Definiții și semne ale sinusului, cosinusului, tangentei unui unghi. Cum să vă amintiți valorile cosinusurilor și sinusurilor punctelor principale ale cercului numeric Cerc trigonometric pozitiv și negativ

Mai simplu spus, acestea sunt legume fierte în apă după o rețetă specială. Voi lua în considerare două componente inițiale (salata de legume și apă) și rezultatul final - borș. Geometric, acesta poate fi reprezentat ca un dreptunghi în care o parte desemnează salată verde, cealaltă parte desemnează apă. Suma acestor două laturi va desemna borș. Diagonala și aria unui astfel de dreptunghi „borș” sunt concepte pur matematice și nu sunt niciodată folosite în rețetele de borș.

Cum se transformă salata verde și apa în borș în ceea ce privește matematica? Cum se poate transforma suma a două segmente în trigonometrie? Pentru a înțelege acest lucru, avem nevoie de funcții unghiulare liniare.

Nu veți găsi nimic despre funcțiile unghiulare liniare în manualele de matematică. Dar fără ele nu poate exista matematică. Legile matematicii, ca și legile naturii, funcționează indiferent dacă știm că există sau nu.

Funcțiile unghiulare liniare sunt legile adunării. Vedeți cum algebra se transformă în geometrie și geometria se transformă în trigonometrie.

Este posibil să faci fără funcții unghiulare liniare? Poți, pentru că matematicienii încă se descurcă fără ele. Smecheria matematicienilor constă în faptul că ei ne vorbesc întotdeauna doar despre acele probleme pe care ei înșiși le pot rezolva, și niciodată nu ne vorbesc despre acele probleme pe care nu le pot rezolva. Vedea. Dacă știm rezultatul adunării și al unui termen, folosim scăderea pentru a găsi celălalt termen. Tot. Nu cunoaștem alte probleme și nu suntem capabili să le rezolvăm. Ce să facem dacă știm doar rezultatul adunării și nu știm ambii termeni? În acest caz, rezultatul adunării trebuie descompus în doi termeni folosind funcții unghiulare liniare. În plus, noi înșine alegem ce poate fi un termen, iar funcțiile unghiulare liniare arată care ar trebui să fie al doilea termen pentru ca rezultatul adunării să fie exact ceea ce avem nevoie. Pot exista un număr infinit de astfel de perechi de termeni. În viața de zi cu zi, ne descurcăm foarte bine fără a descompune suma; scăderea ne este suficientă. Dar în studiile științifice ale legilor naturii, extinderea sumei în termeni poate fi foarte utilă.

O altă lege a adunării despre care matematicienii nu le place să vorbească (un alt truc al lor) impune ca termenii să aibă aceeași unitate de măsură. Pentru salată verde, apă și borș, acestea pot fi unități de greutate, volum, cost sau unitate de măsură.

Figura arată două niveluri de diferență pentru matematică. Primul nivel este diferențele din domeniul numerelor, care sunt indicate A, b, c. Asta fac matematicienii. Al doilea nivel este diferențele în zona unităților de măsură, care sunt afișate între paranteze drepte și sunt indicate prin litera U. Asta fac fizicienii. Putem înțelege al treilea nivel - diferențele în domeniul de aplicare al obiectelor descrise. Obiecte diferite pot avea același număr de aceleași unități de măsură. Cât de important este acest lucru, putem vedea din exemplul trigonometriei borș. Dacă adăugăm indicele la aceeași notație pentru unitățile de măsură ale diferitelor obiecte, putem spune exact ce mărime matematică descrie un anumit obiect și cum se modifică acesta în timp sau în legătură cu acțiunile noastre. scrisoare W Voi marca apa cu litera S Voi marca salata cu litera B- borș. Iată cum ar arăta funcțiile unghiului liniar pentru borș.

Dacă luăm o parte din apă și o parte din salată, împreună se vor transforma într-o porție de borș. Aici iti propun sa faci o mica pauza de la bors si sa iti amintesti de copilaria ta indepartata. Îți amintești cum am fost învățați să punem iepurași și rațe împreună? A fost necesar să se afle câte animale vor ieși. Atunci ce am fost învățați să facem? Am fost învățați să separăm unitățile de numere și să adunăm numere. Da, orice număr poate fi adăugat oricărui alt număr. Aceasta este o cale directă către autismul matematicii moderne - nu înțelegem ce, nu este clar de ce și înțelegem foarte prost cum se leagă asta cu realitatea, din cauza celor trei niveluri de diferență, matematicienii operează doar pe unul. Va fi mai corect să înveți cum să treci de la o unitate de măsură la alta.

Și iepurașii, rațele și animalele mici pot fi numărate în bucăți. O unitate de măsură comună pentru diferite obiecte ne permite să le adunăm. Aceasta este o versiune a problemei pentru copii. Să ne uităm la o problemă similară pentru adulți. Ce primești când adaugi iepurași și bani? Există două soluții posibile aici.

Prima varianta. Determinăm valoarea de piață a iepurașilor și o adăugăm la numerarul disponibil. Am obținut valoarea totală a averii noastre în termeni de bani.

A doua varianta. Puteți adăuga numărul de iepurași la numărul de bancnote pe care le avem. Vom obține cantitatea de bunuri mobile în bucăți.

După cum puteți vedea, aceeași lege de adunare vă permite să obțineți rezultate diferite. Totul depinde de exact ce vrem să știm.

Dar să revenim la borșul nostru. Acum putem vedea ce se va întâmpla cu diferite valori ale unghiului funcțiilor unghiului liniar.

