Și anume, ceea ce vezi în titlu. În esență, este un „analog spațial” problema găsirii tangenteiși normali la graficul unei funcții a unei variabile și, prin urmare, nu ar trebui să apară dificultăți.

Să începem cu câteva întrebări de bază: CE ESTE un plan tangent și CE ESTE un normal? Mulți sunt conștienți de aceste concepte la nivelul intuiției. Cel mai simplu model care îmi vine în minte este o minge pe care se sprijină o bucată plată subțire de carton. Cartonul este situat cât mai aproape de sferă și îl atinge într-un singur punct. În plus, în punctul de contact, este fixat de un ac care se lipește drept în sus.

În teorie, există o definiție destul de ingenioasă a unui plan tangent. Imaginați-vă un arbitrar suprafaţăși punctul care îi aparține. Evident, o mulțime de linii spațiale care aparțin acestei suprafețe. Cine are ce asociații? =) ... eu personal am prezentat caracatița. Să presupunem că fiecare astfel de linie are tangenta spatiala la punct.

Definiția 1: plan tangent la suprafata intr-un punct este avion conţinând tangente la toate curbele care aparţin acestei suprafeţe şi trec prin punct.

Definiția 2: normal la suprafata intr-un punct este Drept trecând prin acest punct perpendicular pe planul tangent.

Simplu și elegant. Apropo, ca să nu mori de plictiseală din cauza simplității materialului, puțin mai târziu îți voi împărtăși un secret elegant care îți permite să uiți O dată și pentru totdeauna despre înghesuirea diverselor definiții.

Ne vom familiariza cu formulele de lucru și algoritmul de soluție direct pe un exemplu specific. În majoritatea covârșitoare a problemelor, este necesar să se compună atât ecuația planului tangent, cât și ecuațiile normalei:

Exemplul 1

Soluţie: dacă suprafața este dată de ecuație (adică implicit), atunci ecuația planului tangent la o suprafață dată într-un punct poate fi găsită prin următoarea formulă:

Acord o atenție deosebită derivatelor parțiale neobișnuite - lor a nu fi confundat cu derivate parțiale ale unei funcții definite implicit (deși suprafața este implicit specificată)... Când găsiți aceste derivate, trebuie să vă ghidați după regulile de diferențiere a unei funcții a trei variabile, adică la diferențierea față de orice variabilă, celelalte două litere sunt considerate constante:

Fără a părăsi checkout-ul, găsim derivata parțială la punctul:

De asemenea:

Acesta a fost cel mai neplăcut moment al deciziei, în care o greșeală, dacă nu este permisă, apare în mod constant. Cu toate acestea, aici există o tehnică de verificare eficientă, despre care am vorbit în lecție Derivată direcțională și gradient.

Toate „ingredientele” au fost găsite, iar acum este până la o înlocuire îngrijită cu simplificări suplimentare:

– ecuație generală planul tangent necesar.

Vă recomand cu tărie să verificați și această etapă a soluției. În primul rând, trebuie să vă asigurați că coordonatele punctului de atingere satisfac cu adevărat ecuația găsită:

- adevărata egalitate.

Acum „eliminăm” coeficienții ecuației generale a planului și îi verificăm pentru coincidență sau proporționalitate cu valorile corespunzătoare. În acest caz, ele sunt proporționale. Îți amintești de la curs de geometrie analitică, - aceasta este vector normal plan tangent și este - vector de direcție linie dreaptă normală. Să compunem ecuații canonice normale prin vector punct și direcție:

În principiu, numitorii pot fi micșorati cu „doi”, dar nu este nevoie specială de acest lucru

Răspuns:

Nu este interzisă desemnarea ecuațiilor cu unele litere, totuși, din nou - de ce? Aici, și deci este extrem de clar ce este.

Următoarele două exemple sunt pentru autoajutorare. Un mic „storbator de limbi matematice”:

Exemplul 2

Aflați ecuațiile planului tangent și normala la suprafață într-un punct.

Și o sarcină care este interesantă din punct de vedere tehnic:

Exemplul 3

Scrieți ecuațiile pentru planul tangent și normala la suprafață într-un punct

La punctul.

Există toate șansele nu numai să fii confuz, ci și să te confrunți cu dificultăți la înregistrare ecuații canonice ale dreptei... Și ecuațiile normalei, așa cum probabil ați înțeles, sunt de obicei scrise în această formă. Deși, din cauza uitării sau necunoașterii unora dintre nuanțe, forma parametrică este mai mult decât acceptabilă.

Exemple de exemple de soluții de finisare la sfârșitul lecției.

