عدد پی چیست یا ریاضیدانان چگونه قسم می‌خورند؟ چه کسی عدد پی را کشف کرد؟ تاریخچه محاسبات عدد n چیست؟

13 ژانویه 2017

*******

چرخ لادا پریورا، حلقه ازدواج و نعلبکی گربه شما چه وجه اشتراکی دارند؟ البته شما زیبایی و استایل را خواهید گفت، اما من جرات دارم با شما بحث کنم. پی!این عددی است که همه دایره‌ها، دایره‌ها و گردی‌ها را که به‌ویژه شامل حلقه مادرم، چرخ ماشین مورد علاقه پدرم و حتی نعلبکی گربه مورد علاقه من مورزیک می‌شود، متحد می‌کند. من حاضرم شرط ببندم که در رتبه بندی محبوب ترین ثابت های فیزیکی و ریاضی، Pi بدون شک جایگاه اول را خواهد داشت. اما چه چیزی پشت آن پنهان است؟ شاید چند کلمه نفرین وحشتناک از ریاضیدانان؟ بیایید سعی کنیم این موضوع را درک کنیم.

عدد پی چیست و از کجا آمده است؟

تعیین شماره مدرن π (Pi)به لطف ریاضیدان انگلیسی جانسون در سال 1706 ظاهر شد. این حرف اول کلمه یونانی است περιφέρεια (حاشیه یا دایره). برای کسانی که مدت‌ها پیش ریاضیات را خوانده‌اند، و علاوه بر این، به هیچ وجه، به شما یادآوری می‌کنیم که عدد Pi نسبت محیط یک دایره به قطر آن است. مقدار ثابت است، یعنی ثابت برای هر دایره، صرف نظر از شعاع آن. مردم در زمان های قدیم این را می دانستند. بنابراین، در مصر باستان، عدد پی برابر با نسبت 256/81 در نظر گرفته شده است، و در متون ودایی مقدار آن 339/108 است، در حالی که ارشمیدس نسبت 22/7 را پیشنهاد کرده است. اما نه این و نه بسیاری از روش‌های دیگر برای بیان عدد Pi نتیجه دقیقی به دست ندادند.

معلوم شد که عدد Pi ماورایی و بر این اساس غیرمنطقی است. این بدان معنی است که نمی توان آن را به عنوان یک کسر ساده نشان داد. اگر آن را به صورت اعشاری بیان کنیم، دنباله ارقام بعد از نقطه اعشار به سمت بی نهایت حرکت می کند، و علاوه بر این، بدون تکرار دوره ای. همه اینها به چه معناست؟ بسیار ساده. آیا می خواهید شماره تلفن دختر مورد علاقه خود را بدانید؟ احتمالاً می توان آن را در دنباله ارقام بعد از نقطه اعشار پی یافت.

شماره تلفن را می توانید اینجا ببینید ↓

عدد پی تا 10000 رقم دقیق است.

π= 3
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

پیدا نکردی؟ سپس نگاهی بیندازید.

به طور کلی، این می تواند نه تنها یک شماره تلفن، بلکه هر اطلاعاتی باشد که با استفاده از اعداد رمزگذاری شده است. به عنوان مثال، اگر تمام آثار الکساندر سرگیویچ پوشکین را به صورت دیجیتال تصور کنید، حتی قبل از اینکه او آنها را بنویسد، حتی قبل از تولدش، آنها به شماره پی ذخیره می شدند. در اصل، آنها هنوز در آنجا ذخیره می شوند. به هر حال، نفرین ریاضیدانان در π نیز حضور دارند و نه تنها ریاضیدانان. در یک کلام، عدد پی حاوی همه چیز است، حتی افکاری که فردا، پس فردا، یک سال یا شاید در دو سال دیگر به سر روشن شما خواهند آمد. باور این موضوع بسیار دشوار است، اما حتی اگر تصور کنیم که آن را باور داریم، کسب اطلاعات از آن و رمزگشایی آن دشوارتر خواهد بود. بنابراین، به جای بررسی این اعداد، شاید راحت‌تر باشد که به دختری که دوست دارید نزدیک شوید و شماره او را بپرسید؟.. اما برای کسانی که به دنبال راه‌های آسان نیستند یا صرفاً علاقه‌مند به چیستی عدد پی هستند، چندین راه را پیشنهاد می‌کنم. محاسبات آن را سالم در نظر بگیرید.

پی برابر با چیست؟ روش های محاسبه آن:

1. روش تجربی.اگر عدد Pi نسبت محیط یک دایره به قطر آن باشد، اولین و شاید واضح ترین راه برای یافتن ثابت مرموز ما انجام دستی تمام اندازه گیری ها و محاسبه عدد Pi با استفاده از فرمول π=l خواهد بود. /d. جایی که l محیط دایره و d قطر آن است. همه چیز بسیار ساده است، فقط باید خود را با یک نخ برای تعیین دور، یک خط کش برای یافتن قطر و در واقع طول خود نخ و اگر با تقسیم طولانی مشکل دارید، یک ماشین حساب مسلح کنید. نقش نمونه ای که باید اندازه گیری شود می تواند یک قابلمه یا یک شیشه خیار باشد، مهم نیست، نکته اصلی این است؟ به طوری که یک دایره در پایه وجود دارد.

روش محاسبه در نظر گرفته شده ساده ترین است، اما، متأسفانه، دو اشکال قابل توجه دارد که بر دقت عدد پی حاصل تأثیر می گذارد. اولاً خطای وسایل اندازه گیری (در مورد ما خط کش با نخ) و ثانیاً هیچ تضمینی وجود ندارد که دایره ای که اندازه گیری می کنیم شکل صحیحی داشته باشد. بنابراین، جای تعجب نیست که ریاضیات روش‌های بسیار دیگری را برای محاسبه π در اختیار ما قرار داده است، جایی که نیازی به اندازه‌گیری دقیق نیست.

2. سری لایب نیتس.چندین سری بی نهایت وجود دارد که به شما امکان می دهد عدد پی را با تعداد زیادی رقم اعشار محاسبه کنید. یکی از ساده ترین سریال ها سری لایب نیتس است. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
ساده است: ما کسرهایی را با 4 در صورتگر می گیریم (این همان چیزی است که در بالا است) و یک عدد از دنباله اعداد فرد در مخرج (این همان چیزی است که در زیر آمده است)، آنها را به ترتیب با یکدیگر جمع و تفریق می کنیم و عدد Pi را بدست می آوریم. . هرچه تکرار یا تکرار اقدامات ساده ما بیشتر باشد، نتیجه دقیق تر است. ساده، اما موثر نیست؛ به هر حال، 500000 تکرار طول می کشد تا مقدار دقیق پی به ده رقم اعشار برسد. یعنی باید چهار تاسف را تا 500000 برابر تقسیم کنیم و علاوه بر این باید 500000 برابر نتایج بدست آمده را کم و جمع کنیم. می خواهید امتحان کنید؟

3. سریال نیلاکانتا.آیا برای سرهم بندی با سریال لایب نیتس وقت ندارید؟ یک جایگزین وجود دارد. سری Nilakanta، اگرچه کمی پیچیده تر است، اما به ما اجازه می دهد تا به سرعت به نتیجه دلخواه برسیم. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11) *12) - (4/(12*13*14) ...فکر می‌کنم اگر به قسمت اولیه سریال با دقت نگاه کنید، همه چیز روشن می‌شود و نظرات غیرضروری است. بیایید با این حرکت کنیم.

4. روش مونت کارلویک روش نسبتا جالب برای محاسبه پی، روش مونت کارلو است. این نام عجیب و غریب به افتخار شهری به همین نام در پادشاهی موناکو دریافت کرد. و دلیل این امر تصادف است. نه، این به طور تصادفی نامگذاری نشده است، روش به سادگی بر اساس اعداد تصادفی است، و چه چیزی می تواند تصادفی تر از اعدادی باشد که روی میزهای رولت کازینو مونت کارلو ظاهر می شود؟ محاسبه پی تنها کاربرد این روش نیست، در دهه پنجاه از آن در محاسبات بمب هیدروژنی استفاده می شد. اما بیایید حواسمان پرت نشود.

مربعی با ضلع برابر با 2rو دایره ای را با شعاع بنویسید r. حالا اگر نقطه ها را به صورت تصادفی در یک مربع قرار دهید، احتمال آن است پاینکه یک نقطه به دایره می افتد، نسبت مساحت های دایره و مربع است. P=S kr /S kv =2πr 2 /(2r) 2 =π/4.

حالا بیایید عدد Pi را از اینجا بیان کنیم π=4P. تنها چیزی که باقی می ماند این است که داده های تجربی را بدست آوریم و احتمال P را به عنوان نسبت ضربه ها در دایره پیدا کنیم. N crبه میدان زدن N مربع. به طور کلی، فرمول محاسبه به صورت زیر خواهد بود: π=4N cr/N مربع.

