사각뿔의 측면 면적. 피라미드 지역
정의. 측면- 이것은 한 각도가 피라미드의 상단에 있고 반대쪽이 밑면(다각형)의 측면과 일치하는 삼각형입니다.
정의. 옆갈비측면의 공통 측면입니다. 피라미드에는 다각형의 모서리 수만큼 모서리가 있습니다.
정의. 피라미드 높이피라미드의 맨 위에서 아래로 떨어지는 수직선입니다.
정의. 아포뎀- 이것은 피라미드의 상단에서 기부의 측면으로 낮추어 진 피라미드 측면의 수직입니다.
정의. 대각선 단면- 이것은 피라미드의 상단과 하단의 대각선을 통과하는 평면에 의한 피라미드의 단면입니다.
정의. 올바른 피라미드- 밑변이 정다각형이고 높이가 밑변의 중심으로 내려가는 피라미드입니다.
피라미드의 부피와 표면적
공식. 피라미드 볼륨기본 영역 및 높이를 통해:
피라미드 속성
모든 측면 모서리가 같으면 피라미드의 밑변에 원을 외접할 수 있으며 밑변의 중심은 원의 중심과 일치합니다. 또한 위에서 떨어지는 수직선은 밑면의 중심(원)을 통과합니다.
모든 측면 리브가 같으면 동일한 각도로 기본 평면에 대해 기울어집니다.
측면 리브는 기본 평면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드의 바닥 주위에 원이 설명될 수 있는 경우 동일합니다.
측면이 밑면의 평면에 대해 한 각도로 기울어지면 피라미드의 밑면에 원이 내접되고 피라미드의 상단이 중심에 투영됩니다.
측면이 기본 평면에 대해 한 각도로 기울어지면 측면의 apothems는 동일합니다.
일반 피라미드의 속성
1. 피라미드의 꼭대기는 바닥의 모든 모서리에서 등거리에 있습니다.
2. 모든 측면 모서리가 동일합니다.
3. 모든 측면 리브는 베이스에 대해 동일한 각도로 기울어져 있습니다.
4. 모든 측면의 격언은 동일합니다.
5. 모든 측면의 면적은 동일합니다.
6. 모든 면은 동일한 이면각(평면)을 갖습니다.
7. 피라미드 주위에 구를 설명할 수 있습니다. 설명된 구의 중심은 가장자리의 중간을 통과하는 수직선의 교차점이 됩니다.
8. 구는 피라미드에 새길 수 있습니다. 내접 구의 중심은 모서리와 밑면 사이의 각도에서 나오는 이등분선의 교차점이 됩니다.
9. 내접 구의 중심이 외접 구의 중심과 일치하면 정점에서 평평한 각도의 합은 π와 같거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 한 각도는 π / n과 같습니다. 여기서 n은 숫자입니다 피라미드 밑면의 각도.
구와 피라미드의 연결
피라미드의 밑면에 원이 설명될 수 있는 다면체가 있을 때 구는 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다(필요 충분 조건). 구의 중심은 피라미드 측면 모서리의 중간점을 수직으로 통과하는 평면의 교차점이 됩니다.
구는 항상 삼각형 또는 일반 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다.
피라미드의 내부 2면각의 이등분선이 한 점에서 교차하는 경우(필요 충분 조건) 구는 피라미드에 내접할 수 있습니다. 이 점이 구의 중심이 됩니다.
원뿔과 피라미드의 연결
원뿔의 꼭짓점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면에 내접되어 있는 경우 피라미드에 내접된 원뿔이라고 합니다.
피라미드의 apothems가 같으면 피라미드에 원뿔을 새길 수 있습니다.
원뿔의 꼭짓점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면 주위에 외접되어 있는 경우 원뿔은 피라미드 주위에 외접되어 있다고 합니다.
피라미드의 모든 측면 모서리가 서로 동일한 경우 피라미드 주위에 원뿔을 설명할 수 있습니다.