Există un plan tangent în orice punct al suprafeței? În general, desigur că nu. Exemplul clasic este suprafata conica și punct - tangentele din acest punct formează direct o suprafață conică și, desigur, nu se află în același plan. Este ușor să te convingi de necazuri analitic:.

O altă sursă de probleme este faptul inexistenţa orice derivată parțială la un punct. Totuși, acest lucru nu înseamnă că la un punct dat nu există un singur plan tangent.

Dar era, mai probabil, știință populară decât informații practic semnificative și ne întoarcem la treburile noastre zilnice:

Cum se scrie ecuații pentru planul tangent și normala într-un punct,
dacă suprafaţa este dată de o funcţie explicită?

Să-l rescriem implicit:

Și conform acelorași principii, vom găsi derivatele parțiale:

Astfel, formula pentru planul tangent se transformă în următoarea ecuație:

Și în consecință, ecuațiile canonice normale:

După cum ați putea ghici, - acestea sunt deja „reale” derivate parțiale ale unei funcții a două variabileîn punctul în care obișnuiam să desemnam cu litera „z” și am găsit de 100.500 de ori.

Rețineți că în acest articol este suficient să vă amintiți prima formulă, din care, dacă este necesar, este ușor să obțineți orice altceva. (de înțeles, având un nivel de bază de pregătire)... Aceasta este abordarea care ar trebui utilizată în studiul științelor exacte, adică. dintr-un minim de informații, ar trebui să ne străduim să „trageți” un maxim de concluzii și consecințe. „Soobrazhalovka” și cunoștințele deja existente pentru a ajuta! Acest principiu este util și prin faptul că este probabil să te salveze într-o situație critică când știi foarte puțin.

Să elaborăm formulele „modificate” cu câteva exemple:

Exemplul 4

Scrieți ecuațiile pentru planul tangent și normala la suprafață la punct.

O mică suprapunere aici s-a dovedit cu denumiri - acum litera denotă un punct din avion, dar ce să faceți - o scrisoare atât de populară...

Soluţie: ecuația planului tangent necesar este compilată cu formula:

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Să calculăm Derivate parțiale de ordinul I in acest punct:

Prin urmare:

cu grijă, nu în grabă:

Scriem ecuațiile canonice ale normalei într-un punct:

Răspuns:

Și un ultim exemplu pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 5

Scrieți ecuațiile pentru planul tangent și normala la suprafață într-un punct.

Cel final - pentru că de fapt am explicat toate punctele tehnice și nu este nimic special de adăugat. Chiar și funcțiile în sine, oferite în această sarcină, sunt plictisitoare și monotone - este aproape garantat în practică că veți întâlni un „polinom”, iar în acest sens Exemplul nr. 2 cu un exponent arată ca o „oaie neagră”. Apropo, este mult mai probabil să întâlnească suprafața dată de ecuație, iar acesta este un alt motiv pentru care funcția a fost inclusă în articolul „al doilea număr”.

Și, în sfârșit, secretul promis: cum poți evita aglomerația de definiții? (Desigur, nu mă refer la o situație în care un student înghesuie frenetic ceva înainte de examen)

Definiția oricărui concept/fenomen/obiect oferă, în primul rând, un răspuns la următoarea întrebare: CE ESTE? (cine / așa / așa / așa). Conştient Răspunzând la această întrebare, ar trebui să încercați să reflectați esenţial semne, fără echivoc identificarea cutare sau cutare concept/fenomen/obiect. Da, la început acest lucru se dovedește a fi oarecum legat de limbă, inexact și redundant (profesorul va corecta =)), dar în timp, se dezvoltă un discurs științific complet demn.

Practicați pe cele mai abstracte obiecte, de exemplu, răspundeți la întrebarea: cine este Cheburashka? Nu este atât de simplu ;-) Acesta este „un personaj de basm cu urechi mari, ochi și păr șaten”? Departe și foarte departe de definiție – nu se știe niciodată că există personaje cu astfel de caracteristici.... Dar aceasta este deja mult mai aproape de definiție: „Cheburashka este un personaj inventat de scriitorul Eduard Uspensky în 1966, care... (enumerarea principalelor trăsături distinctive)”... Observați cât de bine a început

1 °

1 °. Ecuații ale planului tangent și ale normalei pentru cazul specificării explicite a suprafeței.

Luați în considerare una dintre aplicațiile geometrice ale derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile. Lasă funcția z = f (X;y) diferentiabil la punct (x 0; la 0) vreo zonă DÎ R 2... Să tăiem suprafața S, funcția de imagistică z, avioane x = x 0și y = y 0(fig. 11).

