Що таке бісектриса приказка. Що таке бісектриса кута? Деякі властивості бісектриси

Усередині кута, рівновіддалених від сторін кута.

Мнемонічне правило

Бісектриса - це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл.

Полегшує запам'ятовування формулювання. Найчастіше використовується дітьми.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Синоніми:

• Словник термінів планіметрії
• Вписане коло

Дивитись що таке "Бісектриса" в інших словниках:

бісектриса- ы, ж. bissectrice f. матем. Пряма лінія, що проходить через вершину кута і ділить її навпіл. БАС 2. Рисувати бісектрису. Васюкова 1999. Бісектриса це такий щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл. 1994. Бєлянін. Лекс. Брокг. Історичний словник галицизмів російської

бісектриса- математичка, лінія, пряма Словник російських синонімів. бісектриса сущ., кіл синонімів: 3 лінія (182) … Словник синонімів

БІСЕКТРИСА- (Від лат. bis двічі і seco розсікаю) кута напівпряма (промінь), що виходить з вершини кута і ділить його навпіл … Великий Енциклопедичний словник

БІСЕКТРИСА- [Ісе], бісектриси, дружин. (Від лат. bissectrix січуча поперек) (мат.). 1. У куті пряма лінія, що ділить кут навпіл. 2. У трикутнику пряма лінія, проведена від якогось кута до протилежної сторони і ділить цю сторону на частини, прямо ... Тлумачний словник Ушакова

БІСЕКТРИСА- БІСЕКТРИСА, ы, жен. В математиці: промінь (в 3 знач.), що виходить з вершини кута і ділить його навпіл. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

бісектриса- БІСЕКТРИСА, ы, ж. Вчителька математики у школі. З шк … Словник російського арго

бісектриса- - [А.С.Гольдберг. Англо-російський енергетичний словник. 2006 р.] Тематики енергетика загалом EN mean line … Довідник технічного перекладача

БІСЕКТРИСА- промінь, що виходить з вершини кута і ділить його навпіл; Будь-яка точка Б. одно віддалена від сторін кута. Три Б. кутів трикутника перетинаються в одному окулярі центрі вписаного в трикутник кола … Велика політехнічна енциклопедія

бісектриса- (фр. bissectrice лат. bis sectrix (bissectricis) надвоє розтинає) геом. промінь, що проходить через вершину кута в ділить його навпіл. Новий словник іншомовних слів. by EdwART, 2009. бісектриса [Ісе], бісектриси, ж. [від латин. bissectrix –… … Словник іноземних слів російської мови

бісектриса- ы; ж. [Франц. bissectrice від лат. bis двічі та secare розсікати] Матем. Промінь, що виходить з вершини кута і ділить його навпіл. * * * бісектриса (від лат. bis двічі і seco розсікаю) кута, напівпряма (промінь), що виходить з вершини кута і ділить його … Енциклопедичний словник

Книги

• Бісектриса – це такий щур… Наталія Цитронова. Перша книга автора – оповідання та есе про лихі дев'яностих років… Написано легко, з гумором, без кривавих та постільних сцен…

Геометрія - одна з найскладніших та заплутаних наук. У ній те, що здається здавалося б очевидним, дуже рідко виявляється правильним. Бісектриси, висоти, медіани, проекції, дотичні – величезна кількість справді непростих термінів, заплутатися в яких дуже легко.

Насправді за належного бажання можна розібратися в теорії будь-якої складності. Коли справа заходить про бісектрису, медіану і висоту, треба розуміти, що вони властиві не лише трикутникам. На перший погляд це прості лінії, але кожна з них має свої властивості та функції, знання яких суттєво спрощує вирішення геометричних завдань. Отже, що ж таке бісектриса трикутника?

