Każda pochodna cząstkowa (wg X i przez y) funkcji dwóch zmiennych jest pochodną zwyczajną funkcji jednej zmiennej dla ustalonej wartości drugiej zmiennej:

(Gdzie y= stała),

(Gdzie X= stała).

Dlatego pochodne cząstkowe oblicza się za pomocą wzory i zasady obliczania pochodnych funkcji jednej zmiennej, biorąc pod uwagę stałą innej zmiennej.

Jeśli nie potrzebujesz analizy przykładów i wymaganego do tego minimum teorii, a jedynie rozwiązania swojego problemu, to przejdź do kalkulator pochodnej cząstkowej online .

Jeśli ciężko jest się skoncentrować, aby śledzić, gdzie w funkcji znajduje się stała, to w projekcie rozwiązania przykładu zamiast zmiennej o ustalonej wartości można podstawić dowolną liczbę - wtedy można szybko obliczyć pochodną cząstkową jako zwykła pochodna funkcji jednej zmiennej. Trzeba tylko pamiętać o zwróceniu stałej (zmiennej o ustalonej wartości) na jej miejsce po zakończeniu ostatecznego projektu.

Opisana powyżej właściwość pochodnych cząstkowych wynika z definicji pochodnej cząstkowej, która może pojawić się w pytaniach egzaminacyjnych. Dlatego też, aby zapoznać się z poniższą definicją, można otworzyć odnośnik teoretyczny.

Pojęcie ciągłości funkcji z= F(X, y) w punkcie definiuje się podobnie do tego pojęcia dla funkcji jednej zmiennej.

Funkcjonować z = F(X, y) nazywa się ciągłym w punkcie jeśli

Różnicę (2) nazywa się całkowitym przyrostem funkcji z(uzyskuje się go w wyniku przyrostów obu argumentów).

Niech będzie podana funkcja z= F(X, y) i kropka

Jeśli funkcja się zmieni z występuje, gdy zmienia się tylko jeden z argumentów, np. X, ze stałą wartością innego argumentu y, wówczas funkcja otrzyma przyrost

zwany częściowym przyrostem funkcji F(X, y) Przez X.

Rozważam zmianę funkcji z w zależności od zmiany tylko jednego z argumentów, efektywnie przechodzimy na funkcję jednej zmiennej.

Jeśli istnieje skończona granica

wówczas nazywa się to pochodną cząstkową funkcji F(X, y) za pomocą argumentu X i jest oznaczony jednym z symboli

(4)

W podobny sposób określa się przyrost częściowy z Przez y:

i pochodna cząstkowa F(X, y) Przez y:

(6)

Przykład 1.

Rozwiązanie. Znajdujemy pochodną cząstkową względem zmiennej „x”:

(y naprawił);

Znajdujemy pochodną cząstkową względem zmiennej „y”:

(X naprawił).

Jak widać nie ma znaczenia w jakim stopniu zmienna jest stała: w tym przypadku po prostu pewna liczba jest czynnikiem (jak w przypadku pochodnej zwykłej) zmiennej, z którą znajdziemy pochodną cząstkową . Jeśli zmienna stała nie zostanie pomnożona przez zmienną, z którą znajdziemy pochodną cząstkową, to ta samotna stała, niezależnie od tego, w jakim stopniu, jak w przypadku pochodnej zwykłej, zniknie.

Przykład 2. Biorąc pod uwagę funkcję

Znajdź pochodne cząstkowe

(przez X) i (przez Y) i obliczyć ich wartości w punkcie A (1; 2).

Rozwiązanie. Na stałe y pochodną pierwszego wyrazu wyznaczamy jako pochodną funkcji potęgowej ( tabela funkcji pochodnych jednej zmiennej):

.

Na stałe X pochodną pierwszego wyrazu wyznaczamy jako pochodną funkcji wykładniczej, a drugiego - jako pochodną stałej:

Obliczmy teraz wartości tych pochodnych cząstkowych w punkcie A (1; 2):

Rozwiązanie problemów z pochodnymi cząstkowymi możesz sprawdzić na stronie kalkulator pochodnej cząstkowej online .

Przykład 3. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji

Rozwiązanie. W jednym kroku znajdziemy

(y X, tak jakby argumentem sinusa było 5 X: analogicznie przed znakiem funkcji pojawia się 5);

(X jest stała i w tym przypadku jest mnożnikiem przy y).

Rozwiązanie problemów z pochodnymi cząstkowymi możesz sprawdzić na stronie kalkulator pochodnej cząstkowej online .