Unghiul este zero. Avem salată, dar fără apă. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este, de asemenea, zero. Asta nu înseamnă deloc că zero borș este egal cu zero apă. Borșul zero poate fi și la zero salată (unghi drept).

Pentru mine personal, aceasta este principala dovadă matematică a faptului că . Zero nu schimbă numărul atunci când este adăugat. Acest lucru se datorează faptului că adăugarea în sine este imposibilă dacă există un singur termen și lipsește al doilea termen. Vă puteți raporta la asta după cum doriți, dar amintiți-vă - toate operațiile matematice cu zero au fost inventate de matematicieni înșiși, așa că aruncați-vă logica și înghesuiți prostește definițiile inventate de matematicieni: „împărțirea cu zero este imposibilă”, „orice număr înmulțit cu zero”. este egal cu zero”, „în spatele punctului zero” și alte prostii. Este suficient să vă amintiți o dată că zero nu este un număr și nu veți avea niciodată o întrebare dacă zero este un număr natural sau nu, deoarece o astfel de întrebare pierde în general orice semnificație: cum se poate considera un număr ceea ce nu este un număr . Este ca și cum ai întreba ce culoare să-i atribui o culoare invizibilă. A adăuga zero la un număr este ca și cum ai picta cu vopsea care nu există. Au fluturat o pensulă uscată și spun tuturor că „am pictat”. Dar mă abatem puțin.

Unghiul este mai mare decât zero, dar mai mic de patruzeci și cinci de grade. Avem multă salată verde, dar puțină apă. Drept urmare, obținem un borș gros.

Unghiul este de patruzeci și cinci de grade. Avem cantități egale de apă și salată verde. Acesta este borșul perfect (fie ca bucătarii să mă ierte, e doar matematică).

Unghiul este mai mare de patruzeci și cinci de grade, dar mai mic de nouăzeci de grade. Avem multă apă și puțină salată verde. Luați borș lichid.

Unghi drept. Avem apă. Au rămas doar amintiri despre salată, în timp ce continuăm să măsurăm unghiul de la linia care a marcat cândva salata. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este zero. În acest caz, ține-te și bea apă cât este disponibilă)))

Aici. Ceva de genul. Pot spune și alte povești aici care vor fi mai mult decât potrivite aici.

Cei doi prieteni aveau cotele lor în afacerea comună. După uciderea unuia dintre ei, totul a mers către celălalt.

Apariția matematicii pe planeta noastră.

Toate aceste povești sunt spuse în limbajul matematicii folosind funcții unghiulare liniare. Altă dată vă voi arăta locul real al acestor funcții în structura matematicii. Între timp, să revenim la trigonometria borșului și să luăm în considerare proiecțiile.

Sâmbătă, 26 octombrie 2019

Am vizionat un videoclip interesant despre rândul lui Grandi Un minus unu plus unu minus unu - Numberphile. Matematicienii mint. Ei nu au efectuat un test de egalitate în raționamentul lor.

Acest lucru rezonează cu raționamentul meu despre .

Să aruncăm o privire mai atentă la semnele că matematicienii ne înșală. Chiar la începutul raționamentului, matematicienii spun că suma unei secvențe DEPINE dacă numărul de elemente din ea este par sau nu. Acesta este un FAPT STABILIT OBIECTIV. Ce se întâmplă în continuare?

În continuare, matematicienii scad șirul din unitate. La ce duce asta? Acest lucru duce la o modificare a numărului de elemente din succesiune - un număr par se schimbă într-un număr impar, un număr impar se schimbă într-un număr par. La urma urmei, am adăugat un element egal cu unul la secvență. În ciuda tuturor asemănărilor externe, succesiunea de dinaintea transformării nu este egală cu succesiunea de după transformare. Chiar dacă vorbim de o succesiune infinită, trebuie să ne amintim că o succesiune infinită cu un număr impar de elemente nu este egală cu o succesiune infinită cu un număr par de elemente.

Punând un semn egal între două secvențe diferite ca număr de elemente, matematicienii susțin că suma șirului NU DEPINE de numărul de elemente din șir, ceea ce contrazice un FAPT STABILIT OBIECTIV. Raționamentul suplimentar despre suma unei secvențe infinite este fals, deoarece se bazează pe o egalitate falsă.

Dacă vezi că matematicienii pun paranteze în cursul demonstrațiilor, rearanjează elementele unei expresii matematice, adaugă sau elimină ceva, fii foarte atent, cel mai probabil încearcă să te înșele. Asemenea conjurătorilor de cărți, matematicienii vă distrag atenția cu diverse manipulări ale expresiei pentru a vă oferi în cele din urmă un rezultat fals. Dacă nu poți repeta șmecheria cărților fără să cunoști secretul înșelăciunii, atunci în matematică totul este mult mai simplu: nici măcar nu bănuiești nimic despre înșelăciune, dar repetarea tuturor manipulărilor cu o expresie matematică îți permite să-i convingi pe alții de corectitudinea rezultatului, la fel ca atunci când v-am convins.

Întrebare din partea publicului: Și infinitul (ca număr de elemente din secvența S), este par sau impar? Cum poți schimba paritatea a ceva care nu are paritate?

Infinitul pentru matematicieni este ca Împărăția Cerurilor pentru preoți - nimeni nu a fost vreodată acolo, dar toată lumea știe exact cum funcționează totul acolo))) Sunt de acord, după moarte vei fi absolut indiferent dacă ai trăit un număr par sau impar de zile , dar ... Adăugând doar o zi la începutul vieții tale, vom obține o persoană complet diferită: numele lui de familie, prenumele și patronimul sunt exact aceleași, doar data nașterii este complet diferită - s-a născut unul cu o zi înaintea ta.

