Історія відкриття теореми пифагора. Знамениті теореми (теорема Піфагора)

Текст роботи розміщений без зображень і формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" в форматі PDF

Вступ

У шкільному курсі геометрії за допомогою теореми Піфагора вирішуються тільки математичні задачі. На жаль, питання про практичне застосування теореми Піфагора не розглядається.

У зв'язку з цим, метою моєї роботи було з'ясувати області застосування теореми Піфагора.

В даний час загальне визнання отримало те, що успіх розвитку багатьох галузей науки і техніки залежить від розвитку різних напрямків математики. Важливою умовою підвищення ефективності виробництва є широке впровадження математичних методів в техніку і народне господарство, що передбачає створення нових, ефективних методів якісного і кількісного дослідження, які дозволяють вирішувати завдання, що висуваються практикою.

Розгляну приклади практичного застосування теореми Піфагора. Не буду намагатися привести все приклади використання теореми - це навряд чи було б можливо. Область застосування теореми досить обширна і взагалі не може бути вказана з достатньою повнотою.

гіпотеза:

За допомогою теореми Піфагора можна вирішувати не тільки математичні задачі.

За даній дослідницькій роботі визначена наступна мета:

З'ясувати області застосування теореми Піфагора.

Виходячи з вищезгаданої мети, були позначені наступні завдання:

Зібрати інформацію про практичне застосування теореми Піфагора в різних джерелах і визначити області застосування теореми.

Вивчити деякі історичні відомості про Піфагора і про його теоремі.

Показати застосування теореми при вирішенні історичних завдань.

Обробити зібрані дані по темі.

Я займалася пошуком і збором інформації - вивчала друкований матеріал, працювала з матеріалом в інтернеті, обробкою зібраними даними.

Методика дослідження:

Вивчення теоретичного матеріалу.

Вивчення методик дослідження.

Практичне виконання дослідження.

Комунікативний (метод вимірювання, анкетування).

Вид проекту: інформаційно-дослідницький. Робота виконувалася у вільний час.

Про Піфагора.

Піфагор - давньогрецький філософ, математик, астроном. Обгрунтував багато властивостей геометричних фігур, розробив математичну теорію чисел і їх пропорцій. Вніс значний вклад в розвиток астрономії і акустики. Автор «Золотих віршів», засновник піфагорейської школи в Кротоні.

За переказами Піфагор народився близько 580 р. До н.е. е. на острові Самос в багатій купецькій сім'ї. Його мати - Піфазіс, отримала своє ім'я на честь Піфії, жриці Аполлона. Піфія передбачила Мнесарх і його дружині поява на світ сина, син також був названий в честь Піфії. За багатьма свідченням Страбона хлопчик був казково гарний і незабаром виявив свої неабиякі здібності. Перші пізнання отримав від свого батька Мнесарха, ювеліра, різьбяра по коштовних каменів, який мріяв, що син стане продовжувачем його справи. Але життя розсудила інакше. Майбутній філософ виявив великі здібності до наук. Серед вчителів Піфагора були Ферекид Сіросского і старець Гермодамант. Перший прищепив хлопчикові любов до науки, а другий - до музики, живопису і поезії. Згодом Піфагор познайомився відомим філософом - математиком Фалесом Милетским і за його порадою вирушив до Єгипту - центр тодішньої наукової і дослідницької діяльності. Проживши 22 роки в Єгипті і 12 років у Вавилоні, він повернувся на острів Самос, потім покинув його з невідомих причин і переїхав до міста Кротон, на південь Італії. Тут він створив пифагорейскую школу (союз), в якій вивчали різні питання філософії і математики. У віці приблизно 60 років Піфагора одружився на Феано, однією зі своїх учениць. У них народжені троє дітей, і всі вони стають послідовниками свого батька. Історичні умови того часу характеризуються широким рухом демосу проти влади аристократів. Рятуючись від хвиль народного гніву, Піфагор і його учні переїхали в місто Тарента. За однією версією: до нього прийшов Килон, багатий і зла людина, бажаючи сп'яну вступити в братство. Отримавши відмову, Килон почав боротьбу з Піфагором. При пожежі учні своєю ціною врятували життя вчителю. Піфагор засумував і невдовзі покінчив життя самогубством.

Слід зазначити, що це один з варіантів його біографії. Точні дати його народження і смерті не встановлені, багато фактів його життя суперечливі. Але ясно одне: ця людина жила, і залишив нащадкам велику філософське і математичне спадщина.

Теорема Піфагора.

Теорема Піфагора - найважливіше твердження геометрії. Теорема формулюється в такий спосіб: площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.

Відкриття цього твердження приписують Піфагору Самосскому (XII ст. До н. Е.)

Вивчення вавилонських клинописних табличок і стародавніх китайських рукописів (копій ще більш стародавніх манускриптів) показало, що знаменита теорема була відома задовго до Піфагора, можливо кілька тисячоліть до нього.

