آخرین نمونه های فعالیت لگاریتم. لگاریتم: نمونه ها و راه حل ها

تمرکز این مقاله - لگاریتم. در اینجا ما تعریف لگاریتم را ارائه خواهیم داد، نشان می دهد که تعیین شده تعیین شده، ما نمونه هایی از لگاریتم ها را ارائه می دهیم و اجازه می دهیم در مورد لگاریتم های طبیعی و دهدهی بگوییم. پس از آن، هویت اصلی لگاریتمی را در نظر بگیرید.

مرور صفحه

تعریف لگاریتم

مفهوم لگاریتم زمانی اتفاق می افتد که حل مشکل در یک حس خاص از معکوس، زمانی که لازم است شاخصی از درجه بر اساس ارزش درجه و معروف شناخته شده باشد.

اما پیشگامان کافی، وقت آن رسیده است که به سوال پاسخ دهیم "چه لگاریتم چیست؟ بیایید تعریف مناسب را ارائه دهیم.

تعریف.

لگاریتم تعداد B مبتنی بر، جایی که A\u003e 0، A ≠ 1 و B\u003e 0 شاخصی از درجه ای است که در آن تعداد A برای به دست آوردن B تنظیم می شود.

در این مرحله، ما یادآوری می کنیم که کلمه تلفظ شده "logarithm" باید بلافاصله به سوال مربوطه تماس بگیرد: "شماره" و "بر اساس چه چیزی". به عبارت دیگر، فقط یک لگاریتم به عنوان آن بود، و تنها یک لگاریتم اعداد به دلایلی وجود دارد.

بلافاصله معرفی کنید تعیین لگاریتم: لگاریتم تعداد B براساس A بر اساس A به عنوان ورود به سیستم ذکر شده است. لگاریتم تعداد B بر اساس E و لگاریتم بر اساس پایه 10، به ترتیب دارای تعیین ویژه های ویژه LNB و LGB است، یعنی ورود به سیستم، بلکه LNB نیست و 10 B و LGB را وارد نکنید.

حالا شما می توانید به :.
و سوابق هیچ معنایی ندارد، زیرا در اولین آنها، تحت نشانه لگاریتم، تعداد منفی وجود دارد، در دوم، تعداد منفی در پایه، و در سوم - و یک عدد منفی تحت نشانه لگاریتم وجود دارد و یکی در پایه.

حالا بگذار بگو ب قوانین خواندن Logurovmov. ورود به سیستم ضبط B به عنوان "لگاریتم B بر اساس یک" خوانده می شود. به عنوان مثال، Log 2 3 یک لگاریتم سه در پایه 2 است و لگاریتم دو عدد صحیح دو سوم در زمین است ریشه دوم خارج از پنج لگاریتم بر اساس الکترونیکی لگاریتم طبیعیضبط LNB به عنوان "لگاریتم طبیعی B" خوانده می شود. به عنوان مثال، LN7 یک لگاریتم طبیعی هفتم است و ما به عنوان یک لگاریتم طبیعی PI خواندیم. لگاریتم بر اساس پایه 10 همچنین دارای یک نام خاص است - لگاریتم دهدهیو ضبط LGB به عنوان "لگاریتم دهدهی B" خوانده می شود. به عنوان مثال، LG1 یک واحد قرعه کشی دهدهی است و LG2،75 یک لگاریتم اعشار از دو دهه هفتاد و پنج است.

این ارزش آن را به طور جداگانه در شرایط a\u003e 0، ≠ 1 و b\u003e 0، که تحت آن تعریف لگاریتم داده می شود، ارزش دارد. بگذارید توضیح دهیم که این محدودیت ها از آن آمده است. آن را به ما کمک خواهد کرد تا برابری گونه ای به نام، که به طور مستقیم از تعریف فوق از لگاریتم پیروی می کند.

بیایید با یک ≠ 1 شروع کنیم. از آنجا که واحد به هر درجه برابر با یکی است، برابری می تواند تنها در B \u003d 1 معتبر باشد، اما ورود به سیستم 1 1 می تواند هر شماره معتبر باشد. برای جلوگیری از این چند رقیب و پذیرفته شده ≠ 1 است.

بیایید مصارف وضعیت A\u003e 0 را توجیه کنیم. در A \u003d 0، با تعریف لگاریتم، ما برابری داریم که تنها در B \u003d 0 امکان پذیر است. اما پس از آن log 0 0 می تواند هر شماره متفاوت از صفر، به عنوان صفر در هر درجه غیر صفر صفر است. اجتناب از این چند رقیب اجازه می دهد تا شرایط ≠ 0. و با A.<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

در نهایت، شرایط B\u003e 0 به شرح زیر از نابرابری A\u003e 0، از آنجا که و مقدار یک درجه با پایه مثبت A همیشه مثبت است.

در نتیجه این مورد، بگذارید بگوییم تعریف ابراز شده از لگاریتم به شما امکان می دهد بلافاصله مقدار لگاریتم را مشخص کنید زمانی که شماره زیر علامت لگاریتم درجه ای از پایه است. در واقع، تعریف یک لگاریتم به شما اجازه می دهد تا ادعا کنید که اگر B \u003d P P باشد، سپس لگاریتم تعداد B برای پایه A برابر با p است. به عبارت دیگر، برابری یک P \u003d P معتبر است. به عنوان مثال، ما می دانیم که 2 3 \u003d 8، سپس وارد شوید 2 8 \u003d 3. ما در مورد جزئیات بیشتر در مقاله صحبت خواهیم کرد.

