Tabel de valori ale funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor. Măsura gradului de unghi
Trigonometria, ca știință, își are originea în Orientul Antic. Primele rapoarte trigonometrice au fost obținute de astronomi pentru a crea un calendar precis și o orientare a stelelor. Aceste calcule s-au referit la trigonometria sferică, în timp ce la cursul școlar se studiază raportul dintre laturile și unghiurile unui triunghi plan.
Trigonometria este o ramură a matematicii care se ocupă de proprietățile funcțiilor trigonometrice și de relațiile dintre laturile și unghiurile triunghiurilor.
În perioada de glorie a culturii și științei din mileniul I d.Hr., cunoștințele s-au răspândit din Orientul Antic până în Grecia. Dar principalele descoperiri ale trigonometriei sunt meritul oamenilor din Califatul Arab. În special, omul de știință turkmen al-Marazwi a introdus funcții precum tangenta și cotangenta și a compilat primele tabele de valori pentru sinusuri, tangente și cotangente. Conceptele de sinus și cosinus au fost introduse de oamenii de știință indieni. Trigonometria a primit multă atenție în lucrările unor figuri atât de mari ale antichității precum Euclid, Arhimede și Eratostene.
Mărimi de bază ale trigonometriei
Funcțiile trigonometrice de bază ale unui argument numeric sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Fiecare dintre ele are propriul grafic: sinus, cosinus, tangent și cotangent.
Formulele pentru calcularea valorilor acestor mărimi se bazează pe teorema lui Pitagora. Este mai bine cunoscut de școlari în formularea: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”, deoarece dovada este dată folosind exemplul unui triunghi dreptunghic isoscel.
Sinus, cosinus și alte relații stabilesc relația dintre unghiurile ascuțite și laturile oricărui triunghi dreptunghic. Să prezentăm formule pentru calcularea acestor mărimi pentru unghiul A și să urmărim relațiile dintre funcțiile trigonometrice:
După cum puteți vedea, tg și ctg sunt funcții inverse. Dacă ne imaginăm catetul a ca produsul dintre sin A și ipotenuza c și catetul b ca cos A * c, obținem următoarele formule pentru tangentă și cotangentă:
Cercul trigonometric
Grafic, relația dintre cantitățile menționate poate fi reprezentată astfel:
Cercul, în acest caz, reprezintă toate valorile posibile ale unghiului α - de la 0° la 360°. După cum se poate observa din figură, fiecare funcție ia o valoare negativă sau pozitivă în funcție de unghi. De exemplu, sin α va avea semnul „+” dacă α aparține primului și al doilea sferturi de cerc, adică se află în intervalul de la 0° la 180°. Pentru α de la 180° la 360° (sferturile III și IV), sin α poate fi doar o valoare negativă.
Să încercăm să construim tabele trigonometrice pentru anumite unghiuri și să aflăm semnificația cantităților.
Valorile lui α egale cu 30°, 45°, 60°, 90°, 180° și așa mai departe sunt numite cazuri speciale. Valorile funcțiilor trigonometrice pentru acestea sunt calculate și prezentate sub formă de tabele speciale.
Aceste unghiuri nu au fost alese la întâmplare. Denumirea π din tabele este pentru radiani. Rad este unghiul la care lungimea arcului de cerc corespunde razei acestuia. Această valoare a fost introdusă pentru a stabili o dependență universală; la calcularea în radiani, lungimea reală a razei în cm nu contează.
Unghiurile din tabele pentru funcțiile trigonometrice corespund valorilor radianilor:
Deci, nu este greu de ghicit că 2π este un cerc complet sau 360°.
Proprietățile funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus
Pentru a lua în considerare și a compara proprietățile de bază ale sinusului și cosinusului, tangentei și cotangentei, este necesar să le trasăm funcțiile. Acest lucru se poate face sub forma unei curbe situate într-un sistem de coordonate bidimensional.
