مفهوم توالی عددی، مکاتبات را به هر تعداد طبیعی برخی از ارزش های معتبر نشان می دهد. چنین تعداد اعداد می تواند هر دو خودسرانه و دارای خواص خاص - پیشرفت. که در آخرین مورد هر عنصر بعدی (عضو) دنباله را می توان با استفاده از قبلی محاسبه کرد.

پیشرفت حساب - دنباله ای از مقادیر عددی که اعضای همسایه آن در یکدیگر متفاوتند (همه عناصر سری، از 2 سالگی) دارایی هستند. این تعداد تفاوت بین عضو قبلی و بعدی است - به طور مداوم و تفاوت در پیشرفت نامیده می شود.

تفاوت پیشرفت: تعریف

یک دنباله متشکل از j مقادیر A \u003d a (1)، a (2)، a (3)، a (4) ... a (j)، j متعلق به مجموعه است اعداد طبیعی N. پیشرفت محاسباتی، با توجه به تعریف آن، توالی است که در آن (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. مقدار D تفاوت مطلوب در این پیشرفت است.

d \u003d a (j) - a (j-1).

تخصیص:

• افزایش پیشرفت، در این مورد d\u003e 0. مثال: 4، 8، 12، 16، 20، ...
• کاهش پیشرفت، سپس d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

تفاوت پیشرفت و عناصر دلخواه آن

اگر 2 عضو خودسرانه پیشرفت (I-Th، KH) وجود داشته باشد، تفاوت این توالی می تواند بر اساس رابطه باشد:

a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d، به این معنی d \u003d (a (i) - a (k)) / (i - k).

تفاوت پیشرفت و اولین عضو آن

این عبارت به تعیین مقدار ناشناخته تنها در مواردی که تعداد عناصر توالی شناخته شده است تعیین می کند.

تفاوت پیشرفت و مقدار آن

مقدار پیشرفت مجموع اعضای آن است. برای محاسبه ارزش کل عناصر اول J خود، از فرمول مناسب استفاده کنید:

s (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j، اما چون a (j) \u003d a (1) + d (j - 1)، سپس s (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2A (1) + D (- 1)) / 2) * j.

بله، بله: پیشرفت محاسباتی اسباب بازی شما نیست :)

خوب، دوستان، اگر شما این متن را بخوانید، کلاه داخلی آشکار به من می گوید که هنوز نمی دانید که پیشرفت محاسباتی چیست، اما بسیار (نه، مانند این: oooooo!) می خواهید بدانید. بنابراین، من شما را مجازات طولانی نخواهم کرد و بلافاصله به پرونده بروید.

برای شروع چند نمونه. چندین مجموعه از اعداد را در نظر بگیرید:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2)؛ \\ 2 \\ sqrt (2)؛ \\ 3 \\ sqrt (2)؛ ... $

چه چیزی برای همه این مجموعه ها رایج است؟ در نگاه اول - هیچ چیز. اما در واقع چیزی است. برای مثال: هر عنصر بعدی از یک قبلی و همان شماره متفاوت است..

برای خودتان قضاوت کنید اولین مجموعه به سادگی در یک ردیف از شماره، هر یک دیگر دیگر بیشتر از قبلی است. در مورد دوم، تفاوت بین اعداد نزدیک به 5 برابر است، اما این تفاوت هنوز ثابت است. در مورد سوم، به طور کلی ریشه ها. با این حال، $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $، و $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $، I.E. و در این مورد، هر عنصر بعدی به سادگی $ \\ sqrt (2) $ افزایش می یابد (و اجازه ندهید که این تعداد غیر منطقی باشد).

بنابراین: تمام چنین توالی ها فقط به عنوان پیشرفت محاسباتی نامیده می شود. بیایید تعریف دقیق بدهیم:

تعریف. دنباله ای از اعداد که در آن هر ویژگی بعدی از یک قبلی متفاوت است و همان مقدار، پیشرفت محاسباتی نامیده می شود. اندازه تعداد متفاوت است، تفاوت در پیشرفت نامیده می شود و اغلب توسط نامه $ d $ نشان داده شده است.

تعیین: $ \\ left ((a) _ (n)) \\ right) $ - پیشرفت خود، $ D $ تفاوت آن است.

و بلافاصله چند نظر مهم. اول، پیشرفت تنها در نظر گرفته می شود منظم دنباله ای از اعداد: آنها مجاز به خواندن به شدت به ترتیب که آنها ثبت می شوند - و به هیچ وجه. غیر ممکن است تعدادی از اعداد را تغییر دهید و تغییر دهید.

ثانیا، توالی خود می تواند هر دو محدود و بی پایان باشد. به عنوان مثال، مجموعه (1؛ 2، 3) به وضوح پیشرفت محاسباتی نهایی است. اما اگر چیزی را در روح بنویسید (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - این پیشرفت بی نهایت است. پس از چهارم، پس از چهارم، همانطور که بود، اشاره کرد، پس هنوز تعداد بسیار کمی وجود دارد. به عنوان مثال بی نهایت بسیار زیاد است. :)

من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت افزایش می یابد و کاهش می یابد. ما قبلا شاهد افزایش - همان مجموعه (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). اما نمونه هایی از پیشرفت نزولی:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5)؛ \\ \\ sqrt (5) -1؛ \\ \\ sqrt (5) -2؛ \\ \\ sqrt (5) -3؛ ... $

باشه باشه: آخرین مثال ممکن است خیلی پیچیده شود. اما بقیه، من فکر می کنم شما قابل فهم هستید. بنابراین، ما تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم:

تعریف. پیشرفت محاسباتی نامیده می شود:

1. افزایش اگر هر عنصر بعدی بیشتر از قبل باشد؛
2. نزولی، اگر، در مقابل، هر عنصر بعدی کمتر از یک قبلی است.

علاوه بر این، توالی های به اصطلاح "ثابت" وجود دارد - آنها شامل یک عدد تکراری هستند. به عنوان مثال، (3، 3؛ 3؛ ...).

تنها یک سوال وجود دارد: چگونه پیشرفت فزاینده ای از کاهش را تشخیص دهیم؟ خوشبختانه، همه چیز بستگی به علامت شماره $ d $، I.E. تفاوت پیشرفت:

1. اگر $ d \\ gt 0 $، پس از آن پیشرفت افزایش می یابد؛
2. اگر $ d \\ lt 0 $، پس از آن پیشرفت به وضوح کاهش می یابد؛
3. در نهایت، یک مورد $ d \u003d 0 $ وجود دارد - در این مورد، تمام پیشرفت به ترتیب ثابت از شماره های مشابه کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...) و غیره

بیایید سعی کنیم تفاوت $ D $ را برای سه پیشرفت کاهش یافته در بالا محاسبه کنیم. برای انجام این کار، به اندازه کافی برای گرفتن هر دو عنصر مجاور (به عنوان مثال، اول و دوم) و تفریق از میان سمت راست، تعداد موارد. شبیه این خواهد شد:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 دلار.

همانطور که می بینید، در هر سه مورد تفاوت واقعا منفی بود. و اکنون، زمانی که ما بیشتر یا کمتر تعاریف را تشخیص دادیم، وقت آن است که با چگونگی پیشرفت توضیح داده شود و چه خواص آنها داشته باشد.

پیشرفت و فرمول مکرر

از آنجا که عناصر توالی های ما را نمی توان در مکان ها تغییر داد، آنها می توانند شماره گذاری شوند:

\\ [\\ left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (((a) _ (1))، \\ ((a) _ (2))، ((a) _ (3 ))، ... \\ درست \\) \\]

عناصر جداگانه این مجموعه به نام های پیشرفت نامیده می شود. آنها آنها را با کمک تعداد نشان می دهد: اولین دیک، دوره دوم، و غیره

علاوه بر این، همانطور که قبلا می دانیم، اعضای همسایه پیشرفت به فرمول مربوط می شوند:

\\ [(a) _ (n)) - ((a) _ (n - 1)) \u003d d \\ rightarrow ((a) _ (n)) \u003d (a) _ (n - 1)) + d \\]

به طور خلاصه، برای پیدا کردن یک عضو $ n-$ -D پیشرفت، شما باید عضو $ n-1 $-$ و تفاوت $ d $ را بدانید. چنین فرمول به نام Recurrent نامیده می شود، زیرا می توان آن را برای پیدا کردن هر تعداد مورد استفاده قرار داد، فقط دانستن قبلی (و در واقع - همه موارد قبلی). این بسیار ناخوشایند است، بنابراین فرمول حیرت انگیز تر وجود دارد که هر محاسبات را به اولین عضو و تفاوت تقسیم می کند:

\\ [((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\]

مطمئنا شما قبلا با این فرمول ملاقات کرده اید. او دوست دارد به تمام دایرکتوری ها و Reshebnikh بدهد. بله، و در هر کتاب تفسیری در ریاضیات، او یکی از اولین ها را می برد.