Avion NS = x 0 traversează suprafața S de-a lungul vreunei linii z 0 (y), a cărei ecuaţie se obţine prin substituirea funcţiei iniţiale în expresie z ==f (X;y) in loc de NS numerele x 0. Punct M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0)) aparține curbei z 0 (y). In virtutea functiei diferentiabile z la punct M 0 funcţie z 0 (y) este, de asemenea, diferențiabilă la punct y = y 0. Prin urmare, în acest punct al avionului x = x 0 la curbă z 0 (y) se poate trasa o tangentă l 1.

Efectuarea unui raționament similar pentru secțiune la = la 0, construiți o tangentă l 2 la curbă z 0 (X) la punct NS = x 0 - Direct 1 1 și 1 2 defini un plan numit plan tangent la suprafata S la punct M 0.

Să-i facem ecuația. Deoarece avionul trece prin punct lu (x 0;y 0;z 0), atunci ecuația sa poate fi scrisă sub forma

A (x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) = 0,

care poate fi rescris astfel:

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(împărțind ecuația la -C și notând ).

Găsi A 1și B 1.

Ecuații tangente 1 1 și 1 2 au forma

respectiv.

Tangentă l 1 se află în avion a , prin urmare, coordonatele tuturor punctelor l 1 satisface ecuația (1). Acest fapt poate fi scris ca un sistem

Rezolvând acest sistem în raport cu B 1, obținem că.Efectuând raționament similar pentru tangente l 3, este ușor de stabilit că.

Înlocuirea valorilor A 1și B 1 în ecuația (1), obținem ecuația necesară a planului tangent:

Linie prin punct M 0 iar perpendicular pe planul tangent construit în acest punct al suprafeței se numește ei normal.

Folosind condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan, este ușor de obținut ecuațiile canonice ale normalei:

Cometariu. Formulele pentru planul tangent și normala la suprafață se obțin pentru punctele obișnuite, adică nesingulare, ale suprafeței. Punct M 0 suprafata se numeste special, dacă în acest moment toate derivatele parțiale sunt egale cu zero sau cel puțin una dintre ele nu există. Nu luăm în considerare astfel de puncte.

Exemplu. Scrieți ecuațiile planului tangent și normala la suprafață în punctul său M (2; -1; 1).

Soluţie. Să găsim derivatele parțiale ale acestei funcții și valorile lor în punctul M

Prin urmare, aplicând formulele (2) și (3), vom avea: z-1 = 2 (x-2) +2 (y + 1) sau 2x + 2y-z-1 = 0- ecuaţia planului tangent şi - ecuații normale.

2 °. Ecuații ale planului tangent și ale normalei pentru cazul definirii implicite a suprafeței.

Dacă suprafaţa S dat de ecuație F (X; y;z)= 0, apoi ecuațiile (2) și (3), ținând cont de faptul că derivatele parțiale pot fi găsite ca derivate ale unei funcții implicite.

Ecuația Planului Normal

1.

4.

Plan tangent și normal de suprafață

Să fie dată o suprafață, A este un punct fix al suprafeței și B este un punct variabil al suprafeței,

(fig. 1).

Vector diferit de zero

→

n

numit vector normal la suprafata in punctul A daca

lim B → A j = π 2 .

Un punct al suprafeței F (x, y, z) = 0 se numește obișnuit dacă în acest punct

1. derivatele parțiale F „x, F” y, F „z sunt continue;
2. (F "x) 2 + (F" y) 2 + (F "z) 2 ≠ 0.

Dacă cel puțin una dintre aceste condiții este încălcată, se numește un punct de pe suprafață punct singular al suprafeței .

Teorema 1. Dacă M (x 0, y 0, z 0) este un punct obișnuit al suprafeței F (x, y, z) = 0, apoi vectorul

→ n = grad F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → i + F "y (x 0, y 0, z 0) → j + F "z (x 0, y 0, z 0) → k

(1)

este normală acestei suprafețe în punctul M (x 0, y 0, z 0).

Dovada dat în carte de I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsov, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova `` Cursul de matematică superioară: Calcul integral. Funcțiile mai multor variabile. Ecuatii diferentiale. Moscova: Editura MPEI, 2002 (p. 128).

Normal la suprafață la un moment dat se numește linie dreaptă, al cărei vector de direcție este normal cu suprafața în acest punct și care trece prin acest punct.

Canonic ecuații normale poate fi reprezentat ca

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y - y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Plan tangent la o suprafață la un punct se numește plan care trece prin acest punct perpendicular pe normala la suprafață în acest punct.

