Odwrotna formuła Pitagora. Lekcja "Twierdzenie - Twierdzenie Pitagore"

Przedmiot: Twierdzenie, odwrotna twierdzenie Pitagori.

Lekcja celów: 1) Rozważ rozważ twierdzenie odwrotnej twierdzenia Pitagora; jego zastosowanie w procesie rozwiązywania problemów; Napraw twierdzenie Pythagora i poprawić umiejętności, aby rozwiązać problemy z jego użyciem;

2) Opracowanie myślenia logicznego, kreatywne wyszukiwanie, odsetki poznawcze;

3) Wywołuje uczniów odpowiedzialnego stosunku do nauk, kultury mowy matematycznej.

Rodzaj lekcji. Asymilacja lekcji nowej wiedzy.

Podczas zajęć

І. Czas organizowania

ІІ. Aktualizacja Wiedza, umiejętności

Lekcja mniebyłobychciałemzacznij od Quatrain.

Tak, ścieżka wiedzy nie jest zadowolona

Ale wiemy z lat szkolnych,

Riddles bardziej niż imagers

I nie ma wyszukiwania limitu!

Więc w przeszłości lekcja nauczyła się twierdzenia Pitagore. Pytania:

Twierdzenie Pitagora jest ważne, dla którego postać?

Jaki trójkąt nazywa się prostokątny?

Formułuj twierdzenie Pitagore.

Jak napisano twierdzenie Pitagora dla każdego trójkąta?

Jakie trójkąty są nazywane równymi?

Słowo oznaki równości trójkątów?

A teraz spędzimy małą niezależną pracę:

Rozwiązywanie zadań zgodnie z rysunkami.

№1

(1 b.) Znajdź: av.

№2

(1 b.) Znajdź: Sun.

№3

( 2 b.)Znajdź: AC.

№4

(1 b.)Znajdź: AC.

№5 Dano: ABC.RE. romb

(2 b.) Av \u003d 13 cm

AC \u003d 10 cm

Znaleźć wRE.

Auto test numer 1. pięć

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Nauka Nowy materiał.

Starożytni Egipcjanie zbudowali proste narożniki na ziemi w ten sposób: dzielili się rożekami na 12 równych częściach, końce były związane, po czym lina została rozciągnięta tak na ziemi, aby trójkąt był utworzony z partiami 3, 4 i 5 działów . Kąt trójkąta, który leżał z boku z 5 działami, był prosty.

Czy możesz wyjaśnić poprawność tego wyroku?

W wyniku poszukiwania odpowiedzi na pytanie uczniowie powinni zrozumieć, że z matematycznego punktu widzenia pytanie jest ustawione: czy trójkąt jest prostokątny.

Umieściliśmy problem: jak, bez tworzenia pomiarów, określ, czy trójkąt z określonymi stronami jest prostokątny. Rozwiązaniem tego problemu jest cel lekcji.

Zapisz lekcję motywy.

Twierdzenie. Jeśli suma kwadratów obu stron trójkąta jest równa placu trzecim, wtedy taki trójkąt jest prostokątny.

Niezależnie udowodnić twierdzenie (skompiluj plan dowodu na podręcznik).

Z tego twierdzenia wynika, że \u200b\u200btrójkąt ze stronami 3, 4, 5 jest prostokątny (egipski).

Ogólnie rzecz biorąc, liczby, dla których przeprowadza się równość , Zadzwoń do Pitagora Troiki. A trójkąty, których długości boków wyraża się przez wojska Pythagora (6, 8, 10), - trójkątów Pitagora.

Zapięcie.

Dlatego , potem trójkąt ze stronami 12, 13, 5 nie jest prostokątny.

Dlatego , potem trójkąt ze stronami 1, 5, 6 jest prostokątny.

№ 430 (A, B, B)

( - nie jest)

Rozważanie programu szkolnego za pomocą materiałów wideo jest wygodnym sposobem na badania i asymilować materiał. Wideo pomaga skoncentrować uwagę uczniów na głównych przepisach teoretycznych, a nie przegapić ważnych szczegółów. Jeśli to konieczne, uczniowie mogą być zawsze słuchane samouczka wideo powtarzanego lub powrócić do kilku tematów.

