바디 폴리 헤드라 및 회전 표면. 폴리 헤드라

MKOU "3namenskaya 중앙 학교"쿠르스크 지역의 Schigrovsky 지구

수업 - 여행

"많은 낯선 사람들. 바디 회전»

(11 학년의 기하학 수업)

준비 : 수학 교사 Bukreyev T. A.

수업의 주제 : 주제 "메이커잇이의 반복. 회전 시체. "

공과의 목적 :1. 연구를 반복하십시오. 학생들의 지식을 요약합니다.

2. 주제에 대한 학생들의인지 이익의 개발, 지평의 확장은 관계를 해결합니다.

Z. 학생의인지 활동의 교육.

강의 계획:

1. 교사의 입문서.

2. "Polyhedra의 세계"소풍.

Z. 실험 경험.

4. 실용적인 작업.

5. 작업을 해결합니다.

7. 수업의 결과.

장비:Polyhedra 모델, 회전 시체, 그림 예술가 Shishkin "선박 그 로브", 살바도르의 그림 Dali "비밀", 표식이있는 테이블, 폴리 헤드라의 이미지, 실험을위한 물 혈관, 측정 용기, 컴퓨터, 프로젝터.

수업 중 :

1 ...에 교사의 소개 단어

오늘날 우리는 비정상적인 형태로 유지 될 기하학 과정의 반복을 위해 또 다른 수업을 씁니다. 참조 레슨의 주제 "Polyhedra. 회전 시체 "우리는 이미이 주제와 관련된 기본 개념을 이미 반복하여 다양한 수식을 사용하는 작업을 해결했습니다. 그러나 오늘의 수업에서는 흥미로운 사실을 더 많이 배울 것입니다 (수업 계획을 알려주십시오). 이제 조금 기억합시다.

다면체라고 불리는 것은 무엇입니까?

Polyhedra의 예를 보여 주시겠습니까?

회전 시체라고 불리는 것은 무엇입니까?

회전 본체의 예를 든다.

모든 다면체의 주요 요소는 무엇입니까? (정점, 갈비, 얼굴).

어떤 일반적인 특징 속성이 모든 볼록한 폴리 헤드라가 소유합니까?

(정점 수 및 각 다면체의 가장자리의 수의 두 개가 더 많은 숫자, 즉 B + R - P \u003d 2). 이 제안은 "Theorem Euler"라고합니다.

얘들 아, 이제는 "월미미머의 세계와 회전 전화"에 약간의 여행을하도록 제안합니다. 우리는이 가이드 그룹에서 우리를 도울 것입니다. 제발. 너 단어.

"Theorem Euler"폴리 헤드라에 관한 것

B + MR \u003d 2.

2. 소풍.

1 가이드 . 모든 사람은 피라미드, 콘, 프리즘, 실린더, 공 및 기타와 같은 그러한 시체에 잘 알려져 있습니다. 그리고이 수치의 이름이 왔던 것을 생각 했습니까? 소나무를 묘사 한 유명한 아티스트 Shishkin "Ship Grove"의 그림을보십시오. 이제 다음 그림 (슬라이드 번호 2)에주의하십시오. 여기 콘은 콘의 이미지가 보입니다. 내 손에 나는 원뿔 모델이 있습니다. 당신은이 그림 과이 몸 사이의 연결이 무엇인지 말합니다. 그것은 가장 즉각적인 것을 꺼냅니다. 그림은 소나무를 보여 주며, 내가 유지하는 모델은 콘이라고 불립니다. 이는 그리스어에서 "소나무 범프"를 의미합니다. 그리고, 정말로, 보라, 부딪 치는 것처럼 보입니다. 이 "범프"는 그리스 코로로에 있습니다. 따라서, 그러한 형태의 몸체는 원뿔이라고 불 렸습니다.

일반적으로 아무도 그리스의 훌륭한 기하학적 구조가 없었기 때문에 기하학적 인물은 이름이 없었습니다. 그리스인들은 단어로 수치를 부르기 시작하여 주변의 아이템과 비슷한 것으로 나타났습니다. 예를 들어, 롤링 핀은 캘린더라고 불리는 캘린더라고 불리는 속옷을 굴리기 위해 사용되었습니다. 이는 "실린더"를 의미합니다. 따라서 둥근 단면이있는 모든 길쭉한 몸체가 실린더의 이름을 얻었습니다. 다음 그림에 표시된 신체는 이집트 피라미드를 우리에게 상기시켜줌으로써 그러한 몸체를 피라미드라고 불렀습니다.

동시에, 이집트에서 피라미드의 염기는 사각형이었고 그리스인들은 사각형과 육각형 피라미드조차도 연구했습니다.

그리고 당신이 당신의 이름을 어디에서 얻었습니까? "Sphere". 그리스어에서는 아이들이 연주 한 공 (슬라이드 번호 3)이라고 불렀습니다.

2 가이드. 이제는 Polyhedra (슬라이드 No. 4)의 다음 그룹에주의를 기울입니다 (슬라이드 4) : Tetrahedron, Cube, Ikosahedron, Octahedron, Dodecahedron. 알다시피, 이들은 고대 그리스에서도 알려진 올바른 폴리 헤드라이며 유명한 "시작된"euclida의 13 번째 책은 그들에게 헌신적입니다.

올바른 폴리 헤드라의 교리는 그것의 왕관이 "시작되었다". 첫째, 유클리드는 이들다면의 존재를 설정하고 증명 한 다음 증명합니다. 18 년에 13 책의 마지막 문장은 언급 된 5 시체 이외에 Ket 기타 폴리 헤드라가 있습니다.

