Formula vitezei undei plane. Ecuații ale undelor plane și sferice

Un val plan este un val cu un front plan. În acest caz, razele sunt paralele.

O undă plană este excitată în vecinătatea unui plan oscilant sau dacă se ia în considerare o mică parte a frontului de undă al unui emițător punctual. Aria acestei zone poate fi mai mare cu cât este mai departe de emițător.

Razele care acoperă o secțiune a planului frontului de undă luat în considerare formează o „țeavă”. Amplitudinea presiunii sonore într-o undă plană nu scade odată cu distanța de la sursă, deoarece energia nu se răspândește dincolo de pereții acestei conducte. În practică, aceasta corespunde unei radiații foarte direcționale, de exemplu, radiații de la panouri electrostatice cu suprafață mare și emițători de corn.

Semnalele în diferite puncte ale unui fascicul de undă plană diferă în faza de oscilație. Dacă presiunea sonoră pe o anumită secțiune a unui front de undă plat este sinusoidală, atunci poate fi reprezentată în formă exponențială r sv = r tsv- exp (icot). La distanta G de-a lungul fasciculului va rămâne în urma sursei de oscilații:

Unde sunet g/s- timpul necesar unei undă pentru a călători de la o sursă la un punct aflat la distanță G de-a lungul grinzii k = (o/ s зъ = 2w/d - numărul de undă, care determină defazarea dintre semnalele din fronturile de undă plane situate la distanță G.

Undele sonore reale sunt mai complexe decât cele sinusoidale, totuși, calculele efectuate pentru undele sinusoidale sunt valabile și pentru semnalele nesinusoidale, dacă nu considerăm frecvența ca o constantă, adică. luați în considerare un semnal complex în domeniul frecvenței. Acest lucru este posibil atâta timp cât procesele de propagare a undelor rămân liniare.

O undă al cărei front este o sferă se numește sferică. Razele coincid cu razele sferei. O undă sferică se formează în două cazuri.

• 1. Dimensiunile sursei sunt mult mai mici decât lungimea de undă, iar distanța până la sursă permite ca aceasta să fie considerată un punct. O astfel de sursă se numește sursă punctuală.
• 2. Sursa este o sferă pulsatorie.

În ambele cazuri, se presupune că nu există reflexii ale undelor, adică. Se ia în considerare doar valul direct. Nu există unde pur sferice în domeniul de interes al electroacusticii; ele sunt aceeași abstractizare ca o undă plană. În regiunea frecvențelor medii-înalte, configurația și dimensiunea surselor nu permit ca acestea să fie considerate nici punct, nici sferă. Și în regiunea cu frecvență joasă, cel puțin sexul începe să aibă o influență directă. Singura undă apropiată de sferică se formează într-o cameră anecoică cu dimensiuni mici ale emițătorului. Dar luarea în considerare a acestei abstractizări ne permite să înțelegem câteva aspecte importante ale propagării undelor sonore.

La distanțe mari de emițător, unda sferică degenerează într-o undă plană.

La distanta G de la emiţător presiunea sonoră poate fi

prezentat ca r sunet= -^-exp(/ (pat - La? G)), Unde p-Jr- amplitudine

presiunea sonoră la o distanță de 1 m de centrul sferei. Scăderea presiunii sonore cu distanța față de centrul sferei este asociată cu răspândirea puterii pe o zonă din ce în ce mai mare - 4 pag 2. Puterea totală care curge prin întreaga zonă a frontului de undă nu se modifică, astfel încât puterea pe unitate de suprafață scade proporțional cu pătratul distanței. Și presiunea este proporțională cu rădăcina pătrată a puterii, deci scade proporțional cu distanța în sine. Necesitatea normalizării la presiune la o anumită distanță fixă ​​(1 m în acest caz) este asociată cu același fapt că presiunea depinde de distanță, doar în direcția opusă - cu o apropiere nelimitată de un emițător punctual, presiunea sonoră (ca precum și viteza de vibrație și deplasarea moleculelor) crește la nesfârșit.