امروز ما صحبت خواهیم کرد فرمول های Logurovmov و نشانگر نمونه هایی از راه حل ها.

با توجه به خواص اصلی لگاریتم، الگوهای تصمیم گیری را به عهده می گیرند. برای اولین بار لگاریتم ها را برای راه حل ها برای یادآوری به شما اعمال کنید، اول همه خواص:

حالا بر اساس این فرمول ها (خواص)، ما نشان خواهیم داد نمونه هایی از راه حل های لگاریتم.

نمونه هایی از لگاریتم ها بر اساس فرمول ها.

لگاریتم تعداد مثبت B مبتنی بر a (نشان داده شده توسط log a b) شاخصی از درجه ای است که باید برای بدست آوردن B، با B\u003e 0، A\u003e 0 و 1 انجام شود.

با توجه به تعریف log a b \u003d x، که معادل x \u003d b است، بنابراین یک x \u003d x را وارد کنید.

لگاریتمیمثال ها:

ورود 2 8 \u003d 3، زیرا 2 3 \u003d 8

ورود 7 49 \u003d 2، زیرا 7 2 \u003d 49

ورود 5 1/5 \u003d -1، زیرا 5 -1 \u003d 1/5

لگاریتم دهدهی - این یک لگاریتم معمولی است، در پایه ای که 10. به عنوان ال جی نشان داده شده است.

ورود 10 100 \u003d 2، زیرا 10 2 \u003d 100

لگاریتم طبیعی - همچنین لگاریتم لگاریتم معمولی، اما در حال حاضر با اساس E (E \u003d 2،71828 ... - یک عدد غیر منطقی). به عنوان LN نشان می دهد.

فرمول یا خواص لگاریتم مطلوب است که به یاد داشته باشید، زیرا آنها در آینده در هنگام حل لگاریتم ها، معادلات لگاریتمی و نابرابری ها نیاز دارند. اجازه دهید ما دوباره هر فرمول را در نمونه ها کار کنیم.

هویت لگاریتمی پایه
یک log a b \u003d b
8 2LOG 8 3 \u003d (8 2LOG 8 3) 2 \u003d 3 2 \u003d 9
لگاریتم کار می کند برابر با مجموع لگاریتم ها
log a (bc) \u003d log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 \u003d log 3 (8.1 * 10) \u003d log 3 81 \u003d 4
لگاریتم خصوصی برابر با تفاوت لگاریتم ها
log a (b / c) \u003d log a b - log a c
9 ورود به سیستم 5 50/9 log 5 2 \u003d 9 log 5 50- log 5 2 \u003d 9 log 5 25 \u003d 9 2 \u003d 81
خواص میزان لگاریتمی و پایه لگاریتم
نشانگر شماره لگاریتماتیک ورود به سیستم B m \u003d mlog a b

شاخص پایه لگاریتم ورود به سیستم n b \u003d 1 / n * log a b

ورود به سیستم n b m \u003d m / n * log a b،

اگر m \u003d n، ما دریافت n b n \u003d log a b

log 4 9 \u003d log 2 2 3 2 \u003d log 2 3
انتقال به یک پایگاه جدید
log a b \u003d log c b / log c a،
اگر C \u003d B، ما LOG B B \u003d 1 را دریافت می کنیم

سپس یک b \u003d 1 / log b a را وارد کنید

log 0.8 3 * log 3 1،25 \u003d log 0.8 3 * log 0.8 1،25 / log 0.8 3 \u003d log 0.8 1،25 \u003d log 4/5 5/4 \u003d -1

همانطور که می بینید، لگاریتم ها به نظر می رسد پیچیده نیستند. در حال حاضر بررسی نمونه هایی از راه حل لگاریتم ها می توانیم به معادلات لگاریتمی حرکت کنیم. نمونه هایی از حل معادلات لگاریتمی ما جزئیات بیشتری را در مقاله در نظر می گیریم: "". از دست نده!

اگر در مورد این تصمیم سوالی دارید، آنها را در نظرات مقاله بنویسید.

توجه: ما تصمیم گرفتیم که تشکیل یک کلاس دیگر را به عنوان یک گزینه برای توسعه رویدادها انتخاب کنیم.

یکی از عناصر جبری سطح ابتدایی یک لگاریتم است. این نام از زبان یونانی از کلمه "شماره" یا "درجه" اتفاق افتاد و به معنی درجه ای است که لازم است برای ایجاد یک شماره در زمینه ها برای پیدا کردن یک شماره نهایی ضروری باشد.

انواع لگاریتم

log A B لگاریتم شماره B برای پایه a (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0) است.
lG B یک لگاریتم دهدهی است (لگاریتم بر اساس 10، A \u003d 10)؛
lN B یک لگاریتم طبیعی (لگاریتم بر اساس E، A \u003d E) است.

