Що таке вага позиції у системі числення. Що таке система числення? Які системи числення використовують фахівці для спілкування з комп'ютером

Знайомство з Листком

Винахідник "Листик" придумав пристрій для передачі чисел. Його прилад передавав повідомлення у вигляді ланцюжка коротких та довгих сигналів. У записах Листик позначав короткий сигнал цифрою “0”, а довгий - цифрою “1”. Під час передачі чисел він використовував для кожної цифри наступний код:

Число 12, що складається з цифр 1 і 2, Лист записував для передачі так:

Апарат передавав це повідомлення ланцюжком таких сигналів: три короткі, один довгий, два короткі, один довгий і один короткий.

Число 77 за системою Лістика кодувалося так:

Кодування інформації

Кодування - це переклад інформації у зручну передачі або зберігання форму.

Наприклад, тексти кодуються за допомогою букв і розділових знаків. При цьому один і той самий запис може бути закодований по-різному: російською, англійською, китайською.

Числа кодуються за допомогою цифр. Цифри, яких ми звикли, називаються арабськими. Іноді користуються римськими цифрами. У цьому випадку змінюється спосіб кодування інформації. Наприклад, 12 і XII - це різні способи запису того самого числа.

Музику можна закодувати за допомогою спеціальних знаків – нот. Дорожні знаки – це закодовані повідомлення водіям та пішоходам за допомогою піктограм.

Товари в магазині маркують за допомогою штрих-коду, який містить інформацію про товар та його виробника.

Штриховий код - це послідовність чорних та білих смуг, яка кодує інформацію у вигляді, зручному для зчитування технічними пристроями. Крім того, під штрих-кодом може бути поміщений код у вигляді ряду цифр.

Інформація завжди зберігається та передається у вигляді кодів. Не можна просто зберігати інформацію, без носія. Так само не можна зберігати і передавати просто інформацію: вона завжди має якусь форму, тобто закодована.

Двійкове кодування

Двійкове кодування – це кодування інформації за допомогою нулів та одиниць. Для комп'ютерних технологій такий спосіб подання інформації виявився дуже зручним.

Справа в тому, що комп'ютери побудовані на елементах, які можуть знаходитись у двох можливих станах. Один такий стан позначають цифрою 0, інший - цифрою 1.

Прикладом двійкового пристрою є звичайна електрична лампочка. Вона може бути в одному з двох станів: включена (стан 1) або вимкнена (стан 0).

Можна побудувати електричну пам'ять на лампочках і зберігати в ній, наприклад, числа за допомогою двійкового коду Листика.

Для зберігання кожної десяткової цифри потрібно чотири лампочки. Ось так можна запам'ятати число 6:

Встановили перемикачі у потрібне становище – і пішли пити чай! Якщо електрику не вимикають, інформація збережеться.

Електричні лампочки, звичайно, не підходять для виробництва комп'ютерів: вони великі, швидко перегорають, дорого коштують (адже їх потрібні мільйони) і сильно нагрівають навколишнє середовище.

У сучасних комп'ютерах як елемент пам'яті використовують електронний пристрій - транзистор.

Транзистор може пропускати через себе струм (стан 1) чи ні (стан 0).

Був час, коли кожен транзистор виготовлявся окремо і був значним за розміром.

Зараз транзистори, як і інші електронні елементи, виготовляють у спосіб, схожий на фотодрук. В однієї мікросхемоюрозміром з нігтик може бути "віддруковано" кілька мільйонів транзисторів.

Код, яким Лист кодував повідомлення, реально використовується для роботи з числами в комп'ютері.

При двійковому кодуванні можна зовсім не дивитися в цю таблицю, а запам'ятати просте правило переведення двійкового коду в десяткову цифру.

Одиниця в коді на першому місці праворуч дає чис-
ло 1, на другому - 2, на третьому - 4, на четвертому - 8. Для отримання десяткової цифри числа складаються. Наприклад, код “0101” переводиться у цифру 5 (сума чисел 4 та 1).

Цим же правилом можна скористатися і при декодуванні. Наприклад, цифра 6 записується як сума чисел 4 та 2, отже, її код буде “0110”.

Табличка з числами, записаними у системі числення, що використовувалася у Стародавньому Вавилоні. Приблизно 1700 до н.е. Розшифрована у 1945 р.

Системи числення

Код Листика та кодування чисел

У попередньому уроці було показано спосіб запису чисел за допомогою нулів та одиниць. Лист кодує кожну цифручисла чотирма двійковимизнаки.

Так, число 102 кодом Листика записується за допомогою 12 двійкових знаків:

Лист кодує окремокожну з 10 цифр і використовує для цього 4 двійкові знаки. Але чотирма двійковими знаками можна закодувати не 10, а 16 значень:

Виходить, що 6 кодів Листика (а це більше половини з 10) пропадає марно!

Чи можна кодувати економніше?

Можна, якщо кодувати не цифри(з яких збирається число), а відразу числа! Так, число 102, при такому способі кодування, можна записати не дванадцятьма, а лише сімома двійковими знаками (економимо 5 цифр):

Таке кодування буде розглянуто у цьому уроці. Але почнемо по порядку.

Десяткова система числення

Як вам відомо, числа будують із цифр, а цифр лише десять, ось вони:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Як за допомогою лише десяти цифр записують великі числа? Зараз ми це побачимо, але спочатку запам'ятаємо визначення:

Спосіб запису чисел називають системою числення.

Вчене слово числення, співзвучне зі словом "обчислення", вже означає "спосіб запису чисел". Але математикам здалося, що фраза система зчисленнязвучить краще. Нічого, освоїмо і ми цей термін із двох слів! А тепер давайте розберемося з тією системою численнядо якої звикли.

