Tabela sinusów i cosinusów jest kompletna. Sinus (sin x) i cosinus (cos x) – właściwości, wykresy, wzory
Trygonometria jako nauka wywodzi się ze starożytnego Wschodu. Astronomowie wyprowadzili pierwsze stosunki trygonometryczne w celu stworzenia dokładnego kalendarza i orientacji według gwiazd. Obliczenia te dotyczyły trygonometrii sferycznej, podczas gdy na zajęciach szkolnych badano stosunek boków i kątów płaskiego trójkąta.
Trygonometria to dział matematyki zajmujący się właściwościami funkcji trygonometrycznych oraz zależnościami między bokami i kątami trójkątów.
W okresie rozkwitu kultury i nauki w I tysiącleciu naszej ery wiedza rozprzestrzeniła się ze starożytnego Wschodu do Grecji. Ale główne odkrycia trygonometrii są zasługą ludzi kalifatu arabskiego. W szczególności turkmeński naukowiec al-Marazi wprowadził funkcje takie jak tangens i cotangens oraz opracował pierwsze tabele wartości sinusów, stycznych i cotangensów. Pojęcia sinusa i cosinusa zostały wprowadzone przez indyjskich naukowców. Trygonometrii poświęcano wiele uwagi w pracach tak wielkich postaci starożytności, jak Euklides, Archimedes i Eratostenes.
Podstawowe wielkości trygonometrii
Podstawowe funkcje trygonometryczne argumentu numerycznego to sinus, cosinus, tangens i cotangens. Każdy z nich ma swój własny wykres: sinus, cosinus, tangens i cotangens.
Wzory do obliczania wartości tych wielkości opierają się na twierdzeniu Pitagorasa. Jest to lepiej znane uczniom w sformułowaniu: „Spodnie pitagorejskie są równe we wszystkich kierunkach”, ponieważ dowód przedstawiono na przykładzie trójkąta prostokątnego równoramiennego.
Sinus, cosinus i inne zależności ustalają związek między kątami ostrymi i bokami dowolnego trójkąta prostokątnego. Przedstawmy wzory na obliczenie tych wielkości dla kąta A i prześledźmy zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi:
Jak widać, tg i ctg są funkcjami odwrotnymi. Jeśli wyobrazimy sobie nogę a jako iloczyn grzechu A i przeciwprostokątnej c oraz nogę b jako cos A*c, otrzymamy następujące wzory na styczną i kotangę:
Koło trygonometryczne
Graficznie zależność pomiędzy wymienionymi wielkościami można przedstawić w następujący sposób:
Okrąg w tym przypadku reprezentuje wszystkie możliwe wartości kąta α - od 0° do 360°. Jak widać na rysunku, każda funkcja przyjmuje wartość ujemną lub dodatnią w zależności od kąta. Przykładowo sin α będzie miał znak „+”, jeśli α należy do 1. i 2. ćwiartki koła, czyli mieści się w przedziale od 0° do 180°. Dla α od 180° do 360° (III i IV ćwiartka) sin α może mieć tylko wartość ujemną.
Spróbujmy zbudować tablice trygonometryczne dla określonych kątów i dowiedzieć się, co oznaczają wielkości.
Wartości α równe 30°, 45°, 60°, 90°, 180° itd. nazywane są przypadkami specjalnymi. Wartości funkcji trygonometrycznych dla nich są obliczane i prezentowane w formie specjalnych tabel.
Kąty te nie zostały wybrane przypadkowo. Oznaczenie π w tabelach dotyczy radianów. Rad to kąt, pod którym długość łuku koła odpowiada jego promieniowi. Wartość tę wprowadzono w celu ustalenia uniwersalnej zależności, przy obliczaniu w radianach rzeczywista długość promienia w cm nie ma znaczenia.
Kąty w tabelach funkcji trygonometrycznych odpowiadają wartościom radianów:
Nietrudno więc zgadnąć, że 2π to pełny okrąg, czyli 360°.
Własności funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus
Aby rozważyć i porównać podstawowe właściwości sinusa i cosinusa, tangensa i cotangensu, należy narysować ich funkcje. Można tego dokonać w postaci krzywej umiejscowionej w dwuwymiarowym układzie współrzędnych.