چگونه برای حل لگاریتم ها؟

لگاریتم شماره B برای پایه A شاخصی از درجه ای است که نیاز به پایه B زیرمجموعه a دارد. نتیجه تلفظ شده است بنابراین: "لگاریتم B برای پایه A". راه حل وظایف لگاریتمی این است که شما باید این درجه را در اعداد در اعداد مشخص تعیین کنید. برخی از قوانین اساسی برای تعیین یا حل لگاریتم وجود دارد، و همچنین تبدیل خود را. با استفاده از آنها، معادلات لگاریتمی ساخته می شوند، مشتقات وجود دارد، انتگرال ها حل می شوند و بسیاری از عملیات های دیگر انجام می شود. اساسا، راه حل لگاریتم خود را ساده شده است. در زیر فرمول ها و خواص اصلی است:

برای هر یک؛ a\u003e 0؛ ≠ 1 و برای هر x؛ y\u003e 0

یک log a b \u003d b - هویت اصلی لگاریتمی
1 \u003d 0 را وارد کنید
a \u003d 1 را وارد کنید
log a (x · y) \u003d log a x + log a y y
ورود X / Y \u003d log a x - log a y
1 / x \u003d -log a x را وارد کنید
ورود X P \u003d P Log A X
ورود K x \u003d 1 / k · log a x، در k ≠ 0
ورود x \u003d log a c x c
ورود x \u003d log b x / log b a - فرمول انتقال به یک پایگاه جدید
ورود x \u003d 1 / log x a

چگونگی حل لگاریتم ها - دستورالعمل گام به گام

برای شروع، معادله مورد نیاز را بنویسید.

لطفا توجه داشته باشید: اگر 10 در لگاریتم وجود داشته باشد، ضبط کوتاه می شود، یک لگاریتم دهدهی معلوم می شود. اگر ارزشش را داشته باشد عدد طبیعی E، سپس نوشتن، برش به یک لگاریتم طبیعی. در نظر دارد که نتیجه تمام لگاریتم ها درجه ای است که تعداد پایگاه ها به دریافت شماره B بر می گردد.

بلافاصله راه حل این است که این میزان را محاسبه کنیم. قبل از تصمیم گیری بیان با لگاریتم، باید با توجه به قانون، یعنی استفاده از فرمول ها، باید ساده شود. هویت های اصلی را می توان با بازگشت کمی در مقاله پیدا کرد.

لگاریتم تاشو و تفریق با دو عدد مختلف، اما با همان پایگاه ها، جایگزین یک لگاریتم با محصول یا تقسیم اعداد B و به ترتیب. در این مورد، شما می توانید انتقال به یک پایگاه دیگر را اعمال کنید (نگاه کنید به بالا).

اگر از عبارات برای ساده سازی لگاریتم استفاده می کنید، باید برخی محدودیت ها را در نظر بگیرید. و این است: پایه لگاریتم A تنها یک عدد مثبت است، اما برابر نیست. تعداد B، و همچنین باید صفر تر باشد.

موارد زمانی که ساده سازی بیان وجود دارد، شما قادر به محاسبه لگاریتم در یک فرم عددی نخواهید بود. این اتفاق می افتد که چنین بیان منطقی نیست، زیرا بسیاری از درجه ها اعداد غیر منطقی هستند. با این شرایط، درجه شماره را به عنوان یک رکورد لگاریتم ترک کنید.

لگاریتم شماره B (B\u003e 0) بر اساس A (A\u003e 0، A ≠ 1) - شاخصی از درجه ای که در آن شماره A باید برای دریافت b انجام شود.

لگاریتم تعداد B بر اساس 10 می تواند نوشته شود ال جی (ب)، و لگاریتم بر اساس E (لگاریتم طبیعی) - ln (b).

اغلب هنگام حل وظایف با لگاریتم ها استفاده می شود:

خواص لگاریتم

چهار پایه وجود دارد خواص لگاریتم.

اجازه دهید a\u003e 0، ≠ 1، x\u003e 0 و y\u003e 0.

املاک 1. لگاریتم کار می کند

لگاریتم کار می کند برابر با مجموع لگاریتم ها:

log a (x ⋅ y) \u003d ورود x + log a y y

املاک 2. لگاریتم خصوصی

لگاریتم خصوصی برابر با تفاوت در لگاریتم ها:

log a (x / y) \u003d log a x - log a y

املاک 3. لگاریتم

درجه لگاریتم درجه این برابر با درجه ای در لگاریتم است:

اگر پایه لگاریتم در درجه باشد، فرمول دیگر عمل می کند:

املاک 4. ریشه لگاریتم

این اموال را می توان از خواص لگاریتم درجه بدست آورد، زیرا ریشه درجه N-th برابر با 1 / n است:

فرمول انتقال از لگاریتم در یک پایه به لگاریتم با پایه دیگری

این فرمول نیز اغلب هنگام حل وظایف مختلف برای لگاریتمی استفاده می شود:

مورد خصوصی:

مقایسه لگاریتم ها (نابرابری)

اجازه دهید ما 2 توابع f (x) و g (x) تحت لگاریتم با همان پایگاه ها و بین آنها نشانه نابرابری است:

برای مقایسه آنها ابتدا باید به پایه لگاریتم A نگاه کنید:

اگر a\u003e 0، سپس f (x)\u003e g (x)\u003e 0
اگر 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

نحوه حل مشکلات مربوط به لگاریتم ها: نمونه ها

وظایف با لگاریتم در EGE در ریاضیات برای کلاس 11 در Task 5 و Task 7، شما می توانید وظایف را با راه حل های وب سایت ما در بخش های مربوطه پیدا کنید. همچنین، وظایف با لگاریتم ها در شوخی وظایف در ریاضیات یافت می شود. تمام نمونه هایی که می توانید از طریق سایت جستجو پیدا کنید.

