده های ناهمگن ، از میانگین وزنی حسابی استفاده می شود ، زمانی که هر مقدار ضریب وزنی خاص خود را دریافت می کند.

محاسبه میانگین حسابی

فرمول محاسبات بسیار ساده است:

P = (a1 + a2 + ... an) / n ،

که در آن مقدار مقدار است ، n تعداد کل مقادیر است.

این شاخص برای چه مواردی قابل استفاده است؟ اولین و بارزترین برنامه آمار است. تقریباً در هر مطالعه آماری از میانگین حسابی استفاده می شود. این می تواند میانگین سن ازدواج در روسیه ، میانگین نمره یک دانش آموز در یک درس یا متوسط ​​هزینه برای غذا در روز باشد. همانطور که در بالا بحث شد ، بدون وزن ، محاسبه میانگین ها می تواند مقادیر عجیب یا پوچ ایجاد کند.

به عنوان مثال ، رئیس جمهور فدراسیون روسیهاظهار داشت که طبق آمار ، متوسط ​​حقوق یک روسی 27000 روبل است. برای اکثر ساکنان روسیه ، این سطح از دستمزد پوچ به نظر می رسید. تعجب آور نیست اگر هنگام محاسبه ، درآمد الیگارشی ، مدیران شرکت های صنعتی ، بانکداران بزرگ از یک سو و حقوق معلمان ، نظافتچیان و فروشندگان را از سوی دیگر در نظر بگیریم. حتی حقوق متوسط ​​در یک تخصص ، به عنوان مثال ، یک حسابدار ، در مسکو ، کاستروما و یکاترینبورگ تفاوت های جدی خواهد داشت.

نحوه محاسبه میانگین داده های متفاوت

در شرایط حقوق و دستمزد ، توجه به وزن هر مقدار مهم است. این بدان معناست که حقوق الیگارشی ها و بانکداران وزن مثلا 0.00001 و حقوق فروشندگان - 0.12 دریافت می کند. اینها ارقامی از سقف هستند ، اما تقریباً شیوع الیگارشی و فروشندگان در جامعه روسیه را نشان می دهند.

بنابراین ، برای محاسبه مقدار متوسط ​​یا متوسط ​​در یک مجموعه داده ناهمگن ، لازم است از میانگین وزنی حسابی استفاده شود. در غیر این صورت ، شما یک حقوق متوسط ​​در روسیه در سطح 27000 روبل دریافت خواهید کرد. اگر می خواهید میانگین نمره خود را در ریاضیات یا میانگین تعداد گلهای بازیکن هاکی انتخاب شده را بدانید ، محاسبه کننده میانگین حساب برای شما مناسب است.

برنامه ما یک ماشین حساب ساده و مناسب برای محاسبه میانگین حساب است. برای انجام محاسبات ، فقط باید مقادیر پارامتر را وارد کنید.

بیایید چند نمونه را بررسی کنیم

محاسبه نمره متوسط

بسیاری از معلمان از روش میانگین حسابی برای تعیین نمره سالانه یک درس استفاده می کنند. بیایید بگوییم که یک کودک نمرات چهارم ریاضی زیر را دریافت می کند: 3 ، 3 ، 5 ، 4. نمره سالانه معلم چقدر است؟ بیایید از ماشین حساب استفاده کنیم و میانگین حساب را محاسبه کنیم. ابتدا ، تعداد فیلدهای مناسب را انتخاب کرده و مقادیر نمره را در سلولهای ظاهر شده وارد کنید:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

معلم ارزش را به نفع دانش آموز گرد می کند و دانش آموز در یک سال چهار عدد محکم دریافت می کند.

محاسبه آب نبات های خورده شده

بیایید برخی از پوچی میانگین حساب را نشان دهیم. بیایید تصور کنیم که ماشا و ووا 10 شیرینی داشتند. ماشا 8 آب نبات ، ووا - فقط 2 آب نبات خورد. به طور متوسط ​​هر کودک چند آب نبات خورد؟ با استفاده از ماشین حساب می توان به راحتی محاسبه کرد که به طور متوسط ​​، کودکان 5 آب نبات خورده اند ، که کاملاً واقعیت ندارد و حس مشترک... این مثال نشان می دهد که میانگین حساب برای محاسبه مجموعه داده های معنی دار مهم است.

