بزرگترین مقدار مشتق 2.1.1 2. مشتق تابع

مسئله B9 نموداری از یک تابع یا مشتق می دهد که باید یکی از کمیت های زیر را از آن تعیین کنید:

1. مقدار مشتق در نقطه ای x 0،
2. حداکثر یا حداقل امتیاز (امتیازهای افراطی)،
3. فواصل توابع افزایش و کاهش (فاصله های یکنواختی).

توابع و مشتقات ارائه شده در این مسئله همیشه پیوسته هستند و راه حل را بسیار آسان تر می کند. علیرغم اینکه این کار به بخش تجزیه و تحلیل ریاضی تعلق دارد، حتی ضعیف ترین دانش آموزان نیز می توانند آن را انجام دهند، زیرا در اینجا به دانش نظری عمیق نیاز نیست.

برای یافتن مقدار مشتق، نقاط افراطی و فواصل یکنواختی، الگوریتم های ساده و جهانی وجود دارد - همه آنها در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

شرایط مسئله B9 را با دقت بخوانید تا از اشتباهات احمقانه جلوگیری کنید: گاهی اوقات با متن های بسیار طولانی مواجه می شوید، اما چند شرط مهم وجود دارد که بر روند راه حل تأثیر می گذارد.

محاسبه مقدار مشتق. روش دو نقطه ای

اگر به مسئله نموداری از تابع f(x)، مماس بر این نمودار در نقطه ای x 0 داده شود، و برای یافتن مقدار مشتق در این نقطه لازم است، الگوریتم زیر اعمال می شود:

1. دو نقطه "مناسب" را در نمودار مماس پیدا کنید: مختصات آنها باید عدد صحیح باشد. بیایید این نقاط را به صورت A (x 1 ; y 1) و B (x 2 ; y 2) نشان دهیم. مختصات را به درستی بنویسید - این یک نکته کلیدی در راه حل است و هر اشتباهی در اینجا منجر به پاسخ نادرست می شود.
2. با دانستن مختصات، محاسبه افزایش آرگومان Δx = x 2 − x 1 و افزایش تابع Δy = y 2 − y 1 آسان است.
3. در نهایت، مقدار مشتق D = Δy/Δx را پیدا می کنیم. به عبارت دیگر، شما باید افزایش تابع را بر افزایش آرگومان تقسیم کنید - و این پاسخ خواهد بود.

اجازه دهید یک بار دیگر توجه کنیم: نقاط A و B را باید دقیقاً بر روی مماس جستجو کرد، نه در نمودار تابع f(x)، همانطور که اغلب اتفاق می افتد. خط مماس لزوماً شامل حداقل دو نقطه از این قبیل خواهد بود - در غیر این صورت مشکل به درستی فرموله نخواهد شد.

نقاط A (-3; 2) و B (-1; 6) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

بیایید مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

وظیفه. شکل نموداری از تابع y = f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 3) و B (3; 0) را در نظر بگیرید، افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

اکنون مقدار مشتق را پیدا می کنیم: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

وظیفه. شکل نموداری از تابع y = f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 2) و B (5; 2) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

باقی مانده است که مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

از آخرین مثال، می‌توانیم یک قانون را فرموله کنیم: اگر مماس موازی با محور OX باشد، مشتق تابع در نقطه مماس صفر است. در این مورد، شما حتی نیازی به شمارش چیزی ندارید - فقط به نمودار نگاه کنید.

محاسبه حداکثر و حداقل امتیاز

گاهی اوقات به جای نمودار یک تابع، مسئله B9 نموداری از مشتق را ارائه می دهد و نیاز به یافتن حداکثر یا حداقل نقطه تابع دارد. در این شرایط، روش دو نقطه ای بی فایده است، اما الگوریتم دیگری حتی ساده تر وجود دارد. ابتدا اجازه دهید اصطلاحات را تعریف کنیم:

1. نقطه x 0 حداکثر نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر در برخی از همسایگی های این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f(x 0) ≥ f(x).
2. نقطه x 0 حداقل نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر در همسایگی این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f(x 0) ≤ f(x).

برای یافتن حداکثر و حداقل امتیاز از نمودار مشتق، کافی است مراحل زیر را دنبال کنید:

1. نمودار مشتق را دوباره ترسیم کنید، تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. همانطور که تمرین نشان می دهد، داده های غیر ضروری فقط در تصمیم گیری دخالت می کنند. بنابراین، ما صفرهای مشتق را روی محور مختصات علامت گذاری می کنیم - و تمام.
2. نشانه های مشتق را در فواصل بین صفرها پیدا کنید. اگر برای نقطه ای x 0 معلوم شود که f'(x 0) ≠ 0، آنگاه فقط دو گزینه ممکن است: f'(x 0) ≥ 0 یا f'(x 0) ≤ 0. علامت مشتق است به راحتی می توان از ترسیم اصلی تعیین کرد: اگر نمودار مشتق بالای محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≥ 0. و بالعکس، اگر نمودار مشتق زیر محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≤ 0.
3. دوباره صفرها و نشانه های مشتق را بررسی می کنیم. جایی که علامت از منفی به مثبت تغییر می کند، حداقل نقطه است. برعکس، اگر علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، این حداکثر نقطه است. شمارش همیشه از چپ به راست انجام می شود.