원통과 피라미드의 연결
피라미드의 꼭대기가 원통의 한 밑면에 있고 피라미드의 밑면이 원통의 다른 밑면에 새겨져 있는 경우 피라미드는 원통에 새겨져 있다고 합니다.
피라미드의 밑변에 원이 외접될 수 있으면 원통도 피라미드 주위에 외접할 수 있습니다.
사면체는 4개의 면과 4개의 꼭짓점과 6개의 모서리를 가지며, 두 모서리는 공통 정점이 없지만 접하지 않습니다.
각 꼭짓점은 다음을 형성하는 세 개의 면과 모서리로 구성됩니다. 삼각각.
정사면체의 꼭짓점과 반대쪽 면의 중심을 연결하는 선분을 사면체의 중앙값(GM).
바이메디언서로 닿지 않는 반대쪽 모서리의 중점을 연결하는 선분(KL)이라고 합니다.
사면체의 모든 이중선과 중선은 한 점(S)에서 교차합니다. 이 경우 바이메디언을 반으로 나누고, 위에서부터 3:1의 비율로 메디안을 나눈다.
정의. 예각 피라미드변의 길이가 밑변 길이의 절반 이상인 피라미드입니다.
정의. 둔각 피라미드변의 길이가 밑변 길이의 절반 미만인 피라미드입니다.
정의. 정사면체네 면이 정삼각형인 사면체. 5개의 정다각형 중 하나입니다. 정사면체에서 모든 2면체 각(면 사이)과 3면체 각(정점에서)은 동일합니다.
정의. 직사각형 사면체꼭짓점에서 세 모서리 사이에 직각을 갖는 사면체라고 합니다(가장자리가 수직임). 세 개의 얼굴 형태 직사각형 삼각각면은 직각 삼각형이고 밑변은 임의의 삼각형입니다. 어떤 면의 변의는 변의가 떨어지는 밑변의 절반과 같습니다.
정의. 정사면체측면이 서로 같고 밑변이 정삼각형인 사면체라고 합니다. 이러한 사면체의 면은 이등변 삼각형입니다.
정의. 직교 사면체정사면체는 위에서 반대면으로 낮아진 모든 높이(수직)가 한 점에서 교차하는 것입니다.
정의. 별 피라미드밑변이 별인 다면체를 호출합니다.
규칙적인 피라미드의 측면 면적은 밑변 둘레의 절반만큼의 변의 곱과 같습니다.
전체 표면적은 측면에 기본 영역을 추가하기만 하면 됩니다.
정각 피라미드의 측면은 밑변과 변위의 반둘레를 곱한 것과 같습니다.
증거:
밑변이 a이고 변의 수는 n이면 피라미드의 측면은 다음과 같습니다.
알 n/2 = 엔 l/2=pl/2
여기서 l은 apothem이고 p는 피라미드 밑면의 둘레입니다. 정리가 증명되었습니다.
이 공식은 다음과 같습니다.
일반 피라미드의 측면 면적은 피라미드 둘레와 피라미드의 둘레의 곱의 절반과 같습니다.
피라미드의 총 표면적은 다음 공식으로 계산됩니다.
에스 가득한 =에스 옆 +에스 기본
피라미드가 불규칙하면 측면 표면은 측면 면적의 합과 같습니다.
피라미드 볼륨
용량피라미드는 밑면과 높이의 곱의 1/3과 같습니다.