لازم به ذکر است که برای اجرای این روش نیازی به رفتن به کازینو نیست، کافی است از هر زبان برنامه نویسی کم و بیش مناسبی استفاده کنید. خوب، دقت نتایج به‌دست‌آمده به تعداد امتیازهای قرار داده شده بستگی دارد؛ بر این اساس، هر چه بیشتر، دقیق‌تر باشد. برات آرزوی موفقیت میکنم 😉

عدد تاو (به جای نتیجه گیری).

افرادی که از ریاضیات دور هستند به احتمال زیاد نمی دانند، اما اتفاق می افتد که عدد Pi برادری دارد که دو برابر اندازه آن است. این عدد Tau(τ) است و اگر Pi نسبت محیط به قطر باشد، Tau نسبت این طول به شعاع است. و امروزه پیشنهادهایی از سوی برخی از ریاضیدانان برای رها کردن عدد Pi و جایگزینی آن با Tau وجود دارد، زیرا این از بسیاری جهات راحت تر است. اما در حال حاضر اینها فقط پیشنهادهایی هستند، و همانطور که لو داوودوویچ لاندو گفت: "تئوری جدید زمانی شروع به تسلط می کند که حامیان نظریه قدیمی از بین می روند."

در حال مطالعه اعداد پیدر کلاس های ابتدایی زمانی که دانش آموزان در مورد دایره، محیط و مقدار پی یاد می گیرند شروع می شود. از آنجایی که مقدار پی یک ثابت است به معنای نسبت طول خود دایره به طول قطر یک دایره معین. به عنوان مثال، اگر دایره ای را که قطر آن برابر با یک است، در نظر بگیریم، طول آن برابر است با شماره پی. این مقدار Pi در ادامه ریاضی نامتناهی است، اما یک تعیین عمومی پذیرفته شده نیز وجود دارد. این از یک املای ساده شده از مقدار Pi می آید، به نظر می رسد 3.14 است.

تولد تاریخی پی

عدد پی ظاهراً ریشه در مصر باستان دارد. از آنجایی که دانشمندان مصر باستان مساحت یک دایره را با استفاده از قطر D محاسبه کردند که مقدار D - D/92 را می گرفت. که با 16/92 یا 256/81 مطابقت دارد، یعنی پی 3.160 است.
هند در قرن ششم قبل از میلاد نیز عدد پی را لمس کرد، در دین جینیسم، اسنادی یافت شد که نشان می داد عدد پی برابر با 10 در ریشه دوم است که به معنای 3.162 است.

آموزه های ارشمیدس در مورد اندازه گیری دایره در قرن سوم قبل از میلاد او را به نتایج زیر هدایت کرد:

بعداً، او نتایج خود را با دنباله ای از محاسبات با استفاده از نمونه هایی از اشکال چند ضلعی به درستی حکاکی شده یا توصیف شده با دوبرابر کردن تعداد اضلاع این شکل ها اثبات کرد. در محاسبات دقیق، ارشمیدس نسبت قطر و محیط را در اعداد بین 3 * 10/71 و 3 * 1/7 نتیجه گرفت، بنابراین مقدار Pi برابر با 3.1419 است... از آنجایی که قبلاً در مورد شکل نامتناهی این مقدار صحبت کردیم. به نظر می رسد 3، 1415927... و این حد نیست، زیرا کاشی ریاضیدان در قرن پانزدهم مقدار پی را به عنوان یک مقدار شانزده رقمی محاسبه کرد.
ریاضیدان انگلیسی جانسون دبلیو در سال 1706، شروع به استفاده از نماد پی برای نماد کرد؟ (از یونانی اولین حرف در کلمه دایره است).

معنای مرموز.

مقدار Pi غیر منطقی است و نمی توان آن را به صورت کسری بیان کرد زیرا کسرها از مقادیر کامل استفاده می کنند. این نمی تواند یک ریشه در معادله باشد، به همین دلیل است که معلوم می شود که ماورایی نیز است؛ با در نظر گرفتن هر فرآیندی پیدا می شود و به دلیل تعداد زیاد مراحل در نظر گرفته شده یک فرآیند معین، پالایش می شود. تلاش‌های زیادی برای محاسبه بیشترین تعداد ارقام اعشاری در پی انجام شده است که منجر به ایجاد ده‌ها تریلیون رقم با یک مقدار اعشاری شده است.

واقعیت جالب: به اندازه کافی عجیب، ارزش Pi تعطیلات خاص خود را دارد. روز جهانی پی نامیده می شود. در 14 مارس جشن گرفته می شود. این تاریخ به لطف ارزش Pi 3.14 (mm.yy) و فیزیکدان لری شاو، که اولین کسی بود که این تعطیلات را در سال 1987 جشن گرفت، ظاهر شد.

توجه: کمک حقوقی در اخذ گواهی عدم حضور (حضور) سابقه کیفری برای همه شهروندان فدراسیون روسیه. لینک گواهی عدم سوء پیشینه خدمات دولتی (http://conviction certificate.rf/) را به صورت قانونی، سریع و بدون صف دنبال کنید!

پی برابر با چیست؟ما از مدرسه می دانیم و به یاد داریم. برابر است با 3.1415926 و... کافی است یک فرد عادی بداند که این عدد از تقسیم محیط یک دایره بر قطر آن به دست می آید. اما بسیاری از مردم می دانند که عدد پی نه تنها در زمینه های غیرمنتظره ریاضیات و هندسه، بلکه در فیزیک نیز ظاهر می شود. خوب، اگر به جزئیات ماهیت این عدد بپردازید، در میان سری های بی پایان اعداد، چیزهای شگفت انگیز زیادی را متوجه خواهید شد. آیا ممکن است پی عمیق ترین اسرار جهان را پنهان کند؟

تعداد بی نهایت

خود عدد پی در دنیای ما به عنوان طول دایره ای ظاهر می شود که قطر آن برابر با یک است. اما علیرغم اینکه قطعه مساوی Pi کاملا متناهی است، عدد Pi با 3.1415926 شروع می شود و در ردیف هایی از اعداد که هرگز تکرار نمی شوند تا بی نهایت می رود. اولین واقعیت شگفت انگیز این است که این عدد را که در هندسه استفاده می شود، نمی توان به صورت کسری از اعداد کامل بیان کرد. به عبارت دیگر، شما نمی توانید آن را به عنوان نسبت دو عدد a/b بنویسید. علاوه بر این، عدد پی ماورایی است. این بدان معنی است که هیچ معادله ای (چند جمله ای) با ضرایب صحیح وجود ندارد که حل آن عدد Pi باشد.

این حقیقت که عدد پی ماورایی است در سال 1882 توسط ریاضیدان آلمانی فون لیندمان ثابت شد. این اثبات بود که پاسخی به این سؤال شد که آیا می توان با استفاده از قطب نما و خط کش مربعی را رسم کرد که مساحت آن برابر با مساحت یک دایره معین است؟ این مشکل به عنوان جستجو برای مربع کردن یک دایره شناخته می شود که از زمان های قدیم بشر را نگران کرده است. به نظر می رسید که این مشکل راه حل ساده ای دارد و در شرف حل شدن است. اما دقیقاً ویژگی غیرقابل درک عدد Pi بود که نشان داد هیچ راه حلی برای مشکل مربع کردن دایره وجود ندارد.

برای حداقل چهار و نیم هزاره، بشریت در تلاش بوده است تا ارزشی دقیق‌تر برای پی بدست آورد. برای مثال، در کتاب مقدس در کتاب سوم پادشاهان (7:23)، عدد پی 3 در نظر گرفته شده است.

مقدار پی با دقت قابل توجه را می توان در اهرام جیزه یافت: نسبت محیط و ارتفاع اهرام 22/7 است. این کسری مقدار تقریبی پی را برابر با 3.142 می دهد ... البته مگر اینکه مصری ها این نسبت را تصادفی تنظیم کنند. همین مقدار قبلاً در رابطه با محاسبه عدد پی در قرن 3 قبل از میلاد توسط ارشمیدس بزرگ بدست آمده بود.

در پاپیروس آهمس، کتاب درسی ریاضیات مصر باستان که قدمت آن به 1650 سال قبل از میلاد برمی گردد، پی به صورت 3.160493827 محاسبه شده است.

در متون باستانی هند در حدود قرن نهم قبل از میلاد، دقیق ترین مقدار را عدد 339/108 بیان کرده اند که برابر با 3.1388...

