एफ एक्स 3 एक्स 2 एक आदिम है। पूर्व की तरह समारोह और सामान्य दृश्य

विषय पर सबक और प्रस्तुति: "पूर्व की तरह समारोह। समारोह ग्राफ"

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मुद्रण समारोह। परिचय

दोस्तों, आप विभिन्न सूत्रों और नियमों का उपयोग करके व्युत्पन्न कार्यों को पा सकते हैं। आज हम व्युत्पन्न को उलटने के लिए ऑपरेशन सीखेंगे। व्युत्पन्न की अवधारणा का अक्सर उपयोग किया जाता है वास्तविक जीवन। मुझे आपको याद दिलाने दें: एक व्युत्पन्न एक विशिष्ट बिंदु पर कार्य के परिवर्तन की गति है। इन शर्तों में आंदोलन और गति से जुड़ी प्रक्रियाएं अच्छी तरह से वर्णित हैं।

आइए इस कार्य पर विचार करें: "एक सीधी रेखा में ऑब्जेक्ट आंदोलन की गति, $ v \u003d gt $ फॉर्मूला द्वारा वर्णित है। आंदोलन के कानून को बहाल करने के लिए आवश्यक है।
फेसला।
हम एक सूत्र को अच्छी तरह से जानते हैं: $ s "\u003d v (t) $, जहां आंदोलन का कानून है।
हमारा कार्य $ s \u003d s (t) $ के लिए खोज में कम हो गया है, जिसका व्युत्पन्न $ GT $ है। ध्यान से देखकर, आप अनुमान लगा सकते हैं कि $ s (t) \u003d \\ frac (g * t ^ 2) (2) $।
हम इस समस्या को हल करने की शुद्धता को सत्यापित करेंगे: $ s "(t) \u003d (\\ frac (g * t ^ 2) (2))" \u003d \\ frac (g) (2) * 2t \u003d g * t $।
व्युत्पन्न समारोह को जानना, हमने समारोह ही पाया, यानी, उन्होंने एक रिवर्स ऑपरेशन किया।
लेकिन इस पल पर ध्यान देने योग्य है। हमारे कार्य का समाधान स्पष्टीकरण की आवश्यकता है यदि पाया गया फ़ंक्शन किसी भी संख्या (स्थिर) में जोड़ा जाता है, व्युत्पन्न का मान नहीं बदलेगा: $ s (t) \u003d \\ frac (g * t ^ 2) (2) + c, C \u003d const $।
$ S "(t) \u003d (\\ frac (g * t ^ 2) (2))" + c "\u003d g * t + 0 \u003d g * t $।

दोस्तों, कृपया ध्यान दें: हमारे कार्य में समाधान का एक अनंत सेट है!
यदि कार्य को प्रारंभिक या किसी अन्य स्थिति को निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो समाधान के लिए निरंतर जोड़ना न भूलें। उदाहरण के लिए, हमारे कार्य में, आंदोलन की शुरुआत में हमारे शरीर की स्थिति सेट की जा सकती है। फिर परिणामी समीकरण में शून्य को प्रतिस्थापित करना, निरंतर गणना करना मुश्किल नहीं है, हम निरंतर मूल्य प्राप्त करते हैं।

इस तरह के एक ऑपरेशन का नाम क्या है?
ऑपरेशन व्यस्त भेदभाव एकीकरण कहा जाता है।
किसी दिए गए व्युत्पन्न - एकीकरण के लिए एक समारोह ढूँढना।
फ़ंक्शन को खुद को आदिम कहा जाएगा, यानी छवि, फिर व्युत्पन्न कार्य प्राप्त किया गया था।
पहला पत्र $ y \u003d f "(x) \u003d f (x) $ रिकॉर्ड करने वाला पहला।

परिभाषा। फ़ंक्शन $ y \u003d f (x) $ को गैप में आदिम फ़ंक्शन $ y \u003d f (x) $ कहा जाता है, यदि समानता $ f '(x) \u003d f (x) $ किसी भी $ xεx $ के लिए किया जाता है।

चलो आदिम की एक तालिका बनाते हैं विभिन्न कार्य। इसे एक ज्ञापन के रूप में मुद्रित किया जाना चाहिए और सीखना चाहिए।

वहाँ हमारी मेज में आरंभिक स्थितियां यह सेट नहीं था। इसका मतलब है कि तालिका के दाईं ओर प्रत्येक अभिव्यक्ति को निरंतर जोड़ना चाहिए। बाद में हम इस नियम को स्पष्ट करते हैं।