Viteza de vibrație a moleculelor într-o undă sferică poate fi determinată din ecuația de mișcare a mediului:

Viteza oscilatorie totala v m = ^ sunet ^ + k g? fază

/V e sunet kg

deplasare în raport cu presiunea sonoră f= -arctgf ---] (Fig. 9.1).

Pentru a spune simplu, prezența unei schimbări de fază între presiunea sonoră și viteza vibrațională se datorează faptului că în zona apropiată, cu distanța față de centru, presiunea acustică scade mult mai repede decât întârzie.

Orez. 9.1. Dependența defazării f între presiunea sonoră R iar viteza oscilatoare v de la g/k(distanța de-a lungul fasciculului până la lungimea de undă)

În fig. 9.1 puteți vedea două zone caracteristice:

• 1) aproape g/x" 1.
• 2) îndepărtat g/x" 1.

Rezistența la radiații a unei sfere cu rază G

Aceasta înseamnă că nu toată puterea este cheltuită pe radiații; o parte este stocată într-un element reactiv și apoi returnată la emițător. Fizic, acest element poate fi asociat cu masa atașată a mediului, oscilând cu emițătorul:

Este ușor de observat că masa adăugată a mediului scade odată cu creșterea frecvenței.

În fig. Figura 9.2 prezintă dependența de frecvență a coeficienților adimensionali ai componentelor reale și imaginare ale rezistenței la radiații. Radiația este eficientă dacă Re(z(r)) > Im(z(r)). Pentru o sferă pulsatorie, această condiție este îndeplinită când kg > 1.

Val de avion este un val al cărui front este un avion. Să ne amintim că frontul este o suprafață echifazată, adică. suprafata cu faze egale.

Presupunem că în punctul O (Fig. 5.1) există o sursă punctuală, un plan R perpendicular pe axa Z, puncte M j și M 2întins într-un avion R. De asemenea, acceptăm că sursa O este atât de departe de plan R, că OMj | | OM 2. Aceasta înseamnă că toate punctele din plan R, fiind frontul valului, sunt egali, i.e. când se deplasează într-un avion R nu există nicio schimbare în starea procesului:

Orez. 5.1.

Să rezolvăm ecuațiile Helmholtz

raportat la vectorii de câmp și examinați soluțiile rezultate.

În acest caz, din șase ecuații, rămân doar două ecuații:

Unde plane în vid

Soluția ecuațiilor diferențiale (5.1) are forma

unde sunt rădăcinile ecuației caracteristice

Trecând de la vectorii complecși la valorile lor instantanee, obținem

Primul termen reprezintă valul înainte, iar al doilea reprezintă valul înapoi. Să considerăm primul termen al ecuației (5.2). În fig. 5.2 în conformitate cu această ecuație arată distribuția intensității câmpului electric la timpul t și At. Punctele 1 și 2 corespund intensității maxime a câmpului electric. Poziția maximului s-a schimbat în timp La la distanta Az:

Egalitatea valorilor funcției este asigurată de egalitatea argumentelor: ooAt = kAz.În acest caz, obținem ecuația pentru viteza de fază

Puc. 5.2. Graficul modificărilor intensității câmpului electric

Pentru vid UV = - , C ° = -j2== 3 10 8 m/s.

W 8 oМ-о V E oMo

Aceasta înseamnă că în vid viteza de propagare a undei electromagnetice este egală cu viteza luminii. Luați în considerare al doilea termen al ecuației (5.2):

Oferă Uf =-. Aceasta corespunde unei undă care se propagă spre sursă.

Să stabilim distanța Xîntre punctele de câmp cu faze diferite cu 360°. Această distanță se numește lungime de undă. Deoarece

Unde La este numărul de undă (constanta de propagare), atunci

Lungime de undă în vid X 0= c / /, unde c este viteza luminii.

Viteza fazei și, respectiv, lungimea de undă în alte medii

După cum rezultă din formula pentru viteza de fază, aceasta nu depinde de frecvența câmpului electromagnetic, ceea ce înseamnă că mediul este fără pierderi și nedispersiv.