Din această definiţie rezultă că ecuația planului tangent se pare ca:

(3)

Dacă un punct de pe suprafață este singular, atunci în acest punct vectorul normal la suprafață poate să nu existe și, prin urmare, suprafața poate să nu aibă un plan normal și tangent.

Sensul geometric al diferenţialului total al unei funcţii a două variabile

Fie funcția z = f (x, y) să fie diferențiabilă în punctul a (x 0, y 0). Graficul său este suprafața

f (x, y) - z = 0.

Punem z 0 = f (x 0, y 0). Atunci punctul A (x 0, y 0, z 0) aparține suprafeței.

Derivatele parțiale ale funcției F (x, y, z) = f (x, y) - z sunt

F "x = f" x, F "y = f" y, F "z = - 1

și în punctul A (x 0, y 0, z 0)

1. sunt continue;
2. F „2 x + F” 2 y + F „2 z = f” 2 x + f „2 y + 1 ≠ 0.

Prin urmare, A este un punct obișnuit al suprafeței F (x, y, z) și în acest punct există un plan tangent la suprafață. Conform (3), ecuația planului tangent are forma:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

Deplasarea verticală a unui punct pe planul tangent la trecerea de la un punct a (x 0, y 0) la un punct arbitrar p (x, y) este B Q (Fig. 2). Creșterea corespunzătoare este

(z - z 0) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Există un diferențial pe partea dreaptă aici d z al funcției z = f (x, y) în punctul a (x 0, x 0). Prin urmare,
d f (x 0, y 0). este incrementul aplicației unui punct al planului tangent la graficul funcției f (x, y) în punctul (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Din definirea diferenţialului rezultă că distanţa dintre punctul P de pe graficul funcţiei şi punctul Q de pe planul tangent este infinit mai mică de ordin mai mare decât distanţa de la punctul p la punctul a.

Definiție. Un punct situat pe o suprafață de ordinul doi, dat față de GDSK prin ecuația generală (1), se numește nesingular dacă, dintre cele trei numere: există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Astfel, un punct situat pe o suprafață de ordinul doi nu este singular dacă și numai dacă este centrul său, în caz contrar, atunci când suprafața este conică, iar punctul este vârful acestei suprafețe.

Definiție. O linie tangentă la o suprafață de ordinul doi într-un punct dat non-singular de pe ea este o linie dreaptă care trece prin acest punct, care intersectează suprafața de ordinul doi într-un punct dublu sau fiind o generatrică rectilinie a suprafeței.

Teorema 3. Liniile tangente la suprafața de ordinul al doilea într-un punct dat non-singular de pe acesta se află într-un singur plan, numit plan tangent la suprafața în punctul în cauză. Ecuația planului tangent are

Dovada. Fie ,, ecuațiile parametrice ale dreptei care trece printr-un punct nesingular al suprafeței de ordinul doi, date de ecuația (1). Înlocuind în ecuația (1), în loc de,,, obținem:

Deoarece punctul se află pe suprafața (1), găsim și din ecuația (3) (această valoare corespunde punctului). Pentru ca punctul de intersecție al dreptei cu suprafața (1) să fie dublu sau ca linia dreaptă să se afle în întregime pe suprafață, este necesar și suficient ca egalitatea să fie valabilă:

Daca in acelasi timp:

Punctul de intersecție al dreptei cu suprafața (1) este dublu. Ce-ar fi dacă:

Apoi întreaga linie se află pe suprafață (1).

Din relațiile (4) și,, rezultă că coordonatele,, ale oricărui punct situat pe orice tangentă la suprafața (1) satisfac ecuația:

În schimb, dacă coordonatele oricărui punct, altul decât satisfac această ecuație, atunci coordonatele,, vectorii, satisfac relația (4), ceea ce înseamnă că linia este tangentă la suprafața luată în considerare.

Întrucât un punct este un punct nesingular al suprafeței (1), atunci printre numere, există cel puțin unul care nu este egal cu zero; atunci ecuația (5) este o ecuație de gradul I în raport cu. Aceasta este ecuația planului tangent la suprafața (1) într-un punct dat non-singular de pe aceasta.

Pe baza ecuațiilor canonice ale suprafețelor de ordinul doi, este ușor să compuneți ecuațiile planurilor tangente la un elipsoid, hiperboloid etc. la un punct dat asupra lor.

1). Plan tangent la elipsoid:

2). Planul tangent la hiperboloizi cu una și două foi:

3). Plan tangent la paraboloizi eliptici și hiperbolici:

§ 161. Intersecţia unui plan tangent cu o suprafaţă de ordinul doi.