증거. 우리는 삼각형 프리즘에서 시작할 것입니다. 프리즘의 위쪽 밑면의 정점 A "와 아래쪽 밑면의 반대쪽 가장자리 BC를 통해 평면을 그립니다. 이 평면은 프리즘에서 삼각형 피라미드 A" ABC를 잘라냅니다. 측면의 대각선 A "C"와 "B"C를 통해 평면을 그려 프리즘의 나머지 부분을 몸체의 핵심으로 분해합니다. 결과로 생성된 두 개의 몸체도 피라미드입니다. 삼각형 A"B"C"를 밑변으로 하고 C를 꼭대기로 생각하면 밑변과 높이가 우리가 자른 첫 번째 피라미드의 것과 같으므로 피라미드 A"ABC와 CA"B"C"는 동일합니다. 또한 새로운 피라미드 CA "B" C "와 A" B "BC"도 크기가 동일합니다. 삼각형 BC "및 B" CC "를 취하면 명확해질 것입니다. 피라미드 CA" B "C" 및 A "B "VS는 공통 꼭짓점 A를 가짐" 및 그 밑변이 동일한 평면에 있고 동일하므로 피라미드가 동일합니다. 따라서 프리즘이 분해됩니다. 동일한 면적의 세 피라미드로, 각각의 부피는 프리즘 부피의 1/3과 같습니다. 밑면의 모양이 중요하지 않기 때문에 일반적으로 n-각뿔 피라미드의 부피는 다음과 같습니다 높이와 밑면이 같은 프리즘 부피의 1/3입니다. 프리즘 부피를 표현하는 공식 V=Sh를 상기하면 최종 결과는 다음과 같습니다. V=1/3Sh
수학 시험을 준비할 때 학생들은 대수와 기하학에 대한 지식을 체계화해야 합니다. 예를 들어 피라미드의 면적을 계산하는 방법과 같이 알려진 모든 정보를 결합하고 싶습니다. 또한 바닥면과 측면에서 시작하여 전체 표면적에 적용됩니다. 측면이 삼각형이므로 상황이 명확하면 밑면이 항상 다릅니다.
피라미드 바닥의 면적을 찾을 때해야 할 일은 무엇입니까?
임의의 삼각형에서 n각형에 이르기까지 절대적으로 모든 그림이 될 수 있습니다. 그리고이베이스는 각도 수의 차이 외에도 일반 그림이거나 잘못된 그림 일 수 있습니다. 학생들이 관심을 갖는 USE 작업에는 기본에 정확한 수치가 있는 작업만 있습니다. 따라서 우리는 그들에 대해서만 이야기 할 것입니다.
정삼각형
그것은 등변입니다. 모든면이 동일하고 문자 "a"로 표시되는 것. 이 경우 피라미드 밑면의 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.
S = (a 2 * √3) / 4.
정사각형
면적을 계산하는 공식이 가장 간단합니다. 여기서 "a"는 다시 측면입니다.
임의의 일반 n-gon
다각형의 측면은 동일한 지정을 갖습니다. 모서리 수에는 라틴 문자 n이 사용됩니다.
S = (n * a 2) / (4 * tg(180º/n)).
측면 및 전체 표면적을 계산할 때 어떻게 진행합니까?
밑변이 정형이므로 피라미드의 모든 면이 동일합니다. 또한 측면 모서리가 동일하기 때문에 각각은 이등변 삼각형입니다. 그런 다음 피라미드의 측면 영역을 계산하려면 동일한 단항식의 합으로 구성된 공식이 필요합니다. 항의 수는 밑변의 수에 따라 결정됩니다.
이등변 삼각형의 면적은 밑면의 곱의 절반에 높이를 곱한 공식으로 계산됩니다. 피라미드의 이 높이를 아포뎀(pothem)이라고 합니다. 그 명칭은 "A"입니다. 측면 표면적의 일반 공식은 다음과 같습니다.
S \u003d ½ P * A, 여기서 P는 피라미드 밑면의 둘레입니다.
밑변의 측면을 모르는 상황이 있지만 측면 모서리(c)와 꼭짓점에서의 평평한 각도(α)가 제공됩니다. 그런 다음 이러한 공식을 사용하여 피라미드의 측면 영역을 계산해야 합니다.
S = n/2 * in 2 sin α .