Визначення

Сам термін "бісектриса" походить із поєднання латинських слів "два" і "січ", "різати", що вже побічно вказує на її властивості. Зазвичай, коли дітей знайомлять із цим променем, їм пропонується для запам'ятовування коротенька фраза: «Бісектриса - це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл». Звичайно, таке пояснення не підійде для школярів старшого віку, до того ж у них зазвичай запитують не про вугілля, а про геометричну фігуру. Так що бісектриса трикутника – це промінь, який з'єднує вершину трикутника з протилежною стороною, при цьому розділяючи кут на дві рівні частини. Точка протилежної сторони, до якої приходить бісектриса, для довільного трикутника вибирається випадковим чином.

Базові функції та властивості

Основних властивостей цього променя небагато. По-перше, через те, що бісектриса трикутника ділить кут навпіл, будь-яка точка, що лежить на ній, перебуватиме на рівній відстані від сторін, що утворюють вершину. По-друге, у кожному трикутнику можна провести три бісектриси, за кількістю наявних кутів (отже, у тому ж чотирикутнику їх буде вже чотири тощо). Точка, в якій всі три промені перетнуться, є центром кола, вписаного в трикутник.

Властивості ускладнюються

Трохи ускладнимо теорію. Ще одна цікава властивість: бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відношення яких дорівнює відношенню сторін, що утворюють вершину. На перший погляд, це складно, але насправді все просто: на запропонованому малюнку RL:LQ = PR:PK. До речі, ця властивість отримала назву "Теорема про бісектрису" і вперше з'явилася ще в працях давньогрецького математика Евкліда. Згадали його в одному з російських підручників лише у першій чверті сімнадцятого століття.

Ще трохи складніше. У чотирикутнику бісектриса відсікає рівнобедрений трикутник. На цьому малюнку позначено всі рівні кути для медіани AF.

А ще у чотирикутниках та трапеціях бісектриси односторонніх кутів перпендикулярні один одному. На кресленні кут APB становить 90 градусів.

У рівнобедреному трикутнику

Бісектриса рівнобедреного трикутника - набагато корисніший промінь. Вона одночасно є не тільки дільником кута навпіл, але і медіаною, і висотою.

Медіана - це відрізок, який виходить з якогось кута і падає на середину протилежної сторони, поділяючи її тим самим на рівні частини. Висота - це перпендикуляр, опущений з вершини на протилежний бік, саме з її допомогою будь-яке завдання можна звести до простої та примітивної теореми Піфагора. У цій ситуації бісектриса трикутника дорівнює кореню з різниці квадрата гіпотенузи та іншого катета. До речі, саме ця властивість зустрічається в геометричних задачах найчастіше.

Для закріплення: у цьому трикутнику бісектриса FB є медіаною (AB=BC) та висотою (кути FBC та FBA становлять 90 градусів).

В загальних рисах

Отже, що потрібно запам'ятати? Бісектриса трикутника - це промінь, який ділить його вершину навпіл. На перетині трьох променів знаходиться центр кола, вписаного в даний трикутник (єдиний мінус цієї властивості в тому, що воно не має практичної цінності і служить тільки для грамотного виконання креслення). Вона ж ділить протилежну сторону на відрізки, відношення яких дорівнює відношенню сторін, між якими пройшов цей промінь. У чотирикутнику властивості трохи ускладнюються, але, зізнатися, вони практично не зустрічаються в завданнях шкільного рівня, тому зазвичай не торкаються програми.

Бісектриса рівнобедреного трикутника – межа мрій будь-якого школяра. Вона одночасно є і медіаною (тобто поділяє протилежну сторону навпіл), і висотою (перпендикулярна цій стороні). Розв'язання задач з такою бісектрисою зводиться до теореми Піфагора.

Знання базових функцій бісектриси, а також основних її властивостей необхідне вирішення геометричних завдань як середнього, і високого рівня складності. Насправді зустрічається цей промінь тільки в планіметрії, так що не можна говорити про те, що зазубрювання інформації про нього дозволить справлятися з усіма типами завдань.