W podobny sposób definiuje się pochodne cząstkowe funkcji trzech lub więcej zmiennych.

Jeśli każdy zestaw wartości ( X; y; ...; T) zmienne niezależne ze zbioru D odpowiada jednej konkretnej wartości ty od wielu mi, To ty nazywana funkcją zmiennych X, y, ..., T i oznaczać ty= F(X, y, ..., T).

Dla funkcji trzech lub więcej zmiennych nie ma interpretacji geometrycznej.

Wyznacza się i oblicza także pochodne cząstkowe funkcji kilku zmiennych przy założeniu, że zmienia się tylko jedna ze zmiennych niezależnych, a pozostałe są stałe.

Przykład 4. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji

.

Rozwiązanie. y I z naprawił:

X I z naprawił:

X I y naprawił:

Znajdź samodzielnie pochodne cząstkowe, a następnie spójrz na rozwiązania

Przykład 5.

Przykład 6. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji.

Pochodna cząstkowa funkcji kilku zmiennych ma to samo znaczenie mechaniczne jest takie samo jak pochodna funkcji jednej zmiennej, jest szybkością zmian funkcji względem zmiany jednego z argumentów.

Przykład 8. Ilościowa wartość przepływu P pasażerów kolei można wyrazić funkcją

Gdzie P- Liczba pasażerów, N– liczba mieszkańców punktów korespondencyjnych, R– odległość pomiędzy punktami.

Pochodna cząstkowa funkcji P Przez R, równy

pokazuje, że spadek potoku pasażerów jest odwrotnie proporcjonalny do kwadratu odległości pomiędzy odpowiednimi punktami o tej samej liczbie mieszkańców w punktach.

Pochodna częściowa P Przez N, równy

pokazuje, że wzrost potoku pasażerskiego jest proporcjonalny do dwukrotnej liczby mieszkańców miejscowości położonych w tej samej odległości między punktami.

Rozwiązanie problemów z pochodnymi cząstkowymi możesz sprawdzić na stronie kalkulator pochodnej cząstkowej online .

Pełny mechanizm różnicowy

Iloczyn pochodnej cząstkowej i przyrostu odpowiedniej zmiennej niezależnej nazywa się różniczką cząstkową. Różnice częściowe oznacza się następująco:

Suma różnic cząstkowych wszystkich zmiennych niezależnych daje różnicę całkowitą. Dla funkcji dwóch zmiennych niezależnych całkowitą różnicę wyraża się przez równość

(7)

Przykład 9. Znajdź całkowitą różnicę funkcji

Rozwiązanie. Wynik zastosowania wzoru (7):

Funkcję, która ma różnicę całkowitą w każdym punkcie pewnej dziedziny, nazywamy różniczkowalną w tej dziedzinie.

Znajdź samodzielnie różnicę całkowitą, a następnie spójrz na rozwiązanie

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, różniczkowalność funkcji w pewnej dziedzinie implikuje jej ciągłość w tej dziedzinie, ale nie odwrotnie.

Sformułujmy bez dowodu warunek wystarczający na różniczkowalność funkcji.

Twierdzenie. Jeśli funkcja z= F(X, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe

w danym obszarze, to jest on różniczkowalny w tym obszarze i jego różniczkę wyraża się wzorem (7).

Można wykazać, że podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, różniczką funkcji jest główna liniowa część przyrostu funkcji, tak w przypadku funkcji kilku zmiennych, różnica całkowita wynosi główna, liniowa względem przyrostów zmiennych niezależnych, część całkowitego przyrostu funkcji.

Dla funkcji dwóch zmiennych całkowity przyrost funkcji ma postać

(8)

gdzie α i β są nieskończenie małe w i .

Pochodne cząstkowe wyższego rzędu

Pochodne cząstkowe i funkcje F(X, y) same w sobie są pewnymi funkcjami tych samych zmiennych i z kolei mogą mieć pochodne względem różnych zmiennych, które nazywane są pochodnymi cząstkowymi wyższych rzędów.

Pojęcie funkcji wielu zmiennych

Niech będzie n-zmiennych i każdemu x 1, x 2 ... x n z pewnego zbioru x przypisana jest definicja. liczbę Z, wówczas na zbiorze x dana jest funkcja Z = f (x 1, x 2 ... x n) wielu zmiennych.