(Але є припущення, що Піфагор дав її повноцінне доказ)

Але є й інша думка: в піфагорейської школі був чудовий звичай приписувати все заслуги Піфагору і дещо не привласнювати собі слави першовідкривачів, крім, може бути декількох випадків.

(Ямвліх-сирійський грецькомовних письменник, автор трактату «Життя Піфагора». (II століття н. Е)

Так німецький історик математики Кантор вважає, що рівність 3 2 + 4 2 \u003d 5 2 було

відомо єгиптянам близько 2300 років до н. е. за часів царя Аменехмета (згідно папірусу 6619 Берлінського музею). Одні вважають, що Піфагор дав теоремі повноцінне доказ, а інші відмовляю йому в цій заслузі.

Деякі приписують Піфагору доказ, яке Евклід приводив в своїх «Засадах». З іншого боку Прокл (математик, 5 століття) стверджує, що доказ в «Засадах» належало самому Евклиду, тобто історія математики майже не зберегла достовірних даних про математичної діяльності Піфагора. В математиці, мабуть, годі й шукати ніякої іншої теореми, яка заслуговує на всіляких порівнянь.

У деяких списках «Начал» Евкліда ця теорема назвалася «теоремою німфи» за схожість креслення з бджілкою, метеликом ( «теорема метелики»), що по гречки назвалося німфою. Цим словом греки назвали ще деяких богинь, а також молодих жінок і наречених. Арабська перекладач не звернув уваги на креслення і перевів слово «німфа» як «наречена». Так з'явилося ласкаве назву «теорема нареченої». Існує легенда, що коли Піфагор Самоський довів свою теорему, він віддячив богів, принісши в жертву 100 биків. Звідси ще одна назва-«теорема ста биків».

В англомовних країнах її назвали: «вітряк», «хвіст павича», «крісло нареченої», «ослиний міст» (якщо учень не міг через нього «перейти», значить, він був справжнім «ослом»)

У дореволюційній Росії малюнок теореми Піфагора для випадку рівнобедреного трикутника називали «піфагорових штанами».

Ці «штани» з'являються, коли на кожній стороні прямокутного трикутника побудувати квадрати в зовнішню сторону.

Скільки існує різних доказів теореми Піфагора?

З часів Піфагора їх з'явилося більше 350.Теорема потрапила в Книгу рекордів Гіннеса. Якщо проаналізувати доведення теореми, то принципово різних ідей в них використовується трохи.

Області застосування теореми.

Широке застосування має при вирішенні геометричних задач.

Саме з її допомогою, можна геометрично знаходити значення квадратних коренів з цілих чисел:

Для цього будуємо прямокутний трикутник АОВ (кут А дорівнює 90 °) з одиничними катетами. Тоді його гіпотенуза √2. Потім будуємо одиничний відрізок ВС, ВС перпендикулярний ОВ, довжина гіпотенузи ОС \u003d √3 і т.д.

(Цей спосіб зустрічаємо у Евкліда і Ф. Киренського).

Завдання в курсі фізикисередньої школи вимагають знання теореми Піфагора.

Це завдання пов'язані зі складанням швидкостей.

Зверніть увагу на слайд: завдання з підручника фізики 9 класу. У практичному сенсі її можна сформулювати так: під яким кутом до течії річки повинен рухатися катер, який здійснює перевезення пасажирів між пристанями, щоб укластися в розклад? (Пристані знаходяться на протилежних берегах річки)

Коли біатлоніст стріляє по мішені, він робить «поправку на вітер». Якщо вітер дме справа, а спортсмен стріляє по прямій, то куля піде вліво. Щоб потрапити в ціль, треба зрушити приціл вправо на відстань зміщення кулі. Для них складено спеціальні таблиці (на основі наслідків з т. Піфагора). Біатлоніст знає, на який кут зміщувати приціл при відомій швидкості вітру.

Астрономія - також широка область для застосування теореми Шлях світлового променя.На малюнку показаний шлях світлового променя від A до B і назад. Шлях променя показаний зігнутої стрілкою для наочності, насправді, світловий промінь - прямий.

Який шлях проходить промінь? Світло йде туди і назад однаковий шлях. Чому дорівнює половина шляху, який проходить промінь? Якщо позначити відрізок AB символом l, Половину часу як t, А також позначивши швидкість руху світла буквою c, То наше рівняння набуде вигляду

c * t \u003d l

Адже це твір витраченого часу на швидкість!

Тепер спробуємо поглянути на те ж саме явище з іншої системи відліку, наприклад, з космічного корабля, що пролітає повз бігає променя зі швидкістю v. При такому спостереженні швидкості всіх тел зміняться, причому нерухомі тіла стануть рухатися зі швидкістю v в протилежну сторону. Припустимо, що корабель рухається вліво. Тоді дві точки, між якими бігає зайчик, стануть рухатися вправо з тією ж швидкістю. Причому, в той час, поки зайчик пробігає свій шлях, вихідна точка A зміщується і промінь повертається вже в нову точку C.