Vom lua ca origine a coordonatelor ODSK un punct nesingular al suprafeței de ordinul doi, axa și o vom plasa în planul tangent la suprafața din punct. Apoi, în ecuația generală a suprafeței (1), termenul liber este egal cu zero:, iar ecuația planului care atinge suprafața de la originea coordonatelor ar trebui să aibă forma:.

Dar ecuația planului care trece prin origine are forma:.

Și, deoarece această ecuație trebuie să fie echivalentă cu ecuația, atunci,,.

Deci, în sistemul de coordonate selectat, ecuația de suprafață (1) ar trebui să aibă forma:

În schimb, dacă, atunci ecuația (6) este ecuația suprafeței care trece prin origine, iar planul este planul tangent la această suprafață într-un punct. Ecuația dreptei de-a lungul căreia planul tangent la suprafață într-un punct intersectează suprafața (6) are forma:

Dacă . Acesta este un invariant în teoria invarianților pentru linii de ordinul doi. Ecuația (7)

Aceasta este a doua linie de comandă. După forma acestei linii, este invariant, prin urmare:

Când, iată două linii drepte imaginare care se intersectează.

La - două linii drepte reale care se intersectează.

Dacă, dar cel puțin unul dintre coeficienți, nu este egal cu zero, atunci linia de intersecție (7) este două drepte care coincid.

În sfârșit, dacă, atunci avionul

este o parte a acestei suprafețe, iar suprafața însăși se împarte, prin urmare, într-o pereche de planuri

§ 162. Puncte eliptice, hiperbolice sau parabolice ale unei suprafeţe de ordinul doi.

1. Lasă planul tangent la suprafața de ordinul doi într-un punct să-l intersecteze de-a lungul a două drepte imaginare care se intersectează. În acest caz, punctul se numește punctul eliptic al suprafeței.

2. Lăsați planul tangent la suprafața de ordinul doi într-un punct să-l intersecteze de-a lungul a două drepte reale care se intersectează în punctul de tangență. În acest caz, punctul se numește punct hiperbolic al suprafeței.

3. Lasă planul tangent la suprafața de ordinul doi într-un punct să-l intersecteze de-a lungul a două drepte care coincid. În acest caz, punctul se numește punct parabolic al suprafeței.

Teorema 4. Fie ca suprafața de ordinul doi în raport cu ODSK să fie dată de ecuația (1), iar ecuația dată (1) este ecuația suprafeței reale care nu se descompune de ordinul doi. Atunci, dacă; atunci toate punctele suprafeței sunt eliptice.

Dovada. Să introducem un nou sistem de coordonate, alegând ca origine de coordonate orice punct nesingul al suprafeței date și plasând axele și în planul tangent la suprafață în punctul respectiv. Ecuația (1) în noul sistem de coordonate este transformată în forma:

Unde . Să calculăm invarianta pentru această ecuație.

Deoarece în timpul trecerii de la un ODSK la altul ODSK semnul nu se schimbă, atunci semnele sunt opuse, deci, dacă, atunci; și, după cum rezultă din clasificare (vezi § 161), planul tangent la suprafață într-un punct intersectează suprafața de-a lungul a două drepte de intersectare imaginare, i.e. - punct eliptic.

2) Un hiperboloid cu o singură foaie și un paraboloid hiperbolic constau din puncte hiperbolice.

3) Con real de ordinul doi (nu este exclus vârful), cilindri eliptici (reali), hiperbolici și parabolici sunt formați din puncte parabolice.

Cilindru parabolic.

Pentru a determina locația cilindrului parabolic, este suficient să știți:

1) un plan de simetrie paralel cu generatoarea cilindrului;

2) planul tangent la cilindru, perpendicular pe acest plan de simetrie;

3) un vector perpendicular pe acest plan tangent și îndreptat spre concavitatea cilindrului.

Dacă ecuația generală definește un cilindru parabolic, acesta poate fi rescris astfel:

Vom selecta m astfel încât avionul

ar fi reciproc perpendiculare:

Cu această valoare m avion

va fi planul de simetrie paralel cu generatoarea cilindrului.

Avion

va fi planul tangent la cilindru, perpendicular pe planul de simetrie specificat și vectorul

va fi perpendicular pe planul tangent găsit şi îndreptat spre concavitatea cilindrului.

Planurile tangente joacă un rol important în geometrie. Construcția planurilor tangente în termeni practici este importantă, deoarece prezența lor vă permite să determinați direcția normalei la suprafață în punctul de tangență. Această problemă este utilizată pe scară largă în practica ingineriei. Planurile tangente sunt, de asemenea, folosite pentru a construi contururi de forme geometrice delimitate de suprafețe închise. În termeni teoretici, planele tangente la o suprafață sunt folosite în geometria diferențială pentru a studia proprietățile unei suprafețe în vecinătatea unui punct de tangență.

