예제로 선형 방정식 풀기. 선형 방정식

방정식은 미지의 항 x가 있는 등식입니다. 그 의미를 찾아야 합니다.

미지의 양을 방정식의 근이라고 합니다. 방정식을 푸는 것은 그 근을 찾는 것을 의미하며 이를 위해서는 방정식의 속성을 알아야 합니다. 5학년 방정식은 간단하지만 올바르게 푸는 방법을 배운다면 앞으로 문제가 없을 것입니다.

방정식의 주요 속성

방정식의 양변을 같은 양만큼 변경하면 동일한 근을 가진 동일한 방정식이 계속됩니다. 이 규칙을 더 잘 이해하기 위해 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.

방정식 푸는 방법: 더하기 또는 빼기

다음 형식의 방정식이 있다고 가정합니다.

• a + x = b - 여기서 및 b는 숫자이고 x는 방정식에서 알려지지 않은 항입니다.

방정식의 양쪽에 값 c를 더하거나 빼면 다음과 같이 변경되지 않습니다.

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

실시예 1

이 속성을 사용하여 방정식을 풉니다.

• 37 + x = 51

두 부분에서 37을 뺍니다.

• 37 + x-37 = 51-37

우리는 얻는다:

• x = 51-37.

방정식의 근은 x = 14입니다.

마지막 방정식을 자세히 보면 첫 번째 방정식과 같다는 것을 알 수 있습니다. 플러스를 마이너스로 바꾸고 방정식의 한 쪽에서 다른 쪽으로 37항을 간단히 옮겼습니다.

임의의 숫자는 방정식의 한 쪽에서 반대 부호를 가진 다른 쪽으로 이동할 수 있음이 밝혀졌습니다.

실시예 2

• 37 + x = 37 + 22

동일한 작업을 수행하여 방정식의 왼쪽에서 숫자 37을 오른쪽으로 옮깁니다.

• x = 37 - 37 + 22

37-37 = 0이므로 이것을 간단히 줄이고 다음을 얻습니다.

• x = 22.

방정식의 다른 부분에 있는 동일한 부호를 가진 방정식의 동일한 항은 취소(삭제)될 수 있습니다.

방정식의 곱셈과 나눗셈

평등의 양쪽에 같은 숫자를 곱하거나 나눌 수도 있습니다.

등식 = b를 c로 나누거나 곱하면 변경되지 않습니다.

• a / c = b / c,
• 교류 = BC.

실시예 3

• 5x = 20

방정식의 양변을 5로 나눕니다.

• 5x / 5 = 20/5.

5/5 = 1이므로 방정식의 왼쪽에 있는 이 인수와 제수를 취소하고 다음을 얻습니다.

• x = 20/5, x = 4

실시예 4

• 5x = 5a

방정식의 양변을 5로 나누면 다음을 얻습니다.

• 5x / 5 = 5a / 5.

좌변과 우변의 분자와 분모에서 5를 빼면 x = a가 됩니다. 이것은 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 있는 동일한 인수가 상쇄된다는 것을 의미합니다.

예를 하나 더 풀어보겠습니다.

• 13 + 2x = 21

반대 기호를 사용하여 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 항 13을 이동합니다.

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

방정식의 양변을 2로 나누면 다음을 얻습니다.

• x = 4.

Makarova T.P., GBOU 중등 학교 No. 618 교육 "방정식" 5학년

2 가지 버전의 "방정식"주제에 대한 5 학년 교육

마카로바 타티아나 파블로브나,

교사 GBOU 중등 학교 No. 618, 모스크바

파견: 5학년

이 교육은 "방정식"이라는 주제에 대한 학생들의 지식과 기술을 테스트하는 것을 목표로 합니다. 교육은 N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhova 및 기타 교과서의 5학년 학생을 대상으로 합니다. 5학년 교과서. - M .: Mnemosina, 2013 .-- 288p. 이 테스트에는 동일한 난이도의 두 가지 병렬 변형이 포함되어 있으며, 각각 9개의 작업(선택된 답변이 있는 4개의 작업, 단답형이 있는 3개의 작업, 자세한 솔루션이 있는 2개의 작업)이 있습니다.

이 교육은 연방 주 교육 표준(2세대)을 완전히 준수하며 교실 제어를 수행할 때 사용할 수 있으며 주제에 대한 독립적인 작업을 위해 5학년 학생들이 사용할 수도 있습니다.

테스트를 완료하기 위해 15분에서 25분의 수업 시간이 할당됩니다. 열쇠가 포함되어 있습니다.

"방정식" 주제에 대한 5학년 교육. 옵션 1.

№피 / 피

연습

대답

방정식 풀기

574

1124

1114

1024

방정식의 근을 찾으십시오.

(156-엑스 )+43=170.

1) 방정식의 근은 문자의 의미입니다.

2) 방정식의 근(23 - 엑스) - 21 = 2는 자연수가 아닙니다.

3) 미지수를 빼기 위해서는 빼기에서 차를 빼야 한다.

4) 방정식 엑스 - 엑스= 0에는 정확히 하나의 루트가 있습니다.

Petya는 숫자를 생각했습니다. 이 숫자에 43을 더하고 총계에 77을 더하면 258이 됩니다. Petya는 어떤 숫자를 계획하고 있나요?