X – obszar definicji funkcji

x 1, x 2 ... x n – zmienna niezależna (argumenty)

Z – funkcja Przykład: Z=P x 2 1 *x 2 (Objętość cylindra)

Rozważmy Z=f(x;y) – funkcję 2 zmiennych (x 1, x 2 zastąpione przez x,y). Wyniki przenoszone są przez analogię na inne funkcje wielu zmiennych. Obszarem do określenia funkcji 2 zmiennych jest cały sznur (oh) lub jego część. Liczba wartości funkcji 2 zmiennych jest powierzchnią w przestrzeni trójwymiarowej.

Techniki konstruowania wykresów: - Rozważ przekrój powierzchni w kwadratach || współrzędne kwadratów.

Przykład: x = x 0, zn. kwadrat X || 0уz y = y 0 0хz Typ funkcji: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

Na przykład: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Otoczenie paraboli (środek (0,1)

Granice i ciągłość funkcji dwóch zmiennych

Niech będzie dane Z=f(x;y), wówczas A będzie granicą funkcji w t.(x 0 ,y 0), jeśli dla dowolnego dowolnie małego zbioru. liczba E>0 jest liczbą dodatnią b>0, która dla wszystkich x, y spełniających |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y) jest ciągłe w t. (x 0 ,y 0) jeżeli: - jest określone w tym t.; - ma finał granica przy x, zmierzająca do x 0 i y do y 0; - ten limit = wartość

funkcje w t. (x 0 ,y 0), tj. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

Jeśli funkcja jest ciągła w każdym t. mn-va X, to jest ciągły w tym obszarze

Funkcja różniczkowa, jej znaczenie geometryczne. Zastosowanie różniczki w wartościach przybliżonych.

dy=f’(x)∆x – funkcja różniczkowa

dy=dx, tj. dy=f ’(x)dx jeśli y=x

Z geologicznego punktu widzenia różniczka funkcji jest przyrostem rzędnej stycznej narysowanej do wykresu funkcji w punkcie z odciętą x 0

Dif-l służy do obliczania ok. wartości funkcji według wzoru: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Im bliżej ∆x jest x, tym dokładniejszy jest wynik

Pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu

Pochodna pierwszego rzędu (która nazywa się cząstkowa)

A. Niech x, y będą przyrostami zmiennych niezależnych x i y w pewnym punkcie obszaru X. Wtedy wartość z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y) nazywana jest sumą przyrost w punkcie x 0, y 0. Jeśli ustalimy zmienną x i podamy przyrost y zmiennej y, otrzymamy zу = f(x,y,+ y) – f(x,y)

W podobny sposób wyznacza się pochodną cząstkową zmiennej y, tj.

Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych wyznacza się według tych samych zasad, co w przypadku funkcji jednej zmiennej.

Różnica polega na tym, że różniczkując funkcję ze względu na zmienną x, y uważa się za stałą, a przy różniczkowaniu ze względu na y, x uważa się za stałą.

Izolowane stałe są połączone z funkcją za pomocą operacji dodawania/odejmowania.

Stałe związane łączy się z funkcją za pomocą operacji mnożenia/dzielenia.

Pochodna izolowanej stałej = 0

1.4.Pełna funkcja różniczkowa dwóch zmiennych i jej zastosowania

Niech więc z = f(x,y).

tz = - zwany pełnym przyrostem

Pochodna cząstkowa drugiego rzędu

Dla funkcji ciągłych 2 zmiennych mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu pokrywają się.

Zastosowanie pochodnych cząstkowych do wyznaczania pochodnych cząstkowych funkcji max i min nazywane jest ekstremami.

A. Punkty nazywane są max lub min z = f(x,y), jeśli istnieją takie odcinki, że dla wszystkich x i y z tego sąsiedztwa f(x,y)

T. Jeżeli dane jest ekstremum funkcji 2 zmiennych, to wartość pochodnych cząstkowych w tym punkcie jest równa 0, tj. ,

Punkty, w których pochodne cząstkowe pierwszego rzędu nazywane są stacjonarnymi lub krytycznymi.

Dlatego, aby znaleźć ekstrema funkcji 2 zmiennych, stosuje się warunki ekstremalne wystarczające.

Niech funkcja z = f(x,y) będzie dwukrotnie różniczkowalna i będzie punktem stacjonarnym,

1) i maksA<0, minA>0.