그러나 올바른 폴리 헤드라가 아르키메데스 (슬라이드 번호 5)에 종사했지만 그의 작품은 우리에게 도달하지 못했습니다. 아르키메데스는 13 명의 소위 하프 사본 (아르시 데스)의 발견에 속하며, 각각의 올바른 다각형과 같은 이름의 다각형과 동일한 이름의 다각형이 동일하지 않은 것과 동일한 올바른 다각형이 아닌 한정되는 것에 속합니다. 각 꼭지점의 얼굴은 동일한 방식과 같습니다. 이 시체의면의 수는 8 ~ 92 사이에 포함되어 있습니다.

고대 그리스인들은 이들 몸의 형태가 존재의 원소들에 내재되어 있다고 믿었으므로 (슬라이드 No.6) : 즉, 화재 - 사면체, 지구 - 육면체 (입방), 공기 - 8 면체, 물 - 이코 사태 또는 그렇게 말했습니다. 이 4 개의 폴리 헤드라는 화재, 지구, 물 및 공기, 고대인들에 따르면, 다섯 번째 다면체의 형상은 전체 우주를 가졌습니다. 즉,도 데카 히드론은 모든 우주를 상징화했습니다.

헛되이 아닌 엘살바도르 댈리의 그림을 재현하면서 "신비한 저녁", 학생들과 그리스도는 거대한 투명한 도데 히드론 (슬라이드 # 7)의 배경에 앉아 있습니다.

그들은 또한 많은 형태의 다지의 형태가 사람 자신을 오지 않았다는 사실을 알아 차렸고, 그들의 성질은 결정의 형태로 만들어 졌다는 사실을 알아 차렸다. 크리스탈 - 천연 폴리 헤드라. 예를 들어, 산 크리스탈 또는 석영. 연필을 양면, 즉 육각형 피라미드가 공급되는지에 기초하여 6 각형 프리즘의 형태를 상기시킨다. 아이슬란드 어 스파트 - 비스듬한 평행 육면체의 형태가 있습니다.

Pyrite (또는 황황)는 가장 자주 8 면개의 형태로, 때로는 큐브 또는조차도 절단 된 옥타 프론입니다.

지난 세기 초반에, 프랑스의 수학자와 정비사 L. Ponaso (1777-1859) (1777-1859)는 기하학적 작품이 "Star Polyhedra"에 속해 있음이 잘못된 비 유효하지 않은 폴리 헤드라의 존재를 열었습니다. 그런 수치에는 4 가지 유형이있었습니다. 1812 년에 O. Cauch는 다른 올바른 스타 폴리 헤드라가 존재하지 않는다는 것을 증명했습니다 (9 번 슬라이드).

3 가이드 . 이제는 수식과 과학자들에 대해 이야기 해 봅시다. 우리는 다면체와 원형 몸체의 양을 계산하여 표면 영역을 계산하기 위해 많은 수식을 연구했습니다. 그러나 그러한 질문에 대해 생각한 적이 있었습니까, 그리고이 수식이 나타나고 처음을 열었던 지 얼마나 오래 있었습니까? 우리 시대가 오래 전에 오랫동안 오랜 시간 동안, 많은 몸체 (평행 육면체, 프리즘, 실린더)의 공식 부피가 알려져 있다고 밝혀졌습니다.

나중에, 고대 그리스 학자들의 저서 덕분에 피라미드, 원뿔, 공 및 기타 시체의 양을 계산하는 데있어 민주주의, evdox 및 아키메이스가 발견되었습니다. 각 과학자의 기여에 대해 이야기하는 것은 불가능하지만 수학과 물리학에서 많은 실제적인 업무를 해결 한 과학자 및 발명가 아르시미디어 중 하나에서 멈추지 않는 것은 불가능합니다. 그의 모든 삶에서 아르 미디다는 모든 것을 말하지 않을 것입니다. 그는 처음에는 지오메트리에 대한 어려운 작업을 많이 결정했습니다. 사각형과 볼륨을 계산하기위한 규칙을 발견했습니다. 모든 작업 중에는 실린더의 부피에 실린더에 삽입 된 공의 부피의 비율을 찾는 것입니다. "

Archimeda는 비꼬는 실린더의 부피가 실린더의 부피의 2/3이고 볼의 표면은 실린더의 표면의 2/3 인 것으로 결정했습니다. 이 제안서 Archimeda는 탁월한 중요성을 첨부했습니다. 전설은 Archimeda가 자신의 친구에게 소원을 표명했기 때문에 그 묘비에 대한 그의 죽음 이후, 그 그림은이 일에 도면을 잘라 냈습니다. 그리고 내가 말하고 싶은 흥미로운 사실에 대해서는 알아 냈습니다. 아르키메데스는 시칠리아 섬에서 시러큐스의 작은 마을에 살았습니다. 그가 약 70 세가되었을 때, 우리의 고등 평의회가 시작되기 212 년에, 그의 고향은 강력한 로마의 군대에 의해 포위되어 요구되었다. 시라 카이는 스스로를 방어하기로 결정했습니다. 방위의 지도자 중 한 명은 아카미가 있었고, 시라 쿠스 츠 인들은 지도력이있는 수많은 로마 군대에서 거의 1 년이었습니다. 기하학, 아르키메데스, 전설, 거대한 거울, 로마 선박, 로마 전사, 요새 벽 때문에 로프 나 논문을보고 로프 전사와 공포로 탈출 한 로프 전사에 대한 지식을 이용하십시오. 외침, 여기서 새 차를 죽음에 알아 냈습니다. 그러나 로마인들은 여전히 \u200b\u200b도시에 침입했고 거의 모든 주민들을 죽였습니다. 죽은 자 중에서는 차지가있었습니다. 전통은 로마 군인이 이미 칼로 아르키메데스를 휘두르면서 과학자가 "내 그림을 만지지 마십시오."라고 말합니다. 아르키메데스의 욕망이 사실였습니다. 묘비에서 시러큐스의 아르키메데스의 무덤은 실린더가 그 (것)에 비축 된 볼이있는 실린더를 도시 한 것이다 (슬라이드 번호 10). 200 년 후, 과학자의 무덤을 발견 한 것은이 그림 그리기에 있습니다. 이것은 공의 수식과 구의 면적을 여는 상징입니다. 아르키메데스의 기억은 많은시에 헌신적입니다. 그들 중 하나를 듣는다. (시).