1) (엑스 + 43) – 77 = 258

2) (엑스 + 43) + 77 = 258

3) (엑스 – 43) + 77 = 258

4) (엑스 – 43) – 77 = 258

방정식을 풉니다: (5 와 함께 – 8) : 2 = 121: 11.

방정식 풀기: 821 - ( 중 + 268) = 349.

숫자의 의미 찾기 ㅏ 8이면 ㅏ + 9엑스= 60 및 엑스=4.

방정식을 사용하여 문제를 풉니다. 도서관에는 수학에 관한 125권의 책이 있었습니다. 학생들이 여러 권의 책을 가져갔다가 3권의 책을 반납한 결과 116권이 되었습니다.

방정식을 풉니다.

456 + (엑스 – 367) – 225 =898

"방정식" 주제에 대한 5학년 교육. 옵션 2.

№피 / 피

연습

대답

1부. 여러 답변이 있는 할당

방정식 풀기

525

1081

535

1071

방정식의 근을 찾으십시오.

942 – (와이 + 142) = 419.

391

481

1219

381

올바른 문장의 번호를 표시하십시오.

1) 방정식은 문자를 포함하는 등식이며 그 값을 찾아야 합니다.

2) 모든 자연수는 방정식의 근입니다.

3) 방정식의 근은 방정식에서 올바른 숫자 표현을 얻은 문자의 값입니다.

4) 미지의 배당금을 찾으려면 몫에 제수를 더해야 합니다.

Dasha는 숫자를 생각했습니다. 이 숫자에 43을 더하고 받은 금액에서 77을 빼면 258이 됩니다. Dasha는 어떤 숫자를 염두에 두고 있나요?

1) (엑스 + 43) – 77 = 258

2) (엑스 + 43) + 77 = 258

3) (엑스 – 43) + 77 = 258

4) (엑스 – 43) – 77 = 258

2부. 단답형 과제

방정식 풀기: 63: (2 엑스 – 1) = 21: 3.

방정식 풀기: 748 - ( 비 +248) = 300.

숫자의 의미 찾기 ㅏ 7이면 ㅏ – 3엑스= 41 및 엑스=5.

3부. 세부 솔루션이 포함된 작업

방정식을 사용하여 문제를 풉니다. 창고에는 197대의 기계가 있었습니다. 일부가 판매되고 86대가 더 반입된 후 창고에 115대가 더 남아 있었습니다. 총 몇 대의 기계를 판매했습니까?

선형 방정식. 솔루션, 예.

주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
매우 "별로 ..."
그리고 "매우 ..."인 사람들을 위해)

선형 방정식.

선형 방정식은 학교 수학에서 가장 어려운 주제가 아닙니다. 그러나 훈련된 학생도 당황할 수 있는 몇 가지 트릭이 있습니다. 알아볼까요?)

일반적으로 선형 방정식은 다음 형식의 방정식으로 정의됩니다.

도끼 + 비 = 0 어디 및 b- 모든 숫자.

2x + 7 = 0. 여기 a = 2, b = 7

0.1x - 2.3 = 0 여기 a = 0.1, b = -2.3

12x + 1/2 = 0 여기 a = 12, b = 1/2

복잡하지 않죠? 특히 다음 단어를 알아차리지 못하는 경우: "여기서 및 b는 임의의 숫자"... 그리고 눈치채고 무심코 생각한다면?) 결국, a = 0, b = 0(모든 숫자가 가능합니까?) 그러면 재미있는 표현이 나옵니다.

하지만 그게 다가 아닙니다! 만약, 말하자면, a = 0,ㅏ b = 5,그것은 완전히 평범하지 않은 것으로 밝혀졌습니다.

어느 것이 수학에 대한 자신감을 약화시키고 약화시키는가, 예 ...) 특히 시험에서. 그러나 이러한 이상한 표현에서 X를 찾는 것도 필요합니다! 전혀 존재하지 않는 것입니다. 그리고 놀랍게도 이 X는 찾기가 매우 쉽습니다. 우리는 이것을 하는 방법을 배울 것입니다. 이 튜토리얼에서는

모양으로 선형 방정식을 어떻게 알 수 있습니까? 모양에 따라 다릅니다.) 트릭은 선형 방정식을 다음 형식의 방정식뿐만 아니라 도끼 + 비 = 0 , 뿐만 아니라 변환 및 단순화에 의해 이 형식으로 축소된 모든 방정식. 그리고 줄일 수 있는지 여부를 누가 알 수 있습니까?)

선형 방정식은 경우에 따라 명확하게 인식될 수 있습니다. 예를 들어 1차에 미지수와 숫자만 있는 방정식이 있다고 가정해 보겠습니다. 그리고 방정식에는 로 나눈 분수 알려지지 않은 , 그것은 중요하다! 그리고 나누기 숫자,또는 숫자 분수 - 제발! 예를 들어:

이것은 선형 방정식입니다. 여기에 분수가 있지만 정사각형, 정육면체 등에 x가 없고 분모에 x가 없습니다. 아니 x로 나누기... 그리고 여기 방정식이 있습니다

선형이라고 할 수 없습니다. 여기서 x는 모두 1차에 속하지만 다음이 있습니다. x를 사용하여 표현식으로 나누기... 단순화 및 변환 후에 선형 방정식, 2차 방정식 및 원하는 모든 것을 얻을 수 있습니다.

