Rozwiązywanie problemów C4 z Słowo Matematyki (Start). IV.

Czas na egzamin jest mniejszy i mniej próbna EGE. Jest coraz częściej, nerwy uczniów i ich nauczyciele są napinające wszystkich silniejszych. W przeddzień otwarcia sezonu "intensywnego przygotowania" do egzaminów dyplomowych i egzaminów wstępnych sugeruję, aby ćwiczyć w rozwiązywaniu problemów C4 z korzyścią opracowaną przez Mio do przygotowania uczniów do egzaminu w matematyce. Zadania są jednak przyznawane w rozwiązaniach, byłoby jednak przydatne, aby je rozwiązać najpierw niezależnie.

Opcja 3. Trójkąt ABC wpisany w kręgu promienia 12. Wiadomo, że Ab \u003d 6 I. PNE. \u003d 4. Znajdź. AC..

Decyzja:

Z twierdzenia zatokowego na trójkąt ABC Mamy:

Od głównego identyfikacja trygonometryczna Znajdź to:

Następnie na cosinowym twierdzeniu dla trójkąta ABC Mamy dla obu przypadków:

Odpowiedź: √35 ± √15.

Opcja 5. W trójkącie. ABCutrzymywane wysokości Bm.i Cn., O.- Center wpisany kółko. Wiadomo, że Bc \u003d.24 , Mn \u003d.12. Znajdź promień koła opisanego w pobliżu trójkąta Boc..

Decyzja:

Dwa możliwe przypadki: ∠a - ostry i ∠a - głupi

Możliwe są dwa przypadki:

1) Niech ∠ ZA. - ostry (lewy rysunek). Udowodni, że trójkąty AMN. i ABC Lubić. Rzeczywiście, punkty B., N., M. i DO. Leżąc na kręgu o średnicy PNE.dlatego ∠ NMB. = ∠NCB.z prostokątnych trójkątów Bam. i Bnc.:
∠AMN. = 90 0 — ∠NMB,∠B \u003d.90 0 — ∠NCB., z których oczywiście wynika, że \u200b\u200b∠ AMN.= ∠B.Poza ∠. ZA.- Wspólny dla obu trójkątów są zatem podobne do dwóch narożników.

Z trójkąt prostokątny .: cos∠. ZA. = JESTEM./Ab Anc.: cos∠. ZA. = NA./AC.Te same relacje są oczywiście wskaźnikami stron takie trójkąty. AMN. i ABCCo podąża za tym COS∠ A \u003d nm./Bc \u003d.1/2, co oznacza ∠ A \u003d.60 0, ponieważ suma narożników w trójkącie wynosi 180 0, ∠ B +.∠C \u003d. 120 0. Centrum wpisane w trójkąt koła kłamstwa, jak wiadomo, w punkcie przecięcia jego bisektora. Od tego dochodzimy do wniosku:
∠Obc +.∠O. Cb \u003d. 1/2 · (∠ B +.∠C) \u003d. 60 0, co oznacza ∠ Boc \u003d.120 0. Przez twierdzenie zatoki na trójkąt Boc. Mamy: PNE./ Sin∠. Boc. = 2R.gdzie R. R. = 8√3.

2) Niech teraz ∠ ZA. - głupi (prawy rysunek). Z trójkąta prostokątnego ABM. Znajdź to cos∠. Bam. = JESTEM./Ab, z prostokątnego trójkąta MOGĄ Znajdź to cos∠. Can \u003d an./AC.. ∠Bam \u003d.∠DO. NA. Ponieważ są pionowymi środkami JESTEM./Ab = NA./AC. \u003d Cos∠. Bam. \u003d Cos∠. Basen Ponieważ ostatnie przednie narożniki są przylegające. Więc trójkąty. ABC i Anm. Jak róg i dwie proporcjonalne imprezy. Wskaźnik podobieństwa jest cos∠ Bac \u003d mn. /Bc \u003d. -1/2 i sam róg ∠ Bac \u003d.. 120 0 .