نتیجه

محاسبه میانگین حسابی به طور گسترده ای در بسیاری از زمینه های علمی مورد استفاده قرار می گیرد. این شاخص نه تنها در محاسبات آماری ، بلکه در فیزیک ، مکانیک ، اقتصاد ، پزشکی یا امور مالی نیز محبوب است. از ماشین حساب های ما برای حل مشکلات میانگین حساب استفاده کنید.

مبحث میانگین حسابی و میانگین هندسی در برنامه ریاضیات برای کلاسهای 6 تا 7 گنجانده شده است. از آنجا که درک پاراگراف بسیار ساده است ، به سرعت تصویب شده و به اتمام می رسد سال تحصیلیدانش آموزان او را فراموش می کنند اما دانش در آمارهای اولیه مورد نیاز است گذراندن امتحانو همچنین برای امتحانات بین المللی SAT. و برای زندگی روزمرهتفکر تحلیلی توسعه یافته هرگز آسیب نمی رساند.

نحوه محاسبه میانگین حسابی و میانگین هندسی اعداد

فرض کنید یک سری اعداد وجود دارد: 11 ، 4 و 3. میانگین حسابی مجموع همه اعداد تقسیم بر تعداد اعداد داده شده است. یعنی در مورد اعداد 11 ، 4 ، 3 ، جواب 6 است. چگونه 6 بدست می آید؟

راه حل: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

مخرج باید دارای عددی برابر با تعداد اعداد باشد که میانگین آن باید یافت شود. مجموع بر 3 تقسیم می شود ، زیرا سه عبارت وجود دارد.

اکنون باید با میانگین هندسی مقابله کنیم. فرض کنید یک ردیف اعداد وجود دارد: 4 ، 2 و 8.

میانگین هندسی اعداد حاصل تمام اعداد داده شده در زیر ریشه با قدرتی معادل تعداد این اعداد است. یعنی در مورد اعداد 4 ، 2 و 8 ، پاسخ 4 است. در اینجا نحوه وقوع آن آمده است:

راه حل: ∛ (4 × 2 × 8) = 4

در هر دو مورد ، پاسخهای کامل بدست آمد ، زیرا اعداد ویژه برای مثال در نظر گرفته شد. همیشه اینطور نیست. در بیشتر موارد ، پاسخ باید گرد یا زیر ریشه باقی بماند. به عنوان مثال ، برای اعداد 11 ، 7 و 20 ، میانگین حساب 12.67 ≈ و میانگین هندسی 1540 ∛ است. و برای شماره های 6 و 5 ، پاسخ ها به ترتیب 5.5 و √30 خواهد بود.

آیا ممکن است اتفاق بیفتد که میانگین حساب با میانگین هندسی برابر شود؟

البته می تواند. اما فقط در دو مورد. اگر یک سری اعداد وجود داشته باشد که فقط از یک یا صفر تشکیل شده باشد. همچنین قابل توجه است که پاسخ به تعداد آنها بستگی ندارد.

اثبات با یکی: (1 + 1 + 1) / 3 = 3/3 = 1 (میانگین حسابی).

∛ (1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (میانگین هندسی).

اثبات صفر: (0 + 0) / 2 = 0 (میانگین حسابی).

√ (0 × 0) = 0 (میانگین هندسی).

گزینه دیگری وجود ندارد و نمی تواند باشد.

موضوع 5. میانگین ها به عنوان شاخص های آماری

مفهوم متوسط. دامنه میانگین ها در تحقیقات آماری

مقادیر متوسط ​​در مرحله پردازش و تعمیم داده های آماری اولیه بدست آمده استفاده می شود. نیاز به تعیین مقادیر متوسط ​​با این واقعیت همراه است که برای واحدهای مختلف جمعیت مورد مطالعه ، ارزشهای فردی یک ویژگی ، به طور معمول ، یکسان نیستند.

اندازه متوسطشاخصی نامیده می شود که ارزش عمومی یک ویژگی یا گروهی از ویژگی ها را در جمعیت مورد مطالعه مشخص می کند.

اگر مجموعه ای با ویژگیهای کیفی همگن مورد بررسی قرار گیرد ، مقدار متوسط ​​در اینجا به صورت زیر ظاهر می شود میانگین معمولی... به عنوان مثال ، برای گروه های کارگر در یک صنعت خاص با سطح درآمد ثابت ، متوسط ​​هزینه معمولی برای نیازهای اساسی تعیین می شود ، به عنوان مثال. میانگین معمولی ، مقادیر کیفی همگن ویژگی را در یک جمعیت معین ، که سهم هزینه های کارگران این گروه در کالاهای اساسی است ، خلاصه می کند.

