Tabelul sinusurilor și cosinusurilor este complet. Sinus (sin x) și cosinus (cos x) – proprietăți, grafice, formule
Trigonometria, ca știință, își are originea în Orientul Antic. Primele rapoarte trigonometrice au fost obținute de astronomi pentru a crea un calendar precis și o orientare a stelelor. Aceste calcule s-au referit la trigonometria sferică, în timp ce la cursul școlar se studiază raportul dintre laturile și unghiurile unui triunghi plan.
Trigonometria este o ramură a matematicii care se ocupă de proprietățile funcțiilor trigonometrice și de relațiile dintre laturile și unghiurile triunghiurilor.
În perioada de glorie a culturii și științei din mileniul I d.Hr., cunoștințele s-au răspândit din Orientul Antic până în Grecia. Dar principalele descoperiri ale trigonometriei sunt meritul oamenilor din Califatul Arab. În special, omul de știință turkmen al-Marazwi a introdus funcții precum tangenta și cotangenta și a compilat primele tabele de valori pentru sinusuri, tangente și cotangente. Conceptele de sinus și cosinus au fost introduse de oamenii de știință indieni. Trigonometria a primit multă atenție în lucrările unor figuri atât de mari ale antichității precum Euclid, Arhimede și Eratostene.
Mărimi de bază ale trigonometriei
Funcțiile trigonometrice de bază ale unui argument numeric sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Fiecare dintre ele are propriul grafic: sinus, cosinus, tangent și cotangent.
Formulele pentru calcularea valorilor acestor mărimi se bazează pe teorema lui Pitagora. Este mai bine cunoscut de școlari în formularea: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”, deoarece dovada este dată folosind exemplul unui triunghi dreptunghic isoscel.
Sinus, cosinus și alte relații stabilesc relația dintre unghiurile ascuțite și laturile oricărui triunghi dreptunghic. Să prezentăm formule pentru calcularea acestor mărimi pentru unghiul A și să urmărim relațiile dintre funcțiile trigonometrice:
După cum puteți vedea, tg și ctg sunt funcții inverse. Dacă ne imaginăm catetul a ca produsul dintre sin A și ipotenuza c și catetul b ca cos A * c, obținem următoarele formule pentru tangentă și cotangentă:
Cercul trigonometric
Grafic, relația dintre cantitățile menționate poate fi reprezentată astfel:
Cercul, în acest caz, reprezintă toate valorile posibile ale unghiului α - de la 0° la 360°. După cum se poate observa din figură, fiecare funcție ia o valoare negativă sau pozitivă în funcție de unghi. De exemplu, sin α va avea semnul „+” dacă α aparține primului și al doilea sferturi de cerc, adică se află în intervalul de la 0° la 180°. Pentru α de la 180° la 360° (sferturile III și IV), sin α poate fi doar o valoare negativă.
Să încercăm să construim tabele trigonometrice pentru anumite unghiuri și să aflăm semnificația cantităților.
Valorile lui α egale cu 30°, 45°, 60°, 90°, 180° și așa mai departe sunt numite cazuri speciale. Valorile funcțiilor trigonometrice pentru acestea sunt calculate și prezentate sub formă de tabele speciale.
Aceste unghiuri nu au fost alese la întâmplare. Denumirea π din tabele este pentru radiani. Rad este unghiul la care lungimea arcului de cerc corespunde razei acestuia. Această valoare a fost introdusă pentru a stabili o dependență universală; la calcularea în radiani, lungimea reală a razei în cm nu contează.
Unghiurile din tabele pentru funcțiile trigonometrice corespund valorilor radianilor:
Deci, nu este greu de ghicit că 2π este un cerc complet sau 360°.
Proprietățile funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus
Pentru a lua în considerare și a compara proprietățile de bază ale sinusului și cosinusului, tangentei și cotangentei, este necesar să le trasăm funcțiile. Acest lucru se poate face sub forma unei curbe situate într-un sistem de coordonate bidimensional.