Și acum la obiect))) Să presupunem că o secvență finită care are paritate pierde această paritate atunci când merge la infinit. Atunci orice segment finit al unei secvențe infinite trebuie să-și piardă și paritatea. Noi nu observăm acest lucru. Faptul că nu putem spune cu certitudine dacă numărul de elemente dintr-o succesiune infinită este par sau impar, nu înseamnă deloc că paritatea a dispărut. Paritatea, dacă există, nu poate dispărea în infinit fără urmă, ca în mâneca unei cărți ascuțite. Există o analogie foarte bună pentru acest caz.

Ai întrebat vreodată un cuc care stă într-un ceas în ce direcție se rotește acul ceasului? Pentru ea, săgeata se rotește în direcția opusă a ceea ce numim „în sensul acelor de ceasornic”. Poate suna paradoxal, dar direcția de rotație depinde numai de partea din care observăm rotația. Și așa, avem o roată care se rotește. Nu putem spune în ce direcție are loc rotația, deoarece o putem observa atât dintr-o parte a planului de rotație, cât și din cealaltă. Nu putem decât să depunem mărturie despre faptul că există rotație. Analogie completă cu paritatea unei secvențe infinite S.

Acum să adăugăm o a doua roată rotativă, al cărei plan de rotație este paralel cu planul de rotație al primei roți rotative. Încă nu putem spune exact în ce direcție se învârt aceste roți, dar putem spune cu o certitudine absolută dacă ambele roți se învârt în aceeași direcție sau în direcții opuse. Compararea a două secvențe infinite Sși 1-S, am arătat cu ajutorul matematicii că aceste secvențe au paritate diferită și punerea unui semn egal între ele este o greșeală. Personal, cred în matematică, nu am încredere în matematicieni))) Apropo, pentru a înțelege pe deplin geometria transformărilor unor secvențe infinite, este necesar să introducem conceptul "simultaneitate". Acesta va trebui desenat.

miercuri, 7 august 2019

Încheind conversația despre , trebuie să luăm în considerare un set infinit. A dat prin faptul că conceptul de „infinit” acționează asupra matematicienilor, ca un boa constrictor asupra unui iepure. Oroarea tremurătoare a infinitului îi privează pe matematicieni de bunul simț. Iată un exemplu:

Se află sursa originală. Alfa denotă un număr real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu un set infinit de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate după cum urmează:

Pentru a-și demonstra vizual cazul, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe dansurile șamanilor cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele camere nu sunt ocupate și în ele sunt instalați noi oaspeți, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Mutarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră de oaspeți, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat prost, dar acesta va fi deja din categoria „legea nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.

Ce este un „hotel infinit”? Un han infinit este un han care are întotdeauna orice număr de locuri libere, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din holul nesfârșit „pentru vizitatori” sunt ocupate, mai există un hol nesfârșit cu camere pentru „oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. În același timp, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii, pe de altă parte, nu sunt capabili să se îndepărteze de problemele banale de zi cu zi: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna unul singur, hotelul este unul, coridorul este doar unul. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem cei neîmpinși”.

Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspundeți la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece noi înșine am inventat numerele, nu există numere în Natură. Da, Natura știe să numere perfect, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. După cum crede Natura, vă voi spune altă dată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Luați în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine unui adevărat om de știință.

Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe un raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și nu există de unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua o unitate din setul pe care l-am luat deja și o putem întoarce la raft. După aceea, putem lua o unitate de pe raft și o putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, obținem din nou un set infinit de numere naturale. Puteți scrie toate manipulările noastre astfel:

Am notat operațiile în notație algebrică și în notație în teoria mulțimilor, enumerând elementele mulțimii în detaliu. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată doar dacă din el se scade unul și se adaugă același.

Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raft. Subliniez – DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce primim:

Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă la o mulțime infinită se adaugă o altă mulțime infinită, rezultatul este o nouă mulțime infinită constând din elementele primelor două mulțimi.

Setul de numere naturale este folosit pentru numărare în același mod ca o riglă pentru măsurători. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi deja o linie diferită, nu egală cu originalul.

Puteți să acceptați sau să nu acceptați raționamentul meu - aceasta este treaba voastră. Dar dacă te confrunți vreodată cu probleme matematice, gândește-te dacă te afli pe calea raționamentului fals, călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, orele de matematică, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi ne adaugă abilități mentale (sau invers, ne privează de gândirea liberă).

pozg.ru

Duminică, 4 august 2019

Scriam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:

Citim: „... baza teoretică bogată a matematicii babiloniene nu avea un caracter holistic și s-a redus la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.

Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Este slab pentru noi să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am obținut următoarele:

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu are un caracter holistic și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și bază de dovezi.

Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic un întreg ciclu de publicații celor mai evidente gafe ale matematicii moderne. Ne vedem în curând.

Sâmbătă, 3 august 2019

Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură, care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Luați în considerare un exemplu.

Să avem multe DAR format din patru persoane. Acest set este format pe baza de „oameni” Să desemnăm elementele acestui set prin scrisoare A, indicele cu un număr va indica numărul ordinal al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „caracteristica sexuală” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului DAR pe gen b. Observați că setul nostru „oameni” a devenit acum setul „oameni cu gen”. După aceea, putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bm si de femei bw caracteristici de gen. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care este bărbat sau femeie. Dacă este prezent la o persoană, atunci îl înmulțim cu unul, dacă nu există un astfel de semn, îl înmulțim cu zero. Și apoi aplicăm matematica obișnuită a școlii. Vezi ce sa întâmplat.