Ten samouczek wideo dla ósmej klasy pomoże uczniom odkrywać nowy temat geometrii.

W poprzednim temacie studiowaliśmy twierdzenie Pitagore i zdemontowaliśmy jego dowód.

Istnieje również twierdzenie znane jako odwrotna twierdzenie Pitagora. Rozważ go bardziej szczegółowo.

Twierdzenie. Trójkąt jest prostokątny, jeśli w nim wykonuje się równość: wartość jednej strony trójkąta, wzniesiona do kwadratu, jest taka sama jak ilość dwóch innych stron podwyższonych do placu.

Dowód. Załóżmy, że trójkąt ABC podaje się nam, w którym przeprowadza się równość AB 2 \u003d CA 2 + CB 2. Konieczne jest udowodnienie, że kąt C wynosi 90 stopni. Rozważmy trójkąt A 1 B1 C1, w którym kąt C1 wynosi 90 stopni, strona C1 A 1 ma CA, a strona B1 C1 jest równa BS.

Korzystanie z twierdzenia Pitagora, zapisz stosunek stron w trójkącie A 1 C1 B1: A 1 B 1 2 \u003d C1 A 1 2 + C1 B 1 2. Zastępując wyrażenie na równej stronie, otrzymujemy 1 B 1 2 \u003d CA 2 + CB 2.

Z warunków twierdzenia wiemy, że AB 2 \u003d CA 2 + CB 2. Następnie możemy napisać 1 b 1 2 \u003d AB 2, z którego wynika, że \u200b\u200b1 B 1 \u003d AB.

Odkryliśmy, że w trójkątach ABC i 1 b 1 C1 są trzy boki: A 1 C1 \u003d AC, B 1 C1 \u003d BC, A 1 B 1 \u003d AB. Więc te trójkąty są równe. Z równości trójkątów wynika, że \u200b\u200bkąt C jest równy rogu 1, a odpowiednio 90 stopni. Ustaliliśmy, że trójkąt ABC prostokątny i jego kąt C wynosi 90 stopni. Sprawdziliśmy ten twierdzenie.

Autor daje ponadto przykład. Przypuśćmy, że jest to arbitralny trójkąt. Znane rozmiary stron: 5, 4 i 3 jednostki. Sprawdzamy twierdzenie z twierdzenia, Pitagori odwrotna twierdzenie: 5 2 \u003d 3 2 + 4 2. Oświadczenie jest prawdziwe, to ten trójkąt jest prostokątny.

W poniższych przykładach trójkąty będą również prostokątne, jeżeli ich strony są równe:

5, 12, 13 jednostek; Równość 13 2 \u003d 5 2 + 12 2 jest wierna;

8, 15, 17 jednostek; Równość 17 2 \u003d 8 2 + 15 2 jest prawdziwa;

7, 24, 25 jednostek; Równość 25 2 \u003d 7 2 + 24 2 jest prawdziwa.

Koncepcja trójkąta Pitagori jest znana. Jest to trójkąt prostokątny, w którym wartości boków są równe całkowcom. Jeśli Karty trójkąta Pitagorysa wskazują za pośrednictwem A i C, a hipotenus B, wówczas wartościami boków tego trójkąta można napisać przy użyciu następujących wzorów:

b \u003d k x (m 2 - n2)

c \u003d k x (m 2 + n2)

gdzie m, n, k jest dowolną liczbą naturalnymi, a wartość M jest większa niż wartość N.

Ciekawy fakt: trójkąt ze stronami 5, 4 i 3 jest również nazywany trójkątem egipskim, taki trójkąt był znany w starożytnym Egipcie.

W tym filmie zapoznaliśmy się z twierdzeniem, twierdzenie odwrotne Pitagorów. Szczegóły przeglądane dowód. Uczniowie dowiedzieli się również, jakie trójkąty nazywają się Pitagorowem.

Uczniowie mogą łatwo zapoznać się z twierdzeniem twierdzenia, odwrotną twierdzeniem Pitagorysu, niezależnie z tym samouczkiem wideo.

twierdzenie Pitagorasa - jedna z podstawowych twierdzeń geometrii euklidowej ustanawiającej stosunek

między bokami trójkąta prostokątnego.