Dalsze rozumowanie są podobne. Ponieważ suma narożników w trójkącie wynosi 180 0, ∠ B +.∠C \u003d. 60 0. Centrum wpisane w trójkąt koła jest w punkcie skrzyżowania jego bisektora, więc:
∠Obc +.∠O. Cb \u003d. 1/2 · (∠ B +.∠C) \u003d. 30 0, co oznacza ∠ Boc \u003d.150 0. Przez twierdzenie zatoki na trójkąt Boc. Mamy: PNE./ Sin∠. Boc. = 2R.gdzie R.- pożądany promień opisany w pobliżu trójkąta koła. Stąd: R. = 24.

Odpowiedź: 8√3 lub 24.

Opcja 8. Obwód belkowatego trapezu wynosi 52. Wiadomo, że w tym trapezie możesz wejść do okręgu, a strona jest podzielona przez punkt dotykowy w stosunku do 4: 9. Direct, przechodząc przez środek okręgu i wierzchołek trapezu, odcina się z trapezu trójkąta. Znajdź postawę tego obszaru trójkąta do obszaru trapezowego.

Decyzja:

Figura, aby rozwiązać zadanie C4 z trapezem

Przez twierdzenie o segmentach styczników KB. = Bp. = PC. = CQ. = 4x., Qd. = Dl. = LA = AK. = 9x., potem obwód trapezu wynosi 4 · (9 x. + 4x.) \u003d 52, z miejsca x. \u003d 1. Stąd obliczamy boki Ab = Płyta CD \u003d 13 i baza PNE. = 8, OGŁOSZENIE \u003d 18. Następnie. Ach. = (OGŁOSZENIE — PNE.) / 2 \u003d 5. Z prostokątnego trójkąta Bha. Według twierdzenia Pitagora znajdujemy wysokość trapezu BH. \u003d 12, sin∠ ZA. \u003d Sin∠. RE. \u003d 12/13. Obszar trapezu jest następnie równy S. = (PNE. + OGŁOSZENIE) · BH./2 = 156.

W zależności od bezpośredniego, określane jest pod względem problemu, możliwe są dwa przypadki:

1) Niech bezpośrednio przechodzi przez wierzchołek zawierający mniejszą podstawę trapezu (na rysunku jest proste Bm.). Centrum wpisane w rogu kręgu leży na jej bisektorze, czyli ∠ ABM. = ∠MBC., ∠MBC. = ∠. (jako kłamca z równoległych linii prostych PNE., OGŁOSZENIE I sprzedaż Bm.) oznacza ∠. ABM. = ∠. i trójkąt ABM. - isol, JESTEM. = Ab \u003d 13. Następnie obszar trójkąta ABM. \u003d 0,5 · Ab · JESTEM. · Sin∠. ZA. \u003d 0,5 · 13 · 13 · 12/13 \u003d 78, a pożądany stosunek wynosi 78/156 \u003d 1/2.

2) Teraz pozwól bezpośredniemu odnoszącym się do stanu, przechodzi przez wierzchołek zawierający mniejszą podstawę trapezu (na rysunku jest proste NA.). Wykonaj dodatkową konstrukcję: przedłużyłem bazę PNE. I prosto NA. Przed przecięciem w punkcie Y.. Podobnie udowadnimy, że trójkąt Aby. - isol, Ab = Przez = 13, CY. = Przez — PNE. \u003d 5. Trójkąty. Cny. i I. Jak dwa narożniki (∠ I. = ∠Cny. jak pionowy, ∠ Cya. = ∠Yad. W jaki sposób leży obszerne z równoległymi liniami prostymi PNE., OGŁOSZENIE I sprzedaż Ay.) Więc Dn. : NC. = OGŁOSZENIE : CY. \u003d 18: 5, a następnie Dn. = 18/23 Płyta CD = 18/23 Ab \u003d 234/23. Następnie obszar trójkąta ADN. \u003d 0,5 · OGŁOSZENIE · Dn. · Sin∠. RE. \u003d 0,5 · 18 · 234/23 · 12/13 \u003d 1944/23, a pożądana relacja wynosi 162/299.