După înmulțire, reduceri și rearanjamente, am obținut două submulțimi: submulțimea masculină bmși un subgrup de femei bw. Aproximativ în același mod în care matematicienii raționează atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne lasă să intrăm în detalii, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni sunt formați dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare, cât de corect a aplicat matematica în transformările de mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că de fapt transformările sunt făcute corect, este suficient să cunoașteți justificarea matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor secțiuni ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.

În ceea ce privește superseturile, este posibil să combinați două mulțimi într-un singur superset, alegând o unitate de măsură care este prezentă în elementele acestor două mulțimi.

După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac ca teoria mulțimilor să devină un lucru din trecut. Un semn că nu totul este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au făcut ceea ce şamanii au făcut cândva. Doar șamanii știu să-și aplice „corect” „cunoștințele”. Această „cunoaștere” ne-o învață.

În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice. ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.

Din punct de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, aceasta pare o încetinire a timpului până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel precedent. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limbajul lui Zeno, arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina fapta mișcării mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite de timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (desigur, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta) . Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.
Voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solid roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Așa se hrănește șamanii legându-și teoria seturilor de realitate.

Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid într-un coș cu fundă” și să unim aceste „întregi” după culoare, selectând elemente roșii. Avem o mulțime de „roșu”. Acum o întrebare dificilă: seturile primite „cu fundă” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa să fie.

Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „coșuri roșii solide cu fundă”. Formarea s-a desfășurat în funcție de patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (într-un cucui), decorațiuni (cu fundă). Doar un set de unități de măsură face posibilă descrierea adecvată a obiectelor reale în limbajul matematicii. Iată cum arată.

Litera „a” cu indici diferiți denotă unități de măsură diferite. În paranteze sunt evidențiate unități de măsură, conform cărora „întregul” este alocat în etapa preliminară. Unitatea de măsură, conform căreia se formează setul, este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansurile șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând cu „evidență”, deoarece unitățile de măsură nu sunt incluse în arsenalul lor „științific”.

Cu ajutorul unităților de măsură, este foarte ușor să spargi unul sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă la algebra acestui proces.

În ultima lecție, am stăpânit cu succes (sau am repetat - după cum îi place oricui) conceptele cheie ale tuturor trigonometriei. aceasta cerc trigonometric , unghi pe un cerc , sinusul și cosinusul acestui unghi și, de asemenea, stăpânit semnele funcţiilor trigonometrice în sferturi . Învățat în detaliu. Pe degete, s-ar putea spune.

Dar acest lucru încă nu este suficient. Pentru a aplica cu succes toate aceste concepte simple în practică, avem nevoie de o altă abilitate utilă. Și anume, corect lucrul cu colțuri în trigonometrie. Fără această abilitate în trigonometrie - nimic. Chiar și în cele mai primitive exemple. De ce? Da, pentru că unghiul este figura cheie în toată trigonometria! Nu, nu funcții trigonometrice, nu sinus cu cosinus, nu tangentă cu cotangentă și anume colţul însuşi. Fără unghi - fără funcții trigonometrice, da...

Cum se lucrează cu colțuri pe un cerc? Pentru a face acest lucru, trebuie să învățăm în mod ironic două puncte.

1) Cum Se numără unghiurile unui cerc?

2) Ce sunt numărate (măsurate)?

Răspunsul la prima întrebare este subiectul lecției de astăzi. Vom trata prima întrebare în detaliu chiar aici și acum. Răspunsul la a doua întrebare nu va fi dat aici. Pentru că este destul de dezvoltat. La fel ca și a doua întrebare în sine, este foarte alunecoasă, da.) Nu voi intra în detalii pentru moment. Acesta este subiectul următoarei lecții separate.

Putem incepe?

Cum se calculează unghiurile pe un cerc? Unghiuri pozitive și negative.

Cei care citesc titlul paragrafului pot avea deja părul pe cap. Cum așa?! Colțuri negative? Este chiar posibil acest lucru?

la negativ numerele deja ne-am obisnuit. Le putem reprezenta pe axa numerică: pozitiv la dreapta lui zero, negativ la stânga zero. Da, și ne uităm periodic la termometrul din afara ferestrei. Mai ales iarna, pe ger.) Și banii de pe telefon sunt în „minus” (adică. datorie) uneori dispar. Totul este familiar.

Dar ce zici de colțuri? Se pare că unghiurile negative în matematică se intampla si! Totul depinde de cum să numărăm chiar acest unghi... nu, nu pe o dreaptă numerică, ci pe un cerc numeric! Adică într-un cerc. Cerc - iată-l, un analog al dreptei numerice în trigonometrie!

Asa de, Cum se calculează unghiurile unui cerc? Nu este nimic de făcut, va trebui să desenăm mai întâi acest cerc.

Voi desena această imagine frumoasă:

Este foarte asemănător cu imaginile din lecția anterioară. Există axe, există un cerc, există un unghi. Dar există și informații noi.

Am adăugat și numere pentru 0°, 90°, 180°, 270° și 360° pe axe. Acum, acest lucru este mai interesant.) Care sunt aceste numere? Corect! Acestea sunt valorile unghiurilor măsurate din partea noastră fixă, care cad pe axele de coordonate. Reamintim că latura fixă a unghiului este întotdeauna ferm atașată de semiaxa pozitivă OX. Și orice unghi în trigonometrie este măsurat din această semiaxă. Această origine de bază a unghiurilor trebuie reținută în mod ironic. Și axele - se intersectează în unghi drept, nu? Deci adăugăm 90 ° în fiecare trimestru.