Подивіться на число 253. У цьому записі перша справа цифра (її називають молодша цифра) означає "три одиниці", п'ятірка - "п'ять десятків", а двійка ( старша цифра) - "Дві сотні".

Виходить: 253 = 2 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1.

Ми говоримо: "двісті п'ятдесят три". Це означає число, яке виходить додаванням:

двох сотень (2 · 100 = двісті),

п'яти десятків (5 · 10 = п'ятдесят) та

трьох одиниць (3 · 1 = три).

Бачимо, що значення цифри у записі числа залежить від позиції, В якій цифра розташована. Позиції цифр по-іншому називають розрядамичисла.

Молодша цифра означає одиниці:

Друга справа цифра означає десятки:

Третя справа цифра означає сотні:

Бачимо, що вклад цифри в число наростає праворуч наліво.

Системи числення, в яких внесок цифри в число залежить від позиціїцифри у записі, називають позиційними системами числення.

Звична для нас система числення є позиційною, як ми переконалися. Зауважимо, що в основуїї належить число 10 - кількість використовуваних цифр.

Молодша цифра показує кількість одиниць у числі, друга справа – кількість десятків (1.10). Третя – показує сотні (10·10), четверта – тисячі (10·100) і так далі.

Ми вважаємо одиницями, одиниці складаються в десятки (десять одиниць замінюються одним десятком), десятки - у сотні (десять десятків замінюються однією сотнею) тощо.

Число 10 покладено основою звичної системи числення, тому її називають десятковою системою, або системою числення по підставі 10.

Подивіться ще раз, як запис 2789 переводиться до числа.

Число виходить додаванням вкладівцифр, що входять до нього:

Вклад кожної цифри виходить множенням цієї цифри на множник, що залежить від позиції та пов'язаний із основою системи.

Численні позицій обчислюються за таким правилом:

1. Множник першої (праворуч) позиції дорівнює 1 .

2. Множник кожної наступної позиції виходить множенням основи системи (число 10 ) на множник попередньої позиції.

Численні позицій будемо називати вагами позицій, або позиційними вагами.

Число дорівнює сумі вкладів. Вклад дорівнює добутку цифри на позиційну вагу. Вага першої позиції дорівнює 1, другий - 10, третій - 100 і так далі. Тобто вага кожної позиції (крім першої) виходить із ваги попередньої множенням на основу системи. Вага першої позиції дорівнює одиниці.

Ось як: множили, складали і не підозрювали! Виявляється, ми записуємо числа в позиційної системи числення на підставі десять! Чому основа нашої системи дорівнює 10? Ну, це зрозуміло: адже у нас 10 пальців, зручно рахувати, загинаючи їх по порядку.

А ось для комп'ютера, як ви вже знаєте, звичніша двійкова система, тобто позиційна система числення на підставі двох.

Двійкова система числення

У двійковій системі числення всього дві цифри:

Якщо в десятковій системі ваги позицій виходять множенням на десять, то в двійковій - множенням на два:

Виходить: 1011 2 = 1 · 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 · 2 · 1 + 1 · 1 .

У двійковій системі вважають одиницями, одиниці складаються у двійки (дві одиниці замінюються однією двійкою), двійки - у четвірки (дві двійки замінюються однією четвіркою) тощо.

Коли потрібно уточнити, в якій системі записано число, до нього приписують знизу основу системи:

1011 2 - число записано у двійковій системі числення.

Неважко перевести його в десяткову систему, потрібно просто виконати операції множення та додавання:

1011 2 = 1 · 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 · 2 · 1 + 1 · 1 =

1 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1 = 11 10 .

Переклад з двійкової до десяткової

У двійковій системі внесок одиниці першому місці праворуч є число 1, другою - 2, третьому - 4, четвертому - 8 тощо. Вклади нулів, зрозуміло, дорівнюють нулю незалежно від своїх позицій.

Отримуємо таке правило:

Для переведення з двійкової системи до десяткової потрібно над кожною двійковою цифрою записати вагу її позиції та скласти числа, записані над одиницями.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10 .

Ще приклад, число 100110:

100110 2 = 32 + 4 + 2 = 38 10 .

Переклад з десяткової на двійкову

Для переведення з десяткової системи в двійкову використовуватимемо колишню схему з вагами позицій:

Нехай потрібно перевести у двійкову систему число 26. Підбираємо за схемою початок двійкового числа (старшу цифру). 32 - це багато, значить, починаємо з 16:

Частина вихідного числа, а саме 16, закодована, залишилося закодувати 26 – 16 = 10. Беремо 8 (найбільша з можливих позиційних ваг):

Залишилося закодувати 10 – 8 = 2. Чотири – це багато. Пишемо в позицію 0 і беремо 2:

Ми закодували все число, отже остання цифра повинна дорівнювати нулю:

Виходить: 2610 = 110102.

Правило переведення з десяткової системи в двійкову можна сформулювати в такий спосіб.

Щоб краще зрозуміти цей алгоритм, попрацюйте на стенді випробувача. Натисніть кнопку Скидання, наберіть число. Потім натискайте кнопку Пуск: ви побачите, як Випробовувач виконує алгоритм переведення числа у двійкову систему за кроками.

Зверніть увагу: у записі алгоритму виділяється той пункт, який буде виконано післянатискання на кнопку Пуск. Наприклад, якщо виділено пункт “Повторювати, доки число не перетвориться на нуль”, то після натискання на ПускВипробовувач перевірить поточне число на рівність нулю та ухвалить рішення про продовження повторення.

(Виконайте роботу з Випробувачем на сторінці електронної програми.)