1.4.(*)Pełny mechanizm różnicowy. Geometryczne znaczenie różniczki. Zastosowanie różniczki w obliczeniach przybliżonych

A. Niech będzie zdefiniowana funkcja y = f(x) w pewnym sąsiedztwie punktów. Mówi się, że funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie, jeśli jej przyrost w tym punkcie jest różniczkowalny , gdzie jest on przedstawiony w postaci (1)

Gdzie A jest stałą wartością niezależną od , w ustalonym punkcie x i jest nieskończenie mała w . Względnie liniowa funkcja A nazywana jest różniczką funkcji f(x) w punkcie i oznaczana df() lub dy.

Zatem wyrażenie (1) można zapisać jako ().

Różniczka funkcji w wyrażeniu (1) ma postać dy = A. Jak każda funkcja liniowa, jest ona definiowana dla dowolnej wartości natomiast przyrost funkcji należy rozpatrywać tylko dla tych, dla których + należy do dziedziny definicji funkcji f(x).

Dla wygody zapisywania różniczki przyrost oznacza się przez dx i nazywa się różnicą zmiennej niezależnej x. Dlatego różnicę zapisuje się jako dy = Adx.

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w każdym punkcie pewnego przedziału, to jej różniczka jest funkcją dwóch zmiennych – punktu x i zmiennej dx:

T. Aby funkcja y = g(x) była w pewnym punkcie różniczkowalna, konieczne i wystarczające jest, aby w tym miejscu miała pochodną, ​​oraz

(*)Dowód. Konieczność.

Niech funkcja f(x) będzie różniczkowalna w punkcie, tj. . Następnie

Zatem pochodna f’() istnieje i jest równa A. Stąd dy = f’()dx

Adekwatność.

Niech będzie pochodna f’(), tj. = f'(). Wtedy krzywa y = f(x) jest odcinkiem stycznym. Aby obliczyć wartość funkcji w punkcie x, weźmy punkt w pewnym jego sąsiedztwie, tak że nie jest trudno znaleźć f() i f’()/

Niech będzie podana funkcja. Ponieważ x i y są zmiennymi niezależnymi, jedna z nich może się zmienić, podczas gdy druga zachowuje swoją wartość. Dajmy zmiennej niezależnej x przyrost, zachowując wartość y bez zmian. Wtedy z otrzyma przyrost, który nazywany jest częściowym przyrostem z względem x i jest oznaczony jako . Więc, .

Podobnie otrzymujemy częściowy przyrost z przez y: .

Całkowity przyrost funkcji z jest określony przez równość .

Jeżeli istnieje granica, to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji w punkcie względem zmiennej x i oznacza się jednym z symboli:

.

Pochodne cząstkowe względem x w punkcie są zwykle oznaczone symbolami .

Pochodna cząstkowa względem zmiennej y jest zdefiniowana i oznaczona w podobny sposób:

Zatem pochodną cząstkową funkcji kilku (dwóch, trzech lub więcej) zmiennych definiuje się jako pochodną funkcji jednej z tych zmiennych, pod warunkiem, że wartości pozostałych zmiennych niezależnych są stałe. Dlatego pochodne cząstkowe funkcji wyznacza się, korzystając ze wzorów i zasad obliczania pochodnych funkcji jednej zmiennej (w tym przypadku odpowiednio x lub y uważa się za wartość stałą).

Pochodne cząstkowe nazywane są pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu. Można je uznać za funkcje . Funkcje te mogą mieć pochodne cząstkowe, zwane pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu. Są one zdefiniowane i oznaczone w następujący sposób:

; ;

; .

Różniczki pierwszego i drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych.

Różniczkę całkowitą funkcji (wzór 2.5) nazywamy różniczką pierwszego rzędu.

Wzór na obliczenie całkowitej różnicy jest następujący:

(2.5) lub , Gdzie ,

różniczki cząstkowe funkcji.

Niech funkcja ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Różnicę drugiego rzędu określa się ze wzoru. Znajdźmy to:

Stąd: . Symbolicznie jest to napisane tak:

.

CAŁKA NIEOkreślona.

Funkcja pierwotna funkcji, całka nieoznaczona, własności.

Wywołuje się funkcję F(x). funkcja pierwotna dla danej funkcji f(x), jeśli F"(x)=f(x), lub, co jest tym samym, jeśli dF(x)=f(x)dx.

Twierdzenie. Jeśli funkcja f(x), określona w pewnym przedziale (X) o skończonej lub nieskończonej długości, ma jedną funkcję pierwotną F(x), to ma również nieskończenie wiele funkcji pierwotnych; wszystkie zawarte są w wyrażeniu F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji f(x), określonych w pewnym przedziale lub na odcinku o skończonej lub nieskończonej długości, nazywa się Całka nieoznaczona z funkcji f(x) [lub z wyrażenia f(x)dx ] i jest oznaczone symbolem .

