فرمول مدول جابجایی بدن در حرکت شتاب یکنواخت. معادله طرح ریزی جابجایی

صفحه 8 از 12

§ 7. حرکت با شتاب یکنواخت
حرکت مستقیم

1. با استفاده از نمودار سرعت در مقابل زمان، می توانید فرمول حرکت یک جسم با حرکت یکنواخت یکنواخت را بدست آورید.

شکل 30 نموداری از پیش بینی سرعت حرکت یکنواخت روی محور را نشان می دهد ایکساز زمان. اگر در نقطه ای عمود بر محور زمان تنظیم کنیم سی، سپس یک مستطیل می گیریم OABC. مساحت این مستطیل برابر با حاصلضرب اضلاع است OAو OC. اما طول پهلو OAبرابر است با v x، و طول ضلع OC - تی، از این رو اس = v x t. حاصل ضرب طرح سرعت بر روی محور ایکسو زمان برابر است با پیش بینی جابجایی، یعنی. s x = v x t.

به این ترتیب، پیش بینی جابجایی برای حرکت یکنواخت یکنواخت از نظر عددی برابر است با مساحت مستطیل محدود شده توسط محورهای مختصات، نمودار سرعت و عمود بر محور زمان.

2. ما به روشی مشابه فرمول طرح ریزی جابجایی را در یک حرکت یکنواخت مستطیل با شتاب به دست می آوریم. برای این کار از نمودار وابستگی طرح سرعت به محور استفاده می کنیم ایکساز زمان (شکل 31). یک ناحیه کوچک از نمودار را انتخاب کنید ابو عمودها را از نقاط رها کنید آو بدر محور زمان اگر فاصله زمانی D تی، مربوط به بخش سی دیدر محور زمان کوچک است، پس می توان فرض کرد که سرعت در این مدت زمان تغییر نمی کند و بدن به طور یکنواخت حرکت می کند. در این مورد شکل cabdتفاوت کمی با یک مستطیل دارد و مساحت آن از نظر عددی برابر است با پیش بینی حرکت بدن در زمان مربوط به قطعه سی دی.

می توانید کل شکل را به چنین نوارهایی بشکنید OABCو مساحت آن برابر با مجموع مساحت تمام نوارها خواهد بود. بنابراین، طرح ریزی حرکت بدن در طول زمان تیاز نظر عددی برابر با مساحت ذوزنقه است OABC. از درس هندسه می دانید که مساحت ذوزنقه برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع آن: اس= (OA + قبل از میلاد مسیح)OC.

همانطور که از شکل 31 مشاهده می شود، OA = v 0ایکس , قبل از میلاد مسیح = v x, OC = تی. به این ترتیب پیش بینی جابجایی با فرمول بیان می شود: s x= (v x + v 0ایکس)تی.

با حرکت مستقیم شتاب یکنواخت، سرعت بدن در هر زمان برابر است v x = v 0ایکس + یک x t، در نتیجه، s x = (2v 0ایکس + یک x t)تی.

از اینجا:

برای بدست آوردن معادله حرکت جسم، بیان آن را از طریق اختلاف مختصات در فرمول پیش بینی جابجایی جایگزین می کنیم. s x = ایکس – ایکس 0 .

ما گرفتیم: ایکس – ایکس 0 = v 0ایکس تی+، یا

ایکس = ایکس 0 + v 0ایکس تی + .

با توجه به معادله حرکت، اگر مختصات اولیه، سرعت اولیه و شتاب جسم مشخص باشد، در هر زمانی می توان مختصات جسم را تعیین کرد.

3. در عمل، اغلب مشکلاتی وجود دارد که در آنها لازم است جابجایی یک جسم را در حین حرکت یکنواخت شتاب گرفته یکنواخت پیدا کنیم، اما زمان حرکت ناشناخته است. در این موارد از فرمول پیش بینی جابجایی متفاوت استفاده می شود. برویم بگیریمش.

از فرمول طرح ریزی سرعت حرکت شتاب یکنواخت مستطیل v x = v 0ایکس + یک x tبیایید زمان را بیان کنیم:

تی = .

با جایگزینی این عبارت به فرمول طرح ریزی جابجایی، دریافت می کنیم:

s x = v 0ایکس + .

از اینجا:

s x = ، یا
–= 2a x s x.

اگر سرعت اولیه جسم صفر باشد، آنگاه:

2a x s x.

4. مثال حل مسئله

اسکی باز از حالت استراحت با شتاب 0.5 متر بر ثانیه 2 در 20 ثانیه از دامنه کوه به پایین حرکت می کند و سپس در امتداد بخش افقی حرکت می کند و تا توقف 40 متری حرکت می کند. اسکی باز با چه شتابی در طول مسیر حرکت می کند. سطح افقی؟ طول شیب کوه چقدر است؟

داده شده:

راه حل

v 01 = 0

آ 1 = 0.5 متر بر ثانیه 2

تی 1 = 20 ثانیه

س 2 = 40 متر

v 2 = 0

حرکت اسکی باز شامل دو مرحله است: در مرحله اول، با پایین آمدن از دامنه کوه، اسکی باز با افزایش سرعت در مقدار مطلق حرکت می کند. در مرحله دوم، هنگام حرکت در امتداد یک سطح افقی، سرعت آن کاهش می یابد. مقادیر مربوط به مرحله اول حرکت با شاخص 1 و مقادیر مربوط به مرحله دوم با شاخص 2 نوشته می شود.

آ 2?

س 1?

ما سیستم مرجع را با زمین، محور متصل خواهیم کرد ایکساجازه دهید در جهت سرعت اسکی باز در هر مرحله از حرکت خود هدایت کنیم (شکل 32).