Luați în considerare tabelul comparativ de proprietăți pentru sinus și cosinus:
Undă sinusoidală | Cosinus |
---|---|
y = sinx | y = cos x |
ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
sin x = 0, pentru x = πk, unde k ϵ Z | cos x = 0, pentru x = π/2 + πk, unde k ϵ Z |
sin x = 1, pentru x = π/2 + 2πk, unde k ϵ Z | cos x = 1, la x = 2πk, unde k ϵ Z |
sin x = - 1, la x = 3π/2 + 2πk, unde k ϵ Z | cos x = - 1, pentru x = π + 2πk, unde k ϵ Z |
sin (-x) = - sin x, adică funcția este impară | cos (-x) = cos x, adică funcția este pară |
funcția este periodică, cea mai mică perioadă este 2π | |
sin x › 0, cu x aparținând trimestrului 1 și 2 sau de la 0° la 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, cu x aparținând sferturilor I și IV sau de la 270° la 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
sin x ‹ 0, cu x aparținând celui de-al treilea și al patrulea sferturi sau de la 180° la 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, cu x aparținând trimestrului 2 și 3 sau de la 90° la 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
crește în intervalul [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | crește pe intervalul [-π + 2πk, 2πk] |
scade pe intervale [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | scade pe intervale |
derivată (sin x)’ = cos x | derivată (cos x)’ = - sin x |
Determinarea dacă o funcție este pară sau nu este foarte simplă. Este suficient să vă imaginați un cerc trigonometric cu semnele cantităților trigonometrice și să „pliați” mental graficul în raport cu axa OX. Dacă semnele coincid, funcția este pară, în caz contrar, este impară.
Introducerea radianilor și listarea proprietăților de bază ale undelor sinus și cosinus ne permit să prezentăm următorul model:
Este foarte ușor să verifici dacă formula este corectă. De exemplu, pentru x = π/2, sinusul este 1, la fel și cosinusul lui x = 0. Verificarea se poate face prin consultarea tabelelor sau prin trasarea curbelor funcției pentru valori date.
Proprietățile tangentsoidelor și cotangentsoidelor
Graficele funcțiilor tangente și cotangente diferă semnificativ de funcțiile sinus și cosinus. Valorile tg și ctg sunt reciproce reciproce.
- Y = tan x.
- Tangenta tinde spre valorile lui y la x = π/2 + πk, dar nu le atinge niciodată.
- Cea mai mică perioadă pozitivă a tangentoidului este π.
- Tg (- x) = - tg x, adică funcția este impară.
- Tg x = 0, pentru x = πk.
- Funcția este în creștere.
- Tg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, pentru x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivată (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Luați în considerare imaginea grafică a cotangentoidului de mai jos în text.
Principalele proprietăți ale cotangentoidelor:
- Y = pat x.
- Spre deosebire de funcțiile sinus și cosinus, în tangentoidul Y poate prelua valorile mulțimii tuturor numerelor reale.
- Cotangentoidul tinde spre valorile lui y la x = πk, dar nu le atinge niciodată.
- Cea mai mică perioadă pozitivă a unui cotangentoid este π.
- Ctg (- x) = - ctg x, adică funcția este impară.
- Ctg x = 0, pentru x = π/2 + πk.
- Funcția este în scădere.
- Ctg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, pentru x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivată (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Corect
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
În primul rând, permiteți-mi să vă reamintesc o concluzie simplă, dar foarte utilă din lecția „Ce sunt sinus și cosinus? Ce sunt tangente și cotangente?”
Aceasta este ieșirea:
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt strâns legate de unghiurile lor. Știm un lucru, ceea ce înseamnă că știm altul.
Cu alte cuvinte, fiecare unghi are propriile sale constante sinus și cosinus. Și aproape fiecare are propria tangentă și cotangentă. De ce aproape? Mai multe despre asta mai jos.
Aceste cunoștințe vă ajută foarte mult la studii! Există o mulțime de sarcini în care trebuie să treceți de la sinusuri la unghiuri și invers. Pentru asta există masa sinusurilor.În mod similar, pentru sarcinile cu cosinus - masa cosinus.Și, după cum probabil ați ghicit, există tabel tangenteȘi tabelul cotangenților.)