Uważa się, że jest to udowodnione przez greckiej matematyk Pitagor, na cześć i nazwany.

Geometryczny preparat twierdzenia Pitagorów.

Początkowo twierdzenie zostało sformułowane w następujący sposób:

W prostokątnym trójkącie, kwadratowy placu zbudowany na hipoteczniku jest równy sumie kwadratów kwadratów,

zbudowany na Catetes.

Algebraic sformułowanie twierdzenia Pitagorasa.

W prostokątnym trójkącie, kwadrat długości hipotenusu jest równy sumie kwadratów długości karetki.

To znaczy, oznaczając długość trójkąta hipotenus dO.i długość cewek zA. i b.:

Zarówno brzmienie twierdzenia Pitagoraodpowiednik, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne, nie jest

wymaga koncepcji obszaru. Oznacza to, że drugie oświadczenie można sprawdzić, nic nie wie o okolicy i

pomiar tylko długości boków trójkąta prostokątnego.

Twierdzenie odwrotne Pitagorasa.

Jeśli kwadrat jednej strony trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch innych stron,

trójkąt jest prostokątny.

Lub innymi słowy:

Dla wszystkich trzech liczb dodatnich zA., b. i dO., taki

jest prostokątny trójkąt z celnymi zA. i b.i hipotenuse. dO..

Twierdzenie Pitagora dla whydny trójkąt.

Twierdzenie Pitagora dla trójkąta równobocznego.

Dowód twierdzenia Pitagorów.

W tej chwili w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów na ten twierdzenie. Prawdopodobnie twierdzenie

Pitagora jest jedynym twierdzeniem z tak imponującą liczbą dowodów. Taka różnorodność

można wyjaśnić tylko podstawową wartością twierdzenia geometrii.

Oczywiście jest to koncepcyjnie wszystkie z nich można podzielić na niewielką liczbę klas. Najbardziej znany z nich:

dowodem metoda przestrzeni, aksjomatyczny i egzotyczne dowody (na przykład,

przez równania różniczkowe).

1. Dowód twierdzenia Pitagore przez takie trójkąty.

Następujące dowody sformułowania algebraicznego są najprostszym z dowodów w budowie.

bezpośrednio z aksjomatu. W szczególności nie używa koncepcji figury figury.

Zostawiać ABC Istnieje prostokątny trójkąt z prostym kątem DO.. Wydajmy wysokość DO. I oznaczać

jego fundament H..

Trójkąt Ach. Jak trójkąt AbC dla dwóch rogów. Podobnie trójkąt CBH. Lubić ABC.

Wprowadzanie notacji:

dostajemy:

,

co odpowiada -

Pasujący zA. 2 I. b. 2, otrzymujemy:

lub, który był zobowiązany do udowodnienia.

2. Dowód twierdzenia Pitagore według obszaru obszaru.

Poniżej przedstawiono dowody, pomimo ich wydawanej prostoty, nie tak proste. Wszyscy

użyj właściwości obszaru, którego dowody są bardziej skomplikowane przez dowód twierdzenia samego Pitagora.

• Dowód przez równoważenie.

Umieść cztery równe prostokątne

trójkąt, jak pokazano na zdjęciu

po prawej.

Quadril z bokami dO. - Kwadrat,

od suma dwóch ostrych rogów 90 ° i

wdrożony kąt - 180 °.

Obszar całej liczby jest równa jednej ręce,

obszar kwadratowy z bokiem ( a + B.), a z drugiej strony suma obszaru czterech trójkątów i

co było do okazania

3. Dowód twierdzenia Pythagore przez metodę nieskończenie małej.

​

Biorąc pod uwagę rysunek pokazany na rysunku i

obserwowanie zmiany stronyzA., możemy

zapisz następujący współczynnik do nieskończonego

mały przyrosty bokuz i zA. (Przy użyciu pozory

trójkąty):

Korzystając z metody separacji zmiennej, znajdziemy:

Bardziej ogólna ekspresja do zmiany hipotenusa w przypadku przyrostów obu cewek:

Integracja tego równania i przy użyciu warunków początkowego otrzymujemy:

W ten sposób przyjdziemy do żądanej odpowiedzi:

Ponieważ nie jest trudno zobaczyć, zależność kwadratowa w końcowej wzorze pojawia się z powodu liniowy

proporcjonalność między bokami trójkąta a przyrostami, podczas gdy kwota jest związana z niezależnym

depozyty z przyrostu różnych cewetów.

