Cele mai simple proprietăți ale integralelor. Proprietățile de bază ale integralei nedefinite Studiem conceptul de „integrală”

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare a unei integrale pe care o cunoști este să croșetezi ceva util din locuri greu accesibile cu un croșetat în formă de icoană integrală, atunci ești binevenit! Învață cum să rezolvi integralele elementare și alte integrale și de ce nu te poți descurca fără ea la matematică.

Explorarea conceptului « integrală »

Integrarea este cunoscută încă din Egiptul antic. Desigur, nu în forma sa modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, aveți nevoie de cunoștințe de bază despre bazele calculului. Avem deja informații despre, necesare înțelegerii integralelor, în blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să presupunem că avem un fel de funcție f (x) .

Integrală nedefinită a unei funcții f (x) se numeste o astfel de functie F (x) a cărui derivată este egală cu funcția f (x) .

Cu alte cuvinte, integrala este derivata inversă sau antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.

Antiderivatul există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, semnul unei constante este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivatele funcțiilor elementare, este convenabil să le aduceți la un tabel și să folosiți valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neomogen, a traseului parcurs cu o mișcare neuniformă și multe altele. Trebuie amintit că integrala este suma unui număr infinit de termeni infinit de mici.

Ca exemplu, să ne imaginăm un grafic al unei funcții.

Cum să găsiți aria unei forme delimitate de graficul unei funcții? Folosind integrala! Împărțim trapezul curbiliniu, mărginit de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinit de mici. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri, acum există o reducere de 10% la

Reguli de calcul integrale pentru manechin

Proprietăți integrale nedefinite

Cum se rezolvă integrala nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.

Derivata integralei este egala cu integrandul:

Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Este valabil si pentru diferenta:

Proprietățile integralei definite

Linearitate:

Semnul integral se schimbă dacă limitele de integrare sunt inversate:

La orice puncte A, bși cu:

Am aflat deja că integrala definită este limita sumei. Dar cum obții o anumită valoare atunci când rezolvi un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de soluții integrale

Mai jos vom lua în considerare o integrală nedefinită și exemple cu o soluție. Vă oferim să descoperiți în mod independent complexitățile soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți videoclipul despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu vă descurajați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați serviciul pentru studenți profesioniști și puteți manipula orice integrală triplă sau curbilinie pe o suprafață închisă.

Acest articol detaliază proprietățile de bază ale unei integrale definite. Ele sunt dovedite folosind conceptul de integrală Riemann și Darboux. Calculul integralei definite are loc datorită a 5 proprietăți. Restul sunt folosite pentru a evalua diverse expresii.

Înainte de a trece la proprietățile de bază ale unei integrale definite, este necesar să vă asigurați că a nu depășește b.

Proprietățile de bază ale unei integrale definite

Definiția 1

Funcția y = f (x), definită la x = a, este similară cu egalitatea valabilă ∫ a a f (x) d x = 0.

Dovada 1

Prin urmare, vedem că valoarea integralei cu limite coincidente este egală cu zero. Aceasta este o consecință a integralei Riemann, deoarece fiecare integrală sumă σ pentru orice partiție de pe intervalul [a; a] și orice alegere de puncte ζ i este egală cu zero, deoarece x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. ... ... , n, prin urmare, obținem că limita funcțiilor integrale este zero.

Definiția 2

Pentru o funcție care este integrabilă pe segmentul [a; b], condiția ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x este îndeplinită.

Dovada 2

Cu alte cuvinte, dacă limitele superioare și inferioare de integrare sunt modificate pe alocuri, atunci valoarea integralei își va schimba valoarea la opus. Această proprietate este preluată din integrala Riemann. Cu toate acestea, numerotarea diviziunii segmentului provine din punctul x = b.

Definiția 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x este utilizat pentru funcții integrabile de tipul y = f (x) și y = g (x) definite pe intervalul [a; b].

Dovada 3

Notați suma integrală a funcției y = f (x) ± g (x) pentru împărțirea în segmente cu alegerea dată de puncte ζ i: σ = ∑ i = 1 nf ζ i ± g ζ i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (ζ i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng ζ i xi - xi - 1 = σ f ± σ g

unde σ f și σ g sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f (x) și y = g (x) pentru împărțirea segmentului. După trecerea la limita la λ = m a x i = 1, 2,. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 obținem că lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g.

Din definiția lui Riemann, această expresie este echivalentă.