Odpowiedź: 1/2 lub 162/299.

Sergey Valerievich.

Sekcje: Matematyka

Na ostatnich lekcjach geometrii czasu, aby złamać zadania wokół kursu jako całości, praktycznie nie pozostaje. A B. Kim Eger. Tradycyjnie zadania są włączone, którego rozwiązanie wymaga wiedzy o planowaniachurii na temat "Wpisane i opisane kręgi". Dlatego proponowany materiał pomoże nie tylko przywołać ten temat, ale także do usystematyzacji wcześniej uzyskanej wiedzy do rozwiązania zadań planymetrycznych do wpisanych i opisanych kół, a także przygotować się do rozwiązania takich zadań w użyciu. Zakłada się, że uczeń przynajmniej na poziomie minimalnym jest właścicielem całego przebiegu geometrii szkolnej (Planimetry).

Pierwszym i najważniejszym etapem decyzji problemu geometrycznego jest zbudowanie rysunku. Nie można nauczyć się rozwiązywania wystarczająco znaczących zadań, bez wyciągania silnych umiejętności do produkcji "dobrych" rysunków, bez wykonywania nawyków (nawet refleksyjnych) - nie do rozpoczęcia rozwiązania zadania, dopóki "Duży i piękny" rysunek zostanie wykonany. Jako główna metoda rozwiązywania problemów geometrycznych, metoda algebraiczna jest przedstawiona z kompilacją kolejnego algorytmu. Umieszczenie metody algebraicznej do rozdziału rogu, konieczne jest ostrzeżenie przed nadmierną pasją algebry i wynikiem, aby tego nie zapomnieć rozmawiamy Jednak o zadaniach geometrycznych, a zatem, pracując nad zadaniem, powinieneś szukać funkcji geometrycznych, nauczyć się oglądać i zobaczyć geometrię. Podświetlanie dwóch terminów określających zdolność do rozwiązania zadania geometryczne.- Metoda rysowania plus, dodaj trzeci - posiadanie niektórych twierdzeń i zadań referencyjnych znanych z faktami geometrycznymi.

I. Niezbędne teorety i zadania referencyjne dla okręgu wpisane w trójkąt i czworokąt, a okrąg opisany w pobliżu trójkąta i czworoboku. ( Załącznik 1 )

II. Rozwiązywanie zadań na gotowych rysunkach (wygodnie użyj kodeksu).

W tym przypadku uczniowie słownie wyjaśniają przebieg rozwiązywania problemów, formułować twierdzenia i zadania referencyjne stosowane w rozwiązywaniu zadań na gotowych rysunkach.

Gotowy rysunek	Dano. Znaleźć	Decyzja Odpowiedź
	Ab \u003d bc.	Segmenty Tanner to: bm \u003d bk \u003d 5 Ab \u003d bc \u003d 12 MC \u003d CN \u003d 7, AC \u003d 14, AK \u003d AN \u003d 7, PABC \u003d 12 + 12 + 14 \u003d 38 Odpowiedź: P ABC \u003d 38
	Ab \u003d 6, Jsc \u003d.	Sekcje Tanner są równe: AV \u003d Sun 1) , 2) AB \u003d Słońce, ponieważ In - Bissektris. 3) ABC - równoznaczny, PABC \u003d 6 3 \u003d 18 Odpowiedź: P ABC \u003d 18
	Reklama - średnica koła, Ab \u003d 3, Vd \u003d 4. 1. Udowodnij: NM reklama 2. r \u003d?	1. Bo AD - średnica, a następnie DB AN i AC DN, I.e. AC i DB - wysokość, a następnie NK - wysokość, ponieważ Przecinają się w jednym punkcie. Więc reklama nm. 2. ad \u003d \u003d 5, r \u003d Odpowiedź: r \u003d 2,5
	R \u003d?	AC - średnica okręgu i hipotenusa prostokątnego ABC, R \u003d \u003d 1,5 Odpowiedź: r \u003d 1,5
	Ab \u003d 24, OK \u003d 5.	O jest punktem przecięcia środkowych prostopadłych do stron. BKO - prostokątny, VK \u003d AK \u003d 12, KO \u003d 5, AT \u003d \u003d 13 \u003d R Odpowiedź: r \u003d 13