Și mai multe adăugate sageata rosie. Cu un plus. Cel roșu este intenționat să atragă atenția. Și mi-a rămas bine în memorie. Pentru că acest lucru trebuie reținut cu încredere.) Ce înseamnă această săgeată?

Deci, se dovedește, dacă ne întoarcem colțul plus săgeata(în sens invers acelor de ceasornic, în cursul numerotării sferturilor), apoi unghiul va fi considerat pozitiv! Figura prezintă un unghi de +45° ca exemplu. Apropo, vă rugăm să rețineți că unghiurile axiale 0°, 90°, 180°, 270° și 360° sunt, de asemenea, derulate precis în plus! Prin săgeata roșie.

Acum să ne uităm la o altă imagine:

Aproape totul este la fel aici. Numai unghiurile de pe axe sunt numerotate inversat.În sensul acelor de ceasornic. Și au un semn minus.) săgeată albastră. Tot cu un minus. Această săgeată este direcția citirii negative a unghiurilor de pe cerc. Ea ne arată că dacă ne amânăm colțul în sensul acelor de ceasornic, apoi unghiul va fi considerat negativ. De exemplu, am arătat un unghi de -45°.

Apropo, vă rugăm să rețineți că numerotarea sferturilor nu se schimbă niciodată! Nu contează dacă înfășurăm colțurile în plus sau în minus. Întotdeauna strict în sens invers acelor de ceasornic.)

Tine minte:

1. Începutul numărării unghiurilor este de la semiaxa pozitivă ОХ. La oră - „minus”, contra cronometru – „plus”.

2. Numerotarea sferturilor este întotdeauna în sens invers acelor de ceasornic, indiferent de direcția de calcul al unghiurilor.

Apropo, semnarea unghiurilor pe axele 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, desenând de fiecare dată un cerc, nu este deloc o cerință. Acest lucru este doar pentru înțelegerea esenței. Dar aceste numere trebuie să fie prezente in mintea ta la rezolvarea oricărei probleme de trigonometrie. De ce? Da, pentru că aceste cunoștințe elementare oferă răspunsuri la multe alte întrebări din toată trigonometria! Cea mai importantă întrebare este în ce sfert cade unghiul care ne interesează? Credeți sau nu, răspunsul corect la această întrebare rezolvă cea mai mare parte a tuturor celorlalte probleme legate de trigonometrie. Ne vom ocupa de această lecție importantă (distribuția unghiurilor în sferturi) în aceeași lecție, dar puțin mai târziu.

Valorile unghiurilor situate pe axele de coordonate (0°, 90°, 180°, 270° și 360°) trebuie reținute! Amintiți-vă cu fermitate, la automatism. Și atât în plus cât și în minus.

Dar din acest moment încep primele surprize. Și împreună cu ele întrebări dificile adresate mie, da ...) Și ce se va întâmpla dacă unghiul negativ pe cerc se potrivesc cu pozitivul? Se pare că acelasi punct pe un cerc poate fi notat ca un unghi pozitiv, iar unul negativ ???

Destul de bine! Așa este.) De exemplu, un unghi pozitiv de +270° ocupă pe un cerc aceeasi pozitie , care este unghiul negativ -90°. Sau, de exemplu, va lua un unghi pozitiv de +45° pe un cerc aceeasi pozitie , care este unghiul negativ -315°.

Ne uităm la următoarea poză și vedem totul:

În mod similar, un unghi pozitiv de +150° va merge acolo unde un unghi negativ de -210°, un unghi pozitiv de +230° va merge în același loc cu un unghi negativ de -130°. Si asa mai departe…

Și acum ce pot face? Cum să numărăm exact unghiurile, dacă este posibil așa și altul? Cât de corect?

Răspuns: oricum corect! Matematica nu interzice niciuna dintre cele două direcții pentru numărarea unghiurilor. Și alegerea unei direcții specifice depinde numai de sarcină. Dacă sarcina nu spune nimic în text simplu despre semnul unghiului (cum ar fi „determină cel mai mare negativ colţ" etc.), atunci lucrăm cu unghiurile cele mai convenabile pentru noi.

Desigur, de exemplu, în subiecte atât de interesante precum ecuațiile trigonometrice și inegalitățile, direcția calculării unghiurilor poate avea un impact imens asupra răspunsului. Și în subiectele relevante, vom lua în considerare aceste capcane.

Tine minte:

Orice punct de pe cerc poate fi notat atât prin unghiuri pozitive, cât și cu unghiuri negative. Oricine! Ceea ce vrem.

Acum să ne gândim la asta. Am aflat că unghiul de 45° este exact același cu unghiul de -315°? Cum am aflat despre aceleași 315° ? Nu poți ghici? Da! Printr-o viraj complet.) În 360 °. Avem un unghi de 45°. Cât de mult lipsește înainte de o viraj completă? Scădeți 45° de la 360° - aici avem 315° . Înfășurăm în direcția negativă - și obținem un unghi de -315 °. Încă neclar? Apoi uită-te din nou la imaginea de mai sus.

Și acest lucru ar trebui făcut întotdeauna atunci când traduceți unghiurile pozitive în unghiuri negative (și invers) - trageți un cerc, rețineți despre un unghi dat, luăm în considerare câte grade lipsesc înainte de un viraj complet și înfășurăm diferența rezultată în direcția opusă. Si asta e.)

Ce mai este interesant la colțurile care ocupă aceeași poziție pe cerc, ce părere aveți? Și faptul că astfel de colțuri exact la fel sinus, cosinus, tangentă și cotangentă! Este mereu!