Rozważ tabelę porównawczą właściwości sinusa i cosinusa:
| Sinusoida | Cosinus |
|---|---|
| y = grzech x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, dla x = πk, gdzie k ϵ Z | cos x = 0, dla x = π/2 + πk, gdzie k ϵ Z |
| sin x = 1, dla x = π/2 + 2πk, gdzie k ϵ Z | cos x = 1, przy x = 2πk, gdzie k ϵ Z |
| sin x = - 1, przy x = 3π/2 + 2πk, gdzie k ϵ Z | cos x = - 1, dla x = π + 2πk, gdzie k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, czyli funkcja jest nieparzysta | cos (-x) = cos x, czyli funkcja jest parzysta |
| funkcja jest okresowa, najmniejszy okres wynosi 2π | |
| sin x › 0, gdzie x należy do 1. i 2. ćwiartki lub od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, gdzie x należy do ćwiartek I i IV lub od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, gdzie x należy do trzeciej i czwartej ćwiartki lub od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, gdzie x należy do 2. i 3. ćwiartki lub od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| wzrosty przedziału [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | rośnie w przedziale [-π + 2πk, 2πk] |
| maleje na przedziałach [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | maleje w odstępach czasu |
| pochodna (sin x)’ = cos x | pochodna (cos x)’ = - sin x |
Ustalenie, czy funkcja jest parzysta, czy nie, jest bardzo proste. Wystarczy wyobrazić sobie okrąg trygonometryczny ze znakami wielkości trygonometrycznych i w myślach „złożyć” wykres względem osi OX. Jeśli znaki się pokrywają, funkcja jest parzysta, w przeciwnym razie jest nieparzysta.
Wprowadzenie radianów i wyszczególnienie podstawowych własności fal sinusoidalnych i cosinusoidalnych pozwala przedstawić następujący wzór:
Bardzo łatwo jest sprawdzić poprawność wzoru. Na przykład dla x = π/2 sinus wynosi 1, podobnie jak cosinus x = 0. Sprawdzenie można przeprowadzić, korzystając z tabel lub śledząc krzywe funkcji dla danych wartości.
Właściwości tangentsoid i kotangentsoid
Wykresy funkcji stycznej i cotangens różnią się znacznie od funkcji sinus i cosinus. Wartości tg i ctg są względem siebie odwrotne.
- Y = brązowy x.
- Styczna dąży do wartości y przy x = π/2 + πk, ale nigdy ich nie osiąga.
- Najmniejszy dodatni okres tangentoidy to π.
- Tg (- x) = - tg x, czyli funkcja jest nieparzysta.
- Tg x = 0, dla x = πk.
- Funkcja jest rosnąca.
- Tg x › 0, dla x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, dla x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Pochodna (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Rozważ graficzny obraz kotangentoidy poniżej w tekście.
Główne właściwości kotangentoidów:
- Y = łóżeczko x.
- W przeciwieństwie do funkcji sinus i cosinus, w tangentoidzie Y może przyjmować wartości zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.
- Kotangentoida dąży do wartości y przy x = πk, ale nigdy ich nie osiąga.
- Najmniejszy dodatni okres kotangentoidy to π.
- Ctg (- x) = - ctg x, czyli funkcja jest nieparzysta.
- Ctg x = 0, dla x = π/2 + πk.
- Funkcja jest malejąca.
- Ctg x › 0, dla x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, dla x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Pochodna (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Poprawnie
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Na początek przypomnę prosty, ale bardzo przydatny wniosek z lekcji „Co to jest sinus i cosinus? Co to jest tangens i cotangens?”
To jest wynik:
Sinus, cosinus, tangens i cotangens są ściśle powiązane ze swoimi kątami. Wiemy jedno, co oznacza, że wiemy co innego.
Innymi słowy, każdy kąt ma swój własny stały sinus i cosinus. I prawie każdy ma swoją własną styczną i cotangens. Dlaczego prawie? Więcej na ten temat poniżej.
Ta wiedza bardzo Ci się przyda w nauce! Jest wiele zadań, w których trzeba przejść od sinusów do kątów i odwrotnie. Do tego istnieje tablica sinusów. Podobnie dla zadań z cosinusem - tablica cosinus. I jak można się domyślić, jest tabela styczna I tabela kotangentów.)