III. Rozwiązywanie zadań.

1. Znajdź obwód trójkąta prostokątnego, jeśli promień wypisanego okręgu wynosi 2 cm, a hipotenus ma 13 cm.

Niech AM \u003d AN \u003d X, a następnie AC \u003d X + 2, CB \u003d 2 + 13 - X \u003d 15 - X (x + 2) 2 + (15 - x) 2 \u003d 169 x 2 - 13x + 30 \u003d 0 x 1 \u003d 10, x 2 \u003d 3; AC \u003d 6, CB \u003d 12; P \u003d 30 cm Odpowiedź: p \u003d 30 cm.

2. Radius wpisany w trójkąt prostokątny okręgu wynosi 3 cm, o-środkowy kółko wpisane ,,. Znajdź obszar trójkąta.

JSC - Bissektris, AKO - prostokątny, SIN \u003d SIN 30 O \u003d , Ao \u003d 6, AN \u003d AK \u003d \u003d 3, AC \u003d 3 + 3, TG 60 O \u003d, CB \u003d S abc \u003d. = Odpowiedź: s \u003d cm2.

3. Trójkąt obwodowy 84. Punkt dotykowy z napisanego kółka dzieli jedną z boków do segmentów 12 i 14. Znajdź promień wypisanego okręgu i obszaru ABC, jeśli OV \u003d 18, O jest środkiem wpisanych okrąg.

4. W równie przykutym trójkącie odległość od środka wpisanego okręgu do wierzchołka bez równego kąta wynosi 5 cm. Otoczenie wynosi 10 cm. Znajdź promień wypisanego okręgu.

Ob \u003d 5, , Om \u003d ob. . = , Bh \u003d 5 + r, AH \u003d 2R, AHB - prostokątny, 4R 2 \u003d 100 - (5 + R) 2, R2 + 2R - 15 \u003d 0, R1 \u003d - 5, R2 \u003d 3 Odpowiedź: r \u003d 3 cm.

5. Podstawa trójkąta równo wielkości, wpisana w kręgu promienia 5 cm, wynosi 6 cm. Znajdź obwód trójkąta.

AHO - prostokątny: OH \u003d 4, BH \u003d 4 + 5 \u003d 9, Ab \u003d bc \u003d \u003d \u003d P \u003d. Odpowiedź: p \u003d cm.

6. Obwód trójkąta ABC wynosi 72 cm. AB \u003d BC, AB: AC \u003d 13:10. Znajdź promień opisany w pobliżu trójkąta koła.

AB + BC + AC \u003d 72, , AC \u003d 20, AB \u003d BC \u003d \u003d 26, BH \u003d 24 Bn \u003d na \u003d 13, , R \u003d. Odpowiedź: r \u003d cm.

7. Podstawą głupiego laskowego trójkąta wynosi 24 cm, a promień opisanego okręgu wynosi 13 cm. Znajdź stronę boczną trójkąta.

8. Okrąg, którego średnica obsługuje trójkąt ABS, przechodzi przez punkt przecięcia mediany tego trójkąta. Znajdź stosunek długości boku AC na długość mediany wydanego na nim.

Ao \u003d oc \u003d r \u003d om, bm \u003d 2r, Bo \u003d 3r, Odpowiedź:.

9. Znajdź obszar równy trapezu opisany w pobliżu okręgu o promieniu 4, jeśli wiadomo, że boczna strona trapezu jest równa 10.

S abcd \u003d. Dlatego Krąg wpisany, a następnie AB + CD \u003d AD + BC \u003d 20 H \u003d 2r \u003d 8, , S ABCD \u003d 10 8 \u003d 80 Odpowiedź: 80.

10. Dan Rhombd ABCD. Okrąg opisany w pobliżu trójkąta ABD przekracza dużą przekątną rhombus AC w \u200b\u200bpunkcie E. Znajdź CE, jeśli AB \u003d, BD \u003d 16.