تقریباً دو هزار سال پس از ارشمیدس، مردم سعی کردند راه هایی برای محاسبه پی بیابند. در میان آنها ریاضیدانان معروف و ناشناخته بودند. به عنوان مثال، معمار رومی مارکوس ویترویوس پولیو، ستاره شناس مصری کلودیوس بطلمیوس، ریاضیدان چینی لیو هوی، حکیم هندی آریابهاتا، ریاضیدان قرون وسطایی لئوناردو از پیزا، معروف به فیبوناچی، دانشمند عرب الخوارزمی، که از نام او نام برده شده است. "الگوریتم" ظاهر شد. همه آنها و بسیاری از افراد دیگر به دنبال دقیق ترین روش ها برای محاسبه پی بودند، اما تا قرن پانزدهم به دلیل پیچیدگی محاسبات هرگز بیش از 10 رقم اعشار به دست نیاوردند.

سرانجام در سال 1400 ریاضیدان هندی مادهاوا از سانگاماگرام پی را با دقت 13 رقم محاسبه کرد (البته او هنوز در دو رقم آخر اشتباه می کرد).

تعداد نشانه ها

در قرن هفدهم، لایب‌نیتس و نیوتن تجزیه و تحلیل کمیت‌های بی‌نهایت کوچک را کشف کردند، که امکان محاسبه پی را به صورت پیشرونده‌تر - از طریق سری‌های توانی و انتگرال‌ها، ممکن کرد. خود نیوتن 16 رقم اعشار را محاسبه کرد، اما در کتاب های خود به آن اشاره نکرد - این پس از مرگ او شناخته شد. نیوتن ادعا کرد که پی را صرفاً از روی بی حوصلگی محاسبه کرده است.

تقریباً در همان زمان، ریاضیدانان کمتر شناخته شده دیگری نیز مطرح شدند و فرمول های جدیدی را برای محاسبه عدد Pi از طریق توابع مثلثاتی پیشنهاد کردند.

به عنوان مثال، این فرمولی است که برای محاسبه پی توسط معلم نجوم جان ماچین در سال 1706 استفاده می شود: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). ماچین با استفاده از روش های تحلیلی، عدد پی را تا صد رقم اعشار از این فرمول به دست آورد.

به هر حال، در همان سال 1706، شماره پی یک نام رسمی به شکل یک حرف یونانی دریافت کرد: ویلیام جونز از آن در کار خود در ریاضیات استفاده کرد و حرف اول کلمه یونانی "perifery" را به معنای "دایره" گرفت. " لئونارد اویلر بزرگ، متولد 1707، این نام را رایج کرد، که اکنون برای هر دانش آموزی شناخته شده است.

قبل از عصر رایانه، ریاضیدانان بر محاسبه هر چه بیشتر علائم تمرکز داشتند. در این زمینه گاهی اوقات چیزهای خنده داری پیش می آمد. دبلیو شانکس، ریاضیدان آماتور، 707 رقم پی را در سال 1875 محاسبه کرد. این هفتصد تابلو در سال 1937 بر روی دیوار کاخ کشفیات پاریس جاودانه شد. با این حال، نه سال بعد، ریاضیدانان ناظر دریافتند که تنها 527 کاراکتر اول به درستی محاسبه شده است. موزه مجبور شد هزینه های قابل توجهی را برای اصلاح خطا متحمل شود - اکنون همه ارقام درست هستند.

هنگامی که رایانه ها ظاهر شدند، تعداد ارقام Pi شروع به محاسبه به ترتیب کاملاً غیرقابل تصور کرد.

یکی از اولین کامپیوترهای الکترونیکی، ENIAC، که در سال 1946 ساخته شد، از نظر اندازه بسیار زیاد بود و گرمای زیادی تولید می کرد که اتاق تا 50 درجه سانتیگراد گرم می شد، اولین رقم 2037 پی را محاسبه کرد. این محاسبه 70 ساعت طول کشید.

با پیشرفت کامپیوترها، دانش ما از Pi بیشتر و بیشتر به سمت بی نهایت حرکت کرد. در سال 1958، 10 هزار رقم از عدد محاسبه شد. در سال 1987 ژاپنی ها 10013395 کاراکتر را محاسبه کردند. در سال 2011، محقق ژاپنی شیگرو هوندو از مرز 10 تریلیون شخصیت فراتر رفت.

کجا دیگری می توانید پی را ملاقات کنید؟

بنابراین، اغلب دانش ما در مورد عدد Pi در سطح مدرسه باقی می ماند و ما با اطمینان می دانیم که این عدد در درجه اول در هندسه غیر قابل تعویض است.

علاوه بر فرمول‌های طول و مساحت یک دایره، از عدد Pi در فرمول‌های بیضی، کره، مخروط، استوانه، بیضی و غیره استفاده می‌شود: در برخی مکان‌ها فرمول‌ها ساده و به‌خوبی قابل یادآوری هستند، اما در برخی دیگر حاوی انتگرال های بسیار پیچیده هستند.

سپس می توانیم عدد Pi را در فرمول های ریاضی ملاقات کنیم، جایی که در نگاه اول، هندسه قابل مشاهده نیست. برای مثال، انتگرال نامعین 1/(1-x^2) برابر با Pi است.

Pi اغلب در تحلیل سری استفاده می شود. به عنوان مثال، در اینجا یک سری ساده است که به Pi همگرا می شود:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

در میان سری ها، Pi به طور غیرمنتظره ای در تابع زتای معروف ریمان ظاهر می شود. غیرممکن است که به طور خلاصه در مورد آن صحبت کنیم، بگذارید فقط بگوییم که روزی عدد Pi به یافتن فرمولی برای محاسبه اعداد اول کمک خواهد کرد.

و کاملاً شگفت‌انگیز است: پی در دو تا از زیباترین فرمول‌های "سلطنتی" ریاضیات ظاهر می‌شود - فرمول استرلینگ (که به یافتن مقدار تقریبی تابع فاکتوریل و گاما کمک می‌کند) و فرمول اویلر (که پنج عدد ثابت ریاضی را به هم متصل می‌کند).

با این حال، غیر منتظره ترین کشف در انتظار ریاضیدانان نظریه احتمال بود. عدد پی نیز وجود دارد.

برای مثال، احتمال اینکه دو عدد نسبتا اول باشند 6/PI^2 است.

پی در مسئله پرتاب سوزن بوفون، که در قرن هجدهم فرموله شد، ظاهر می شود: احتمال اینکه سوزنی که روی یک کاغذ خط دار انداخته می شود، از یکی از خطوط عبور کند، چقدر است. اگر طول سوزن L و فاصله بین خطوط L و r > L باشد، می توانیم مقدار Pi را با استفاده از فرمول احتمال 2L/rPI تقریبا محاسبه کنیم. فقط تصور کنید - ما می توانیم Pi را از رویدادهای تصادفی دریافت کنیم. و به هر حال، Pi در توزیع احتمال نرمال وجود دارد، در معادله منحنی معروف گاوسی ظاهر می شود. آیا این بدان معناست که Pi حتی از نسبت محیط به قطر ساده‌تر است؟

ما همچنین می توانیم پی را در فیزیک ملاقات کنیم. پی در قانون کولن که نیروی برهمکنش بین دو بار را توصیف می کند، در قانون سوم کپلر که دوره چرخش یک سیاره به دور خورشید را نشان می دهد و حتی در آرایش اوربیتال های الکترونی اتم هیدروژن ظاهر می شود. و چیزی که دوباره باورنکردنی است این است که عدد پی در فرمول اصل عدم قطعیت هایزنبرگ - قانون اساسی فیزیک کوانتومی - پنهان شده است.

اسرار پی

در رمان تماس کارل سیگان، که فیلمی به همین نام بر اساس آن ساخته شده است، بیگانگان به قهرمان می گویند که در میان نشانه های پی پیامی مخفی از جانب خدا وجود دارد. از یک موقعیت خاص، اعداد موجود در عدد تصادفی نیستند و رمزی را نشان می دهند که تمام اسرار جهان در آن نوشته شده است.

این رمان در واقع معمایی را منعکس می کند که ذهن ریاضیدانان سراسر جهان را به خود مشغول کرده است: آیا پی یک عدد عادی است که ارقام آن با فرکانس مساوی پراکنده شده اند یا این عدد مشکلی دارد؟ و اگرچه دانشمندان به گزینه اول تمایل دارند (اما نمی توانند آن را ثابت کنند)، عدد Pi بسیار مرموز به نظر می رسد. یک مرد ژاپنی یک بار محاسبه کرد که اعداد 0 تا 9 در اولین تریلیون رقم پی چند برابر است. و دیدم که اعداد 2 و 4 و 8 بیشتر از بقیه هستند. این ممکن است یکی از نکاتی باشد که Pi کاملاً عادی نیست و اعداد موجود در آن در واقع تصادفی نیستند.