بیایید معادله سرعت اسکی باز در پایان فرود از کوه را بنویسیم:

v 1 = v 01 + آ 1 تی 1 .

در پیش بینی های روی محور ایکسما گرفتیم: v 1ایکس = آ 1ایکس تی. از آنجایی که پیش بینی های سرعت و شتاب بر روی محور ایکسمثبت هستند، مدول سرعت اسکی باز: v 1 = آ 1 تی 1 .

بیایید معادله ای بنویسیم که پیش بینی های سرعت، شتاب و حرکت اسکی باز را در مرحله دوم حرکت مرتبط می کند:

–= 2آ 2ایکس س 2ایکس .

با توجه به اینکه سرعت اولیه اسکی باز در این مرحله از حرکت برابر است با سرعت نهایی او در مرحله اول.

v 02 = v 1 , v 2ایکس= 0 دریافت می کنیم

– = –2آ 2 س 2 ; (آ 1 تی 1) 2 = 2آ 2 س 2 .

از اینجا آ 2 = ;

آ 2 == 0.125 متر بر ثانیه 2.

مدول حرکت اسکی باز در مرحله اول حرکت برابر با طول دامنه کوه است. بیایید معادله جابجایی را بنویسیم:

س 1ایکس = v 01ایکس تی + .

از این رو طول دامنه کوه است س 1 = ;

س 1 == 100 متر.

پاسخ: آ 2 \u003d 0.125 m / s 2; س 1 = 100 متر

سوالاتی برای خودآزمایی

1. همانطور که با توجه به طرح طرح ریزی سرعت حرکت یکنواخت مستطیل روی محور ایکس

2. همانطور که با توجه به نمودار طرح ریزی سرعت حرکت مستقیم شتاب یکنواخت روی محور ایکساز زمان برای تعیین طرح ریزی از جابجایی بدن؟

3. از چه فرمولی برای محاسبه برآمدگی جابجایی یک جسم در حین حرکت مستقیم شتاب یکنواخت استفاده می شود؟

4. اگر سرعت اولیه جسم صفر باشد از چه فرمولی برای محاسبه پیش بینی جابجایی جسمی که به طور یکنواخت با شتاب و به صورت مستقیم حرکت می کند استفاده می شود؟

وظیفه 7

1. اگر در این مدت سرعت خودرو از 0 به 72 کیلومتر در ساعت تغییر کرده باشد، مدول جابجایی آن در 2 دقیقه چقدر است؟ مختصات ماشین در آن زمان چگونه است تی= 2 دقیقه؟ مختصات اولیه صفر در نظر گرفته شده است.

2. قطار با سرعت اولیه 36 کیلومتر در ساعت و شتاب 0.5 متر بر ثانیه 2 حرکت می کند. جابجایی قطار در 20 ثانیه و مختصات آن در لحظه زمان چقدر است تی= 20 ثانیه اگر مختصات شروع قطار 20 متر باشد؟

3. اگر سرعت اولیه دوچرخه سوار در هنگام ترمز 10 متر بر ثانیه و شتاب 1.2 متر بر ثانیه 2 باشد، حرکت دوچرخه سوار به مدت 5 ثانیه پس از شروع ترمز چگونه است؟ مختصات دوچرخه سوار در آن زمان چیست تی= 5 ثانیه، اگر در لحظه اولیه زمان در مبدأ بود؟

4. خودرویی که با سرعت 54 کیلومتر در ساعت حرکت می کند، هنگام ترمزگیری به مدت 15 ثانیه متوقف می شود. مدول جابجایی خودرو هنگام ترمزگیری چقدر است؟

5. دو خودرو از دو شهرک واقع در فاصله 2 کیلومتری از یکدیگر به سمت یکدیگر حرکت می کنند. سرعت اولیه یک خودرو 10 متر بر ثانیه و شتاب 0.2 متر بر ثانیه 2، سرعت اولیه دیگری 15 متر بر ثانیه و شتاب 0.2 متر بر ثانیه است. تعیین زمان و مختصات محل ملاقات خودروها.

آزمایشگاه شماره 1

مطالعه یکنواخت تسریع شده است
حرکت مستقیم

هدف، واقعگرایانه:

یاد بگیرید که چگونه شتاب را در حرکت مستقیم شتاب یکنواخت اندازه گیری کنید. به طور تجربی نسبت مسیرهایی را که بدن طی می کند در طول حرکت یکنواخت مستطیل با شتاب در فواصل زمانی مساوی متوالی تعیین کند.

دستگاه ها و مواد:

ناودان، سه پایه، توپ فلزی، کرونومتر، نوار اندازه گیری، سیلندر فلزی.

سفارش کار

1. یک سر ناودان را در پای سه پایه محکم کنید تا زاویه کوچکی با سطح میز ایجاد کند و در انتهای دیگر سیلندر یک استوانه فلزی داخل آن قرار دهید.

2. مسیرهای طی شده توسط توپ را در 3 بازه زمانی متوالی معادل 1 ثانیه اندازه گیری کنید. این را می توان به روش های مختلف انجام داد. می‌توانید با گچ علامت‌هایی را روی ناودان بگذارید و موقعیت توپ را در نقاط زمانی برابر با ۱ ثانیه، ۲ ثانیه، ۳ ثانیه ثابت کنید و فواصل را اندازه بگیرید. s_بین این علامت ها این امکان وجود دارد که هر بار توپ را از همان ارتفاع رها کنید تا مسیر را اندازه گیری کنید س، ابتدا در 1 ثانیه و سپس در 2 ثانیه و در 3 ثانیه از او گذشت و سپس مسیر طی شده توسط توپ را در ثانیه دوم و سوم محاسبه کنید. نتایج اندازه گیری را در جدول 1 ثبت کنید.