Питання: на скільки встигне зміститися точка (щоб перетворитися в точку C), поки подорожує світловий промінь? Точніше: чому дорівнює половина даного зсуву? Якщо позначити половину часу подорожі променя буквою t ", А половину відстані AC буквою d, То отримаємо наше рівняння у вигляді:

v * t "\u003d d

буквою v позначена швидкість руху космічного корабля.

Інше питання: який шлях при цьому пройде промінь світла?(Точніше, чому дорівнює половина цього шляху? Чому дорівнює відстань до невідомого об'єкта?)

Якщо позначити половину довжини шляху світла буквою s, то отримаємо рівняння:

c * t "\u003ds

тут c - це швидкість світла, а t " - це той же самий час, яке розглядали вище.

Тепер розглянемо трикутник ABC. Це трикутник, висота якого дорівнює l, Яке ми ввели при розгляді процесу з нерухомої точки зору. Оскільки рух відбувається перпендикулярно l, То воно не могло вплинути на неї.

трикутник ABC складений з двох половинок - однакових прямокутних трикутників, гіпотенузи яких AB і BC повинні бути пов'язані з катетами по теоремі Піфагора. Один з катетів - це d, Яке ми розрахували тільки що, а другий катет - це s, який проходить світло, і який ми теж рассчіталі.Получаем рівняння:

s 2 \u003d l 2 + d 2

адже це теорема Піфагора!

явище зоряної аберації, відкрите в 1729 році, полягає в тому, що всі зірки на небесній сфері описують еліпси. Велика піввісь цих еліпсів спостерігається з Землі під кутом, рівним 20,5 градуса. Такий кут пов'язаний з рухом Землі навколо Сонця зі швидкістю 29,8 км на годину. Щоб з рухомої Землі спостерігати зірку, необхідно нахилити трубу телескопа вперед по руху зірки, так як поки світло проходить довжину телескопа, окуляр разом з землею переміщається вперед. Додавання швидкостей світла і Землі проводиться векторно, використовуючи т.

Піфагора. U 2 \u003d C 2 + V 2

З-швидкість світла

V-швидкість землі

труба телескопа

В кінці дев'ятнадцятого століття висловлювалися різноманітні припущення про існування мешканців Марса подібних людині, це стало наслідком відкриттів італійського астронома Скіапареллі (відкрив на Марсі канали, які довгий час вважалися штучними). Природно, що питання про те, чи можна за допомогою світлових сигналів пояснюватися з цими гіпотетичними істотами, викликав жваву дискусію. Паризької академією наук була навіть встановлена \u200b\u200bпремія в 100000 франків тому, хто перший встановить зв'язок з яким-небудь мешканцем іншого небесного тіла; ця премія все ще чекає щасливця. Жартома, хоча і не зовсім безпідставно, було вирішено передати мешканцям Марса сигнал у вигляді теореми Піфагора.

Невідомо, як це зробити; але для всіх очевидно, що математичний факт, що виражається теоремою Піфагора, має місце всюди, і тому схожі на нас мешканці іншого світу повинні зрозуміти такий сигнал.

мобільний зв'язок

Хто в сучасному світі не користується стільниковим телефоном? Кожен абонент мобільного зв'язку зацікавлений в її якості. А якість в свою чергу залежить від висоти антени мобільного оператора. Щоб розрахувати, в якому радіусі можна приймати передачу, застосовуємо теорему Піфагора.

Яку найбільшу висоту повинна мати антена мобільного оператора, щоб передачу можна було приймати в радіусі R \u003d 200 км? (Радіус Землі дорівнює 6380 км.)

Рішення:

нехай AB \u003d x , BC \u003d R \u003d 200 км , OC \u003d r \u003d 6380 км.

OB \u003d OA + ABOB \u003d r + x.

Використовуючи теорему Піфагора, отримаємо Відповідь: 2,3 км.

При будівництві будинків і котеджів часто постає питання про довжину крокв для даху, якщо вже виготовлені балки. Наприклад: в будинку задумано побудувати двосхилий дах (форма в перетині). Якої довжини має бути крокви, якщо виготовлені балки AC \u003d 8 м., І AB \u003d BF.

Рішення:

Трикутник ADC - рівнобедрений AB \u003d BC \u003d 4 м., BF \u003d 4 м. Якщо припустити, що FD \u003d 1,5 м., Тоді:

А) З трикутника DBC: DB \u003d 2,5 м.

Б) З трикутника ABF:

вікна

У будівлях готичного і романського стилю верхні частини вікон расчленяются кам'яними ребрами, які не тільки грають роль орнаменту, а й сприяють міцності вікон. На малюнку представлений простий приклад такого вікна в готичному стилі. Спосіб побудови його дуже простий: З малюнка легко знайти центри шести дуг кіл, радіуси яких дорівнюють

ширині вікна (b) для зовнішніх дуг

половині ширини, (b / 2) для внутрішніх дуг

Залишається ще повна окружність, що стосується чотирьох дуг. Т. к. Вона укладена між двома концентричними колами, то її діаметр дорівнює відстані між цими колами, т. Е. B / 2 і, отже, радіус дорівнює b / 4. А тоді стає зрозумілим і

становище її центру.