Concepte de bază și definiții

Planul tangent la suprafață trebuie considerat ca poziție limită a planului secant (prin analogie cu linia dreaptă tangentă la curbă, care este, de asemenea, definită ca poziție limită a planului secant).

Planul tangent la suprafață într-un punct dat de pe suprafață este mulțimea tuturor liniilor drepte - tangente trase la suprafață printr-un punct dat.

În geometria diferențială, se demonstrează că toate tangentele la o suprafață desenată într-un punct obișnuit sunt coplanare (aparțin aceluiași plan).

Să aflăm cum este trasată linia tangentă la suprafață. Tangenta t la suprafața β în punctul M specificat pe suprafață (Fig. 203) reprezintă poziția limită a secantei lj care intersectează suprafața în două puncte (MM 1, MM 2, ..., MM n) când punctele de intersecție coincid (M ≡ M n, ln ≡ l M). Evident (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, deoarece g ⊂ β. Din cele de mai sus rezultă următoarea definiție: tangentă la o suprafață este o linie dreaptă tangentă la orice curbă aparținând suprafeței.

Deoarece planul este definit de două drepte care se intersectează, atunci pentru a specifica un plan tangent la suprafață într-un punct dat, este suficient să se tragă prin acest punct două linii arbitrare aparținând suprafeței (de preferință de formă simplă) și fiecăreia. dintre ei construiesc tangente în punctul de intersecție al acestor drepte... Tangentele construite definesc în mod unic planul tangent. În Fig. 204. Această figură arată și normala n la suprafața β.

Normala la suprafață într-un punct dat este o dreaptă perpendiculară pe planul tangent și care trece prin punctul de tangență.

Linia de intersecție a suprafeței cu un plan care trece prin normală se numește secțiune normală a suprafeței. În funcție de tipul de suprafață, planul tangent poate avea unul sau mai multe puncte (linie) cu suprafața. Linia tangentă poate fi în același timp și linia de intersecție a suprafeței cu planul.

Cazurile sunt posibile și atunci când există puncte de pe suprafață în care este imposibil să desenezi o tangentă la suprafață; astfel de puncte sunt numite speciale. Un exemplu de puncte singulare sunt punctele aparținând marginii suprafeței de întoarcere a trunchiului sau punctul de intersecție a meridianului suprafeței de revoluție cu axa acesteia, dacă meridianul și axa nu se intersectează în unghi drept.

Tipurile de tangență depind de natura curburii suprafeței.

Curbura suprafeței

Întrebările legate de curbura suprafeței au fost investigate de matematicianul francez F. Dupin (1784-1873), care a propus o modalitate vizuală de a descrie schimbarea curburii secțiunilor normale ale unei suprafețe.

Pentru aceasta, în planul tangent la suprafața luată în considerare în punctul M (Fig. 205, 206), segmente egale cu rădăcinile pătrate ale valorilor razelor de curbură corespunzătoare acestor secțiuni sunt așezate pe tangente la secțiuni normale de ambele părți ale acestui punct. Setul de puncte - capetele segmentelor definesc o curbă numită Dupin indicatrix... Algoritmul pentru construirea indicatricei Dupin (Fig. 205) poate fi scris:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √ (R l 1), = √ (R l 2), ..., = √ (R l n)

unde R este raza de curbură.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) este indicatrixul Dupin.

Dacă indicatria Dupin a suprafeței este o elipsă, atunci punctul M se numește eliptic, iar suprafața se numește suprafață cu puncte eliptice(fig. 206). În acest caz, planul tangent are un singur punct comun cu suprafața, iar toate liniile aparținând suprafeței și care se intersectează în punctul luat în considerare sunt situate pe o parte a planului tangent. Exemple de suprafețe cu puncte eliptice sunt: ​​un paraboloid de revoluție, un elipsoid de revoluție, o sferă (în acest caz, indicatrixul Dupin este un cerc etc.).

Când desenați un plan tangent la suprafața trunchiului, planul va atinge această suprafață de-a lungul unei generatrice drepte. Punctele acestei drepte sunt numite parabolic, iar suprafața este o suprafață cu puncte parabolice... Indicatria lui Dupin în acest caz este două drepte paralele (Fig. 207 *).

În fig. 208 prezintă o suprafaţă formată din puncte în care

* O curbă de ordinul doi - o parabolă - în anumite condiții se poate împărți în două drepte paralele reale, două drepte paralele imaginare, două drepte care coincid. În fig. 207 avem de-a face cu două drepte paralele reale.