어떤 까다로운 예에서 선형 방정식을 거의 풀 때까지 찾는 것은 불가능하다는 것이 밝혀졌습니다. 화가 난다. 하지만 과제는 일반적으로 방정식의 유형에 대해 묻지 않습니다. 그렇죠? 과제에서 방정식이 명령됩니다. 해결하다.이것은 나를 행복하게 한다.)

선형 방정식 풀기. 예.

선형 방정식에 대한 전체 솔루션은 방정식의 동일한 변환으로 구성됩니다. 그건 그렇고, 이러한 변환(최대 2개!)은 솔루션의 기초가 됩니다. 수학의 모든 방정식.즉, 솔루션 어느방정식은 바로 이러한 변환으로 시작됩니다. 선형 방정식의 경우, 그(해)는 이러한 변환을 기반으로 하며 본격적인 답변으로 끝납니다. 링크를 따라가는 것이 말이 됩니까?) 게다가 일차방정식을 푸는 예도 있습니다.

가장 간단한 예부터 시작하겠습니다. 어떤 함정도 없이. 이 방정식을 풀어야 한다고 가정합니다.

x - 3 = 2 - 4x

이것은 선형 방정식입니다. X는 모두 1차이며 X로 나누기가 없습니다. 그러나 사실, 우리는 그것이 어떤 방정식인지 신경 쓰지 않습니다. 해결해야 합니다. 여기에서 계획은 간단합니다. 등식의 왼쪽에 x가 있는 모든 것을 수집하고 오른쪽에 x(숫자)가 없는 모든 것을 수집합니다.

이렇게하려면 전송해야합니다 - 왼쪽으로 4배, 물론 부호의 변화와 함께, 그러나 - 3 - 오른쪽으로. 그건 그렇고, 이것은 방정식의 첫 번째 동일한 변환.너 놀랐 니? 그래서 우리는 링크를 따르지 않았지만 헛된 ...) 우리는 다음을 얻습니다.

x + 4x = 2 + 3

우리는 유사한 것을 제공합니다.

완전한 행복을 위해 우리에게 부족한 것은 무엇입니까? 예, 왼쪽에 깨끗한 X가 있도록! 다섯 가지가 방해가 됩니다. 상위 5개 제거 방정식의 두 번째 동일한 변환.즉, 방정식의 양변을 5로 나눕니다. 준비된 답을 얻습니다.

물론 기본적인 예입니다. 이것은 워밍업을 위한 것입니다.) 왜 여기서 동일한 변형을 기억하고 있는지 명확하지 않습니까? 확인. 우리는 뿔로 황소를 잡습니다.) 더 인상적인 것을 결정합시다.

예를 들어 방정식은 다음과 같습니다.

어디서부터 시작할까요? x가 있으면 왼쪽으로, x가 없으면 오른쪽으로? 그렇게 될 수 있습니다. 긴 길을 따라 작은 단계에서. 또는 보편적이고 강력한 방법으로 즉시 할 수 있습니다. 물론 무기고에 동일한 방정식 변환이 있는 경우.

핵심 질문을 드립니다. 이 방정식에서 가장 싫어하는 것은 무엇입니까?

100명 중 95명이 다음과 같이 대답합니다. 분수 ! 정답입니다. 그래서 그들을 제거합시다. 따라서 우리는 즉시 두 번째 정체성 변환... 분모를 완전히 줄이려면 왼쪽 분수에 무엇을 곱해야 합니까? 오른쪽, 3시에요. 그리고 오른쪽에요? 4로. 그러나 수학을 사용하면 양변에 다음을 곱할 수 있습니다. 같은 숫자... 어떻게 나가? 그리고 양변에 12를 곱합시다! 저것들. 공통분모로. 그러면 셋과 넷이 모두 줄어들 것입니다. 각 부분을 곱해야한다는 것을 잊지 마십시오. 전적으로... 첫 번째 단계는 다음과 같습니다.

대괄호 확장:

메모! 분자 (x + 2)대괄호 안에 넣었어요! 분수를 곱하면 분자가 완전히 곱해지기 때문입니다! 이제 분수를 줄일 수 있습니다.

나머지 대괄호를 확장합니다.

예는 아니지만 순전히 기쁨입니다!) 이제 우리는 초등학교 학년의 주문을 기억합니다. x 있음 - 왼쪽, x 없음 - 오른쪽으로!그리고 이 변환을 적용합니다.

다음은 유사한 것들입니다.

그리고 우리는 두 부분을 25로 나눕니다. 두 번째 변환을 다시 적용합니다.

그게 다야. 대답: 엑스=0,16

참고: 혼란스러운 원래 방정식을 즐거운 형태로 가져오기 위해 두 개(단 두 개!)를 사용했습니다. 동일한 변형- 부호의 변화와 방정식의 같은 수의 곱셈 나눗셈으로 왼쪽에서 오른쪽으로 이동합니다. 이것은 보편적 인 방법입니다! 우리는 이런 식으로 일할 것입니다 어느 방정식! 절대적으로. 그렇기 때문에 이러한 동일한 변형을 항상 반복하고 있습니다.)

보시다시피 선형 방정식을 푸는 원리는 간단합니다. 우리는 방정식을 취하고 답을 얻을 때까지 동일한 변환을 사용하여 단순화합니다. 여기서 주요 문제는 솔루션의 원리가 아니라 계산에 있습니다.