این طرح فقط برای توابع پیوسته کار می کند - هیچ مورد دیگری در مشکل B9 وجود ندارد.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-5; 5]. حداقل نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم و فقط مرزها را رها کنیم [-5; 5] و صفرهای مشتق x = -3 و x = 2.5. ما همچنین به علائم توجه می کنیم:

بدیهی است که در نقطه x = -3 علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این حداقل امتیاز است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7]. حداکثر نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و فقط مرزها را باقی بگذاریم [-3; 7] و صفرهای مشتق x = −1.7 و x = 5. اجازه دهید علائم مشتق را در نمودار حاصل یادداشت کنیم. ما داریم:

بدیهی است که در نقطه x = 5 علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند - این حداکثر نقطه است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-6; 4]. تعداد حداکثر نقاط تابع f(x) متعلق به بخش [-4; 3].

از شرایط مسئله چنین استنباط می شود که کافی است تنها بخشی از نمودار را که توسط بخش محدود شده است در نظر بگیریم [-4; 3]. بنابراین، ما یک نمودار جدید می سازیم که روی آن فقط مرزها را علامت گذاری می کنیم [-4; 3] و صفرهای مشتق داخل آن. یعنی، نقاط x = -3.5 و x = 2. دریافت می کنیم:

در این نمودار فقط یک نقطه حداکثر x = 2 وجود دارد. در این نقطه است که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند.

یک نکته کوچک در مورد نقاط با مختصات غیر صحیح. به عنوان مثال، در مسئله آخر نقطه x = -3.5 در نظر گرفته شد، اما با همان موفقیت می توانیم x = -3.4 را بگیریم. اگر مشکل به درستی جمع آوری شده باشد، چنین تغییراتی نباید بر پاسخ تأثیر بگذارد، زیرا نکات "بدون محل اقامت ثابت" به طور مستقیم در حل مشکل شرکت نمی کنند. البته، این ترفند با امتیازهای صحیح کار نمی کند.

یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش

در چنین مسئله ای، مانند نقاط حداکثر و حداقل، پیشنهاد می شود از نمودار مشتق برای یافتن مناطقی که خود تابع در آنها افزایش یا کاهش می یابد، استفاده شود. ابتدا بیایید تعریف کنیم که افزایش و کاهش چیست:

1. اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره، یک تابع f(x) در یک قطعه افزایش می‌یابد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) . به عبارت دیگر، هر چه مقدار آرگومان بزرگتر باشد، مقدار تابع بزرگتر است.
2. تابع f(x) در یک پاره کاهشی نامیده می شود که برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره جمله زیر درست باشد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). آن ها مقدار آرگومان بزرگتر مربوط به مقدار تابع کوچکتر است.

اجازه دهید شرایط کافی برای افزایش و کاهش را فرموله کنیم:

1. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه افزایش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه مثبت باشد، یعنی. f'(x) ≥ 0.
2. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه کاهش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه منفی باشد، یعنی. f’(x) ≤ 0.

بیایید این اظهارات را بدون مدرک بپذیریم. بنابراین، ما طرحی را برای یافتن فواصل افزایش و کاهش به دست می آوریم که از بسیاری جهات شبیه الگوریتم محاسبه نقاط اکستریموم است:

1. تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. در نمودار اصلی مشتق، ما در درجه اول به صفرهای تابع علاقه داریم، بنابراین فقط آنها را ترک می کنیم.
2. علائم مشتق را در فواصل بین صفرها مشخص کنید. در جایی که f’(x) ≥ 0 باشد، تابع افزایش می یابد و در جایی که f’(x) ≤ 0 باشد، کاهش می یابد. اگر مشکل محدودیت‌هایی را روی متغیر x ایجاد کند، آن‌ها را در نمودار جدید علامت‌گذاری می‌کنیم.
3. اکنون که رفتار تابع و محدودیت ها را می دانیم، باقی مانده است که کمیت مورد نیاز در مسئله را محاسبه کنیم.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7.5]. فواصل کاهش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود مجموع اعداد صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

طبق معمول، بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و مرزها را علامت گذاری کنیم [-3; 7.5]، و همچنین صفرهای مشتق x = -1.5 و x = 5.3. سپس نشانه های مشتق را یادداشت می کنیم. ما داریم:

از آنجایی که مشتق در بازه (1.5-) منفی است، این بازه تابع کاهشی است. باقی مانده است که تمام اعداد صحیحی که در این بازه هستند جمع شوند:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-10; 4]. بازه های افزایش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را مشخص کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم. بگذارید فقط مرزها را رها کنیم [-10; 4] و صفرهای مشتق، که این بار چهار عدد از آنها وجود داشت: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. بیایید علائم مشتق را علامت‌گذاری کنیم و تصویر زیر را دریافت کنیم:

ما به فواصل افزایش تابع علاقه داریم، یعنی. مانند جایی که f'(x) ≥ 0. دو بازه از این قبیل در نمودار وجود دارد: (-8؛ -6) و (-3؛ 2). بیایید طول آنها را محاسبه کنیم:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

از آنجایی که باید طول بزرگترین بازه ها را پیدا کنیم، مقدار l 2 = 5 را به عنوان پاسخ یادداشت می کنیم.

در این میان ( آ،ب)، آ ایکس- یک نقطه به طور تصادفی انتخاب شده در یک بازه مشخص است. بیایید استدلال کنیم ایکس افزایشΔx (مثبت یا منفی).

تابع y =f(x) افزایشی Δу برابر با:

Δy = f(x + Δx) -f(x).

در بی نهایت کوچک Δx افزایشΔy نیز بی نهایت کوچک است.

مثلا:

بیایید حل مشتق یک تابع را با استفاده از مثال یک جسم آزادانه در حال سقوط در نظر بگیریم.

از آنجایی که t 2 = t l + Δt، پس

.

پس از محاسبه حد، متوجه می شویم:

نماد t 1 برای تأکید بر ثبات t در هنگام محاسبه حد تابع معرفی شده است. از آنجایی که t 1 یک مقدار زمانی دلخواه است، شاخص 1 را می توان نادیده گرفت. سپس دریافت می کنیم:

مشاهده می شود که سرعت vخوشم اومد از روشت س، وجود دارد تابعزمان. نوع عملکرد vکاملاً به نوع عملکرد بستگی دارد س، بنابراین تابع سانگار در حال "تولید" یک تابع است v. از این رو نام " تابع مشتق».

یکی دیگر را در نظر بگیرید مثال.

مقدار مشتق تابع را پیدا کنید:

y = x 2در x = 7.

راه حل. در x = 7ما داریم y=7 2 = 49. بیایید استدلال کنیم ایکسافزایش Δ ایکس. استدلال برابر خواهد شد 7 + Δ ایکس، و تابع مقدار را دریافت می کند (7 + Δ x) 2.

دوستان عزیز! گروه وظایف مربوط به مشتق شامل وظایف است - شرط یک نمودار از یک تابع، چندین نقطه در این نمودار را نشان می دهد و سؤال این است:

مشتق بزرگترین (کوچکترین) در کدام نقطه است؟

به طور خلاصه تکرار می کنیم:

مشتق در یک نقطه برابر است با شیب مماس عبور از آناین نقطه در نمودار

Uضریب سراسری مماس به نوبه خود برابر با مماس زاویه میل این مماس است.

*این به زاویه بین مماس و محور x اشاره دارد.

1. در فواصل افزایش تابع، مشتق دارای مقدار مثبت است.

2. در فواصل کاهش آن، مشتق ارزش منفی دارد.

طرح زیر را در نظر بگیرید:

در نقاط 1،2،4، مشتق تابع دارای مقدار منفی است، زیرا این نقاط به فواصل کاهشی تعلق دارند.

در نقاط 3،5،6، مشتق تابع دارای ارزش مثبت است، زیرا این نقاط به فواصل افزایشی تعلق دارند.

همانطور که می بینید، همه چیز با معنای مشتق مشخص است، یعنی تعیین اینکه چه علامتی (مثبت یا منفی) در نقطه خاصی از نمودار دارد اصلاً دشوار نیست.

علاوه بر این، اگر به صورت ذهنی در این نقاط مماس بسازیم، خواهیم دید که خطوط مستقیمی که از نقاط 3، 5 و 6 می گذرند، زاویه هایی با محور oX در محدوده 0 تا 90 o تشکیل می دهند و خطوط مستقیمی که از نقاط 1، 2 و 4 عبور می کنند، تشکیل می دهند. با محور oX زاویه ها از 90 o تا 180 درجه متغیر است.

*رابطه واضح است: مماس هایی که از نقاطی که به فواصل توابع افزایشی می گذرند، زوایای حاد را با محور oX تشکیل می دهند، مماس هایی که از نقاطی که به فواصل توابع کاهشی می گذرند، زوایای مبهمی را با محور oX تشکیل می دهند.