Бісектрисою трикутника називається відрізок, який ділить кут трикутника на два рівні кути. Наприклад, якщо кут трикутника 120 0 то провівши бісектрису, ми побудуємо два кути по 60 0 .

А оскільки в трикутнику є три кути, то можна провести три бісектриси. Усі вони мають одну точку запобіжного заходу. Ця точка є центром кола, вписаного в трикутник. Інакше цю точку перетинів називають інцентром трикутника.

При перетині двох бісектрис внутрішнього та зовнішнього кута, виходить кут 90 0 . Зовнішній кут у трикутнику кут, суміжний із внутрішнім кутом трикутника.

Мал. 1. Трикутник, в якому проведено 3 бісектриси

Бісектриса ділить протилежну сторону на два відрізки, які мають зв'язок зі сторонами:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Крапки бісектриси рівновіддалені від сторін кута, це означає, що вони знаходяться на однаковій відстані від сторін кута. Тобто, якщо з будь-якої точки бісектриси опустити перпендикуляри на кожну зі сторін кута трикутника, то ці перпендикуляри будуть рівними.

Якщо з однієї вершини провести медіану, бісектрису та висоту, то медіана буде найдовшим відрізком, а висота – найкоротшим.

Деякі властивості бісектриси

У певних видах трикутників бісектриса має особливі властивості. Насамперед це стосується рівнобедреного трикутника. Ця фігура має дві однакові бічні сторони, а третя називається основою.

Якщо з вершини кута рівнобедреного трикутника провести бісектрису до основи, то вона матиме властивості одночасно і висоти та медіани. Відповідно, довжина бісектриси збігається з довжиною медіани та висоти.

Визначення:

• Висота– перпендикуляр, опущений з вершини трикутника до протилежної сторони.
• Медіана– відрізок, який з'єднує вершину трикутника та середину протилежної сторони.

Мал. 2. Бісектриса в рівнобедреному трикутнику

Це стосується і рівностороннього трикутника, тобто трикутника, у якому всі три сторони рівні.

Приклад завдання

У трикутнику ABC: BR бісектриса, причому AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Відняти довжину третьої сторони.

Мал. 3. Бісектриса в трикутнику

Рішення:

Бісектриса ділить сторону трикутника у певній пропорції. Скористаємося цією пропорцією та висловимо AR. Після цього знайдемо довжину третьої сторони як суму відрізків, на які цю сторону поділила бісектриса.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 см$

Тоді весь відрізок AC = RC + AR

AC = 3+2 = 5 див.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, ділить трикутник на два рівні прямокутні трикутники.

Що ми дізналися?

Вивчивши тему бісектриси, ми дізналися, що вона ділить кут на два рівні кути. А якщо її провести в рівнобедреному або рівносторонньому трикутнику до основи, то вона матиме властивості і медіани та висоти одночасно.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.2. Усього отримано оцінок: 157.

Тема урока

Бісектриса кута

Цілі уроку

Поповнити знання школярів про бісектрису кута та її властивості;
Ознайомити з новою інформацією про бісектрису кута;
Розширити знання учнів у тому, що теорему про властивості бісектриси можна доводити різними способами;
Розвивати логічне мислення, інтерес до математичних наук, наполегливість та здатність до аналізу.

Завдання уроку

Розширити знання учнів про бісектрису кута;
Закріпити навички побудови бісектриси кута за допомогою креслярських інструментів;
Отримати додаткові та цікаві відомості з цієї теми;
Дати відомості про значення теореми у розвитку математики;
закріпити отримані знання шляхом вирішення завдань;
Виховувати посидючість, допитливість та бажання вивчати математичні науки.

План уроку

1. Розкриття головної теми уроку про бісектрису кута;
2. Повторення пройденого матеріалу;
3. Цікава інформація про бісектрису.
4. Історична довідка, грецька геометрія.
5. Домашнє завдання.

Бісектриса кута

Сьогоднішній урок ми з вами присвятимо темі бісектриси. Давайте згадаємо визначення бісектриси.