그러나 ... 가장 기본적인 선형 방정식을 푸는 과정에서 당신을 강한 혼미 상태로 몰아넣을 수 있는 그런 놀라움이 있습니다 ...) 다행히도 그러한 놀라움은 두 가지뿐입니다. 그들을 특별한 경우라고 합시다.

선형 방정식을 풀 때의 특별한 경우.

첫 번째 놀라움.

다음과 같은 기본 방정식을 발견했다고 가정합니다.

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

약간 지루해서 x는 왼쪽으로, x는 오른쪽으로 옮깁니다 ... 기호가 바뀌면 모든 것이 턱턱입니다 ...

2x-5x + 3x = 5-2-3

우리는 생각하고 ... 젠장! 우리는 다음을 얻습니다:

이러한 평등 자체는 반대할 수 없습니다. 0은 실제로 0입니다. 그러나 X는 사라졌습니다! 그리고 우리는 대답에 써야합니다. x와 같습니다.그렇지 않으면 결정이 계산되지 않습니다. 예 ...) 막 다른 골목?

침착 한! 그러한 의심스러운 경우 가장 일반적인 규칙이 저장됩니다. 방정식을 푸는 방법? 방정식을 푸는 것은 무엇을 의미합니까? 이것은 의미합니다, 원래 방정식에 대입할 때 올바른 평등을 제공하는 모든 x 값을 찾으십시오.

그러나 우리에게는 진정한 평등이 있습니다 이미일어난! 0 = 0, 얼마나 더 정확합니까?! xx에서 그것이 무엇인지 알아내는 것이 남아 있습니다. x의 어떤 값을 대체할 수 있습니까? 초기의방정식이 x이면 어쨌든 0으로 줄어들까요?어서 해봐요?)

네!!! X는 대체 가능 어느!원하는 것. 최소 5, 최소 0.05, 최소 -220. 그들은 어쨌든 줄어들 것입니다. 당신이 나를 믿지 않는다면, 당신은 확인할 수 있습니다.) x 값을 다음으로 대체하십시오. 초기의방정식과 계산. 항상 순수한 진리가 얻어질 것입니다: 0 = 0, 2 = 2, -7.1 = -7.1 등.

답은 다음과 같습니다. x - 임의의 숫자.

답은 다른 수학적 기호로 쓸 수 있으며 본질은 변하지 않습니다. 이것은 절대적으로 정확하고 완전한 답변입니다.

두 번째 놀라움.

동일한 기본 선형 방정식을 취하고 그 중 하나의 숫자만 변경해 보겠습니다. 이것이 우리가 해결할 것입니다:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

동일한 동일한 변환 후에 흥미로운 것을 얻습니다.

이와 같이. 선형 방정식을 풀고 이상한 평등을 얻었습니다. 수학적으로 말하면, 우리는 거짓 평등.그리고 간단히 말해서 이것은 사실이 아닙니다. 날뛰다. 그러나 그럼에도 불구하고 이 넌센스는 방정식을 올바르게 푸는 데 매우 좋은 이유입니다.)

다시 말하지만, 우리는 일반적인 규칙에 따라 생각합니다. 원래 방정식에 대입했을 때 x는 우리에게 무엇을 줄까요? 진실평등? 네, 없습니다! 그런 x는 없습니다. 무엇을 대신하든 모든 것이 줄어들고 섬망은 남을 것입니다.)

답은 다음과 같습니다. 솔루션이 없습니다.

이것은 또한 꽤 본격적인 답변입니다. 수학에서 그러한 답은 종종 발견됩니다.

이와 같이. 이제 (선형뿐만 아니라) 방정식을 푸는 과정에서 x의 손실이 전혀 혼동되지 않기를 바랍니다. 이미 익숙한 일이다.)

이제 선형 방정식의 모든 함정을 파악했으므로 문제를 해결하는 것이 좋습니다.

이 사이트가 마음에 드신다면...

그건 그렇고, 나는 당신을 위해 몇 가지 더 흥미로운 사이트를 가지고 있습니다.)

예제 해결을 연습하고 레벨을 확인할 수 있습니다. 즉각적인 검증 테스트. 학습 - 관심을 가지고!)

함수와 파생어를 알 수 있습니다.

에서 가장 중요한 기술 중 하나는 5학년 입학가장 간단한 방정식을 푸는 능력입니다. 5학년이 아직 초등학교가 얼마 남지 않았기 때문에 한 학생이 풀 수 있는 방정식의 종류는 그리 많지 않습니다. 우리는 당신이 원한다면 풀 수 있는 데 필요한 모든 기본 유형의 방정식을 소개할 것입니다. 물리 및 수학 학교에 등록하다.

유형 1: "구근"
다음은 다음과 같은 경우에 거의 발생할 가능성이 있는 방정식입니다 모든 학교 입학또는 별도의 작업으로 클래스 5 서클. 그것들은 다른 것들과 구별하기 쉽습니다. 변수는 변수 안에 한 번만 존재합니다. 예를 들어, 또는.
그것들은 매우 간단하게 해결됩니다. 미지의 것을 "얻을" 필요가 있으며, 마치 양파를 껍질을 벗기는 것처럼 주변의 불필요한 모든 것을 점차적으로 "제거"하기만 하면 됩니다. 따라서 이름이 지정됩니다. 이를 해결하려면 두 번째 수업에서 몇 가지 규칙을 기억하는 것으로 충분합니다. 모두 나열해 보겠습니다.