حالا سوال مهم!

ارزش مشتق چگونه تغییر می کند؟ به هر حال، مماس در نقاط مختلف نمودار یک تابع پیوسته، بسته به اینکه از کدام نقطه نمودار عبور کند، زوایای مختلفی را تشکیل می دهد.

*یا به زبان ساده، مماس بیشتر به صورت «افقی» یا «عمودی» قرار دارد. نگاه کن:

خطوط مستقیم زاویه هایی را با محور oX از 0 تا 90 o تشکیل می دهند

خطوط مستقیم زاویه هایی را با محور oX از 90 درجه تا 180 درجه تشکیل می دهند.

بنابراین، اگر سوالی دارید:

- در کدام یک از نقاط داده شده در نمودار، مشتق کمترین مقدار را دارد؟

- در کدام یک از نقاط داده شده در نمودار، مشتق بیشترین مقدار را دارد؟

سپس برای پاسخ باید فهمید که چگونه مقدار مماس زاویه مماس در محدوده 0 تا 180 درجه تغییر می کند.

*همانطور که قبلا ذکر شد، مقدار مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه میل مماس بر محور oX.

مقدار مماس به صورت زیر تغییر می کند:

هنگامی که زاویه شیب خط مستقیم از 0 درجه به 90 درجه تغییر می کند، مقدار مماس، و بنابراین مشتق، بر این اساس از 0 به +∞ تغییر می کند.

هنگامی که زاویه شیب خط مستقیم از 90 درجه به 180 درجه تغییر می کند، مقدار مماس، و بنابراین مشتق، بر این اساس -∞ به 0 تغییر می کند.

این را می توان به وضوح از نمودار تابع مماس مشاهده کرد:

به زبان ساده:

در زاویه شیب مماس از 0 تا 90 درجه

هرچه به 0 o نزدیکتر باشد، مقدار مشتق نزدیک به صفر (در سمت مثبت) بیشتر خواهد بود.

هر چه زاویه به 90 درجه نزدیکتر باشد، مقدار مشتق بیشتر به سمت +∞ افزایش می یابد.

با زاویه شیب مماس از 90 درجه تا 180 درجه

هرچه به 90 o نزدیک‌تر باشد، مقدار مشتق به سمت –∞ کاهش می‌یابد.

هر چه زاویه به 180 درجه نزدیکتر باشد، مقدار مشتق نزدیک به صفر (در سمت منفی) بیشتر خواهد بود.

317543. شکل نموداری از تابع y = را نشان می دهد f(ایکس) و نقاط مشخص شده اند–2، –1، 1، 2. مشتق در کدام یک از این نقاط بیشترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

ما چهار نقطه داریم: دو تای آنها مربوط به بازه هایی هستند که تابع در آنها کاهش می یابد (اینها نقاط -1 و 1 هستند) و دو تای آنها به بازه هایی که تابع در آنها افزایش می یابد (اینها نقاط -2 و 2 هستند).

بلافاصله می توانیم نتیجه بگیریم که در نقاط -1 و 1 مشتق دارای ارزش منفی و در نقاط -2 و 2 دارای مقدار مثبت است. بنابراین، در این مورد، لازم است نقاط -2 و 2 را تجزیه و تحلیل کرد و مشخص کرد که کدام یک از آنها بیشترین مقدار را خواهد داشت. بیایید مماس هایی بسازیم که از نقاط مشخص شده عبور می کنند:

مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم a و محور آبسیسا بیشتر از مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم b و این محور خواهد بود. این به این معنی است که مقدار مشتق در نقطه -2 بزرگترین خواهد بود.

بیایید به سوال زیر پاسخ دهیم: در کدام نقطه -2، -1، 1 یا 2 مقدار مشتق منفی ترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

مشتق در نقاطی که به فواصل کاهشی تعلق دارند مقدار منفی خواهد داشت، بنابراین اجازه دهید نقاط -2 و 1 را در نظر بگیریم.

می بینیم که زاویه منفرد بین خط مستقیم b و محور oX "نزدیک تر" به 180 است. O بنابراین مماس آن بیشتر از مماس زاویه تشکیل شده توسط خط مستقیم a و محور oX خواهد بود.

بنابراین، در نقطه x = 1، مقدار مشتق بزرگترین منفی خواهد بود.

317544. شکل نمودار تابع y = را نشان می دهد f(ایکس) و نقاط مشخص شده اند–2، –1، 1، 4. مشتق در کدام یک از این نقاط کوچکترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

ما چهار نقطه داریم: دو تای آنها مربوط به فواصل زمانی است که تابع کاهش می یابد (اینها نقاط -1 و 4 هستند) و دو نقطه به فواصل زمانی که تابع افزایش می یابد (اینها نقاط -2 و 1 هستند).