प्राथमिक खोजने के नियम

आइए कुछ नियम लिखें जो आदिम खोजने पर हमारी मदद करेंगे। वे सभी भेदभाव नियमों के समान हैं।

नियम 1। पहली आकार की राशि आदिम की मात्रा के बराबर होती है। $ F (x + y) \u003d f (x) + f (y) $।

उदाहरण।
$ Y \u003d 4x ^ 3 + cos (x) $ फ़ंक्शन करने के लिए पहले खोजें।
फेसला।
पहली आकार की राशि आदिम की मात्रा के बराबर होती है, फिर प्रस्तुत की गई प्रत्येक सुविधाओं के लिए प्राथमिक खोजना आवश्यक है।
$ F (x) \u003d 4x ^ 3 $ \u003d\u003e $ f (x) \u003d x ^ $ 4।
$ f (x) \u003d cos (x) $ \u003d\u003e $ f (x) \u003d sin (x) $।
फिर आदिम स्रोत फ़ंक्शन होगा: $ y \u003d x ^ 4 + पाप (x) $ या $ y \u003d x ^ 4 + पाप (x) + C $ का कोई फ़ंक्शन।

नियम 2। यदि $ f (x) $ $ f (x) $ के लिए एक आदिम है, तो $ k * f (x) $ फ़ंक्शन $ k * f (x) $ के लिए एक आदिम है। (गुणांक सुरक्षित रूप से कार्य को सहन कर सकता है)।

उदाहरण।
प्राथमिक कार्य खोजें:
a) $ y \u003d 8sin (x) $।
b) $ y \u003d - \\ frac (2) (3) cos (x) $।
c) $ y \u003d (3x) ^ 2 + 4x + $ 5।
फेसला।
ए) $ SIN (X) $ के लिए प्राथमिक ऋण $ cos (x) $ है। फिर आदिम स्रोत फ़ंक्शन फॉर्म लेता है: $ y \u003d -8cos (x) $।

बी) $ cos (x) $ के लिए प्राथमिक $ sin (x) $ है। फिर आदिम स्रोत फ़ंक्शन फॉर्म लेता है: $ y \u003d - \\ frac (2) (3) पाप (x) $।

सी) $ x ^ 2 $ के लिए पहला $ \\ frac (x ^ 3) (3) $ प्रदान करता है। एक्स के लिए पहला $ \\ frac (x ^ 2) (2) $ है। 1 के लिए पिनुअल एक्स एक्स। फिर आदिम स्रोत फ़ंक्शन फॉर्म ले जाएगा: $ y \u003d 3 * \\ frac (x ^ 3) (3) + 4 * \\ frac (x ^ 2) (2) + 5 * x \u003d x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x $।

नियम 3। यदि $ y \u003d f (x) $ फ़ंक्शन $ y \u003d f (x) $ के लिए एक आदिम $ है, तो फ़ंक्शन के लिए पहला $ y \u003d f (kx + m) $ फ़ंक्शन $ y \u003d \\ frac ( 1) (के) * एफ (केएक्स + एम) $।

उदाहरण।
प्राथमिक निम्नलिखित कार्य खोजें:
a) $ y \u003d cos (7x) $।
b) $ y \u003d sin (\\ frac (x) (2)) $।
c) $ y \u003d (- 2x + 3) ^ $ 3।
d) $ y \u003d e ^ (\\ frac (2x + 1) (5)) $।
फेसला।
ए) $ COS (X) $ के लिए प्राथमिक $ SIN (x) $ है। फिर पहला फ़ंक्शन $ y \u003d cos (7x) $ फंक्शन $ y \u003d \\ frac (1) (1) (7) * पाप (7x) \u003d \\ frac (sin (7x)) (7) $) होगा।

बी) $ SIN (X) $ के लिए एक प्राथमिक $ $ cos (x) $ है। फिर सबसे पहले $ y \u003d sin (\\ frac (x) (2)) $ $ y \u003d - \\ frac (1) (\\ frac (1) (2)) cos (\\ frac (x)) (2)) \u003d - 2cos (\\ frac (x) (2)) $।

सी) $ x ^ 3 $ के लिए आदिम $ \\ frac (x ^ 4) (4) $ है, फिर आदिम स्रोत फ़ंक्शन $ y \u003d - \\ frac (1) (2) * \\ frac ((2x) है + 3)) ^ 4) (4) \u003d \\ frac ((- 2x + 3)) ^ 4) (8) $।