Można uzyskać bardziej prosty dowód, jeśli zakładamy, że jedna z cewek nie ma przyrostu

(W tym przypadku Catat b.). Następnie dla stałej integracji otrzymujemy:

Twierdzenie Pitagore mówi:

W prostokątnym trójkącie suma kwadratów cewek jest równa placu hipotenusu:

a 2 + B 2 \u003d C2,

• zA. i b. - korzenie, które tworzą prosty róg.
• z - trójkąt hipotenuse.

Formuły teoremu Pitagora

• a \u003d sqrrt (C ^ (2) - b ^ (2))
• b \u003d sqrt (C ^ (2) - A ^ (2))
• c \u003d sqrt (A ^ (2) + b ^ (2))

Dowód twierdzenia Pitagora

Obszar trójkąta prostokątnego oblicza się wzorem:

S \u003d frac (1) (2) ab

Aby obliczyć obszar dowolnej trójkątnej kwadratu:

• p. - pół metra. P \u003d frac (1) (2) (A + B + C),
• r. - Radius wpisany koło. Dla prostokątra \u003d frac (1) (2) (A + B-C).

Wtedy zrównujemy odpowiednie części obu formuł dla obszaru trójkąta:

Frac (1) (2) AB \u003d FRAC (1) (2) (A + B + C) FRAC (1) (2) (A + B-C)

2 AB \u003d (A + B + C) (A + B-C)

2 ab \u003d lewy ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) prawy)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2Ab + b ^ (2) -C ^ (2)

0 \u003d A ^ (2) + b ^ (2) -C ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Twierdzenie odwrotne Pitagorów:

Jeśli kwadrat jednej strony trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch innych stron, trójkąt jest prostokątny. To znaczy dla wszystkich trzech dodatnich liczb a, B. i dO., taki

a 2 + B 2 \u003d C2,

jest prostokątny trójkąt z celnymi zA. i b. i hipotenuse. dO..

twierdzenie Pitagorasa - Jedna z podstawowych twierdzeń geometrii euklidowej, która ustanawia stosunek między bokami trójkąta prostokątnego. Sprawdzona przez naukowca matematyk i filozofa Pitagore.

Wartość twierdzenia W tym pomocy możesz udowodnić inne teorety i rozwiązywać problemy.

Dodatkowy materiał:

Lekcja celów:

generał:

• sprawdź wiedzę teoretyczną uczniów (właściwości trójkąta prostokątnego, twierdzenia Pythagorejskiego), zdolność do ich używania podczas rozwiązywania zadań;
• po utworzeniu sytuacji problemowej, przynieś uczniów do "otwarcia" Pitagorów odwrotnej twierdzenia.

rozwijanie:

• rozwój umiejętności stosowania wiedzy teoretycznej w praktyce;
• rozwój zdolności do sformułowania wniosków podczas obserwacji;
• rozwój pamięci, uwaga, obserwacja:
• rozwój motywacji nauk poprzez satysfakcję emocjonalną z odkryć, poprzez wprowadzenie elementów historii rozwoju koncepcji matematycznych.

edukacyjny:

• podnieść zrównoważony interes w temacie poprzez badanie istotnej aktywności Pitagore;
• edukacja wzajemnej pomocy i obiektywnej oceny znajomości kolegów z klasy przez wzajemny test.

Forma lekcji: klasa chłodno.

Plan lekcji:

• Organizowanie czasu.
• Sprawdź swoją pracę domową. Aktualizacja wiedzy.
• Rozwiązywanie praktycznych zadań za pomocą twierdzenia Pitagorejskiego.
• Nowy temat.
• Podstawowa konsolidacja wiedzy.
• Zadanie domowe.
• Wyniki lekcji.
• Niezależna praca (według poszczególnych kart z zgadywaniem aforyzmów Pitagóry).

Podczas zajęć.