IV. Zadania samodzielny.

1. Promień koła, wpisany w trójkąt prostokątny, wynosi 2 cm, a promień opisany okręgu wynosi 5 cm. Znajdź większą trójkątę.

Odpowiedź: (6; 8).

2. W pobliżu podlegającego się trójkącie z podstawą AC i kąt u podstawy 75. opisuje okrąg z centrum O. Znajdź jego promień, jeśli obszar trójkąta jest równy 16.

Odpowiedź: (8).

3. Znajdź promień ronda zawarty w ostrym trójkącie ABC, jeśli wysokość BH ma 12 i wiadomo, że.

Odpowiedź: (4).

4. Jedna z cewek prostokątnego trójkąta wynosi 15, a projekcja drugiej kategorii na temat hipotenusa wynosi 16. Zlokalizuj średnicę koła opisanej w pobliżu tego trójkąta.

Odpowiedź: (25).

5. Obwód jest wpisany w równo przewodniczo trójkąt. Równolegle jego podstawa AU przeprowadzono styczna do kręgu, przekraczono boki w punktach D i E. Znajdź promień koła, jeśli DE \u003d 8, AC \u003d 18.

Odpowiedź: (6).

6. Opisano w pobliżu trójkąta ABC. Mediana trójkąta AM rozszerza się na skrzyżowanie z kręgu w punkcie K. Znajdź stronę AC, jeśli AM \u003d 18, MK \u003d 8, BK \u003d 10.

Odpowiedź: (15).

7. Okrąg wpisany w trójkąt równowagi dotyczy bocznych boków w punktach K i A. punkt K dzieli bok tego trójkąta na segmentach 15 i 10, licząc z podstawy. Znajdź długość długości ca.

Odpowiedź: (12).

8. Kąt w trójkącie ABS wynosi 60 o, promień okręgu opisanego o ABC jest 2, aby znaleźć promień koła przechodzącego przez punkty A i C, a środkiem okręgu wpisane w ABC.

Odpowiedź: (2).

9. Boki trójkąta są równe 5, 6 i 7. Znajdź stosunek segmentów, do których waga większy kąt tego trójkąta dzieli się przez środek okręgu wpisany w trójkąta.

Odpowiedź: (11: 7).

10. Promień koła, wpisany w trójkąt prostokątny, jest równy trwałości jej cewetów. Znajdź stosunek większej kategorii do mniejszej.

. Znajdź hipotenuse i promień okręgu opisany w pobliżu trójkąta.

Jeśli wszystkie strony wielokąt dotykają koła, obwód jest nazywany wpisany w wielokąti wielokąt - opisany W pobliżu tego kręgu. Na rysunku 231, czworokąt EFMN jest opisany w pobliżu okręgu z środkiem O, a DKMN CCtorroller nie jest opisany w pobliżu tego obwodu, ponieważ strona DK nie ma zastosowania do okręgu.

Figa. 231.

Na rysunku 232 trójkąt ABC jest opisany w pobliżu okręgu z centrum O.

Figa. 232.

Udowodni, że twierdzenie o kółku wpisanym w trójkąta.

Twierdzenie

Dowód

Rozważmy arbitralny trójkąt ABC i oznacza literę na punkcie przecięcia jego dworca. Wytnij z punktu prostopadłego OK, OL i OH, odpowiednio, do stron AV, Słońca i CA (patrz Rys. 232). Ponieważ punkt jest równy z boku trójkąta ABC, a następnie OK \u003d OL \u003d OHM. Dlatego okrąg z centrum Radius OK przechodzi przez punkty K, L i M. Boki trójkąta ABC dotyka tego kręgu w punktach do, L, M, ponieważ są prostopadły do \u200b\u200bpromienia OK, OL i OM. Tak więc okrąg z centrum promienia OK jest wpisany w trójkąt ABC. Twierdzenie jest udowodnione.

Notatka 1.

Zauważ, że tylko jeden koło może wejść do trójkąta.