डी) $ \\ frac (2x + 1) (5) \u003d \\ frac (2) (5) x + \\ frac (1) (5) $ की डिग्री के लिए अभिव्यक्ति को थोड़ा सा सरल बनाता है।
प्राथमिक घातीय समारोह खुद है घातांक प्रकार्य। आदिम स्रोत समारोह $ y \u003d \\ frac (1) (\\ frac (2) (5)) e ^ (\\ frac (2) (5) x + \\ frac (1) (5)) \u003d \\ frac) होगा 5) (2) * e ^ (\\ frac (2x + 1) (5)) $।

प्रमेय। यदि $ y \u003d f (x) $ अंतराल पर $ y \u003d f (x) $ फ़ंक्शन के लिए एक आदिम $ है, तो फ़ंक्शन $ y \u003d f (x) $ असीमित रूप से कई आदिम है, और उन सभी के पास है $ y \u003d f (x) + $ के साथ।

यदि ऊपर विचार किए गए सभी उदाहरणों में, कई बहुत ही प्राचीन खोजना आवश्यक होगा, तो हर जगह निरंतर एस का पालन करेगा।
फ़ंक्शन $ y \u003d cos (7x) $ के लिए, सभी पहले फॉर्म के लिए: $ y \u003d \\ frac (पाप (7x)) (7) + C $।
फंक्शन के लिए $ y \u003d (- 2x + 3) ^ 3 $, फॉर्म रखने वाले सभी पहले: $ y \u003d - \\ frac ((- 2x + 3)) ^ 4) (8) + C $।

उदाहरण।
समय-समय पर शरीर के शरीर को बदलने के दिए गए कानून के अनुसार $ v \u003d -3sin (4 टी) $, आंदोलन के कानून को खोजने के लिए $ s \u003d s (t) $, यदि शरीर में 1.75 का समन्वय था समय के प्रारंभिक क्षण में।
फेसला।
$ V \u003d s '(t) $ के बाद से, हमें एक आदिम गति खोजने की आवश्यकता है।
$ S \u003d -3 * \\ frac (1) (4) (- cos (4t)) + c \u003d \\ frac (3) (4) cos (4t) + c $।
इस कार्य में, एक अतिरिक्त शर्त दी जाती है - समय का प्रारंभिक क्षण। इसका मतलब है कि $ टी \u003d 0 $।
$ S (0) \u003d \\ frac (3) (4) cos (4 * 0) + c \u003d \\ frac (7) (4) $।
$ \\ Frac (3) (4) cos (0) + c \u003d \\ frac (7) (4) $।
$ \\ Frac (3) (4) * 1 + c \u003d \\ frac (7) (4) $।
$ C \u003d 1 $।
फिर आंदोलन का कानून सूत्र द्वारा वर्णित किया गया है: $ s \u003d \\ frac (3) (4) cos (4t) + 1 $।

स्वयं समाधान के लिए कार्य

1. प्राथमिक कार्य खोजें:
a) $ y \u003d -10sin (x) $।
b) $ y \u003d \\ frac (5) (6) cos (x) $।
सी) $ y \u003d (4x) ^ 5 + (3x) ^ 2 + 5x $।
2. प्राथमिक निम्नलिखित कार्यों का पता लगाएं:
a) $ y \u003d cos (\\ frac (3) (4) x) $।
b) $ y \u003d sin (8x) $।
c) $ y \u003d ((7x + 4)) ^ $ 4।
d) $ y \u003d e ^ (\\ frac (3x + 1) (6)) $।
3. समय-समय पर शरीर के शरीर को बदलने के दिए गए कानून के अनुसार $ v \u003d 4cos (6t) $ मोशन $ s \u003d s (t) $ के कानून को खोजने के लिए, यदि शरीर में 2 का समन्वय होता है समय का प्रारंभिक क्षण।