بلافاصله می توانیم نتیجه بگیریم که در نقاط -1 و 4 مشتق دارای ارزش منفی و در نقاط -2 و 1 دارای مقدار مثبت است. بنابراین، در این مورد، لازم است نقاط -1 و 4 را تجزیه و تحلیل کرد و مشخص کرد که کدام یک از آنها کمترین مقدار را خواهد داشت. بیایید مماس هایی بسازیم که از نقاط مشخص شده عبور می کنند:

مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم a و محور آبسیسا بیشتر از مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم b و این محور خواهد بود. این بدان معنی است که مقدار مشتق در نقطه x = 4 کوچکترین خواهد بود.

جواب: 4

امیدوارم که شما را با حجم نوشته‌ها «سربار» نکرده باشم. در واقع، همه چیز بسیار ساده است، فقط باید ویژگی های مشتق، معنای هندسی آن و چگونگی تغییر مقدار مماس زاویه از 0 تا 180 درجه را درک کنید.

1. ابتدا نشانه های مشتق را در این نقاط (+ یا -) مشخص کنید و نقاط لازم را (بسته به سوال مطرح شده) انتخاب کنید.

2. در این نقاط مماس بسازید.

3. با استفاده از نمودار تانگزوئید، زوایا و نمایش را به صورت شماتیک علامت گذاری کنیداسکندر.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

سلام! بیایید آزمون یکپارچه دولتی پیش رو را با آمادگی سیستماتیک با کیفیت بالا و پشتکار در سنگ زنی سنگ گرانیت علم بزنیم!!! که دردر پایان پست یک کار مسابقه وجود دارد، اولین نفر باشید! در یکی از مقالات این قسمت من و شما که در آن نموداری از تابع آورده شده است و سوالات مختلفی در مورد اکسترم ها، فواصل افزایش (کاهش) و موارد دیگر مطرح شده است.

در این مقاله به بررسی مسائل موجود در آزمون دولتی واحد ریاضی می پردازیم که در آن نموداری از مشتق یک تابع ارائه شده و سوالات زیر مطرح می شود:

1. در کدام نقطه از یک بخش معین، تابع بزرگترین (یا کوچکترین) مقدار را می گیرد.

2. تعداد حداکثر (یا حداقل) نقاط تابع متعلق به یک بخش معین را بیابید.

3. تعداد نقاط انتهایی تابع متعلق به یک قطعه معین را بیابید.

4. نقطه انتهایی تابع متعلق به بخش داده شده را پیدا کنید.

5. بازه های تابع افزایش (یا کاهش) را بیابید و در پاسخ مجموع نقاط صحیح موجود در این بازه ها را مشخص کنید.

6. فواصل افزایش (یا کاهش) تابع را بیابید. در پاسخ خود، طول بزرگترین این بازه ها را مشخص کنید.

7. تعداد نقاطی را بیابید که مماس نمودار تابع با خطی به شکل y = kx + b موازی یا منطبق است.

8. آبسیسا نقطه ای را که مماس نمودار تابع با محور آبسیسا موازی یا منطبق بر آن است را بیابید.

ممکن است سؤالات دیگری وجود داشته باشد، اما اگر متوجه شوید مشکلی برای شما ایجاد نخواهد کرد (پیوندهایی به مقالاتی ارائه شده است که اطلاعات لازم برای راه حل را ارائه می دهند، توصیه می کنم آنها را تکرار کنید).

اطلاعات اولیه (به طور خلاصه):

1. مشتق در فواصل افزایشی دارای علامت مثبت است.

اگر مشتق در نقطه معینی از یک بازه مشخص دارای مقدار مثبت باشد، نمودار تابع در این بازه افزایش می یابد.

2. در فواصل کاهشی، مشتق دارای علامت منفی است.

اگر مشتق در نقطه معینی از یک بازه معین دارای مقدار منفی باشد، نمودار تابع در این بازه کاهش می یابد.

3. مشتق در نقطه x برابر است با شیب مماس رسم شده به نمودار تابع در همان نقطه.

4. در نقاط منتهی (حداکثر - حداقل) تابع، مشتق برابر با صفر است. مماس بر نمودار تابع در این نقطه موازی با محور x است.

این را باید به وضوح فهمید و به خاطر بسپارید!!!

نمودار مشتق بسیاری از مردم را گیج می کند. برخی افراد ناخواسته آن را با نمودار خود تابع اشتباه می گیرند. بنابراین، در چنین ساختمان‌هایی که می‌بینید یک نمودار داده می‌شود، فوراً توجه خود را در شرایط به آنچه داده می‌شود متمرکز کنید: نمودار تابع یا نمودار مشتق تابع؟

اگر نموداری از مشتق یک تابع است، آن را به عنوان "بازتاب" خود تابع در نظر بگیرید که به سادگی اطلاعاتی در مورد آن تابع به شما می دهد.