Tabelele sunt diferite. Cele lungi, unde puteți vedea cu ce, să zicem, sin37°6’ este egal. Deschidem tabelele Bradis, căutăm un unghi de treizeci și șapte de grade șase minute și vedem valoarea de 0,6032. Este clar că nu este absolut necesar să ne amintim acest număr (și mii de alte valori din tabel).
De fapt, în timpul nostru, tabele lungi de cosinus, sinusuri, tangente, cotangente nu sunt cu adevărat necesare. Un calculator bun le înlocuiește complet. Dar nu strică să știi despre existența unor astfel de tabele. Pentru erudiția generală.)
Și atunci de ce această lecție?! - tu intrebi.
Dar de ce. Printre numărul infinit de unghiuri există special, despre care ar trebui să știți Toate. Toată geometria școlară și trigonometria sunt construite pe aceste unghiuri. Acesta este un fel de „tabel de înmulțire” al trigonometriei. Dacă nu știi cu ce este sin50°, de exemplu, nimeni nu te va judeca.) Dar dacă nu știi cu ce este sin30°, fii pregătit să obții două binemeritate...
Astfel de special Unghiurile sunt, de asemenea, destul de bune. Manualele școlare oferă de obicei cu amabilitate memorarea masa sinusurilor si masa cosinusului pentru șaptesprezece unghiuri. Și, desigur, tabel tangente și tabel cotangente pentru aceleași șaptesprezece unghiuri... adică. Se propune amintirea a 68 de valori. Care, apropo, sunt foarte asemănătoare între ele, se repetă din când în când și își schimbă semnele. Pentru o persoană fără memorie vizuală perfectă, aceasta este o sarcină destul de mare...)
Vom lua un alt traseu. Să înlocuim memorarea prin memorare cu logică și ingeniozitate. Apoi va trebui să memorăm 3 (trei!) valori pentru tabelul sinusurilor și tabelul cosinusurilor. Și 3 (trei!) valori pentru tabelul tangentelor și tabelul cotangentelor. Asta e tot. Șase valori sunt mai ușor de reținut decât 68, mi se pare...)
Vom obține toate celelalte valori necesare de la aceste șase folosind o fișă legală puternică - cerc trigonometric. Dacă nu ați studiat acest subiect, urmați linkul, nu fi leneș. Acest cerc nu este necesar doar pentru această lecție. El este de neînlocuit pentru toată trigonometria deodată. A nu folosi un astfel de instrument este pur și simplu un păcat! Tu nu vrei? E treaba ta. Memora masa sinusurilor. Tabelul cosinusurilor. Tabelul tangentelor. Tabelul cotangenților. Toate cele 68 de valori pentru o varietate de unghiuri.)
Deci, să începem. Mai întâi, să împărțim toate aceste unghiuri speciale în trei grupuri.
Primul grup de unghiuri.
Să luăm în considerare primul grup șaptesprezece unghiuri special. Acestea sunt 5 unghiuri: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Iată cum arată tabelul sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor pentru aceste unghiuri:
Unghiul x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Unghiul x
|
0 |
||||
sin x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
cos x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
substantiv |
0 |
substantiv |
0 |
ctg x |
substantiv |
0 |
substantiv |
0 |
substantiv |
Cei care vor să-și amintească, amintiți-vă. Dar voi spune imediat că toate aceste unități și zerouri devin foarte confuze în cap. Mult mai puternic decât doriți.) Prin urmare, activăm logica și cercul trigonometric.
Desenăm un cerc și marchem aceleași unghiuri pe el: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Am marcat aceste colțuri cu puncte roșii:
Este imediat evident ce este special la aceste unghiuri. Da! Acestea sunt unghiurile care cad exact pe axa de coordonate! De fapt, de aceea oamenii se încurcă... Dar noi nu ne vom încurca. Să ne dăm seama cum să găsim funcții trigonometrice ale acestor unghiuri fără prea multă memorare.
Apropo, poziția unghiului este de 0 grade coincide complet cu un unghi de 360 de grade. Aceasta înseamnă că sinusurile, cosinusurile și tangentele acestor unghiuri sunt exact aceleași. Am marcat un unghi de 360 de grade pentru a completa cercul.