بیایید همه چیزهایی را که در بالا خواندیم به یاد بیاوریم و از خود بپرسیم که کدام عدد غیر منطقی و ماورایی دیگر در دنیای واقعی اغلب یافت می شود؟

و چیزهای عجیب و غریب بیشتری در فروشگاه وجود دارد. به عنوان مثال، مجموع بیست رقم اول پی 20 است و مجموع 144 رقم اول برابر با "تعداد وحش" 666 است.

شخصیت اصلی سریال آمریکایی "مظنون"، پروفسور فینچ، به دانش آموزان گفت که به دلیل بی نهایت بودن عدد پی، هر ترکیبی از اعداد را می توان در آن یافت، از اعداد تاریخ تولد شما تا اعداد پیچیده تر. . به عنوان مثال، در موقعیت 762 دنباله ای از شش نه وجود دارد. این موقعیت به نام فیزیکدان معروفی که متوجه این ترکیب جالب شده، نقطه فاینمن نامیده می شود.

همچنین می دانیم که عدد Pi حاوی دنباله 0123456789 است، اما در رقم 17,387,594,880 قرار دارد.

همه اینها بدان معنی است که در بی نهایت عدد پی نه تنها می توان ترکیب جالبی از اعداد، بلکه متن رمزگذاری شده "جنگ و صلح"، کتاب مقدس و حتی راز اصلی جهان را نیز در صورت وجود یافت.

به هر حال، در مورد کتاب مقدس. مارتین گاردنر، محبوب کننده معروف ریاضیات، در سال 1966 اظهار داشت که رقم میلیونی پی (در آن زمان هنوز ناشناخته است) عدد 5 خواهد بود. او محاسبات خود را با این واقعیت توضیح داد که در نسخه انگلیسی کتاب مقدس، در 3th. کتاب، فصل چهاردهم، 16 آیه (3-14-16) کلمه هفتم شامل پنج حرف است. هشت سال بعد به رقم میلیونی رسید. شماره پنج بود.

آیا ارزش دارد که بعد از این ادعا کنیم که عدد Pi تصادفی است؟

دکترای علوم زمین شناسی و کانی شناسی، کاندیدای علوم فیزیک و ریاضی B. GOROBETS.

نمودارهای توابع y = arcsin x، تابع معکوس y = sin x

نمودار تابع y = arctan x، معکوس تابع y = tan x.

تابع توزیع نرمال (توزیع گاوسی). حداکثر نمودار آن مربوط به محتمل ترین مقدار یک متغیر تصادفی است (به عنوان مثال، طول یک جسم اندازه گیری شده با یک خط کش)، و درجه "گسترش" منحنی به پارامترهای a و sigma بستگی دارد.

کاهنان بابل باستان محاسبه کردند که قرص خورشیدی از سپیده دم تا غروب خورشید 180 بار در آسمان قرار می گیرد و واحد اندازه گیری جدیدی را معرفی کردند - درجه ای برابر با اندازه زاویه ای آن.

اندازه تشکل های طبیعی - تپه های شنی، تپه ها و کوه ها - با هر مرحله به طور متوسط 3.14 برابر افزایش می یابد.

علم و زندگی // تصاویر

آونگ که بدون اصطکاک یا مقاومت در حال نوسان است، دامنه نوسان ثابتی را حفظ می کند. ظهور مقاومت منجر به تضعیف تصاعدی نوسانات می شود.

در یک محیط بسیار چسبناک، یک آونگ منحرف شده به صورت تصاعدی به سمت موقعیت تعادل خود حرکت می کند.

فلس های مخروط کاج و پیچ های پوسته بسیاری از نرم تنان به صورت مارپیچ لگاریتمی مرتب شده اند.

علم و زندگی // تصاویر

یک مارپیچ لگاریتمی تمام پرتوهای ساطع شده از نقطه O را در زوایای یکسان قطع می کند.

احتمالاً از هر متقاضی یا دانش آموزی که پرسیده شود اعداد و e چیست پاسخ خواهند داد: - این عددی است برابر با نسبت محیط به قطر آن و e پایه لگاریتم های طبیعی است. اگر از دانش‌آموزان خواسته شود که این اعداد را دقیق‌تر تعریف کرده و آنها را محاسبه کنند، فرمول‌هایی را ارائه می‌دهند:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2.7183…

(به یاد داشته باشید که فاکتوریل n! =1 ایکس 2ایکس 3ایکس… ایکس n)؛

3(1+ 1/3ایکس 2 3 + 1ایکس 3/4ایکس 5ایکس 2 5 + .....) 3,14159…

(سری نیوتن آخرین است، سری های دیگر هم هست).

همه اینها درست است، اما، همانطور که می دانید، اعداد و e در بسیاری از فرمول ها در ریاضیات، فیزیک، شیمی، زیست شناسی و همچنین در اقتصاد گنجانده شده اند. این بدان معنی است که آنها برخی از قوانین کلی طبیعت را منعکس می کنند. کدومشون دقیقا؟ تعاریف این اعداد از طریق سریال، علیرغم صحت و سفت بودنشان، همچنان احساس نارضایتی را بر جای می گذارد. آنها انتزاعی هستند و ارتباط اعداد مورد نظر را با دنیای خارج از طریق تجربه روزمره منتقل نمی کنند. در متون آموزشی نمی توان پاسخی برای سوال مطرح شده پیدا کرد.

در این میان می توان ادعا کرد که ثابت e با همگنی فضا و زمان و همسانگردی فضا رابطه مستقیم دارد. بنابراین، آنها منعکس کننده قوانین بقا هستند: عدد e - انرژی و تکانه (تکانه)، و عدد - گشتاور (تکانه). معمولاً چنین اظهارات غیرمنتظره ای باعث تعجب می شود ، اگرچه اساساً از دیدگاه فیزیک نظری چیز جدیدی در آنها وجود ندارد. معنای عمیق این ثابت‌های جهانی برای دانش‌آموزان، دانش‌آموزان و ظاهراً حتی برای اکثر معلمان ریاضیات و فیزیک عمومی، بدون ذکر سایر حوزه‌های علوم طبیعی و اقتصاد، به صورت ناشناس باقی می‌ماند.

در سال اول دانشگاه، دانشجویان می‌توانند به عنوان مثال با یک سوال متحیر شوند: چرا هنگام ادغام توابع نوع 1/(x 2 +1)، تانژانت قطبی ظاهر می‌شود و از نوع آرکسین - توابع مثلثاتی دایره‌ای که بیانگر قدر قوس دایره؟ به عبارت دیگر، دایره‌ها در حین ادغام از کجا می‌آیند و پس از آن در طی عمل معکوس از کجا ناپدید می‌شوند - متمایز کردن تانژانت و آرکسین؟ بعید است که اشتقاق فرمول های مربوطه برای تمایز و ادغام به سوال مطرح شده توسط خود پاسخ دهد.

علاوه بر این، در سال دوم دانشگاه، هنگام مطالعه نظریه احتمال، این عدد در فرمول قانون توزیع نرمال متغیرهای تصادفی ظاهر می شود (به "علم و زندگی" شماره 2، 1995 مراجعه کنید). از آن می توانید، برای مثال، احتمال افتادن یک سکه بر روی نشان را هر چند بار با مثلاً 100 پرتاب محاسبه کنید. دایره های اینجا کجا هستند؟ آیا شکل سکه واقعا مهم است؟ نه، فرمول احتمال برای سکه مربع یکسان است. در واقع، این سوالات آسان نیستند.

اما ماهیت عدد e برای دانشجویان شیمی و علم مواد، زیست‌شناسان و اقتصاددانان مفید است تا عمیق‌تر بدانند. این به آنها کمک می کند تا سینتیک تجزیه عناصر رادیواکتیو، اشباع محلول ها، سایش و تخریب مواد، تکثیر میکروب ها، اثرات سیگنال ها بر حواس، فرآیندهای انباشت سرمایه و غیره را درک کنند - تعداد بی نهایت پدیده در طبیعت زنده و بی جان و فعالیت انسان.

عدد و تقارن کروی فضا

ابتدا اولین تز اصلی را تدوین می کنیم و سپس معنا و پیامدهای آن را توضیح می دهیم.

1. عدد منعکس کننده همسانگردی خصوصیات فضای خالی جهان ما، یکسانی آنها در هر جهت است. قانون بقای گشتاور با همسانگردی فضا مرتبط است.

این منجر به پیامدهای شناخته شده ای می شود که در دبیرستان مطالعه می شود.

نتیجه 1. طول قوس دایره ای که شعاع آن در امتداد آن قرار می گیرد، قوس طبیعی و واحد زاویه ای است رادیان.