덧셈

1. 항1 + 항2 = 합계
2. 항1 = 합계 - 항2
3. term2 = 합계 - term1

빼기

1. 빼다 - 빼다 = 차이
2. 빼다 = 빼다 + 차이
3. 빼다 = 빼다 - 차이

곱셈

1. 요인1 * 요인2 = 제품
2. factor1 = 제품: factor2
3. factor2 = 제품: factor1

분할

1. 피제수: 제수 = 몫
2. 피제수 = 제수 * 몫
3. 제수 = 피제수: 몫

이러한 규칙을 적용하는 방법을 예로 들어 보겠습니다.

나누니 참고하세요 에 그리고 우리는 얻는다. 이 상황에서 우리는 제수와 몫을 알고 있습니다. 피제수를 구하려면 제수에 몫을 곱해야 합니다.

우리는 우리 자신에게 조금 더 가까워졌습니다. 이제 우리는 그것을 봅니다. 추가하고 얻었습니다. 따라서 항 중 하나를 찾으려면 합계에서 알려진 항을 빼야 합니다.

그리고 하나 더 "레이어"가 미지에서 제거됩니다! 이제 우리는 제품의 알려진 값()과 하나의 알려진 요소()가 있는 상황을 봅니다.

이제 상황은 "감소 - 빼기 = 차이"

그리고 마지막 단계는 알려진 제품()과 요인() 중 하나입니다.

유형 2: 대괄호가 있는 방정식
이 유형의 방정식은 문제에서 가장 자주 발생합니다. 모든 문제의 90%는 5학년 입학... 같지 않은 "양파 방정식"변수는 여기에 여러 번 나타날 수 있으므로 이전 단락의 방법을 사용하여 해결하는 것은 불가능합니다. 일반적인 방정식: 또는
주요 어려움은 브래킷을 올바르게 여는 것입니다. 이 작업을 올바르게 수행한 후에는 유사한 용어(숫자를 숫자로, 변수를 변수로)를 가져와야 합니다. "구근 방정식"해결 방법을 알고 있습니다. 그러나 가장 먼저 해야 할 일.

확장 브래킷... 이 경우에 사용해야 하는 몇 가지 규칙을 알려 드리겠습니다. 그러나 실습에서 알 수 있듯이 학생은 70-80 문제를 해결한 후에만 대괄호를 올바르게 열기 시작합니다. 기본 규칙은 다음과 같습니다. 대괄호 외부의 모든 요소에는 대괄호 안의 각 항을 곱해야 합니다. 그리고 괄호 앞의 빼기는 안에 있는 모든 표현의 부호를 바꿉니다. 따라서 공개의 기본 규칙은 다음과 같습니다.

유사한 가져오기... 여기에서는 모든 것이 훨씬 쉽습니다. 등호를 통해 용어를 전송하여 한쪽에는 미지의 조건만 있고 다른 한쪽에는 숫자만 있는지 확인해야 합니다. 기본 규칙은 다음과 같습니다. 수행된 각 항은 부호를 변경합니다. 함께 있으면 c가 되고 그 반대도 마찬가지입니다. 전송이 성공적으로 끝나면 변수가 아닌 미지수의 총계, 평등의 반대편에 있는 최종수를 세어 소수를 풀어야 한다. "구근 방정식".

이 비디오에서는 동일한 알고리즘을 사용하여 풀린 선형 방정식의 전체 세트를 분석할 것입니다. 이것이 가장 단순한 것으로 불리는 이유입니다.

우선 선형 방정식이란 무엇이며 가장 간단한 것은 무엇인지 정의해 보겠습니다.

선형 방정식은 변수가 단 하나이고 첫 번째 차수에만 있는 방정식입니다.

가장 간단한 방정식은 구성을 의미합니다.

다른 모든 선형 방정식은 알고리즘을 사용하여 가장 간단한 것으로 축소됩니다.

1. 괄호가 있는 경우 확장합니다.
2. 변수를 포함하는 항을 등호의 한쪽으로 이동하고 변수가 없는 항을 다른 쪽으로 이동합니다.
3. 등호의 왼쪽과 오른쪽에 유사한 용어를 가져옵니다.
4. 결과 방정식을 변수 $ x $의 계수로 나눕니다.

물론 이 알고리즘이 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 사실은 이러한 모든 조작 후에 변수 $ x $의 계수가 0으로 판명되는 경우가 있습니다. 이 경우 두 가지 옵션이 가능합니다.

1. 방정식에는 솔루션이 전혀 없습니다. 예를 들어 $ 0 \ cdot x = 8 $, 즉 왼쪽에는 0이 있고 오른쪽에는 0이 아닌 숫자가 있습니다. 아래 영상에서 왜 그런 상황이 가능한지 여러 가지 이유를 한 번에 살펴보겠습니다.
2. 해결책은 모두 숫자입니다. 이것이 가능한 유일한 경우 - 방정식은 $ 0 \ cdot x = 0 $ 구성으로 축소되었습니다. 우리가 어떤 $ x $를 대체하든 상관없이 여전히 "0과 같은 0", 즉 정확한 숫자 평등.