Să presupunem că, în mediul dificil stresant al Examenului Unificat de Stat, te-ai îndoit cumva... Care este sinusul lui 0 grade? Pare zero... Dacă este unul?! Memorarea mecanică este așa ceva. În condiții dure, îndoielile încep să roadă...)
Calm, doar calm!) Vă voi spune o tehnică practică care vă va oferi un răspuns 100% corect și vă va îndepărta complet toate îndoielile.
De exemplu, să ne dăm seama cum să determinăm clar și fiabil, să zicem, sinusul de 0 grade. Și, în același timp, cosinus 0. În aceste valori, destul de ciudat, oamenii se confundă adesea.
Pentru a face acest lucru, desenați pe un cerc arbitrar colţ X. În primul trimestru au fost aproape 0 grade. Să marchem sinusul și cosinusul acestui unghi pe axe X, totul e bine. Ca aceasta:
Și acum - atenție! Să reducem unghiul X, aduceți partea în mișcare mai aproape de axă OH. Treceți cursorul peste imagine (sau atingeți imaginea de pe tabletă) și veți vedea totul.
Acum să pornim logica elementară! Să ne uităm și să ne gândim: Cum se comportă sinx pe măsură ce unghiul x scade? Pe măsură ce unghiul se apropie de zero? Se micsoreaza! Și cosx crește! Rămâne să ne dăm seama ce se va întâmpla cu sinusul când unghiul se prăbușește complet? Când latura în mișcare a unghiului (punctul A) se așează pe axa OX și unghiul devine egal cu zero? Evident, sinusul unghiului va merge la zero. Și cosinusul va crește la... la... Care este lungimea laturii în mișcare a unghiului (raza cercului trigonometric)? Unu!
Iată răspunsul. Sinusul de 0 grade este egal cu 0. Cosinusul de 0 grade este egal cu 1. Absolut de fier și fără nicio îndoială!) Pur și simplu pentru că altfel nu poate fi.
Exact în același mod, puteți afla (sau clarifica) sinusul de 270 de grade, de exemplu. Sau cosinus 180. Desenați un cerc, arbitrar un unghi într-un sfert de lângă axa de coordonate care ne interesează, mișcați mental latura unghiului și înțelegeți ce vor deveni sinusul și cosinusul când latura unghiului cade pe axă. Asta e tot.
După cum puteți vedea, nu este nevoie să memorați nimic pentru acest grup de unghiuri. Nu este nevoie aici masa sinusurilor... da si masa cosinus- de asemenea.) Apropo, după mai multe utilizări ale cercului trigonometric, toate aceste valori vor fi reținute de la sine. Și dacă uită, am desenat un cerc în 5 secunde și l-am clarificat. Mult mai ușor decât să suni un prieten de la toaletă și să-ți riști certificatul, nu?)
În ceea ce privește tangenta și cotangenta, totul este la fel. Desenăm o linie tangentă (cotangentă) pe cerc - și totul este imediat vizibil. Unde sunt egale cu zero și unde nu există. Ce, nu știi despre liniile tangente și cotangente? Acest lucru este trist, dar reparabil.) Am vizitat Secțiunea 555 Tangent și cotangent pe cercul trigonometric - și nu există probleme!
Dacă v-ați dat seama cum să definiți clar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta pentru aceste cinci unghiuri, felicitări! Pentru orice eventualitate, vă informez că acum puteți defini funcții orice unghiuri care cad pe axe.Și acesta este 450°, și 540° și 1800°, și un număr infinit de altele...) Am numărat (corect!) unghiul de pe cerc - și nu sunt probleme cu funcțiile.
Dar tocmai cu măsurarea unghiurilor apar problemele și erorile... Cum să le evitați este scris în lecția: Cum să desenați (numărați) orice unghi pe un cerc trigonometric în grade. Elementar, dar foarte util în lupta împotriva erorilor.)