این واحد بدون بعد است. برای پیدا کردن تعداد رادیان ها در یک کمان دایره، باید طول آن را اندازه بگیرید و بر طول شعاع این دایره تقسیم کنید. همانطور که می دانیم در امتداد هر دایره کامل شعاع آن تقریباً 6.28 برابر است. به طور دقیق تر، طول یک کمان کامل یک دایره 2 رادیان است و در هر عدد سیستم و واحد طول است. هنگامی که چرخ اختراع شد، معلوم شد که در میان سرخپوستان آمریکا، عشایر آسیا و سیاه پوستان آفریقا همینطور است. فقط واحدهای اندازه گیری قوس متفاوت و متعارف بودند. بنابراین، درجات زاویه ای و کمانی ما توسط کاهنان بابلی معرفی شد، که معتقد بودند قرص خورشید که تقریباً در اوج قرار دارد، از طلوع تا غروب خورشید 180 بار در آسمان جا می گیرد. 1 درجه 0.0175 راد یا 1 راد 57.3 درجه است. می توان استدلال کرد که تمدن های فرضی بیگانه با تبادل پیامی که در آن دایره به شش قسمت "با دم" تقسیم می شود، به راحتی یکدیگر را درک می کنند. این بدان معناست که "شریک مذاکره" حداقل مرحله اختراع مجدد چرخ را پشت سر گذاشته است و می داند که چه عددی است.

نتیجه 2.هدف از توابع مثلثاتی بیان رابطه بین قوس و ابعاد خطی اجسام و همچنین بین پارامترهای فضایی فرآیندهایی است که در فضای کروی متقارن اتفاق می‌افتند.

از مطالب فوق واضح است که آرگومان های توابع مثلثاتی در اصل بدون بعد هستند، مانند سایر انواع توابع، یعنی. اینها اعداد واقعی هستند - نقاطی در محور اعداد که نیازی به علامت درجه ندارند.

تجربه نشان می‌دهد که دانش‌آموزان، دانش‌آموزان و دانشجویان در عادت کردن به استدلال‌های بدون بعد برای سینوس، مماس و غیره مشکل دارند. مثال آخر مخصوصاً گیج کننده است. اغلب گفته می شود که این مزخرف است: "قوسی که مماس آن 60 درجه است." اگر دقیقاً این را بگوییم، خطا در اعمال غیرمجاز درجه درجه در آرگومان تابع خواهد بود. و پاسخ صحیح این است: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. متأسفانه اغلب متقاضیان و دانشجویان می گویند که = 180 0، پس از آن باید آنها را تصحیح کنند: در سیستم اعداد اعشاری = 3.14…. اما، البته، می توان گفت که رادیان برابر با 180 0 است.

اجازه دهید وضعیت غیر پیش پاافتاده دیگری را که در نظریه احتمال با آن مواجه شده است، بررسی کنیم. این به فرمول مهم برای احتمال خطای تصادفی (یا قانون عادی توزیع احتمال) مربوط می شود که شامل عدد می شود. با استفاده از این فرمول می توانید مثلاً با 100 پرتاب احتمال 50 بار افتادن یک سکه روی نشان را محاسبه کنید. بنابراین، عدد موجود در آن از کجا آمده است؟ به هر حال، به نظر می رسد هیچ دایره یا حلقه ای در آنجا قابل مشاهده نیست. اما نکته این است که سکه به طور تصادفی در فضای متقارن کروی سقوط می کند که در تمام جهات آن باید نوسانات تصادفی به یک اندازه در نظر گرفته شود. ریاضیدانان این کار را با ادغام روی یک دایره و محاسبه به اصطلاح انتگرال پواسون انجام می دهند که برابر است و در فرمول احتمال مشخص شده گنجانده شده است. یک مثال واضح از این گونه نوسانات، مثال شلیک به یک هدف در شرایط ثابت است. سوراخ های روی هدف به صورت دایره ای (!) با بیشترین تراکم در نزدیکی مرکز هدف پراکنده شده اند و با استفاده از همان فرمول حاوی عدد می توان احتمال ضربه را محاسبه کرد.

آیا عدد در ساختارهای طبیعی دخیل است؟

بیایید سعی کنیم پدیده هایی را درک کنیم که دلایل آنها کاملاً واضح نیست ، اما شاید آنها نیز بی شمار نبودند.

جغرافیدان داخلی V.V. Piotrovsky میانگین اندازه های مشخصه نقش برجسته های طبیعی را در سری زیر مقایسه کرد: تفنگ شنی در کم عمق، تپه های شنی، تپه ها، سیستم های کوهستانی قفقاز، هیمالیا و غیره. معلوم شد که میانگین افزایش اندازه 3.14 است. به نظر می رسد اخیراً الگوی مشابهی در توپوگرافی ماه و مریخ کشف شده است. پیوتروفسکی می نویسد: «اشکال ساختاری تکتونیکی که در پوسته زمین شکل می گیرند و در سطح آن به صورت اشکال برجسته ظاهر می شوند، در نتیجه برخی فرآیندهای کلی که در بدنه زمین اتفاق می افتد ایجاد می شوند؛ آنها متناسب با اندازه زمین هستند. " اجازه دهید روشن کنیم - آنها با نسبت ابعاد خطی و قوس آن متناسب هستند.

اساس این پدیده ها ممکن است به اصطلاح قانون توزیع بیشینه سری های تصادفی یا "قانون سه قلو" باشد که در سال 1927 توسط E. E. Slutsky فرموله شد.

از نظر آماری، طبق قانون سه تایی، امواج ساحلی دریا تشکیل می شود که یونانیان باستان آن را می دانستند. هر موج سوم به طور متوسط کمی بالاتر از همسایگان خود است. و در سلسله این ماکسیماهای سوم، هر سوم به نوبه خود از همسایگان خود بالاتر است. اینگونه است که موج نهم معروف شکل می گیرد. او اوج «دوره رتبه دوم» است. برخی از دانشمندان پیشنهاد می کنند که طبق قانون سه قلوها، نوساناتی در فعالیت های خورشیدی، دنباله دار و شهاب سنگ ها نیز رخ می دهد. فواصل بین حداکثر آنها نه تا دوازده سال یا تقریباً 3 2 است. به گفته دکتر روزنبرگ، دکترای علوم زیستی، می‌توانیم به ساخت توالی‌های زمانی به صورت زیر ادامه دهیم. دوره رتبه سوم 3 3 مربوط به فاصله بین خشکسالی های شدید است که به طور متوسط 27-36 سال است. دوره 3 4 - چرخه فعالیت خورشیدی سکولار (81-108 سال). دوره 3 5 - چرخه یخبندان (243-324 سال). اگر از قانون سه قلوهای «خالص» خارج شویم و به سمت قدرت های اعداد برویم، تصادفات حتی بهتر خواهند شد. به هر حال، محاسبه آنها بسیار آسان است، زیرا 2 تقریباً برابر با 10 است (یک بار در هند این عدد حتی به عنوان ریشه 10 تعریف می شد). می‌توانید چرخه‌های اعصار، دوره‌ها و دوره‌های زمین‌شناسی را با قدرت‌های سه تایی تنظیم کنید (این کاری است که G. Rosenberg، به‌ویژه در مجموعه "Eureka-88"، 1988 انجام می‌دهد) یا اعداد 3.14. و شما همیشه می توانید با درجات مختلف دقت از افکار واهی استفاده کنید. (در رابطه با تنظیمات، یک شوخی ریاضی به ذهن می رسد. اجازه دهید ثابت کنیم که اعداد فرد اعداد اول هستند. 1، 3، 5، 7، 9، 11، 13 و غیره را می گیریم، و 9 در اینجا یک آزمایش است. خطا.) و با این حال به نظر می رسد ایده نقش نامشخص عدد p در بسیاری از پدیده های زمین شناسی و بیولوژیکی کاملاً خالی نیست و شاید در آینده خود را نشان دهد.

عدد e و همگنی زمان و مکان

حالا بیایید به دومین ثابت جهانی بزرگ برویم - عدد e. تعیین ریاضی عدد e با استفاده از سری داده شده در بالا، در اصل به هیچ وجه ارتباط آن را با پدیده های فیزیکی یا سایر پدیده های طبیعی روشن نمی کند. چگونه به این مشکل نزدیک شویم؟ سوال آسان نیست. بیایید، شاید، با پدیده استاندارد انتشار امواج الکترومغناطیسی در خلاء شروع کنیم. (علاوه بر این، بدون دست زدن به پیچیده ترین ماهیت خلاء فیزیکی، خلاء را به عنوان فضای خالی کلاسیک درک خواهیم کرد.)

همه می دانند که یک موج پیوسته در زمان را می توان با یک موج سینوسی یا مجموع امواج سینوسی و کسینوس توصیف کرد. در ریاضیات، فیزیک و مهندسی برق، چنین موجی (با دامنه برابر با 1) با تابع نمایی e iβt = cos βt + isin βt توصیف می شود، که β فرکانس نوسانات هارمونیک است. یکی از معروف ترین فرمول های ریاضی در اینجا نوشته شده است - فرمول اویلر. به افتخار لئونارد اویلر بزرگ (1707-1783) بود که شماره e به نام حرف اول نام خانوادگی او نامگذاری شد.