이제 실제 문제의 예에서 모든 것이 어떻게 작동하는지 봅시다.

방정식 풀이의 예

오늘 우리는 선형 방정식과 가장 간단한 방정식을 다루고 있습니다. 일반적으로 선형 방정식은 정확히 하나의 변수를 포함하는 평등을 의미하며 첫 번째 차수로만 진행됩니다.

이러한 구성은 거의 같은 방식으로 해결됩니다.

1. 우선, 괄호가 있는 경우 이를 확장해야 합니다(마지막 예에서와 같이).
2. 그런 다음 비슷한 가져 오기
3. 마지막으로 변수를 포착합니다. 변수와 관련된 모든 것(변수가 포함된 용어)은 한 방향으로 전송되어야 하고 변수 없이 남아 있는 모든 것은 다른 방향으로 전송되어야 합니다.

그런 다음 일반적으로 얻은 평등의 양쪽에 비슷한 것을 가져와야하며 그 후에는 "x"의 계수로 나누는 것만 남아 있으며 최종 답을 얻습니다.

이론적으로 이것은 훌륭하고 간단해 보이지만 실제로는 경험 많은 고등학생도 상당히 단순한 선형 방정식에서 공격적인 실수를 범할 수 있습니다. 일반적으로 괄호를 확장하거나 "플러스" 및 "마이너스"를 계산할 때 실수가 발생합니다.

또한 선형 방정식에는 해가 전혀 없거나 해가 전체 수선인 경우가 발생합니다. 어떤 숫자. 우리는 오늘 수업에서 이러한 미묘함을 분석할 것입니다. 그러나 우리는 이미 이해했듯이 가장 간단한 작업부터 시작할 것입니다.

가장 간단한 선형 방정식을 푸는 방식

우선, 가장 간단한 선형 방정식을 풀기 위한 전체 계획을 다시 한 번 작성하겠습니다.

1. 대괄호(있는 경우)를 확장합니다.
2. 우리는 변수를 분비합니다. "x"를 포함하는 모든 것은 한쪽으로 전송되고 "x"가 없으면 다른 쪽으로 전송됩니다.
3. 유사한 용어를 제시합니다.
4. 우리는 모든 것을 "x"의 계수로 나눕니다.

물론이 계획이 항상 작동하는 것은 아니며 특정 미묘함과 트릭이 있으며 이제는 알게 될 것입니다.

간단한 선형 방정식의 실생활 예제 풀기

문제 번호 1

첫 번째 단계에서는 브래킷을 확장해야 합니다. 그러나 이 예제에는 없으므로 이 단계를 건너뜁니다. 두 번째 단계에서는 변수를 포착해야 합니다. 참고: 우리는 개별 용어에 대해서만 이야기하고 있습니다. 글을 쓰자:

우리는 왼쪽과 오른쪽에 비슷한 용어를 제시하지만 이것은 이미 완료되었습니다. 따라서 네 번째 단계인 계수로 나눕니다.

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

그래서 우리는 답을 얻었습니다.

문제 번호 2

이 문제에서 괄호를 관찰할 수 있으므로 확장해 보겠습니다.

왼쪽과 오른쪽 모두 거의 동일한 구성을 볼 수 있지만 알고리즘에 따라 진행해 보겠습니다. 우리는 변수를 분비합니다:

다음은 유사한 것들입니다.

어떤 뿌리에서 수행됩니다. 답변: 아무거나. 따라서 $ x $는 임의의 숫자라고 쓸 수 있습니다.

문제 번호 3

세 번째 선형 방정식은 이미 더 흥미롭습니다.

\ [\ 왼쪽(6-x \ 오른쪽) + \ 왼쪽(12 + x \ 오른쪽) - \ 왼쪽(3-2x \ 오른쪽) = 15 \]

여기에 몇 개의 괄호가 있지만 아무 것도 곱하지 않고 앞에 다른 기호가 있을 뿐입니다. 열어보자:

우리는 이미 알려진 두 번째 단계를 수행합니다.

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

계산해 봅시다:

우리는 마지막 단계를 수행합니다. 모든 것을 "x"의 계수로 나눕니다.

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

선형 방정식을 풀 때 기억해야 할 사항

너무 간단한 작업을 제외하고 다음과 같이 말하고 싶습니다.

• 위에서 말했듯이 모든 선형 방정식에 해가 있는 것은 아닙니다. 때로는 단순히 근이 없는 경우도 있습니다.
• 뿌리가 있더라도 그 중에 0이 있을 수 있습니다. 아무 문제가 없습니다.

0은 나머지와 같은 숫자입니다. 어떤 식으로든 이를 차별하거나 0을 얻는다고 가정하면 안 됩니다.

또 다른 기능은 괄호 확장과 관련이 있습니다. 참고: 앞에 "빼기"가 있으면 제거하지만 대괄호에서는 기호를 다음으로 변경합니다. 반대... 그런 다음 표준 알고리즘을 사용하여 열 수 있습니다. 위의 계산에서 본 것을 얻습니다.

이 간단한 사실을 이해하면 고등학교에서 그러한 행동이 당연시되는 어리석고 상처가 되는 실수를 피할 수 있습니다.