작업 #1
질환.피라미드의 밑변이 4cm이고 apothem의 값이 √3cm인 경우 피라미드의 총 면적을 찾으십시오.
해결책.밑면의 둘레를 계산하는 것으로 시작해야 합니다. 이것이 정삼각형이기 때문에 P \u003d 3 * 4 \u003d 12cm입니다. apothem이 알려져 있기 때문에 전체 측면의 면적을 즉시 계산할 수 있습니다. ½ * 12 * √3 = 6 √3cm 2.
밑변에 있는 삼각형의 경우 (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2의 면적 값을 얻습니다.
전체 면적을 결정하려면 두 개의 결과 값을 더해야 합니다. 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
대답. 10√3 cm2.
작업 #2
질환. 정사각뿔이 있습니다. 베이스 측면의 길이는 7mm, 측면 가장자리는 16mm입니다. 표면적을 알아야 합니다.
해결책.다면체는 정사각형이고 규칙적이므로 밑변은 정사각형입니다. 밑면과 측면의 면적을 배웠다면 피라미드의 면적을 계산할 수 있을 것입니다. 제곱의 공식은 위에 나와 있습니다. 그리고 측면에서 삼각형의 모든면이 알려져 있습니다. 따라서 헤론의 공식을 사용하여 면적을 계산할 수 있습니다.
첫 번째 계산은 간단하며 49mm 2라는 숫자로 이어집니다. 두 번째 값의 경우 반 둘레를 계산해야 합니다. (7 + 16 * 2): 2 = 19.5mm. 이제 이등변 삼각형의 면적을 계산할 수 있습니다. √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. 이러한 삼각형은 4개뿐이므로 최종 수를 계산할 때 4를 곱해야 합니다.
결과는 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2입니다.
대답. 원하는 값은 267.576mm2입니다.
작업 #3
질환. 정사각뿔의 경우 면적을 계산해야 합니다. 그 안에 정사각형의 한 변은 6cm이고 높이는 4cm입니다.
해결책.가장 쉬운 방법은 둘레와 변의 곱으로 공식을 사용하는 것입니다. 첫 번째 값은 찾기 쉽습니다. 두 번째는 조금 더 어렵습니다.
우리는 피타고라스 정리를 기억해야 하고 피라미드의 높이와 빗변인 변절에 의해 형성된다는 것을 고려해야 합니다. 두 번째 다리는 다면체의 높이가 중간에 떨어지기 때문에 정사각형의 변의 절반과 같습니다.
원하는 apothem(직각 삼각형의 빗변)은 √(3 2 + 4 2) = 5(cm)입니다.
이제 원하는 값을 계산할 수 있습니다. ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
대답. 96cm2.
작업 #4
질환.베이스의 올바른면은 22mm이고 측면 리브는 61mm입니다. 이 다면체의 측면 면적은 얼마입니까?
해결책.그 이유는 2번 문제에서 설명한 것과 같다. 밑변에 정사각형이 있는 피라미드만 있었는데 지금은 육각형입니다.
우선, 밑면의 면적은 위의 공식을 사용하여 계산됩니다. (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2.
이제 측면 인 이등변 삼각형의 반 둘레를 찾아야합니다. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm 헤론 공식을 사용하여 그러한 삼각형의 해변 면적을 계산한 다음 6을 곱하고 결과에 추가하십시오. 베이스.
헤론 공식을 사용한 계산: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. 측면 표면적을 줄 계산: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. 전체 표면을 찾기 위해 그것들을 더해야 합니다: 5217.47≈5217 cm 2.
대답.바닥 - 726√3 cm 2, 측면 - 3960 cm 2, 전체 면적 - 5217 cm 2.
는 밑면에 임의의 다각형이 있고 측면이 삼각형으로 표시되는 그림입니다. 정점은 한 지점에 있으며 피라미드의 상단에 해당합니다.