В романської архітектури часто зустрічається мотив, представлений на малюнку. Якщо b як і раніше позначає ширину вікна, то радіуси півколо дорівнюватимуть R \u003d b / 2 і r \u003d b / 4. Радіус p внутрішньому колу можна обчислити з прямокутного трикутника, зображеного на рис. пунктиром. Гіпотенуза цього трикутника, що проходить через точку дотику кіл, дорівнює b / 4 + p, один катет дорівнює b / 4, а інший b / 2-p. По теоремі Піфагора маємо:

(B / 4 + p) 2 \u003d (b / 4) 2 + (b / 4-p) 2

b 2/16 + bp / 2 + p 2 \u003d b 2/16 + b 2/4 - bp / 2 + p 2,

Розділивши на b і приводячи подібні члени, отримаємо:

(3/2) p \u003d b / 4, p \u003d b / 6.

У лісовій промисловості: Для потреб будівництва колоди розпилюють на брус, при цьому головне завдання - отримати якомога менше відходів. Найменше число відходів буде тоді, коли брус має найбільший обсяг. Що ж повинно бути в перерізі? Як видно з рішення переріз повинен бути квадратним, а теорема Піфагора і інші міркування дозволяють зробити такий висновок.

Брус найбільшого обсягу

завдання

З циліндричного колоди треба випиляти прямокутний брус найбільшого обсягу. Якої форми має бути його перетин (рис. 23)?

Рішення

Якщо сторони прямокутного перетину х і y, то по теоремі Піфагора

x 2 + y 2 \u003d d 2,

де d - діаметр колоди. Обсяг бруса найбільший, коли площа його перерізу найбільша, т. Е. Коли ху досягає найбільшої величини. Але якщо ху найбільше, то найбільшим буде і твір х 2 y 2. Так як сума х 2 + y 2 незмінна, то, по доведеному раніше, твір х 2 y 2 найбільше, коли

х 2 \u003d y 2 або х \u003d y.

Отже, перетин бруса має бути квадратним.

Транспортні завдання(Так звані завдання на оптимізацію; завдання, вирішення яких дозволяє відповісти на питання: як у своєму розпорядженні засоби для досягнення великої вигоди)

На перший погляд нічого особливого: зняти розміри висоти від підлоги до стелі в кількох точках, відняти кілька сантиметрів, щоб шафа не впирався в стелю. Вчинивши так, в процесі складання меблів можуть виникнути труднощі. Адже збірка каркаса меблевики виконують, розташовуючи шафа в горизонтальному положенні, а коли каркас зібраний, піднімають його у вертикальне положення. Розглянемо бічну стінку шафи. Висота шафи повинна бути на 10 см менше відстані від підлоги до стелі за умови, що ця відстань не перевищує 2500 мм. А глибина шафи - 700 мм. Чому на 10 см, а не на 5 см або на 7, і до чого тут теорема Піфагора?

Отже: бокова стінка 2500-100 \u003d 2400 (мм) - максимальна висота конструкції.

Бокова стінка в процесі підйому каркаса повинна вільно пройти як по висоті, так і по діагоналі. за теоремі Піфагора

АС \u003d √ АВ 2 + ВС 2

АС \u003d √ 2400 2 + 700 2 \u003d 2500 (мм)

Що станеться якщо висоту шафи зменшити на 50 мм?

АС \u003d √ 2450 2 + 700 2 \u003d 2548 (мм)

Діагональ 2548 мм. Значить, шафа не поставиш (можна зіпсувати стелю).

Блискавковідвід.

Відомо, що блискавковідвід захищає від блискавки всі предмети, відстань яких від його заснування не перевищує його подвоєною висоти. Необхідно визначити оптимальне положення громовідводу на двосхилим даху, що забезпечує найменшу його доступну висоту.

По теоремі Піфагора h 2 ≥ a 2 + b 2, значить h≥ (a 2 + b 2) 1/2

Терміново на дачній ділянці треба зробити парник для розсади.

З дощок збитий квадрат 1м1м. Є залишки плівки розміром 1,5м1,5м. На якій висоті в центрі квадрата треба закріпити рейку, щоб плівка повністю його покрила?

1) Діагональ парника d \u003d\u003d 1,4; 0,7

2) Діагональ плівки d 1= 2,12 1,06

3) Висота рейки x \u003d 0,7

висновок

В результаті дослідження я з'ясувала деякі області застосування теореми Піфагора. Мною зібрано і оброблено багато матеріалу з літературних джерел та Інтернету по даній темі. Я вивчила деякі історичні відомості про Піфагора і його теоремі. Так, дійсно, за допомогою теореми Піфагора можна вирішувати не тільки математичні задачі. Теорема Піфагора знайшла своє застосування в будівництві та архітектурі, мобільного зв'язку, літературі.