De exemplu:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Și acum acest lucru este extrem de important! Pentru ce? Da, toate la fel!) Pentru a simplifica expresiile. Pentru simplificarea expresiilor este o procedură cheie pentru o soluție de succes orice teme la matematică. Și trigonometrie la fel.

Deci, ne-am dat seama de regula generală pentru numărarea unghiurilor pe un cerc. Ei bine, dacă am sugerat aici virajele complete, aproximativ sferturi, atunci ar fi timpul să răsucim și să desenăm chiar aceste colțuri. Să desenăm?)

Sa incepem cu pozitiv colțuri. Vor fi mai ușor de desenat.

Desenați unghiuri într-o singură rotație (între 0° și 360°).

Să desenăm, de exemplu, un unghi de 60°. Totul este simplu aici, fără bibelouri. Desenăm axe de coordonate, un cerc. Poți face direct manual, fără nicio busolă și riglă. Noi desenăm schematic R: Nu avem schițe cu tine. Nu este nevoie să respectați GOST-urile, acestea nu vor fi pedepsite.)

Puteți marca (pentru dvs.) valorile unghiurilor pe axe și indicați săgeata în direcția Împotriva ceasului. La urma urmei, vom economisi bani ca un plus?) Nu puteți face acest lucru, dar trebuie să păstrați totul în cap.

Și acum desenăm a doua parte (mobilă) a colțului. Ce sfert? În primul, desigur! Pentru 60 de grade este strict între 0° și 90°. Deci tragem în primul trimestru. la un unghi despre 60 de grade față de partea fixă. Cum să numere despre 60 de grade fără raportor? Uşor! 60° este două treimi dintr-un unghi drept!Împărțim mental primul sfert de cerc în trei părți, luăm două treimi pentru noi. Și desenăm ... Cât de mult ajungem de fapt acolo (dacă atașăm un raportor și îl măsurăm) - 55 de grade sau 64 - nu contează! Este important ca inca undeva aproximativ 60°.

Primim o imagine:

Asta e tot. Și nu au fost necesare instrumente. Dezvoltăm un ochi! Va veni la îndemână în sarcinile de geometrie.) Acest desen inestetic poate fi indispensabil atunci când trebuie să zgâriați un cerc și un unghi în grabă, fără să vă gândiți cu adevărat la frumusețe. Dar în același timp mâzgăliți dreapta, fara erori, cu toate informatiile necesare. De exemplu, ca ajutor în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților.

Acum să desenăm un unghi, de exemplu, 265°. Ghici unde ar putea fi? Ei bine, e clar că nu în primul trimestru și nici măcar în al doilea: se termină la 90 și 180 de grade. Puteți crede că 265° este 180° plus încă 85°. Adică, la semiaxa negativă trebuie adăugat OX (unde 180 °). despre 85°. Sau, și mai ușor, să ghicești că 265 ° nu ajunge la semiaxa negativă OY (unde 270 °) a unor nefericiți 5 °. Într-un cuvânt, în trimestrul trei va fi acest colț. Foarte aproape de axa negativă OY, la 270 de grade, dar tot în a treia!

A desena:

Din nou, precizia absolută nu este necesară aici. Fie că, în realitate, acest unghi sa dovedit a fi, să zicem, 263 de grade. Dar cea mai importantă întrebare (ce sfert?) am raspuns corect. De ce este aceasta cea mai importantă întrebare? Da, pentru că orice lucrare cu un unghi în trigonometrie (fie că desenăm acest unghi sau nu) începe chiar cu răspunsul la această întrebare! Este mereu. Dacă ignori această întrebare sau încerci să-i răspunzi mental, atunci greșelile sunt aproape inevitabile, da... Ai nevoie de ea?

Tine minte:

Orice lucru cu un unghi (inclusiv desenarea acestui unghi pe un cerc) începe întotdeauna cu determinarea sfertului în care se încadrează acest unghi.

Acum, sper că veți desena corect unghiurile, de exemplu, 182°, 88°, 280°. LA corect sferturi. În al treilea, primul și al patrulea, dacă ceva...)

Al patrulea sfert se termină la un unghi de 360°. Aceasta este o tură completă. Pepper este clar că acest unghi ocupă aceeași poziție pe cerc ca 0 ° (adică punctul de referință). Dar colțurile nu se termină aici, da...

Ce să faci cu unghiuri mai mari de 360°?

„Există astfel de lucruri?”- tu intrebi. Există, cum! Se întâmplă, de exemplu, un unghi de 444 °. Și uneori, să zicem, un unghi de 1000 °. Există tot felul de unghiuri.) Doar vizual, astfel de unghiuri exotice sunt percepute puțin mai complicate decât unghiurile obișnuite într-o singură tură. Dar trebuie și să poți să desenezi și să calculezi astfel de unghiuri, da.

Pentru a desena corect astfel de unghiuri pe un cerc, trebuie să faceți același lucru - aflați în ce sfert scade unghiul de interes. Aici capacitatea de a determina cu precizie sfert este mult mai importantă decât pentru unghiuri de la 0 ° la 360 °! Însuși procedura de determinare a unui sfert este complicată doar de un singur pas. Pe care, o vei vedea în curând.

Deci, de exemplu, trebuie să aflăm în ce sfert se încadrează unghiul de 444°. Începem să ne învârtim. Unde? Ca un plus, desigur! Ne-au dat un unghi pozitiv! +444°. Răsucim, răsucim ... Am răsucit o tură - am ajuns la 360 °.

Cât a mai rămas până la 444°?Numărăm coada rămasă:

444°-360° = 84°.