این فرمول برای دانش‌آموزان کاملاً شناخته شده است، اما باید برای دانش‌آموزان مدارس غیرریاضی توضیح داده شود، زیرا در زمان ما اعداد مختلط از برنامه‌های درسی مدارس عادی حذف شده‌اند. عدد مختلط z = x+iy از دو جمله تشکیل شده است - عدد واقعی (x) و عدد خیالی که عدد واقعی y در واحد خیالی ضرب می شود. اعداد حقیقی در امتداد محور واقعی Ox و اعداد خیالی در همان مقیاس در امتداد محور فرضی O y که واحد آن i است و طول این قطعه واحد مدول است شمارش می شود | من | =1. بنابراین، یک عدد مختلط مربوط به نقطه ای از صفحه با مختصات (x, y) است. بنابراین، شکل غیرمعمول عدد e با توانی که فقط دارای واحدهای خیالی i است به معنای وجود تنها نوسانات بدون میر توصیف شده توسط یک موج کسینوس و سینوسی است.

واضح است که یک موج بدون میرا نشان دهنده انطباق با قانون بقای انرژی برای یک موج الکترومغناطیسی در خلاء است. این وضعیت در هنگام برهمکنش "الاستیک" یک موج با یک محیط بدون از دست دادن انرژی آن رخ می دهد. به طور رسمی، این می تواند به صورت زیر بیان شود: اگر نقطه مرجع را در امتداد محور زمان حرکت دهید، انرژی موج حفظ می شود، زیرا موج هارمونیک همان دامنه و فرکانس را حفظ می کند، یعنی واحدهای انرژی و فقط آن را حفظ می کند. فاز، بخشی از دوره دور از نقطه مرجع جدید، تغییر خواهد کرد. اما فاز دقیقاً به دلیل یکنواختی زمان جابجایی نقطه مرجع روی انرژی تأثیر نمی گذارد. بنابراین، انتقال موازی سیستم مختصات (به آن ترجمه می گویند) به دلیل همگن بودن زمان t قانونی است. اکنون احتمالاً در اصل روشن است که چرا همگنی در زمان منجر به قانون بقای انرژی می شود.

بعد، بیایید یک موج را نه در زمان، بلکه در فضا تصور کنیم. یک مثال خوب از این موج ایستاده (نوسانات یک رشته ثابت در چندین گره) یا امواج ماسه ساحلی است. از نظر ریاضی، این موج در امتداد محور O x به صورت e ix = cos x + isin x نوشته می شود. واضح است که در این حالت، ترجمه در امتداد x اگر فضا در امتداد این محور همگن باشد، کسینوس یا سینوسی را تغییر نخواهد داد. باز هم فقط فاز آنها تغییر خواهد کرد. از فیزیک نظری مشخص است که همگنی فضا منجر به قانون بقای تکانه (تکانه) می شود، یعنی جرم ضرب در سرعت. بگذارید اکنون فضا از نظر زمان همگن باشد (و قانون بقای انرژی رعایت شده است)، اما از نظر مختصات ناهمگن باشد. سپس، در نقاط مختلف فضای ناهمگن، سرعت نیز متفاوت خواهد بود، زیرا در واحد زمان همگن مقادیر متفاوتی از طول قطعات تحت پوشش در هر ثانیه توسط ذره ای با جرم معین (یا موجی با یک حرکت معین).

بنابراین، می توانیم تز اصلی دوم را تدوین کنیم:

2. عدد e به عنوان مبنای تابعی از یک متغیر مختلط منعکس کننده دو قانون اساسی بقا است: انرژی - از طریق همگنی زمان، تکانه - از طریق همگنی فضا.

و با این حال، چرا دقیقاً عدد e و نه عدد دیگر، در فرمول اویلر گنجانده شد و معلوم شد که در پایه تابع موج قرار دارد؟ با ماندن در چارچوب دروس مدرسه در ریاضیات و فیزیک، پاسخ به این سوال آسان نیست. نویسنده این مشکل را با نظریه پرداز، دکترای علوم فیزیک و ریاضی وی.

مهمترین طبقه فرآیندها - فرآیندهای خطی و خطی - خطی بودن خود را دقیقاً به دلیل همگنی فضا و زمان حفظ می کند. از نظر ریاضی، یک فرآیند خطی با تابعی توصیف می شود که به عنوان راه حل معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت عمل می کند (این نوع معادلات در سال اول و دوم دانشگاه ها و کالج ها مورد مطالعه قرار می گیرند). و هسته آن فرمول اویلر فوق است. بنابراین راه حل شامل یک تابع پیچیده با پایه e است، درست مانند معادله موج. علاوه بر این، آن e است و نه عدد دیگری در پایه مدرک! زیرا تنها تابع ex برای هر تعداد تمایز و ادغام تغییر نمی کند. و بنابراین، پس از جایگزینی در معادله اصلی، تنها راه حل با پایه e هویت می دهد، همانطور که یک راه حل صحیح باید باشد.

حال بیایید حل معادله دیفرانسیل را با ضرایب ثابت بنویسیم که انتشار یک موج هارمونیک در یک محیط را با در نظر گرفتن برهمکنش غیرالاستیک با آن توصیف می کند که منجر به اتلاف انرژی یا کسب انرژی از منابع خارجی می شود:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

می بینیم که فرمول اویلر در یک متغیر واقعی e αt ضرب می شود که دامنه تغییر موج در طول زمان است. در بالا، برای سادگی، آن را ثابت و برابر با 1 فرض کردیم. این را می توان در مورد نوسانات هارمونیک بدون میرا، با α = 0 انجام داد. در حالت کلی هر موج، رفتار دامنه به علامت بستگی دارد. از ضریب a با متغیر t (زمان): اگر α > 0 باشد، دامنه نوسانات افزایش می یابد اگر α< 0, затухает по экспоненте.

شاید بند آخر برای فارغ التحصیلان بسیاری از مدارس عادی سخت باشد. با این حال، باید برای دانشجویان دانشگاه ها و کالج هایی که معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت را به طور کامل مطالعه می کنند، قابل درک باشد.

اکنون β = 0 را تنظیم می کنیم، یعنی ضریب نوسانی را با عدد i در محلول حاوی فرمول اویلر از بین می بریم. از نوسانات قبلی، تنها "دامنه" که به صورت تصاعدی تحلیل می رود (یا رشد می کند) باقی می ماند.

برای نشان دادن هر دو مورد، یک آونگ را تصور کنید. در فضای خالی بدون میرایی نوسان می کند. در فضایی با محیط مقاومتی، نوسانات با کاهش نمایی در دامنه رخ می دهد. اگر یک آونگ نه چندان عظیم را در یک محیط به اندازه کافی چسبناک منحرف کنید، آنگاه به آرامی به سمت موقعیت تعادل حرکت می کند و بیشتر و بیشتر کند می شود.

بنابراین، از پایان نامه 2 می توانیم نتیجه زیر را استنتاج کنیم:

نتیجه 1.در غیاب یک بخش خیالی و صرفاً ارتعاشی از تابع f(t)، در β = 0 (یعنی در فرکانس صفر)، بخش واقعی تابع نمایی بسیاری از فرآیندهای طبیعی را توصیف می کند که مطابق با اصل اساسی پیش می روند. : افزایش ارزش متناسب با خود ارزش است .

اصل فرموله شده از نظر ریاضی به این صورت است: ∆I ~ I∆t، که در آن، فرض کنید، I یک سیگنال است، و ∆t یک بازه زمانی کوچک است که در طی آن سیگنال ∆I افزایش می‌یابد. با تقسیم هر دو طرف برابری بر I و ادغام، lnI ~ kt به دست می آید. یا: I ~ e kt - قانون افزایش یا کاهش نمایی سیگنال (بسته به علامت k). بنابراین، قانون تناسب افزایش یک مقدار به خود مقدار منجر به یک لگاریتم طبیعی و در نتیجه به عدد e می‌شود.

بسیاری از فرآیندها به صورت تصاعدی با استدلال معتبر و بدون تردید در فیزیک، شیمی، زیست شناسی، بوم شناسی، اقتصاد و غیره پیش می روند. ما به ویژه به قانون روان فیزیک جهانی وبر - فچنر (به دلایلی که در برنامه های آموزشی مدارس و دانشگاه ها نادیده گرفته شده است) توجه می کنیم. . می‌خواند: «قدرت حس متناسب با لگاریتم قدرت تحریک است».