3. نسبت مسیر طی شده در ثانیه دوم به مسیر طی شده در ثانیه اول و مسیر طی شده در ثانیه سوم به مسیر طی شده در ثانیه اول را بیابید. نتیجه گیری کنید

4. مدت زمانی که توپ در امتداد ناودان طی کرده و مسافت طی شده توسط آن را اندازه گیری کنید. شتاب آن را با استفاده از فرمول محاسبه کنید س = .

5. با استفاده از مقدار شتاب بدست آمده تجربی، مسیرهایی را که توپ باید در ثانیه های اول، دوم و سوم حرکت خود طی کند محاسبه کنید. نتیجه گیری کنید

میز 1

شماره تجربه

داده های تجربی

نتایج نظری

زمان تی , از جانب

راه ها , سانتی متر

زمان t , از جانب

مسیر

s، سانتی متر

شتاب a، cm/s2

زمانتی, از جانب

راه ها , سانتی متر

سرعت (v) یک کمیت فیزیکی است که از نظر عددی برابر با مسیر (های) پیموده شده توسط بدن در واحد زمان (t) است.

مسیر

مسیر (S) - طول مسیری که بدن در امتداد آن حرکت می کند، از نظر عددی برابر است با حاصل ضرب سرعت (v) بدن و زمان (t) حرکت.

زمان سفر

زمان حرکت (t) برابر است با نسبت مسیر (S) طی شده توسط بدن به سرعت (v) حرکت.

سرعت متوسط

سرعت متوسط (vav) برابر است با نسبت مجموع مقاطع مسیر (s 1 s 2, s 3, ...) که بدن طی می کند به فاصله زمانی (t 1 + t 2 + t 3 + ...) که این مسیر طی شد.

سرعت متوسطنسبت طول مسیر طی شده توسط بدن به زمانی است که این مسیر طی شده است.

سرعت متوسطهنگام حرکت ناهموار در یک خط مستقیم: این نسبت کل مسیر به کل زمان است.

دو مرحله متوالی با سرعت های مختلف: کجا

هنگام حل مسائل - چند مرحله حرکت این همه مؤلفه خواهد داشت:

پیش بینی بردار جابجایی بر روی محورهای مختصات

طرح ریزی بردار جابجایی بر روی محور OX:

طرح ریزی بردار جابجایی بر روی محور OY:

اگر بردار عمود بر محور باشد، بردار بر روی یک محور، صفر است.

علائم برجستگی جابجایی: اگر حرکت از برجستگی ابتدای بردار به سمت برجستگی انتهای آن در جهت محور اتفاق بیفتد، برجستگی مثبت و اگر در خلاف محور باشد منفی در نظر گرفته می شود. در این مثال

ماژول حرکتطول بردار جابجایی است:

طبق قضیه فیثاغورث:

پیش بینی حرکت و زاویه شیب

در این مثال:

معادله مختصات (به طور کلی):

بردار شعاع- یک بردار که ابتدای آن با مبدأ مختصات منطبق است و پایان - با موقعیت بدن در یک زمان معین. پیش بینی های بردار شعاع بر روی محورهای مختصات مختصات جسم را در یک زمان معین تعیین می کند.

بردار شعاع به شما امکان می دهد موقعیت یک نقطه مادی را در یک داده مشخص کنید سیستم مرجع:

حرکت یکنواخت مستطیل - تعریف

حرکت مستطیل یکنواخت- حرکتی که در آن بدن برای هر بازه زمانی مساوی، جابجایی های مساوی ایجاد می کند.

سرعت در حرکت یکنواخت یکنواخت. سرعت یک کمیت فیزیکی برداری است که نشان می دهد یک جسم در واحد زمان چقدر حرکت می کند.

به صورت برداری:

در پیش بینی ها بر روی محور OX:

واحدهای سرعت اضافی:

1 کیلومتر در ساعت = 1000 متر/3600 ثانیه،

1 کیلومتر بر ثانیه = 1000 متر بر ثانیه،

1 سانتی متر بر ثانیه = 0.01 متر بر ثانیه،

1 متر در دقیقه = 1 متر در 60 ثانیه.

دستگاه اندازه گیری - سرعت سنج - ماژول سرعت را نشان می دهد.

علامت پیش بینی سرعت به جهت بردار سرعت و محور مختصات بستگی دارد:

نمودار پیش بینی سرعت وابستگی پیش بینی سرعت به زمان است:

نمودار سرعت برای حرکت یکنواخت یکنواخت- خط مستقیم موازی با محور زمان (1، 2، 3).

اگر نمودار بالاتر از محور زمان (.1) قرار گیرد، آنگاه جسم در جهت محور OX حرکت می کند. اگر نمودار در زیر محور زمان قرار گیرد، آنگاه جسم بر خلاف محور OX حرکت می کند (2، 3).

معنای هندسی حرکت.

با حرکت یکنواخت یکنواخت، جابجایی با فرمول تعیین می شود. اگر مساحت شکل زیر نمودار سرعت را در محورها محاسبه کنیم، همان نتیجه را می گیریم. بنابراین، برای تعیین مسیر و ماژول جابجایی در طول حرکت مستقیم، لازم است مساحت شکل زیر نمودار سرعت در محورها محاسبه شود:

طرح طرح ریزی جابجایی- وابستگی پیش بینی جابجایی به زمان.

نمودار طرح ریزی جابجایی برای حرکت مستقیم یکنواخت- یک خط مستقیم که از مبدأ خارج می شود (1، 2، 3).