با این وجود، من پیشنهاد می کنم کمی فشار.

شماره کار 1. اطمینان از سه عضو اول پیشرفت محاسباتی از $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $، اگر $ ((a) _ (1)) \u003d 8، d \u003d -5 $.

تصمیم گیری بنابراین، ما می دانیم که اولین دوره $ ((a) _ (1)) \u003d 8 دلار و تفاوت در پیشرفت $ d \u003d -5 $. ما فقط از فرمول حاصل شده استفاده می کنیم و جایگزین $ n \u003d 1 دلار، $ n \u003d $ 2 و $ n \u003d $ 3:

\\ [\\ align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d؛ \\\\ & (a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (1-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8؛ \\\\ & (a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (2-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3؛ \\\\ & (a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (3-1 \\ right) d \u003d (a) _ (1)) + 2D \u003d 8-10 \u003d -2 \\\\ \\ end (align) \\]

پاسخ: (8؛ 3؛ -2)

این همه! لطفا توجه داشته باشید: پیشرفت ما نزولی است.

البته، $ n \u003d 1 $ نمی تواند جایگزین شود - عضو اول ما نیز شناخته شده است. با این حال، جایگزین واحد، ما متقاعد شد که حتی برای اولین عضو، فرمول ما کار می کند. در موارد دیگر، همه چیز به حساب بانکی منجر شده است.

شماره کار 2 اگر عضو هفتم آن -40 عضو آن باشد، سه عضو پیشرفت محاسباتی را بنویسید و عضو هفدهم -50 باشد.

تصمیم گیری ما شرایط کار را در شرایط معمول بنویسیم:

\\ [(a) _ (7)) \u003d - 40؛ \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ jagn (align) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ شروع (align) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ \\ ((a) _ (1)) + 16D \u003d -50 \\\\ \\ \\ end (align) \\ درست. \\]

من علامت سیستم را تنظیم کردم زیرا این الزامات باید به طور همزمان انجام شود. و اکنون ما یادآوری می کنیم، اگر اولین کسی که اولین معادله را کسر می کند (ما حق داریم آن را انجام دهیم، زیرا ما یک سیستم داریم)، \u200b\u200bما این را دریافت می کنیم:

\\ [\\ begin (align) & (a) _ (1)) + 16d- \\ left ((a) _ (1)) + 6d \\ right) \u003d - 50- \\ سمت چپ (-40 \\ right)؛ \\\\ & (a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6D \u003d -50 + 40؛ \\\\ & 10d \u003d -10؛ \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (align) \\]

این خیلی ساده است که تفاوت در پیشرفت پیدا کردیم! باقی مانده است که شماره یافت شده را به هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنید. به عنوان مثال، در اولین:

\\ [\\ begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40؛ \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40؛ \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (ماتریس) \\]

در حال حاضر، دانستن اولین عضو و تفاوت، آن را باقی می ماند برای پیدا کردن دوم و سوم دیک:

\\ [\\ align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35؛ \\\\ & (a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2D \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (align) \\]

آماده! وظیفه حل شده است

پاسخ: (-34؛ -35؛ -36)

توجه به اموال کنجکاو پیشرفتی که ما پیدا کردیم توجه کنیم: اگر شما 20 دلار و $ m $ اعضای خود را مصرف کنید و آنها را از یکدیگر جدا کنید، پس از آن، تفاوت در پیشرفت افزایش به $ n-m $ را دریافت خواهید کرد

\\ [(a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ left (n-m \\ right) \\]

ساده اما بسیار اموال مفیدکه شما باید بدانید - با آن، شما می توانید به طور قابل توجهی سرعت راه حل بسیاری از مشکلات در پیشرفت را افزایش دهید. در اینجا یک مثال روشن است:

شماره کار 3 مدت پنجم پیشرفت محاسباتی 8.4 است و عضو دهم آن 14.4 است. یک عضو پانزدهم این پیشرفت را پیدا کنید.

تصمیم گیری از آنجا که $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4، $ ((a) _ (10)) \u003d 14.4 دلار، و شما باید $ ((a) _ (15)) $ را پیدا کنید، سپس توجه داشته باشید:

\\ [\\ align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5D؛ \\\\ & (a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5D. \\\\ \\ end (align) \\]

اما با شرایط $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 دلار، بنابراین $ 5D \u003d 6 دلار، از جایی که ما داریم:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6؛ \\\\ & (a) _ (15)) \u003d 6 + 14،4 \u003d 20.4. \\\\ \\ end (align) \\]

پاسخ: 20.4

این همه! ما نیازی به نوعی سیستم های معادلات نداشتیم و اولین عضو و تفاوت را در نظر گرفتیم - همه چیز به معنای واقعی کلمه به چند خط تصمیم گرفت.

در حال حاضر نوع دیگری از کار را در نظر بگیرید - برای پیدا کردن اعضای منفی و مثبت پیشرفت. هیچ راز نیست که اگر پیشرفت پیشرفت کند، با اولین عضو او از منفی او، پس از آن دیر یا زود، اعضای مثبت خواهد بود. تقریبا: اعضای کاهش پیشرفت زودتر یا بعدا منفی خواهند شد.

در عین حال، همیشه این لحظه را نمی توان اضافه کرد "در پیشانی"، به طور پیوسته از طریق عناصر تبدیل شود. اغلب وظایف طراحی شده اند به طوری که چند ورق بدون دانستن فرمول ها وجود دارد - ما فقط به خواب رفتن، در حالی که آنها پاسخ را پیدا کردند. بنابراین، بیایید سعی کنیم این وظایف را به شیوه ای سریعتر حل کنیم.

شماره کار 4 چند نفر از اعضای منفی در پیشرفت ریاضی -38.5؛ -35.8؛ ...؟

تصمیم گیری بنابراین $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38.5، $ ((a) _ (2)) \u003d - 35.8 دلار، جایی که ما بلافاصله یک تفاوت پیدا کردیم:

توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است، بنابراین پیشرفت افزایش می یابد. اولین عضو منفی است، بنابراین واقعا در برخی موارد ما تعداد مثبت را از بین می بریم. تنها سوال این است که این اتفاق می افتد.

اجازه دهید ما سعی کنیم دریابیم: چه مدت (به عنوان مثال، به چه نوع طبیعی $ n $)، منفی بودن اعضا حفظ می شود:

\\ [\\ begin (align) & (a) _ (n)) \\ lt 0 \\ rightarrow ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\ lt 0؛ \\\\ & -38،5+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 2.7 \\ lt 0؛ \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ right. \\\\ & -385 + 27 \\ CDOT \\ سمت چپ (n-1 \\ right) \\ lt 0؛ \\\\ & -385 + 27N-27 \\ lt 0؛ \\\\ & 27n \\ lt 412؛ \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (align) \\]

آخرین خط نیاز به توضیح دارد بنابراین، ما می دانیم که $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. از سوی دیگر، ما تنها مقادیر عدد صحیح شماره (بیش از: $ n \\ in \\ mathBB (n) $ را شبیه سازی خواهیم کرد، بنابراین بزرگترین شماره مجاز دقیقا $ N \u003d 15 دلار است و در هیچ موردی نیست 16

شماره کار 5 در پیشرفت محاسباتی $ (() _ (5)) \u003d - 150، (() _ (6)) \u003d - 147 دلار. اولین عضو مثبت این پیشرفت را پیدا کنید.