Planul tangent intersectează suprafața. O astfel de suprafață se numește hiperbolic, și punctele care îi aparțin - puncte hiperbolice. Indicatorul lui Dupin în acest caz este o hiperbolă.

O suprafață, din care toate punctele sunt hiperbolice, are forma unei șei (plan oblic, hiperboloid cu o singură foaie, suprafețe concave de revoluție etc.).

O suprafață poate avea puncte de diferite tipuri, de exemplu, la suprafața trunchiului (Fig. 209) punctul M este eliptic; punctul N - parabolic; punctul K este hiperbolic.

În cursul geometriei diferențiale se demonstrează că secțiunile normale, în care valorile curburii K j = 1 / R j (unde R j este raza de curbură a secțiunii luate în considerare) au valori extreme, sunt situate în două planuri reciproc perpendiculare.

Astfel de curburi K 1 = 1 / R max. K 2 = 1 / R min sunt numite principale, iar valorile H = (K 1 + K 2) / 2 și K = K 1 K 2 sunt, respectiv, curbura medie a suprafeței și totalul (gaussian) curbura suprafetei in punctul luat in considerare. Pentru punctele eliptice K> 0, punctele hiperbolice K

Specificarea unui plan tangent la o suprafață pe o diagramă Monge

Mai jos, folosind exemple specifice, arătăm construcția unui plan tangent la o suprafață cu puncte eliptice (exemplul 1), parabolice (exemplul 2) și hiperbolice (exemplul 3).

EXEMPLU 1. Construiți planul α, tangent la suprafața de revoluție β, cu puncte eliptice. Luați în considerare două opțiuni pentru rezolvarea acestei probleme, a) punctul М ∈ β și b) punctul М ∉ β

Opțiunea a (Fig. 210).

Planul tangent este definit de două tangente t 1 și t 2 desenate în punctul M la paralela și meridianul suprafeței β.

Proiecțiile tangentei t 1 la paralela h a suprafeței β vor fi t "1 ⊥ (S" M ") și t" 1 || axa x. Proiecția orizontală a tangentei t "2 la meridianul d al suprafeței β care trece prin punctul M coincide cu proiecția orizontală a meridianului. Pentru a găsi proiecția frontală a tangentei t" 2, planul meridional γ (γ ∋ М) prin rotirea în jurul axei suprafeței β este translată în poziția γ 1 paralelă cu planul π 2. În acest caz, punctul M → M 1 (M "1, M" 1). Este definită proiecția tangentei t "2 rarr; t" 2 1 (M "1 S"). Dacă readucem acum planul γ 1 în poziția inițială, atunci punctul S „va rămâne pe loc (ca aparținând axei de rotație), iar M” 1 → M „și proiecția frontală a tangentei t” 2 va fi determinat (M „S”)

Două tangente t 1 și t 2 care se intersectează într-un punct М ∈ β definesc planul α tangent la suprafața β.

Opțiunea b (fig. 211)

Pentru a construi un plan tangent la o suprafață care trece printr-un punct care nu aparține suprafeței, trebuie pornit de la următoarele considerații: un set de plane tangente la suprafață poate fi trasat printr-un punct din afara suprafeței format din puncte eliptice. Învelișul acestor suprafețe va fi o suprafață conică. Prin urmare, dacă nu există instrucțiuni suplimentare, atunci problema are multe soluții și în acest caz se reduce la desenarea unei suprafețe conice γ tangentă la această suprafață β.

În fig. 211 prezintă construcția unei suprafețe conice γ tangente la sfera β. Orice plan α tangent la suprafața conică γ va fi tangent la suprafața β.

Pentru a construi proiecțiile suprafeței γ din punctele M „și M” trageți tangente la cercurile h „și f” - proiecțiile sferei. Marcați punctele de atingere 1 (1 "și 1"), 2 (2 "și 2"), 3 (3 "și 3") și 4 (4 "și 4"). Proiecția orizontală a cercului - linia tangentă a suprafeței conice și a sferei vor fi proiectate în [1 "2"] Pentru a găsi punctele elipsei în care acest cerc va fi proiectat pe planul de proiecție frontală, utilizați paralelele de sfera.

În fig. 211 în acest fel, sunt determinate proiecțiile frontale ale punctelor E și F (E „și F”). Având o suprafață conică γ, construim un plan tangent α la aceasta. Natura și succesiunea graficului

Construcțiile care trebuie efectuate pentru aceasta sunt prezentate în exemplul următor.

EXEMPLUL 2 Construiți planul α tangent la suprafața β cu puncte parabolice

Ca în exemplul 1, luați în considerare două opțiuni pentru soluție: a) punctul N ∈ β; b) punctul N ∉ β

Opțiunea a (Figura 212).