Позиційні системи з іншими підставами

Вася любить десяткову систему, його комп'ютер - двійкову, а цікаві математики люблять різні позиційні системи числення, адже як основа можна брати будь-яке число, а не тільки 2 або 10.

Давайте, наприклад, розглянемо трійкову систему числення.

Трійкова система числення

Трійкова система числення використовує, як ви здогадуєтеся, три цифри:

У трійковій системі вважають одиницями, одиниці складаються в трійки (три одиниці замінюються однією трійкою), трійки - на дев'ятки (три трійки замінюються однією дев'яткою) і так далі.

Що цікаво, 1958 року під керівництвом Н.П. Брусенцова у Московському державному університеті було створено комп'ютер “Сетунь”, і він працював із числами над двійковою, а трійковій системі числення! Перший досвідчений екземпляр “Сетуні” показаний на фото:

Переклад із трійкової до десяткової

Позначимо на схемі позиційні вклади цифр у потрійній системі числення:

Для переведення в десяткову систему складаємо цифри, помножені на їх позиційні ваги (позиції з нульовими цифрами, зрозуміло, можна опустити):

10212 3 = 1 · 81 + 2 · 9 + 1 · 3 + 2 · 1 = 104 10 .

У двійковій системі ми обійшлися без множення (множити на 1 сенс немає). У трійковій системі є цифра 2, тому доводиться відповідні позиційні ваги подвоювати.

Переклад з десяткової до трійкової

Нехай потрібно перевести в трійкову систему число 196. Підбираємо за схемою початок трійкового числа. 243 - багато, значить, починаємо з 81 та цифри 2 (2·81< 196):

Частина вихідного числа, а саме 162 = 2 · 81, закодована, залишилося закодувати 196 - 162 = 34. Беремо 27 і цифру 1 (цифра 2 дає 54, а це занадто багато):

Залишилося закодувати 34 - 1 · 27 = 7. Позиція з вагою 9 дає занадто багато, записуємо в неї 0 і беремо позицію з вагою 3 і цифрою 2:

Залишилося закодувати 7 – 2·3 = 1. Це саме значення молодшої цифри, що залишилася:

Виходить: 196 10 = 21 021 3 .

Позиційні системи: основні правила

Сформулюємо загальні правила побудови чисел у позиційних системах числення.

Число записується цифрами, наприклад:

Щоб визначити значення числа, потрібно помножити цифри на ваги їх позицій та скласти результати.

Позиції нумеруються праворуч наліво. Вага першої позиції дорівнює 1.

Вага кожної наступної позиції виходить із ваги попередньої множенням на основу системи.

Виходить, що вага другої позиції завжди дорівнює основі системи.

Основа системи показує кількість цифр, що використовується у цій системі. Так, у системі з основою 10 - десять цифр, у системі з основою 5 - п'ять цифр.

Розглянемо приклад. Якщо запис

означає число в системі з основою 5, воно дорівнює

3242 5 = 3 · 125 + 2 · 25 + 4 · 5 + 2 · 1 = 447 10 .

Той самий запис у системі з основою 6 означає число

3242 6 = 3 · 216 + 2 · 36 + 4 · 6 + 2 · 1 = 746 10 .

Непозиційні системи числення

Позиційні системи числення з'явилися не відразу, первісні люди позначали кількість одних предметів рівною кількістю інших (вважали камінчиками, паличками, кісточками).

Використовувалися і зручніші способи рахунку: зарубки на ціпку, рисочки на камені, вузлики на мотузці.

Іноді такою системою числення користуються і сучасні люди, відзначаючи, наприклад, зарубками кількість минулих днів.

Це приклад непозиційної одиничної системи числення: для рахунку використовується однацифра (камінь, паличка, кісточка, рисочка, вузлик ...), і внесок цієї цифри не залежить від її місця (позиції), він завжди дорівнює одній одиниці.

Зрозуміло, що користуватися позиційними системами числення набагато зручніше.

Дії над числами

Дії над числами в позиційній системі з будь-якою основою виконуються так само, як і в десятковій системі: вони ґрунтуються на таблицях складання та множення цифр відповідних систем числення.

Було б дивно, якщо в різних системах складати, віднімати, множити та ділити треба було б по-різному! Адже у всіх системах числення будуються однаково, отже, і дії з них повинні виконуватися однаково.

Розглянемо кілька прикладів.

Додавання

5 + 7 = 12. До молодшого розряду пишемо 2, а одиницю додаємо до наступного розряду.

Побудуємо таблицю восьмеричного додавання:

За таблицею додавання 5 + 7 = 14 8 . До молодшого розряду пишемо 4, а одиницю додаємо до наступного розряду.

Віднімання

Займаємо 1 у другому розряді та віднімаємо 7 від числа 15. Аналогічно у восьмеричній системі:

Займаємо 1 у другому розряді та віднімаємо 7 від числа 15 8 . За таблицею додавання у рядку 7 знаходимо число 15. Номер відповідного стовпця дає результат різниці - цифру 6.

Ось, напевно, зручно павукам використовувати
вісімкову систему числення!

множення

2 · 7 = 14. Пишемо 4, а 1 йде на "розум" (додати до наступного розряду). 4 · 7 = 28. Пишемо 9 (8 плюс 1 з "розуму") і 2 переносимо в наступний розряд.

Побудуємо таблицю вісімкового множення:

2 · 7 = 16 8 . Пишемо 6, а 1 йде на "розум" (додати до наступного розряду). 4 · 7 = 34 8 . Пишемо 5 (4 плюс 1 з "розуму") і 3 переносимо до наступного розряду.