لگاریتم چیست؟

لگگاریم همیشه یک موضوع پیچیده در نظر گرفته شده است دوره مدرسه ریاضیات تعاریف مختلفی از لگاریتم وجود دارد، اما اکثر کتاب های درسی به دلایلی از پیچیده ترین و ناموفق ترین آنها استفاده می کنند.

ما لگاریتم را به سادگی و واضح تعریف خواهیم کرد. برای انجام این کار، یک جدول بگذارید:

بنابراین، قبل از ایالات متحده.

LogaRithms - خواص، فرمول ها، چگونه برای حل

اگر شما یک عدد از خط پایین را مصرف کنید، می توانید به راحتی می توانید درجه ای را پیدا کنید که Deuce باید برای دریافت این شماره گرفته شود. به عنوان مثال، برای گرفتن 16، شما نیاز به دو برای ساخت درجه چهارم. و برای گرفتن 64، شما نیاز به دو نفر برای ساخت در درجه ششم. این از جدول دیده می شود.

و در حال حاضر - در واقع، تعریف لگاریتم:

بر اساس A در استدلال X، درجه ای است که در آن شماره A باید برای دریافت شماره X گرفته شود.

تعیین: ورود به سیستم X \u003d B، جایی که یک پایه است، X استدلال است، B - در واقع، آنچه برابر با لگاریتم است.

به عنوان مثال، 2 3 \u003d 8 ⇒Log 2 8 \u003d 3 (لگاریتم پایه 2 از شماره 8 سه، از 2 3 \u003d 8). با موفقیت همان موفقیت 2 64 \u003d 6، از 2 6 \u003d 64.

عملیات پیدا کردن لگاریتم شماره در یک پایگاه داده شده نامیده می شود. بنابراین، جدول ما را با یک رشته جدید تکمیل کنید:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ورود 2 2 \u003d 1	ورود 2 4 \u003d 2	ورود 2 8 \u003d 3	ورود 2 16 \u003d 4	ورود 2 32 \u003d 5	ورود 2 64 \u003d 6

متأسفانه، همه لگاریتم ها خیلی آسان نیستند. به عنوان مثال، سعی کنید ورود به سیستم 2 5. شماره 5 شماره 5 در جدول، اما منطق نشان می دهد که لگاریتم در جایی در بخش دروغ می گوید. از آنجا که 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعداد غیر منطقی نامیده می شوند: اعداد پس از کاما می تواند به بی نهایت نوشته شود و هرگز تکرار نشود. اگر لگاریتم غیر منطقی به دست آید، بهتر است آن را ترک کنید: ورود 2 5، log 3 8، log 5 100.

مهم است بدانیم که لگاریتم یک عبارت با دو متغیر (پایه و استدلال) است. بسیاری از آنها در ابتدا گیج می شوند که پایه ای قرار دارد و استدلال کجاست. برای جلوگیری از سوء تفاهم های آزار دهنده، فقط نگاهی به تصویر کنید:

قبل از ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. یاد آوردن: لگاریتم درجه استدر آن بنیاد باید برای دریافت یک استدلال انجام شود. این پایه ای است که در درجه ای ساخته شده است - در تصویر آن در قرمز برجسته شده است. به نظر می رسد که پایه همیشه در طبقه پایین است! این قانون فوق العاده من دانشجویانم را در درس اول می گویم - و هیچ سردرگمی ایجاد نمی شود.

نحوه شمارش لگاریتم

ما با تعریف رسیدگی کردیم - همچنان یاد می گیرد که LogaRithms را در نظر بگیریم، I.E. از علامت «ورود» خلاص شوید برای شروع، ما توجه داریم که دو واقعیت مهم از تعریف پیروی می کنند:

استدلال و پایه همیشه باید بیشتر از صفر باشد. این به دنبال تعیین درجه شاخص عقلانی است که تعریف لگاریتم کاهش می یابد.
پایه باید از واحد متفاوت باشد، زیرا واحد به هر دو درجه همچنان یکپارچگی باقی مانده است. به همین دلیل، سوال "چقدر واحد باید برای دریافت دوئل" محروم از معنا ایجاد شود. چنین درجه ای وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود منطقه مقادیر مجاز (OTZ). به نظر می رسد که لگاریتم عجیب و غریب به نظر می رسد مانند این: ورود به سیستم x \u003d b x\u003e 0، a\u003e 0، a ≠ 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی بر تعداد B (ارزش لگاریتم) وجود ندارد. به عنوان مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: ورود به سیستم 2 0.5 \u003d -1، زیرا 0.5 \u003d 2 -1.