O suprafață conică se referă la suprafețe cu puncte parabolice (vezi Fig. 207.) Un plan tangent la o suprafață conică o atinge de-a lungul unei generatrice rectilinie.

1) trageți un generator SN (S „N” și S „N”) prin acest punct N;

2) marcați punctul de intersecție al generatricei (SN) cu ghidajul d: (SN) ∩ d = A;

3) înfășoară tangenta t la d în punctul A.

Generatorul (SA) și tangenta t care îl intersectează definesc planul α tangent la suprafața conică β într-un punct dat N *.

A desena planul α, tangent la suprafața conică β și care trece prin punctul N, nu aparține

* Deoarece suprafața β este formată din puncte parabolice (cu excepția vârfului S), planul α tangent la acesta va avea în comun cu ea nu un punct N, ci o dreaptă (SN).

pe o suprafață dată, este necesar:

1) trageți o dreaptă a (a „și a”) printr-un punct dat N și un vârf S al suprafeței conice β;

2) determinați urma orizontală a acestei drepte H a;

3) prin H a se trag tangentele t "1 și t" 2 ale curbei h 0β - urma orizontală a suprafeței conice;

4) conectați punctele de tangență A (A „și A”) și B (B „și B”) la vârful suprafeței conice S (S „și S”).

Dreptele de intersectare t 1, (AS) și t 2, (BS) definesc planurile tangente căutate α 1 și α 2

EXEMPLU 3. Construiți planul α tangent la suprafața β cu puncte hiperbolice.

Punctul K (Fig. 214) este situat pe suprafața globoidului (suprafața interioară a inelului).

Pentru a determina poziția planului tangent α este necesar:

1) trageți prin punctul K a paralel cu suprafața β h (h ", h");

2) prin punctul K „trageți o tangentă t” 1 (t „1 ≡ h”);

3) pentru a determina direcțiile proiecțiilor tangentei la secțiunea meridiană, este necesar să se tragă planul γ prin punctul K și axa suprafeței, proiecția orizontală t "2 coincide cu h 0γ; pentru a construi proiecția frontală a tangentei t" 2, mai întâi translatăm planul γ rotindu-l în jurul axei suprafeței de revoluție în poziția γ 1 || π 2. În acest caz, secțiunea meridională din planul γ va fi combinată cu arcul de contur stâng al proiecției frontale - semicercul g".

Punctul K (K ", K"), aparținând curbei secțiunii meridionale, se va deplasa în poziția K 1 (K "1, K" 1). Prin K „1 trasăm o proiecție frontală a tangentei t” 2 1, aliniată cu planul γ 1 || Poziția π 2 și marcați punctul de intersecție cu proiecția frontală a axei de rotație S "1. Reveniți planul γ 1 în poziția inițială, punctul K" 1 → K "(punctul S" 1 ≡ S "). Proiecția frontală a tangentei t" 2 este determinată de punctele K "și S".

Tangentele t 1 și t 2 definesc planul tangent dorit α, care intersectează suprafața β de-a lungul curbei l.

EXEMPLU 4. Construiți planul α, tangent la suprafața β în punctul K. Punctul K este situat pe suprafața unui hiperboloid de revoluție cu o singură foaie (Fig. 215).

Această problemă poate fi rezolvată prin aderarea la algoritmul folosit în exemplul anterior, dar ținând cont de faptul că suprafața unui hiperboloid de revoluție cu o singură foaie este o suprafață reglată care are două familii de generatoare rectilinii și fiecare dintre generatoarele unuia. familia intersectează toți generatorii celeilalte familii (vezi § 32, Fig. . 138). Prin fiecare punct al acestei suprafețe se pot trasa două linii drepte care se intersectează - generatoare, care vor fi simultan tangente la suprafața unui hiperboloid de revoluție cu o singură foaie.

Aceste tangente definesc planul tangent, adică planul tangent la suprafața unui hiperboloid de revoluție cu o singură foaie intersectează această suprafață de-a lungul a două drepte g 1 și g 2. Pentru a construi proiecțiile acestor drepte, este suficient să purtați proiecția orizontală a punctului K pentru a duce tangentele t „1 și t” 2 la orizont.

proiecția locală a cercului d "2 - gâtul suprafeței unui hiperboloid de revoluție cu o singură foaie; determinați punctele 1" și 2, la care t "1 și t" 2 intersectează una dintre suprafețele de ghidare d 1. Pentru 1 „și 2” găsim 1 „și 2”, care împreună cu K „determină proiecțiile frontale ale liniilor drepte căutate.