Deci 444° este o rotire completă (360°) plus încă 84°. Evident, acesta este primul trimestru. Deci, unghiul de 444° scade în primul trimestru. Pe jumatate facut.

Rămâne acum să descriem acest unghi. Cum? Foarte simplu! Facem o tură completă de-a lungul săgeții roșii (plus) și adăugăm încă 84 °.

Ca aceasta:

Aici nu am aglomerat desenul - semnează sferturi, desenează unghiuri pe axe. Toată această bunătate ar fi trebuit să fie în capul meu de mult timp.)

Dar am arătat cu un „melc” sau cu o spirală cum se formează exact unghiul de 444 ° din unghiurile de 360 ° și 84 °. Linia roșie punctată este o tură completă. La care sunt înșurubate suplimentar 84° (linie continuă). Apropo, vă rugăm să rețineți că, dacă acest viraj foarte complet este aruncat, atunci acest lucru nu va afecta în niciun fel poziția colțului nostru!

Dar asta este important! Poziție unghi 444° coincide complet cu o poziţie unghiulară de 84°. Nu există miracole, doar se întâmplă.)

Este posibil să renunți nu la o tură completă, ci la două sau mai multe?

De ce nu? Dacă colțul este puternic, atunci nu este doar posibil, ci chiar și necesar! Unghiul nu se va schimba! Mai precis, unghiul în sine se va schimba, desigur, în mărime. Dar poziţia lui pe cerc - în niciun caz!) De aceea ei deplin impuls, că indiferent câte copii ai adăuga, indiferent cât de mult ai scădea, tot vei ajunge în același punct. Frumos, nu?

Tine minte:

Dacă adunăm (scădem) la unghiul oricare întreg numărul de rotații complete, poziția colțului inițial pe cerc NU se va schimba!

De exemplu:

În ce sfert se încadrează unghiul de 1000°?

Nici o problemă! Luăm în considerare câte revoluții complete stau într-o mie de grade. O revoluție este 360°, alta este deja 720°, a treia este 1080°... Oprește-te! Bust! Deci, într-un unghi de 1000 ° se așează Două cifră de afaceri completă. Aruncă-le din 1000° și calculează restul:

1000° - 2 360° = 280°

Deci poziția unghiului de 1000° pe cerc la fel, care este același cu unghiul de 280°. Cu care este deja mult mai plăcut să lucrezi.) Și unde cade acest colț? Se încadrează în al patrulea trimestru: 270° (semi-axa negativă OY) plus încă zece.

A desena:

Aici nu mai am desenat două ture complete cu o spirală punctată: se dovedește a fi dureros de lung. Tocmai am desenat restul coadei de cal de la zero, aruncând toate ture suplimentare. Parcă nici nu ar exista.)

Din nou. Într-un sens bun, unghiurile 444° și 84°, precum și 1000° și 280° sunt diferite. Dar pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, aceste unghiuri sunt aceeași!

După cum puteți vedea, pentru a lucra cu unghiuri mai mari de 360°, trebuie să definiți câte rotații complete stau într-un unghi mare dat. Acesta este pasul suplimentar care trebuie făcut în prealabil atunci când lucrați cu astfel de unghiuri. Nimic complicat, nu?

Aruncarea virajelor complete, desigur, este o experiență plăcută.) Dar, în practică, atunci când lucrați cu unghiuri absolut de coșmar, apar și dificultăți.

De exemplu:

În ce sfert se încadrează unghiul de 31240°?

Și ce, vom adăuga 360 de grade de multe, de multe ori? Se poate, daca nu arde mai ales. Dar nu putem doar să adăugăm.) Putem și împărți!

Deci haideți să împărțim unghiul nostru imens în 360 de grade!

Prin această acțiune, doar aflăm câte revoluții complete sunt ascunse în 31240 de grade noastre. Poți împărți un colț, poți (șoptește la ureche :)) pe un calculator.)

Obținem 31240:360 = 86,777777...

Faptul că numărul s-a dovedit a fi fracționat nu este înfricoșător. Suntem doar întreg Ma intereseaza cifrele de afaceri! Prin urmare, nu este nevoie să împărțiți până la capăt.)

Așadar, în colțul nostru plin se află până la 86 de revoluții complete. Groază…

În grade va fi86 360° = 30960°

Ca aceasta. Acesta este câte grade pot fi aruncate fără durere dintr-un unghi dat de 31240 °. Rămășițe:

31240° - 30960° = 280°

Tot! Poziția unghiului 31240° complet identificat! În același loc cu 280°. Acestea. al patrulea trimestru.) Se pare că am descris deja acest unghi înainte? Când a fost desenat unghiul de 1000°?) Acolo am mers și 280 de grade. Coincidență.)

Deci morala poveștii este următoarea:

Dacă ni se oferă un colț groaznic, atunci:

1. Stabiliți câte revoluții complete stau în acest colț. Pentru a face acest lucru, împărțiți unghiul inițial la 360 și aruncați partea fracțională.

2. Considerăm câte grade sunt în numărul de revoluții primit. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărul de rotații cu 360.

3. Scădeți aceste rotații din unghiul inițial și lucrați cu unghiul obișnuit în intervalul de la 0° la 360°.

Cum să lucrezi cu unghiuri negative?

Nici o problemă! La fel ca la cele pozitive, cu o singură diferență. Ce? Da! Trebuie să întorci colțurile reversul, minus! în sensul acelor de ceasornic.)

