Integrale și proprietățile lor. Proprietățile de bază ale integralei nedefinite

Sarcina principală a calculului diferențial este găsirea derivatei f '(X) sau diferential df =f '(X)dx funcții f (X).În calculul integral se rezolvă problema inversă. Pentru o funcție dată f (X) este necesar să se găsească o astfel de funcție F (X), ce F '(x) =f (X) sau dF (x) =F '(X)dx =f (X)dx.

Prin urmare, sarcina principală a calculului integral este restabilirea funcției F (X) prin derivata (diferenţialul) cunoscută a acestei funcţii. Calculul integral are numeroase aplicații în geometrie, mecanică, fizică și inginerie. Oferă o metodă generală de găsire a zonelor, volumelor, centrelor de greutate etc.

Definiție. FuncţieF (x), se numește antiderivată pentru funcțief (x) pe multimea X daca este diferentiabila pentru oricare siF '(x) =f (x) saudF (x) =f (X)dx.

Teorema. Orice continuu pe segmentul [A;b] funcţiaf (x) are antiderivata pe acest segmentF (x).

Teorema. DacăF 1 (x) șiF 2 (x) - două antiderivate diferite cu aceeași funcțief (x) pe mulțimea x, atunci se deosebesc între ele printr-un termen constant, adică.F 2 (x) =F 1x) +C, unde C este o constantă.

Integrală nedefinită, proprietățile sale.

Definiție. AgregatulF (x) +C din toate antiderivatele unei funcțiif (x) pe mulțimea X se numește integrală nedefinită și se notează cu:

- (1)

În formula (1) f (X)dx numit integrantul,f (x) este integrandul, x este variabila de integrare, A С - constanta de integrare.

Se consideră proprietățile integralei nedefinite care rezultă din definiția ei.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, diferentiala integralei nedefinite este egala cu integrandul:

și .

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

3. Factorul constant a (a ≠ 0) poate fi luat în afara semnului integral nedefinit:

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor acestor funcții:

5. DacăF (x) este antiderivată a funcțieif (x), atunci:

6 (invarianța formulelor de integrare). Orice formulă de integrare își păstrează forma dacă variabila de integrare este înlocuită cu orice funcție diferențiabilă a acestei variabile:

Undeu este o funcție diferențiabilă.

Tabelul cu integrale nedefinite.

Să dăm reguli de bază pentru integrarea funcţiilor.

Să dăm tabelul integralelor nedefinite de bază.(Rețineți că aici, ca și în calculul diferențial, litera u poate desemna ca o variabilă independentă (u =X)și o funcție a variabilei independente (u =tu (X)).)

(n ≠ -1). (a> 0, a ≠ 1). (a ≠ 0). (a ≠ 0). (| u |> | a |).(| u |< |a|).

Se numesc integralele 1 - 17 tabular.

Unele dintre formulele de mai sus ale tabelului de integrale care nu au analog în tabelul de derivate sunt verificate prin diferențierea părților din dreapta.

Modificarea variabilei și integrarea pe părți în integrala nedefinită.

Integrare prin substituire (înlocuire variabilă). Să fie necesar să se calculeze integrala

care nu este tabelar. Esența metodei substituției este aceea că în integrală variabila NSînlocuiți cu variabilă t conform formulei x = φ (t), Unde dx = φ ’(t)dt.

Teorema. Lasă funcțiax = φ (t) este definită și diferențiabilă pe o mulțime T și fie X mulțimea de valori a acestei funcție, pe care funcțiaf (X). Atunci dacă pe setul X funcțiaf (

Aceste proprietăți sunt utilizate pentru a efectua transformări ale integralei cu scopul de a o reduce la una dintre integralele elementare și de a efectua un calcul suplimentar.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

Mai mult, a ≠ 0

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietatea invarianței integralei nedefinite:

Daca atunci

8. Proprietate:

Daca atunci

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Să luăm în considerare un exemplu:

Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.

Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și poate găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integrala dvs.

Aceste proprietăți sunt utilizate pentru a efectua transformări ale integralei cu scopul de a o reduce la una dintre integralele elementare și de a efectua un calcul suplimentar.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

Mai mult, a ≠ 0

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietatea invarianței integralei nedefinite:

Daca atunci

8. Proprietate:

Daca atunci

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Să luăm în considerare un exemplu:

Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.

Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și poate găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integrala dvs.

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare a unei integrale pe care o cunoști este să croșetezi ceva util din locuri greu accesibile cu un croșetat în formă de icoană integrală, atunci ești binevenit! Învață cum să rezolvi integralele elementare și alte integrale și de ce nu te poți descurca fără ea la matematică.

Explorarea conceptului « integrală »

Integrarea este cunoscută încă din Egiptul antic. Desigur, nu în forma sa modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, aveți nevoie de cunoștințe de bază despre bazele calculului. Avem deja informații despre, necesare înțelegerii integralelor, în blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să presupunem că avem un fel de funcție f (x) .

Integrală nedefinită a unei funcții f (x) se numeste o astfel de functie F (x) a cărui derivată este egală cu funcția f (x) .

Cu alte cuvinte, integrala este derivata inversă sau antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.

Antiderivatul există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, semnul unei constante este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivatele funcțiilor elementare, este convenabil să le aduceți la un tabel și să utilizați valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neomogen, a traseului parcurs cu o mișcare neuniformă și multe altele. Trebuie amintit că integrala este suma unui număr infinit de termeni infinit de mici.

Ca exemplu, să ne imaginăm un grafic al unei funcții.

Cum să găsiți aria unei forme delimitate de graficul unei funcții? Folosind integrala! Împărțim trapezul curbiliniu, mărginit de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinit de mici. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri, acum există o reducere de 10% la

Reguli de calcul integrale pentru manechin

Proprietăți integrale nedefinite

Cum se rezolvă integrala nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Este valabil si pentru diferenta:

Proprietățile integralei definite

• Linearitate:

• Semnul integral se schimbă dacă limitele de integrare sunt inversate:

• La orice puncte A, bși cu:

Am aflat deja că integrala definită este limita sumei. Dar cum obții o anumită valoare atunci când rezolvi un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de soluții integrale

Mai jos vom lua în considerare o integrală nedefinită și exemple cu o soluție. Vă oferim să descoperiți în mod independent complexitățile soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți videoclipul despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu vă descurajați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați serviciul pentru studenți profesioniști și puteți manipula orice integrală triplă sau curbilinie pe o suprafață închisă.

Lasă funcția y = f(X) este definită pe segmentul [ A, b ], A < b... Să efectuăm următoarele operații:

1) ne despărțim [ A, b] puncte A = X 0 < X 1 < ... < X i- 1 < X i < ... < X n = b pe n segmente parțiale de linie [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X n- 1 , X n ];

2) în fiecare dintre segmentele parțiale [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... n, alegeți un punct arbitrar și calculați valoarea funcției în acest punct: f(z i ) ;

3) găsiți lucrări f(z i ) · Δ X i , unde este lungimea segmentului parțial [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... n;

4) compune suma integrală funcții y = f(X) pe segmentul [ A, b ]:

Din punct de vedere geometric, această sumă σ este suma ariilor dreptunghiurilor, ale căror baze sunt segmente parțiale [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X n- 1 , X n ], iar înălțimile sunt f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) respectiv (Fig. 1). Să notăm prin λ lungimea celui mai mare segment parțial:

5) găsiți limita sumei integrale când λ → 0.