Definiția 4

Efectuarea unui factor constant dincolo de semnul unei integrale definite. O funcție integrabilă din intervalul [a; b] cu o valoare arbitrară a lui k are o inegalitate valabilă de forma ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x.

Dovada 4

Dovada proprietății integralei definite este similară cu cea anterioară:

σ = ∑ i = 1 nk f ζ i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf ζ i (xi - xi - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 ( k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

Definiția 5

Dacă o funcție de forma y = f (x) este integrabilă pe un interval x cu a ∈ x, b ∈ x, se obține că ∫ abf (x) dx = ∫ acf (x) dx + ∫ cbf (x) d X.

Dovada 5

Proprietatea este considerată adevărată pentru c ∈ a; b, pentru c ≤ a și c ≥ b. Dovada este similară cu proprietățile anterioare.

Definiția 6

Când funcția are capacitatea de a fi integrabilă din segmentul [a; b], atunci este realizabil pentru orice segment interior c; d ∈ a; b.

Dovada 6

Dovada se bazează pe proprietatea Darboux: dacă adăugăm puncte la partiția existentă a segmentului, atunci suma Darboux inferioară nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Definiția 7

Când funcția este integrabilă pe [a; b] din f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pentru orice valoare a lui x ∈ a; b, atunci obținem că ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0.

Proprietatea poate fi demonstrată folosind definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere a punctelor de partiție ale segmentului și punctelor ζ i cu condiția ca f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0, obținem non- negativ.

Dovada 7

Dacă funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrabile pe segmentul [a; b], atunci următoarele inegalități sunt considerate adevărate:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, dacă și f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, dacă și f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; b

Datorită declarației, știm că integrarea este admisibilă. Acest corolar va fi folosit pentru a demonstra alte proprietăți.

Definiția 8

Cu o funcție integrabilă y = f (x) din segmentul [a; b] avem o inegalitate valabilă de forma ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Dovada 8

Avem că - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). Din proprietatea anterioară, am obținut că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen și îi corespunde o inegalitate de forma - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x. Această dublă inegalitate poate fi scrisă sub altă formă: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Definiția 9

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrate din segmentul [a; b] pentru g (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ a; b, obținem o inegalitate de forma m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x, unde m = m i n x ∈ a; b f (x) și M = m a x x ∈ a; b f (x).

Dovada 9

Dovada se face într-un mod similar. M și m sunt considerate cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y = f (x), determinată din segmentul [a; b], atunci m ≤ f (x) ≤ M. Este necesar să se înmulțească inegalitatea dublă cu funcția y = g (x), care va da valoarea inegalității duble de forma m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Este necesar să-l integrăm pe segmentul [a; b], atunci obținem afirmația de demonstrat.

Corolar: Pentru g (x) = 1, inegalitatea ia forma m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a).

Prima formulă a valorii medii

Definiția 10

Pentru y = f (x), integrabil pe segmentul [a; b] cu m = m i n x ∈ a; b f (x) și M = m a x x ∈ a; b f (x) există un număr μ ∈ m; M, care se potrivește cu ∫ a b f (x) d x = μ b - a.

Corolar: Când funcția y = f (x) este continuă din segmentul [a; b], atunci există un număr c ∈ a; b, care satisface egalitatea ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Prima formulă a valorii medii în formă generalizată

Definiția 11

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrabile din segmentul [a; b] cu m = m i n x ∈ a; b f (x) și M = m a x x ∈ a; b f (x) și g (x)> 0 pentru orice valoare a lui x ∈ a; b. Avem deci că există un număr μ ∈ m; M, care satisface egalitatea ∫ a b f (x) g (x) d x = μ ∫ a b g (x) d x.

A doua formulă a valorii medii

Definiția 12

Când funcția y = f (x) este integrabilă din segmentul [a; b], iar y = g (x) este monoton, atunci există un număr care c ∈ a; b, unde obținem o egalitate validă de forma ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

Aceste proprietăți sunt utilizate pentru a efectua transformări ale integralei cu scopul de a o reduce la una dintre integralele elementare și de a efectua un calcul suplimentar.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

Mai mult, a ≠ 0

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietatea invarianței integralei nedefinite:

Daca atunci

8. Proprietate:

Daca atunci

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Să luăm în considerare un exemplu:

Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.

Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și poate găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integrala dvs.