아르키메데스의 기억

우리 노동 조합에서 멀리

그리고 많은 년 동안 우리 앞에서

어려운 해, 네이티브 시러큐스

과학자 군대를 방어하십시오.

많은 Obrya 방어

그들에게 설계되었다

도시는 오랫동안 Adamant이었습니다.

과학자의 지혜는 보관됩니다.

그러나 군사 행복의 법칙

아직도 누구나 고려하지 않았습니다

적 부분이 달성됩니다

어두운 breakdoes 벽에서.

알 수없는 것에 대한 아이디어,

그는 적들의 도시에서 그 사실을 알지 못했습니다.

그리고 땅에 명상에서는 온다

일부 서클을 분리했다.

그는 사려 깊지 않고 자랑스럽지 않고,

현재의 일을 잊어 버리고,

갑자기 이해할 수없는 화음

그림자 스피어 교차 드로잉입니다.

그러나 침전물의 살인자는 무섭다

그는 굴욕이 없으면 떨고가 아닙니다.

손을 뻗어

너 자신이 아니라 그림 표지판.

군인의 눈에 담대히 보였습니다.

"킬, 로마인은 적입니다!

죽일, 이것이 사실이기 때문에,

그러나 서클을 밟지 마십시오!

나는 펜으로 일하고 싶다.

조국, 자신을 꽤주는 것

병원의 전장 일체에

나 자신을 위해, 그것은 나에게 무서운 것이 아니 었습니다.

그래서 나는 충분한 성령을 가지고있다

당신의 죽음을 뽑아냅니다.

"개인적으로 - 나를 죽여, 늙은 여자,

그러나 줄에는 감히해서 왔습니다! "

3. 실험 경험

선생님:얘들 아, 우리가 멀리 떨어진 과거에 흥미로운 이야기 인 가이드 덕분에 덕분에 있었던 것 같아. 누군가는 아르키메데스의 전기에 관심이 있다면 벽 신문 "수학과 생명"을 "수학과 생활"페이지의 페이지에 대해 자세히 읽어 도서관에서 사용할 수있는 문헌을 참조하십시오. (전시회).

이제 연구자들이 폴리 헤드라와 회전 기관과 관련된 일부 수식의 실험 증거를 다루는 연구자가 귀하와 함께 실험실을 보자. 당신이 말씀하시기 바랍니다.

1 학생. 우리 연구 PA6OS의 결과로 우리는 실험의 도움으로 일부 수식의 정의를 증명할 수있었습니다. 이제 우리는 그것을 보여줄 것입니다.

체험 번호 1. (피라미드 볼륨)

이 경험을 통해 우리는 피라미드의 부피가 프리즘의 양의 1/3 인 것을 알 수 있습니다. 이렇게하려면 두 개의 혈관을 가져 가라. 하나 - 프리즘 모양, 또 다른 피라미드. 피라미드와 프리즘은 기저부와 동등한 영역으로 수행되는 동등한 높이 (h)를 가지고 있습니다. 용기 - 피라미드는 물로 가득 차서 용기의 피라미드 - 프리즘의 용기에서 물을 진행시켰다. 우리는 선박의 탱크가 피라미드가 선박 프리즘의 탱크보다 3 배 낮으며, 즉 PIR \u003d 1 / 3V입니다.

그래서 그들은 피라미드의 부피가 프리즘의 양의 1/3이라는 것을 확신했습니다.

경험 №2 . (아이소 메트릭 염기와 동일한 높이가있는 피라미드의 속성)

우리는 두 개의 (삼각형) 피라미드가 기지와 동일한 높이와 동일한 영역을 가진 피라미드를 알고 있습니다. 동등한 양을 가지고있다.

다음 경험을 가지고 있는지 확인하십시오.

경험.

좁은 팁을 갖는 용기에서는 물을 부어 구멍을 통해 그 과잉이 방출되도록합니다. 구멍 아래에서 측정 유리를 대체하면 피라미드 중 하나를 용기에 담그십시오. 측정 유리를 사용하여 배운 것은 피라미드에 의해 변위 된 물의 양과 동시에 피라미드 자체의 볼륨을 배우고 있습니다. 다른 피라미드와 경험을했는데, 피라미드가 아이소 메트릭 염기와 동일한 높이가있는 경우, 양의 볼륨이 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

1 피라미드 - 사각형, 4cm의 측면이있는 광장에서, 즉. 기본 영역은 16cm입니다.

2 피라미드 - 사각형, 당사자 2와 8cm가있는 기본 직사각형.

(액체에 담긴 몸체의 부피는 변위 된 유체의 부피와 동일합니다).

체험 번호 3.. (구의 표면적)

다면체의 표면적이 발견 된 것과 같은 방식으로 구의 표면적을 찾는 것이 불가능합니다. 비행기가 없기 때문에 비행기로 스캔을 사용하지 않으므로 비행기로 언로드되지 않습니다. 그러나 다음 경험을 사용할 수 있습니다.

세미 볼 모델을 가져 와서 두 개의 손톱을 고정시킬 것입니다 : 큰 원의 중심에있는 하나는 반쯤 볼의 맨 위에 있습니다. 나는 스레드의 끝을 반 볼의 상단에있는 카네이션에 부착하고 반 볼 표면의 실을 나선형으로 접어줍니다. 또한 반 볼의 기초를 덮는다 - 큰 원. 사용 된 스레드의 길이를 측정하면서,베이스의 코팅에 소비 된 스레드의 길이와 반경의 원이 반쯤 볼의 표면을 덮는 나사의 길이보다 약 2 배 더 낮아집니다.