Бісектриса є геометричне місце точок, рівновіддалене від сторін кута.

Якщо говорити простіше, то бісектриса - це лінія, що розділяє кут навпіл.

Бісектриса кута - промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на два інших рівних кута.

Слово «бісектриса» в перекладі з французької мови означає, що надвоє розсікає або рівнодільна кут навпіл.

Бісектриса трикутника

Крім бісектриси кута ще буває бісектриса трикутника, адже трикутник містить цілих три кути, відповідно кожен трикутник може мати три різні бісектриси.

Що ж таке бісектриса трикутника? Бісектриса трикутника є відрізком бісектриси кута, що з'єднує в трикутнику його вершину з точкою на протилежній стороні.

Бісектриса трикутник має певні унікальні властивості. Так, наприклад, вона поділяє протилежну сторону на відрізки, які є пропорційними іншим двом сторонам.

Що стосується прямокутного трикутника, його бісектриси саме гострих кутів, коли перетинаються, утворюють кут саме в 45 градусів.

До того ж, не варто забувати і таку властивість бісектрис трикутника, як те, що вони перетинаються строго в центрі вписаного в трикутник кола.

Ну а найцікавіше те, що для рівнобедреного трикутника лінія, яка проведена до основи, буде і бісектрисою, і медіаною, і висотою. Відповідно і зворотне правило, що й медіана, висота і бісектриса, яке з однієї вершини трикутника, збігаються, то маємо рівнобедренный трикутник.

А які ви можете згадати властивості прямокутного та рівнобедреного трикутника?

Побудова бісектриси

Бісектрису кута будується за допомогою транспортира, використовуючи його градусний захід. Щоб приступити до побудови бісектриси, ми беремо і ділимо градусну міру навпіл і, відклавши на одній стороні вершини градусну міру половинного кута, тоді друга половина стає бісектрисою заданого кута.

Беремо заданий кут, який має градусну міру в дев'яносто градусів, і за допомогою бісектриси отримуємо два побудовані кути по 45 градусів.

Розгорнутий кут за допомогою бісектриси поділяє кут на 2 прямі кути. Тупий же кут при побудові бісектриси поділяє його на 2 гострі кути.

З визначення бісектриси нам відомо, що вона є променем, що розділяє кут навпіл. Щоб побудувати бісектрису, отже потрібно кут розділити навпіл.

Алгоритм побудови бісектриси кута

1. Спочатку креслимо коло з центром у вершині кута таким чином, щоб воно перетинало його сторони.

3. Чортимо 2 кола радіусом так, щоб вони мали точку перетину всередині цього кута.

4. Тепер проводимо з вершини кута промінь таким методом, щоб він проходив через точку перетину цих кіл. Цей промінь і є бісектрисою даного кута.

А тепер давайте спробуємо довести, що отриманий промінь є бісектрисою цього кута. Візьмемо з прикладу двох трикутників, які мають одна сторона загальна, тобто відрізок від вершини до точки перетину кіл, що ми отримали 3п.

2-а пара відповідних сторін – це отримані в 1п., відрізки, що йдуть від вершини кута до точок перетину кола з його сторонами.

Третя пара відповідних сторін - це відповідно відрізки, одержані в 1п. від точок перетину кола до точки перетину кіл, але отриманих в 3п.

Отже, 2 пари даних відрізків рівні, оскільки є радіусами одного або двох кіл, але з однаковим радіусом. Звідси випливає, що з усіх трьох сторін трикутники рівні. Відомо, що коли трикутники рівні, то рівні їх кути. Тому при вершині два нових кута і даних кута за умовою завдання рівні, отже, побудований промінь буде бісектрисою.

Цікава інформація про бісектрису

Чи знали ви, що існує така наука, яка називається мнемоніка, що в перекладі з грецької означає мистецтво запам'ятовування. І щоб краще запам'ятати визначення бісектриси існує таке мнемонічне правило, за яким бісектриса - це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл.