Organizowanie czasu.

Sprawdź swoją pracę domową. Aktualizacja wiedzy.

Nauczyciel: Jakie zadanie wykonałeś w domu?

Uczniowie: Według dwóch danych do boków trójkąta prostokątnego znajdują trzeci kierunek, odpowiedzi na uspokaja w formie stołu. Powtórz właściwości romb i prostokąt. Powtórz to, co nazywa się stanem, a wniosek twierdzenia. Przygotuj raporty o życiu i działaniach z Pitagorem. Przynieś linę z 12 węzłów związanych.

Nauczyciel: Odpowiedzi na twoją kontrolę pracy na stole

(Czarne podświetlone dane, czerwone odpowiedzi).

Nauczyciel: Na zarezerwowanym zatwierdzeniu zarządu. Jeśli zgodzisz się z nimi na liściach naprzeciwko odpowiedniego numeru pytania, umieść "+", jeśli nie zgadzasz się, a następnie umieść "-".

Na pokładzie napisano wraz z wyprzedzeniem.

1. Hipotenuse więcej kategorii.
2. Suma ostrych zakątków trójkąta prostokątnego wynosi 180 0.
3. Plac trójkąta prostokątnego z celnymi alei w Obliczony według formuły S \u003d ab / 2.
4. Twierdzenie Pitagore jest prawdziwe dla wszystkich równych trójkątów.
5. W prostokątnym trójkącie kadłub leżący naprzeciwko kąta 30 0 jest równy połowy hipotenusa.
6. Suma kwadratów cewek jest równa placu hipotenuse.
7. Plac kategorii jest równy różnicy w kwadratach hipotenuse i drugiej kategorii.
8. Strona trójkąta jest równa sumie dwóch innych stron.

Sprawdzanie pracy za pomocą wzajemnego testu. Zatwierdzenia, że \u200b\u200bomówiono spory.

Klucz do problemów teoretycznych.

Uczniowie umieszczają sobie nawzajem ocen w następującym systemie:

8 poprawnych odpowiedzi "5";
6-7 poprawnych odpowiedzi "4";
4-5 Poprawne odpowiedzi "3";
Mniej niż 4 poprawne odpowiedzi "2".

Nauczyciel: Co mówiliśmy w przeszłości lekcji?

Uczeń: O Pitagure i jego teorecie.

Nauczyciel: Formułuj twierdzenie Pitagore. (Kilku uczniów przeczytał sformułowanie, w tym czasie 2-3 student udowodnić go w zarządzie, 6 uczniów - za pierwszymi stronami na liściach).

Wzory matematyczne są napisane na tablicy magnetycznej. Wybierz tych z nich, którzy odzwierciedlają znaczenie twierdzenia Pitagora, gdzie ale i w - Kartets, z - hipotenuse.

1) C2 \u003d A 2 + w 2	2) c \u003d a + w	3) A 2 \u003d C2 - w 2
4) C2 \u003d A 2 - w 2	5) W 2 \u003d C2 - A 2	6) A 2 \u003d C2 + B 2

Podczas gdy uczniowie udowadniają twierdzenie w zarządzie i na ziemi nie są gotowe, słowo jest dostarczane tym, którzy przygotowali raporty w sprawie życia i działalności Pitagora.

Uczniowie pracujące w polu dają liście i słuchać dowodów tych, którzy pracowali w zarządzie.

Rozwiązywanie praktycznych zadań za pomocą twierdzenia Pitagorejskiego.

Nauczyciel: Oferuję ci praktyczne zadania za pomocą badanego twierdzenia. Po pierwszym w lesie, po burzy, a następnie na terenie wiejskiej.

Zadanie 1.. Po złamaniu burzy jodły. Wysokość pozostałej części wynosi 4,2 m. Odległość od podstawy do upadłej korony 5,6 m. Znajdź wysokość burzy.

Zadanie 2.. Wysokość domu wynosi 4,4 m szerokość trawnika wokół domu wynosi 1,4 m. Jaka długość powinniśmy zrobić schody, aby nie stanowił na trawniku i dostarczył na dachu domu?

Nowy temat.