Tabele są różne. Długie, gdzie widać, ile wynosi, powiedzmy, sin37°6’. Otwieramy tabele Bradisa, szukamy kąta trzydziestu siedmiu stopni przez sześć minut i widzimy wartość 0,6032. Oczywiste jest, że absolutnie nie ma potrzeby zapamiętywania tej liczby (i tysięcy innych wartości z tabeli).
W rzeczywistości w naszych czasach długie tablice cosinusów, sinusów, stycznych i kotangentów nie są tak naprawdę potrzebne. Jeden dobry kalkulator całkowicie je zastępuje. Ale nie zaszkodzi wiedzieć o istnieniu takich tabel. Dla ogólnej erudycji.)
I po co w takim razie ta lekcja?! - ty pytasz.
Ale dlaczego. Wśród nieskończonej liczby kątów są specjalny, o czym powinieneś wiedzieć Wszystko. Cała szkolna geometria i trygonometria zbudowana jest na tych kątach. Jest to rodzaj „tabliczki mnożenia” trygonometrii. Jeśli nie wiesz, czym jest na przykład sin50°, nikt cię nie będzie osądzać.) Ale jeśli nie wiesz, czym jest sin30°, przygotuj się na zasłużone dwa...
Taki specjalny Kąty też są całkiem niezłe. Podręczniki szkolne zazwyczaj oferują możliwość zapamiętywania tabela sinusów i tablic cosinusów dla siedemnastu kątów. I oczywiście, tabela stycznych i tabela cotangensów dla tych samych siedemnastu kątów... Tj. Proponuje się zapamiętanie 68 wartości. Które notabene są do siebie bardzo podobne, co jakiś czas się powtarzają i zmieniają znaki. Dla osoby bez doskonałej pamięci wzrokowej jest to nie lada wyzwanie...)
Pójdziemy inną trasą. Zamieńmy zapamiętywanie na pamięć logiką i pomysłowością. Wtedy będziemy musieli zapamiętać 3 (trzy!) wartości tablicy sinusów i tablicy cosinusów. I 3 (trzy!) wartości dla tabeli stycznych i tabeli cotangensów. To wszystko. Wydaje mi się, że sześć wartości jest łatwiejszych do zapamiętania niż 68...)
Wszystkie pozostałe niezbędne wartości z tej szóstki uzyskamy korzystając z potężnej ściągawki prawnej - okrąg trygonometryczny. Jeśli nie studiowałeś tego tematu, kliknij link, nie bądź leniwy. Ten krąg jest potrzebny nie tylko na tej lekcji. Jest niezastąpiony dla całej trygonometrii na raz. Niekorzystanie z takiego narzędzia to po prostu grzech! Nie chcesz? To twoja sprawa. Zapamiętać tablica sinusów. Tabela cosinusów. Tabela stycznych. Tabela kotangentów. Wszystkie 68 wartości dla różnych kątów.)
Zacznijmy więc. Najpierw podzielmy wszystkie te specjalne kąty na trzy grupy.
Pierwsza grupa kątów.
Rozważmy pierwszą grupę siedemnaście kątów specjalny. Jest to 5 kątów: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Tak wygląda tabela sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów dla tych kątów:
Kąt x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Kąt x
|
0 |
||||
grzech x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
bo x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
rzeczownik |
0 |
rzeczownik |
0 |
ctg x |
rzeczownik |
0 |
rzeczownik |
0 |
rzeczownik |
Kto chce pamiętać, niech pamięta. Ale od razu powiem, że te wszystkie zera i jedynki bardzo się mieszają w głowie. Znacznie silniejszy, niż chcesz.) Dlatego włączamy logikę i okrąg trygonometryczny.
Rysujemy okrąg i zaznaczamy na nim te same kąty: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Czerwonymi kropkami zaznaczyłem te rogi:
Od razu widać, co jest wyjątkowego w tych kątach. Tak! To są kąty, które spadają dokładnie na osi współrzędnych! Właściwie to dlatego ludzie są zdezorientowani… Ale my nie będziemy zdezorientowani. Zastanówmy się, jak znaleźć funkcje trygonometryczne tych kątów bez większego zapamiętywania.