اگر خط مستقیم (1) بالای محور زمان قرار گیرد، بدن در جهت محور OX حرکت می کند و اگر در زیر محور (2، 3) باشد، در مقابل محور OX حرکت می کند.

هر چه مماس شیب (1) نمودار بیشتر باشد، ماژول سرعت بیشتر است.

مختصات طرح- وابستگی مختصات بدن به زمان:

مختصات نمودار برای حرکت یکنواخت مستطیل - خطوط مستقیم (1، 2، 3).

اگر با گذشت زمان مختصات افزایش یابد (1، 2)، سپس بدن در جهت محور OX حرکت می کند. اگر مختصات (3) کاهش یابد، بدن بر خلاف جهت محور OX حرکت می کند.

هر چه مماس شیب (1) بیشتر باشد، مدول سرعت بیشتر است.

اگر نمودارهای مختصات دو جسم متقاطع شوند، از نقطه تقاطع باید عمودها را به محور زمان و محور مختصات کاهش داد.

نسبیت حرکت مکانیکی

منظور ما از نسبیت، وابستگی چیزی به انتخاب چارچوب مرجع است. مثلاً صلح نسبی است; حرکت نسبی و موقعیت نسبی بدن.

قانون اضافه کردن جابجایی ها.جمع برداری از جابجایی ها

جابجایی بدنه نسبت به چارچوب مرجع متحرک (RFR) کجاست. - حرکت PSO نسبت به چارچوب مرجع ثابت (FRS)؛ - حرکت بدن نسبت به چارچوب مرجع ثابت (FRS).

اضافه بردار:

جمع بردارهای جهت دار در امتداد یک خط مستقیم:

جمع بردارهای عمود بر یکدیگر

طبق قضیه فیثاغورث

بیایید فرمولی را استخراج کنیم که بتوان از آن برای محاسبه پیش بینی بردار جابجایی جسمی که در یک خط مستقیم حرکت می کند و برای هر دوره زمانی به طور یکنواخت شتاب می گیرد، استفاده کرد. برای انجام این کار، اجازه دهید به شکل 14 برگردیم. هم در شکل 14، a، و در شکل 14، b، قطعه AC نموداری از طرح بردار سرعت جسمی است که با شتاب ثابت a (با سرعت اولیه) حرکت می کند. v 0).

برنج. 14. پیش بینی بردار جابجایی جسمی که در یک خط مستقیم حرکت می کند و شتاب یکنواخت دارد از نظر عددی برابر با مساحت S زیر نمودار است.

به یاد بیاورید که با یک حرکت یکنواخت مستطیلی یک جسم، طرح بردار جابجایی ساخته شده توسط این جسم با همان فرمول مساحت مستطیل محصور در زیر نمودار طرح بردار سرعت تعیین می شود (شکل 6 را ببینید). بنابراین، طرح بردار جابجایی از نظر عددی برابر با مساحت این مستطیل است.

اجازه دهید ثابت کنیم که در مورد یک حرکت یکنواخت مستطیل با شتاب، طرح بردار جابجایی sx را می توان با همان فرمول تعیین کرد که مساحت شکل محصور بین نمودار AC، محور Ot و بخش های OA و قبل از میلاد، یعنی در این مورد، طرح بردار جابجایی به صورت عددی برابر با مساحت شکل زیر نمودار سرعت است. برای انجام این کار، در محور Ot (نگاه کنید به شکل 14، a) یک بازه زمانی کوچک db را انتخاب می کنیم. از نقاط d و b عمود بر محور Ot می کشیم تا زمانی که با نمودار طرح بردار سرعت در نقاط a و c تلاقی کنند.

بنابراین، برای مدت زمانی متناظر با قطعه db، سرعت بدنه از v ax به v cx تغییر می کند.

برای یک دوره زمانی کوتاه مدت، پیش بینی بردار سرعت بسیار کمی تغییر می کند. بنابراین، حرکت بدن در این مدت زمان با یکنواخت، یعنی با حرکت با سرعت ثابت تفاوت کمی دارد.

می توان کل منطقه شکل OASV را که یک ذوزنقه است به چنین نوارهایی تقسیم کرد. بنابراین، طرح بردار جابجایی sx برای بازه زمانی مربوط به قطعه OB از نظر عددی برابر با مساحت S ذوزنقه OASV است و با همان فرمول این ناحیه تعیین می شود.

طبق قاعده ای که در دروس هندسه مدرسه داده می شود، مساحت ذوزنقه برابر است با حاصلضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع آن. شکل 14، b نشان می دهد که پایه های ذوزنقه OASV قطعات OA = v 0x و BC = v x هستند و ارتفاع قطعه OB = t است. در نتیجه،

از آنجایی که v x \u003d v 0x + a x t، a S \u003d s x، پس می توانیم بنویسیم:

بنابراین، ما فرمولی برای محاسبه طرح بردار جابجایی در حین حرکت یکنواخت شتاب گرفته به دست آورده‌ایم.

با استفاده از همین فرمول، پیش بینی بردار جابجایی نیز زمانی محاسبه می شود که جسم با مدول کاهشی سرعت حرکت می کند، فقط در این حالت بردارهای سرعت و شتاب در جهات مخالف جهت می گیرند، بنابراین برجستگی آنها دارای علائم متفاوتی خواهد بود.

سوالات

با استفاده از شکل 14، الف، ثابت کنید که پیش بینی بردار جابجایی در حین حرکت شتاب یکنواخت از نظر عددی برابر با مساحت شکل OASV است.
معادله ای بنویسید تا پیش بینی بردار جابجایی یک جسم را در طول حرکت یکنواخت یکنواخت شتاب گرفته آن مشخص کنید.