Să stabilim o legătură între direcțiile vectorilor câmpului electric și magnetic. Să începem cu ecuațiile lui Maxwell:

Inlocuim ecuatiile vectoriale cu cele scalare, i.e. egalăm proiecțiile vectorilor din ultimele ecuații:

Să luăm în considerare faptul că în sistemul (5.3)

atunci primim

Din condiția (5.4) este evident că undele plane nu au componente longitudinale, deoarece Ez= Oh, H 2= 0. Să compunem produsul scalar (E, R), exprimând exȘi E y din expresiile (5.4):

Deoarece produsul scalar al vectorilor este zero, vectorii Eu iar eu într-o undă plană sunt perpendiculare unul pe celălalt. Datorită faptului că nu au componente longitudinale, ? iar I sunt perpendiculare pe direcția de propagare. Să determinăm raportul amplitudinilor vectorilor câmpului electric și magnetic.

Să presupunem că este un vector? îndreptată de-a lungul axei X, respectiv E y - 0,H X - 0.

Din ecuația (5.4) ex=-Sunt ~-E x. Prin urmare =-=,/- -Z, așternut de soia Bine soia V e

unde Z este impedanța de undă a mediului cu parametri macroscopici e și p;

Z 0 - impedanța de undă a vidului. Cu un grad ridicat de precizie, această valoare poate fi considerată rezistența la val a aerului uscat.

Să notăm expresii pentru valorile instantanee I și? val incidentă folosind ecuația (5.2). Ca rezultat obținem

în mod similar

Pe măsură ce unda incidentă se mișcă de-a lungul axei z amplitudini? iar eu rămân neschimbat, adică. atenuarea undelor nu are loc, deoarece nu există curenți de conducere în dielectric și nicio eliberare de energie sub formă de căldură.

În fig. 5.3, A Sunt reprezentate curbele spațiale, care sunt grafice ale valorilor instantanee ale lui R și?. Aceste grafice sunt construite folosind ecuațiile obținute pentru moment în timp patut = 0. Pentru un moment ulterior în timp, de exemplu pentru cot + |/ n = p/2, curbe similare sunt prezentate în fig. 5.3, b.

Orez. 5.3.

A- la o )t= 0; b - la u>t= n/2

După cum se poate observa în Fig. 5.3, a și b, vector E când unda se mișcă, ea rămâne îndreptată de-a lungul axei X, iar vectorul I este de-a lungul axei y, schimbare de fază între I și? Nu.

Vectorul Poynting al undei incidente este direcționat de-a lungul axei z. Modulul său se modifică conform legii P = C2Z sin 2 ^cot + --zj. Deoarece

sin 2a = (1 - cos2a)/2, la 1-cosf 2 pat+-- z], adică vector

2 L V v)_

Poyntingul are o componentă constantă C2Z/2și o variabilă variabilă în timp cu frecvența unghiulară dublă.

Pe baza analizei soluției ecuațiilor de unde se pot trage următoarele concluzii.

• 1. În vid, undele plane se propagă cu viteza luminii, în alte medii viteza este de ^/e,.p r ori mai mică.
• 2. Vectorii câmpurilor electrice și magnetice nu au componente longitudinale și sunt perpendiculari între ei.
• 3. Raportul amplitudinilor câmpurilor electrice și magnetice este egal cu impedanța caracteristică a mediului în care se propagă undele electromagnetice.

: o astfel de undă nu există în natură, deoarece frontul unei unde plane începe la $-\backslash mathcal(1)$ si se termina la $+\backslash mathcal(1)$, ceea ce evident nu poate fi. De asemenea, o undă plană ar transporta o putere infinită și ar fi nevoie de energie infinită pentru a crea o undă plană. O undă cu un front complex (real) poate fi reprezentată ca un spectru de unde plane folosind transformata Fourier în variabile spațiale.