Nauczyciel: (dźwięki muzyczne) Zamknij oczy, przez kilka minut zanurzymy się w historii. Jesteśmy z tobą w starożytnym Egipcie. Tutaj na stoczniach Egipcjan budują swoje znane statki. Ale lądowcy, mierzą działki ziemi, których granice przemyto po wycieku Nilu. Budowniczowie budujemy wspaniałe piramidy, które wciąż niesamowite nas swoimi wspaniałością. We wszystkich tych działaniach Egipcjanie potrzebowali bezpośrednich rogów. Wiedzieli, jak budować je za pomocą liny z 12 lat przywiązanym w tej samej odległości od siebie z guzkami. Spróbuj obu, kłócą się jako starożytni Egipcjanie, budują prostokątne trójkąty za pomocą lin. (Rozwiązywanie tego problemu, chłopaki pracują w grupach 4 osób. Po pewnym czasie na tablecie w tablicy, ktoś pokazuje budowę trójkąta).

Boki powstałego trójkąta 3, 4 i 5. Jeśli jest związany między tymi węzłów kolejny jeden przez jeden węzeł, jego strony będą wynosić 6, 8 i 10. Jeśli dwa - 9, 12 i 15. Wszystkie te trójkąty są prostokątne t.

5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 \u003d 9 2 + 12 2 itd.

Jaka mienia powinna być prostokątna? (Uczniowie próbują sformułować odwrotną twierdzenie Pitagora, w końcu, na kogoś, kogo się okazuje).

W jaki sposób ten teore różni się od twierdzenia Pitagorasa?

Uczeń: Stan i wniosek zmieniły miejsca.

Nauczyciel: W domu powtórzyłeś, jak nazywa się takie teoremy. Więc teraz się spotkaliśmy?

Uczeń: Z odwrotnej twierdzenia Pitagorów.

Nauczyciel: Piszemy temat lekcji w notebooku. Otwarte samouczki na stronie 127 Ponownie przeczytaj to zatwierdzenie, napisz go w notatniku i zdemontuj dowód.

(Po kilku minutach niezależnych prac z podręcznikiem, woli, jedna osoba na pokładzie prowadzi dowód twierdzenia).

1. Jak nazywa się trójkąt ze stronami 3, 4 i 5? Dlaczego?
2. Jakie trójkąty nazywają się Pythagorov?
3. Jakie trójkąty pracowałeś z twoją pracą domową? Oraz w zadaniach z sosną i schodami?

Podstawowa konsolidacja wiedzy

.

Ten teore pomaga rozwiązać zadania, w których konieczne jest, aby dowiedzieć się, czy trójkąty będą prostokątne.

Zadania:

1) Dowiedz się, czy trójkąt jest prostokątny, jeśli jego strony są równe:

a) 12.37 i 35; b) 21, 29 i 24.

2) Oblicz wysokość trójkąta za pomocą partii 6, 8 i 10 cm.

Zadanie domowe

.

PP.127: Pitagoryan odwrotny twierdzenie. № 498 (A, B, B) nr 497.

Wyniki lekcji.

Jaki nowy nauczył się w lekcji?

Jak powstała odwrotna twierdzenie Pitagora w Egipcie?

Podczas rozwiązywania zadań ma zastosowanie?

Jakie trójkąty zapoznały się?

Co zostało zapamiętane najbardziej i lubiłem?

Niezależna praca (prowadzona przez poszczególne karty).

Nauczyciel:W domu powtórzyłeś właściwości romb i prostokąt. Wymień je (istnieje rozmowa z klasą). Na ostatniej lekcji rozmawialiśmy o tym, że Pitagoras był wszechstronnym człowiekiem. Był zaangażowany w medycynę i muzykę, a astronomię, a także był sportowcem i uczestniczył w igrzyskach olimpijskich. A Pitagoras był filozofem. Wiele z jego aforyzmów jest dzisiaj istotne dla nas. Teraz wykonasz niezależną pracę. Każde zadanie otrzymuje kilka opcji odpowiedzi, obok które nagrywane są fragmenty aphoryzmów pytagorów. Twoim zadaniem jest decyzję o wszystkich zadaniach, wykonaj oświadczenie o wynikach otrzymanych fragmentów i zapisać go.