تمرین 7

صفحه 8 از 12

§ 7. حرکت با شتاب یکنواخت
حرکت مستقیم

1. با استفاده از نمودار سرعت در مقابل زمان، می توانید فرمول حرکت یک جسم با حرکت یکنواخت یکنواخت را بدست آورید.

با حرکت مستقیم شتاب یکنواخت، سرعت بدن در هر زمان برابر است v x = v 0ایکس + یک x t، در نتیجه، s x = (2v 0ایکس + یک x t)تی.

ما گرفتیم: ایکس – ایکس 0 = v 0ایکس تی+، یا

ایکس = ایکس 0 + v 0ایکس تی + .

از فرمول طرح ریزی سرعت حرکت شتاب یکنواخت مستطیل v x = v 0ایکس + یک x tبیایید زمان را بیان کنیم:

با جایگزینی این عبارت به فرمول طرح ریزی جابجایی، دریافت می کنیم:

s x = v 0ایکس + .

s x = ، یا
–= 2a x s x.

اگر سرعت اولیه جسم صفر باشد، آنگاه:

2a x s x.

4. مثال حل مسئله

داده شده:

v 01 = 0

آ 1 = 0.5 متر بر ثانیه 2

تی 1 = 20 ثانیه

س 2 = 40 متر

v 2 = 0

آ 2?

س 1?

بیایید معادله سرعت اسکی باز در پایان فرود از کوه را بنویسیم:

v 1 = v 01 + آ 1 تی 1 .

بیایید معادله ای بنویسیم که پیش بینی های سرعت، شتاب و حرکت اسکی باز را در مرحله دوم حرکت مرتبط می کند:

–= 2آ 2ایکس س 2ایکس .

با توجه به اینکه سرعت اولیه اسکی باز در این مرحله از حرکت برابر است با سرعت نهایی او در مرحله اول.

v 02 = v 1 , v 2ایکس= 0 دریافت می کنیم

– = –2آ 2 س 2 ; (آ 1 تی 1) 2 = 2آ 2 س 2 .

از اینجا آ 2 = ;

آ 2 == 0.125 متر بر ثانیه 2.

مدول حرکت اسکی باز در مرحله اول حرکت برابر با طول دامنه کوه است. بیایید معادله جابجایی را بنویسیم:

س 1ایکس = v 01ایکس تی + .

از این رو طول دامنه کوه است س 1 = ;

س 1 == 100 متر.

پاسخ: آ 2 \u003d 0.125 m / s 2; س 1 = 100 متر

سوالاتی برای خودآزمایی

1. همانطور که با توجه به طرح طرح ریزی سرعت حرکت یکنواخت مستطیل روی محور ایکس

3. از چه فرمولی برای محاسبه برآمدگی جابجایی یک جسم در حین حرکت مستقیم شتاب یکنواخت استفاده می شود؟

وظیفه 7

آزمایشگاه شماره 1

مطالعه یکنواخت تسریع شده است
حرکت مستقیم

هدف، واقعگرایانه:

دستگاه ها و مواد:

ناودان، سه پایه، توپ فلزی، کرونومتر، نوار اندازه گیری، سیلندر فلزی.

سفارش کار

میز 1

شماره تجربه

داده های تجربی

نتایج نظری

زمان تی , از جانب

راه ها , سانتی متر

زمان t , از جانب

مسیر

s، سانتی متر

شتاب a، cm/s2

زمانتی, از جانب

راه ها , سانتی متر

چگونه با دانستن فاصله توقف، سرعت اولیه خودرو را مشخص می کنیم و چگونه با دانستن ویژگی های حرکت مانند سرعت اولیه، شتاب، زمان، حرکت خودرو را مشخص می کنیم؟ پس از آشنایی با مبحث درس امروز "جابجایی با حرکت شتاب یکنواخت، وابستگی مختصات به زمان با حرکت شتاب یکنواخت" به پاسخ خواهیم رسید.

با حرکت شتاب یکنواخت، نمودار مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که به سمت بالا می رود، زیرا طرح شتاب آن بزرگتر از صفر است.

با حرکت یکنواخت مستطیل، مساحت از نظر عددی برابر با مدول برآمدگی جابجایی جسم خواهد بود. به نظر می رسد که این واقعیت را می توان نه تنها برای مورد حرکت یکنواخت، بلکه برای هر حرکتی تعمیم داد، یعنی نشان داد که مساحت زیر نمودار از نظر عددی برابر با مدول طرح ریزی جابجایی است. این کار کاملاً ریاضی انجام می شود، اما ما از یک روش گرافیکی استفاده خواهیم کرد.

برنج. 2. نمودار وابستگی سرعت به زمان با حرکت شتاب یکنواخت ()

بیایید نمودار پیش‌بینی سرعت را از زمان برای حرکت با شتاب یکنواخت به بازه‌های زمانی کوچک Δt تقسیم کنیم. فرض کنید آنها آنقدر کوچک هستند که در طول طول آنها عملاً سرعت تغییر نکرده است ، یعنی نمودار وابستگی خطی در شکل را به صورت مشروط به یک نردبان تبدیل می کنیم. در هر یک از مراحل آن، ما معتقدیم که سرعت تغییر چندانی نکرده است. تصور کنید که فواصل زمانی Δt را بی نهایت کوچک کنیم. در ریاضیات می گویند: ما به حد گذر می کنیم. در این حالت، مساحت چنین نردبانی به طور نامحدود با مساحت ذوزنقه که توسط نمودار V x (t) محدود شده است، مطابقت دارد. و این به این معنی است که برای حرکت شتاب یکنواخت، می‌توان گفت که مدول پیش‌بینی جابجایی از نظر عددی برابر است با مساحت محدود شده توسط نمودار V x (t): محورهای آبسیسا و مختصات و عمود بر محور آبسیسا کاهش می‌یابد. یعنی مساحت ذوزنقه OABS که در شکل 2 می بینیم.