Luați în considerare tabelul comparativ de proprietăți pentru sinus și cosinus:
| Undă sinusoidală | Cosinus |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, pentru x = πk, unde k ϵ Z | cos x = 0, pentru x = π/2 + πk, unde k ϵ Z |
| sin x = 1, pentru x = π/2 + 2πk, unde k ϵ Z | cos x = 1, la x = 2πk, unde k ϵ Z |
| sin x = - 1, la x = 3π/2 + 2πk, unde k ϵ Z | cos x = - 1, pentru x = π + 2πk, unde k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, adică funcția este impară | cos (-x) = cos x, adică funcția este pară |
| funcția este periodică, cea mai mică perioadă este 2π | |
| sin x › 0, cu x aparținând trimestrului 1 și 2 sau de la 0° la 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, cu x aparținând sferturilor I și IV sau de la 270° la 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, cu x aparținând celui de-al treilea și al patrulea sferturi sau de la 180° la 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, cu x aparținând trimestrului 2 și 3 sau de la 90° la 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| crește în intervalul [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | crește pe intervalul [-π + 2πk, 2πk] |
| scade pe intervale [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | scade pe intervale |
| derivată (sin x)’ = cos x | derivată (cos x)’ = - sin x |
Determinarea dacă o funcție este pară sau nu este foarte simplă. Este suficient să vă imaginați un cerc trigonometric cu semnele cantităților trigonometrice și să „pliați” mental graficul în raport cu axa OX. Dacă semnele coincid, funcția este pară, în caz contrar, este impară.
Introducerea radianilor și listarea proprietăților de bază ale undelor sinus și cosinus ne permit să prezentăm următorul model:
Este foarte ușor să verifici dacă formula este corectă. De exemplu, pentru x = π/2, sinusul este 1, la fel și cosinusul lui x = 0. Verificarea se poate face prin consultarea tabelelor sau prin trasarea curbelor funcției pentru valori date.
Proprietățile tangentsoidelor și cotangentsoidelor
Graficele funcțiilor tangente și cotangente diferă semnificativ de funcțiile sinus și cosinus. Valorile tg și ctg sunt reciproce reciproce.
- Y = tan x.
- Tangenta tinde spre valorile lui y la x = π/2 + πk, dar nu le atinge niciodată.
- Cea mai mică perioadă pozitivă a tangentoidului este π.
- Tg (- x) = - tg x, adică funcția este impară.
- Tg x = 0, pentru x = πk.
- Funcția este în creștere.
- Tg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, pentru x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivată (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Luați în considerare imaginea grafică a cotangentoidului de mai jos în text.
Principalele proprietăți ale cotangentoidelor:
- Y = pat x.
- Spre deosebire de funcțiile sinus și cosinus, în tangentoidul Y poate prelua valorile mulțimii tuturor numerelor reale.
- Cotangentoidul tinde spre valorile lui y la x = πk, dar nu le atinge niciodată.
- Cea mai mică perioadă pozitivă a unui cotangentoid este π.
- Ctg (- x) = - ctg x, adică funcția este impară.
- Ctg x = 0, pentru x = π/2 + πk.
- Funcția este în scădere.
- Ctg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, pentru x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivată (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Corect
În articol, vom înțelege pe deplin cum arată tabel de valori trigonometrice, sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să luăm în considerare semnificația de bază a funcțiilor trigonometrice, dintr-un unghi de 0,30,45,60,90,...,360 de grade. Și să vedem cum să folosiți aceste tabele în calcularea valorilor funcțiilor trigonometrice.
Mai întâi să ne uităm la tabelul cosinus, sinus, tangente și cotangente dintr-un unghi de 0, 30, 45, 60, 90,... grade. Definiția acestor mărimi ne permite să determinăm valoarea funcțiilor unghiurilor de 0 și 90 de grade:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, cotangenta de la 00 va fi nedefinită
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, tangenta de la 90 0 va fi incertă
Dacă luați triunghiuri dreptunghiulare ale căror unghiuri sunt de la 30 la 90 de grade. Primim:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, cot 60 0 = √3/3
Să reprezentăm toate valorile obținute în formă tabel trigonometric:
Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente!
Dacă folosim formula de reducere, tabelul nostru va crește, adăugând valori pentru unghiuri de până la 360 de grade. Va arata ca:
De asemenea, pe baza proprietăților periodicității, tabelul poate fi mărit dacă înlocuim unghiurile cu 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, în care z este un număr întreg. În acest tabel este posibil să se calculeze valoarea tuturor unghiurilor corespunzătoare punctelor dintr-un singur cerc.