Val cvasiplan- un val al cărui front este aproape plat într-o zonă limitată. Dacă dimensiunile regiunii sunt suficient de mari pentru problema luată în considerare, atunci unda cvasiplană poate fi considerată aproximativ plană. O undă cu un front complex poate fi aproximată printr-un set de unde cvasiplane locale, ai căror vectori viteză de fază sunt normali față de frontul real în fiecare dintre punctele sale. Exemple de surse de unde electromagnetice cvasiplane sunt antenele laser, oglinzi și lentile: distribuția fazei câmpului electromagnetic într-un plan paralel cu deschiderea (orificiul de emisie) este aproape uniformă. Pe măsură ce se îndepărtează de deschidere, frontul de undă capătă o formă complexă.

Definiție

Ecuația oricărei undă este o soluție a unei ecuații diferențiale numită val. Ecuația de undă pentru funcție $A$ scris sub forma

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$ Unde

• $\backslash Delta$- operator Laplace;
• $A(\backslash vec(r),t)$- functia ceruta;
• $r$- vector raza punctului dorit;
• $v$- viteza undei;
• $t$- timp.

Caz unidimensional

$\backslash Delta\; W\_k\; =\; \backslash cfrac\; (\backslash rho)\; (2)\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V$ $\backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac\; (E)\; (2)\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; x)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; =\; \backslash cfrac\; (\backslash rho\; v^2)\; (2)\; \backslash left\; (\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; x)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; .$

Energia totală este

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Densitatea de energie este, în consecință, egală cu

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash dreapta)\; .$

Polarizare

Scrieți o recenzie despre articolul „Unda avionului”

Literatură

• Savelev I.V.[Partea 2. Valuri. Unde elastice.] // Curs de fizică generală / Editat de Gladnev L.I., Mikhalin N.A., Mirtov D.A.. - ed. a III-a. - M.: Nauka, 1988. - T. 2. - P. 274-315. - 496 s. - 220.000 de exemplare.

Note

Vezi si

Un fragment care caracterizează o undă plană

- Păcat, păcat de semeni; da-mi o scrisoare.
Rostov abia a avut timp să predea scrisoarea și să povestească toată treaba lui Denisov, când dinspre scări au început să sune pași repezi cu pinteni, iar generalul, îndepărtându-se de el, s-a îndreptat spre pridvor. Domnii alaiului suveranului alergară în jos pe scări și se duseră la cai. Bereitor Ene, același care era la Austerlitz, aduse calul suveranului și pe scări se auzi un scârțâit ușor de pași, pe care Rostov îl recunoscu acum. Uitând de pericolul de a fi recunoscut, Rostov s-a mutat împreună cu câțiva locuitori curioși în veranda propriu-zisă și, din nou, după doi ani, a văzut aceleași trăsături pe care le adora, același chip, același aspect, același mers, aceeași combinație de măreție și blândețe... Iar sentimentul de încântare și de iubire față de suveran a înviat cu aceeași putere în sufletul lui Rostov. Împăratul în uniforma Preobrazhensky, în jambiere albe și cizme înalte, cu o stea pe care Rostov nu o cunoștea (era legion d'honneur) [steaua Legiunii de Onoare] a ieșit pe verandă, ținându-și pălăria la îndemână și punându-se o mănușă.S-a oprit uitându-se în jur și asta luminează împrejurimile cu privirea.A spus câteva cuvinte unora dintre generali.L-a recunoscut și pe fostul șef de divizie,Rostov,i-a zâmbit și l-a chemat. .
Întreaga suită s-a retras și Rostov a văzut cum acest general i-a spus ceva suveranului destul de mult timp.
Împăratul i-a spus câteva cuvinte și a făcut un pas să se apropie de cal. Din nou, mulțimea suveranului și mulțimea străzii în care se afla Rostov s-au apropiat de suveran. Oprându-se lângă cal și ținând șaua cu mâna, suveranul s-a întors către generalul de cavalerie și a vorbit tare, evident, cu dorința ca toată lumea să-l audă.
„Nu pot, domnule general, și de aceea nu pot pentru că legea este mai puternică decât mine”, a spus suveranul și a ridicat piciorul în etrier. Generalul și-a plecat capul respectuos, suveranul s-a așezat și a galopat pe stradă. Rostov, depășit de încântare, alergă după el cu mulțimea.