Поділ

3·5< 17 < 4·5, поэтому первая цифра результата - 3. Из 17 вычитаем 5·3 = 15. К разности 2 приписываем цифру 5, получается 25. 25 = 5 ·5. Из 25 вычитаем 25=5·5, получается 0 - деление закончено.

У таблиці множення у рядку 5 знаходимо відповідне число 178 = 5 · 3:

Отже, перша цифра результату – 3. З 17 8 віднімаємо 17 8 = 5·3. До різниці 0 приписуємо останню цифру 5. 5 = 5 · 1. З 5 віднімаємо 5, виходить 0 - розподіл закінчено.

Запитання

1. Дайте визначення терміну "система числення".

2. Дайте визначення терміну "позиційна система числення".

3. Поясніть принципи побудови чисел у десятковій системі числення з прикладу числа 548.

4. Що називають вагою позиції? Розкажіть алгоритм знаходження ваги позиції. Чому дорівнює вага третьої праворуч позиції в десятковому записі числа? А в двійковій? А в потрійній?

5. Що розуміють під розрядом? У якому розряді розташована цифра 5 у десятковому числі 1532?

6. Що називають вкладом цифри? Чому дорівнює внесок цифри 7 у числі 1745 10? А внесок цифри 4 у числі 1432 5?

7. Дайте визначення терміну "підстава позиційної системи числення". Як пов'язана основа системи з кількістю цифр у цій системі? Скільки цифр у 5-річній системі числення? А у 16-річній? А в системі з основою 25?

8. На якому місці в записі числа знаходиться молодша цифра? А старша?

9. Розкажіть алгоритм переведення двійкового числа до десяткової системи числення і виконайте цей алгоритм для числа 101101 2 .

10. Розкажіть алгоритм переведення десяткового числа в двійкову систему числення та виконайте цей алгоритм для числа 50 10 .

11. Як перевести число з будь-якої позиційної системи числення до десяткової системи? Пояснення побудуйте на прикладі системи з основою 4.

Домашні завдання

Варіант 1. Виконується без комп'ютера, "на папері"

1. Прочитайте скоромовки, замінюючи двійкові числа десятковими:

З'їв молодець
100001 2 пирога з пирогом,
Та все з сиром.

Ішли 101000 2 мишей,
Несли 101000 2 грошей,
А 10 2 миші поплоще
Несли по 10 2 гроші.

2. Розгадайте двійково-літерні ребуси:

3. Виконайте обчислення та запишіть відповідь у десятковій системі числення:

1) 100 2 ·5 8 =

2) 100 3 + 100 5 =

3) 10 9 · 10 100 - 10 900 =

4) 33 4 + 44 5 =

5) 15 6 + 51 8 =

4. Переведіть задані числа у зазначені системи числення:

Варіант 2. Виконується на комп'ютері

1. Запишіть арифметичний вираз для вирішення наступного завдання та підрахуйте відповідь:

Наша розумниця Мальвіна
Опікає Буратіно
І купила для нього,
Що йому найпотрібніше:
10 2 обкладинки, 11 2 лінійки
І на 111 2 рублів наклейки.
На обкладинках - Бармалей,
Ціна кожної – 101 2 рублів.
На лінійки, що купила,
101010 2 рублі вистачило.
Скільки коштували покупки?
На роздум - півхвилинки.

2. Спробуйте використати стандартну програму Калькулятор для переведення чисел із вірша у звичний десятковий запис ( Вид- Інженерний, Bin- Двійкове уявлення числа, Dec- десяткове уявлення числа). Запишіть алгоритми перекладу чисел за допомогою Калькулятора з двійкового подання до десяткового і навпаки, з десяткового - до двійкового.

Варіант 3. Для допитливих

1. Доведіть, що запис 10 у будь-якій позиційній системі числення означає число, що дорівнює основі цієї системи.

2. Визначте основу позиційної системи числення bдля кожної рівності:

1) 10 b = 50 10 ;

2) 11 b = 6 10 ;

3) 100 b = 64 10 ;

4) 101 b = 26 10 ;

5) 50 b = 30 10 ;

6) 99 b = 909 10 ;

7) 21 b = 15 6 ;

8) 10 2 · b = 100 b ;

9) 12 2 · b = 22 b ;

10) 14 b· b = 104 b .

p ALIGN="JUSTIFY">3. Шістнадцяткова система числення використовує 16 цифр. Перші десять цифр збігаються з цифрами десяткової системи, а останні позначаються буквами латинського алфавіту:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

	Значення

Перекладемо, наприклад, у десяткову систему число A8 16:

A8 16 = 10 · 16 + 8 · 1 = 168 10 .

У кожному завданні знайдіть значення числа x:

1) 25 16 = x 10 ; 4) 170 10 = x 16 ;

2) AB 16 = x 10 ; 5) 2569 10 = x 16 ;

3) FD 16 = x 10 ; 6) 80 32 = x 16 .

4. Виконайте такі завдання.

1) Знайдіть вагу третьої позиції в записі числа, якщо відомо, що вага другої позиції дорівнює 7. Нумерація позицій справа наліво.

2) Система числення використовує 5 цифр. Знайдіть вагу четвертої праворуч позиції у записі числа.

3) Число записано у вигляді двох одиниць: 11. У якій системі числення воно записано, якщо в десятковому воно дорівнює 21?

4) У якійсь системі числення число виглядає як 100. Скільки цифр використовує ця система числення, якщо в десятковій системі число дорівнює 2500?

5) Два числа записані як 100, але в системах з різною основою. Відомо, що основа першої системи вдвічі більша за основу другої. Яке число більше та у скільки разів?

6) Знайти основу системи, якщо відомо, що число 101, записане у цій системі, означає десяткове число 37.

7) У якій системі числення для подвоєння числа потрібно дописати праворуч до його запису нуль?