Să vedem cum să folosiți tabelul într-o soluție.
Totul este foarte simplu. Deoarece valoarea de care avem nevoie se află în punctul de intersecție al celulelor de care avem nevoie. De exemplu, luați cosul unui unghi de 60 de grade, în tabel va arăta astfel:
În tabelul final al principalelor valori ale funcțiilor trigonometrice, procedăm în același mod. Dar în acest tabel este posibil să aflăm cât de mult este tangenta dintr-un unghi de 1020 de grade, ea = -√3 Să verificăm 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Să-l găsim folosind tabelul.
masa Bradis. Pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.
Tabelele Bradis sunt împărțite în mai multe părți, formate din tabele de cosinus și sinus, tangentă și cotangentă - care este împărțită în două părți (tg de unghiuri de până la 90 de grade și ctg de unghiuri mici).
Sinus și cosinus
tg de unghi începând cu 00 care se termină cu 760, ctg de unghi începând cu 140 care se termină cu 900.
tg până la 900 și ctg de unghiuri mici.
Să ne dăm seama cum să folosim tabelele Bradis în rezolvarea problemelor.
Să găsim denumirea sin (desemnarea în coloana de pe marginea din stânga) 42 de minute (desemnarea este pe linia de sus). Prin intersecție căutăm denumirea, it = 0,3040.
Valorile minutelor sunt indicate cu un interval de șase minute, ce să facem dacă valoarea de care avem nevoie se încadrează exact în acest interval. Să luăm 44 de minute, dar în tabel sunt doar 42. Luăm ca bază 42 și folosim coloanele suplimentare din partea dreaptă, luăm al 2-lea amendament și adăugăm la 0,3040 + 0,0006 obținem 0,3046.
Cu sin 47 de minute, luăm 48 de minute ca bază și scădem 1 corecție din ea, adică 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Când calculăm cos, lucrăm similar cu sin, doar că luăm ca bază rândul de jos al tabelului. De exemplu cos 20 0 = 0,9397
Valorile unghiului tg până la 90 0 și ale unui unghi mic sunt corecte și nu există corecții în ele. De exemplu, găsiți tg 78 0 37min = 4,967 
și ctg 20 0 13min = 25,83 
Ei bine, ne-am uitat la tabelele trigonometrice de bază. Sperăm că aceste informații v-au fost extrem de utile. Dacă aveți întrebări despre tabele, asigurați-vă că le scrieți în comentarii!
Notă: Barele de protecție de perete sunt o placă de protecție pentru protejarea pereților. Urmați linkul bare de protecție de perete fără cadru (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) și aflați mai multe.
În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până astăzi; comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.
Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul mișcării (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.
miercuri, 4 iulie 2018
Diferențele dintre set și multiset sunt descrise foarte bine pe Wikipedia. Să vedem.
După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru poate fi aplicat altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor este unică pentru fiecare monedă...
Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea ei sunt șamani, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există nicio formulă în matematică care să poată fi folosită pentru a găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face cu ușurință.
Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.
1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol numeric grafic. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Tăiem o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere individuale. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” predate de șamani pe care le folosesc matematicienii. Dar asta nu este tot.
Din punct de vedere matematic, nu contează în ce sistem de numere scriem un număr. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. Cu numărul mare 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, să luăm în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu ne vom uita la fiecare pas la microscop; am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.
După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ai determina aria unui dreptunghi în metri și centimetri, ai obține rezultate complet diferite.
Zero arată la fel în toate sistemele de numere și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că. Întrebare pentru matematicieni: cum este ceva care nu este un număr desemnat în matematică? Ce, pentru matematicieni nu există nimic în afară de numere? Pot permite asta șamanilor, dar nu și oamenilor de știință. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu diferite unități de măsură ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei operații matematice nu depinde de mărimea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.
Oh! Asta nu este toaleta pentru femei?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nefilice a sufletelor în timpul înălțării lor la cer! Halo în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?
Femeie... Aureola de sus și săgeata în jos sunt masculine.