따라서 결론 : 반 볼의 표면적은 2이고 볼 4의 표면적이므로, 구의 영역은 화학식 S \u003d 4πR2에 의해 계산됩니다.

선생님: 설명 된 경험은 가장 오래된 것 중 하나입니다. 그것으로 사람들은 공의 표면적이 큰 원의 면적보다 4 배 더 큽니다.

결론 : 경험이 풍부한 이론적 사실의 정당화는 실천과 함께 교수 기하학의 의사 소통을 수행하는 수단으로 간주됩니다.

4. 실용적인 작업.

그리고 지금은 작은 실제 작품을 제안합니다.

작업. 테이블에 다양한 기하학적 바디가 있습니다. 모양을 선택하고 필요한 측정을 수행하고 적절한 수식을 사용 하여이 본문의 볼륨을 계산하십시오. (볼륨이 어떻게 계산되는지 알려주십시오).

5. 재미있는 기하학의 작업.

작업은 다음과 같은 그룹의 사람들을 제공 할 것입니다. (슬라이드 №11)

작업 번호 1.

두 명의 올바른 프리즘이 주장했다

어느 것이 볼륨을 포함합니다.

하나는 "모든 요소가 고려하면 -

결국, 나는 두 번 더 높고 전체 6의 얼굴, -

주장 할 것이 아무것도 없다, 여기서 승리는 나를 위해 ... "

기타 답변 : "서두르지 마십시오.

적어도 5 개의 얼굴과 성장은 크지 않다.

그러나 기초에서 2 배 이상. "

저녁까지, 논쟁, 나는 아무것도 남지 않았습니다.

이 분쟁에 누가 있었는지, 잘 정의 했습니까?

(문제 제 1 항의 솔루션)

산출: 비교하려면 볼륨을 찾아야합니다.

작업 번호 2.

축구 공은 32 개의 땀샘이있는 다면체가 닮았고, 그 중 20 개가 오른 체계인이고, 12 - 오른쪽 오각형. 얼마나 많은 정점이 그런 다면체가 있습니까? (슬라이드 번호 12)

결정. 이 일에서 우리는 잘리는 이코 사마라에 대해 이야기하고 있습니다. 이 다면체의 총 가장자리 수를 찾으십시오. 오각형의 향각이 12 개 있기 때문에 5 12 + 620 \u003d 180, 즉 2P \u003d 180, p \u003d 90. 조건 r \u003d 32, 그 다음에 EULER 정리에 의해

B + G - P \u003d 2, I.E. b \u003d p-r + 2 \u003d 90 - 32 + 2 \u003d 60

정리 오일러: 정점 수와 다면체 (2)의 가장자리의 수의 합은 리브의 수보다 크다. + g - p \u003d 2

성명서: 모든면의 측면 수는 똑같이 가장자리 수를 두 배로 두 배로 두 배로 늘립니다.

t. K. 각 가장자리는 2 개의 땀샘에 속해 있으므로 계수가 두 번 계산됩니다. (슬라이드 №13)

작업 번호 3.

창고에 보내야하는 무리의 밀 곡물이 있습니다. 힙에서 곡물 볼륨을 평가하십시오. 그것을하는 방법? (슬라이드 №14)

결정. 그 형태에 따르면, 곡물의 무리가 알려진 공간 수치와 눈에 띄게 다르지 만, 원추형 원뿔을 제거한다.

원추형 V \u003d 1/3 · h의 부피. 그레인의 무리가 원뿔 모양을 가지고 있음을 채택하면, 우리가 R과 N을 직접 측정하는 것은 어렵습니다. 콘을 기초로하는 것으로 간주 될 수 있습니다 - 모델은 원형이며, 그 둘레는 동일한 길이를 갖는 원주로 간주 될 수 있습니다. 더미의 둘레로. 이 길이는 코드로 직접 측정 할 수 있습니다. 그것이 같으면 r \u003d c / 2π. Height H는 또한 직접 측정하는 데 불편하지만 코드의 도움으로 쉽게 "오두막"을 찾으십시오. p \u003d a · in, then.

작업 번호 4.

그리고 이제는 겉보기의 그럴듯한 진리의 곡물이없는 몇 가지 전설 중 하나를 듣는 것을 제안합니다. 고대 독수리가 지금 내가 말할 수있는 아이디어의 행사를했으면 그 결과 위선으로 낙담 할 것입니다. (슬라이드 №15)

그래서, 푸시킨의시에서 동쪽 사람들의 전설은 푸쉬킨시에서 이야기됩니다.

나는 어딘가에 읽었다

왕이 전사들에게

무리에서 손에 지구를 철거하라는 명령, -

그리고 자랑스러운 언덕이 자랐습니다.

그리고 왕은 높이에서 재미있게 보일 수 있습니다.

달러는 흰색 텐트로 덮여 있습니다

선박이 도망 쳤던 바다.

어느 높이가 그런 언덕이 될 수 있는가? 이 질문에 답변한 결과, 결과가 발생하는지 확인합니다.

결정. 1 핸디 \u003d 1 / 5L \u003d 0.2 dm 3

군대가 10 만 명 중 10 만 명을 빼내지 마십시오. 각도는 45 ° (적은) 일 수 있습니다. 그렇지 않으면 지구가 바뀝니다. 흙 뭉치가 자랑스런 언덕을 지명하는 반 인간의 성장에 흙이있는 상상력을 갖추어야합니다.

6 테스트.

학생들은 교실에서 공연하기 시작하는 테스트가있는 개별 패키지를받으며 주택이 마무리됩니다.

7 결과 수업.