피라미드는 삼각형, 사각형, 육각형 등 다양할 수 있습니다. 그 이름은 베이스에 인접한 모서리의 수에 따라 결정될 수 있습니다.
올바른 피라미드밑변, 각, 모서리가 동일한 피라미드라고 합니다. 또한 이러한 피라미드에서는 측면의 면적이 동일합니다.
피라미드의 측면 면적 공식은 모든면의 면적의 합입니다. 
즉, 임의의 피라미드의 측면 면적을 계산하려면 각 개별 삼각형의 면적을 찾아 함께 더할 필요가 있습니다. 피라미드가 잘리면 면이 사다리꼴로 표시됩니다. 올바른 피라미드에는 또 다른 공식이 있습니다. 그것에서 측면 표면적은 밑면의 반 둘레와 apothem의 길이를 통해 계산됩니다.
피라미드의 측면 면적을 계산하는 예를 고려하십시오.
정사각뿔이 주어졌다고 하자. 베이스 측 비= 6cm, 그리고 격언 ㅏ\u003d 8cm 측면의 면적을 찾으십시오.
정사각뿔의 바닥에는 정사각형이 있습니다. 먼저 둘레를 구합시다.
이제 피라미드의 측면 면적을 계산할 수 있습니다. 
다면체의 총 면적을 찾으려면 밑변의 면적을 찾아야합니다. 피라미드 밑면의 면적 공식은 밑면에 있는 다각형에 따라 다를 수 있습니다. 이렇게하려면 삼각형 면적에 대한 공식을 사용하십시오. 평행 사변형 영역등.
우리의 조건에 의해 주어진 피라미드 밑면의 면적을 계산하는 예를 고려하십시오. 피라미드는 규칙적이므로 밑변에 정사각형이 있습니다.
정사각형 영역공식으로 계산: ,
여기서 는 정사각형의 측면입니다. 우리는 6cm와 같으므로 피라미드 바닥의 면적은 다음과 같습니다. 
이제 다면체의 전체 면적을 찾는 것만 남아 있습니다. 피라미드의 면적 공식은 밑면과 측면의 면적의 합입니다.
이 기하학적 도형과 그 속성에 대한 질문을 공부하기 전에 몇 가지 용어를 이해할 필요가 있습니다. 사람은 피라미드에 대해 들었을 때 이집트의 거대한 건물을 상상합니다. 이것이 가장 단순한 모습입니다. 그러나 그들은 다른 유형과 모양으로 제공되므로 기하학적 모양에 대한 계산 공식이 다릅니다.
피규어 종류
피라미드 - 기하학적 인물, 여러 면을 나타내고 나타냅니다. 사실, 이것은 동일한 다면체이며, 그 밑면에는 다각형이 있고 측면에는 한 점인 꼭짓점에서 연결되는 삼각형이 있습니다. 그림에는 두 가지 주요 유형이 있습니다.
- 옳은;
- 잘린.
첫 번째 경우 밑면은 정다각형입니다. 여기서 모든 측면은 동일합니다.그들 자신과 인물 자체 사이는 완벽 주의자의 눈을 기쁘게 할 것입니다.
두 번째 경우에는 두 개의 받침대가 있습니다. 맨 아래에 큰 것이 있고 맨 위 사이에 작은 것이 있으며 주 모양을 반복합니다. 즉, 잘린 피라미드는 밑면과 평행하게 단면이 형성된 다면체입니다.
용어 및 표기법
기본 용어:
- 정삼각형세 개의 같은 각과 같은 변을 가진 도형. 이 경우 모든 각도는 60도입니다. 그림은 정다면체 중 가장 단순합니다. 이 그림이 밑면에 있으면 그러한 다면체를 정삼각형이라고합니다. 밑변이 정사각형인 경우 피라미드는 정사각뿔이라고 합니다.
- 꼭지점- 모서리가 만나는 가장 높은 지점. 상단의 높이는 피라미드의 상단에서 하단까지 이어지는 직선에 의해 형성됩니다.