इंटीग्रल का समाधान यह है कि कार्य हल्का है, लेकिन केवल चुनाव के लिए। यह आलेख उन लोगों के लिए है जो इंटीग्रल को समझना सीखना चाहते हैं, लेकिन उनके बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं या लगभग कुछ भी नहीं। अभिन्न ... इसकी आवश्यकता क्यों है? इसकी गणना कैसे करें? एक निश्चित और अनिश्चित अभिन्न क्या है? यदि आपके लिए ज्ञात एकमात्र अभिन्न अनुप्रयोग एक अभिन्न आइकन के रूप में एक क्रोकेट प्राप्त करना है, तो हार्ड-टू-पहुंच वाले स्थानों से कुछ उपयोगी है, फिर आपका स्वागत है! इंटीग्रल को हल करने का तरीका जानें और इसके बिना क्यों करना असंभव है।

हम "अभिन्न" की अवधारणा का अध्ययन करते हैं

एकीकरण अभी तक में जाना जाता था प्राचीन मिस्र। बेशक, अंदर नहीं आधुनिक वीडियो, लेकिन अभी भी। तब से, गणित ने इस विषय पर बहुत सारी किताबें लिखीं। विशेष रूप से प्रतिष्ठित न्यूटन तथा लीबनीट्स लेकिन चीजों का सार नहीं बदला है। खरोंच से इंटीग्रल को कैसे समझें? किसी तरह भी नहीं! इस विषय को समझने के लिए, गणितीय विश्लेषण की नींव के मूल ज्ञान को अभी भी आवश्यकता होगी। आवश्यक और इंटीग्रल को समझने के बारे में जानकारी, हमारे पास पहले से ही हमारे ब्लॉग में है।

अनिश्चित अभिन्न

आइए कुछ प्रकार का कार्य करें f (x) .

अनिश्चित अभिन्न कार्य f (x) इस सुविधा को बुलाया जाता है F (x) , जिसका व्युत्पन्न कार्य के बराबर है f (x) .

दूसरे शब्दों में, अभिन्न अंग विपरीत या आदिम पर व्युत्पन्न है। वैसे, हमारे लेख में कैसे पढ़ा जाए।

भविष्यवाणी सभी निरंतर कार्यों के लिए मौजूद है। इसके अलावा, निरंतर संकेत अक्सर प्राथमिक में जोड़ा जाता है, क्योंकि डेरिवेटिव निरंतर संयोग में भिन्न होते हैं। अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है।

सरल उदाहरण:

लगातार प्राथमिक कार्यों की गणना करने के लिए, उन्हें टेबल में ड्राइव करना और तैयार किए गए मूल्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है।

छात्रों के लिए पूर्ण तालिका इंटीग्रल

कुछ अभिन्न

अभिन्न की अवधारणा के साथ सौदा करने के बाद, हम असीम रूप से छोटे मूल्यों से निपट रहे हैं। अभिन्न आकृति की आकृति की गणना करने में मदद करेगा, असंगत शरीर का द्रव्यमान पारित होगा असमान प्रस्ताव पथ और अधिक। यह याद रखना चाहिए कि अभिन्न असीमित रूप से बड़ी संख्या में असीमित छोटी शर्तों का योग है।

उदाहरण के तौर पर, कुछ फ़ंक्शन की एक अनुसूची की कल्पना करें। फ़ंक्शन के ग्राफ द्वारा सीमित आंकड़ों का एक क्षेत्र कैसे खोजें?

अभिन्न की मदद से! हम Curvilinear Trapezium को विभाजित करते हैं, समन्वय अक्ष और समारोह के ग्राफ द्वारा सीमित, असीमित छोटे खंडों पर। इस प्रकार, आंकड़ा पतली स्तंभों में विभाजित किया जाएगा। कॉलम के क्षेत्र का योग ट्रैपेज़ॉयड का क्षेत्र होगा। लेकिन याद रखें कि इस तरह की गणना एक अनुकरणीय परिणाम देगा। हालांकि, छोटे सेगमेंट पहले से ही होंगे, गणना अधिक सटीक होगी। अगर हम उन्हें इस हद तक कम करते हैं कि लंबाई शून्य के लिए प्रयास करेगी, तो सेगमेंट की मात्रा आकृति के क्षेत्र के लिए प्रयास करेगी। यह एक विशिष्ट अभिन्न है जो निम्नानुसार लिखा गया है:

अंक ए और बी को एकीकरण सीमा कहा जाता है।

बरिया अलीबासोव और समूह "अभिन्न"

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डमी के लिए इंटीग्रल की गणना के लिए नियम

एक अनिश्चित अभिन्न गुण

एक अनिश्चित अभिन्न कैसे हल करें? यहां हम एक अनिश्चित अभिन्न गुणों पर विचार करेंगे, जो उदाहरणों को हल करते समय उपयोगी होंगे।