Pe piața unde a mers suveranul, un batalion de soldați Preobrazhensky stătea față în față în dreapta, iar un batalion al Gărzii Franceze în pălării din piele de urs în stânga.
În timp ce suveranul se apropia de un flanc al batalioanelor, care erau de gardă, o altă mulțime de călăreți a sărit pe flancul opus și în fața lor Rostov l-a recunoscut pe Napoleon. Nu putea fi altcineva. Călărea în galop, într-o pălărie mică, cu o panglică de Sfântul Andrei pe umăr, într-o uniformă albastră deschisă peste o camisolă albă, pe un cal arab neobișnuit de pursânge, pe o pânză de șea purpurie, roșie, cu aur. După ce s-a apropiat de Alexandru, și-a ridicat pălăria și, cu această mișcare, ochiul de cavalerie al lui Rostov nu a putut să nu observe că Napoleon stătea prost și nu ferm pe calul său. Batalioanele au strigat: Ura și Vii, Împăratul! [Trăiască Împăratul!] Napoleon i-a spus ceva lui Alexandru. Ambii împărați au coborât de pe cai și și-au luat mâinile. Pe chipul lui Napoleon era un zâmbet neplăcut. Alexandru i-a spus ceva el cu o expresie afectuoasa .
Rostov, fără să-și ia privirea, în ciuda călcării în picioare a cailor jandarmilor francezi care asediau mulțimea, a urmărit fiecare mișcare a împăratului Alexandru și a lui Bonaparte. A fost surprins de faptul că Alexandru s-a comportat ca un egal cu Bonaparte și că Bonaparte era complet liber, de parcă această apropiere cu suveranul i-ar fi fost firească și familiară, ca pe un egal, l-a tratat pe țarul rus.
Alexandru și Napoleon, cu o coadă lungă a succesiunii lor, s-au apropiat de flancul drept al batalionului Preobrazhensky, direct spre mulțimea care stătea acolo. Mulțimea s-a trezit deodată atât de aproape de împărați, încât Rostov, care stătea în primele rânduri, s-a temut că îl vor recunoaște.
„Sire, je vous demande la permission de donner la legion d"honneur au plus brave de vos soldats, [Sire, vă cer permisiunea de a da Ordinul Legiunii de Onoare celor mai curajoși dintre soldații voștri,] a spus un ascuțit: voce precisă, terminând fiecare literă.. Scurtul Bonaparte a fost cel care vorbea, uitându-se drept în ochii lui Alexandru de jos.Alexandru ascultă cu atenție ce i se spunea și își înclină capul, zâmbind plăcut.
„A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Celui care s-a arătat cel mai curajos în timpul războiului]”, a adăugat Napoleon, subliniind fiecare silabă, cu un calm și o încredere revoltătoare pentru Rostov, privind în jurul rândurilor. dintre ruși întinși în fața acolo sunt soldați, ținând totul în pază și privind nemișcați în fața împăratului lor.
„Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du colonel? [Majestatea Voastră îmi va permite să întreb părerea colonelului?] - a spus Alexandru și a făcut câțiva pași grăbiți către prințul Kozlovsky, comandantul batalionului. Între timp, Bonaparte a început să ia mânușa lui albă, mâna mică și, rupând-o, o aruncă înăuntru. Adjutantul, repezindu-se în grabă din spate, o ridică.
- Cui să i-o dau? – l-a întrebat împăratul Alexandru pe Kozlovsky nu tare, în rusă.
- Cui ordonați, Maiestate? „Împăratul a tresărit de nemulțumire și, privind în jur, a spus:
- Dar trebuie să-i răspunzi.
Kozlovsky a privit înapoi la rânduri cu o privire hotărâtă și în această privire l-a capturat și pe Rostov.
„Nu sunt eu?” gândi Rostov.
- Lazarev! – porunci colonelul încruntat; iar soldatul de rangul întâi, Lazarev, a pășit inteligent în față.
-Unde te duci? Opriți aici! - i-au şoptit voci lui Lazarev, care nu ştia încotro să meargă. Lazarev s-a oprit, s-a uitat pieziș la colonel și i-a tremurat fața, așa cum se întâmplă cu soldații chemați pe front.
Napoleon și-a întors ușor capul pe spate și și-a tras mâna dolofană, de parcă ar fi vrut să ia ceva. Chipurile alaiului său, după ce au ghicit chiar în acea secundă ce se întâmpla, au început să se zbârnească, să șoptească, să-și transmită ceva unul altuia, iar pagina, aceea pe care Rostov l-a văzut ieri la Boris, a alergat în față și s-a aplecat respectuos. mâna întinsă și nu a făcut-o să aștepte nici o secundă, a pus o comandă pe o panglică roșie în ea. Napoleon, fără să se uite, strânse două degete. Ordinul s-a trezit între ei. Napoleon s-a apropiat de Lazarev, care, dându-și ochii peste cap, a continuat cu încăpățânare să se uite doar la suveranul său și s-a uitat înapoi la împăratul Alexandru, arătând astfel că ceea ce face acum, făcea pentru aliatul său. O mână mică albă cu un ordin a atins butonul soldatului Lazarev. Parcă Napoleon știa că pentru ca acest soldat să fie fericit, răsplătit și distins de toți ceilalți din lume pentru totdeauna, era necesar doar ca el, mâna lui Napoleon, să fie demn să atingă pieptul soldatului. Napoleon tocmai a pus crucea la pieptul lui Lazarev și, dându-i drumul mâna, s-a întors către Alexandru, de parcă ar fi știut că crucea trebuie să se lipească de pieptul lui Lazarev. Crucea chiar s-a blocat.