8) Помножити на 10 у десятковій системі - значить дописати праворуч до нуль. Сформулюйте правило множення на 10 bу системі з основою b.

5. Сформулюйте алгоритм переведення числа з десяткового до трійкової системи числення.

6. Побудуйте таблиці додавання та множення для четвертинної системи числення. Користуючись цими таблицями, виконайте стовпчиком такі дії над числами (залишаючись у четвірковій системі числення):

1. а) 1021 4 + 333 4;

б) 3333 4 + 3210 4;

2. а) 321 4 - 123 4;

б) 1000 4 - 323 4;

3. а) 13 4 · 12 4;

б) 302 4 · 23 4;

4. а) 1123 4:13 4;

б) 112003 4:101 4 .

7. Побудуйте таблиці додавання та множення для двійкової системи числення. Користуючись цими таблицями, виконайте стовпчиком такі дії над числами (залишаючись у двійковій системі числення):

1. а) 1001 2 + 1010 2;

б) 10111 2 + 1110 2;

2. а) 1110 2 - 101 2;

б) 10000 2 - 111 2;

3. а) 101 2 · 11 2;

б) 1110 2 · 101 2;

4. а) 1000110 2:101 2;

б) 100000100 2:1101 2 .

Практикум

На сторінках електронної програми попрацюйте з виконавцем Кодувальник.

Вправи містять такі групи завдань:

У десяткову

1. З двійкової до десяткової

2. З троїчної до десяткової

3. З п'ятирічної до десяткової

4. З шістнадцятковою до десяткової

З десяткової

1. З десяткової до двійкової

2. З десяткової до трійкової

3. З десяткової до п'ятирічної

4. З десяткової до шістнадцяткової

Заліковий клас 1

2. 1101 2 = ? 10

3. 11101 2 = ? 10

Заліковий клас 2

10. 1001 2 = ? 16

Матеріал для вчителя

Позиційні системи числення

У позиційній системі числення число записують у вигляді ланцюжка спеціальних символів:

a n a n–1 ... a 2 a 1 (1)

Символи a iназивають цифрами. Вони позначають порядкові рахункові кількості, починаючи з нуля до значення на одиницю меншого числа qзваного основоюсистеми числення. Тобто якщо q- основа, значення цифр лежать в інтервалі (включаючи межі).

Положення цифри у записі числа (1) називають її позицією, або розрядом.

Примітка 1. На цих сторінках віддається перевага терміну “позиція”. По-перше, слово "позиція" добре узгоджується з поняттям "позиційна система числення", по-друге, термін "позиційна вага" або "вага позиції" звучить краще, зрозуміліше і простіше, ніж "розрядна вага" або "вага розряду". Однак вчитель може і повинен час від часу нагадувати учням, що "позиція" та "розряд" - еквівалентні терміни.

Зауваження 2. Визначення позиційної системи числення, дане у текстах учня, не зовсім точне. Однією лише залежності вкладу цифри від позиції недостатньо. Наприклад, в римській системі числення вклад цифри також залежить від позиції (числа IV і VI - різні), але ця система не є позиційною. Точним визначенням вважатимуться всю сукупність правил побудови числа, наведену у цьому контексті для вчителя (тобто, поруч із фактом позиційної залежності у визначення входять: кінцівка безлічі цифр і правило знаходження числа з його записи).

Позиції нумеруються праворуч наліво. Цифру, розташовану в першій позиції, називають молодшійцифрою числа, в останній - старшою.

З кожною позицією пов'язане число, яке ми називатимемо її вагою ( вагою позиції).

Ваги позицій визначаються за наступним рекурсивним правилом:

1. Вага молодшої позиції дорівнює 1.

2. Вага кожної наступної позиції виходить із ваги попередньої множенням на основу системи.

Нехай q- основа системи числення. Тоді правило для обчислення позиційних ваг w iможна записати коротше у вигляді рекурентної формули:

1. w 1 = 1.

2. w i = w i-1 · q(для всіх i > 1).

У позиційній системі числення запис

a n a n–1 ... a 2 a 1 (1)

означає число N, що дорівнює сумі творів цифр на їх позиційні ваги:

N = a n· w n + a n-1 · w n–1 + ... + a 2 · w 2 + a 1 · w 1 . (2)

Добуток цифри на її позиційну вагу (тобто a i· w i) будемо називати позиційним вкладом цифри.

Формула (2) і покладено основою правил перекладу чисел з однієї системи до іншої, пропонованих у текстах для учня.

У десятковій системі числення записуються за допомогою десяти арабських знаків: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиційна вага цієї системи: ..., 1000, 100, 10, 1.

4627 10 = 4 · 1000 + 6 · 100 + 2 · 10 + 7 · 1.

У двійковій системі числення записуються за допомогою двох арабських знаків: 0 і 1. Позиційні ваги цієї системи: ..., 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Наприклад, запис 10101 "розшифровується" так:

10101 2 = 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1.

Зауважимо, що з рекурсивного правила обчислення ваг випливає, що w i = q i–1 і, отже, запис (2) еквівалентна традиційної записи як статечного многочлена:

N = a n· q n–1 + a n-1 · q n–2 + ... + a 2 · q + a 1 . (3)

Доведемо це щодо індукції. База індукціїпри i= 1 перевіряється безпосередньо: w 1 = q 0 = 1.

Індукційне припущення: нехай твердження справедливе за деякого n:

w n = q n–1 .

Доведемо, що воно буде справедливим і при n + 1.
Тобто доведемо справедливість рівності:

w n+1 = q n.