अभिन्न का व्युत्पन्न अभिन्न समारोह के बराबर है:

निरंतर अभिन्न के संकेत से बनाया जा सकता है:

राशि से अभिन्न इंटीग्रल की मात्रा के बराबर है। अंतर के लिए भी:

एक विशिष्ट अभिन्न गुण

रैखिकता:

इंटीग्रल साइन बदलता है यदि एकीकरण सीमा स्वैप हो जाती है:

के लिये कोई भी अंक ए।, बी तथा से:

हमने पहले से ही यह पता लगाया है कि एक निश्चित अभिन्न राशि की सीमा है। लेकिन उदाहरण को हल करते समय एक विशिष्ट मूल्य कैसे प्राप्त करें? इसके लिए, एक न्यूटन-लीबनिक फॉर्मूला है:

इंटीग्रल के समाधान के उदाहरण

नीचे अनिश्चित अभिन्न खोजने के कई उदाहरणों पर विचार किया जाएगा। हम समाधान की सूक्ष्मताओं को स्वतंत्र रूप से समझने का सुझाव देते हैं, और यदि कुछ समझ में नहीं आता है, तो टिप्पणियों में प्रश्न पूछें।

सामग्री को सुरक्षित करने के लिए, अभ्यास में इंटीग्रल को हल करने के तरीके के बारे में वीडियो देखें। इंटीग्रल को तुरंत नहीं दिया गया है तो निराशा न करें। छात्रों के लिए अपनी पेशेवर सेवा से संपर्क करें, और एक बंद सतह पर किसी भी ट्रिपल या curvilinear अभिन्न अंग शक्तियों बन जाएगा।

आदिम की परिभाषा।

अंतराल पर आदिम फ़ंक्शन एफ (एक्स) (ए; बी) को इस तरह के एक फ़ंक्शन एफ (एक्स) कहा जाता है, जो निर्दिष्ट अंतर से किसी भी एक्स के लिए किया जाता है।

यदि आप इस तथ्य को ध्यान में रखते हैं कि निरंतर सी का व्युत्पन्न शून्य है, तो समानता सही है । इस प्रकार, फ़ंक्शन एफ (एक्स) में मनमाने ढंग से स्थिर सी के लिए कई आदिम एफ (एक्स) + सी होते हैं, और ये प्रथम आकार एक दूसरे से अलग-अलग मानते हैं।

एक अपरिभाषित अभिन्न की परिभाषा।

सभी प्राथमिक कार्यों f (x) को बुलाया जाता है अनिश्चित अभिन्न यह फ़ंक्शन इंगित किया गया है .

अभिव्यक्ति कहा जाता है एक ठोस अभिव्यक्ति, और एफ (एक्स) - एकीकृत समारोह। इंटीग्रैंड अंतर समारोह एफ (एक्स) है।

अपने परिभाषित अंतर के अनुसार एक अज्ञात कार्य को खोजने की क्रिया को कहा जाता है ढुलमुल एकीकरण, क्योंकि एकीकरण का परिणाम एक फ़ंक्शन f (x) नहीं है, लेकिन इसके आदिम एफ (एक्स) + सी का सेट।

व्युत्पन्न के गुणों के आधार पर, आप तैयार और साबित कर सकते हैं एक अनिश्चित अभिन्न गुण (प्रोप-आकार के गुण)।

अंतरिम अनिश्चित अभिन्न के पहले और दूसरे गुणों के बराबर स्पष्टीकरण के लिए दिया जाता है।

तीसरी और चौथी गुण साबित करने के लिए, समानता के सही हिस्सों से डेरिवेटिव ढूंढने के लिए पर्याप्त है:

ये डेरिवेटिव अवरोधक कार्यों के बराबर हैं, जो पहली संपत्ति के आधार पर सबूत है। इसका उपयोग अंतिम संक्रमणों में किया जाता है।

इस प्रकार, एकीकरण कार्य व्यस्त भेदभाव समस्या है, और इन कार्यों के बीच बहुत करीबी संबंध है:

पहली संपत्ति आपको एकीकरण की जांच करने की अनुमति देती है। निष्पादित एकीकरण की शुद्धता की जांच करने के लिए, यह प्राप्त परिणाम के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए पर्याप्त है। यदि भेदभाव के परिणामस्वरूप प्राप्त किया गया फ़ंक्शन एकीकृत समारोह के बराबर होगा, इसका मतलब यह होगा कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है;
अनिश्चितकालीन अभिन्न की दूसरी संपत्ति आपको एक प्रसिद्ध अंतर पर अपने आदिम कार्य को खोजने की अनुमति देती है। इस संपत्ति पर, अनिश्चित इंटीग्रल की प्रत्यक्ष गणना आधारित है।

एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

एक आदिम कार्य खोजें जिसका मूल्य x \u003d 1 पर एकजुट है।

फेसला।

हम अलग-अलग कैलकुस से जानते हैं कि (यह मुख्य प्राथमिक कार्यों के टेबल डेरिवेटिव्स को देखने के लिए पर्याप्त है)। इस तरह, । दूसरी संपत्ति के अनुसार । यही है, हमारे पास कई आदिम हैं। X \u003d 1 पर, हमें एक मूल्य मिलता है। शर्त से, यह मान एक के बराबर होना चाहिए, इसलिए, सी \u003d 1। वांछित आदिम एक नज़र डालेंगे।

उदाहरण।

एक अनिश्चित अभिन्न और परिणाम भेदभाव की जांच करें।

फेसला।

त्रिकोणमिति से एक डबल कोण के साइन फॉर्मूला के अनुसार , तोह फिर

संचालन भेदभाव में से एक व्युत्पन्न (विभेदक) की नींव है और अध्ययन के लिए कार्यों को लागू करना है।

विपरीत कार्य कोई कम महत्वपूर्ण नहीं है। यदि फ़ंक्शन व्यवहार अपने दृढ़ संकल्प के प्रत्येक बिंदु के आसपास के क्षेत्र में जाना जाता है, तो पूरी तरह से फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित कैसे करें, यानी इसकी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में। यह कार्य तथाकथित अभिन्न गणना का अध्ययन करने के लिए विषय है।

एकीकरण रिवर्स भेदभाव का प्रभाव है। या इस व्युत्पन्न f` (x) के लिए फ़ंक्शन f (x) को पुनर्स्थापित करना। लैटिन शब्द "इंटीग्रो" का अर्थ वसूली है।

उदाहरण №1.

चलो (f (x)) "\u003d 3x 2। एफ (एक्स) खोजें।

फेसला:

भेदभाव नियम पर निर्भर, यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि f (x) \u003d x 3, के लिए

(x 3) '\u003d 3x 2 हालांकि, यह आसानी से ध्यान दिया जा सकता है कि एफ (एक्स) संदिग्ध है। एफ (एक्स) के रूप में, आप एफ (एक्स) \u003d x 3 +1 एफ (एक्स) \u003d x 3 +2 एफ (एक्स) \u003d x 3 -3, आदि ले सकते हैं।

चूंकि उनमें से प्रत्येक का व्युत्पन्न 3x 2 है। (व्युत्पन्न स्थिर 0 है)। ये सभी कार्य एक दूसरे के निरंतर शब्दों से भिन्न होते हैं। इसलिये सामान्य निर्णय कार्यों को एफ (एक्स) \u003d एक्स 3 + सी के रूप में लिखा जा सकता है, जहां सी किसी भी निरंतर वैध संख्या है।

फाउंड फंक्शंस एफ (एक्स) में से कोई भी कहा जाता है पूर्व-आकार का फ़ंक्शन f` (x) \u003d 3x 2 के लिए

परिभाषा।

फ़ंक्शन एफ (एक्स) को निर्दिष्ट अंतराल जे पर फ़ंक्शन एफ (एक्स) के लिए आदिम कहा जाता है, यदि इस अंतराल एफ '(एक्स) \u003d एफ (एक्स) से सभी एक्स के लिए। तो फ़ंक्शन f (x) \u003d x 3 f (x) \u003d 3x 2 पर (- ∞; ∞) के लिए आदिम है। चूंकि, सभी एक्स ~ आर के लिए, समानता सत्य है: f` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

जैसा कि हमने पहले ही देखा है, इस फ़ंक्शन में आदिम का एक अनंत सेट है।

उदाहरण संख्या 2।

समारोह अंतराल (0; + ∞) पर सभी के लिए आदिम है, क्योंकि इस अंतर से सभी एच के लिए, समानता का प्रदर्शन किया जाता है।

एकीकरण कार्य किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए अपने सभी आदिम कार्यों को ढूंढना है। इस कार्य को हल करने में, निम्नलिखित कथन एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है:

कॉन्स्टेंसी फ़ंक्शन का संकेत। यदि एफ "(एक्स) \u003d 0 कुछ अंतराल पर, तो फ़ंक्शन एफ इस अंतराल पर स्थायी है।

साक्ष्य।

गैप I के कुछ x 0 को ठीक करें। फिर लैगेंज फॉर्मूला के कारण इस तरह के एक अंतर के लिए, आप एक्स और एक्स 0 के बीच संलग्न एक संख्या सी निर्दिष्ट कर सकते हैं

F (x) - f (x 0) \u003d f "(c) (x - x 0)।

स्थिति के तहत एफ '(सी) \u003d 0, इसलिए, ∈1 के साथ, इसलिए,

F (x) - f (x 0) \u003d 0।

तो सभी एक्स के लिए अंतराल से मैं

टी ई। फ़ंक्शन एफ एक निरंतर मूल्य बरकरार रखता है।

सभी आदिम कार्यों को एक एकल सूत्र के साथ लिखा जा सकता है कार्य करने के लिए पहले का सामान्य दृश्य एफ निम्नलिखित प्रमेय निष्पक्ष ( मूल संपत्ति आदिम है):

प्रमेय। अंतराल पर समारोह एफ के लिए कोई भी पहले मैं के रूप में दर्ज किया जा सकता है

एफ (एक्स) + सी, (1) जहां एफ (एक्स) अंतराल पर आदिम कार्यों में से एक (x) है, और सी एक मनमाना स्थिर है।

आइए हम इस कथन को समझाएं जिसमें दो गुण संक्षेप में तैयार किए गए हैं:

जो भी संख्या अभिव्यक्ति में डालने के लिए (1) उपयोग करने के बजाय, हम अंतराल में एफ के लिए एक आदिम प्राप्त करते हैं;
मैं के अंतराल पर एफ के लिए जो कुछ भी नहीं लेता हूं, आप इस तरह के एक संख्या सी को चुन सकते हैं कि अंतराल से सभी एक्स के लिए मुझे समानता दी जाएगी

साक्ष्य।

हालत से, फ़ंक्शन एफ अंतराल पर एफ के लिए एक आदिम है। इसलिए, एफ "(एक्स) \u003d एफ (एक्स) किसी भी x∈1 के लिए, इसलिए (एफ (एक्स) + सी)" \u003d एफ "(एक्स) + सी "\u003d एफ (एक्स) + 0 \u003d एफ (एक्स), यानी एफ (एक्स) + सी फ़ंक्शन एफ के लिए एक आदिम है।
आइए (एक्स) सभी x∈i के लिए एक ही अंतर I, I.e.e. (x) \u003d f (x) के लिए फ़ंक्शन f के लिए आदिम फ़ंक्शंस में से एक हो।

फिर (f (x) - f (x)) "\u003d f" (x) -f '(x) \u003d f (x) -f (x) \u003d 0।

यहां से यह इस प्रकार है। कॉन्स्टेंसी फंक्शन के संकेत की शक्ति कि अंतर एफ (एक्स) - एफ (एक्स) एक ऐसा कार्य है जो अंतराल से कुछ निरंतर मूल्य लेता है।

इस प्रकार, जीएपी I से सभी एक्स के लिए, समानता एफ (एक्स) - एफ (एक्स) \u003d सी, जिसे साबित करने की आवश्यकता थी। प्राथमिक संपत्ति की मुख्य संपत्ति दी जा सकती है ज्यामितीय अर्थ: ओयू एक्सिस के साथ समानांतर स्थानांतरण द्वारा किसी भी दो आदिम कार्यों के ग्राफ एक दूसरे द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।

अमूर्त प्रश्न

फंक्शन एफ (एक्स) फ़ंक्शन एफ (एक्स) के लिए एक आदिम है। F खोजें (1) यदि f (x) \u003d 9x2 - 6x + 1 और f (-1) \u003d 2।

कार्य करने के लिए पहले सभी खोजें

एक समारोह के लिए (x) \u003d cos2 * sin2x, primitive f (x) को ढूंढें यदि f (0) \u003d 0।

एक समारोह के लिए, आदिम खोजें, जिसका ग्राफ बिंदु के माध्यम से गुजरता है

प्रत्येक गणितीय कार्रवाई के लिए एक विपरीत प्रभाव है। भेदभाव के लिए (व्युत्पन्न कार्यों को ढूंढना) भी, वहाँ भी है रिवर्स एक्शन एकीकरण। एकीकरण द्वारा, वे अपने व्युत्पन्न या अंतर के अनुसार समारोह (बहाल) पाया जाता है। पाया फ़ंक्शन कहा जाता है पूर्व-आकार का.