Чи відомо вам, що ще Архімед використав теорему про бісектрису. Він її застосовував для поділу основи на частини, які пропорційні бічним сторонам з метою визначення довжини підлоги сторін дванадцяти кутника, 24-кутника тощо.

Легенда про бісектрису кута

Казка про два Кути і Бісектрису, або Утворення суміжного кута.

Якось два кути зустрілися на одній площі. Старшому кутку було близько 130 градусів, а молодшому лише п'ятдесят. Оскільки це казка, то замінимо роки на градуси. Ось вони зустрілися і почали сперечатися, хто з них кращий і важливіший. Старший вважав, що пріоритет на його боці, оскільки він старший, мудріший і більше за своє життя побачив за свої 130°. Молодший навпаки твердив, що він молодший, тому сильніший і витриваліший. І щоб суперечка не тривала вічність, вони вирішили провести турнір. Про ці змагання дізналася Бісектриса і вирішила перемогти своїх ворогів одночасно і очолити Геометрію.

І ось настав довгоочікуваний час турніру, на якому було 2 Кути. У момент повного розпалу битв з'явилася Бісектриса і вирішила взяти участь. Але тут у бій з Бісектрисою вступив спочатку старший Кут, потім підтягнувся і молодший, і перемога все одно виявилася на боці Бісектриси.

що таке бісектриса кута?

1. Бесектриса - це щур, який ходить по кутах і ділить кут навпіл

2. 
   

   
   

   Властивості бісектрис

   
   
   

   
   

   a2a1=cb
   la=c+bcb(b+c+a)(b+ca)
   la=c+b2bc cos2
   la=hacos2
   la=bca1a2

   Де:
   
   
   

3. ось так якось))
4. Бесектриса розгорнутого кута поділяє його на 2 прямі кути.
5. це щур ділить на попалам
6. Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.
7. Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.
8. Бісектриса це щур, який бігає по кутах і ділить кут по підлогах
9. промінь ділить кут на 2 рівні кути
10. Бісектриса-це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл!
    😉
11. Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.

    Бісектриса кута (разом з продовженням) є геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута (або їх продовжень).
    Визначення. Бісектриса кута трикутника - це відрізок бісектриси цього кута, що з'єднує цю вершину з точкою на протилежній стороні.

    Будь-яка з трьох бісектрис внутрішніх кутів трикутника називається бісектрисою трикутника.
    Бісектриса кута трикутника може позначати одне з двох: промінь бісектриса цього кута або відрізок бісектриси цього кута до її перетину зі стороною трикутника.

    Властивості бісектрис

    Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону відносно рівному відношенню двох прилеглих сторін.
    Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка називається центром вписаного кола.
    Бісектриси внутрішнього та зовнішнього кутів перпендикулярні.
    Якщо бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони, ADBD=ACBC.

    Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка центр одного з трьох вписаних кіл цього трикутника.
    Підстави бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.
    Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх підстави лежать на одній прямій.

    a2a1=cb
    la=c+bcb(b+c+a)(b+c#8722;a)
    la=c+b2bc cos2
    la = hacos2 # 8722;
    la=bc#8722;a1a2

    Де:
    la бісектриса, проведена до сторони a,
    a,b,c сторони трикутника проти вершин A,B,C відповідно,
    al,a 2 відрізки, на які бісектриса lc ділить сторону c,
    внутрішні кути трикутника при вершинах a, b, c відповідно,
    ha висота трикутника, опущена убік a.

12. бісектриса це лінія яка ділить кут по палах
13. Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.

    Бісектриса кута (разом з продовженням) є геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута (або їх продовжень).

14. Бісектриса-це щур який ходить по кутах, ділить кут навпіл
15. бісектриса, такий щур, бігає по кутах і ділить кут попалам)
16. Ділить кут навпіл
17. лінія, яка його (кут) навпіл ділить.
18. Бісектрис - це щур бігає по кутах і ділить їх навпіл