با این حال، در حال حاضر ما تنها عبارات عددی را در نظر می گیریم، جایی که می دانیم لگاریتم OTZ مورد نیاز نیست. تمام محدودیت ها توسط کامپایلرهای وظایف مورد توجه قرار گرفته است. اما زمانی که معادلات لگاریتمی و نابرابری ها می روند، الزامات OTZ اجباری خواهد شد. در واقع، در پایه و استدلال، ساختارهای بسیار غیر منطقی می توانند ایستاده باشند، که لزوما با محدودیت های بالا مطابقت دارد.

در حال حاضر در نظر گرفتن طرح کلی محاسبات لگاریتم. این شامل سه مرحله است:

پایه A و Argument X را به صورت مدرک با حداقل پایه ممکن، یک واحد بزرگ ارسال کنید. در طول راه، بهتر است از شر کسرهای دهدهی خلاص شوید؛
حل نسبت به معادله متغیر B: x \u003d a b؛
شماره نتیجه B پاسخ خواهد بود.

این همه! اگر لگاریتم غیر منطقی باشد، در مرحله اول قابل مشاهده خواهد بود. الزاماتی که پایه بیشتر متحد بود بسیار مهم بود: احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. شبیه به S. بخش های دهدهی: اگر بلافاصله آنها را به عادی انتقال دهید، اشتباهات کمتر خواهد بود.

بیایید ببینیم چگونه این طرح بر روی نمونه های خاص کار می کند:

یک وظیفه. محاسبه لگاریتم: log 5 25

ارائه پایه و استدلال به عنوان درجه پنج: 5 \u003d 5 1؛ 25 \u003d 5 2؛

اجازه دهید ما و حل معادله:
ورود به سیستم 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ B \u003d 2؛

دریافت پاسخ: 2.

یک وظیفه. محاسبه لگاریتم:

یک وظیفه. محاسبه لگاریتم: log 4 64

تصور کنید مبنای و استدلال به عنوان درجه ای از twos: 4 \u003d 2 2؛ 64 \u003d 2 6؛
اجازه دهید ما و حل معادله:
ورود 4 64 \u003d B ⇒ (2 2) B \u003d 2 6 ⇒2 2B \u003d 2 6 2B \u003d 6 ⇒ B \u003d 3؛
دریافت پاسخ: 3.

یک وظیفه. محاسبه لگاریتم: ورود به سیستم 16 1

تصور کنید مبنای و استدلال به عنوان درجه ای از دو: 16 \u003d 2 4؛ 1 \u003d 2 0؛
اجازه دهید ما و حل معادله:
ورود 16 1 \u003d B ⇒ (2 4) B \u003d 2 0 ⇒2 4B \u003d 2 0 ⇒4B \u003d 0 ⇒ B \u003d 0؛
دریافت پاسخ: 0.

یک وظیفه. محاسبه لگاریتم: log 7 14

ارائه پایه و استدلال به عنوان درجه ای از هفت: 7 \u003d 7 1؛ 14 به شکل 7 درجه، از زمان 7 1 به نظر نمی رسد< 14 < 7 2 ;
از نقطه قبلی، این به این معنی است که لگاریتم در نظر گرفته نشده است؛
پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

سخنان کوچک به آخرین مثال. نحوه اطمینان از اینکه این شماره درجه دقیق شماره دیگری نیست؟ بسیار ساده - به اندازه کافی برای تجزیه آن بر روی عوامل ساده است. اگر حداقل دو عامل متفاوت در تجزیه وجود داشته باشد، تعداد درجه دقیق نیست.

یک وظیفه. پیدا کردن درجه دقیق شماره: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ چهارده.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - درجه دقیق، چرا که ضریب تنها یک است؛
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - این درجه دقیق نیست، زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2؛
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - درجه دقیق؛
35 \u003d 7 · 5 - دوباره درجه دقیق نیست؛
14 \u003d 7 · 2 - دوباره درجه دقیق؛

ما همچنین توجه داریم که اعداد ساده خود همیشه درجه دقیق خود هستند.

لگاریتم دهدهی

بعضی از لگاریتم ها اغلب با نام و نام خاص مواجه می شوند.

از X Argument یک لگاریتم بر اساس پایه 10، I.E. درجه ای که در آن شماره 10 باید برای دریافت شماره X نصب شود. تعیین: LG X.

به عنوان مثال، LG 10 \u003d 1؛ LG 100 \u003d 2؛ LG 1000 \u003d 3 - و غیره

از حالا به بعد، زمانی که کتاب درسی با عبارت مانند "یافتن LG 0.01" مواجه می شود، می داند: این یک تایپ نیست. این یک لگاریتم دهدهی است. با این حال، اگر شما برای چنین تعیین شده غیر معمول هستید، همیشه می توانید بازنویسی کنید:
lg x \u003d log 10 x

همه چیز درست است برای لگاریتم های معمولی برای دهدهی درست است.

لگاریتم طبیعی

یک لگاریتم دیگر وجود دارد که دارای تعیین خود است. به یک معنا، حتی مهمتر از دهدهی است. ما داریم صحبت می کنیم درباره لگاریتم طبیعی

از X Argument X یک لگاریتم مبتنی بر E، I.E. درجه ای که در آن تعداد E باید برای دریافت شماره X تنظیم شود. تعیین: ln x.