Dacă o astfel de operă de artă de design îți fulgerează în fața ochilor de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:
Personal, fac un efort să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (o compoziție din mai multe imagini: un semn minus, numărul patru, o denumire de grade). Și nu cred că această fată este o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un stereotip puternic de a percepe imaginile grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „pooping om” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat un număr și o literă ca un simbol grafic.
Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste concepte, la prima vedere, complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari) și pentru a ne asigura că „diavolul nu este atât de groaznic pe cât este pictat”, să începem de la de la început și înțelegeți conceptul de unghi.
Conceptul de unghi: radian, grad
Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi colţ.
Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, desigur, unități unghiulare!
Unghiul, atât în geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.
Unghiul (un grad) este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc egal cu o parte a cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.
Adică, figura de mai sus arată un unghi egal cu, adică acest unghi se sprijină pe un arc circular de mărimea circumferinței.
Un unghi în radiani este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, te-ai dat seama? Dacă nu, atunci hai să ne dăm seama din desen.
Deci, figura prezintă un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se sprijină pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcului). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:
Unde este unghiul central în radiani.
Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani sunt conținute în unghiul descris de cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferință. Iat-o:
Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să aflăm că unghiul descris de cerc este egal. Adică, prin corelarea valorii în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.
Câți radiani sunt? Asta e corect!
Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și remediați:
Aveți dificultăți? Atunci uite răspunsuri:
Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unghiului
Deci, ne-am dat seama conceptul de unghi. Dar ce este sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne va ajuta un triunghi dreptunghic.
Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru aceasta este latura); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele adiacente unghiului drept), iar dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este opusul. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?
Sinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul opus (distant) față de ipotenuză.
În triunghiul nostru.
Cosinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.
În triunghiul nostru.
Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).
În triunghiul nostru.
Cotangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).
În triunghiul nostru.
Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă aminti mai ușor ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăȘi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusurilorȘi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:
Cosinus→ating→ating→adiacent;
Cotangent → atinge → atinge → adiacent.
În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu crede? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:
Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.
Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!
Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.
Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghi.
Cercul unitar (trigonometric).
Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.
După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).
Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonatele axei și coordonatele axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiulară deoarece este perpendiculară pe axă.
Cu ce este egal triunghiul? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:
Cu ce este egal triunghiul? Ei bine, desigur,! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:
Deci, poți spune ce coordonate are un punct aparținând unui cerc? Ei bine, în niciun caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama de asta și sunt doar numere? Cărei coordonate corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Si la ce coordonata corespunde? Așa e, coordonate! Astfel, punct.
Atunci ce sunt și egal cu? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.
Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:
Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: unghi (ca adiacent unui unghi). Care sunt valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:
Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.
S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar doar acesta va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.
Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul unui cerc este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază către sau către? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.
În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.
Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.
Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală sau (unde este orice număr întreg)
Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:
Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:
Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:
De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: unghiul la corespunde unui punct cu coordonate, deci:
Nu exista;
Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.
Raspunsuri:
Astfel, putem realiza următorul tabel:
Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:
Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și, date în tabelul de mai jos, trebuie amintit:
Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu destul de simplu de reținut valorile corespunzătoare:
Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi (), precum și valoarea tangentei unghiului. Cunoscând aceste valori, este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:
Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți toate valorile din tabel.
Coordonatele unui punct pe un cerc
Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?
Ei bine, bineînțeles că poți! Hai să-l scoatem afară formula generala pentru aflarea coordonatelor unui punct.
De exemplu, iată un cerc în fața noastră:
Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele unui punct obținute prin rotirea punctului cu grade.
După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:
Apoi avem asta pentru coordonata punctului.
Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Prin urmare,
Deci, în general, coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:
Coordonatele centrului cercului,
Raza cercului,
Unghiul de rotație al razei vectoriale.
După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:
Ei bine, haideți să încercăm aceste formule exersând găsirea punctelor pe un cerc?
1. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.
2. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.
3. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.
4. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.
5. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.
Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?
Rezolva aceste cinci exemple (sau te pricepi la rezolvarea lor) si vei invata sa le gasesti!
REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ
Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.
Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.
Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă (depărtată) și latura adiacentă (închisă).
Cotangenta unui unghi este raportul dintre latura adiacentă (închisă) și latura opusă (depărtată).
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.
Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.
Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.
Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.
Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR
Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
În concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.
„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați-le!