Nawiasem mówiąc, położenie kąta wynosi 0 stopni całkowicie się pokrywa z pozycją kątową 360 stopni. Oznacza to, że sinusy, cosinusy i tangensy tych kątów są dokładnie takie same. Zaznaczyłem kąt 360 stopni, aby zakończyć okrąg.
Załóżmy, że w trudnym, stresującym środowisku Jednolitego Egzaminu Państwowego w jakiś sposób zwątpiłeś... Jaki jest sinus 0 stopni? Wydaje się, że zero... A jeśli to będzie jeden?! Zapamiętywanie mechaniczne jest czymś takim. W trudnych warunkach wątpliwości zaczynają gryźć...)
Spokojnie, po prostu spokojnie!) Podam Ci praktyczną technikę, która da Ci w 100% poprawną odpowiedź i całkowicie usunie wszelkie wątpliwości.
Jako przykład zastanówmy się, jak jasno i niezawodnie określić, powiedzmy, sinus 0 stopni. A jednocześnie cosinus 0. Co dziwne, ludzie często się mylą w tych wartościach.
Aby to zrobić, narysuj okrąg arbitralny narożnik X. W pierwszym kwartale temperatura była bliska 0 stopni. Zaznaczmy sinus i cosinus tego kąta na osiach X, wszystko w porządku. Lubię to:
A teraz – uwaga! Zmniejszmy kąt X, przybliż ruchomą stronę do osi OH. Najedź kursorem na zdjęcie (lub dotknij zdjęcia na tablecie), a zobaczysz wszystko.
Teraz włączmy elementarną logikę! Spójrzmy i pomyślmy: Jak zachowuje się sinx, gdy kąt x maleje? Gdy kąt zbliża się do zera? To się kurczy! I cosx rośnie! Pozostaje dowiedzieć się, co stanie się z sinusem, gdy kąt całkowicie się zapadnie? Kiedy ruchoma strona kąta (punkt A) ustala się na osi OX i kąt staje się równy zero? Oczywiście sinus kąta spadnie do zera. A cosinus wzrośnie do... do... Jaka jest długość ruchomego boku kąta (promień okręgu trygonometrycznego)? Jeden!
Oto odpowiedź. Sinus 0 stopni jest równy 0. Cosinus 0 stopni jest równy 1. Całkowicie żelazny i bez wątpienia!) Po prostu dlatego, że jest inaczej nie może być.
Dokładnie w ten sam sposób możesz na przykład znaleźć (lub wyjaśnić) sinus 270 stopni. Lub cosinus 180. Narysuj okrąg, arbitralny kąt w ćwiartce obok interesującej nas osi współrzędnych, przesuń w myślach bok kąta i chwyć, czym stanie się sinus i cosinus, gdy bok kąta spadnie na oś. To wszystko.
Jak widać, dla tej grupy kątów nie trzeba niczego zapamiętywać. Nie potrzebne tutaj tablica sinusów... tak i tablica cosinus- też.) Nawiasem mówiąc, po kilku użyciach koła trygonometrycznego wszystkie te wartości zostaną same zapamiętane. A jeśli zapomną, narysowałem okrąg w 5 sekund i wyjaśniłem. O wiele łatwiej niż zadzwonić do przyjaciela z toalety i ryzykować swój certyfikat, prawda?)
Jeśli chodzi o styczną i cotangens, wszystko jest takie samo. Rysujemy linię styczną (cotangens) na okręgu - i wszystko jest od razu widoczne. Gdzie są równe zeru i gdzie ich nie ma. Co, nie wiesz o liniach stycznych i cotangensach? To smutne, ale da się to naprawić.) Odwiedziliśmy sekcję 555 Styczna i cotangens na okręgu trygonometrycznym - i nie ma żadnych problemów!
Jeśli udało Ci się jasno zdefiniować sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tych pięciu kątów, gratulacje! Na wszelki wypadek informuję, że można już definiować funkcje dowolne kąty opadające na osie. A to jest 450°, 540°, 1800° i nieskończona ilość innych...) Policzyłem (poprawnie!) kąt na okręgu - i z funkcjami nie ma problemów.