Вивчення і аналіз джерел інформації про теорему Піфагора

показав, що:

а) Виняткову увагу про боку математиків і любителів математики до теоремі засноване на її простоті, краси і вагою;

б) теорема Піфагора на протязі багатьох століть служить поштовхом до цікавих і важливих математичним відкриттям (теорема Ферма, теорія відносності Ейнштейна);

в) Теорема Піфагора - є втіленням універсальної мови математики, справедливого у всьому світі;

г) Область застосування теореми досить велика і взагалі не може бути вказана з достатньою повнотою;

д) Таємниці теореми Піфагора продовжують хвилювати людство і тому кожному з нас дають шанс бути причетним до їх розкриття.

Бібліографія

«Успіхи математичних наук», 1962, т. 17, № 6 (108).

Олександр Данилович Александров (до п'ятдесятиріччя від дня народження),

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І. Геометрія, 10 - 11 кл. - М .: Просвещение, 1992.

Атанасян Л.С. та ін. Геометрія, 10 - 11 кл. - М .: Просвещение, 1992.

Владимиров Ю.С. Простір - час: явні та приховані розмірності. - М .: «Наука», 1989.

Волошин А.В. Піфагор. - М .: Просвещение, 1993.

Газета «Математика», № 21, 2006.

Газета «Математика», № 28, 1995.

Геометрія: Учеб. Для 7 - 11 кл. сред.шк. / Г.П. Бевз, В. Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. - М .: Просвещение, 1992.

Геометрія: Учеб.для 7 - 9 кл. загальноосвіт. Установ / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев і ін. - 6-е изд. - М .: Просвещение, 1996..

Глейзер Г.І. Історія математики в школі: IX - Xкл. Посібник для вчителів. - М .: Просвещение, 1983.

Додаткові глави до шкільного підручника 8 кл .: Навчальний посібник для учнів шк. і класів з поглиблений. изуч. математики Л.С.. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев і ін. - М .: Просвещение, 1996..

Еленьскій Щ. Слідами Піфагора. М., 1961.

Кисельов А.П., Рибкін Н.А. Геометрія: Планіметрія: 7 - 9 кл .: Підручник і задачник. - М .: Дрофа, 1995.

Клайн М. Математика. Пошук істини: Переклад з англ. / Под ред. і предисл. В.І. Аршинова, Ю.В. Сачкова. - М .: Світ, 1998..

Літурман В. Теорема Піфагора. - М., 1960.

Математика: Довідник школяра і студента / Б. Франк і ін .; Переклад з нім. - 3-е изд., Стереотип. - М .: Дрофа, 2003.

Пельтуер А. Хто ви Піфагор? - М .: Знание - сила, № 12, 1994.

Перельман Я. І. Цікава математика. - М .: «Наука», 1976.

Пономарьова Т.Д. Великі вчені. - М .: ТОВ «Видавництво Астрель», 2002..

Свєшнікова А. Подорож в історію математики. - М., 1995.

Семенов Е.Е. Вивчаємо геометрію: Кн. Для учнів 6 - 8 кл. сред.шк. - М .: Просвещение, 1987.

Смишляєв В.К. Про математики і математиків. - Марійської книжкове видавництво, 1977.

Тучнін Н.П. Як задати питання. - М .: Просвещение, 1993.

Черкасов О.Ю. Планиметрия на вступному іспиті. - М .: Московський ліцей, 1996..

Енциклопедичний словник юного математика. Упоряд. А.П. Савін. - М .: Педагогіка, 1985.

Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика. / Глав. Ред. М.Д. Аксьонова. - М .: Аванта +, 2001..

Чи не асоціювалося б з теоремою Піфагора. Навіть ті, хто в своєму житті далекий від математики, продовжують зберігати спогади про "піфагорових штанях" - квадраті на гіпотенузі, рівновеликої двом квадратах на катетах. Причина такої популярності теореми Піфагора ясна: це простота - краса - значимість. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Протиріччя двох начал і надає їй особливу притягальну силу, робить її красивою. Але, крім того, теорема Піфагора має велике значення. Вона застосовується в геометрії буквально на кожному кроці. Існує близько п'ятисот різних доказів цієї теореми, що свідчить про гігантському числі її конкретних реалізацій.

Історичні дослідження датують появу на світ Піфагора приблизно 580 роком до нашої ери. Щасливий батько Мнесарх оточує хлопчика турботами. Можливості дати синові хорошу виховання і освіту у нього були.

Майбутній великий математик і філософ вже в дитинстві виявив великі здібності до наук. У свого першого вчителя Гермодамаса Піфагор отримує знання основ музики та живопису. Для вправи пам'яті Гермодамас змушував його вчити пісні з "Одіссеї" та "Іліади". Перший вчитель прищеплював юному Піфагору любов до природи і її таємниць.