وظیفه را در نظر بگیرید:

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-2;21) تعریف شده است.

به سوالات زیر پاسخ خواهیم داد:

1. تابع در کدام نقطه از قطعه قرار دارد f(ایکس)بیشترین ارزش را می گیرد

در یک بازه معین، مشتق یک تابع منفی است، به این معنی که تابع در این بازه کاهش می یابد (از مرز سمت چپ بازه به سمت راست کاهش می یابد). بنابراین، بیشترین مقدار تابع در مرز سمت چپ قطعه، یعنی در نقطه 7 به دست می آید.

جواب: 7

2. تابع در کدام نقطه از قطعه قرار دارد f(ایکس)

از این نمودار مشتق می توان موارد زیر را بیان کرد. در یک بازه معین، مشتق تابع مثبت است، به این معنی که تابع در این بازه افزایش می یابد (از مرز سمت چپ بازه به سمت راست افزایش می یابد). بنابراین، کوچکترین مقدار تابع در مرز سمت چپ بخش، یعنی در نقطه x = 3 به دست می آید.

پاسخ: 3

3. تعداد حداکثر نقاط تابع را بیابید f(ایکس)

حداکثر امتیاز مربوط به نقاطی است که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند. بیایید در نظر بگیریم که علامت به این ترتیب کجا تغییر می کند.

در قسمت (3;6) مشتق مثبت و در قسمت (6;16) منفی است.

در قسمت (16;18) مشتق مثبت و در قسمت (18;20) منفی است.

بنابراین، در یک بخش معین، تابع دارای دو نقطه حداکثر x = 6 و x = 18 است.

جواب: 2

4. تعداد حداقل نقاط تابع را بیابید f(ایکس)، متعلق به بخش

حداقل نقاط مربوط به نقاطی است که علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. مشتق ما در بازه (0;3) منفی و در بازه (3;4) مثبت است.

بنابراین، در بخش تابع فقط یک نقطه حداقل x = 3 دارد.

*در نوشتن پاسخ دقت کنید - تعداد امتیازها ثبت می شود نه مقدار x؛ چنین اشتباهی ممکن است به دلیل بی توجهی انجام شود.

پاسخ 1

5. تعداد نقاط انتهایی تابع را بیابید f(ایکس)، متعلق به بخش

لطفاً توجه داشته باشید که چه چیزی را باید پیدا کنید تعدادنقاط extremum (اینها هم حداکثر و هم حداقل امتیاز هستند).

نقاط افراطی مربوط به نقاطی است که علامت مشتق تغییر می کند (از مثبت به منفی یا برعکس). در نمودار داده شده در شرط، اینها صفرهای تابع هستند. مشتق در نقاط 3، 6، 16، 18 ناپدید می شود.

بنابراین، تابع دارای 4 نقطه افراطی در قطعه است.

جواب: 4

6. فواصل افزایش تابع را بیابید f(ایکس)

فواصل افزایش این تابع f(ایکس)مربوط به فواصلی است که مشتق آن مثبت است، یعنی فواصل (3;6) و (16;18). لطفاً توجه داشته باشید که مرزهای بازه در آن گنجانده نشده است (پرانتزهای گرد - مرزها در فاصله گنجانده نشده اند، براکت های مربع - شامل). این فواصل شامل نقاط صحیح 4، 5، 17 است. مجموع آنها عبارت است از: 4 + 5 + 17 = 26

جواب: 26

7. بازه های تابع کاهشی را بیابید f(ایکس)در یک بازه زمانی معین در پاسخ خود مجموع نقاط صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

کاهش فواصل یک تابع f(ایکس)مربوط به بازه هایی است که مشتق تابع منفی است. در این مشکل اینها فواصل (-2;3)، (6;16)، (18:21) هستند.

این بازه ها شامل نقاط صحیح زیر هستند: –1، 0، 1، 2، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 19، 20. مجموع آنها برابر است با:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

جواب: 140

*به شرط توجه کنید که آیا حدود در فاصله لحاظ شده است یا خیر. اگر مرزها گنجانده شوند، در فواصل در نظر گرفته شده در فرآیند حل، این مرزها نیز باید در نظر گرفته شوند.

8. فواصل افزایش تابع را بیابید f(ایکس)

فواصل افزایش عملکرد f(ایکس)مربوط به فواصل زمانی است که مشتق تابع مثبت است. قبلاً به آنها اشاره کردیم: (3؛ 6) و (16:18). بزرگترین آنها فاصله (3;6) و طول آن 3 است.

پاسخ: 3

9. بازه های تابع کاهشی را بیابید f(ایکس). در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را مشخص کنید.