Începem studiul undelor cu cel mai simplu caz de mișcare unidimensională a unui mediu, când toate caracteristicile undei depind de o singură coordonată carteziană, de exemplu coordonata x. Suprafețele pe care faza unei unde date are aceeași valoare se numesc fronturi de undă. În acest caz, fronturile sunt avioane

Deoarece presiunea se schimbă numai în direcția perpendiculară pe fronturi, viteza particulelor în mișcare unidimensională este, de asemenea, direcționată perpendicular pe fronturi.

Pentru un câmp sonor unidimensional, se poate găsi o soluție generală a ecuației de undă, care în acest caz ia forma

Să facem o schimbare de variabile în această ecuație

Derivatele parțiale ale presiunii față de și față de x vor fi exprimate în termeni de derivate față de noile variabile, după cum urmează:

Repetând diferențierea, găsim

Înlocuind expresiile rezultate în ecuația de undă, obținem

Rezultă că derivata parțială dr/da trebuie să fie independentă de variabilă; poate fi considerată arbitrară

functia unui:

Integrarea peste a, găsim

unde sunt și funcții arbitrare ale argumentelor lor. Revenind la variabilele originale, constatăm că soluția generală a ecuației de undă unidimensională - așa-numita „soluție D'Alembert” - are forma

Orice funcție de la sau de la va reprezenta o undă plană care călătorește: prima este o undă care călătorește spre dreapta, a doua este o undă care călătorește spre stânga. Soluția generală a unei probleme unidimensionale se reduce la suma a două unde plane de formă arbitrară care se îndreaptă una spre cealaltă. Fiecare dintre aceste unde se deplasează individual în direcția axei x pozitive (sau negative) ca un corp rigid cu o viteză c.

Astfel, introducerea conceptului de viteză pentru o undă plană care se deplasează într-un mediu devine justificată. Cu toate acestea, este ambiguu. Prin introducerea acestui concept, presupunem implicit că unda se mișcă ca un corp rigid în direcția axei x. Dar imaginea nu se va schimba deloc dacă presupunem că perturbarea se mișcă ca un corp rigid într-o direcție care formează un unghi cu axa x la viteza , așa cum se dovedește în Fig. 17.1 pentru o undă sinusoidală. Ambele cazuri sunt fundamental imposibil de distins, deoarece stările de perturbare ale mediului în orice punct al aceluiași front de undă nu sunt distinse. Prin urmare, deocamdată vom considera că această definiție a direcției și mărimii vitezei undei este condiționată. Mai jos, în cap. III, vom vedea că există motive convingătoare pentru a accepta tocmai o astfel de definiție, pe lângă comoditatea evidentă.