볼록한 다면체 다면체는 각 얼굴의 평면에서 한 가지 방법으로 위치하면 볼록한 것으로 부릅니다. 볼록한 다면체의 모든 가장자리는 볼록한 다각형입니다. 볼록한 다면체에서, 각 윗부분을 갖는 모든 평평한 모서리의 합은 360도 미만이다.

프리즘의 요소 - 프리즘 2의 기초 - 높이 3 - 측면 얼굴

피라미드 원소 피라미드 2 측면의 피라미드 3 기반의 피라미드 3 기반

Dodecahedron Dodecahedron은 12 개의 정삼각 펜사콘으로 구성됩니다. 각 피크는 3 개의 오각형의 상단입니다. 각 꼭지점에서 평평한 모서리의 합은 324도입니다. 따라서 Dodecahedron은 12면, 20 개의 정점과 30 개의 갈비뼈가 있습니다.

실린더 실린더는 동일한 평면에 누워 있지 않은 두 개의 원으로 구성되며 병렬 전송과 결합 된 두 개의 원으로 구성 되며이 원의 해당 지점을 연결하는 모든 세그먼트로 구성됩니다. 원은 실린더 기지 (3) 및 세그먼트 (4)를 형성합니다. 실린더는 성형이 기본 비행기에 수직 인 경우 직접이라고합니다. 실린더의 반경은베이스의 반경 (1)입니다. 실린더 높이는 기본 평면 (2) 사이의 거리입니다. 실린더의 축은베이스 센터를 통과하여 직접적입니다. 4 5.

원뿔 콘은 원추형 (5)의 기초,이 원의 평면에 누워 있지 않은 점 (2)의 꼭지점 및 모든 세그먼트를 연결하는 모든 부분으로 구성된 시체로 구성됩니다. 원뿔형의 포인트가있는 콘의 정점. 원뿔의 높이는 정점에서 기본 비행기 (1)로 낮추어 수직으로 호출됩니다. 원뿔 축은 높이를 포함하는 직접이라고합니다. 콘의 전체 표면은 기저부 (5)와 측면 (3)으로 구성됩니다. 원뿔의 반경은 기지의 반경입니다. 구 및 볼 구는이 점에서 주어진 거리에있는 모든 공간 포인트로 구성된 표면이라고합니다 (3). 이 점을 구의 중심으로,이 반경 거리 (1)라고합니다. 구체에 한정되는 몸체는 공이라고합니다. 영역의 중심, 반경 및 직경은 센터, 반경 및 공의 직경이라고도합니다. 볼의 중심을 통과하는 평면을 직경 평면 (2)이라고합니다. 직경 평면의 단면을 큰 원이라고하며, 구의 단면은 큰 원이다. 삼.

다면체는 모든면에서 비행기로 제한된 몸체라고합니다.다면체의 요소 : 얼굴, 갈비, 꼭대기. 모든 Röbember 다면체의 전체는 그리드라고합니다. 다면체는 모든 것이 그의 얼굴의 비행기에서 한쪽면에서 한쪽에있는 경우 볼록한 것으로 부릅니다. 이 경우 그 얼굴은 볼록한 다각형입니다. Convex Polyhedra의 경우 Leonard Euler는 수식을 제안했다.

r + p \u003d 2, m- 얼굴의 수; b - 정점의 수; p - 로버 번호.

많은 볼록한 폴리 헤드라 중에서도 올바른 폴리 헤드라 (플라톤의 몸), 피라미드 및 프리즘이 가장 중요합니다. 다면체는 모든 얼굴이 올바른 다각형과 동일하다면 올바른 것으로 부름됩니다. 이들은 (그림 26) : a - tetrahedron; B - Hexahedron (큐브); in - octahedron; M - dodecahedron; D - 이코 사태.

에이 비 씨 디이)

무화과. 26.

올바른 폴리 헤드라의 매개 변수 (그림 26)

	옳은 다면체 (바디 플라톤)	번호	인접한 각도 ribrami, 우박.
	그란데	verkhin.	류버	측면 U. 모든 얼굴	Röbeber의 수는 모든 정점을 가지고 있습니다
사면체	4	4	6	3	60	3
육면체 (큐브)	6	8	12	4	90	3
옥타 그라	8	6	12	3	60	4
십이 면체	12	20	30	5	72	3
Ikosahedron.	20	12	30	3	60	5

큐브와 큐브의 얼굴과 정점의 수가 각각 6, 8 및 8, 6의 얼굴과 정점 수가 각각 인 무한대에 맞는 (그림 27)에 적합 할 수 있습니다 (그림 27).

큰 그룹은 소위 하프 티블 폴리 헤드라 (Archimedian Bodies)입니다. 이들은 볼록한 폴리 헤드라이며, 서버가 다른 유형의 올바른 다각형입니다. 아르키메데스의 시체는 플라톤의 절단 된 몸체입니다. 그 중 일부의 외관은도 1에 도시되어있다. 28 및 테이블의 매개 변수 아래.

A B C d)

무화과. 도 27 28.

하프 방향 다단의 매개 변수 (그림 28)

다면체는 공간에서 일반적인 위치를 차지할 수 있거나, 그 요소는 평행하거나 돌출부에 수직이 될 수 있습니다. 첫 번째 경우에있는 다면체의 구성을위한 초기 데이터는 두 번째 ─ 크기의 정점의 좌표를 제공합니다. 다면체의 버전의 구조는 그리드의 돌출부의 구성으로 감소합니다. 다면체의 투영의 외부 에세이는 신체의 윤곽이라고합니다.

프리즘

─ Convebx Polyhedron, 그 사이에 평행 한 측면 갈비뼈. 더 낮은 얼굴 ─ 측면 가장자리의 수를 결정하는 동일한 다각형을 프리즘의 염기라고합니다. 프리즘은 바닥에 올바른 다각형을 기지하고 직접적으로, 옆의베이스에 수직이면 그렇지 않으면 프리즘이 기울어진다. 직사각형의 직접 프리즘의 측면 얼굴, 기울어 진 ─ 평행 사변형. 직접 프리즘의 측면 표면은 돌출부의 측면 가장자리에 수직 인 대상물을 돌출하는 물체와 퇴행성을 투사하는 것에 관한 것이다. 프리즘의 측면 표면에 위치한 점과 선의 투영은 퇴화 된 투영과 일치합니다.