با این حال، دقیقا همان کار مشابه است، با این حال، ما نمی دانیم $ ((a) _ (1)) $. اما اعضای همسایه شناخته شده اند: $ ((a) _ (5)) $ و $ ((a) _ (6)) $، بنابراین ما به راحتی تفاوت در پیشرفت را پیدا خواهیم کرد:

علاوه بر این، سعی کنید پنجم دیک را از طریق اولین و تفاوت با توجه به فرمول استاندارد بیان کنید:

\\ [\\ align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot d؛ \\\\ & (a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4D؛ \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3؛ \\\\ & (a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (align) \\]

حالا ما با همان کار قبلی انجام می دهیم. ما متوجه می شویم که کدام نقطه در دنباله ما تعداد مثبت داشته باشد:

\\ [\\ jagn (align) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ سمت چپ (n-1 \\ right) \\ cdot 3 \\ gt 0؛ \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0؛ \\\\ & 3n \\ gt 165؛ \\\\ & n \\ gt 55 \\ rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (align) \\]

حداقل راه حل عدد صحیح این نابرابری شماره 56 است.

لطفا توجه داشته باشید: در آخرین وظیفه، همه چیز به نابرابری شدید روشن شده است، بنابراین گزینه $ n \u003d 55 دلار برای ما مناسب نیست.

در حال حاضر، هنگامی که ما آموخته ایم که چگونه به حل وظایف ساده، ما به پیچیده تر تبدیل می شود. اما اول، بیایید یکی دیگر از ویژگی های بسیار مفید پیشرفت حسابداری را مطالعه کنیم، که در آینده ما را یک دسته از زمان و سلول های نابرابر صرفه جویی خواهد کرد. :)

میانگین محاسبات ریاضی و مساوی

چندین عضو متوالی از پیشرفت ریاضی افزایش $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) را در نظر بگیرید. بیایید سعی کنیم آنها را در یک عدد عددی علامت بزنیم:

اعضای پیشرفت حسابداری در یک عددی مستقیم

من به طور خاص اعضا دلخواه $ ((a) _ (n-3) را ذکر کردم)، ...، ((a) _ (n + 3)) $، و نه برخی از $ ((a) _ (1))، \\ ((a) _ (2))، \\ ((a) _ (3)) $ و غیره از آنجا که حکومت که اکنون می گویم، به همان اندازه برای هر بخش کار می کند.

و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول عود را به یاد داشته باشیم و آن را به تمام اعضای مشخص شده بنویسیم:

\\ [\\ align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d؛ \\\\ & ((a) _ (n - 1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d؛ \\\\ & (a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + d؛ \\\\ & (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d؛ \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d؛ \\\\ \\ end (align) \\]

با این حال، این مسائل را می توان به صورت متفاوت بازنویسی کرد:

\\ [\\ align) & ((a) _ (n - 1)) \u003d ((a) _ (n)) - d؛ \\\\ & (a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2D؛ \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3D؛ \\\\ & (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d؛ \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D؛ \\\\ & (a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3D؛ \\\\ \\ end (align) \\]

خوب، پس چی؟ و این واقعیت که اعضا $ ((a) _ (n - 1)) $ و $ ((a) _ (n + 1)) $ دروغ در همان فاصله از $ ((a) _ (n)) $. و این فاصله $ D $ است. همان را می توان در مورد اعضای $ ((a) _ (n - 2)) $ و $ ((a) _ (n + 2)) $ - $ - آنها نیز از $ ((a) _ (n) حذف می شود )) $ در همان فاصله، برابر با $ 2D $. شما می توانید به بی نهایت ادامه دهید، اما نقطه به خوبی توسط تصویر نشان داده شده است

اعضای پیشرفت در همان فاصله از مرکز قرار دارند

معنی این برای ما چیست؟ این به این معنی است که شما می توانید $ ((a) _ (n)) $ را پیدا کنید، اگر همسایگان شناخته شوند:

\\ [(a) _ (n)) \u003d \\ frac ((a) _ (n - 1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

ما تصویب فوق العاده ای را به ارمغان آوردیم: هر عضو پیشرفت محاسباتی برابر با میانگین اعضای مجاور محاسباتی است! علاوه بر این: ما می توانیم از $ ((a) _ (n)) $ ((a) _ (n)) را ترک کنیم نه یک قدم، و در مراحل $ k $ - و هنوز فرمول درست خواهد بود:

\\ [((a) _ (n)) \u003d \\ frac ((a) _ (n - k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

کسانی که. ما می توانیم با خیال راحت برخی از $ ((a) _ (150)) $ را پیدا کنیم، اگر ما $ ((a) _ (100)) $ و $ ((a) _ (200)) $، به دلیل $ ((a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که این واقعیت به ما چیزی مفید نمی دهد. با این حال، در عمل، بسیاری از وظایف به طور خاص "تیز" برای استفاده از ریاضیات متوسط \u200b\u200bاست. نگاهی بیاندازید:

شماره کار 6 پیدا کردن تمام مقادیر $ x $، که در آن شماره $ -6 ((x) ^ (2)) $، $ x + 1 $ و $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ اعضای سازگار با پیشرفت محاسباتی (در مشخص شده) هستند.

تصمیم گیری از آنجا که این اعداد عضو پیشرفت هستند، شرایط میانگین ریاضی برای آنها انجام می شود: عنصر مرکزی $ x + 1 $ را می توان از طریق عناصر مجاور بیان کرد:

\\ [\\ align) و x + 1 \u003d \\ frac (-6 (((((((((((((((((((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2)؛ \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2)؛ \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2))؛ \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

معلوم شد کلاسیک معادله درجه دوم. ریشه های او: $ x \u003d $ 2 و $ x \u003d -3 $ - این پاسخ است.

پاسخ: -3؛ 2

شماره کار 7 مقدار $$ را پیدا کنید، که در آن اعداد $ -1؛ 4-3؛ (() ^ (2)) + 1 $ پیشرفت محاسباتی (در جهت مشخص شده) را تشکیل می دهد.

تصمیم گیری مجددا عضو متوسط \u200b\u200bرا از طریق میانگین حسابرسی اعضای همسایه بیان می کنیم:

\\ [\\ align) و 4x-3 \u003d \\ frac (x - 1 + (((x) ^ (2)) + 1) (2)؛ \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2)؛ \\ quad \\ left | \\ cdot 2 \\ right. \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x؛ \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

دوباره معادله مربع و دوباره دو ریشه: $ x \u003d $ 6 و $ x \u003d 1 $.

پاسخ 1؛ 6

اگر در فرآیند حل مسئله شما برخی از اعداد وحشیانه دارید، یا شما به طور کامل در صحت پاسخ ها یافت نمی شود، یعنی یک تکنیک فوق العاده، به شما این امکان را می دهد که کار را انجام دهید؟

فرض کنید در وظیفه شماره 6 ما دریافت پاسخ -3 و 2. نحوه بررسی اینکه این پاسخ ها درست است؟ بیایید آنها را در شرایط اولیه جایگزین کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ما سه عدد ($ -6 (() ^ (2)) $، $ + 1 $ و $ 14 + 4 (() ^ (2))) $)، که باید یک پیشرفت محاسباتی باشد. جایگزینی $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ align) & x \u003d -3 \\ rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54؛ \\\\ & x + 1 \u003d -2؛ \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ end (align) \\]

اعداد دریافت شده -54؛ -2؛ 50، که در 52 سالگی متفاوت است، بدون شک، این پیشرفت محاسباتی است. همین اتفاق در $ x \u003d $ 2 اتفاق می افتد:

\\ [\\ align) & x \u003d 2 \\ rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24؛ \\\\ & x + 1 \u003d 3؛ \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ end (align) \\]

دوباره پیشرفت، اما با تفاوت 27. بنابراین، وظیفه حل درست است. کسانی که آرزو می کنند می توانند کار دوم را به خودشان بررسی کنند، اما بلافاصله می گویم: همه چیز نیز درست است.

به طور کلی، حل آخرین وظایف، ما یکی دیگر از آنها آمدیم حقیقت جالبچه کسی باید به یاد داشته باشید:

اگر سه عدد به گونه ای باشد که دوم اولین محاسبات متوسط \u200b\u200bباشد، اما این اعداد پیشرفت محاسباتی را تشکیل می دهند.

