Tangent, cotangent

Definiții ale funcțiilor hiperbolice, domeniile lor de definiții și valori

sh x- sinus hiperbolic
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- cosinus hiperbolic
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
THX- tangentă hiperbolică
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- cotangentă hiperbolică
, x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

Grafice ale funcțiilor hiperbolice

Graficul sinus hiperbolic y = sh x

Graficul cosinus hiperbolic y = ch x

Graficul tangentei hiperbolice y = THX

Graficul cotangentei hiperbolice y = cth x

Formule cu funcții hiperbolice

Relația cu funcțiile trigonometrice

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i-lea z ; cot iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Aici i este unitatea imaginară, i 2 = - 1 .

Aplicând aceste formule funcțiilor trigonometrice, obținem formule care relaționează funcțiile hiperbolice.

Paritate

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x; cth(-x) = - cth x.

Funcţie ch(x)- chiar. Funcții sh(x), THX), cth(x)- ciudat.

Diferența de pătrate

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Formule pentru suma și diferența de argumente

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Formule pentru produsele sinusului hiperbolic și cosinusului

,
,
,

,
,
.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor hiperbolice

,
,
,
,
.

Relația dintre sinusul și cosinusul hiperbolic cu tangenta și cotangenta

, ,
, .

Derivate

,

Integrale ale lui sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Extinderi de serie

Funcții inverse

Areasinusul

La - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areacozină

La 1 ≤ x< ∞ Și 0 ≤ y< ∞ se aplică următoarele formule:
,
.

A doua ramură a areacosinului este situată la 1 ≤ x< ∞ și - ∞< y ≤ 0 :
.

Zona tangentă

La - 1 < x < 1 și - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Introducere

În matematică și aplicațiile sale în știință și tehnologie, funcțiile exponențiale sunt utilizate pe scară largă. Acest lucru, în special, se explică prin faptul că multe fenomene studiate în știința naturii se numără printre așa-numitele procese de creștere organică, în care ratele de modificare a funcțiilor implicate în acestea sunt proporționale cu valorile funcțiilor în sine. .

Dacă o notăm printr-o funcție și printr-un argument, atunci legea diferențială a procesului de creștere organică poate fi scrisă sub forma în care este un anumit coeficient de proporționalitate constant.

Integrarea acestei ecuații duce la decizie generală ca functie exponentiala

Dacă setați condiția inițială la, atunci puteți defini o constantă arbitrară și, astfel, puteți găsi o soluție particulară care reprezintă legea integrală a procesului luat în considerare.

Procesele de creștere organică includ, în anumite ipoteze simplificatoare, fenomene precum, de exemplu, modificări ale presiunii atmosferice în funcție de înălțimea deasupra suprafeței Pământului, descompunerea radioactivă, răcirea sau încălzirea unui corp în mediu inconjurator temperatura constanta, unimolecular reactie chimica(de exemplu, dizolvarea unei substanțe în apă), în care are loc legea acțiunii masei (viteza de reacție este proporțională cu cantitatea disponibilă de reactant), proliferarea microorganismelor și multe altele.

Creșterea unei sume de bani datorată acumulării dobânzii compuse (dobânda la dobândă) este, de asemenea, un proces de creștere organică.

Aceste exemple ar putea fi continuate.

Alături de funcțiile exponențiale individuale, în matematică și aplicațiile sale sunt utilizate diverse combinații de funcții exponențiale, printre care unele combinații liniare și fracțional-liniare de funcții și așa-numitele funcții hiperbolice sunt de o importanță deosebită. Există șase dintre aceste funcții; pentru ele au fost introduse următoarele nume și denumiri speciale:

(sinus hiperbolic),

(cosinus hiperbolic),

(tangenta hiperbolica),

(cotangent hiperbolic),

(secanta hiperbolica),

(secanta hiperbolica).

Se pune întrebarea, de ce exact aceste nume sunt date, iar aici este o hiperbolă și numele funcțiilor cunoscute din trigonometrie: sinus, cosinus etc.? Rezultă că relațiile care leagă funcțiile trigonometrice cu coordonatele punctelor de pe un cerc cu rază unitară sunt similare cu relațiile care leagă funcțiile hiperbolice cu coordonatele punctelor de pe o hiperbolă echilaterală cu o semiaxă unitară. Acest lucru justifică numele de funcții hiperbolice.