Минуло кілька років, і за порадою свого вчителя Піфагор вирішує продовжити освіту в Єгипті. За допомогою вчителя Піфагору вдається залишити острів Самос. Але поки до Єгипту далеко. Він живе на острові Лесбос у свого родича Зоїла. Там відбувається знайомство Піфагора з філософом Ферекид - іншому Фалеса Мілетського. У Ферекида Піфагор навчається астрології, прогнозу затемнень, таємницям чисел, медицині та іншим обов'язковим на той час наукам.

Потім в Милете він слухає лекції Фалеса і його молодшого колеги і учня Анаксимандра, видатного географа і астронома. Багато важливих знань придбав Піфагор за час свого перебування в Милетской школі.

Перед Єгиптом він на деякий час зупиняється у Фінікії, де, за переказами, вчиться у знаменитих Сидону жерців.

Згідно старовинним легендам, у полоні у Вавилоні Піфагор зустрічався з персидськими магами, прилучився до східної астрології та містики, познайомився з вченням халдейських мудреців. Халдеї познайомили Піфагора зі знаннями, накопиченими східними народами протягом багатьох століть: астрономією та астрологією, медициною та арифметикою.

Дванадцять років пробув в вавілонському полоні Піфагор, доки його не звільнив персидський цар Дарій Гістасп, почувши про знаменитого грека. Піфагору вже шістдесят, він вирішує повернутися на батьківщину, щоб прилучити до накопичених знань свій народ.

З тих пір як Піфагор залишив Грецію, там відбулися великі зміни. Кращі уми, рятуючись від персидського іга, перебралися в Південну Італію, яку тоді називали Великою Грецією, і заснували там міста-колонії Сіракузи, Агрігент, Кротон. Тут і задумує Піфагор створити власну філософську школу.

Досить швидко він завойовує велику популярність серед жителів. Піфагор вміло використовує знання, отримані в мандрах по світу. Згодом вчений припиняє виступи у храмах і на вулицях. Уже в своєму будинку Піфагор вчив медицині, принципам політичної діяльності, астрономії, математиці, музиці, етиці та багато іншому. З його школи вийшли видатні політичні та державні діячі, історики, математики та астрономи. Це був не тільки вчитель, а й дослідник. Дослідниками ставали і його учні. Піфагор розвинув теорію музики й акустики, створивши знамениту "пифагорейскую гаму" і провівши основоположні експерименти по вивченню музичних тонів: знайдені співвідношення він висловив на мові математики. У Школі Піфагора вперше висловлена \u200b\u200bгіпотеза про кулястість Землі. Думка про те, що рух небесних тіл підпорядковується певним математичним співвідношенням, ідеї "гармонії світу" і "музики сфер", згодом призвели до революції в астрономії, вперше з'явились саме в Школі Піфагора.

Доклав зусиль вчений і в геометрії. Прокл так оцінював внесок грецького вченого в геометрію: "Піфагор перетворив геометрію, надавши їй форму вільної науки, розглядаючи її принципи чисто абстрактним чином і досліджуючи теореми з нематеріальної, інтелектуальної точки зору. Саме він знайшов теорію ірраціональних кількостей і конструкцію космічних тіл".

У школі Піфагора геометрія вперше оформляється в самостійну наукову дисципліну. Саме Піфагор і його учні першими стали вивчати геометрію систематично - як теоретичне вчення про властивості абстрактних геометричних фігур, а не як збірник прикладних рецептів по землемерию.

Найважливішою науковою заслугою Піфагора вважається систематичне введення докази в математику, і, перш за все, в геометрію. Строго кажучи, тільки з цього моменту математика і починає існувати як наука, а не як зібрання давньоєгипетських і давньовавілонських практичних рецептів. З народженням ж математики зароджується і наука взагалі, бо "жодна людська дослідження не може називатися справжньою наукою, якщо воно не пройшло через математичні докази" (Леонардо да Вінчі).

Так ось, заслуга Піфагора і полягала в тому, що він, мабуть, першим прийшов до наступної думки: в геометрії, по-перше, повинні розглядатися абстрактні ідеальні об'єкти, і, по-друге, властивості цих ідеальних об'єктів повинні встановлюватися не з допомогою вимірювань на кінцевому числі об'єктів, а за допомогою міркувань, справедливих для нескінченного числа об'єктів. Цей ланцюжок міркувань, яка за допомогою законів логіки зводить неочевидні затвердження до відомим або очевидним істинам, і є математичне доказ.

Відкриття теореми Піфагором оточене ореолом красивих легенд. Прокл, коментуючи останнє речення 1 книги "Начал", пише: "Якщо послухати тих, хто любить повторювати древні легенди, то доведеться сказати, що ця теорема походить від Піфагора; розповідають, що він в честь цього відкриття приніс у жертву бика". Втім, більш щедрі билин одного бика перетворили в одну гекатомбу, а це вже ціла сотня. І хоча ще Цицерон помітив, що будь-яке пролиття крові було чуже статуту пифагорейского ордена, легенда ця міцно зрослася з теоремою Піфагора і через дві тисячі років продовжувала викликати гарячі відгуки.