در آینده، درک این بیانیه به ما اجازه می دهد به معنای واقعی کلمه "طراحی" پیشرفت های لازم، بر اساس شرایط مشکل. اما قبل از اینکه ما با چنین "طراحی" مقابله کنیم، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنید که به طور مستقیم از پیش از آن در نظر گرفته شده است.

گروه بندی و مقدار عناصر

بیایید به محور عددی برگردیم ما چندین عضو از پیشرفت را ذکر می کنیم، بینایی که احتمالا. بسیاری از اعضای دیگر وجود دارد:

6 عنصر بر روی عددی مستقیما مشخص شده اند

بیایید سعی کنیم "دم چپ" را از طریق $ ((a) _ (n)) $ و $ d $، و "دم راست" از طریق $ ((a) _ (k)) $ و $ d $ بیان کنیم. این بسیار ساده است:

\\ [\\ align) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d؛ \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D؛ \\\\ & (a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (k)) - d؛ \\\\ & (a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2D. \\\\ \\ end (align) \\]

و اکنون ما توجه داریم که مقادیر زیر برابر است:

\\ [\\ align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d s؛ \\\\ & (a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + (a) _ (k)) - d \u003d s؛ \\\\ & (a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2D \u003d S. \\ end (align) \\]

نگران نباشید، اگر ما دو عنصر پیشرفت را به عنوان یک شروع در نظر بگیریم، که در مقدار برابر با هر شماره $ s $ است، و سپس شروع به راه رفتن از این موارد در طرف مقابل (به سمت یکدیگر و یا بالعکس برای حذف) سپس مقادیر عناصری که ما از بین می روند نیز برابر خواهد بود $ s $. به وضوح می تواند به صورت گرافیکی نشان داده شود:

همانند همان مقدار مساوی است.

درك كردن از این واقعیت به ما اجازه دهید مشکلات را در اصل بیشتر حل کنیم سطح بالا مشکلات از آنچه که ما در نظر گرفته ایم. به عنوان مثال، چنین:

وظیفه شماره 8 تعیین تفاوت در پیشرفت ریاضی، که در آن اولین دوره 66 است، و کار اعضای دوم و دوازدهم کوچکترین امکان پذیر است.

تصمیم گیری ما همه چیز را می نویسیم می دانیم:

\\ [\\ align) & ((a) _ (1)) \u003d 66؛ \\\\ & d \u003d؟ \\\\ & (a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ end (align) \\]

بنابراین، ما ناشناخته است تفاوت در پیشرفت $ D $. در واقع، در اطراف تفاوت و تمام راه حل ساخته خواهد شد، از آنجا که محصول $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ می تواند به صورت زیر بازنویسی شود:

\\ [\\ align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d؛ \\\\ & (a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d؛ \\\\ & (a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ left (66 + d \\ right) \\ cdot \\ left (66 + 11d \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right). \\ end (align) \\]

برای کسانی که در مخزن هستند: من یک ضریب عمومی 11 عدد دوم را انجام دادم. بنابراین، محصول مورد نظر یک تابع درجه دوم نسبت به متغیر $ D $ است. بنابراین، ما عملکرد $ f \\ سمت چپ را در نظر می گیریم (d \\ right) \u003d 11 \\ d + 66 \\ right) \\ left (d + 6 \\ right) $ - برنامه آن شاخه های Parabola خواهد بود، زیرا اگر براکت ها را نشان دهید، پس ما دریافت خواهیم کرد:

\\ [\\ begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ ((D) ^ (2)) + 66D + 6D + 66 \\ cdot 6 \\ right) \u003d \\\\ \\ \u003d 11 (( د) ^ (2)) + 11 \\ CDOT 72D + 11 \\ CDOT 66 \\ CDOT 6 \\ end (align) \\]

همانطور که می بینیم، ضریب با شرایط ارشد برابر با 11 است - این یک عدد مثبت است، بنابراین واقعا با شاخه های پارابولا برخورد می شود:

برنامه تابع درجه دوم - Parabola

لطفا توجه داشته باشید: حداقل مقدار این پارابولا در رأس خود را با Abscissa $ ((D) _ (0)) $ می گیرد. البته، ما می توانیم این Abscissa را با توجه به طرح استاندارد محاسبه کنیم (فرمول $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\؛ $)، اما بسیار شگفت انگیز متوجه خواهد شد که مورد نظر بالا بر روی محور تقارن پارابولا، بنابراین نقطه $ ((d) _ (0)) $ برابر با ریشه های معادله $ f \\ left (d \\ right) \u003d 0 $:

\\ [\\ align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 0؛ \\\\ & 11 \\ CDOT \\ سمت چپ (D + 66 \\ RIGHT) \\ CDOT \\ REFT (D + 6 \\ RIGHT) \u003d 0؛ \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66؛ \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (align) \\]

به همین دلیل است که من واقعا عجله نکردم تا براکت ها را فاش کنم: در فرم اصلی، ریشه ها بسیار و بسیار ساده بودند. در نتیجه، Abscissa برابر با میانگین است اعداد ریاضی -66 و -6:

\\ [((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

چه چیزی به ما یک شماره شناسایی می دهد؟ با استفاده از آن، کار مورد نیاز، کوچکترین ارزش را می گیرد (ما به هر حال، $ ((Y) _ (\\ min)) $ - این مورد نیازی نیست از ما). در عین حال، این تعداد تفاوت پیشرفت اولیه، I.E. ما جواب را پیدا کردیم. :)

پاسخ: -36

وظیفه شماره 9 بین شماره $ - \\ frac (1) (2) $ و $ - \\ frac (1) (6) $ سه عدد را وارد کنید تا آنها را به پیشرفت محاسباتی همراه با این اعداد انجام دهند.

تصمیم گیری در اصل، ما باید یک دنباله از پنج عدد را ایجاد کنیم، و شماره اول و آخرین در حال حاضر شناخته شده است. تعداد گمشده متغیرهای $ x $، $ y $ و $ z $ را نشان می دهد:

\\ [\\ left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (- \\ frac (1) (2)؛ x؛ y؛ z؛ - \\ frac (1) (6) \\ right \\ ) \\]

لازم به ذکر است که شماره $ y $ یک "وسط" دنباله ما است - این یکسان است و از شماره $ x $ و $ z $ و از شماره $ - \\ frac (1) (2) $ و $ - \\ frac (1) (6) $. و اگر از اعداد $ x $ و $ z $ ما در این لحظه ما نمی توانیم $ Y $، سپس با پایان دادن به پیشرفت، وضعیت متفاوت است. ما در مورد میانگین محاسباتی به یاد می آوریم:

در حال حاضر، دانستن $ y $، ما شماره های باقی مانده را پیدا خواهیم کرد. توجه داشته باشید که $ x $ بین شماره $ - \\ frac (1) (2) $ و $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $ یافت می شود. از این رو

به طور مشابه، استدلال می کنیم که شماره باقی مانده را پیدا می کنیم:

آماده! ما همه سه عدد را پیدا کردیم. ما آنها را در پاسخ به ترتیب می نویسیم که در آن آنها باید بین اعداد اولیه قرار گیرند.

پاسخ: $ - \\ fricac (5) (12)؛ \\ - \\ frac (1) (3)؛ \\ - \\ frac (1) (4) $

وظیفه شماره 10 بین اعداد 2 و 42، چندین عدد را وارد کنید، که همراه با این اعداد، پیشرفت محاسباتی را تشکیل می دهند، اگر شناخته شده باشد، مجموع اول، دوم و آخرین اعداد وارد شده 56 است.