Să prezentăm un rezumat al celor mai importante relații dintre caracteristicile unui val plan care călătorește. Să fie dată presiunea din undă sub formă

unde semnul superior corespunde unei unde care călătorește în pozitiv, iar semnul inferior - în direcția negativă a axei x. Relația dintre presiune, viteză și compresie într-o undă care călătorește are forma

De aici, folosind (14.2), găsim mai multe relații

Zonele mediului în care compresia (și, prin urmare, presiunea) sunt pozitive, se deplasează în direcția deplasării undei, iar zonele de presiune negativă se deplasează spre deplasarea undei. Particulele la care presiunea sonoră este zero au și o viteză egală cu zero.

Orez. 17.1. Profil de presiune bidimensional într-o undă sinusoidală plană într-un plan care trece prin direcția de propagare a undei. Deplasarea unei unde în direcția a cu viteza c nu se poate deosebi de deplasarea în direcția cu viteza .

Dacă considerăm întotdeauna direcția undei ca fiind pozitivă, atunci secțiunile comprimate se vor deplasa în direcția pozitivă, iar secțiunile rarefiate ale mediului se vor deplasa în direcția negativă, iar în formulele (17.2) și (17.3) putem lua întotdeauna semnul plus. Raportul dintre viteza particulelor și presiunea într-o undă care se deplasează cu o astfel de alegere a direcției pozitive în orice moment este egal cu

Acest raport se numește conductivitatea undei a mediului. Nu depinde de forma de undă, ci doar de proprietățile mediului.

Valoarea conductivității undei reciproce se numește impedanța caracteristică a mediului.

Toate formulele prezentate aici sunt valabile numai în absența dispersiei.

Înregistrarea unei unde plane care se deplasează pe care am obținut-o este asociată cu alegerea axei x în direcția de propagare a undei. Hai să scriem

ecuația de undă plană în formă vectorială. Acest lucru ne va permite să obținem ulterior o expresie pentru o undă plană în orice sistem de coordonate.

Pentru a face acest lucru, introducem un vector perpendicular pe fronturile de undă și egal ca mărime cu valoarea inversă a vitezei: Vom numi vectorul vector de lentă al undei. Să notăm vectorul rază a unui punct arbitrar al mediului tras de la origine prin Evident, de aceea, ecuația unei unde plane care se deplasează poate fi scrisă sub forma

Orez. 17.2. Vectorul de lentă al unei unde plane și proiecția acesteia pe axele de coordonate și planurile de coordonate. Săgeți groase - vectorul de încetinire a undei inițiale și vectorii de încetinire ai urmelor undei pe axa x și pe plan

Ultima intrare nu este legată de alegerea sistemului de coordonate. Dacă pentru o undă care călătorește plană se cunoaște dependența presiunii de timp în orice punct și se cunoaște vectorul de lentoare 5, atunci ecuația de undă se obține prin înlocuirea timpului din această dependență cu un binom (unde vectorul rază este desenat dintr-un anumit punct). punct). Relația (17.2) dintre viteza particulei și presiune într-o undă plană poate fi scrisă folosind vectorul de lentoare în formă vectorială:

Folosind (17.5), putem scrie o expresie pentru undă sub formă de coordonate pentru orice locație a axelor de coordonate în raport cu direcția de propagare a undei:

Iată proiecțiile vectorului de lentoare pe axele de coordonate; unghiurile vectorului de lentoare cu axele de coordonate (Fig. 17.2).

„Urma” unei unde plane pe orice axă, de exemplu, pe o axă, poate fi considerată o undă unidimensională care rulează de-a lungul axei x. În mod similar, „urma” unei unde pe un anumit plan, de exemplu, un plan poate fi considerată o undă bidimensională care călătorește pe plan. Dependența de timp a tuturor cantităților care caracterizează unda este aceeași în toate urmele ca și în original

undă, dar încetineala urmelor este diferită: ele sunt egale cu proiecțiile vectorului de încetineală al undei originale pe axele sau planurile corespunzătoare. Deci, lentoarea urmei pe axa x este , iar lentoarea urmei pe plan este .