هنگام مطالعه جمعیتی با ویژگی های کیفی ناهمگن ، ممکن است غیرمعمول بودن شاخص های متوسط ​​به چشم بیاید. اینها ، به عنوان مثال ، شاخص های متوسط ​​درآمد سرانه تولیدی ملی (گروه های سنی مختلف) ، شاخص های متوسط ​​بهره وری محصولات غلات در سراسر روسیه (مناطق مناطق مختلف آب و هوایی و محصولات مختلف غلات) ، متوسط ​​نرخ تولد جمعیت در تمام مناطق کشور ، میانگین دما برای دورهی معینو غیره. در اینجا ، میانگین ها به طور خلاصه ارزش های ناهمگن کیفی ویژگی ها یا مجموعه های فضایی سیستمیک (جامعه بین المللی ، قاره ، ایالت ، منطقه ، منطقه و غیره) یا مجموعه های پویا را در زمان (قرن ، دهه ، سال ، فصل و غیره) گسترش می دهند. ... چنین میانگین هایی نامیده می شود میانگین های سیستم.

بنابراین ، معنای مقادیر میانگین شامل عملکرد تعمیم آنهاست. مقدار متوسط ​​جایگزین تعداد زیادی از ارزشهای فردی یک صفت می شود و ویژگیهای مشترک ذاتی در همه واحدهای جمعیت را آشکار می کند. این به نوبه خود به شما امکان می دهد از علل تصادفی اجتناب کنید و الگوهای کلی را به دلایل متداول شناسایی کنید.

انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

در مرحله پردازش آماری ، می توان انواع وظایف تحقیقاتی را تعیین کرد که برای حل آنها انتخاب میانگین مناسب ضروری است. در این مورد ، لازم است با قانون زیر راهنمایی شود: مقادیری که نشان دهنده عدد و مخرج میانگین هستند باید منطقی مرتبط باشند.

میانگین قدرت;

میانگین های ساختاری.

اجازه دهید قراردادهای زیر را معرفی کنیم:

مقادیری که میانگین آنها محاسبه می شود ؛

میانگین ، جایی که خط بالا نشان می دهد که میانگین مقادیر فردی وجود دارد.

فرکانس (تکرارپذیری ارزشهای فردی یک ویژگی).

میانگین های مختلف از آن مشتق شده است فرمول کلیقدرت-حقوق یعنی:

(5.1)

برای k = 1 - میانگین حسابی ؛ k = -1 - هارمونیک متوسط ​​؛ k = 0 - میانگین هندسی ؛ k = -2 - میانگین مربع ریشه.

مقادیر متوسط ​​ساده و وزنی هستند. میانگین های وزنیآنها مقادیری را در نظر می گیرند که برخی از انواع مقادیر صفت ممکن است اعداد متفاوتی داشته باشند ، در این صورت هر گزینه باید در این عدد ضرب شود. به عبارت دیگر ، "وزنه" تعداد واحدهای جمعیت در گروه های مختلف است ، به عنوان مثال. هر گزینه با فرکانس خود "وزن" می شود. فرکانس f نامیده می شود وزن آمارییا وزن متوسط

میانگین حسابی- رایج ترین نوع رسانه. هنگامی که محاسبه بر روی داده های آماری غیر گروهی انجام می شود ، جایی که می خواهید میانگین عبارت را بدست آورید ، استفاده می شود. میانگین حسابی چنین میانگین یک ویژگی است که پس از دریافت آن ، حجم کل یک ویژگی در مجموع بدون تغییر باقی می ماند.

فرمول میانگین حسابی (ساده) دارای فرم است

جایی که n اندازه جمعیت است.

به عنوان مثال ، متوسط ​​دستمزد کارکنان یک شرکت به عنوان میانگین حساب محاسبه می شود:

شاخصهای تعیین کننده در اینجا دستمزد هر کارمند و تعداد کارکنان شرکت است. هنگام محاسبه میانگین ، میزان کل دستمزد ثابت بود ، اما بین همه کارگران به طور مساوی توزیع شد. به عنوان مثال ، شما باید میانگین را محاسبه کنید دستمزدکارکنان یک شرکت کوچک که 8 نفر را استخدام می کند:

هنگام محاسبه مقادیر متوسط ​​، می توان مقادیر فردی ویژگی را که به طور میانگین است ، تکرار کرد ، بنابراین مقدار متوسط ​​با توجه به داده های گروه بندی شده محاسبه می شود. در این مورد می آیددر مورد استفاده میانگین حسابی وزنیکه فرم دارد

(5.3)

بنابراین ، ما باید میانگین قیمت سهام یک شرکت سهامی را در معاملات بورس محاسبه کنیم. مشخص است که معاملات ظرف 5 روز انجام شد (5 معامله) ، تعداد سهام فروخته شده با نرخ فروش به شرح زیر توزیع شد:

1 - 800 ac. - 1010 روبل.