Să desenăm, de exemplu, un unghi de -200°. La început, totul este ca de obicei pentru unghiuri pozitive - axe, un cerc. Să desenăm o săgeată albastră cu un minus și să semnăm unghiurile de pe axe într-un mod diferit. Ele, desigur, vor trebui numărate și în direcția negativă. Acestea vor fi toate aceleași unghiuri, trecând prin 90°, dar numărate în direcția opusă, minus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Imaginea va arăta astfel:

Când lucrați cu unghiuri negative, există adesea un sentiment de ușoară nedumerire. Cum așa?! Se pare că aceeași axă este atât, să zicem, +90°, cât și -270°? Nu, ceva nu e în regulă aici...

Da, totul este curat și transparent! La urma urmei, știm deja că orice punct de pe cerc poate fi numit atât unghi pozitiv, cât și unghi negativ! Absolut orice. Inclusiv pe unele dintre axele de coordonate. În cazul nostru, avem nevoie negativ calculul unghiurilor. Așa că decupăm toate colțurile în minus.)

Acum desenarea unghiului drept de -200° nu este nicio problemă. Acesta este -180° și minusîncă 20°. Începem să curgă de la zero la minus: zburăm prin al patrulea trimestru, al treilea a trecut și el, ajungem la -180 °. Unde să înfășurăm restul de douăzeci? Da, totul este în regulă! După ceas.) Unghiul total -200° cade în al doilea sfert.

Acum înțelegeți cât de important este să vă amintiți unghiurile de pe axele de coordonate?

Unghiurile de pe axele de coordonate (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) trebuie reținute cu precizie pentru a determina cu exactitate sfertul în care cade unghiul!

Și dacă unghiul este mare, cu mai multe ture complete? E bine! Ce diferență are unde sunt rotite aceste viteze maxime - în plus sau în minus? Un punct dintr-un cerc nu își va schimba poziția!

De exemplu:

În ce cadran se încadrează unghiul -2000°?

Tot la fel! Pentru început, luăm în considerare câte revoluții complete stau în acest colț rău. Pentru a nu încurca în semne, să lăsăm minusul în pace deocamdată și să împărțim doar 2000 la 360. Obținem 5 cu o coadă. Coada nu ne deranjeaza inca, o vom numara putin mai tarziu cand tragem coltul. Noi credem cinci revoluții complete în grade:

5 360° = 1800°

Voot. Cam atât de multe grade în plus poți arunca în siguranță din colțul nostru, fără a dăuna sănătății.

Numărăm coada rămasă:

2000° – 1800° = 200°

Și acum vă puteți aminti și despre minus.) Unde vom înfășura coada la 200 °? Dezavantajul, desigur! Ni se dă un unghi negativ.)

2000° = -1800° - 200°

Așa că desenăm un unghi de -200 °, doar fără viraje suplimentare. Tocmai l-am desenat, dar, așa să fie, îl voi picta încă o dată. De mana.

Ardeiul este clar că unghiul dat -2000 °, precum și -200 °, se încadrează în Al doilea sfert.

Deci, ne înfășurăm pe un cerc... scuze... pe o mustață:

Dacă este dat un unghi negativ foarte mare, atunci prima parte a lucrului cu acesta (găsirea numărului de rotații complete și aruncarea lor) este aceeași ca și atunci când lucrați cu un unghi pozitiv. Semnul minus nu joacă niciun rol în această etapă a soluției. Semnul este luat în considerare numai la sfârșit, când se lucrează cu unghiul rămas după îndepărtarea turelor complete.

După cum puteți vedea, să desenați unghiuri negative pe un cerc nu este mai dificil decât să desenați unghiuri pozitive.

Totul este la fel, doar în cealaltă direcție! La oră!

Și acum - cel mai interesant! Am acoperit unghiuri pozitive, unghiuri negative, unghiuri mari, unghiuri mici - toată gama. Am aflat, de asemenea, că orice punct de pe cerc poate fi numit unghi pozitiv și negativ, am renunțat la ture complete... Fără gânduri? Ar trebui amanat...

Da! Oricare ar fi punctul din cerc pe care îl luați, acesta va corespunde unghiuri nesfârșite! Mare și nu așa, pozitiv și negativ - toată lumea! Și diferența dintre aceste unghiuri va fi întreg numărul de ture complete. Este mereu! Deci cercul trigonometric este aranjat, da ...) De aceea verso sarcina este de a găsi unghiul după cunoscutul sinus / cosinus / tangentă / cotangentă - este rezolvată ambiguu. Și mult mai dificil. Spre deosebire de problema directă - pentru a găsi întregul set de funcții sale trigonometrice pentru un unghi dat. Și în subiecte mai serioase de trigonometrie ( arcade, trigonometric ecuațiiși inegalităților ) vom întâlni acest cip în mod constant. Se obișnuiește.)

1. În ce sfert se încadrează unghiul -345°?

2. În ce sfert se încadrează unghiul de 666°?

3. În ce sfert se încadrează unghiul 5555°?

4. În ce sfert se încadrează unghiul de -3700°?

5. Care este semnulcos999°?

6. Care este semnulctg999°?

Și a funcționat? Minunat! Există o problemă? Atunci tu.

Raspunsuri:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

De data aceasta, răspunsurile sunt date în ordine, rupând cu tradiția. Căci sunt doar patru sferturi și sunt doar două semne. nu vei fugi...)

În lecția următoare, vom vorbi despre radiani, despre misteriosul număr „pi”, vom învăța cum să convertim ușor și simplu radianii în grade și invers. Și vom fi surprinși să descoperim că chiar și aceste simple cunoștințe și abilități vor fi deja destul de suficiente pentru ca noi să rezolvăm cu succes multe probleme nebanale în trigonometrie!