تصمیم گیری یک کار حتی سخت تر، با این حال، با این حال، با همان طرح به عنوان موارد قبلی حل می شود - از طریق میانگین محاسبات. مشکل این است که ما شناخته شده نیستیم که چند عدد خاص باید وارد شود. بنابراین، ما برای تعریف تعیین می کنیم که پس از قرار دادن دقیقا به $ $ n $ اعداد، و اولین آن 2 و آخرین - 42 است. در این مورد، جستجو برای پیشرفت محاسباتی در فرم ارائه شده است:

\\ [\\ left ((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (2؛ (a) _ (2))؛ ((a) _ (3))؛ ...؛ (( a) _ (n - 1))؛ 42 \\ راست \\) \\]

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56 \\]

توجه داشته باشید، با این حال، اعداد $ ((a) _ (2)) $ و $ ((a) _ (n - 1)) $ از لبه های اعداد 2 و 42 به دست می آیند توسط یک مرحله به سمت یکدیگر، به عنوان مثال . به مرکز دنباله و این به این معنی است که

\\ [(a) _ (2)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

اما پس از آن عبارت ضبط شده بالا می تواند بازنویسی شود:

\\ [\\ align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56؛ \\\\ \\ left ((a) _ (2)) + ((a) _ (n - 1)) \\ right) + ((a) _ (3)) \u003d 56؛ \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56؛ \\\\ & (a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (align) \\]

دانستن $ ((a) _ (3)) $ و $ ((a) _ (1)) $، ما به راحتی تفاوت در پیشرفت را پیدا خواهیم کرد:

\\ [\\ align) & (a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10؛ \\\\ & (a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ left (3-1 \\ right) \\ cdot d \u003d 2d؛ \\\\ & 2d \u003d 10 \\ rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (align) \\]

این تنها برای پیدا کردن اعضای دیگر باقی می ماند:

\\ [\\ align) & ((a) _ (1)) \u003d 2؛ \\\\ & (a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7؛ \\\\ & (a) _ (3)) \u003d 12؛ \\\\ & (a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17؛ \\\\ & (a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22؛ \\\\ & (a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27؛ \\\\ & (a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32؛ \\\\ & (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37؛ \\\\ & (a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42؛ \\\\ \\ end (align) \\]

بنابراین، در حال حاضر در مرحله 9 ما به انتهای سمت چپ دنباله می آیند - شماره 42. لازم بود فقط 7 عدد را وارد کنید: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37

پاسخ: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37

وظایف متن با پیشرفت

در نتیجه، من می خواهم یک زن و شوهر نسبتا را در نظر بگیرم وظایف ساده. خوب، به عنوان ساده: برای اکثر دانش آموزان که ریاضیات را در مدرسه کشف می کنند و خواندن آنچه که در بالا نوشته شده است، این وظایف ممکن است به نظر می رسد مانند قلع. با این وجود، دقیقا چنین وظایفی است که در مورد OGE و EGE در ریاضیات آمده است، بنابراین توصیه می کنم خود را با آنها آشنا کنید.

وظیفه شماره 11 تیپ تولید شده در 62 ژانویه قطعات، و در هر ماه آینده آن را بیش از 14 قسمت از قبل ساخته شده است. چند جزیی در ماه نوامبر یک تیپ ساخته شده است؟

تصمیم گیری بدیهی است، تعداد جزئیات، نقاشی شده توسط ماه ها، پیشرفت محاسباتی افزایش خواهد یافت. و:

\\ [\\ align) & ((a) _ (1)) \u003d 62؛ \\ quad d \u003d 14؛ \\\\ & (a) _ (n)) \u003d 62+ \\ سمت چپ (n-1 \\ right) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (align) \\]

نوامبر 11 ماه در سال است، بنابراین ما نیاز به پیدا کردن $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

بنابراین، 202 جزئیات در ماه نوامبر تولید خواهد شد.

شماره کار 12. یک کارگاه اجباری در 216 ژانویه با هم همپوشانی دارد و در هر ماه آینده او در 4 کتاب بیش از یک مورد قبلی قرار گرفته است. چند کتاب در ماه دسامبر کارگاه را غرق کرد؟

تصمیم گیری همه چیز:

$ \\ begin (align) & (a) _ (1)) \u003d 216؛ \\ quad d \u003d 4؛ \\\\ & (a) _ (n)) \u003d 216+ \\ سمت چپ (n-1 \\ right) \\ cdot 4. \\\\ end (align) $

دسامبر آخرین، 12 ماه در سال است، بنابراین ما به دنبال $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

این پاسخ است - 260 کتاب در ماه دسامبر در هم آمیخته خواهد شد.

خوب، اگر شما آن را به اینجا بخوانید، عجله می کنم به شما تبریک بگویم: "دوره یک جنگنده جوان" در پیشرفت های ریاضی شما با موفقیت گذشت. شما می توانید با خیال راحت به درس بعدی بروید، جایی که ما فرمول مقدار پیشرفت، و همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید آن را مطالعه می کنیم.

پیشرفت حساب دنباله ای از اعداد (اعضای پیشرفت)

که در آن هر عضو بعدی متفاوت از یک قبلی به اصطلاح Stoyed، که همچنین نامیده می شود تفاوت زمین یا پیشرفت.

بنابراین، از یک مرحله پیشرفت و اولین عضو آن، شما می توانید هر مورد را با توجه به فرمول پیدا کنید

خواص پیشرفت محاسباتی

1) هر عضو پیشرفت ریاضی، از شماره دوم، محاسبات متوسط \u200b\u200bاز پیشین و عضو بعدی پیشرفت است

بیانیه معکوس نیز درست است. اگر محاسبات محاسباتی مجاور عجیب و غریب (حتی) اعضای پیشرفت برابر یک عضو است که بین آنها قرار دارد، پس این دنباله ای از اعداد پیشرفت محاسباتی است. بر اساس این بیانیه، هر گونه توالی را بسیار آسان می کند.

همچنین، با توجه به اموال پیشرفت محاسباتی، فرمول بالا می تواند تا زمان بعدی تعمیم داده شود

این آسان است که مطمئن شوید که اگر اجزای خود را به سمت راست علامت برابری بنویسید

این اغلب در عمل برای ساده سازی محاسبات در وظایف استفاده می شود.

2) مجموع اولین اعضای پیشرفت ریاضی توسط فرمول محاسبه می شود

به یاد داشته باشید فرمول مجموع پیشرفت محاسباتی، زمانی که محاسبه و اغلب در شرایط زندگی ساده یافت می شود ضروری است.

3) اگر شما نیاز به پیدا کردن مقدار کامل، اما بخشی از دنباله از زمان k-it از عضو آن، پس از آن شما از فرمول جمع آوری زیر استفاده کنید

4) علاقه عملی این است که یافته های N اعضای پیشرفت محاسباتی از زمان K. برای انجام این کار، از فرمول استفاده کنید

این مواد نظری به پایان می رسد و به حل وظایف رایج در عمل می پردازد.

مثال 1. پیدا کردن یک عضو Fortieth از پیشرفت ریاضی 4؛ 7؛ ...

تصمیم گیری:

با توجه به شرایط وجود دارد

ما یک مرحله پیشرفت را تعریف می کنیم

با توجه به فرمول معروف ما یک عضو نهایی را پیدا می کنیم

مثال 2 پیشرفت ریاضی از عضو سوم و هفتم خواسته شده است. اولین دوره پیشرفت و میزان ده را پیدا کنید.

تصمیم گیری:

عناصر پیشرفت مشخص شده توسط فرمول ها را برش دهید

از معادله دوم، من اول را ارسال خواهم کرد، به عنوان یک نتیجه ما مرحله پیشرفت را پیدا خواهیم کرد

مقدار یافت شده به هر یک از معادلات برای پیدا کردن اولین عضو از پیشرفت محاسباتی جایگزین می شود

مقدار ده پیشرفت اول را محاسبه کنید

بدون استفاده از محاسبات پیچیده، همه ارزش های مورد نظر را یافتند.

مثال 3. پیشرفت محاسباتی توسط جانباز و یکی از اعضای آن تعیین می شود. اولین دوره پیشرفت را پیدا کنید، میزان 50 نفر از اعضای آن از 50 و مقدار 100 اول.

تصمیم گیری:

ما فرمول عنصر صد فوریه را می نویسیم

و پیدا کردن اول

بر اساس اولین بار برای پیدا کردن 50 عضو پیشرفت

ما مجموع پیشرفت را پیدا می کنیم

و مجموع 100 سال اول

مقدار پیشرفت 250 است.

مثال 4

تعداد اعضای پیشرفت حساب حسابرسی را پیدا کنید:

a3-A1 \u003d 8، A2 + A4 \u003d 14، Sn \u003d 111.

تصمیم گیری:

ما معادلات را از طریق عضو اول و مرحله پیشرفت می نویسیم و آنها را تعریف می کنیم

مقادیر به دست آمده در مجموع مبلغ برای تعیین تعداد اعضا در مقدار جایگزین می شوند

ما ساده سازی را انجام می دهیم

و حل معادله مربع

از دو مقدار یافت شده، شرایط کار تنها شماره 8 مناسب است. بنابراین، مجموع هشت عضو اول پیشرفت 111 است.