În acest articol, vom enumera principalele proprietăți ale integralei definite. Cele mai multe dintre aceste proprietăți sunt dovedite pe baza conceptelor de integrală definită a lui Riemann și Darboux.

Definiția unei integrale definite se face foarte des folosind primele cinci proprietăți, așa că ne vom referi la ele atunci când este necesar. Restul proprietăților unei integrale definite sunt utilizate în principal pentru a evalua diferite expresii.

Înainte de a trece la proprietățile de bază ale integralei definite, să fim de acord că a nu depășește b.

Pentru funcția y = f (x), definită la x = a, egalitatea este adevărată.

Adică, valoarea unei integrale definite cu limite coincidente de integrare este zero. Această proprietate este o consecință a definiției integralei Riemann, deoarece în acest caz fiecare sumă integrală pentru orice partiție a intervalului și orice alegere de puncte este egală cu zero, deoarece, prin urmare, limita sumelor integrale este zero.

Pentru o funcție integrabilă pe un segment, .

Cu alte cuvinte, la modificarea limitelor superioare și inferioare de integrare în locuri, valoarea integralei definite se schimbă la opus. Această proprietate a unei integrale definite decurge și din conceptul de integrală Riemann, doar numerotarea partiției unui segment trebuie începută din punctul x = b.

pentru funcțiile y = f (x) și y = g (x) integrabile pe un interval.

Dovada.

Scriem suma integrală a funcției pentru o împărțire dată a unui segment și o alegere dată de puncte:

unde și sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f (x) și respectiv y = g (x) pentru partiția dată a segmentului.

Trecerea la limita la obţinem că, prin definiţia integralei Riemann, aceasta este echivalentă cu afirmarea proprietăţii care se dovedeşte.

Factorul constant poate fi luat în afara semnului unei integrale definite. Adică, pentru o funcție y = f (x) integrabilă pe un interval și un număr arbitrar k, egalitatea .

Dovada acestei proprietăți a unei integrale definite este absolut similară cu cea anterioară:

Fie funcția y = f (x) integrabilă pe intervalul X și și apoi .

Această proprietate este valabilă pentru ambele, și pentru sau.

Demonstrarea poate fi efectuată folosind proprietățile anterioare ale integralei definite.

Dacă o funcție este integrabilă pe un segment, atunci este integrabilă și pe orice segment interior.

Dovada se bazează pe proprietatea sumelor Darboux: dacă adăugați noi puncte la partiția existentă a segmentului, atunci suma Darboux inferioară nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Dacă funcția y = f (x) este integrabilă pe un interval și pentru orice valoare a argumentului, atunci .

Această proprietate este demonstrată prin definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere de puncte de partiție a unui segment și puncte la va fi nenegativă (nu pozitivă).

Consecinţă.

Pentru funcțiile y = f (x) și y = g (x) integrabile pe un interval, sunt valabile următoarele inegalități:

Această afirmație înseamnă că integrarea inegalităților este admisibilă. Vom folosi acest corolar pentru a demonstra următoarele proprietăți.

Fie funcția y = f (x) integrabilă pe un interval, apoi inegalitatea .

Dovada.

Este evident că ... În proprietatea anterioară, am aflat că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen, prin urmare, este adevărat ... Această dublă inegalitate poate fi scrisă ca .

Fie ca funcțiile y = f (x) și y = g (x) să fie integrabile pe un interval și pentru orice valoare a argumentului, atunci , Unde și .

Dovada este similară. Deoarece m și M sunt cele mai mici și mai mari valori ale funcției y = f (x) pe segment, atunci ... Înmulțirea inegalității duble cu funcția nenegativă y = g (x) ne conduce la următoarea inegalitate dublă. Integrându-l pe un segment, ajungem la afirmația care se dovedește.

Consecinţă.

Dacă luăm g (x) = 1, atunci inegalitatea ia forma .

Prima formulă a valorii medii.

Fie funcția y = f (x) integrabilă pe un interval, și apoi există un număr astfel încât .

Consecinţă.

Dacă funcția y = f (x) este continuă pe un interval, atunci există un număr astfel încât .

Prima formulă pentru medie în formă generalizată.

Fie funcțiile y = f (x) și y = g (x) să fie integrabile pe un interval, și și g (x)> 0 pentru orice valoare a argumentului. Apoi există un număr astfel încât .

A doua formulă pentru medie.

Dacă funcția y = f (x) este integrabilă într-un interval și y = g (x) este monotonă, atunci există un număr astfel încât egalitatea .