W rzeczywistości powiedzmy, że w trójkącie możesz wejść do dwóch kół. Następnie środek każdego okręgu jest równoznaczny z boków trójkąta, a oznacza to, że punkt przekraczania bisektora trójkąta jest zbiegł, a promień jest równy odległości od punktu boku trójkąta. W związku z tym kręgi te pokrywają się.

Uwaga 2.

Odwróćmy się do Rysunku 232. Widzimy, że trójkąt ABC składa się z trzech trójkątów: ABO i Sao. Jeśli w każdym z tych trójkątów podejmuje zasadę boku trójkąta ABC, a następnie promień okręgu wpisany w trójkąta ABC będzie wysokością. Dlatego obszar Siangle ABC jest wyrażony przez formułę

W ten sposób,

Uwaga 3.

W przeciwieństwie do trójkąta nie w każdym czworocie może wejść do okręgu.

Rozważmy, na przykład, prostokąt, w którym sąsiednie boki nie są równe, czyli prostokąt, który nie jest kwadratowy. Jest oczywiste, że w takim prostokącie możesz "umieścić" okrąg związany z trzema stronami (Rys. 233, A), ale niemożliwe jest "umieścić" kręgu, aby dotyczy wszystkich czterech stron, to jest, nie możesz wejść do koła. Jeśli możesz wprowadzić koło do czcionki, jego strony mają następującą wspaniałą nieruchomość:

Figa. 233.

Ta właściwość jest łatwa do zainstalowania, przy użyciu rysunku 233, B, na której te same litery są oznaczone równymi segmentami styczników. W rzeczywistości AV + CD \u003d A + B + C + D, samolot + AD-A + B + C + D, Dlatego AV + CD \u003d Aircraft + AD. Okazuje się, że przeciwne oświadczenie jest również prawdziwe.

Opisany okrąg

Jeśli wszystkie blaty wielokąt leżą na okręgu, obwód jest nazywany opisany W pobliżu wielokąta i wielokąt - wpisany W tym kręgu. Na rysunku 234, QUADRIL ABCD jest wprowadzany do okręgu z centrum OH, a czworobok AECD nie jest wpisany w tym kręgu, ponieważ wierzchołek E nie leży na okręgu.

Figa. 234.

Trójkąt ABC na rysunku 235 jest wpisany w kręgu z centrum O.

Figa. 235.

Udowodni, że twierdzenie o kręgu opisanym w pobliżu trójkąta.

Twierdzenie

Dowód

Rozważ dowolną trójkątę ABC. Oznaczają list na punkcie przecięcia środka prostopadle do swoich stron i przeprowadzić segmenty OA, OB i OS (rys. 235). Ponieważ punkt jest równoznaczny z wierzchołków trójkąta ABC, a następnie o A \u003d OS \u003d OS. Dlatego krąg z centrum promienia OA przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta, a oznacza to opisane w pobliżu trójkąta ABC. Twierdzenie jest udowodnione.

Notatka 1.

Zwróć uwagę na to w pobliżu trójkąta można opisać tylko przez jedno krąg..

W rzeczywistości zakładamy, że w pobliżu trójkąta możesz opisać dwa koła. Następnie środek każdego z nich jest równy jej wierzchołkom, a zatem zbiega się z punktem przecięcia środkowych prostopadłych do boków trójkąta, a promień jest równy odległości od punktu wierzchołków trójkąta. W związku z tym kręgi te pokrywają się.

Uwaga 2.

W przeciwieństwie do trójkąta o kwadril nie zawsze można opisać koło.

Na przykład niemożliwe jest opisy okręgu w pobliżu romb, który nie jest kwadratem (wyjaśnij dlaczego). Jeśli możesz opisać koło o Quadril, to jego rogi mają następującą wspaniałą nieruchomość:

Ta właściwość jest łatwa w instalacji, jeśli patrz rysunek 236 i użyj włożonego twierdzenia narożnego. W rzeczy samej,

gdzie następuje

Figa. 236.

Okazuje się prawdziwe i odwrotnie:

Zadania

689. W równie przykutym trójkącie, podstawa wynosi 10 cm, a boczna strona wynosi 13 cm. Znajdź promień okręgu wpisany w ten trójkąt.