Vectorul de încetinire al undei plane inițiale și încetineala urmelor sale pe axe și planuri de coordonate sunt în aceleași relații între ele ca vectorul viteză al unui punct material în mișcare și viteza proiecțiilor sale pe axe și planuri. În abordarea ondulatorie a proceselor acustice, vectorul de lentoare este un concept care are o semnificație fizică directă, așa cum în mecanica punctelor materiale vectorul viteză are sens. Conceptul de vector viteză pentru unde nu are mai multă semnificație decât conceptul de vector de lentă pentru un punct în mișcare. Doar pentru mișcările unidimensionale, când viteza sau încetineala pot fi considerate scalare și în principiu nu se pune problema de proiecții sau urme ale obiectului în cauză, conceptul de viteză și încetinire ar putea fi aplicat în condiții egale atât pentru unde, cât și pentru punctele materiale. . Conceptul de încetinire sau viteză modulo este întotdeauna aplicabil pentru ambele obiecte. În acest sens, ei vorbesc de obicei despre viteza undelor, și nu despre încetineală; dar ei spun asta doar din obișnuință: discutăm mai des despre mișcarea corpurilor decât despre unde.

Faptul că pentru unde conceptul de vector viteză nu are sens și locul său este înlocuit cu conceptul de vector de lentă al undei este asociat cu diferența fundamentală dintre mecanica undelor și mecanica punctelor materiale, despre care am discutat deja. în 1.

> Unde sferice și plane

Învață să diferențiezi unde sferice și plane. Citiți ce undă se numește plană sau sferică, sursa, rolul frontului de undă, caracteristici.

Unde sferice provin dintr-o sursă punctuală într-un model sferic și apartament– planuri paralele infinite normale vectorului viteză de fază.

Obiectiv de învățare

• Calculați sursele modelelor de unde sferice și plane.

Punctele principale

• Undele creează interferențe constructive și distructive.
• Sfericele apar dintr-o singură sursă punctuală într-o formă sferică.
• Apa plată este apa cu frecvență, ale cărei fronturi de undă acționează ca planuri paralele infinite cu o amplitudine stabilă.
• În realitate, nu se va putea obține un val plan perfect, dar mulți se apropie de această stare.

Termeni

• Interferență distructivă - undele interferează unele cu altele, iar punctele nu coincid.
• Constructiv - undele interferează și punctele sunt situate în faze identice.
• Un front de undă este o suprafață imaginară care se extinde prin puncte oscilante în faza mediului.

Unde sferice

Ce undă se numește sferică? Christian Huygens a reușit să dezvolte o metodă pentru determinarea metodei și locației propagării undelor. În 1678, el a propus ca fiecare punct care întâmpină o perturbare a luminii să devină o sursă de undă sferică. Însumarea undelor secundare calculează aspectul în orice moment. Acest principiu a arătat că, la contact, undele creează interferențe distructive sau constructive.

Cele constructive se formează dacă undele sunt complet în fază unele cu altele, iar cea finală se intensifică. În undele distructive, acestea nu corespund în faze, iar cea finală este pur și simplu scurtată. Undele provin dintr-o singură sursă punctuală, deci se formează într-un model sferic.

Dacă undele sunt generate dintr-o sursă punctuală, ele apar sferice

Acest principiu aplică legea refracției. Fiecare punct de pe undă creează unde care interferează unul cu celălalt constructiv sau distructiv

Valuri plane

Acum să înțelegem ce fel de undă se numește avion. Cel plat afișează o undă de frecvență, ale cărei fronturi apar ca plane paralele infinite cu o amplitudine stabilă situată perpendicular pe vectorul viteză de fază. În realitate, este imposibil să se obțină o undă plană adevărată. Doar unul plat cu extensie infinită îl poate potrivi. Adevărat, multe valuri se apropie de această stare. De exemplu, o antenă produce un câmp care este aproximativ plat.

Planar afișează un număr infinit de fronturi de undă normale pe partea de propagare