مثال 5

حل معادله

1 + 3 + 5 + ... + X \u003d 307.

راه حل: این معادله مجموع پیشرفت محاسباتی است. ما اولین دیک خود را بنویسیم و تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم

وظایف در پیشرفت محاسباتی در زمان های قدیم وجود داشت. آنها ظاهر شدند و خواستار راه حل شدند، زیرا آنها ضرورت عملی داشتند.

بنابراین، در یکی از پاپیروس مصر باستان، که دارای محتوای ریاضی است، - Rinda Papyrus (Xix Century BC) - شامل چنین کاری است: ما ده غذا را برای ده نفر تقسیم می کنیم، به شرطی که تفاوت بین هر یک از آنها یکی است اقدام هشتم. "

و در کارهای ریاضی یونانی های باستان، قضیه های ظریف مربوط به پیشرفت محاسباتی وجود دارد. بنابراین، Hypsum Alexandrian (قرن دوم، که بسیاری از وظایف جالب بود و کتاب چهاردهم را به "آغاز" اقلیدس اضافه کرد، این اندیشه را فرموله کرد: "در یک پیشرفت محاسباتی، که تعداد حتی تعداد اعضا را داشته باشد، مقدار آن اعضای نیمه دوم بیش از 1 نفر از اعضای 1/2 تعداد اعضا. "

دنباله را نشان می دهد. اعداد دنباله ای از اعضای آن نامیده می شوند و معمولا با حروف با شاخص هایی که تعداد توالی این عضو را نشان می دهند (A1، A2، A3 ... خواندن: "1-O"، "2،"، "3- پین "و غیره).

دنباله می تواند بی نهایت یا محدود باشد.

و پیشرفت محاسباتی چیست؟ تحت آن، آنها می دانند علاوه بر عضو قبلی (n) به دست آمده با همان شماره D، که تفاوت در پیشرفت است.

اگر د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، این پیشرفت در نظر گرفته می شود.

پیشرفت محاسباتی نهایی نامیده می شود، اگر تنها چند نفر از اعضای آن در نظر گرفته شوند. با تعداد زیادی از اعضا، این پیشرفت بی پایان است.

هر پیشرفت محاسباتی توسط فرمول زیر تعریف شده است:

aN \u003d KN + B، در حالی که B و K تعداد اعداد هستند.

این کاملا درست بیانیه ای است که معکوس است: اگر دنباله توسط یک فرمول مشابه داده شود، این دقیقا یک پیشرفت محاسباتی است که خواص دارد:

1. هر عضو پیشرفت، میانگین محاسبات عضو قبلی و پس از آن است.
2. معکوس: اگر، از 2 سالگی، هر عضو، میانگین محاسبات عضو قبلی و پس از آن، I.E. باشد. اگر شرط راضی باشد، این دنباله پیشرفت محاسباتی است. این برابری به طور همزمان نشانه ای از پیشرفت است، بنابراین معمولا مالکیت مشخصی از پیشرفت نامیده می شود.
   به طور مشابه، قضیه ای که این ویژگی را نشان می دهد عبارتند از: یک دنباله - پیشرفت محاسباتی تنها در صورتی که این برابری برای هر یک از اعضای دنباله درست باشد، از دوم شروع می شود.

اموال مشخصه برای چهار عدد از پیشرفت محاسباتی می تواند توسط فرمول AN + AM \u003d AM \u003d AM \u003d AK + AL (M، N، K تعداد پیشرفت) بیان شود.

در پیشرفت ریاضی، هر گونه ضروری (n-th) یک عضو را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

به عنوان مثال: اولین اصطلاح (A1) در پیشرفت محاسباتی تنظیم شده و برابر با سه، و تفاوت (D) برابر با چهار است. پیدا کردن شما نیاز به عضو چهل و پنجم این پیشرفت دارید. A45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

AN \u003d فرمول AK + D (N-K) به شما اجازه می دهد تا تعیین کنید عضو n-th پیشرفت محاسباتی از طریق هر یک از اعضای K-Paject خود، ارائه شده است که شناخته شده است.

مجموع اعضای پیشرفت محاسباتی (به معنای عضویت 1 مرحله پیشرفت نهایی) به شرح زیر محاسبه می شود:

sn \u003d (a1 + a) n / 2.

اگر عضو 1 نیز شناخته شده باشد، فرمول دیگری برای محاسبه مناسب است:

sn \u003d (((2a1 + d (n - 1)) / 2) * n.

مقدار پیشرفت محاسباتی که شامل اعضای N است، به این ترتیب محاسبه می شود:

انتخاب فرمول ها برای محاسبات بستگی به شرایط وظایف و داده های منبع دارد.

سری طبیعی هر عدد، مانند 1،2،3، ...، n، n، ...- ساده ترین مثال پیشرفت محاسباتی.

علاوه بر پیشرفت محاسباتی، هندسی نیز وجود دارد که دارای خواص و ویژگی های آن است.

سطح اول

پیشرفت حساب نظریه مفصل مثالها (2019)

دنباله شماره

بنابراین، نشستن و شروع به نوشتن هر عدد. مثلا:
شما می توانید هر شماره بنویسید، و آنها می توانند به هر حال (در مورد ما). چند عدد ما نوشته ایم، ما همیشه می توانیم بگوییم کدام یک از آنها دوم است و به همین ترتیب به آخر، یعنی ما می توانیم آنها را بی حس کنیم. این یک نمونه از یک توالی عددی است:

دنباله شماره
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده تنها برای یک تعداد توالی مشخص است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. شماره دوم (به عنوان یک عدد) همیشه یکی است.
شماره با شماره یک عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولا تمام دنباله ها را می خوانیم (به عنوان مثال،)، و هر عضو این دنباله یک نامه با شاخص برابر با تعداد این عضو است :.

در مورد ما:

فرض کنید ما داریم دنباله شمارهکه در آن تفاوت بین تعداد همسایه ها یکسان و برابر است.
مثلا:

و غیره.
چنین توالی عددی، پیشرفت محاسباتی نامیده می شود.
اصطلاح "پیشرفت" توسط نویسنده رومی بوزیم در قرن ششم معرفی شد و به معنای گسترده تر به عنوان یک توالی عددی بی نهایت شناخته شد. نام "ریاضی" از نظریه نسبت های مداوم، که در یونانیان باستان مشغول به کار بود منتقل شد.

این یک توالی عددی است، هر عضو که برابر با قبلی است، با همان شماره بسته بندی شده است. این شماره تفاوت در پیشرفت محاسباتی نامیده می شود و نشان داده شده است.

سعی کنید تعیین کنید که کدام توالی های عددی پیشرفت محاسباتی هستند و نه:

آ)
ب)
ج)
د)

کشف؟ مقایسه پاسخ ما:
هست یک پیشرفت ریاضی - B، c.
نیست پیشرفت ریاضی - A، D.

بیایید به یک پیشرفت معین بازگردیم () و سعی کنید معنی آن را پیدا کنید - یک عضو. وجود دارد دو چگونه آن را پیدا کنید

1. روش

ما می توانیم به ارزش قبلی تعداد پیشرفت اضافه کنیم، تا زمانی که ما قبل از پیشرفت پیشرفت انجام دهیم. خوب است که ما باید کمی چپ را خلاصه کنیم - تنها سه معانی:

بنابراین، یک عضو از پیشرفت ریاضی توصیف شده برابر است.

2. روش

و اگر ما نیاز به پیدا کردن معنی یک عضو از پیشرفت داشته باشیم؟ جمع شدن ما را یک ساعت طول نخواهد کشید و نه این واقعیت که ما هنگام اضافه کردن اعداد اشتباه نخواهیم کرد.
البته، ریاضیات با یک روش مطرح شد که نیازی به اضافه کردن تفاوت در پیشرفت محاسباتی به ارزش قبلی نیست. به دقت نگاه کنید به طراحی کشیده شده ... مطمئنا شما قبلا متوجه برخی از منظم بودن، یعنی:

به عنوان مثال، بیایید ببینیم ارزش یک عضو از این پیشرفت محاسباتی چیست؟


به عبارت دیگر:

سعی کنید اهمیت یک عضو از این پیشرفت محاسباتی را به این طریق پیدا کنید.