این مشکل از یک مشکل فیزیکی به یک مشکل ریاضی تبدیل می شود - پیدا کردن مساحت ذوزنقه. این یک وضعیت استاندارد است زمانی که فیزیکدانان مدلی می سازند که یک پدیده خاص را توصیف می کند، و سپس ریاضیات وارد عمل می شود، که این مدل را با معادلات، قوانین غنی می کند - که مدل را به یک نظریه تبدیل می کند.

ما مساحت ذوزنقه را پیدا می کنیم: ذوزنقه مستطیلی است، از آنجایی که زاویه بین محورها 90 0 است، ذوزنقه را به دو شکل تقسیم می کنیم - یک مستطیل و یک مثلث. بدیهی است که مساحت کل برابر با مجموع مساحت های این ارقام خواهد بود (شکل 3). بیایید مساحت آنها را پیدا کنیم: مساحت مستطیل برابر است با حاصلضرب اضلاع، یعنی V 0x t، مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با نصف حاصلضرب پاها خواهد بود - 1/2AD BD، با جایگزینی مقادیر طرح ریزی شده، به دست می آوریم: 1/2t (V x - V 0x) و با یادآوری قانون تغییر سرعت از زمان با حرکت شتاب یکنواخت: V x (t) = V 0x + axt، این است کاملاً بدیهی است که تفاوت در پیش بینی سرعت ها برابر است با حاصل ضرب طرح محور شتاب در زمان t، یعنی V x - V 0x = a x t.

برنج. 3. تعیین مساحت ذوزنقه ( منبع)

با در نظر گرفتن این واقعیت که مساحت ذوزنقه از نظر عددی برابر با ماژول طرح ریزی جابجایی است، به دست می آوریم:

S x (t) \u003d V 0 x t + a x t 2 / 2

ما قانون وابستگی طرح جابجایی به زمان را با حرکت شتاب یکنواخت به صورت اسکالر به دست آورده ایم، در شکل برداری به این صورت خواهد بود:

(t) = t + t 2/2

بیایید یک فرمول دیگر برای پیش بینی جابجایی استخراج کنیم، که زمان را به عنوان یک متغیر شامل نمی شود. ما سیستم معادلات را با حذف زمان از آن حل می کنیم:

S x (t) \u003d V 0 x + a x t 2 / 2

V x (t) \u003d V 0 x + a x t

تصور کنید که زمان را نمی دانیم، سپس زمان را از معادله دوم بیان می کنیم:

t \u003d V x - V 0x / a x

مقدار حاصل را با معادله اول جایگزین کنید:

چنین عبارت دست و پا گیر به دست می آوریم، آن را مربع می کنیم و موارد مشابه را می دهیم:

برای مواردی که زمان حرکت را نمی دانیم، یک بیان طرح ریزی جابجایی بسیار راحت به دست آورده ایم.

اجازه دهید سرعت اولیه ماشین را داشته باشیم، هنگامی که ترمز شروع شد، V 0 \u003d 72 کیلومتر در ساعت، سرعت نهایی V \u003d 0، شتاب a \u003d 4 متر بر ثانیه 2 است. طول مسافت ترمز را دریابید. با تبدیل کیلومتر به متر و جایگزینی مقادیر به فرمول، دریافت می کنیم که فاصله توقف برابر خواهد بود:

S x \u003d 0 - 400 (m / s) 2 / -2 4 m / s 2 \u003d 50 m

بیایید فرمول زیر را تجزیه و تحلیل کنیم:

S x \u003d (V 0 x + V x) / 2 تن

پیش بینی حرکت نصف مجموع پیش بینی های سرعت اولیه و نهایی است که در زمان حرکت ضرب می شود. فرمول جابجایی سرعت متوسط را به یاد بیاورید

S x \u003d V cf t

در مورد حرکت با شتاب یکنواخت، سرعت متوسط خواهد بود:

V cf \u003d (V 0 + V k) / 2

ما به حل مشکل اصلی مکانیک حرکت یکنواخت با شتاب نزدیک شده ایم، یعنی به دست آوردن قانونی که بر اساس آن مختصات با زمان تغییر می کند:

x(t) \u003d x 0 + V 0 x t + a x t 2/2

به منظور یادگیری نحوه استفاده از این قانون، یک مشکل معمولی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

خودرو در حال حرکت از حالت استراحت، شتاب 2 متر بر ثانیه 2 به دست می آورد. مسافت طی شده توسط ماشین را در 3 ثانیه و در ثانیه سوم بیابید.

داده شده: V 0 x = 0

اجازه دهید قانونی را بنویسیم که بر اساس آن جابجایی با زمان در تغییر می کند

حرکت شتاب یکنواخت: S x \u003d V 0 x t + a x t 2/2. 2 ج

با وصل کردن داده ها می توانیم به اولین سوال مشکل پاسخ دهیم:

t 1 \u003d 3 c S 1x \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 3 2 / 2 \u003d 9 (m) - این مسیری است که رفت

ماشین c در 3 ثانیه.

بفهمید او چقدر مسافت را در 2 ثانیه طی کرد:

S x (2 s) \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 2 2 / 2 \u003d 4 (m)

بنابراین، من و شما می دانیم که در دو ثانیه ماشین 4 متر را طی کرد.