- 가장자리다각형의 평면 중 하나입니다. 삼각형 피라미드의 경우 삼각형 형태일 수 있고, 잘린 피라미드의 경우 사다리꼴 형태일 수 있습니다.
- 교차 구역- 해부 결과 형성된 평평한 그림. 섹션은 섹션 뒤에 무엇이 있는지 보여주기 때문에 섹션과 혼동하지 마십시오.
- 아포뎀- 피라미드의 꼭대기에서 밑면까지 그린 세그먼트. 두 번째 높이 점이 있는 면의 높이이기도 합니다. 이 정의는 정다면체에 대해서만 유효합니다. 예를 들어 - 잘린 피라미드가 아닌 경우 면은 삼각형이 됩니다. 이 경우 이 삼각형의 높이는 apothem이 됩니다.
면적 공식
피라미드 측면의 면적을 구하십시오.모든 유형은 여러 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 그림이 대칭이 아니고 면이 다른 다각형인 경우 이 경우 모든 표면의 전체를 통해 전체 표면적을 계산하는 것이 더 쉽습니다. 즉, 해변의 얼굴 면적을 계산하여 합산해야 합니다.
알려진 매개변수에 따라 정사각형, 사다리꼴, 임의의 사변형 등을 계산하는 공식이 필요할 수 있습니다. 다른 경우의 수식 자체도 다를 것입니다.
일반 도형의 경우 영역을 찾는 것이 훨씬 쉽습니다. 몇 가지 주요 매개변수만 알면 충분합니다. 대부분의 경우 이러한 수치에 대해 정확하게 계산이 필요합니다. 따라서 해당 공식은 아래에 제공됩니다. 그렇지 않으면 모든 것을 여러 페이지에 그려야 하므로 혼란만 가중될 뿐입니다.
계산을 위한 기본 공식일반 피라미드의 측면 면적은 다음과 같습니다.
S \u003d ½ Pa (P는 밑면의 둘레이며, apothem입니다)
한 가지 예를 살펴보겠습니다. 다면체의 밑변에는 A1, A2, A3, A4, A5 세그먼트가 있으며 모두 10cm입니다. apothem을 5cm로 둡니다. 먼저 둘레를 찾아야 합니다. 밑면의 다섯 면이 모두 같기 때문에 P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm 다음으로 기본 공식을 적용합니다: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm squared .
정삼각뿔의 측면 면적가장 쉽게 계산할 수 있습니다. 공식은 다음과 같습니다.
S =½* ab *3, 여기서 a는 apothem이고 b는 밑면의 면입니다. 여기서 3의 인수는 밑면의 면의 수를 의미하고 첫 번째 부분은 측면의 면적입니다. 예를 들어 보십시오. apothem이 5cm이고 밑면이 8cm인 그림이 주어지면 S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60cm 제곱으로 계산됩니다.
잘린 피라미드의 측면 표면적계산하기가 조금 더 어렵습니다. 공식은 다음과 같습니다. S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, 여기서 p_01과 p_02는 밑변의 둘레이고 는 격변입니다. 예를 들어 보십시오. 사각형 그림의 경우 밑변의 치수가 3cm와 6cm이고 변위가 4cm라고 가정합니다.
여기에서 우선 기본 둘레를 찾아야합니다. p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm 기본 공식에 값을 대입하고 S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 cm 제곱을 얻습니다.
따라서 모든 복잡성의 일반 피라미드의 측면 영역을 찾는 것이 가능합니다. 혼동하지 않도록 주의전체 다면체의 총 면적으로 이러한 계산. 그리고 여전히 이것을해야한다면 다면체의 가장 큰 밑면의 면적을 계산하고 다면체의 측면 면적에 추가하면 충분합니다.
동영상
다른 피라미드의 측면 영역을 찾는 방법에 대한 정보를 통합하려면 이 비디오가 도움이 될 것입니다.