전형적인 작업 3.(그림 29) : 직접 프리즘 요약의 복잡한 도면을 구축하십시오.베이스의 L 측 (프리즘 길이); b- 평가 가능한 삼각형베이스의 높이 (프리즘 너비); h- 프리즘의 높이. 돌출부와 관련된 류와 얼굴의 위치를 \u200b\u200b결정하십시오. ABB'A '와 ACC'A'의 가장자리는 각각 POINT M과 DIRECT N을 설치하고 누락 된 투영을 구축합니다.

1. 정신적으로, 우리는 기초 D ABC \u003d P 1이고 ACP 3의 가장자리와 ACP 3의 가장자리가되도록 돌출부의 시스템에 다면체가 있습니다 (그림 29, a).

2. 정신적으로 기본 비행기를 도입하십시오 : S║IP 1과베이스 (D ABC)와 일치하는 것; D║P 2와 엉덩이의 뒷면과 일치합니다. 우리는 기본 라인 S2, S3, D 1, D 3 (그림 29, B)을 구축합니다.

3. 수평을 짓고, 전두엽과 마지막으로 기준선 D 1, D 3을 사용하여 프리즘의 프로파일 투영 (그림 29, B)을 구축하십시오.

Rybra : AB, 태양 ─ 가로; AC ─ 프로파이어 프로젝션; AS, SC, SB ─ 가로 - 투영. 진상: ABC A "B'C '─ 수평 수준; ABV'A', BCS'V '─ 가로 - 투영; ACC"A'─ 프론트럴 레벨 ..

5. 프리즘의 측면에 누워있는 포인트의 수평 투영의 건설, 우리는 프로젝션 물체의 수집 특성을 사용하여 수행합니다 : 프리즘의 측면 표면에있는 점과 선의 모든 투영은 퇴화 된 (수평)과 일치합니다. 투사. 포인트의 프로파일 투영 (예 : m) D 3에서 수평 투영에서 측정 한 D 3에서 깊이 (YM)의 깊이 (YM)의 연결의 수평 라인을 배치하여 빌드합니다 (또한 8, 17 절 참조) ...에 직선 N에서 포인트 1, 2를 지정하고, PRISM의 표면에 이러한 점을 빌드합니다. 포인트 M과 유사합니다. 우리는 경쟁 포인트의 방법으로 가시성을 정의합니다. 작업을 "잘라내는 프리즘"을 수행하십시오.

a b c)

무화과. 29.

피라미드

다각형은 측면 (피라미드의베이스)이며, 측면의 수를 결정하는 다각형 (피라미드의베이스)과 나머지 얼굴 (측면) ─ 피라미드의 피크라고 불리는 총 정점이있는 삼각형이 있습니다. 바닥의 \u200b\u200b꼭대기가있는 피라미드의 정점을 연결하는 세그먼트를 옆으로 연결합니다. 수직, 피라미드 상단에서 기지의 평면까지 낮추어 피라미드의 높이라고합니다. 꼭지점이베이스의 중심으로 투사되면 정확한 다각형과 직선을 기지하는 경우 피라미드가 정확합니다. 오른쪽 피라미드의 측면 갈비는 같고 측면이 똑같이 체인 된 삼각형입니다. 오른쪽 피라미드의 측면의 높이는 afoph라고합니다. 피라미드의 꼭지점이베이스 밖에서 투사되면 피라미드가 기울어진다.

전형적인 작업 4.(그림 30-32) : 치수를 갖는 직접 올바른 피라미드의 복잡한 도면을 구성한다 :베이스의 L 측 (길이); b- 루트 삼각형의 높이 (너비); 피라미드의 높이. 돌출부와 관련된 류와 얼굴의 위치를 \u200b\u200b결정하십시오. Points M의 전면 및 수평 투영을 ASB 및 ASC의 가장자리에 각각 소속시키고 누락 된 투영을 구축합니다.

1. 정신적으로, 우리는 투사의 설계 시스템에있는 다면체가 있어야합니다. 그래서 ABC \u003d P 1; 및 ACP 3의 가장자리와 (그림 31).

2. 정신적으로 기본 비행기를 도입하십시오 : S║IP 1과베이스 (D ABC)와 일치하는 것;

D║P 2와 AU 가장자리와 일치합니다. 우리는 기본 라인 S2, S3, D 1, D 3 (그림 32)을 구축합니다.

3. 수평을 짓고, 앞면과 마침내,

피라미드의 프로파일 투영 (그림 32 참조).

4. 우리는 직접 및 평면의 위치의 소스 데이터와 분류자를 감안할 때, 류브의 위치와 피라미드의 복잡한 도면에서 얼굴을 분석합니다 (11.14 호).

리빙 : AB, Sun ─ 가로; AC ─ 프로파이어 프로젝션; AS, SC ─ 일반 위치; SB ─ 프로파일 레벨. 가장자리 : ASB, BSC ─ 일반 위치; ABC ─Gorizonal 레벨; ASC ─ 프로파이어 프로젝션.

5. 피라미드의 가장자리에 누워있는 포인트의 누락 된 투영을 구축하면 "비행기의 점에 속한"기호를 사용하여 수행합니다. 보조 직접 수평 또는 임의의 직선을 사용하십시오. 포인트의 프로파일 투영은 수평 투영 (8, 17 절 참조)에서 측정 한 점의 깊이의 깊이 연결의 수평선에 의해 설정됩니다 (8, 17 참조).

무화과. 도 30 도 31 32.