Справді, w n+1 = w n· q(за рекурсивним визначенням ваги позиції), а w n = q n-1 за індукційним припущенням. Виходить:

w n+1 = w n· q = q n-1 · q = q n.

Доведемо, що будь-яке число представимо у формі (1) (теорема 1) єдиним чином (теорема 2).

Теорема 1 (існування). Будь-яке число mможна уявити у формі (1) за будь-якого q > 1.

Доведення. Доведемо щодо індукції. Для m = 0
і m= 1 легко побудувати потрібне уявлення - це відповідно 0 і 1 (при будь-якому q> 1). Припустимо, нам вдалося уявити число mу формі (1). Знайдемо тоді уявлення для m+ 1. Для цього достатньо перетворити суму

a n · q n–1 + a n-1 · q n–2 + ... + a 2 · q + a 1+1 до форми (1).

Якщо a 1 < (q–1), то потрібне уявлення виходить заміною цифри a 1 на a " 1 = a 1 + 1.

Якщо a 1 = (q–1), отримуємо перенесення одиниці у таку позицію:

a n · q n F-1 + a n-1 · q n–2 + ... + (a 2 + 1) · q + 0.

Далі міркуємо аналогічно. Якщо a 2 < (q–1), то потрібне уявлення виходить заміною цифри a 2 на a " 2 = a 2 + 1. Якщо a 2 = (q-1), то a 2 замінюємо нулем та переносимо одиницю в наступну позицію.

Або на якомусь i < nми закінчимо побудову, чи отримаємо запис 1000...0 - одиницю і nнулів праворуч. Доказ завершено.

Перед теоремою 2 доведемо лему.

Лемма. Вклад кожної ненульової цифри в записі (1) перевищує суму вкладів цифр, розташованих праворуч від неї.

a n a n–1 ... a 2 a 1 . (1)

Доведення. Доведемо, що за будь-якого n > 1:

a n · q n–1 > a n-1 · q n–2 + ... + a 2 · q+ a 1 .

Цифри a iлежать в інтервалі , отже, достатньо довести нерівність при найменшій ненульовій цифрі у лівій частині та максимальних цифрах у правій:

q n–1 > ( q-1) · q n–2 + ... + (q-1) · q + (q–1).

У правій частині виносимо множник ( q-1) За дужку:

(q-1) · q n–2 + ... + (q-1) · q + (q–1) =

= (q-1) · ( q n–2 + ... + q + 1).

Суму геометричної прогресії в останній дужці обчислимо за відомою формулою:

(q-1) · ( q n–2 + ... + q + 1) =

= (q-1) · ( q n–1 –1)/(q–1) = q n–1 – 1.

Отримуємо очевидну нерівність, яка доводить лему:

q n–1 > q n–1 – 1.

Теорема 2 (єдиність). Число у формі (1) представляється єдиним способом.

Доведення. З леми випливає, що числа, що мають у своєму записі різну кількість цифр (незначні нулі зліва не враховуються), не можуть бути рівними: число з великою кількістю цифр завжди більше. Значить, потрібно лише довести, що якщо a iне дорівнює b iдля всіх iвід 1 до n, то запису

a n a n–1 ... a 2 a 1 (4)

b n b n–1 ... b 2 b 1 (5)

що неспроможні позначати одне й те число.

Переглянемо записи (4) і (5) зліва направо у пошуках цифр, що не збігаються. Нехай це будуть a kі b kі нехай a k – b k = d.

на k-м місці в записі виявилася різниця в d· q k-1. Ця різниця має компенсуватися вкладами позицій, розташованих правіше. Але це неможливо, тому що по лемі сума вкладів позицій, розташованих правіше, завжди менша за вклад поточної позиції. Теорему доведено.

Переклад у десяткову

Для перекладу чисел із системи з основою qу десяткову систему можна скористатися формулою (2), виконавши в ній множення та додавання.

N = a n· w n + a n-1 · w n–1 + ... + a 2 · w 2 + a 1 · w 1 (2)

При перекладі з двійкової системи задіяно лише додавання (бо на 1 можна не множити). Таким чином, отримуємо правило перекладу, сформульоване у Читальному залі:

Так, наприклад, для числа 10111 отримуємо:

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10

Загальне правило перекладу з q-Ічної системи в десяткову звучить так:

Для перекладу з q-їчної системи в десяткову потрібно над кожною цифрою записати вагу її позиції та знайти суму творів цифр на їх позиційні ваги (тобто знайти суму позиційних вкладів).

Так, наприклад, для числа 10212 3 отримуємо:

Складаємо цифри, помножені на їх позиційні ваги (позиції з нульовими цифрами, зрозуміло, можна опустити):

10212 3 = 1 · 81 + 2 · 9 + 1 · 3 + 2 · 1 = 104 10 .

Переклад у q-ічну

Для переведення чисел із десяткової системи в систему з основою qяк і раніше спиратимемося на формулу (2):

N = a n· w n + a n-1 · w n–1 + ... + a 2 · w 2 + a 1 · w 1 . (2)

Алгоритм перекладу.

I. Повторювати, доки число не перетвориться на нуль:

1. Знайти першу ліворуч позицію, вага якої не більше поточного числа. Записати в позицію максимально можливу цифру, таку, коли її позиційний вклад (твір цифри на вагу) не перевищує поточного числа.

2. Зменшити поточне число на вклад побудованої позиції.

ІІ. У позиції, які не зайняті побудованими цифрами, записати нулі.

У кожній позиції береться максимально можлива цифра, оскільки по лемі внесок цієї цифри не можна компенсувати цифрами, розташованими правіше. Алгоритм працюватиме в силу доведеного існування (теорема 1) та єдиності (теорема 2) уявлення числа у формі (1).