حال با دانستن این دو مسافت می‌توان راهی را که او در ثانیه سوم طی کرد، پیدا کرد:

S 2x \u003d S 1x + S x (2 s) \u003d 9 - 4 \u003d 5 (m)

حرکت با شتاب یکنواختچنین حرکتی نامیده می شود که در آن بردار شتاب از نظر قدر و جهت بدون تغییر باقی می ماند. نمونه ای از چنین حرکتی حرکت سنگی است که در زاویه خاصی نسبت به افق پرتاب می شود (بدون توجه به مقاومت هوا). در هر نقطه از مسیر، شتاب سنگ برابر با شتاب سقوط آزاد است. بنابراین، مطالعه حرکت شتاب یکنواخت به مطالعه حرکت شتاب یکنواخت یکنواخت کاهش می یابد. در مورد حرکت مستقیم، بردارهای سرعت و شتاب در امتداد خط مستقیم حرکت هدایت می شوند. بنابراین می توان سرعت و شتاب در پیش بینی ها در جهت حرکت را به عنوان کمیت های جبری در نظر گرفت. با حرکت مستقیم شتاب یکنواخت، سرعت بدن با فرمول (1) تعیین می شود.

در این فرمول، سرعت بدن در تی = 0 (سرعت شروع ) = ثابت - شتاب. در طرح ریزی بر روی محور x انتخاب شده، معادله (1) به شکل: (2) نوشته می شود. بر روی نمودار پیش بینی سرعت υ x ( تی) این وابستگی به شکل یک خط مستقیم است.

برای تعیین شتاب می توان از شیب نمودار سرعت استفاده کرد آبدن ساختارهای مربوطه در شکل ها ساخته شده است. برای نمودار I شتاب عددی برابر است با نسبت اضلاع مثلث ABC: .

هر چه زاویه β که نمودار سرعت را با محور زمان تشکیل می دهد بیشتر باشد، یعنی شیب نمودار بیشتر است ( شیب) شتاب بدن بیشتر می شود.

برای نمودار I: υ 0 \u003d -2 متر بر ثانیه، آ\u003d 1/2 متر بر ثانیه 2. برای نمودار II: υ 0 \u003d 3 m / s، آ\u003d -1/3 متر بر ثانیه 2.

نمودار سرعت همچنین به شما امکان می دهد تا پیش بینی جابجایی s بدن را برای مدتی t تعیین کنید. اجازه دهید مقداری بازه زمانی کوچک Δt را روی محور زمانی اختصاص دهیم. اگر این بازه زمانی به اندازه کافی کوچک باشد، تغییر سرعت در این مدت کم است، یعنی حرکت در این بازه زمانی را می توان با سرعت متوسط معینی یکنواخت در نظر گرفت که برابر با سرعت لحظه ای υ است. بدن در وسط فاصله Δt. بنابراین، جابجایی Δs در طول زمان Δt برابر با Δs = υΔt خواهد بود. این جابجایی برابر است با ناحیه سایه‌دار در شکل. راه راه با تقسیم فاصله زمانی از 0 تا یک لحظه معین t به فواصل کوچک Δt، می‌توان به این نتیجه رسید که جابجایی s برای یک زمان معین t در حین حرکت مستطیلی با شتاب یکنواخت برابر با مساحت ذوزنقه ODEF است. ساختارهای مربوطه در شکل ها ساخته شده است. برای برنامه II. زمان t برابر با 5.5 ثانیه در نظر گرفته شده است.

(3) - فرمول حاصل به شما امکان می دهد در صورتی که شتاب مشخص نیست، جابجایی را با حرکت شتاب یکنواخت تعیین کنید.

اگر عبارت سرعت (2) را به معادله (3) جایگزین کنیم، سپس (4) را به دست می آوریم - از این فرمول برای نوشتن معادله حرکت بدن استفاده می شود: (5).

اگر از معادله (2) زمان حرکت (6) را بیان کنیم و معادل (3) را جایگزین کنیم،

این فرمول به شما امکان می دهد حرکت را در زمان نامعلوم حرکت تعیین کنید.

بیایید در نظر بگیریم که اگر سرعت اولیه v 0 برابر با صفر باشد، پیش بینی بردار جابجایی جسمی که به طور یکنواخت با شتاب حرکت می کند، چگونه محاسبه می شود. در این مورد، معادله

به این صورت خواهد بود:

اجازه دهید این معادله را با جایگزین کردن ماژول های s و a از بردارها به جای پیش بینی های s x و a x بازنویسی کنیم.

جابجایی و شتاب. از آنجایی که در این حالت بردارهای sua در یک جهت هدایت می شوند، برجستگی آنها دارای علائم یکسانی است. بنابراین، معادله ماژول های بردار را می توان نوشت:

از این فرمول نتیجه می شود که با یک حرکت شتاب یکنواخت مستطیلی بدون سرعت اولیه، ماژول بردار جابجایی با مجذور فاصله زمانی که در طی آن این حرکت انجام شده است متناسب است. به این معنی که با افزایش زمان حرکت n برابر (از لحظه شروع حرکت شمارش می شود)، حرکت n 2 برابر افزایش می یابد.

به عنوان مثال، اگر برای یک دوره زمانی دلخواه t 1 از ابتدای حرکت، بدن حرکت کرد

سپس برای مدت زمان t 2 \u003d 2t 1 (از همان لحظه t 1 شمارش می شود) حرکت می کند

برای یک دوره زمانی t n \u003d nt l - جابجایی s n \u003d n 2 s l (که در آن n یک عدد طبیعی است).

این وابستگی ماژول بردار جابجایی به زمان در طول حرکت یکنواخت مستطیل با شتاب بدون سرعت اولیه به وضوح در شکل 15 منعکس شده است، جایی که بخش های OA، OB، OS، OD و OE ماژول های بردارهای جابجایی هستند (s 1, s 2، s 3، s 4 و s 5)، به ترتیب توسط بدن برای فواصل زمانی t 1، t 2 = 2t 1، t 3 = 3t 1، t 4 = 4t 1 و t 5 = 5t 1 انجام شده است.