폴리 헤드라는 기하학에서 눈에 띄는 장소를 차지할뿐만 아니라 각 사람의 일상 생활에서도 만난다. 다양한 다각형의 형태로 인위적으로 창조 된 분기 항목을 언급하지 않고, 성냥갑으로 시작하고 건축 요소로 끝나는 자연에서 큐브 (소금), 프리즘 (크리스탈), 피라미드 (선반)의 형태로 결정이 있습니다. ), octahedra (다이아몬드) 및 t d.

다면체의 개념, 기하학의 다정단의 유형

과학으로서의 기하학은 체적 체용의 특성과 특성을 연구하는 입체 측정 섹션을 포함하고 있으며, 3 차원 공간에서 제한된 평면 (에지)에 의해 3 차원 공간이 형성되는 측면을 "폴리 헤드라"라고합니다. 폴리 하드라 숫자의 종류는 얼굴의 수와 모양이 다른 다섯 가지 대표자가 아닙니다.

그럼에도 불구하고 모든 폴리 헤드라는 공통된 속성을 가지고 있습니다 :

그들 모두에는 3 가지 필수 구성 요소가 있습니다. 얼굴 (다각형의 표면), 정점 (얼굴의 위치에 형성된 모서리), 가장자리 (그림 또는 절단의 측면, 2 개 접합부에서 형성됨) 얼굴).
다각형의 각 가장자리는 서로 연결되는 두 개의 면만이 서로 관련되어 있습니다.
벌지는 얼굴 중 하나가 거짓말하는 평면의 한쪽면에 몸이 완전히 위치한다는 것을 의미합니다. 규칙은 다면체의 모든면에 적용됩니다. 이러한 기하학적 형상은 입체 분석을 볼록 폴리 헤드라라고합니다. 예외는 적당한 다각형 기하학적 바디의 파생 상품 인 Polyhedra의 별입니다.

다정단은 다음과 같이 나눌 수 있습니다 :

다음 수업으로 구성된 볼록한 폴리 헤드라의 종류 : 일반 또는 고전 (프리즘, 피라미드, 평행 육면체), 올바른 (플라 닉 몸체라고도 함), 반 환경 (두 번째 이름 - 아르키메디언 몸).
비 연결 해제 폴리 헤드라 (별).

프리즘과 그 특성

지오메트리의 섹션으로 입체 측정은 3 차원 수치의 특성, 폴리 헤드라의 유형 (그 중 프리즘)을 조사합니다. 프리즘은 기하학적 인 몸체라고 불리며, 반드시 평행 한 평면에 누워있는 두 개의 완전히 동일한 얼굴 (그들은 기지라고도 함)이며 평행 사변형의 형태로 측면의 수를 갖는 것입니다. 차례로 프리즘은 다음과 같은 폴리 헤드라의 유형을 포함하여 몇 가지 품종을 가지고 있습니다.

평행 보좌관이베이스에있는 경우 평행 육면체가 형성되어 있으면 2 쌍의 반대 각도와 2 쌍의 일치면이있는 다각형이 형성됩니다.
그것은 늑골의 바닥에 수직이 있습니다.
그것은 가장자리와베이스 사이의 간접 각 (90과 다른)의 존재를 특징으로합니다.
올바른 프리즘은 동일한 측면의 형태로 염기가 특징 지어집니다.

프리즘의 주요 특성 :

기초 정도.
프리즘의 모든 반경은 서로 평등하고 서로 평행합니다.
모든 측면에는 평행 사변형 형태가 있습니다.

피라미드

피라미드는 기하학적 인 몸체라고하며, 한 점에서 연결되는 삼각형면의 N 번째 수는 정점 - 정점으로 구성됩니다. 피라미드의 측면이 삼각형에 의해 미리 결정되면,베이스에서 삼각형 다각형, 튀김 및 펜타곤, 그래서 무기한 것일 수 있다는 것을 알아야한다. 이 경우 피라미드의 이름은베이스의 다각형에 해당합니다. 예를 들어, 피라미드의 기초가 삼각형이면 이는 사각형 - 4 개 버그 톤 등입니다.

피라미드는 원추형 폴리 헤드라입니다. 이 그룹의 폴리 하드라의 종류는 다음과 같은 대표자도 포함됩니다.

그것은 올바른 다각형을 가지고 있으며, 높이는 기저부에 새겨진 원의 중심에 설계되거나 주위에 묘사됩니다.
직사각형 피라미드는 측면 가장자리 중 하나가 직각으로베이스와 교차 할 때 형성됩니다. 이 경우이 가장자리는 또한 피라미드의 높이를 정확하게 호출합니다.

피라미드 특성 :

피라미드의 모든 측면 갈비가 일치하는 경우 (동일한 높이), 모든 것이 하나의 각도로베이스와 교차하고, 기저부 주위는 피라미드 정점의 투영과 일치하는 중심과 함께 기저부 주위에 쌓일 수 있습니다.
피라미드의 기초가 올바른 다각형을 거짓말하는 경우 합치기의 모든 측면 가장자리가 있고 얼굴은 똑같이 체인 된 삼각형입니다.

오른쪽 다면체 : 종 및 폴리 헤드라의 특성

입체계에서, 기하학적 바디는 동일한 류버가 연결되는 정점에서 자신의 가운데 절대적으로 동일한 특별한 장소를 차지합니다. 이 시체는 신체의 플라톤의 이름이나 올바른 다정단의 이름을 받았습니다. 이러한 속성을 가진다면의 종류는 5 개의 수치 만 있습니다.

사면체.
육면체.
8 면체.
십이 면체.
이코 사태.