Для двійкової системи отримуємо варіант алгоритму, наведений у матеріалі учня.

Для переведення в двійкову потрібно побудувати шаблон із вагами двійкових цифр:

Переклад числа виконується за таким алгоритмом:

I. Повторювати, доки число не перетвориться на нуль:

1. Записати 1 в першу ліворуч позицію, вага якої не більше поточного числа.

2. Зменшити поточне число на вагу збудованої одиниці.

ІІ. У позиції, які не зайняті одиницями, записати нулі.

Такий спосіб перекладу практично виявляється набагато простіше і швидше традиційного алгоритму з перебуванням залишків.

При переведенні з десяткової системи до трійки доводиться враховувати і самі позиційні ваги, і їх подвоєння. Для швидкого перекладу можна побудувати таблицю, рядки якої відповідають позиціям цифр, стовпці – цифрам, а клітини – вкладам цифри до числа, залежно від її позиції у записі числа:


позиція 729
позиція 243
позиція 81
позиція 27
позиція 9
позиція 3
позиція 1

Скажімо, внесок цифри 2 у позиції 243 - число 486, а позиції 9 - число 18.

Для переведення в трійкову систему потрібно переглядати таблицю рядків у пошуках найбільшого числа, що не перевищує поточне значення.

Для прикладу переведемо в трійкову систему число 183. Відповідне значення розташоване в третьому рядку і першому стовпці:


позиція 729
позиція 243
позиція 81
позиція 27
позиція 9
позиція 3
позиція 1

Отже, потрійне число починається цифрою 2:

183 10 = 202?? 3

Для числа 21–18 = 3 у таблиці є точне значення, переклад закінчено:

183 10 = 20210 3 .

Для систем з великою основою відповідні таблиці будуть, звичайно, об'ємнішими. Побудуємо як останній приклад таблицю для переведення в шістнадцяткову систему числення:

Нехай потрібно перевести в шістнадцяткову систему число 4255. Шукаємо в таблиці (зліва направо по рядках, починаючи згори) перше число, яке виявиться не більшим за вихідне число 4255:

Отримуємо першу цифру 1 у позиції 4096:

Залишилося закодувати 4255 - 4096 = 159.

Рядок 256 пропускаємо (відповідна цифра буде 0), а в рядку 16 знаходимо відповідне значення 144:

Отримуємо цифри у позиціях 256 та 16:

Залишилося закодувати 159 – 144 = 15. Зрозуміло, що це значення молодшої цифри:

Виходить: 4255 10 = 109F 16 .

Дії над числами

Цей розділ представлений у матеріалі для учня схематично, ознайомлювально.

Темі можна присвятити окремий, великий і досить цікавий урок, але матеріалу і так вийшло багато – важко осягнути неосяжне!

У простому, ознайомлювальному варіанті показано, що дії над числами в будь-якій системі числення виконуються так само, як і в десятковій системі. Дивно, якщо було б інакше, адже числа у всіх позиційних системах будуються за одними й тими самими правилами, отже, і дії з них мають виконуватися однаково.

Розділ підтриманий домашніми завданнями варіанта 3. Ці вправи можна рекомендувати допитливим школярам як індивідуальні завдання.

Розділ 4. Арифметичні основи комп'ютерів

4.1. Що таке система числення?

Існують позиційні та непозиційні системи числення.

У непозиційних системах численнявага цифри (тобто той внесок, який вона вносить у значення числа) не залежить від її позиціїу записі числа. Так, у римській системі числення в числі ХХХII (тридцять два) вага цифри Х у будь-якій позиції дорівнює просто десяти.

У позиційних системах численнявага кожної цифри змінюється в залежності від її положення (позиції) у послідовності цифр, що зображують число. Наприклад, серед 757,7 перша сімка означає 7 сотень, друга - 7 одиниць, а третя - 7 десятих часток одиниці.

Сама ж запис числа 757,7 означає скорочений запис виразу

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Будь-яка позиційна система числення характеризується своїм основою.

За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число – два, три, чотири тощо. Отже, можливо безліч позиційних систем: двійкова, трійкова, четвіркова і т.д. Запис чисел у кожній із систем числення з основою qозначає скорочений запис виразу

a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

де a i - Цифри системи числення; n і m - Число цілих і дробових розрядів, відповідно.
Наприклад:

4.2. Як породжуються цілі числа у позиційних системах числення?

У кожній системі числення цифри впорядковані відповідно до їх значень: 1 більше 0, 2 більше 1 і т.д.

Просунути цифру 1 означає замінити її на 2, просунути цифру 2 означає замінити на 3 і т.д. Просування старшої цифри(наприклад, цифри 9 у десятковій системі) означає заміну її на 0. У двійковій системі, яка використовує лише дві цифри - 0 і 1, просування 0 означає заміну його на 1, а просування 1 - заміну на 0.

Цілі числа в будь-якій системі числення породжуються за допомогою Правила рахунку [44 ]:

Застосовуючи це правило, запишемо перші десять цілих чисел

у двійковій системі: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

у трійковій системі: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

у п'ятирічній системі: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

у вісімковій системі: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Які системи числення використовують фахівці для спілкування з комп'ютером?

Крім десяткової широко використовуються системи з основою, що є цілим ступенем числа 2, а саме:

двійкова(використовуються цифри 0, 1);

вісімкова(використовуються цифри 0, 1, ..., 7);

шістнадцяткова(Для перших цілих чисел від нуля до дев'яти використовуються цифри 0, 1, ..., 9, а для наступних чисел - від десяти до п'ятнадцяти - як цифри використовуються символи A, B, C, D, E, F).

Корисно запам'ятати запис у цих системах числення перших двох десятків цілих чисел:

З усіх систем числення особливо простаі тому цікава для технічної реалізації в комп'ютерах двійкова система числення.