Definiție. Dacă există o limită finită a sumei integrale (1) și aceasta nu depinde de metoda de împărțire a segmentului [ A, b] la segmente parțiale, nici din selecția punctelor z iîn ele, atunci această limită se numește integrala definita din functie y = f(X) pe segmentul [ A, b] și este notat

Prin urmare,

În acest caz, funcția f(X) se numește integrabil pe [ A, b]. Numerele Ași b sunt numite, respectiv, limitele inferioare și superioare ale integrării, f(X) Este integrantul, f(X ) dx-integrandul, X- variabila de integrare; secțiune [ A, b] se numește interval de integrare.

Teorema 1. Dacă funcţia y = f(X) este continuă pe segmentul [ A, b], atunci este integrabil pe acest segment.

O integrală definită cu aceleași limite de integrare este egală cu zero:

Dacă A > b, atunci, prin definiție, punem

2. Sensul geometric al unei integrale determinate

Lasă pe segmentul [ A, b] este dată o funcție continuă nenegativă y = f(X ) . Trapez curbat este cifra mărginită de sus de graficul funcției y = f(X), de jos - de axa Ox, la stânga și la dreapta - prin linii drepte x = ași x = b(fig. 2).

Integrala definită a unei funcții nenegative y = f(X) din punct de vedere geometric este egal cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de sus de graficul funcției y = f(X), la stânga și la dreapta - prin segmente de linie x = ași x = b, mai jos - de un segment al axei Ox.

3. Proprietăţile de bază ale unei integrale definite

1. Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare:

2. Un factor constant poate fi scos din semnul unei integrale definite:

3. O integrală definită a sumei algebrice a două funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții:

4.Dacă funcția y = f(X) este integrabil pe [ A, b] și A < b < c, atunci

5. (teorema valorii medii)... Dacă funcţia y = f(X) este continuă pe segmentul [ A, b], atunci pe acest segment există un punct astfel încât

4. Formula Newton-Leibniz

Teorema 2. Dacă funcţia y = f(X) este continuă pe segmentul [ A, b] și F(X) Este vreunul dintre antiderivatele sale pe acest segment, atunci următoarea formulă este valabilă:

Care e numit prin formula Newton – Leibniz. Diferență F(b) - F(A) se obișnuiește să se scrie după cum urmează:

unde caracterul este numit un caracter joker dublu.

Astfel, formula (2) poate fi scrisă astfel:

Exemplul 1. Calculați integrala

Soluţie. Pentru integrand f(X ) = X 2 o antiderivată arbitrară are forma

Deoarece orice antiderivată poate fi utilizată în formula Newton-Leibniz, pentru a calcula integrala luăm antiderivată, care are cea mai simplă formă:

5. Schimbarea variabilei într-o integrală definită

Teorema 3. Lasă funcția y = f(X) este continuă pe segmentul [ A, b]. Dacă:

1) funcția X = φ ( t) și derivata sa φ "( t) sunt continue la;

2) setul de valori ale funcției X = φ ( t) pentru este segmentul [ A, b ];

3) φ ( A) = A, φ ( b) = b, apoi formula

Care e numit prin formula de modificare a variabilei în integrala definită .

Spre deosebire de integrala nedefinită, în acest caz nu este necesar revenirea la variabila originală de integrare - este suficient doar să găsim noi limite de integrare α și β (pentru aceasta este necesar să se rezolve în raport cu variabila t ecuații φ ( t) = Ași φ ( t) = b).

În loc de înlocuire X = φ ( t) puteți folosi înlocuirea t = g(X). În acest caz, găsirea de noi limite de integrare în raport cu variabila t simplificat: α = g(A) , β = g(b) .

Exemplul 2... Calculați integrala

Soluţie. Să introducem o nouă variabilă prin formulă. Punând la pătrat ambele părți ale egalității, obținem 1 + x = t 2 , Unde x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt... Găsim noi limite ale integrării. Pentru a face acest lucru, înlocuim vechile limite în formulă x = 3 și x = 8. Obținem:, de unde t= 2 și α = 2; , Unde t= 3 și β = 3. Deci,

Exemplul 3. calculati

Soluţie. Lasa u= ln X, atunci , v = X... Conform formulei (4)