بینایی، شنوایی، بویایی، لامسه، چشایی، عواطف و حافظه مشمول این قانون هستند (به طور طبیعی، تا زمانی که فرآیندهای فیزیولوژیکی به طور ناگهانی به فرآیندهای پاتولوژیک تبدیل شوند، زمانی که گیرنده ها دستخوش تغییر یا تخریب شده اند). طبق قانون: 1) افزایش اندک در سیگنال تحریک در هر بازه ای مربوط به افزایش خطی (با مثبت یا منفی) در قدرت حس است. 2) در ناحیه سیگنال های تحریک ضعیف، افزایش قدرت حس بسیار تندتر از ناحیه سیگنال های قوی است. بیایید چای را به عنوان مثال در نظر بگیریم: یک لیوان چای با دو تکه شکر دو برابر شیرین تر از چای با یک تکه شکر است. اما چای با 20 تکه شکر بعید به نظر می رسد که شیرین تر از 10 تکه باشد. دامنه دینامیکی گیرنده‌های بیولوژیکی عظیم است: سیگنال‌های دریافت شده توسط چشم می‌توانند از نظر قدرت تا 10 ~ 10 و توسط گوش ~ 10 12 برابر متفاوت باشند. حیات وحش با چنین محدوده هایی سازگار شده است. با گرفتن لگاریتم (با محدودیت بیولوژیکی) محرک های ورودی از خود محافظت می کند، در غیر این صورت گیرنده ها می میرند. مقیاس شدت صدای لگاریتمی (دسی بل) که به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرد، بر اساس قانون وبر-فچنر است، که مطابق با آن، کنترل های صدا تجهیزات صوتی کار می کنند: جابجایی آنها متناسب با حجم درک شده است، اما نه با شدت صدا! (حس متناسب با lg/0 است. آستانه شنوایی p 0 = 10 -12 J/m 2 s در نظر گرفته می شود. در آستانه ما lg1 = 0 داریم. افزایش قدرت (فشار) صدا توسط 10 بار تقریباً مربوط به احساس یک نجوا است که 1 بل بالاتر از آستانه در مقیاس لگاریتمی است. تقویت صدا یک میلیون بار از یک نجوا تا یک جیغ (تا 10 -5 J/m 2 s) در مقیاس لگاریتمی افزایش 6 مرتبه قدر یا 6 بل است.)

احتمالاً چنین اصلی برای رشد بسیاری از ارگانیسم ها اقتصادی است. این را می توان به وضوح در شکل گیری مارپیچ های لگاریتمی در پوسته نرم تنان، ردیف دانه ها در یک سبد آفتابگردان و فلس ها در مخروط مشاهده کرد. فاصله از مرکز طبق قانون r = ae kj افزایش می یابد. در هر لحظه، نرخ رشد به طور خطی با خود این فاصله متناسب است (که به راحتی می توان دید اگر مشتق تابع نوشته شده را بگیریم). پروفیل چاقوها و کاترهای چرخان به صورت مارپیچ لگاریتمی ساخته می شوند.

نتیجه 2.حضور تنها بخش خیالی تابع در α = 0، β 0 در حل معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت، انواعی از فرآیندهای خطی و خطی را توصیف می کند که در آن نوسانات هارمونیک بدون میرایی انجام می شود.

این نتیجه ما را به مدلی که قبلاً در بالا مورد بحث قرار گرفت برمی گرداند.

نتیجه 3.هنگام اجرای نتیجه 2، یک "بستن" در یک فرمول واحد از اعداد و e از طریق فرمول تاریخی اویلر به شکل اصلی آن e i = -1 وجود دارد.

در این شکل، اولر اولین نمایش خود را با یک توان خیالی منتشر کرد. بیان آن از طریق کسینوس و سینوس سمت چپ دشوار نیست. سپس مدل هندسی این فرمول حرکت در یک دایره با ثابت سرعت در مقدار مطلق خواهد بود که حاصل جمع دو نوسان هارمونیک است. با توجه به ماهیت فیزیکی، فرمول و مدل آن منعکس کننده هر سه ویژگی اساسی فضا-زمان - همگنی و همسانگردی آنها، و در نتیجه هر سه قانون حفاظت است.

نتیجه

تز در مورد ارتباط قوانین بقا با همگنی زمان و مکان بدون شک برای فضای اقلیدسی در فیزیک کلاسیک و برای فضای شبه اقلیدسی مینکوفسکی در نظریه نسبیت عام (GR، که در آن زمان مختصات چهارم است) صحیح است. اما در چارچوب نسبیت عام، یک سوال طبیعی مطرح می شود: وضعیت در مناطق میدان های گرانشی عظیم، نزدیک به تکینگی ها، به ویژه، نزدیک سیاهچاله ها چگونه است؟ فیزیکدانان در اینجا نظرات متفاوتی دارند: اکثر آنها معتقدند که این اصول اساسی در این شرایط شدید همچنان صادق هستند. با این حال، دیدگاه های دیگری از محققان معتبر وجود دارد. هر دو در حال کار بر روی ایجاد یک نظریه جدید از گرانش کوانتومی هستند.

برای تصور مختصر چه مشکلاتی در اینجا به وجود می آید، اجازه دهید سخنان فیزیکدان نظری آکادمیسین A. A. Logunov را نقل کنیم: "این (فضای Minkowski. - خودکار.) منعکس کننده ویژگی های مشترک برای همه اشکال ماده است. این امر وجود ویژگی های فیزیکی یکپارچه - انرژی، تکانه، تکانه زاویه ای، قوانین بقای انرژی، تکانه را تضمین می کند. اما اینشتین استدلال کرد که این تنها تحت یک شرط امکان پذیر است - در غیاب گرانش<...>. از این گفته انیشتین نتیجه گرفت که فضا-زمان شبه اقلیدسی نیست، بلکه از نظر هندسه بسیار پیچیده تر می شود - ریمانی. دومی دیگر همگن نیست. از نقطه ای به نقطه دیگر تغییر می کند. خاصیت انحنای فضا ظاهر می شود. فرمول دقیق قوانین حفاظت، همانطور که در فیزیک کلاسیک پذیرفته شد، نیز در آن ناپدید می شود.<...>به بیان دقیق، در نسبیت عام، در اصل، معرفی قوانین بقای انرژی-تکانه غیرممکن است؛ آنها را نمی توان فرموله کرد» (به «علم و زندگی» شماره 2، 3، 1987 مراجعه کنید).

ثابت‌های بنیادی جهان ما که ماهیت آن‌ها را بیان کردیم، نه تنها برای فیزیکدانان، بلکه برای غزل‌سرایان نیز شناخته شده است. بنابراین، عدد غیرمنطقی برابر با 3.14159265358979323846... از شاعر برجسته لهستانی قرن بیستم، برنده جایزه نوبل در سال 1996 ویسلاوا شیمبورسکا، الهام گرفت تا شعر «پی» را با نقل قولی بسازد که این یادداشت ها را از آن به پایان می بریم:

تعدادی که قابل تحسین است:
سه کاما یک چهار یک.
هر عدد حسی به آدم می دهد
شروع - پنج نه دو،
زیرا هرگز به پایان نخواهی رسید
شما نمی توانید همه اعداد را در یک نگاه درک کنید -
شش پنج سه پنج
عملیات حسابی -
هشت نه -
دیگر کافی نیست و باورش سخت است -
هفت نه -
که نمی توانی از پس آن بر بیایی - سه دو سه
هشت -
و نه معادله ای که وجود ندارد،
مقایسه شوخی نیست -
شما نمی توانید آنها را بشمارید
بیایید ادامه دهیم: چهار شش ...
(ترجمه از لهستانی - B. G.)

علاقه مندان به ریاضیات در سراسر جهان هر سال در چهاردهم مارس یک تکه پای می خورند - بالاخره روز پی است، معروف ترین عدد غیرمنطقی. این تاریخ ارتباط مستقیمی با عددی دارد که اولین رقم آن 3.14 است. پی نسبت محیط دایره به قطر آن است. از آنجایی که غیرمنطقی است، نوشتن آن به صورت کسری غیرممکن است. این یک عدد بی نهایت طولانی است. هزاران سال پیش کشف شد و از آن زمان به طور مداوم مورد مطالعه قرار گرفته است، اما آیا پی هنوز رازی دارد؟ از ریشه های باستانی تا آینده ای نامشخص، در اینجا برخی از جالب ترین حقایق در مورد پی آورده شده است.