परिभाषा। विभेदक समारोह F (x) समारोह के लिए आदिम कहा जाता है F (x) किसी दिए गए अंतराल पर, अगर सभी के लिए एच समानता इस अंतर से सही है: F '(x) \u003d f (x).

उदाहरण। प्राथमिक कार्य खोजें: 1) f (x) \u003d 2x; 2) f (x) \u003d 3cos3x।

1) चूंकि (x²) '\u003d 2x, फिर, परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन एफ (x) \u003d x² फ़ंक्शन f (x) \u003d 2x के लिए एक आदिम होगा।

2) (Sin3x) '\u003d 3cos3x। यदि आप एफ (x) \u003d 3cos3x और f (x) \u003d sin3x को नामित करते हैं, तो परिभाषा के अनुसार, यह आदिम है, हमारे पास है: एफ '(एक्स) \u003d एफ (एक्स), और, इसका मतलब है कि एफ (एक्स) \u003d sin3x एफ (x) \u003d 3cos3x के लिए एक आदिम है।

ध्यान दें और (sin3x +5 )′= 3cos3x, और (sin3x -8,2 )′= 3cos3x... सामान्य रूप से, आप लिख सकते हैं: (sin3x + एस)′= 3cos3xकहां है से - कुछ स्थायी मूल्य। ये उदाहरण एकीकरण कार्रवाई की अस्पष्टता को इंगित करते हैं, भेदभाव कार्रवाई के विपरीत, जब कोई भिन्न कार्य होता है, तो एक व्युत्पन्न होता है।

परिभाषा। अगर समारोह F (x) कार्य के लिए एक प्राथमिक है f (x) कुछ अंतराल पर, फिर सभी प्राथमिकों का सेट यह विशेषताएं है:

F (x) + cजहां सी कोई वैध संख्या है।

विचाराधीन अंतराल पर सभी आदिम एफ (एक्स) + सी फ़ंक्शन एफ (एक्स) का संयोजन एक अनिश्चित अभिन्न और प्रतीक द्वारा इंगित किया जाता है ∫ (अभिन्न संकेत)। रिकॉर्ड: ∫f (x) dx \u003d f (x) + c.

की अभिव्यक्ति ∫f (x) dx वे पढ़ते हैं: "डी एक्स पर एक्स से ईएफ का अभिन्न अंग"।

f (x) dx - ठोसवादी,

f (x) - एकीकृत समारोह,

एच - परिवर्तनीय एकीकरण।

F (x) - समारोह के लिए बिल्कुल सही f (x),

से - कुछ स्थायी मूल्य।

अब विचार किए गए उदाहरणों को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

1) ∫ 2xdx \u003d x² + c। 2) ∫ 3cos3xdx \u003d sin3x + c।

डी साइन का क्या मतलब है?

डी - विभेदक संकेत - का एक डबल उद्देश्य है: सबसे पहले, यह चिह्न एकीकृत फ़ंक्शन को एकीकरण चर से अलग करता है; दूसरा, इस संकेत के बाद जो कुछ भी खड़ा है वह अलग-अलग डिफ़ॉल्ट रूप से डिफ़ॉल्ट है और एकीकृत फ़ंक्शन द्वारा गुणा किया जाता है।

उदाहरण। इंटीग्रल खोजें: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp।

3) अंतर आइकन के बाद डी इसके लायक एच एच, लेकिन अ आर

∫ 2khrdx \u003d px² + पी। उदाहरण के साथ तुलना करें 1).

चलो देखते है। F '(x) \u003d (px² + c)' \u003d p · (x²) '+ c' \u003d p · 2x \u003d 2px \u003d f (x)।

4) अंतर आइकन के बाद डी इसके लायक आर। तो, एकीकरण चर आर, और गुणक एच इसे एक निश्चित निरंतर मूल्य माना जाना चाहिए।

∫ 2hrdr \u003d ² + s। उदाहरणों के साथ तुलना करें 1) तथा 3).

चलो देखते है। F '(p) \u003d (p²x + c)' \u003d x · (p²) '+ c' \u003d x · 2p \u003d 2px \u003d f (p)।