그 이름으로 올바른 폴리 헤드라는 고대 그리스 철학자 플라톤 에이 기하학적기구를 쓰고 자연스러운 요소와 관련이있는 고대 그리스 철학자 플라톤에게 의무가 있습니다 : 육지, 물, 불, 공기. 다섯 번째 수치는 우주의 구조와 유사성을 수여 받았다. 그의 의견으로, 천연 요소의 원자는 정확한 폴리 헤드라의 유형과 유사합니다. 가장 흥미로운 재산 - 대칭 덕분 에이 기하학적기구는 고대 수학자와 철학자뿐만 아니라 모든 시간의 건축가, 예술가 및 조각가들에게도 큰 관심사를 거두었습니다. 절대 대칭이있는 5 가지 유형의 폴리 헤드라의 존재는 근본적인 발견으로 간주되었으며, 이들은 신성한 이익과의 평균 의사 소통을했습니다.

육면체와 그 특성

육각형의 형태로 Plato의 후속자는 토지 원자의 구조와 유사성을 가정했다. 물론,이 가설은 완전히 반박되어 있으며, 이는 약벌과 현대에서 현대적으로 미학을 통해 유명한 수치의 마음을 끌어들이는 것이 아닙니다.

지오메트리, Hexahedron, 그는 동일한 큐브이며 평행 육면체의 특정 경우로 간주되며, 이는 차례로 프리즘의 유형입니다. 따라서, 큐브의 특성은 큐브의 모든 에지와 모서리가 서로 동일하다는 유일한 차이와 관련된다. 다음과 같은 속성이 흐릅니다.

모든 쿠바 쿠바 Congue와 서로 관련하여 병렬 비행기에 누워 있습니다.
모든 얼굴은 일치하는 사각형 (총 쿠바 6에서)이며, 그 중 하나는 받아 들일 수 있습니다.
모든 중간 각도는 90입니다.
각 꼭지점에서 동일한 양의 ryoeber가 발생합니다. 즉 3입니다.
큐브에는 대칭 센터라고 불리는 육면체 대각선의 교차점에서 모든 교차점이 있습니다.

사면체

Tetrahedron은 삼각형의 형태로 동등한 가장자리가있는 4 중입니다. 각 정점은 3면을 연결하는 점입니다.

올바른 테트라 헤드론의 속성 \u200b\u200b:

Tetrada의 모든 얼굴 - 이것은 4 마리의 선두의 모든면을 따르는 것입니다.
베이스가 올바른 기하학적 인 그림으로 표시되기 때문에, 즉 동일한 측면이 있는데, 즉 모든 모서리가 동일한 각도로 수렴하는 테트라 헤드로그의 직전은 동일합니다.
모든 각도가 같기 때문에 각각의 정점의 평평한 각도의 합은 180이므로 오른쪽 4-에 의해 오른쪽 각도가 60입니다.
각 꼭지점은 얼굴의 반대쪽의 높이의 교차점으로 투영됩니다.

8 면체와 그 특성

올바른 폴리 헤드라의 유형을 설명하는 것은 8 그릇에 따라 그러한 물체를주의 깊게 기록하는 것이 불가능하지는 불가능합니다. 그래서는 시각적으로 사슴 규칙적인 피라미드의 두 브랜드 기지의 형태로 표시 될 수 있습니다.

Oktahedra 속성 :

기하학적 인 몸의 이름은 그 얼굴의 수를 제안합니다. 팔 그대로는 8 개의 윤곽선 삼각형으로 구성되어 있으며, 각 정점에서 동등한 수의 얼굴을 수렴합니다. 즉 4.
팔 그라 드론의 모든 에지는 동일한 중간 값 각도와 동일하기 때문에 각각 60이고, 각각의 정점의 평면 모서리의 합이 240이므로.

십이 면체

기하학적 인 몸체의 모든면이 올바른 펜타곤이라고 상상하면 Dodecahedron은 12 개의 다각형의 모습입니다.

dodecahedron 특성 :

각 꼭지점은 3 개의 얼굴과 교차합니다.
모든 패싯은 동일하며 동일한 Röbeber 길이뿐만 아니라 동일한 영역을 가지고 있습니다.
Dodecahedra는 대칭의 15 축과 평면을 가지고 있으며, 그 중 하나는 얼굴의 꼭지점과 갈비뼈의 중간을 그녀와 반대합니다.

Ikosahedron.

Dodecahedron보다 덜 흥미롭지 않으면 이코 사태의 그림은 20 개의 동등한 가장자리가있는 체적 기하학적 바디입니다. 오른쪽 20 개의 계류의 특성 중 다음은 다음을 기록 할 수 있습니다.

Ikosahedron의 모든면은 평가 가능한 삼각형입니다.
다면체의 각 꼭대기는 5 개의 얼굴을 수렴하며, 인접한 피크 각도의 합은 300이다.
Ikosahedron은 Dodecahedron, 15 축 및 대칭을 통과하는 대칭 평면과 동일합니다.

세미 환경 다각형

플라톤 바디 외에도 볼록한 폴리 헤드라의 그룹은 또한 올바른 폴리 헤드라가 잘립니다. 이 그룹의 Polyhedra의 유형은 다음과 같은 속성 을가집니다.

기하학적 바디는 여러 유형의 동등한면을 가지고 있습니다. 예를 들어, 절단 된 테트라 헤드로는 오른쪽 사면체, 8면과 동일하지만 몸체 4면의 아치의 경우 삼각형 형태와 4 개의 육각형이 있습니다.
하나의 정점의 모든 모서리가 일치합니다.

폴리 헤드라의 별

기하학적 인 기하학적 유형의 대표자 - 스타 다리드라, 서로 교차하는 얼굴. 이들은 두 개의 정규 3 차원 기관의 합병 또는 얼굴의 연속으로 형성 될 수 있습니다.

따라서 폴리 헤드라의 이러한 별들은 다음과 같이 알려져 있습니다 : 별면체, 도데 히드라, 이코 사샤드라, 큐 코 하드라, 이코도 데카 헤드론.