بسیاری از آنها می پرسند: چه چیز دیگری در شماره E؟ این یک عدد غیر منطقی است، ارزش دقیق آن برای پیدا کردن و نوشتن آن غیر ممکن است. من تنها ارقام اول خود را می دهم:
e \u003d 2،718281828459 ...

ما عمیق نخواهیم داد که این تعداد است و چرا شما نیاز دارید. فقط به یاد داشته باشید که E مبنای لگاریتم طبیعی است:
ln x \u003d log e x

بنابراین، ln e \u003d 1؛ ln e 2 \u003d 2؛ ln e 16 \u003d 16 - و غیره از سوی دیگر، LN 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر تعداد عقلانی غیر منطقی است. علاوه بر این، البته، واحدها: LN 1 \u003d 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های عادی درست هستند معتبر هستند.

همچنین ببینید:

لگاریتم خواص لگاریتم (درجه لگاریتم).

نحوه ارسال یک عدد به صورت لگاریتم؟

ما از تعریف لگاریتم استفاده می کنیم.

لگاریتم شاخصی از درجه ای است که باید پایه را برای دریافت شماره تحت علامت لگاریتم دریافت کرد.

بنابراین، برای نشان دادن تعداد مشخصی C به شکل یک لگاریتم بر اساس یک، لازم است که درجه ای با همان پایه زیر علامت لگاریتم به عنوان پایه لگاریتم، و از لحاظ درجه رکورد این شماره قرار دهید C:

در قالب لگاریتم شما می توانید هر عدد را تصور کنید - مثبت، منفی، عدد صحیح، کسری، منطقی، غیر منطقی:

به طوری که در شرایط استرس زا کنترل یا امتحان A و C اشتباه نمی کند، می توانید از چنین قانون حفظی استفاده کنید:

طبقه پایین پایین می رود، که در بالا، بالا بروید.

به عنوان مثال، شما باید شماره 2 را به عنوان یک لگاریتم بر اساس پایه 3 ارسال کنید.

ما دو عدد را داریم - 2 و 3. این اعداد پایه و اساس و شاخصی از درجه ای است که ما تحت نشانه لگاریتم بنویسیم. باقی مانده است که تعیین کنید که از این اعداد نیاز به نوشته شده، به پایه درجه، و که در نشانگر است.

پایه 3 در رکورد لگاریتم زیر پایین است، به این معنی است که وقتی ما دو را به شکل یک لگاریتم بر اساس پایه 3 نشان می دهیم، 3 همچنین به پایه بنویسیم.

2 در بالای سه برابر قرار دارد. و در درجه ای از دست دادن، ما سه نفر را می نویسیم، یعنی از لحاظ درجه:

لگاریتمی سطح اول.

لگاریتمی

لگاریتم یک عدد مثبت ب بر اساس آ.جایی که a\u003e 0، a ≠ 1، نشانگر درجه ای است که تعداد آن باید صادر شود آ.، بدست آوردن ب.

تعریف لگاریتم شما می توانید به طور خلاصه مانند این را ثبت کنید:

این برابری زمانی منصفانه است b\u003e 0، A\u003e 0، A ≠ 1. معمولا نامیده می شود هویت لگاریتمی
محل لگاریتم نامیده می شود لگاریتم

ویژگی های Logarov:

لگاریتم کار می کند:

لگاریتم خصوصی از بخش:

جایگزینی پایه لگاریتم:

لگاریتم:

ریشه لگاریتم:

لگاریتم با پایه قدرت:

اعشاری و لگاریتم های طبیعی.

لگاریتم دهدهی اعداد لگاریتم این شماره برای پایه 10 نامیده می شوند و نوشتن و nbsp lg ب
لگاریتم طبیعی اعداد لگاریتم این شماره را بر اساس e.جایی که e. - یک عدد غیر منطقی، تقریبا 2.7. در عین حال آنها LN را بنویسند ب.

سایر جبره ها و هندسه یادداشت ها

خواص اصلی لگاریتم

لگاریتم ها، مانند هر شماره، می توانند بسته بندی شوند، کسر و تبدیل شوند. اما از آنجا که لگاریتم ها تعداد زیادی عادی نیستند، قوانین خود را که نامیده می شود وجود دارد خواص اساسی.

این قوانین باید لزوما بدانند - هیچ وظیفه لگاریتمی جدی بدون آنها حل نمی شود. علاوه بر این، آنها بسیار کمی هستند - همه چیز را می توان در یک روز آموخت. بنابراین، ادامه دهید.

علاوه بر این و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم را با همان پایگاه ها در نظر بگیرید: ورود به سیستم X و ورود به سیستم Y. سپس آنها را می توان بسته بندی کرد و کسر کرد، و:

ورود X + log a y \u003d log a (x · y)؛
ورود X - log a y \u003d log a (x: y).

بنابراین، مقدار لگاریتم برابر با لگاریتم کار است و تفاوت لگاریتم خصوصی است. لطفا توجه داشته باشید: نقطه اصلی اینجاست زمینه های مشابه. اگر پایه ها متفاوت باشند، این قوانین کار نمی کنند!