برنج. 15. الگوهای حرکت با شتاب یکنواخت: OA:OB:OS:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

از این شکل مشخص است که

OA:OB:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25، (1)

یعنی با افزایش فواصل زمانی شمارش شده از ابتدای حرکت، با تعداد صحیح بار در مقایسه با t 1، ماژول های بردارهای جابجایی متناظر به صورت یک سری مربع از اعداد طبیعی متوالی افزایش می یابند.

شکل 15 الگوی دیگری را نشان می دهد:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9، (2)

به عنوان مثال، ماژول های بردارهای جابجایی انجام شده توسط بدن در دوره های زمانی مساوی متوالی (که هر کدام برابر با t 1 است) به عنوان یک سری از اعداد فرد متوالی مرتبط هستند.

قاعده های (1) و (2) فقط ذاتی حرکت با شتاب یکنواخت هستند. بنابراین، در صورت نیاز به تعیین اینکه آیا حرکت به طور یکنواخت شتاب می گیرد یا خیر، می توان از آنها استفاده کرد.

برای مثال، تعیین کنیم که آیا حرکت حلزون به طور یکنواخت شتاب گرفته است، که در 20 ثانیه اول حرکت 0.5 سانتی متر، در 20 ثانیه دوم 1.5 سانتی متر و در 20 ثانیه سوم 2.5 سانتی متر حرکت می کند.

برای انجام این کار، بیایید دریابیم که حرکات انجام شده در بازه زمانی دوم و سوم چند برابر بیشتر از حرکات اول است:

این بدان معنی است که 0.5 سانتی متر: 1.5 سانتی متر: 2.5 سانتی متر = 1: 3: 5. از آنجایی که این نسبت ها یک سری اعداد فرد متوالی هستند، حرکت بدن به طور یکنواخت شتاب گرفت.

در این مورد، ماهیت شتاب یکنواخت حرکت بر اساس نظم آشکار شد (2).

سوالات

چه فرمول هایی برای محاسبه برجستگی و مدول بردار جابجایی یک جسم در حین حرکت شتاب یکنواخت آن از حالت سکون استفاده می شود؟
مدول بردار جابجایی جسم با افزایش زمان حرکت آن از حالت سکون به میزان n برابر چند برابر افزایش می یابد؟
بنویسید که چگونه مدولهای بردارهای جابجایی جسمی که به طور یکنواخت از حالت سکون با شتاب حرکت می کند، با افزایش زمان حرکت آن به تعداد صحیح در مقایسه با t 1 به یکدیگر ارتباط دارند.
بنویسید اگر این جسم با شتاب یکنواخت از حالت سکون حرکت کند، چگونه مدولهای بردارهای جابجایی که توسط جسم در فواصل زمانی مساوی متوالی انجام می شود با یکدیگر ارتباط دارند.
هدف از استفاده از قواعد (1) و (2) چیست؟

تمرین 8

قطاری که در 20 ثانیه اول از ایستگاه حرکت می کند در یک خط مستقیم حرکت می کند و شتاب یکنواخت دارد. مشخص است که در ثانیه سوم از شروع حرکت قطار 2 متر را طی کرد. ماژول بردار جابجایی ساخته شده توسط قطار در ثانیه اول و مدول بردار شتابی که با آن حرکت کرد را تعیین کنید.
خودرویی که از حالت استراحت با شتاب یکنواخت حرکت می کند، در پنجمین ثانیه شتاب 6.3 متری را طی می کند. خودرو تا پایان پنجمین ثانیه از شروع حرکت چه سرعتی داشته است؟
برخی از بدن در 0.03 ثانیه اول حرکت بدون سرعت اولیه 2 میلی متر، در 0.06 ثانیه اول - 8 میلی متر، در 0.09 ثانیه اول - 18 میلی متر حرکت کردند. بر اساس نظم (1)، ثابت کنید که در تمام 0.09 ثانیه، بدن به طور یکنواخت با شتاب حرکت کرد.

سوالات

1. برای محاسبه برجستگی و مدول بردار جابجایی جسم در حین حرکت شتاب یکنواخت آن از حالت سکون از چه فرمول هایی استفاده می شود؟

2. مدول بردار جابجایی جسم با n برابر افزایش زمان حرکت آن از حالت سکون چند برابر افزایش می یابد؟

3. بنویسید که چگونه مدول های بردارهای جابجایی جسمی که از حالت سکون به طور یکنواخت شتاب می گیرند، با افزایش زمان حرکت آن به تعداد صحیح در مقایسه با t 1 به یکدیگر ارتباط دارند.

4. بنویسید که اگر این جسم با شتاب یکنواخت از حالت سکون حرکت کند، چگونه مدولهای بردارهای جابجایی که توسط جسم در فواصل زمانی مساوی متوالی انجام می شود با یکدیگر ارتباط دارند.

5. برای چه منظوری می توان از قاعده مندی های (3) و (4) استفاده کرد؟

نظم (3) و (4) برای تعیین اینکه آیا حرکت به طور یکنواخت شتاب می گیرد یا نه استفاده می شود (به صفحه 33 مراجعه کنید).

تمرینات

1. قطاری که در 20 ثانیه اول از ایستگاه حرکت می کند در یک خط مستقیم حرکت می کند و شتاب یکنواخت دارد. مشخص است که در ثانیه سوم از شروع حرکت قطار 2 متر را طی کرد. ماژول بردار جابجایی ساخته شده توسط قطار در ثانیه اول و مدول بردار شتابی که با آن حرکت کرد را تعیین کنید.