حفظ پی

رکورد حفظ اعداد اعشاری متعلق به راجویر مینا از هند است که توانست 70000 رقم را به خاطر بسپارد - او این رکورد را در 21 مارس 2015 ثبت کرد. پیش از این، رکورددار چائو لو از چین بود که توانست 67890 رقم را به خاطر بسپارد - این رکورد در سال 2005 ثبت شد. رکورددار غیررسمی آکیرا هاراگوچی است که در سال 2005 خود را با تکرار 100000 رقم در ویدیو ضبط کرد و اخیراً ویدیویی منتشر کرده است که در آن موفق شده است 117000 رقم را به خاطر بسپارد. این رکورد تنها در صورتی رسمی می شود که این ویدیو با حضور نماینده کتاب رکوردهای گینس ضبط شده باشد و بدون تایید فقط یک واقعیت چشمگیر باقی می ماند اما یک دستاورد محسوب نمی شود. علاقه مندان به ریاضیات دوست دارند عدد Pi را حفظ کنند. بسیاری از افراد از تکنیک های یادگاری مختلفی استفاده می کنند، به عنوان مثال شعر، که در آن تعداد حروف در هر کلمه با ارقام پی مطابقت دارد. هر زبان نسخه های خاص خود را از عبارات مشابه دارد که به شما کمک می کند هم چند عدد اول و هم صد کامل را به خاطر بسپارید.

یک زبان Pi وجود دارد

ریاضیدانانی که علاقه زیادی به ادبیات داشتند، لهجه ای اختراع کردند که در آن تعداد حروف در همه کلمات به ترتیب دقیق با ارقام پی مطابقت دارد. مایک کیث، نویسنده، حتی کتابی به نام «بیداری نیست» نوشت که به طور کامل به زبان «پی» نوشته شده است. علاقه مندان به چنین خلاقیتی آثار خود را کاملاً مطابق با تعداد حروف و معنای اعداد می نویسند. این هیچ کاربرد عملی ندارد، اما یک پدیده نسبتاً رایج و شناخته شده در محافل دانشمندان مشتاق است.

رشد نمایی

پی یک عدد بی نهایت است، بنابراین طبق تعریف افراد هرگز نمی توانند ارقام دقیق این عدد را تعیین کنند. با این حال، تعداد ارقام اعشار از زمانی که Pi برای اولین بار استفاده شد، بسیار افزایش یافته است. بابلی ها نیز از آن استفاده می کردند، اما کسری از سه کامل و یک هشتم برای آنها کافی بود. چینی ها و سازندگان عهد عتیق کاملاً به سه نفر محدود بودند. در سال 1665، آیزاک نیوتن 16 رقم پی را محاسبه کرد. تا سال 1719، ریاضیدان فرانسوی، تام فانت د لاگنی، 127 رقم را محاسبه کرد. ظهور رایانه ها دانش بشر را در مورد Pi به طور اساسی بهبود بخشیده است. از سال 1949 تا 1967، تعداد ارقام شناخته شده برای انسان از 2037 به 500000 افزایش یافت. چندی پیش، پیتر تروب، دانشمند سوئیسی، توانست 2.24 تریلیون رقم پی را محاسبه کند! 105 روز طول کشید. البته این محدودیت نیست. به احتمال زیاد با توسعه فناوری می توان رقم دقیق تری را ایجاد کرد - از آنجایی که پی بی نهایت است، به سادگی هیچ محدودیتی برای دقت وجود ندارد و فقط ویژگی های فنی فناوری رایانه می تواند آن را محدود کند.

محاسبه پی با دست

اگر می خواهید شماره را خودتان پیدا کنید، می توانید از تکنیک قدیمی استفاده کنید - به خط کش، شیشه و مقداری ریسمان نیاز دارید یا می توانید از یک نقاله و یک مداد استفاده کنید. نقطه ضعف استفاده از قوطی این است که باید گرد باشد و دقت آن بر اساس میزان خوبی که فرد می تواند طناب را دور آن بپیچد مشخص می شود. شما می توانید یک دایره را با نقاله رسم کنید، اما این نیز به مهارت و دقت نیاز دارد، زیرا یک دایره ناهموار می تواند به طور جدی اندازه گیری های شما را مخدوش کند. یک روش دقیق تر شامل استفاده از هندسه است. دایره را به چند قسمت تقسیم کنید، مانند پیتزا به برش، و سپس طول یک خط مستقیم را محاسبه کنید که هر قسمت را به یک مثلث متساوی الساقین تبدیل می کند. مجموع اضلاع عدد تقریبی Pi را به دست می دهد. هرچه بخش های بیشتری استفاده کنید، عدد دقیق تر خواهد بود. البته، در محاسبات خود نمی توانید به نتایج یک رایانه نزدیک شوید، با این حال، این آزمایش های ساده به شما امکان می دهد تا با جزئیات بیشتری متوجه شوید که عدد Pi چیست و چگونه در ریاضیات استفاده می شود.

کشف Pi

بابلی های باستان از وجود عدد پی در چهار هزار سال پیش اطلاع داشتند. الواح بابلی عدد پی را 3.125 محاسبه می کنند و یک پاپیروس ریاضی مصری عدد 3.1605 را نشان می دهد. در کتاب مقدس، پی در طول منسوخ ذراع آورده شده است، و ارشمیدس ریاضیدان یونانی از قضیه فیثاغورث، یک رابطه هندسی بین طول اضلاع یک مثلث و مساحت شکل های داخل و خارج دایره ها استفاده کرده است. برای توصیف Pi. بنابراین، می توان با اطمینان گفت که پی یکی از قدیمی ترین مفاهیم ریاضی است، اگرچه نام دقیق این عدد نسبتاً اخیراً ظاهر شده است.

نگاهی جدید به Pi

حتی قبل از اینکه عدد پی با دایره‌ها مرتبط شود، ریاضیدانان راه‌های زیادی برای نام‌گذاری این عدد داشتند. برای مثال، در کتاب‌های درسی ریاضیات باستانی می‌توان عبارتی را به زبان لاتین پیدا کرد که می‌توان آن را تقریباً به عنوان «مقداری که طول را نشان می‌دهد وقتی قطر در آن ضرب می‌شود» ترجمه کرد. این عدد غیر منطقی زمانی معروف شد که دانشمند سوئیسی لئونارد اویلر در کار خود در مورد مثلثات در سال 1737 از آن استفاده کرد. با این حال، نماد یونانی برای پی هنوز مورد استفاده قرار نگرفت - این فقط در کتابی از یک ریاضیدان کمتر شناخته شده، ویلیام جونز اتفاق افتاد. او قبلاً در سال 1706 از آن استفاده کرد، اما برای مدت طولانی مورد توجه قرار نگرفت. با گذشت زمان، دانشمندان این نام را برگزیدند و اکنون این نام مشهورترین نسخه این نام است، اگرچه قبلاً شماره لودولف نیز نامیده می شد.

آیا پی یک عدد عادی است؟

پی قطعا عدد عجیبی است، اما چقدر از قوانین عادی ریاضی پیروی می کند؟ دانشمندان قبلاً بسیاری از سؤالات مربوط به این عدد غیر منطقی را حل کرده اند، اما برخی رازها همچنان باقی مانده است. به عنوان مثال، مشخص نیست که چند بار از همه اعداد استفاده می شود - اعداد 0 تا 9 باید به نسبت مساوی استفاده شوند. با این حال، آمار را می توان از اولین تریلیون رقم ردیابی کرد، اما به دلیل بی نهایت بودن عدد، نمی توان چیزی را به طور قطع ثابت کرد. مشکلات دیگری وجود دارد که هنوز دانشمندان از آنها دوری می کنند. این امکان وجود دارد که توسعه بیشتر علم به روشن شدن آنها کمک کند، اما در حال حاضر فراتر از محدوده هوش انسانی باقی مانده است.

پی خدایی به نظر می رسد

دانشمندان نمی توانند به برخی از سوالات در مورد عدد Pi پاسخ دهند، با این حال، هر سال ماهیت آن را بهتر و بهتر درک می کنند. قبلاً در قرن هجدهم، غیرمنطقی بودن این تعداد ثابت شد. علاوه بر این، ثابت شده است که عدد ماورایی است. این بدان معنی است که هیچ فرمول خاصی وجود ندارد که به شما امکان می دهد Pi را با استفاده از اعداد گویا محاسبه کنید.

نارضایتی از عدد پی

بسیاری از ریاضیدانان به سادگی عاشق پی هستند، اما کسانی نیز هستند که معتقدند این اعداد اهمیت خاصی ندارند. علاوه بر این، آنها ادعا می کنند که تاو، که دو برابر اندازه Pi است، برای استفاده به عنوان یک عدد غیر منطقی راحت تر است. تاو رابطه بین محیط و شعاع را نشان می دهد که برخی معتقدند نشان دهنده روش منطقی تری برای محاسبه است. با این حال، تعیین بدون ابهام چیزی در این مورد غیرممکن است، و یکی و دیگری همیشه طرفدارانی خواهند داشت، هر دو روش حق حیات دارند، بنابراین این فقط یک واقعیت جالب است و دلیلی نیست که فکر کنید نباید از عدد Pi استفاده کنید.