Ale właśnie przy pomiarze kątów pojawiają się problemy i błędy... Jak ich uniknąć jest napisane w lekcji: Jak narysować (policzyć) dowolny kąt na okręgu trygonometrycznym w stopniach. Elementarne, ale bardzo pomocne w walce z błędami.)
Oto lekcja: Jak narysować (zmierzyć) dowolny kąt na okręgu trygonometrycznym w radianach - będzie chłodniej. Pod względem możliwości. Powiedzmy, ustal, na którą z czterech półosi przypada kąt
możesz to zrobić w kilka sekund. Nie żartuje! Tylko za kilka sekund. No oczywiście, że nie tylko 345 pi...) I 121, i 16, i -1345. Dowolny współczynnik całkowity jest odpowiedni do natychmiastowej odpowiedzi.
A jeśli róg
Pomyśl! Prawidłową odpowiedź uzyskuje się w ciągu 10 sekund dla dowolnej wartości ułamkowej radianów z dwójką w mianowniku.
Właściwie to właśnie jest dobre w okręgu trygonometrycznym. Ponieważ umiejętność pracy z Niektóre narożnikach, do których jest automatycznie rozszerzany nieskończony zbiór rogi
Rozwiązaliśmy więc pięć zakrętów z siedemnastu.
Druga grupa kątów.
Następną grupą kątów są kąty 30°, 45° i 60°. Dlaczego właśnie te, a nie na przykład 20, 50 i 80? Tak, jakoś tak wyszło... Historycznie.) Dalej zobaczymy, dlaczego te kąty są dobre.
Tabela sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów dla tych kątów wygląda następująco:
Kąt x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Kąt x
|
0 |
||||
grzech x |
0 |
1 |
|||
bo x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
rzeczownik |
||
ctg x |
rzeczownik |
1 |
0 |
Wartości dla 0° i 90° pozostawiłem z poprzedniej tabeli dla uzupełnienia obrazu.) Żebyście mogli zobaczyć, że te kąty leżą w pierwszej ćwiartce i rosną. Od 0 do 90. Przyda nam się to później.
Należy pamiętać o wartościach tabelarycznych dla kątów 30°, 45° i 60°. Zapamiętaj to, jeśli chcesz. Ale i tutaj jest szansa na ułatwienie sobie życia.) Zwróć uwagę Wartości tabeli sinus te kąty. I porównaj z Wartości tabeli cosinusów...
Tak! Oni To samo! Tylko ułożone w odwrotnej kolejności. Zwiększają się kąty (0, 30, 45, 60, 90) - i wartości sinusoidalne zwiększyć od 0 do 1. Możesz sprawdzić za pomocą kalkulatora. A wartości cosinus są maleją od 1 do zera. Co więcej, same wartości To samo. Dla kątów 20, 50, 80 to nie zadziałałoby...
To przydatny wniosek. Wystarczająco, żeby się uczyć trzy wartości dla kątów 30, 45, 60 stopni. I pamiętaj, że dla sinusa rosną, a dla cosinusa maleją. W kierunku sinusa.) Spotykają się w połowie drogi (45°), to znaczy sinus 45 stopni jest równy cosinusowi 45 stopni. A potem znowu się rozchodzą... Można się nauczyć trzech znaczeń, prawda?
W przypadku stycznych - cotangensów obraz jest dokładnie taki sam. Jeden na jednego. Różnią się tylko znaczeniami. Tych wartości (jeszcze trzy!) też trzeba się nauczyć.
Cóż, prawie całe zapamiętywanie się skończyło. Rozumiesz (miejmy nadzieję) jak wyznaczać wartości dla pięciu kątów padających na oś i poznałeś wartości dla kątów 30, 45, 60 stopni. Razem 8.
Pozostało rozprawić się z ostatnią grupą 9 rzutów rożnych.
Oto kąty:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. W przypadku tych kątów musisz znać tabelę sinusów, tabelę cosinusów itp.
Koszmar, prawda?)
A jeśli dodać tu kąty takie jak: 405°, 600°, czy 3000° i wiele, wiele równie pięknych?)