Jeżeli F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych f(x), to zgodnie z twierdzeniem o funkcji pierwotnej

, gdzie C jest dowolną stałą.

Z definicji funkcji pierwotnej F"(x)=f(x), a zatem dF(x)=f(x) dx. We wzorze (7.1) f(x) nazywa się funkcją całkową, a f( x) dx nazywa się wyrażeniem całkowym.

Podsumujmy, czym różni się znajdowanie pochodnych cząstkowych od znajdowania „zwykłych” pochodnych funkcji jednej zmiennej:

1) Kiedy znajdziemy pochodną cząstkową, To zmienny uważa się za stałą.

2) Kiedy znajdziemy pochodną cząstkową, To zmienny uważa się za stałą.

3) Reguły i tabela pochodnych funkcji elementarnych obowiązują i mają zastosowanie do dowolnej zmiennej ( , lub inny), za pomocą którego przeprowadza się różnicowanie.

Krok drugi. Znajdujemy pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Jest ich czterech.

Oznaczenia:

Lub – druga pochodna po „x”

Lub – druga pochodna względem „Y”

Lub - mieszany pochodna „by x igrek”

Lub - mieszany pochodna „by igrek x”

W pojęciu drugiej pochodnej nie ma nic skomplikowanego. W prostych słowach, druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej.

Dla jasności przepiszę już znalezione pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

Najpierw znajdźmy pochodne mieszane:

Jak widać wszystko jest proste: bierzemy pochodną cząstkową i różniczkujemy ją jeszcze raz, ale w tym przypadku - tym razem po „Y”.

Podobnie:

Dla praktycznych przykładów, gdy wszystkie pochodne cząstkowe są ciągłe, zachodzi następująca równość:

Zatem za pomocą pochodnych mieszanych drugiego rzędu bardzo wygodnie jest sprawdzić, czy poprawnie znaleźliśmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Znajdź drugą pochodną względem „x”.

Żadnych wynalazków, weźmy to i różniczkuj go ponownie przez „x”:

Podobnie:

Należy zauważyć, że przy znalezieniu musisz pokazać zwiększona uwaga, ponieważ nie ma żadnych wspaniałych równości do sprawdzenia.

Przykład 2

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego i drugiego rzędu

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Po pewnym doświadczeniu pochodne cząstkowe z przykładów nr 1 i 2 zostaną przez Ciebie rozwiązane ustnie.

Przejdźmy do bardziej złożonych przykładów.

Przykład 3

Sprawdź to . Zapisz różnicę całkowitą pierwszego rzędu.

Rozwiązanie: Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

Zwróć uwagę na indeks dolny: , obok „X” nie wolno pisać w nawiasach, że jest to stała. Ta uwaga może być bardzo przydatna dla początkujących, aby ułatwić nawigację po rozwiązaniu.

Dalsze komentarze:

(1) Wszystkie stałe bierzemy poza znakiem pochodnej. W tym przypadku i , i dlatego ich iloczyn jest uważany za liczbę stałą.

(2) Nie zapomnij, jak prawidłowo różnicować korzenie.

(1) Wszystkie stałe usuwamy ze znaku pochodnej; w tym przypadku stała wynosi .

(2) Pod liczbą pierwszą pozostał nam iloczyn dwóch funkcji, dlatego musimy skorzystać z reguły różniczkowania iloczynu .

(3) Nie zapominaj, że jest to funkcja złożona (aczkolwiek najprostsza ze złożonych). Używamy odpowiedniej reguły: .

Teraz znajdujemy mieszane pochodne drugiego rzędu:

Oznacza to, że wszystkie obliczenia zostały wykonane poprawnie.

Zapiszmy całkowitą różnicę. W kontekście rozważanego zadania nie ma sensu mówić, jaka jest całkowita różniczka funkcji dwóch zmiennych. Ważne jest, aby tę różnicę bardzo często trzeba było zapisać w praktycznych zadaniach.

Całkowita różniczka pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych ma postać:

W tym przypadku:

Oznacza to, że wystarczy zastąpić już znalezione pochodne cząstkowe pierwszego rzędu we wzorze. W tej i podobnych sytuacjach najlepiej zapisać w licznikach znaki różniczkowe:

Przykład 4

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu . Sprawdź to . Zapisz różnicę całkowitą pierwszego rzędu.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i przykład problemu znajdują się na końcu lekcji.