Funcții hiperbolice

Funcțiile date de formule se numesc cosinus hiperbolic și, respectiv, sinus hiperbolic.

Aceste funcții sunt definite și continue și - este o funcție pară și - este o funcție impară.

Figura 1.1 - Grafice de funcții

Din definiția funcțiilor hiperbolice rezultă că:

Prin analogie cu funcțiile trigonometrice, tangenta hiperbolică și cotangenta sunt determinate, respectiv, de formulele

Funcția este definită și continuă pe, iar funcția este definită și continuă pe platoul cu un punct perforat; ambele funcții sunt impare, graficele lor sunt prezentate în figurile de mai jos.

Figura 1.2 - Graficul funcției

Figura 1.3 - Graficul funcției

Se poate arăta că funcțiile și sunt strict în creștere, iar funcția este strict în scădere. Prin urmare, aceste funcții sunt inversabile. Să notăm funcțiile inverse acestora cu respectiv.

Să considerăm funcția inversă funcției, adică. funcţie. Să o exprimăm prin intermediul celor elementare. Rezolvând ecuația relativ, obținem De când, atunci, de unde

Înlocuind cu și cu, găsim formula pentru funcția inversă pentru sinusul hiperbolic.

Alături de legătura dintre trigonometrice și funcții exponențiale(formule Euler)

în domeniul complex există o astfel de foarte conexiune simplăîntre funcţiile trigonometrice şi hiperbolice.

Amintiți-vă că, conform definiției:

Dacă în identitatea (3) facem o înlocuire cu atunci pe partea dreaptă, obținem aceeași expresie care se află în partea dreaptă a identității, din care rezultă egalitatea laturilor stângi. Același lucru este valabil și pentru identitățile (4) și (2).

Împărțind ambele părți ale identității (6) în părțile corespunzătoare ale identității (5) și, invers, (5) cu (6), obținem:

O substituire similară în identitățile (1) și (2) și o comparație cu identitățile (3) și (4) dau:

În sfârșit, din identitățile (9) și (10) găsim:

Dacă în identitățile (5)-(12) punem unde x este un număr real, adică considerăm argumentul ca fiind pur imaginar, atunci obținem încă opt identități între funcțiile trigonometrice ale unui argument pur imaginar și funcțiile hiperbolice corespunzătoare ale argument real, precum și între funcțiile hiperbolice ale argumentului pur imaginar și funcțiile trigonometrice corespunzătoare ale argumentului real:

Relațiile rezultate fac posibilă trecerea de la funcții trigonometrice la hiperbolic şi de la

funcţii hiperbolice la cele trigonometrice cu înlocuirea argumentului imaginar cu unul real. Ele pot fi formulate după următoarea regulă:

Pentru a trece de la funcțiile trigonometrice ale argumentului imaginar la cele hiperbolice sau, invers, de la funcțiile hiperbolice ale argumentului imaginar la cele trigonometrice, unitatea imaginară a sinusului și tangentei trebuie scoasă din semnul funcției, iar pentru cosinus ar trebui aruncat cu totul.

Legătura stabilită este remarcabilă, în special, prin faptul că ne permite să obținem toate relațiile dintre funcțiile hiperbolice din relațiile cunoscute dintre funcțiile trigonometrice prin înlocuirea acestora din urmă cu funcții hiperbolice.

Să vă arătăm cum este. se face.

Să luăm de exemplu identitatea trigonometrică de bază

și puneți în el unde x este un număr real; primim:

Dacă în această identitate înlocuim sinus și cosinus cu sinus și cosinus hiperbolic conform formulelor, atunci obținem sau și aceasta este identitatea principală între derivate anterior într-un mod diferit.

Într-un mod similar, puteți deriva toate celelalte formule, inclusiv formule pentru funcții hiperbolice ale sumei și diferenței argumentelor, argumentelor duble și jumătate etc., obținând astfel „trigonometrie hiperbolică” din trigonometria obișnuită.