Тим, хто цікавиться історією теореми Піфагора, яку вивчають у шкільній програмі, буде також цікавий такий факт, як публікація в 1940 році книги з трьохсот сімдесяти доказами цієї, здавалося б, простий теореми. Але вона інтригувала уми багатьох математиків і філософів різних епох. У книзі рекордів Гіннеса вона зафіксована, як теорема з самим максимальним числом доказів.

Історія теореми Піфагора

Пов'язана з ім'ям Піфагора, теорема була відома задовго до народження великого філософа. Так, в Єгипті, при будівництві споруд, враховувалося співвідношення сторін прямокутного трикутника п'ять тисячоліть тому. У вавилонських текстах згадується про все те ж співвідношення сторін прямокутного трикутника за 1200 років до народження Піфагора.

Виникає питання, чому тоді свідчить історія - виникнення теореми Піфагора належить йому? Відповідь може бути тільки один - він довів співвідношення сторін в трикутнику. Він зробив те, що століття назад не робили ті, хто просто користувався співвідношенням сторін і гіпотенузи, встановленим досвідченим шляхом.

З життя Піфагора

Майбутній великий вчений, математик, філософ народився на острові Самосі в 570 році до нашої ери. Історичні документи зберегли відомості про батька Піфагора, який був різьбярем по коштовних каменів, а ось про матір відомостей немає. Про народився хлопчика говорили, що це неабиякий дитина, який виявив з дитинства пристрасть до музики і поезії. До вчителів юного Піфагора історики відносять Гермодаманта і Ферекида Сіросского. Перший ввів хлопчика в світ муз, а другий, будучи філософом і засновником італійської школи філософії, направив погляд юнака до логосу.

У 22 роки від роду (548 р. До н.е. е.) Піфагор вирушив в Навкратис для вивчення мови і релігії єгиптян. Далі його шлях лежав в Мемфіс, де завдяки жерцям, пройшовши через їх хитромудрі випробування, він збагнув єгипетську геометрію, яка, можливо наштовхнула допитливого юнака на доказ теореми Піфагора. Історія надалі припише теоремі саме це ім'я.

У полоні царя Вавилона

По дорозі додому в Елладу, Піфагор потрапляє в полон царя Вавилона. Але перебування в полоні принесло користь допитливому розуму початківця математика, йому було чому повчитися. Адже в ті роки математика в Вавилоні була більш розвиненою ніж в Єгипті. Дванадцять років він провів за вивченням математики, геометрії і магії. І, можливо, саме вавилонська геометрія причетна до доведення співвідношення сторін трикутника і історії відкриття теореми. У Піфагора було для цього достатньо отриманих знань і часу. Але, що це сталося в Вавилоні, документального підтвердження або спростування того немає.

У 530 р до н.е. Піфагор біжить з полону на батьківщину, де живе при дворі тирана Полікрата в статусі напіврабів. Таке життя Піфагора не влаштовує, і він видаляється в печери Самоса, а потім вирушає на південь Італії, де в той час розташовувалася грецька колонія Кротон.

Таємний чернечий орден

На базі цієї колонії Піфагор організував таємний чернечий орден, який представляв собою релігійний союз і наукове товариство одночасно. Це суспільство мало свій статут, в якому говорилося про дотримання особливого способу життя.

Піфагор стверджував, щоб зрозуміти Бога, людина повинна пізнати такі науки як алгебра і геометрія, знати астрономію і розуміти музику. Дослідницька робота зводилася до пізнання містичної сторони чисел і філософії. Слід зазначити, що проповідував в той час Пифагором принципи, мають сенс в наслідуванні і в даний час.

Багато з відкриттів, які робили учні Піфагора, приписувалися йому. Проте, якщо говорити коротко, історія створення теореми Піфагора древніми істориками і біографами того часу, зв'язується безпосередньо з ім'ям цього філософа, мислителя і математика.

вчення Піфагора

Можливо, на думку про зв'язок теореми з ім'ям Піфагора наштовхнуло істориків висловлювання великого грека, що в горезвісному трикутнику з його катетами і гіпотенузою зашифровані всі явища нашого життя. А цей трикутник є "ключем" до вирішення всіх виникаючих проблем. Великий філософ казав, що слід побачити трикутник, тоді можна вважати, що завдання на дві третини вирішена.

Про своєму вченні Піфагор розповідав тільки своїм учням усно, не роблячи ніяких записів, тримаючи його в таємниці. На превеликий жаль, вчення видатного філософа не збереглося до наших днів. Щось з нього просочилася, але не можна сказати скільки істинного, а скільки помилкового в тому, що стало відомо. Навіть з історією теореми Піфагора не всі безперечно. Історики математики сумніваються в авторстві Піфагора, на їхню думку теоремою користувалися за багато століть до його народження.