Przyjrzyjmy się serii przykładów obejmujących złożone funkcje.

Przykład 5

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu.

(1) Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych . Z zajęć Pochodna funkcji zespolonej należy pamiętać o bardzo ważnym punkcie: kiedy zamieniamy sinus (funkcję zewnętrzną) na cosinus za pomocą tabeli, wówczas mamy osadzenie (funkcja wewnętrzna) nie zmienia.

(2) Korzystamy tu z własności pierwiastków: , ze znaku pochodnej wyciągamy stałą i pierwiastek przedstawiamy w postaci niezbędnej do różniczkowania.

Podobnie:

Zapiszmy całkowitą różnicę pierwszego rzędu:

Przykład 6

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu .

Zapisz całkowitą różnicę.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji). Nie podam pełnego rozwiązania, bo jest dość proste.

Dość często wszystkie powyższe zasady są stosowane w połączeniu.

Przykład 7

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu .

(1) Stosujemy zasadę różniczkowania sumy.

(2) Pierwszy termin w tym przypadku jest uważany za stały, ponieważ w wyrażeniu nie ma nic zależnego od „x” - tylko „y”.

(Wiesz, zawsze miło jest, gdy ułamek można zamienić na zero).

Dla drugiego członu stosujemy zasadę różnicowania produktów. Swoją drogą nic by się nie zmieniło w algorytmie, gdyby zamiast tego podano funkcję - ważne, że tu mamy iloczyn dwóch funkcji, z których KAŻDA zależy od „x”, więc musisz skorzystać z reguły różnicowania produktów. Dla trzeciego członu stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej.

Niech będzie dana funkcja dwóch zmiennych. Zwiększmy argument i pozostawmy argument bez zmian. Wtedy funkcja otrzyma przyrost, który nazywa się częściowym przyrostem przez zmienną i oznacza:

Podobnie ustalając argument i podając przyrost argumentu, otrzymujemy częściowy przyrost funkcji o zmienną:

Wielkość nazywa się całkowitym przyrostem funkcji w punkcie.

Definicja 4. Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych po jednej z tych zmiennych jest granica stosunku odpowiedniego przyrostu cząstkowego funkcji do przyrostu danej zmiennej, gdy ta ostatnia dąży do zera (jeżeli granica ta istnieje). Pochodną cząstkową oznacza się następująco: lub, lub.

Zatem z definicji mamy:

Pochodne cząstkowe funkcji oblicza się według tych samych zasad i wzorów, jak funkcję jednej zmiennej, biorąc pod uwagę, że różniczkując ze względu na zmienną, uważa się ją za stałą, a różniczkując ze względu na zmienną, za stałą .

Przykład 3. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji:

Rozwiązanie. a) Aby znaleźć, uważamy ją za wartość stałą i różniczkujemy ją jako funkcję jednej zmiennej:

Podobnie, zakładając stałą wartość, znajdujemy:

Definicja 5. Różniczka całkowita funkcji jest sumą iloczynów pochodnych cząstkowych tej funkcji i przyrostów odpowiednich zmiennych niezależnych, tj.

Biorąc pod uwagę, że różniczki zmiennych niezależnych pokrywają się z ich przyrostami, tj. , wzór na różnicę całkowitą można zapisać jako

Przykład 4. Znajdź całkowitą różnicę funkcji.

Rozwiązanie. Ponieważ, korzystając z całkowitego wzoru różniczkowego, znajdujemy

Pochodne cząstkowe wyższego rzędu

Pochodne cząstkowe nazywane są pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu lub pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.

Definicja 6. Pochodne cząstkowe funkcji drugiego rzędu to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu.

Istnieją cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Są one oznaczone w następujący sposób:

Podobnie definiuje się pochodne cząstkowe trzeciego, czwartego i wyższych rzędów. Przykładowo dla funkcji mamy:

Pochodne cząstkowe drugiego lub wyższego rzędu, wzięte względem różnych zmiennych, nazywane są mieszanymi pochodnymi cząstkowymi. W przypadku funkcji są to pochodne. Należy zauważyć, że w przypadku, gdy pochodne mieszane są ciągłe, zachodzi równość.

Przykład 5. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji drugiego rzędu

Rozwiązanie. Pochodne cząstkowe tej funkcji pierwszego rzędu można znaleźć w przykładzie 3:

Różniczkując po zmiennych x i y otrzymujemy