این فرمول ها به محاسبه بیان لگاریتمی کمک می کنند حتی زمانی که قطعات فردی در نظر گرفته نمی شوند (درس "LogiRithM" را ببینید). نگاهی به نمونه ها - و مطمئن شوید:

ورود 6 4 + ورود 6 9.

از آنجا که پایگاه های لگاریتم یکسان هستند، ما از مجموع مبلغ استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log 2 48 - log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، با استفاده از فرمول تفاوت:
ورود 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log 3 135 - log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین ما داریم:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

همانطور که می بینید، عبارات اولیه از "Logarithms بد" تشکیل شده است، که به طور جداگانه به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شود. اما پس از تحول، تعداد کاملا طبیعی به دست می آید. بسیاری از این واقعیت ها ساخته شده اند. مقالات آزمون. اما کنترل چه چیزی است - اصطلاحات به طور کامل (گاهی اوقات - تقریبا بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

مدرک اجرایی از لگاریتم

در حال حاضر کمی پیچیده کار. اگر در پایه یا استدلال لگاریتم هزینه یک درجه باشد، چه؟ سپس شاخص این میزان را می توان از علامت لگاریتم خارج کرد با توجه به قوانین زیر:

آسان است که ببیند که آخرین قاعده دو نفر اول خود را دنبال می کند. اما بهتر است آن را به یاد داشته باشید، در بعضی موارد، میزان محاسبات را به طور قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، تمام این قوانین در هنگام انطباق با لگاریتم OTZ حس می کنند: A\u003e 0، a ≠ 1، x\u003e 0. و موارد دیگر: یادگیری برای اعمال تمام فرمول ها نه تنها از چپ به راست، بلکه بر خلاف، I.E. شما می توانید اعداد را به صورت لگاریتم، به لگاریتم خود برسانید.

نحوه حل لگاریتم

این اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log 7 49 6.

خلاص شدن از شر بحران در فرمول اول:
ورود 7 49 6 \u003d 6 · log 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که در نامزدی یک لگاریتم وجود دارد، پایه و استدلال که درجه دقیق است: 16 \u003d 2 4؛ 49 \u003d 7 2. ما داریم:

من فکر می کنم آخرین مثال نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا ناپدید شدند؟ قبل از سامو آخرین لحظه ما فقط با نام دهنده کار می کنیم. آنها مبنای و استدلال یک لگاریتم را به صورت درجه ارائه دادند و شاخص های انجام شده را انجام دادند - یک قطعه "سه طبقه" دریافت کردند.

حالا بیایید به بخش اساسی نگاه کنیم. شماره در عددی و نامزدها همان شماره است: log 2 7. از زمان ورود به سیستم 2 7 ≠ 0، ما می توانیم کسری را کاهش دهیم - 2/4 در نامزدی باقی می ماند. با توجه به قوانین ریاضی، چهار را می توان به عددی منتقل کرد، که انجام شد. نتیجه پاسخ بود: 2.

انتقال به یک پایگاه جدید

صحبت کردن درباره قوانین برای اضافه کردن و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها تنها با همان پایگاه ها کار می کنند. و اگر پایه ها متفاوت باشند چه؟ اگر درجه دقیق از همان تعداد دقیق نیست چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به نجات می آیند. ما آنها را در قالب قضیه فرمول می کنیم:

اجازه دهید LOGA A X داده شود. سپس برای هر تعداد C به طوری که C\u003e 0 و C ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر شما c \u003d x را قرار دهید، ما دریافت می کنیم:

از فرمول دوم به این معنی است که پایه و استدلال لگاریتم را می توان در مکان ها تغییر داد، اما در عین حال بیان "تبدیل به بیش از"، I.E. لگاریتم به نظر می رسد در نامزدی است.

این فرمول ها در عبارات عددی متعارف نادر هستند. ارزیابی چگونگی مناسب آنها، تنها زمانی امکان حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ممکن است.

با این حال، وظایفی وجود دارد که به طور کلی به عنوان یک انتقال به یک پایگاه جدید حل نمی شود. چند را در نظر بگیرید:

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log 5 16 · log 2 25.

توجه داشته باشید که استدلال های هر دو لگاریتم درجه دقیق هستند. من خلاصه خواهم کرد: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4Log 5 2؛ ورود 2 25 \u003d ورود 2 5 2 \u003d 2LOG 2 5؛

و در حال حاضر "معکوس" لگاریتم دوم:

از آنجا که کار از بازسازی چندگانه تغییر نمی کند، ما به آرامی چهار و دو را تغییر دادیم و سپس با لگاریتم ها مرتب شد.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log 9 100 · lg 3.

اساس و استدلال اول لگاریتم - درجه دقیق. ما آن را بنویسیم و از شاخص ها خلاص شویم:

در حال حاضر از لگاریتم اعشاری خلاص شوید، با تبدیل شدن به پایه جدید:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب، راه حل مورد نیاز برای ارسال یک عدد به عنوان یک لگاریتم برای یک پایه مشخص شده است.