복잡한 선형 방정식 풀기

좀 더 복잡한 방정식으로 넘어갑시다. 이제 구성이 더 복잡해지고 다양한 변환을 수행할 때 이차 함수가 나타납니다. 그러나 저자의 의도에 따라 선형 방정식을 풀면 변환 과정에서 이차 함수를 포함하는 모든 단항식이 반드시 취소되기 때문에 이것을 두려워해서는 안됩니다.

예 # 1

분명히 첫 번째 단계는 괄호를 확장하는 것입니다. 매우 신중하게 합시다.

이제 개인 정보 보호를 위해:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

다음은 유사한 것들입니다.

분명히 이 방정식에는 해가 없으므로 답을 다음과 같이 작성합니다.

\ [\ varnothing \]

또는 뿌리가 없습니다.

실시예 2

우리는 같은 단계를 따릅니다. 첫 번째 단계:

변수가 있는 모든 항목을 왼쪽으로 이동하고 변수가 없는 항목을 오른쪽으로 이동합니다.

다음은 유사한 것들입니다.

분명히 이 선형 방정식에는 해가 없으므로 다음과 같이 작성합니다.

\ [\ varnothing \],

또는 뿌리가 없습니다.

솔루션 뉘앙스

두 방정식이 완전히 풀렸습니다. 이 두 식을 예로 사용하여 가장 단순한 선형 방정식에서도 모든 것이 그렇게 단순하지 않을 수 있음을 다시 한 번 확인했습니다. 근이 하나이거나 없거나, 또는 무한히 많이 있을 수 있습니다. 우리의 경우 두 방정식을 고려했습니다. 둘 다 단순히 근이 없습니다.

그러나 또 다른 사실에 주의를 기울이고 싶습니다. 괄호로 작업하는 방법과 괄호 앞에 빼기 기호가 있는 경우 여는 방법입니다. 다음 표현식을 고려하십시오.

공개하기 전에 모든 것에 "X"를 곱해야 합니다. 참고: 곱하다 각 개별 용어... 내부에는 각각 두 개의 항과 곱한 두 개의 항이 있습니다.

그리고 이러한 겉보기에는 기본적이지만 매우 중요하고 위험한 변환이 수행된 후에야 그 뒤에 빼기 기호가 있다는 관점에서 괄호를 확장할 수 있습니다. 예, 예: 변환이 완료되면 이제 괄호 앞에 빼기 기호가 있다는 것을 기억합니다. 즉, 아래로 내려가는 모든 것이 기호를 변경한다는 의미입니다. 동시에 대괄호 자체가 사라지고 가장 중요한 것은 전면 "빼기"도 사라집니다.

우리는 두 번째 방정식과 동일한 작업을 수행합니다.

내가 이 작고 사소해 보이는 사실들에 주목하게 된 것은 우연이 아닙니다. 방정식을 푸는 것은 항상 초등 변환의 연속이기 때문에 간단한 행동을 명확하고 유능하게 수행할 수 없기 때문에 고등학생이 저에게 와서 그런 간단한 방정식을 푸는 방법을 다시 배웁니다.

물론, 그 날이 올 것이며 이러한 기술을 자동으로 연마하게 될 것입니다. 더 이상 매번 그렇게 많은 변환을 수행할 필요가 없으며 모든 것을 한 줄에 작성하게 됩니다. 하지만 배우는 동안에는 각 작업을 별도로 작성해야 합니다.

훨씬 더 복잡한 선형 방정식 풀기

이제 우리가 풀려고 하는 것은 이미 가장 단순한 작업이라고 하기 어렵지만 의미는 그대로입니다.

문제 번호 1

\ [\ 왼쪽 (7x + 1 \ 오른쪽) \ 왼쪽 (3x-1 \ 오른쪽) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

첫 번째 부분의 모든 요소를 ​​곱해 보겠습니다.

격리를 해보자:

다음은 유사한 것들입니다.

우리는 마지막 단계를 수행합니다.

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (-4) \]

여기 우리의 최종 답변이 있습니다. 그리고, 2차 함수로 계수를 푸는 과정에서 서로 소멸되어 방정식이 정사각형이 아닌 정확히 선형이 되었다는 사실에도 불구하고.

문제 번호 2

\ [\ 왼쪽 (1-4x \ 오른쪽) \ 왼쪽 (1-3x \ 오른쪽) = 6x \ 왼쪽 (2x-1 \ 오른쪽) \]

첫 번째 단계를 깔끔하게 수행합시다. 첫 번째 괄호의 모든 요소에 두 번째 괄호의 모든 요소를 ​​곱합니다. 변환 후에 총 4개의 새 용어가 있어야 합니다.

이제 각 항에서 곱셈을 신중하게 수행해 보겠습니다.

"x"가 있는 용어를 왼쪽으로, -가 없는 용어를 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

다음은 유사한 용어입니다.

다시 한 번 최종 답변을 받았습니다.

솔루션 뉘앙스

이 두 방정식에 대한 가장 중요한 참고 사항은 다음과 같습니다. 항목보다 더 많은 항목이 있는 괄호를 곱하기 시작하자마자 다음 규칙에 따라 수행됩니다. 첫 번째 항목에서 첫 번째 항목을 가져오고 두 번째에서 각 요소와 곱합니다. 그런 다음 첫 번째 요소에서 두 번째 요소를 가져오고 두 번째 요소의 각 요소와 유사하게 곱합니다. 결과적으로 4개의 용어를 얻습니다.