Iată o lecție: Cum să desenezi (măsori) orice unghi pe un cerc trigonometric în radiani - va fi mai rece. În ceea ce privește posibilitățile. Să presupunem că determinăm pe care dintre cele patru semiaxe se încadrează unghiul
o poți face în câteva secunde. Nu glumesc! Doar în câteva secunde. Ei bine, desigur, nu numai 345 pi...) Și 121, și 16, și -1345. Orice coeficient întreg este potrivit pentru un răspuns instantaneu.
Și dacă colțul
Gândește-te! Raspunsul corect se obtine in 10 secunde.Pentru orice valoare fractionara de radiani cu un doi la numitor.
De fapt, acesta este ceea ce este bun la cercul trigonometric. Pentru că capacitatea de a lucra cu niste colțurile la care se extinde automat set infinit colțuri
Deci, am rezolvat cinci colțuri din șaptesprezece.
Al doilea grup de unghiuri.
Următorul grup de unghiuri sunt unghiurile de 30°, 45° și 60°. De ce tocmai acestea, și nu, de exemplu, 20, 50 și 80? Da, cumva a ieșit așa... Istoric.) Mai departe se va vedea de ce aceste unghiuri sunt bune.
Tabelul sinusurilor cosinus tangente cotangente pentru aceste unghiuri arată astfel:
Unghiul x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Unghiul x
|
0 |
||||
sin x |
0 |
1 |
|||
cos x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
substantiv |
||
ctg x |
substantiv |
1 |
0 |
Am lăsat valorile pentru 0° și 90° din tabelul anterior pentru a completa imaginea.) Astfel încât să puteți vedea că aceste unghiuri se află în primul trimestru și cresc. De la 0 la 90. Acest lucru ne va fi util mai târziu.
Trebuie reținute valorile din tabel pentru unghiuri de 30°, 45° și 60°. Memorează-l dacă vrei. Dar și aici există o oportunitate de a-ți face viața mai ușoară.) Acordați atenție valorile tabelului sinus aceste unghiuri. Si compara cu valorile tabelului cosinus...
Da! ei la fel! Doar aranjate în ordine inversă. Unghiurile cresc (0, 30, 45, 60, 90) - și valorile sinusului crește de la 0 la 1. Puteți verifica cu un calculator. Și valorile cosinusului sunt sunt în scădere de la 1 la zero. Mai mult decât atât, valorile înseși la fel. Pentru unghiuri de 20, 50, 80 acest lucru nu ar funcționa...
Aceasta este o concluzie utilă. Suficient pentru a învăța Trei valori pentru unghiuri de 30, 45, 60 de grade. Și amintiți-vă că pentru sinus cresc, iar pentru cosinus scad. Spre sinus.) Se întâlnesc la jumătate (45°), adică sinusul de 45 de grade este egal cu cosinusul de 45 de grade. Și apoi diverg din nou... Se pot învăța trei semnificații, nu?
Cu tangente - cotangente imaginea este exact aceeași. Unu la unu. Doar sensurile sunt diferite. Aceste valori (încă trei!) trebuie și ele învățate.
Ei bine, aproape toată memorarea s-a terminat. Ați înțeles (sperăm) cum să determinați valorile pentru cele cinci unghiuri care cad pe axă și ați învățat valorile pentru unghiurile de 30, 45, 60 de grade. Total 8.
Rămâne să ne ocupăm de ultimul grup de 9 cornere.
Acestea sunt unghiurile:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Pentru aceste unghiuri, trebuie să cunoașteți tabelul sinusurilor, tabelul cosinusurilor etc.
Coșmar, nu?)
Și dacă adăugați aici unghiuri, cum ar fi: 405°, 600° sau 3000° și multe, multe la fel de frumoase?)
Sau unghiuri în radiani? De exemplu, despre unghiuri:
si multe altele pe care ar trebui sa le stii Toate.
Cel mai amuzant lucru este să știi asta Toate - imposibil în principiu. Dacă utilizați memoria mecanică.
Și este foarte ușor, de fapt elementar - dacă folosești un cerc trigonometric. Odată ce ați înțeles lucrul cu cercul trigonometric, toate acele unghiuri de temut în grade pot fi reduse ușor și elegant la cele bune de modă veche:
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până astăzi; comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.
Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca țestoasă infinit de repede”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul mișcării (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.
miercuri, 4 iulie 2018
Diferențele dintre set și multiset sunt descrise foarte bine pe Wikipedia. Să vedem.
După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru poate fi aplicat altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor este unică pentru fiecare monedă...
Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea ei sunt șamani, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există nicio formulă în matematică care să poată fi folosită pentru a găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face cu ușurință.
Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.
1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol numeric grafic. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Tăiem o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere individuale. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” predate de șamani pe care le folosesc matematicienii. Dar asta nu este tot.
Din punct de vedere matematic, nu contează în ce sistem de numere scriem un număr. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. Cu numărul mare 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, să luăm în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu ne vom uita la fiecare pas la microscop; am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.
După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ai determina aria unui dreptunghi în metri și centimetri, ai obține rezultate complet diferite.
Zero arată la fel în toate sistemele de numere și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că. Întrebare pentru matematicieni: cum este ceva care nu este un număr desemnat în matematică? Ce, pentru matematicieni nu există nimic în afară de numere? Pot permite asta șamanilor, dar nu și oamenilor de știință. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu diferite unități de măsură ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei operații matematice nu depinde de mărimea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.
Oh! Asta nu este toaleta pentru femei?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nefilice a sufletelor în timpul înălțării lor la cer! Halo în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?
Femeie... Aureola de sus și săgeata în jos sunt masculine.
Dacă o astfel de operă de artă de design îți fulgerează în fața ochilor de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:
Personal, fac un efort să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (o compoziție din mai multe imagini: un semn minus, numărul patru, o denumire de grade). Și nu cred că această fată este o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un stereotip puternic de a percepe imaginile grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „pooping om” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat un număr și o literă ca un simbol grafic.
TABEL DE VALORI ALE FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE
Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice este întocmit pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 și 360 de grade și valorile unghiurilor corespunzătoare în vradians. Dintre funcțiile trigonometrice, tabelul prezintă sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, secanta și cosecantă. Pentru comoditatea rezolvării exemplelor școlare, valorile funcțiilor trigonometrice din tabel sunt scrise sub forma unei fracții, păstrând în același timp semnele pentru extragerea rădăcinii pătrate a numerelor, ceea ce ajută foarte adesea la reducerea expresiilor matematice complexe. Pentru tangentă și cotangentă, valorile unor unghiuri nu pot fi determinate. Pentru valorile tangentei și cotangentei unor astfel de unghiuri, există o liniuță în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice. Este în general acceptat că tangenta și cotangenta unor astfel de unghiuri este egală cu infinitul. Pe o pagină separată există formule pentru reducerea funcțiilor trigonometrice.
Tabelul de valori pentru funcția sinus trigonometrică arată valorile pentru următoarele unghiuri: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 în grade, care corespunde cu sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi în măsurarea radianilor unghiurilor. Masa școlară de sinusuri.
Pentru funcția cosinus trigonometrică, tabelul prezintă valorile pentru următoarele unghiuri: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 în grade, ceea ce corespunde cos 0 pi , cos pi cu 6, cos pi cu 4, cos pi cu 3, cos pi cu 2, cos pi, cos 3 pi cu 2, cos 2 pi în măsurarea radianilor unghiurilor. Masa școlară de cosinus.
Tabelul trigonometric pentru funcția tangentă trigonometrică oferă valori pentru următoarele unghiuri: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 în măsură de grade, care corespunde cu tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi în măsura radianilor unghiurilor. Următoarele valori ale funcțiilor tangente trigonometrice nu sunt definite tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 și sunt considerate egale cu infinitul.
Pentru funcția trigonometrică cotangentă din tabelul trigonometric sunt date valorile următoarelor unghiuri: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 în măsură de grade, care corespunde ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 în măsura radianilor unghiurilor. Următoarele valori ale funcțiilor cotangente trigonometrice nu sunt definite ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi și sunt considerate egale cu infinitul.
Valorile funcțiilor trigonometrice secant și cosecant sunt date pentru aceleași unghiuri în grade și radiani ca sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.
Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor nestandard arată valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile în grade 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 grade și în radiani pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radiani. Valorile funcțiilor trigonometrice sunt exprimate în termeni de fracții și rădăcini pătrate pentru a facilita reducerea fracțiilor în exemplele școlare.
Încă trei monștri trigonometrici. Prima este tangenta de 1,5 grade și jumătate sau pi împărțit la 120. A doua este cosinusul lui pi împărțit la 240, pi/240. Cel mai lung este cosinusul lui pi împărțit la 17, pi/17.
Cercul trigonometric de valori ale funcțiilor sinus și cosinus reprezintă vizual semnele sinusului și cosinusului în funcție de mărimea unghiului. În special pentru blonde, valorile cosinusului sunt subliniate cu o liniuță verde pentru a reduce confuzia. Conversia gradelor în radiani este, de asemenea, foarte clar prezentată atunci când radianii sunt exprimați în termeni de pi.
Acest tabel trigonometric prezintă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiuri de la 0 zero la 90 nouăzeci de grade la intervale de un grad. Pentru primele patruzeci și cinci de grade, numele funcțiilor trigonometrice ar trebui să fie privite în partea de sus a tabelului. Prima coloană conține grade, valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor sunt scrise în următoarele patru coloane.
Pentru unghiuri de la patruzeci și cinci de grade până la nouăzeci de grade, numele funcțiilor trigonometrice sunt scrise în partea de jos a tabelului. Ultima coloană conține grade; valorile cosinusului, sinusurilor, cotangentelor și tangentelor sunt scrise în cele patru coloane anterioare. Ar trebui să fiți atenți deoarece numele funcțiilor trigonometrice din partea de jos a tabelului trigonometric sunt diferite de numele din partea de sus a tabelului. Sinusurile și cosinusurile sunt interschimbate, la fel ca tangenta și cotangenta. Acest lucru se datorează simetriei valorilor funcțiilor trigonometrice.
Semnele funcțiilor trigonometrice sunt prezentate în figura de mai sus. Sinusul are valori pozitive de la 0 la 180 de grade sau de la 0 la pi. Sinusul are valori negative de la 180 la 360 de grade sau de la pi la 2 pi. Valorile cosinusului sunt pozitive de la 0 la 90 și de la 270 la 360 de grade sau de la 0 la 1/2 pi și 3/2 la 2 pi. Tangenta și cotangenta au valori pozitive de la 0 la 90 de grade și de la 180 la 270 de grade, corespunzătoare valorilor de la 0 la 1/2 pi și pi la 3/2 pi. Valorile negative ale tangentei și cotangentei sunt de la 90 la 180 de grade și de la 270 la 360 de grade, sau de la 1/2 pi la pi și de la 3/2 pi la 2 pi. Când determinați semnele funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri mai mari de 360 de grade sau 2 pi, ar trebui să utilizați proprietățile de periodicitate ale acestor funcții.
Funcțiile trigonometrice sinus, tangentă și cotangentă sunt funcții impare. Valorile acestor funcții pentru unghiuri negative vor fi negative. Cosinusul este o funcție trigonometrică uniformă - valoarea cosinusului pentru un unghi negativ va fi pozitivă. Regulile semnelor trebuie respectate la înmulțirea și împărțirea funcțiilor trigonometrice.
Tabelul de valori pentru funcția sinus trigonometrică arată valorile pentru următoarele unghiuri
DocumentExistă formule de reducere pe o pagină separată trigonometricfuncții. ÎN masavalorilePentrutrigonometricfuncțiisinusuluidatvalorilePentruurmătoarelecolțuri: sin 0, sin 30, sin 45 ...
Aparatul matematic propus este un analog complet al calculului complex pentru numere hipercomplex n-dimensionale cu orice număr de grade de libertate n și este destinat modelării matematice a neliniarelor.
Document... funcții egală funcții Imagini. Din această teoremă ar trebui să, Ce Pentru afland coordonatele U, V, este suficient sa se calculeze funcţie... geometrie; polinar funcții(analogi multidimensionali ai bidimensionali trigonometricfuncții), proprietățile lor, Meseși aplicare; ...