2 - 650 ac. - 990 روبل.

3 - 700 ac. - 1015 روبل.

4 - 550 ac. - 900 روبل.

5 - 850 ac. - 1150 روبل.

نسبت اولیه برای تعیین میانگین قیمت سهام ، نسبت است مبلغ کلمعاملات (OSS) به تعداد سهام فروخته شده (KPA):

ОСС = 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700 + 900 · 550 + 1150 · 850 = 3 634 500 ؛

KPA = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3550.

در این حالت ، میانگین قیمت سهم برابر بود

لازم است خواص میانگین حسابی را بدانید ، که هم برای استفاده و هم برای محاسبه آن بسیار مهم است. سه ویژگی اصلی وجود دارد که بیشتر از همه استفاده گسترده از میانگین حسابی را در محاسبات آماری و اقتصادی تعیین می کند.

اولین ویژگی (صفر): مجموع انحرافات مثبت مقادیر فردی یک ویژگی از مقدار متوسط ​​آن برابر با مجموع انحرافات منفی است. این ویژگی بسیار مهمی است ، زیرا نشان می دهد که هرگونه انحراف (هم c + و هم c -) ناشی از علل تصادفی متقابلاً لغو می شود.

اثبات:

ویژگی دوم (حداقل): مجموع مربعات انحراف مقادیر فردی ویژگی از میانگین حسابی کمتر از هر عدد دیگر (a) است ، یعنی حداقل تعداد وجود دارد

اثبات

اجازه دهید مجموع مربعات انحراف از متغیر a را بسازیم:

(5.4)

برای یافتن انتهای این تابع ، لازم است که مشتق آن را با یک به صفر برابر کنیم:

از اینجا به دست می آوریم:

(5.5)

در نتیجه ، انتهای مجموع انحرافات مربع در به دست می آید. این اکستروم حداقل است ، زیرا تابع نمی تواند حداکثر داشته باشد.

ویژگی سوم: میانگین حسابی یک مقدار ثابت برابر این ثابت است: در a = const.

علاوه بر این سه ویژگی مهم میانگین حسابی ، به اصطلاح وجود دارد ویژگی های طراحی، که به تدریج اهمیت خود را در ارتباط با استفاده از فناوری محاسبات الکترونیکی از دست می دهند:

اگر مقدار فردی ویژگی هر واحد در یک عدد ثابت ضرب یا تقسیم شود ، میانگین حساب به همان میزان افزایش یا کاهش می یابد.

اگر وزن (فراوانی) هر مقدار ویژگی بر یک عدد ثابت تقسیم شود ، میانگین حساب تغییر نخواهد کرد.

اگر مقادیر فردی ویژگی هر واحد به همان میزان کاهش یا افزایش یابد ، میانگین حسابی به همان میزان کاهش یا افزایش می یابد.

هارمونیک متوسط... این میانگین را میانگین حساب معکوس می نامند ، زیرا این مقدار زمانی که k = -1 استفاده می شود.

هارمونیک ساده متوسطزمانی استفاده می شود که وزن مقادیر مشخصه یکسان باشد. فرمول آن را می توان از مشتق کرد فرمول اساسیبا جایگزینی k = -1:

به عنوان مثال ، ما باید محاسبه کنیم سرعت متوسطدو اتومبیل که مسیری یکسان را طی کردند ، اما با سرعت های مختلف: اولین - با سرعت 100 کیلومتر در ساعت ، دومی - 90 کیلومتر در ساعت. با استفاده از روش میانگین هارمونیک ، ما سرعت متوسط ​​را محاسبه می کنیم:

در عمل آماری ، بیشتر از وزن هارمونیک استفاده می شود که فرمول آن فرم دارد

این فرمول در مواردی استفاده می شود که وزن (یا حجم رویدادها) برای هر ویژگی مساوی نیست. در نسبت اصلی برای محاسبه میانگین ، متر شناخته شده است ، اما مخرج نامشخص است.