در این مورد، فرمول ها به ما کمک خواهند کرد:

در اولین مورد، تعداد n شاخصی از میزان استدلال می شود. شماره N می تواند کاملا باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف ترجمه است. این نامیده می شود :.

در واقع، چه اتفاقی خواهد افتاد اگر تعداد B در چنین درجه ای باشد که تعداد B تا این میزان به تعداد A می دهد؟ راست: این همان شماره A را تبدیل می کند. با دقت این پاراگراف را دوباره بخوانید - بسیاری از آنها "آویزان" بر روی آن.

مانند فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید، هویت اصلی لگاریتمی گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که ورود 25 64 \u003d log 5 8 - فقط یک مربع از پایه و استدلال لگاریتم ساخته شده است. با توجه به قوانین برای ضرب درجه با همان پایه، ما دریافت می کنیم:

اگر کسی آگاه نیست، این یک وظیفه واقعی از ege 🙂 بود

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در نتیجه، من دو هویت را می دهم که خواص آن را دشوار می دانند، بلکه این نتیجه تعریف لگاریتم است. آنها به طور مداوم در وظایف یافت می شوند و، که تعجب آور است، حتی برای دانش آموزان پیشرفته ایجاد می شود.

ورود A \u003d 1 است. به یاد داشته باشید زمان و همیشه: لگاریتم بر روی هر پایه a از پایه بسیار برابر با یکی است.
1 \u003d 0 را وارد کنید پایه a ممکن است هر گونه حس، اما اگر استدلال یک واحد است - لگاریتم صفر است! از آنجا که 0 \u003d 1 یک نتیجه مستقیم از تعریف است.

این همه خواص است. اطمینان حاصل کنید که تمرین آنها را در عمل اعمال کنید! CHRIB را در ابتدای درس دانلود کنید، آن را چاپ کنید - و وظایف را حل کنید.

بنابراین، قبل از ایالات متحده. اگر شما یک عدد از خط پایین را مصرف کنید، می توانید به راحتی می توانید درجه ای را پیدا کنید که Deuce باید برای دریافت این شماره گرفته شود. به عنوان مثال، برای گرفتن 16، شما نیاز به دو برای ساخت درجه چهارم. و برای گرفتن 64، شما نیاز به دو نفر برای ساخت در درجه ششم. این از جدول دیده می شود.

و در حال حاضر - در واقع، تعریف لگاریتم:

لگاریتم بر پایه A از استدلال X درجه ای است که در آن شماره A باید برای دریافت شماره X گرفته شود.

تعیین: ورود به سیستم X \u003d B، جایی که یک پایه است، X استدلال است، B - در واقع، آنچه برابر با لگاریتم است.

به عنوان مثال، 2 3 \u003d 8 ⇒ ورود به سیستم 2 8 \u003d 3 (لگاریتم پایه 2 از شماره 8 سه، از 2 3 \u003d 8). با موفقیت همان موفقیت 2 64 \u003d 6، از 2 6 \u003d 64.

عملیات پیدا کردن لگاریتم شماره برای یک پایگاه داده شده لگاریتمی نامیده می شود. بنابراین، جدول ما را با یک رشته جدید تکمیل کنید:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ورود 2 2 \u003d 1	ورود 2 4 \u003d 2	ورود 2 8 \u003d 3	ورود 2 16 \u003d 4	ورود 2 32 \u003d 5	ورود 2 64 \u003d 6

متأسفانه، همه لگاریتم ها خیلی آسان نیستند. به عنوان مثال، سعی کنید ورود به سیستم 2 5 را پیدا کنید. اعداد 5 در جدول نیستند، اما منطق نشان می دهد که لگاریتم جایی در بخش قرار می گیرد. از آنجا که 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

استدلال و پایه همیشه باید بیشتر از صفر باشد. این به دنبال تعیین درجه شاخص عقلانی است که تعریف لگاریتم کاهش می یابد.
پایه باید از واحد متفاوت باشد، زیرا واحد به هر دو درجه همچنان یکپارچگی باقی مانده است. به همین دلیل، سوال "چقدر واحد باید برای دریافت دوئل" محروم از معنا ایجاد شود. چنین درجه ای وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود منطقه مقادیر مجاز (OTZ). به نظر می رسد که لگاریتم عجیب و غریب به نظر می رسد: ورود به سیستم x \u003d b ⇒ x\u003e 0، a\u003e 0، a ≠ 1.

در حال حاضر طرح کلی برای محاسبه لگاریتم ها را در نظر بگیرید. این شامل سه مرحله است:

پایه A و Argument X را به صورت مدرک با حداقل پایه ممکن، یک واحد بزرگ ارسال کنید. در طول راه، بهتر است از شر کسرهای دهدهی خلاص شوید؛
حل نسبت به معادله متغیر B: x \u003d a b؛
شماره نتیجه B پاسخ خواهد بود.

این همه! اگر لگاریتم غیر منطقی باشد، در مرحله اول قابل مشاهده خواهد بود. الزاماتی که پایه بیشتر متحد بود بسیار مهم بود: احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. به طور مشابه با کسری های دهدهی: اگر بلافاصله آنها را به طور عادی ترجمه کنید، خطاهای کمتر خواهد بود.