محاسبه شد؟ سوابق خود را با پاسخ مقایسه کنید:

لطفا توجه داشته باشید که دقیقا همان شماره را در روش قبلی دارید، زمانی که ما به طور مداوم به ارزش قبلی اعضای پیشرفت محاسباتی اضافه شدیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را شناسایی کنیم - ما آن را به آن می دهیم فرم عمومی و دریافت:

معادله پیشرفت محاسباتی.

پیشرفت محاسباتی افزایش می یابد و کاهش می یابد.

افزایش - پیشرفت هایی که در آن هر مقدار بعدی اعضا بیش از یک قبلی است.
مثلا:

نزولی - پیشرفت هایی که هر مقدار بعدی اعضا کمتر از گذشته است.
مثلا:

فرمول مشتق شده در محاسبه اعضای هر دو در افزایش و کاهش اعضای پیشرفت محاسباتی اعمال می شود.
آن را در عمل بررسی کنید.
ما به پیشرفت محاسباتی داده می شود، متشکل از شماره های زیر است: بررسی تعداد این پیشرفت محاسباتی، اگر از فرمول ما هنگام محاسبه آن استفاده می کنید:

از آن به بعد:

بنابراین، ما اطمینان دادیم که فرمول هر دو در پیشرفت محاسباتی نزولی و افزایش می یابد.
سعی کنید اعضای خود را از این پیشرفت محاسباتی پیدا کنید.

مقایسه نتایج به دست آمده:

اموال پیشرفت ریاضی

تکمیل وظیفه - برداشتن اموال پیشرفت محاسباتی.
فرض کنید ما چنین شرایطی داده ایم:
- پیشرفت حساب، پیدا کردن یک مقدار.
آسان، شما می گویید، و شما شروع به در نظر گرفتن فرمول که قبلا به شما شناخته شده است:

اجازه دهید، و سپس:

کاملا درست است به نظر می رسد، ما برای اولین بار پیدا می کنیم، سپس آن را به شماره اول اضافه کنید و مورد نظر را دریافت کنید. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، در این مورد هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد و اگر شماره به ما داده شود؟ موافقم، فرصتی برای اشتباه در محاسبات وجود دارد.
و اکنون فکر می کنم این مشکل را در یک اقدام با استفاده از هر فرمول حل می کند؟ البته، بله، و او این است که ما سعی خواهیم کرد آن را در حال حاضر به ارمغان بیاورد.

ما عضو مورد نظر پیشرفت محاسباتی را نشان می دهیم، فرمول موقعیت مکانی آن به ما شناخته شده است - این فرمول بسیار مشتق شده توسط ما در ابتدا است:
، سپس:

• پیشرفت دوره قبلی:
• عضو بعدی پیشرفت این است:

ما اعضای قبلی و بعدی پیشرفت را خلاصه می کنیم:

به نظر می رسد که مجموع اعضای پیشین و بعدی پیشرفت، ارزش دوگانه یک عضو از پیشرفت است که بین آنها است. به عبارت دیگر، برای پیدا کردن ارزش یک عضو از پیشرفت با ارزش های شناخته شده قبلی و متوالی، لازم است آنها را اضافه کنید و تقسیم کنید.

درست است، ما همان شماره را گرفتیم. مواد را ببندید ارزش خود را برای پیشرفت خودتان محاسبه کنید، زیرا کاملا ساده است.

آفرین! شما تقریبا همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! این امر برای پیدا کردن تنها یک فرمول، که در افسانه ها بدون مشکل، یکی از بزرگترین ریاضیدانان همه زمان ها، "پادشاه ریاضیدانان" بود - کارل گاوس ...

هنگامی که کارل گاوسو 9 ساله بود، معلم مشغول چک کردن کارهای دانشجویان کلاس های دیگر، از کار زیر در درس خواسته بود: "شمار مجموع تمام اعداد طبیعی از (توسط منابع دیگر) شامل." تعجب معلم، زمانی که یکی از دانش آموزانش (این کارل گاوس) بود، در یک دقیقه پاسخ صحیح به مجموعه کار را داد، در حالی که اکثر همکلاسی های Mozelchka پس از محاسبه طولانی نتیجه اشتباه را دریافت کردند ...

جوان Karl Gauss متوجه برخی از منظم بودن، که شما به راحتی می توانید متوجه شوید.
فرض کنید ما یک پیشرفت محاسباتی داریم، متشکل از یک عضو است: ما باید مقدار این اعضای پیشرفت محاسباتی را پیدا کنیم. البته، ما می توانیم به صورت دستی تمام مقادیر را جمع کنیم، اما آنچه که باید انجام دهیم، اگر در این کار انجام شود، لازم است مقدار اعضای او را پیدا کنید، چگونه به دنبال گاوس بود؟

من پیشرفتم را به ما نشان خواهم داد. به دقت به شماره های اختصاصی نگاه کنید و سعی کنید اقدامات مختلف ریاضی را با آنها تولید کنید.


تلاش کرد؟ متوجه شدید؟ درست! مبلغ آنها برابر است

و در حال حاضر پاسخ، چقدر جفت هایی در پیشرفت به ما داده می شود؟ البته، دقیقا نیمی از تمام اعداد، یعنی است.
بر اساس این واقعیت است که مجموع دو عضو از پیشرفت محاسباتی برابر است، و چنین جفت برابر، ما دریافت کل مقدار این است:
.
بنابراین، فرمول برای مجموع اعضای اولین پیشرفت محاسباتی مانند این است:

در برخی از وظایف، ما برای ما ناشناخته است، اما تفاوت در پیشرفت شناخته شده است. سعی کنید فرمول خلاصه ای را جایگزین کنید، فرمول عضو.
چه کار کردین؟

آفرین! در حال حاضر ما به وظیفه ای باز می گردیم که کارل گاوس تنظیم شد: شمارش به طور مستقل، که برابر با مقدار اعداد، شروع از -Go، و مقدار اعداد از آن است.

چقدر انجام دادید؟
گاوس معلوم شد که میزان اعضا برابر است و میزان اعضا. آیا شما حل کرده اید؟

در واقع، فرمول مجموع اعضای پیشرفت محاسباتی توسط دانشمند باستان یونان دیوفانتا در قرن سوم ثابت شد و در طول این مدت، مردم شوخ طبعی خود را با خواص پیشرفت محاسباتی مورد استفاده قرار دادند.
به عنوان مثال، تصور کنید مصر باستان و بزرگترین ساخت زمان - ساخت هرم ... شکل یک طرف را نشان می دهد.

پیشرفت شما کجاست؟ به دقت نگاه کنید و یک الگو را در تعداد بلوک های شن و ماسه در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.


پیشرفت محاسباتی چیست؟ محاسبه چقدر بلوک ها برای ساخت یک دیوار ضروری است، اگر آجر بلوک در پایه قرار گیرد. من امیدوارم که شما حساب نخواهید کرد، انگشت خود را بر روی مانیتور هدایت کنید، آخرین فرمول را به یاد می آورید و همه چیزهایی که ما در مورد پیشرفت محاسباتی صحبت کردیم؟

در این مورد، پیشرفت به شرح زیر است :.
تفاوت پیشرفت محاسباتی.
تعداد اعضای پیشرفت محاسباتی.
ما اطلاعات ما را در آخرین فرمول ها جایگزین می کنیم (تعداد بلوک ها را در 2 روش محاسبه می کنیم).

روش 1

روش 2

و اکنون ممکن است بر روی مانیتور محاسبه شود: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما قرار دارند مقایسه کنید. ذخیره شده؟ به خوبی انجام شد، شما مجموع پیشرفت محاسبات محاسباتی را تسلط دادید.
البته، از بلوک های در پایین هرم ساخت نخواهند بود، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که چگونه بسیاری از آجر های شن و ماسه برای ساخت یک دیوار با چنین شرایطی مورد نیاز است.
مقابله
پاسخ درست - بلوک:

تمرین

وظایف:

1. ماشا به شکل تابستان شکل می گیرد. هر روز تعداد سکته ها را افزایش می دهد. چند بار ماشا بعد از چند هفته پس از آن، اگر او را در جلسه آموزش اول ساخته شده است.
2. مجموع تعداد اعداد عجیب و غریب موجود در آن چیست؟
3. چوب زینتی هنگام ذخیره سازی سیاهههای مربوط به ذخیره سازی به گونه ای است که هر لایه بالا شامل یک ورودی کمتر از قبلی است. چند تا از سیاهههای مربوط به یک سنگ تراشی، اگر پایه سنگ تراشی در حال وارد شدن به سیاهههای مربوط است.