Albo kąty w radianach? Na przykład o kątach:
i wiele innych, które powinieneś znać Wszystko.
Najzabawniejszą rzeczą jest wiedzieć o tym Wszystko - w zasadzie niemożliwe. Jeśli używasz pamięci mechanicznej.
I jest to bardzo proste, w rzeczywistości elementarne - jeśli użyjesz koła trygonometrycznego. Kiedy już opanujesz pracę z okręgiem trygonometrycznym, wszystkie te przerażające kąty w stopniach można łatwo i elegancko zredukować do starych, dobrych:
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
W V wieku p.n.e. starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś, w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii co do istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.
Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.
Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.
Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:
W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.
Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.
Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:
Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.
W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach w czasie, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można ustalić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). To na co chcę zwrócić szczególną uwagę to to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, gdyż dają odmienne możliwości badawcze.
środa, 4 lipca 2018 r
Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.
Jak widać „w zestawie nie mogą znajdować się dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.
Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.
Niezależnie od tego, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.
Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.
Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształów i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...
I teraz mam najciekawsze pytanie: gdzie jest granica, za którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.
Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.
Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.
Niedziela, 18 marca 2018 r
Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.
Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.
Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.
1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.
2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.
3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.
4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.
Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia”, prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.
Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Zatem w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Przy dużej liczbie 12345, nie chcę oszukiwać głowy, rozważmy liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.
Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.
Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.
Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.
Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.
Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?
Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.
Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,
Nic więc dziwnego, że nagle w swoim samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:
Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jeden obrazek) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie sądzę, że ta dziewczyna jest głupia, która nie zna fizyki. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.
1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.
TABELA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych jest zestawiana dla kątów 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 i 360 stopni oraz odpowiadających im wartości kątów w vradianach. Spośród funkcji trygonometrycznych tabela pokazuje sinus, cosinus, tangens, cotangens, sieczną i cosecans. Dla wygody rozwiązywania przykładów szkolnych wartości funkcji trygonometrycznych w tabeli zapisuje się w postaci ułamka zwykłego, zachowując znaki do wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego z liczb, co bardzo często pomaga zredukować złożone wyrażenia matematyczne. W przypadku stycznej i cotangensu nie można określić wartości niektórych kątów. Dla wartości tangensa i cotangensu takich kątów w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych znajduje się myślnik. Ogólnie przyjmuje się, że tangens i cotangens takich kątów są równe nieskończoności. Na osobnej stronie znajdują się wzory na redukcję funkcji trygonometrycznych.
Tabela wartości funkcji sinus trygonometrycznej pokazuje wartości dla następujących kątów: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 w stopniach, co odpowiada sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi w radianowej mierze kątów. Szkolna tablica sinusów.
Dla funkcji cosinus trygonometryczny w tabeli przedstawiono wartości dla kątów: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 w stopniach, co odpowiada cos 0 pi , cos pi przez 6, cos pi przez 4, cos pi przez 3, cos pi przez 2, cos pi, cos 3 pi przez 2, cos 2 pi w radianowej mierze kątów. Tablica szkolna z cosinusami.
Tablica trygonometryczna funkcji tangensów trygonometrycznych podaje wartości dla następujących kątów: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 w stopniach, co odpowiada tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi w radianowej mierze kątów. Następujące wartości funkcji tangensów trygonometrycznych nie są zdefiniowane tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 i są uważane za równe nieskończoności.
Dla funkcji trygonometrycznej cotangens w tablicy trygonometrycznej podane są wartości następujących kątów: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 w stopniach, co odpowiada ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/2, tan 3 pi/2 w radianowej mierze kątów. Następujące wartości funkcji cotangensów trygonometrycznych nie są zdefiniowane ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi i są uważane za równe nieskończoności.
Wartości funkcji trygonometrycznych secans i cosecans podano dla tych samych kątów w stopniach i radianach, co sinus, cosinus, tangens, cotangens.
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych kątów niestandardowych przedstawia wartości sinusa, cosinusa, tangens i cotangens dla kątów w stopniach 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 stopnie oraz w radianach pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radianów. Wartości funkcji trygonometrycznych wyrażane są w postaci ułamków zwykłych i pierwiastków kwadratowych, aby ułatwić redukcję ułamków na przykładach szkolnych.