690. Znajdź podstawę trójkąta w anosie, jeśli centrum wpisane w nim dzieli wysokość prowadzoną do podstawy w stosunku do 12: 5, licząc z wierzchołka, a strona boczna wynosi 60 cm.

691. Punkt dotykający okręgu wpisany w trójkąt równowagi, dzieli jedną z bocznych boków do segmentów równych 3 cm i 4 cm, licząc z podstawy. Znajdź obwód trójkąta.

692. Okrąg jest wpisany w trójkąt ABC, który dotyczy stron AV, Słońca i CA w punktach P, Q i R. Znajdź Ar, RV, BQ, QC, SV, RA, jeśli AV \u003d 10 cm, Sun \u003d 12 cm, SA \u003d 5 cm.

693. W prostokątnym trójkącie krąg promienia jest wpisany na obwód trójkąta, jeśli: a) hipotenus jest 26 cm, r \u003d 4 cm; b) Punkt dotykowy dzieli hipotenuse na segmentach równych 5 cm i 12 cm.

694. Zlokalizuj średnicę koła, wpisane w trójkąt prostokątny, jeśli hipotenoza trójkąta jest równa C, a ilość cewek jest równa m.

695. Suma dwóch przeciwległych stron opisanych czterrateralnej wynosi 15 cm. Znajdź obwód tego czułego.

696. Udowodnij, że jeśli możesz wprowadzić koło w równoległobokach, ten równoległobok jest romb.

697. Udowodnij, że obszar opisanego wielokąta jest równa połowie pracy jego obwodu na promieniu wpisanego okręgu.

698. Suma dwóch przeciwległych stron opisanych czterrateralnej wynosi 12 cm, a promień wpisany w niej 5 cm. Znajdź obszar czwartej.

699. Suma dwóch przeciwległych stron opisanej czworobiernika wynosi 10 cm, a jego powierzchnia wynosi 12 cm2. Znajdź promień ronda, wpisany w tym czworocie.

700. Udowodnij, że w każdym romb możesz wprowadzić koło.

701. Poinstruuj trzy trójkąty: ostry, prostokątny i głupi. W każdym z nich wprowadź krąg.

702. Trójkąt ABC jest wpisany do kręgu, aby AV jest średnicą koła. Znajdź rogi trójkąta, jeśli: a) BC \u003d 134 °; b) AC \u003d 70 °.

703. Faktury ABC jest przykuty trójkąt z podstawą samolotu. Znajdź rogi trójkąta, jeśli słońce \u003d 102 °.

704. Okrąg z centrum O jest opisany w pobliżu prostokątnego trójkąta. a) Udowodnij, że punkt jest środkiem hipotenusa. b) Znajdź boki trójkąta, jeśli średnica koła jest równa D i jeden z ostre rogi Trójkąt jest równy α.

705. W pobliżu trójkąta prostokątnego ABC z bezpośrednim kątem z okręgiem. Znajdź promień tego kręgu, jeśli: a) AC \u003d 8 cm, Sun \u003d 6 cm; b) AC \u003d 18 cm, ∠b \u003d 30 °.

706. Znajdź stronę trójkąta równobocznego, jeśli promień obwodu opisanego w pobliżu wynosi 10 cm.

707. Kąt, przeciwna baza trójkąta wiązanego wynosi 120 °, boczna strona trójkąta wynosi 8 cm. Znajdź średnicę koła opisanej w pobliżu tego trójkąta.

708. Udowodnij, że możesz opisać koło: a) w pobliżu dowolnego prostokąta; b) w pobliżu dowolnego trapezu anaulicznego.

709. Udowodnij, że jeśli chodzi o równoległobok może opisać koło, a następnie równoległek jest prostokątem.

710. Udowodnij, że jeśli krąg można opisać w pobliżu trapezu, to trapez jest wolny.

711. Wpisz trzy trójkąty: głupie, prostokątne i równoboczne. Dla każdego z nich zbuduj opisany okrąg.