대수합

마지막 예를 통해 저는 학생들에게 대수적 합이 무엇인지 상기시키고 싶습니다. 고전 수학에서 $ 1-7 $는 단순한 구성을 의미합니다. 1에서 7을 뺍니다. 대수학에서 우리는 이것을 다음과 같이 의미합니다. 숫자 "1"에 다른 숫자, 즉 "빼기 7"을 추가합니다. 이것이 대수 합이 일반적인 산술 합과 다른 점입니다.

일단 모든 변환, 각 덧셈 및 곱셈을 수행할 때 위에서 설명한 것과 유사한 구조를 보기 시작하면 다항식 및 방정식으로 작업할 때 대수학에 아무런 문제가 없을 것입니다.

결론적으로, 방금 본 것보다 훨씬 더 복잡한 몇 가지 예를 더 살펴보고 이를 해결하려면 표준 알고리즘을 약간 확장해야 합니다.

분수로 방정식 풀기

이러한 문제를 해결하려면 알고리즘에 한 단계를 더 추가해야 합니다. 그러나 먼저 알고리즘을 상기시켜 드리겠습니다.

1. 대괄호를 확장합니다.
2. 변수를 분리합니다.
3. 비슷한 것을 가져 오십시오.
4. 요인으로 나눕니다.

아아, 이 뛰어난 알고리즘은 모든 효율성에도 불구하고 우리가 분수에 직면했을 때 완전히 적절하지 않은 것으로 판명되었습니다. 그리고 아래에서 볼 수 있는 것처럼 두 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 분수가 있습니다.

이 경우 어떻게 작동합니까? 모든 것이 매우 간단합니다! 이렇게 하려면 알고리즘에 한 단계를 더 추가해야 합니다. 이 작업은 첫 번째 작업 이전과 이후에 모두 수행할 수 있습니다. 즉, 분수를 제거합니다. 따라서 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 분수를 제거하십시오.
2. 대괄호를 확장합니다.
3. 변수를 분리합니다.
4. 비슷한 것을 가져 오십시오.
5. 요인으로 나눕니다.

"분수 없애기"은(는) 무슨 뜻인가요? 그리고 이것이 첫 번째 표준 단계 이후와 이전에 모두 수행될 수 있는 이유는 무엇입니까? 사실, 우리의 경우 모든 분수는 분모의 관점에서 숫자입니다. 분모의 모든 곳은 숫자에 불과합니다. 따라서 방정식의 양변에 이 숫자를 곱하면 분수가 제거됩니다.

예 # 1

\ [\ frac (\ 왼쪽 (2x + 1 \ 오른쪽) \ 왼쪽 (2x-3 \ 오른쪽)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

이 방정식에서 분수를 제거합시다.

\ [\ frac (\ 왼쪽 (2x + 1 \ 오른쪽) \ 왼쪽 (2x-3 \ 오른쪽) \ cdot 4) (4) = \ 왼쪽 (((x) ^ (2)) - 1 \ 오른쪽) \ cdot 4\]

주의: 모든 것은 "4"를 한 번 곱합니다. 두 개의 괄호가 있다고 해서 각각에 4를 곱해야 한다는 의미는 아닙니다. 다음을 작성해 보겠습니다.

\ [\ 왼쪽 (2x + 1 \ 오른쪽) \ 왼쪽 (2x-3 \ 오른쪽) = \ 왼쪽 (((x) ^ (2)) - 1 \ 오른쪽) \ cdot 4 \]

이제 열어봅시다:

변수의 격리를 수행합니다.

우리는 유사한 용어의 감소를 수행합니다.

\ [- 4x = -1 \ 왼쪽 | : \ 왼쪽(-4 \ 오른쪽) \ 오른쪽. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

우리는 최종 솔루션을 얻었고 두 번째 방정식으로 이동합니다.

실시예 2

\ [\ frac (\ 왼쪽 (1-x \ 오른쪽) \ 왼쪽 (1 + 5x \ 오른쪽)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

여기에서 우리는 모두 동일한 작업을 수행합니다.

\ [\ frac (\ 왼쪽 (1-x \ 오른쪽) \ 왼쪽 (1 + 5x \ 오른쪽) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

문제가 해결되었습니다.

사실 그게 오늘 제가 말하고 싶은 전부였습니다.

키 포인트

주요 결과는 다음과 같습니다.

• 선형 방정식을 푸는 알고리즘을 알고 있습니다.
• 대괄호를 여는 기능.
• 어딘가에 이차 함수가 있는 경우 걱정하지 마십시오. 대부분 추가 ​​변환 과정에서 축소될 것입니다.
• 선형 방정식의 근은 가장 단순한 것일지라도 세 가지 유형이 있습니다. 하나의 단일 근, 정수 행은 근, 그리고 근이 전혀 없습니다.

이 수업이 모든 수학에 대한 더 깊은 이해를 위한 간단하지만 매우 중요한 주제를 마스터하는 데 도움이 되기를 바랍니다. 명확하지 않은 경우 사이트로 이동하여 거기에 제시된 예를 해결하십시오. 더 많은 흥미로운 일들이 여러분을 기다리고 있으니 계속 지켜봐 주세요!