Trzy kolejne potwory trygonometryczne. Pierwsza to tangens 1,5 półtora stopnia lub pi podzielona przez 120. Druga to cosinus pi podzielony przez 240, pi/240. Najdłuższy to cosinus pi podzielony przez 17, pi/17.
Trygonometryczny okrąg wartości funkcji sinus i cosinus wizualnie przedstawia znaki sinusa i cosinusa w zależności od wielkości kąta. Zwłaszcza w przypadku blondynek wartości cosinusa są podkreślone zieloną kreską, aby zmniejszyć zamieszanie. Konwersja stopni na radiany jest również bardzo wyraźnie przedstawiona, gdy radiany są wyrażone w liczbach pi.
Ta tabela trygonometryczna przedstawia wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów od 0 do 90 dziewięćdziesięciu stopni w odstępach co jeden stopień. Dla pierwszych czterdziestu pięciu stopni nazwy funkcji trygonometrycznych należy sprawdzić na górze tabeli. Pierwsza kolumna zawiera stopnie, w kolejnych czterech kolumnach zapisywane są wartości sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów.
Dla kątów od czterdziestu pięciu stopni do dziewięćdziesięciu stopni nazwy funkcji trygonometrycznych są zapisane na dole tabeli. Ostatnia kolumna zawiera stopnie, wartości cosinusów, sinusów, cotangensów i stycznych są zapisane w poprzednich czterech kolumnach. Należy zachować ostrożność, ponieważ nazwy funkcji trygonometrycznych na dole tabeli trygonometrycznej różnią się od nazw na górze tabeli. Sinusy i cosinusy są zamieniane, podobnie jak tangens i cotangens. Wynika to z symetrii wartości funkcji trygonometrycznych.
Znaki funkcji trygonometrycznych pokazano na powyższym rysunku. Sinus ma wartości dodatnie od 0 do 180 stopni, czyli od 0 do pi. Sinus ma wartości ujemne od 180 do 360 stopni lub od pi do 2 pi. Wartości cosinus są dodatnie od 0 do 90 i 270 do 360 stopni, czyli od 0 do 1/2 pi i 3/2 do 2 pi. Tangens i cotangens mają wartości dodatnie od 0 do 90 stopni i od 180 do 270 stopni, co odpowiada wartościom od 0 do 1/2 pi i pi do 3/2 pi. Ujemne wartości tangensa i cotangensu wynoszą od 90 do 180 stopni i od 270 do 360 stopni, czyli od 1/2 pi do pi i od 3/2 pi do 2 pi. Przy wyznaczaniu znaków funkcji trygonometrycznych dla kątów większych niż 360 stopni lub 2 pi należy skorzystać z właściwości okresowości tych funkcji.
Funkcje trygonometryczne sinus, tangens i cotangens są funkcjami nieparzystymi. Wartości tych funkcji dla kątów ujemnych będą ujemne. Cosinus jest parzystą funkcją trygonometryczną - wartość cosinusa dla kąta ujemnego będzie dodatnia. Przy mnożeniu i dzieleniu funkcji trygonometrycznych należy przestrzegać zasad znakowania.
Tabela wartości funkcji sinus trygonometrycznej pokazuje wartości dla następujących kątów
DokumentNa osobnej stronie znajdują się formuły redukcyjne trygonometrycznyFunkcje. W tabelawartościDlatrygonometrycznyFunkcjeZatokadanywartościDlanastępującerogi: grzech 0, grzech 30, grzech 45 ...
Zaproponowany aparat matematyczny jest kompletnym analogiem rachunku zespolonego dla n-wymiarowych liczb hiperzespolonych o dowolnej liczbie stopni swobody n i jest przeznaczony do matematycznego modelowania zjawisk nieliniowych
Dokument... Funkcje równa się Funkcje Obrazy. Z tego twierdzenia powinien, Co Dla znajdując współrzędne U, V, wystarczy obliczyć funkcjonować... geometria; wielonar Funkcje(wielowymiarowe analogi dwuwymiarowego trygonometrycznyFunkcje), ich właściwości, stoły i zastosowanie; ...