پاسخ ها:

1. ما پارامترهای پیشرفت محاسباتی را تعریف می کنیم. در این مورد
   (هفته ها \u003d روز).

   پاسخ:دو هفته، ماشا باید یک بار در روز بماند.

2. اولین عدد فرد، آخرین شماره
   تفاوت پیشرفت محاسباتی.
   تعداد اعداد عجیب و غریب در نصف، با این حال، این واقعیت را با استفاده از فرمول عضو مورد علاقه پیشرفت محاسباتی بررسی خواهد کرد:

   اعداد واقعا شامل اعداد عجیب و غریب هستند.
   داده های موجود برای جایگزینی در فرمول:

   پاسخ:مجموع تمام اعداد عجیب و غریب موجود در برابر است.

3. به یاد آوردن وظیفه در مورد هرم. برای مورد ما، a، از آنجا که هر لایه بالا بر روی یک ورودی کاهش می یابد، سپس فقط در یک دسته از لایه ها، یعنی.
   داده های جایگزین در فرمول:

   پاسخ:در مصالح ساختمانی سیاهههای مربوط است.

بیایید خلاصه کنیم

1. - توالی تعداد که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و برابر است. این اتفاق می افتد رشد و کاهش می یابد.
2. فرمول اقامت "یک عضو از پیشرفت محاسباتی توسط فرمول -، جایی که - تعداد اعداد در پیشرفت ثبت می شود ثبت می شود.
3. اموال اعضای پیشرفت حسابداری - - کجا - تعداد اعداد در پیشرفت.
4. مجموع اعضای پیشرفت حسابداری می توان به دو روش یافت می شود:
   
   کجا - تعداد مقادیر.

پیشرفت حساب سطح متوسط

دنباله شماره

بیایید نشستن و شروع به نوشتن هر عدد. مثلا:

شما می توانید هر شماره را بنویسید و هر جا می تواند وجود داشته باشد. اما شما همیشه می توانید بگویید کدام یک از آنها، دومین و غیره است، یعنی ما می توانیم آنها را بیاموزیم. این یک نمونه از یک توالی عددی است.

دنباله شماره - این تعداد زیادی از اعداد است، که هر کدام می توانند یک شماره منحصر به فرد اختصاص داده شوند.

به عبارت دیگر، هر شماره را می توان مطابق با یک عدد طبیعی خاص و تنها یکی قرار داد. و این شماره ما هیچ تعداد دیگری از این مجموعه را مناسب نخواهیم داشت.

شماره با شماره یک عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولا تمام دنباله ها را می خوانیم (به عنوان مثال،)، و هر عضو این دنباله یک نامه با شاخص برابر با تعداد این عضو است :.

بسیار راحت، اگر یک عضو از دنباله را می توان برای برخی از فرمول خواسته شد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را مشخص می کند:

و فرمول چنین توالی است:

به عنوان مثال، پیشرفت محاسباتی توالی است (اولین دوره در اینجا برابر است، و تفاوت). یا (، تفاوت).

فرمول n-th عضو

ما چنین فرمول را می نامیم که در آن شما نیاز به دانستن قبلی یا بیشتر قبلا شناخته شده است:

برای پیدا کردن چنین فرمول، به عنوان مثال، عضو پیشرفت، ما باید 9 را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خوب، حالا چه چیزی روشن است؟

در هر ردیف، ما چند عدد را افزایش می دهیم. چی؟ بسیار ساده: این تعداد عضو فعلی منهای:

در حال حاضر بسیار راحت تر، درست است؟ بررسی:

به اشتراک گذاشتن خودم:

در پیشرفت ریاضی، فرمول عضو N-TH را پیدا کرده و یک عضو صدها را پیدا کنید.

تصمیم گیری:

عضو اول برابر است. و تفاوت چیست؟ اما چی:

(این به این دلیل است که آن را تغییر می دهد که برابر با تفاوت اعضای متوالی پیشرفت است).

بنابراین، فرمول:

سپس یک عضو صدها این است:

مجموع تمام اعداد طبیعی از آن چیست؟

به گفته افسانه، ریاضیدان بزرگ کارل گاوس، یک پسر 9 ساله است که این مقدار را در چند دقیقه در نظر گرفت. او خاطرنشان کرد که مجموع شماره اول و آخر برابر با مجموع دوم است و همچنین Penultimate - نیز مجموع سوم و سوم از پایان نیز، و غیره است. چقدر جفت؟ درست است، دقیقا نیمی از تعداد تمام اعداد، یعنی است. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع اعضای اولین پیشرفت محاسباتی مانند این است:

مثال:
مجموع تمام اعداد دو رقمی را پیدا کنید.

تصمیم گیری:

اولین عدد این است. هر بعدی با اضافه کردن به شماره قبلی به دست می آید. بنابراین، اعداد شما علاقه مند به پیشرفت محاسباتی با اولین عضو و تفاوت.

عضو Formula -Go برای این پیشرفت:

چند نفر از اعضای پیشرفت، اگر همه آنها باید دو رقمی باشند؟

بسیار آسان: .

آخرین عضو پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مبلغ:

پاسخ:.

حالا تصمیم خواهم گرفت:

1. هر روز یک ورزشکار بر روی M بیشتر از روز قبل اجرا می شود. چه تعداد کل کیلومتر آن را برای یک هفته اجرا می کند، اگر در روز اول او km m m را اجرا کرد؟
2. دوچرخه سواری هر روز به KM بیشتر از قبل از آن رانندگی می کند. در روز اول، او KM را سوار کرد. چند روز او باید به غلبه بر KM برود؟ چند کیلومتر او را در روز آخر راه می گذرد؟
3. قیمت یخچال و فریزر در فروشگاه سالانه به همان مقدار کاهش می یابد. تعیین میزان قیمت یخچال و فریزر هر سال کاهش یافت، اگر در معرض فروش برای روبل، شش سال برای روبل فروخته شد.

پاسخ ها:

1. در اینجا مهمترین چیز این است که پیشرفت محاسباتی را تشخیص دهیم و پارامترهای آن را تعیین کنیم. در این مورد، (هفته ها \u003d روز). لازم است مقدار اول اعضای این پیشرفت را تعیین کنید:
   .
   پاسخ:
2. در اینجا داده شده است: شما باید پیدا کنید.
   بدیهی است، شما باید از همان فرمول خلاصه ای همانطور که در کار قبلی استفاده کنید استفاده کنید:
   .
   ما مقادیر را جایگزین می کنیم:

   ریشه بدیهی است مناسب نیست، به این معنی است که پاسخ.
   محاسبه مسیر تصویب شده در روز گذشته با کمک فرمول عضو:
   (کیلومتر).
   پاسخ:

3. دانو: برای پیدا کردن :.
   این اتفاق نمی افتد:
   (RUB).
   پاسخ:

پیشرفت حساب به طور خلاصه در مورد چیز اصلی

این یک توالی عددی است که در آن تفاوت بین تعداد همسایه ها یکسان و برابر است.

پیشرفت محاسباتی افزایش می یابد () و کاهش ().

مثلا:

فرمول پیدا کردن یک عضو N-Bous از پیشرفت محاسباتی

این نوشته شده توسط فرمول، جایی که - تعداد اعداد در پیشرفت است.

اموال اعضای پیشرفت حسابداری

این باعث می شود که یک عضو پیشرفت را پیدا کنید، اگر اعضای همسایه آن شناخته شده باشند، جایی که تعداد اعداد در پیشرفت هستند.

مقدار اعضای پیشرفت حسابداری

دو راه برای پیدا کردن مقدار وجود دارد:

کجا - تعداد مقادیر.

کجا - تعداد مقادیر.