4.4. Чому люди користуються десятковою системою, а комп'ютери – двійковою?

Люди віддають перевагу десятковій системі, мабуть, тому, що з давніх часів рахували на пальцях, а пальців у людей по десять на руках і ногах. Не завжди і скрізь люди користуються десятковою системою числення. У Китаї, наприклад, тривалий час користувалися п'ятирічною системою числення.

А комп'ютери використовують двійкову систему тому, що вона має низку переваг перед іншими системами:

для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами(є струм - немає струму, намагнічний - не намагнічний і т.п.), а не, наприклад, з десятьма, - як у десятковій;

подання інформації у вигляді лише двох станів надійноі завадостійко;

можливо застосування апарату булевої алгебридо виконання логічних перетворень інформації;

двійкова арифметика набагато простіша за десяткову.

Недолік двійкової системи швидке зростання числа розрядів, необхідні записи чисел.

4.5. Чому в комп'ютерах використовуються також вісімкова та шістнадцяткова системи числення?

Двійкова система, зручна для комп'ютерів, для людини незручна через її громіздкість та незвичний запис.

Переведення чисел із десяткової системи у двійкову і навпаки виконує машина. Проте, щоб професійно використовувати комп'ютер, слід навчитися розуміти слово машини. Для цього і розроблено вісімкову та шістнадцяткову системи.

Числа в цих системах читаються майже так само легко, як десяткові, вимагають відповідно в три (вісімкова) і в чотири (шістнадцяткове) рази менше розрядів, ніж у двійковій системі (адже числа 8 і 16 - відповідно, третій та четвертий ступеня числа 2) .

Наприклад:

Наприклад,

4.6. Як перевести ціле число з десяткової системи в іншу позиційну систему числення?

Приклад:Перекладемо число 75 з десяткової системи в двійкову, вісімкову та шістнадцяткову:

Відповідь: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16 .

4.7. Як перевести правильну десяткову дроб в будь-яку іншу позиційну систему числення?

Для перекладу правильної десяткової дробіF у систему числення з основоюq необхідноF помножити наq , записане в тій же десятковій системі, потім дрібну частину отриманого твору знову помножити наq, і т. д., до тих пір, поки дрібна частина чергового твору не стане рівною нулю, або не буде досягнута необхідна точність зображення числа F вq -Ічної системи. Поданням дробової частини числаF у новій системі числення буде послідовність цілих частин отриманих творів, записаних у порядку їх отримання та зображених однією q -Іншою цифрою. Якщо потрібна точність перекладу числаF складаєk знаків після коми, то гранична абсолютна похибка при цьому дорівнюєq -(k+1) / 2.

приклад.Переведемо число 0,36 з десяткової системи в двійкову, вісімкову та шістнадцяткову:

4.8. Як перевести число з двійкової (вісімкової, шістнадцяткової) системи в десяткову?

Переведення в десяткову систему числаx , записаного вq -іншою системою числення (q = 2, 8 або 16) у виглядіx q = (a n a n-1 ... a 0 , a -1 a -2 ... a -m ) q зводиться до обчислення значення многочлена

x 10 = a n q n + a n-1 q n-1 + ... + a 0 q 0 + a -1 q -1 + a -2 q -2 + ... + a -m q -m

засобами десяткової арифметики.

Приклади:

4.9. Зведена таблиця перекладів цілих чисел з однієї системи числення до іншої

Розглянемо лише ті системи числення, які застосовуються в комп'ютерах – десяткову, двійкову, вісімкову та шістнадцяткову. Для певності візьмемо довільне десяткове число, наприклад 46, і для нього виконаємо всі можливі послідовні переклади з однієї системи числення до іншої. Порядок перекладів визначимо відповідно до малюнку:

На цьому малюнку використані такі позначення:

у гуртках записані підстави систем числення;

стрілки вказують напрямок перекладу;

номер поруч зі стрілкою означає порядковий номер відповідного прикладу зведеної таблиці 4.1.

Наприклад: означає переведення з двійкової системи до шістнадцяткової, що має в таблиці порядковий номер 6.

Зведена таблиця перекладів цілих чиселдвохрозділів- теорії статистики... статистики, інформатикияк дисциплін... КР (електронна версіявидання). ".... Е.П. Мікроекономічна статистика: Навч. посібник. – М.: Справа, 2000. … журнал. Інтернет-сайти Росстату...

" формування відкритих баз даних інформаційних ресурсів "

Звіт

Довідкові видання. Бібліографічні посібники. Розділ 1. Довідкові видання... погоджувальних процедур. Інтернет-версіяжурналу надає доступ... УРСС / Інтернет-магазин складаєтьсяздвохвідділів: ... фахівців Управління інформатикита телекомунікацій...

Система зчислення- це метод запису числа за допомогою вказаного набору спеціальних знаків (цифр).

Система зчислення:

дає уявлення безлічі чисел (цілих та/або речових);

дає кожному числу унікальне уявлення (чи, хоча б, стандартне уявлення);

відображає алгебраїчну та арифметичну структуру числа.

Запис числа в деякій системі числення називається кодом числа.

Окрема позиція у відображенні числа називається розряд, Отже, номер позиції - номер розряду.

Кількість розрядів у записі числа називають розрядністюта збігається з його довжиною.

Системи числення поділяються на позиційніі непозиційні.Позиційні системи числення діляться

на однорідніі змішані.

вісімкова система числення, шістнадцяткова система числення та інші системи числення.

Переклад систем числення.Числа можна перевести з однієї системи числення до іншої.

Таблиця відповідності цифр у різних системах числення.