کاهش فواصل یک تابع f(ایکس)مربوط به بازه هایی است که مشتق تابع منفی است. قبلاً آنها را نشان دادیم؛ اینها فواصل (-2;3)، (6;16)، (18;21)، طول آنها به ترتیب 5، 10، 3 است.

طول بزرگترین 10 است.

جواب: 10

10. تعداد نقاط مماس بر نمودار تابع را بیابید f(ایکس)موازی یا منطبق با خط مستقیم y = 2x + 3.

مقدار مشتق در نقطه مماس برابر با شیب مماس است. از آنجایی که مماس با خط مستقیم y = 2x + 3 موازی است یا با آن منطبق است، ضرایب زاویه ای آنها برابر با 2 است. این بدان معنی است که باید تعداد نقاطی را که در آنها y'(x 0) = 2 است، پیدا کرد. از نظر هندسی، این مربوط به تعداد نقاط تقاطع نمودار مشتق با خط مستقیم y = 2 است. 4 نقطه از این قبیل در این فاصله وجود دارد.

جواب: 4

11. نقطه منتهی تابع را پیدا کنید f(ایکس)، متعلق به بخش

نقطه منتهی تابع نقطه ای است که مشتق آن برابر با صفر است و در مجاورت این نقطه مشتق تغییر علامت می دهد (از مثبت به منفی یا بالعکس). در بخش، نمودار مشتق محور x را قطع می کند، مشتق علامت را از منفی به مثبت تغییر می دهد. بنابراین، نقطه x = 3 یک نقطه افراطی است.

پاسخ: 3

12. آبسیسا نقاطی را که مماس های نمودار y = f (x) با محور آبسیسا موازی یا منطبق بر آن هستند را بیابید. در پاسخ خود بزرگترین آنها را مشخص کنید.

مماس بر نمودار y = f (x) می تواند موازی با محور آبسیسا یا منطبق با آن باشد، فقط در نقاطی که مشتق برابر با صفر است (اینها می توانند نقاط انتهایی یا نقاط ثابتی باشند که مشتق در مجاورت آنها قرار دارند. علامت آن را تغییر ندهید). این نمودار نشان می دهد که مشتق در نقاط 3، 6، 16،18 صفر است. بزرگترین آنها 18 است.

شما می توانید استدلال خود را به این ترتیب ساختار دهید:

مقدار مشتق در نقطه مماس برابر با شیب مماس است. از آنجایی که مماس موازی یا منطبق با محور x است، شیب آن 0 است (در واقع، مماس زاویه صفر درجه صفر است). بنابراین، ما به دنبال نقطه ای هستیم که در آن شیب برابر با صفر است و بنابراین مشتق برابر با صفر است. مشتق در نقطه ای که نمودار آن محور x را قطع می کند برابر با صفر است و اینها نقاط 3، 6، 16،18 هستند.

جواب: 18

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-8;4) تعریف شده است. تابع در کدام نقطه از بخش [–7;–3] قرار دارد f(ایکس)کمترین مقدار را می گیرد.

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-7;14) تعریف شده است. تعداد حداکثر نقاط تابع را بیابید f(ایکس)، متعلق به بخش [–6;9].

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (6-18) تعریف شده است. تعداد حداقل نقاط تابع را بیابید f(ایکس)، متعلق به بخش [–13;1].

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-11; -11) تعریف شده است. تعداد نقاط انتهایی تابع را بیابید f(ایکس)، متعلق به بخش [–10; -10].

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-7;4) تعریف شده است. فواصل افزایش تابع را بیابید f(ایکس). در پاسخ خود مجموع نقاط صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-5;7) تعریف شده است. فواصل تابع کاهشی را بیابید f(ایکس). در پاسخ خود مجموع نقاط صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

شکل یک نمودار را نشان می دهد y =f'(ایکس)- مشتق از یک تابع f(ایکس)، در بازه (-11;3) تعریف شده است. فواصل افزایش تابع را بیابید f(ایکس). در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را مشخص کنید.

F شکل یک نمودار را نشان می دهد

شرایط مشکل یکسان است (که در نظر گرفتیم). مجموع سه عدد را پیدا کنید:

1. مجموع مجذورهای منتهی تابع f (x).

2. تفاوت مجذور مجموع حداکثر نقاط و مجموع حداقل نقاط تابع f (x).

3. تعداد مماس های f (x) موازی با خط مستقیم y = –3x + 5.

اولین کسی که پاسخ صحیح را بدهد یک جایزه تشویقی 150 روبلی دریافت می کند. پاسخ های خود را در نظرات بنویسید. اگر این اولین نظر شما در وبلاگ باشد، بلافاصله ظاهر نمی شود، اما کمی دیرتر (نگران نباشید، زمان نوشتن نظر ثبت می شود).

موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیتسیخ.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

سرگئی نیکیفوروف

اگر مشتق یک تابع در یک بازه علامت ثابت داشته باشد و خود تابع روی مرزهای آن پیوسته باشد، نقاط مرزی به هر دو بازه افزایش و کاهش اضافه می شوند که کاملاً با تعریف توابع افزایش و کاهش مطابقت دارد.

فریت یامایف 26.10.2016 18:50

سلام. چگونه (بر چه اساسی) می توان گفت در نقطه ای که مشتق برابر با صفر است، تابع افزایش می یابد. دلایل بیاورید وگرنه فقط هوس یک نفره با چه قضیه ای؟ و همچنین اثبات. متشکرم.

حمایت کردن

مقدار مشتق در یک نقطه ارتباط مستقیمی با افزایش تابع در بازه زمانی ندارد. به عنوان مثال، توابع را در نظر بگیرید - همه آنها در بازه زمانی افزایش می یابند

ولادلن پیساروف 02.11.2016 22:21

اگر تابعی در بازه (a;b) در حال افزایش باشد و در نقاط a و b تعریف و پیوسته باشد، در بازه افزایش می یابد. آن ها نقطه x=2 در این بازه گنجانده شده است.

اگرچه، به عنوان یک قاعده، افزایش و کاهش نه در یک بخش، بلکه در یک بازه در نظر گرفته می شود.

اما در خود نقطه x=2 تابع یک حداقل محلی دارد. و چگونه به کودکان توضیح دهیم که وقتی به دنبال نقاط افزایش (کاهش) هستند، نقاط اکستروم موضعی را نمی شماریم، بلکه در فواصل افزایش (کاهش) وارد می کنیم.

با توجه به اینکه بخش اول آزمون دولتی یکپارچه برای "گروه میانی مهدکودک" است، پس احتمالاً چنین تفاوت های ظریف بیش از حد است.

به طور جداگانه، با تشکر فراوان از همه کارکنان برای "حل آزمون یکپارچه دولتی" - یک راهنمای عالی.

سرگئی نیکیفوروف

اگر از تعریف تابع افزایش/کاهش شروع کنیم، می توان توضیح ساده ای به دست آورد. به شما یادآوری می‌کنم که صدای آن به این صورت است: یک تابع افزایش/کاهش در یک بازه زمانی نامیده می‌شود که آرگومان بزرگ‌تر تابع با مقدار بزرگتر/کوچکتر تابع مطابقت داشته باشد. این تعریف به هیچ وجه از مفهوم مشتق استفاده نمی کند، بنابراین سؤالاتی در مورد نقاطی که مشتق ناپدید می شود نمی تواند ایجاد شود.

ایرینا ایشماکوا 20.11.2017 11:46

عصر بخیر. در اینجا در نظرات من باورهایی را می بینم که مرزها باید گنجانده شوند. فرض کنید من با این موافقم. اما لطفاً به راه حل خود برای مشکل 7089 نگاه کنید. در آنجا، هنگام تعیین فواصل افزایشی، مرزها لحاظ نمی شوند. و این روی پاسخ تاثیر می گذارد. آن ها راه حل های وظایف 6429 و 7089 با یکدیگر تناقض دارند. لطفا این وضعیت را روشن کنید.

الکساندر ایوانف

وظایف 6429 و 7089 سوالات کاملا متفاوتی دارند.

یکی در مورد افزایش فواصل و دیگری در مورد فواصل با مشتق مثبت است.

هیچ تناقضی وجود ندارد.

مادون ها در فواصل افزایش و کاهش قرار می گیرند، اما نقاطی که مشتق در آنها برابر با صفر است، در فواصل مثبت مشتق وارد نمی شوند.

A Z 28.01.2019 19:09

همکاران، مفهوم افزایش در یک نقطه وجود دارد

(به عنوان مثال به Fichtenholtz مراجعه کنید)

و درک شما از افزایش در x=2 برخلاف تعریف کلاسیک است.

افزایش و کاهش یک فرآیند است و من دوست دارم به این اصل پایبند باشم.

در هر بازه ای که حاوی نقطه x=2 باشد، تابع افزایش نمی یابد. بنابراین، گنجاندن یک نقطه معین x=2 یک فرآیند خاص است.

معمولاً برای جلوگیری از سردرگمی، درج انتهای فواصل به طور جداگانه مورد بحث قرار می گیرد.

الکساندر ایوانف

به یک تابع y=f(x) گفته می شود که در یک بازه زمانی معین در حال افزایش است اگر مقدار بزرگتری از آرگومان از این بازه با مقدار بزرگتری از تابع مطابقت داشته باشد.

در نقطه x=2 تابع قابل تمایز است و در بازه (2؛ 6) مشتق مثبت است که به معنای روی بازه است.