теорема Піфагора

Може здатися дивним, але історичних фактів доведення теореми самим Піфагором немає - ні в архівах, ні в будь-яких інших джерелах. У сучасній версії вважається, що воно належить не кому іншому, як самому Евклиду.

Є докази одного з найбільших істориків математики Моріца Кантора, який знайшов на папірусі, що зберігається в Берлінському музеї, записане єгиптянами приблизно в 2300 році до н. е. рівність, де йшлося: 3² + 4² \u003d 5².

Коротко з історії теореми Піфагора

Формулювання теореми з евклідових "Почав", в перекладі звучить так само як і в сучасній інтерпретації. Нового в її прочитанні немає: квадрат боку протилежної прямого кута, дорівнює сумі квадратів сторін, прилеглих до прямого кута. Про те, що теоремою користувалися стародавні цивілізації Індії та Китаю підтверджує трактат "Чжоу - бі суань цзинь". Він містить відомості про єгипетському трикутнику, в якому описано співвідношення сторін як 3: 4: 5.

Не менш цікава ще одна китайська математична книга «Чу-пей», в якій також згадується про Піфагора трикутнику з поясненням і малюнками, що збігаються з кресленнями індуської геометрії Басхари. Про сам трикутнику в книзі написано, що якщо прямий кут можна розкласти на складові частини, тоді лінія, яка з'єднує кінці сторін, буде дорівнює п'яти, якщо основа дорівнює трьом, а висота дорівнює чотирьом.

Індійський трактат "Сульва сутра", що відноситься приблизно до VII-V століть до н. е., розповідає про побудову прямого кута за допомогою єгипетського трикутника.

доказ теореми

У середні століття учні вважали доказ теореми надто важкою справою. Слабкі учні заучували теореми напам'ять, без розуміння сенсу докази. У зв'язку з цим вони отримали прізвисько "осли", тому що теорема Піфагора була для них непереборною перешкодою, як для осла міст. У середні століття учні придумали жартівливий вірш на предмет цієї теореми.

Щоб довести теорему Піфагора найлегшим шляхом, слід просто виміряти його боку, не використовуючи в доказі поняття про площах. Довжина сторони, протилежна прямому куті - це c, а прилеглі до нього a і b, в результаті отримуємо рівняння: a 2 + b 2 \u003d c 2. Дане твердження, як говорилося вище, перевіряється шляхом вимірювання довжин сторін прямокутного трикутника.

Якщо почати доказ теореми з розгляду площі прямокутників, побудованих на сторонах трикутника, можна визначити площу всієї фігури. Вона буде дорівнює площі квадрата зі стороною (a + b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

(A + b) 2 \u003d 4 x ab / 2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 \u003d a 2 + b 2, що й треба було довести.

Практичне значення теореми Піфагора полягає в тому, що з її допомогою можна знайти довжини відрізків, які не вимірюючи їх. При будівництві споруд розраховуються відстані, розміщення опор і балок, визначаються центри тяжкості. Застосовується теорема Піфагора і у всіх сучасних технологіях. Не забули про теорему і при створенні кіно в 3D-6D-вимірах, де крім звичних нам 3-х величин: висоти, довжини, ширини - враховуються час, запах і смак. Як пов'язані з теоремою смаки і запахи - запитаєте ви? Все дуже просто - при показі фільму потрібно розрахувати, куди і які запахи і смаки направляти в залі для глядачів.

Чи то ще буде. Безмежний простір для відкриття і створення нових технологій чекає допитливі.

Прівіденцев Владислав, Фарафонова Катерина

Проектна робота учнів до математичної конференції

Завантажити:

Попередній перегляд:

БОУ ТР ГО «Троснянская середня загальноосвітня школа»

Учнівська математична конференція, присвячена великому математику Піфагору

(В рамках Тижня математики в школі)

Історія теореми Піфагора

(Проект)

підготували

учні 9 Б класу

Фарафонова Катерина і Прівіденцев Владислав

Учитель Білик Т.В.

Січень - 2016р.

цілі:

• 1.Расшіріть свої знання з історії математики.
• 2.Познакоміться з біографічними фактами з життя Піфагора, пов'язаними з теоремою.
• 3.Ізучіть історію теореми Піфагора через міфи, легенди давнини.
• 4.Рассмотреть застосування теореми Піфагора при вирішенні завдань з різних розділів геометрії.

План.

1. Введення

2. З історії теореми

3. Вірші про Піфагора

4. Підсумок

5. Висновок

Вступ.

Теорема Піфагора здавна широко застосовувалася в різних областях науки, техніки і практичного життя. Про неї писали в своїх творах римський архітектор та інженер Вітрувій, грецький письменник-мораліст Плутарх, грецький вчений lll ст. Діоген Лаерцій, математик V ст. Прокл і багато інших. Легенда про те, що в честь свого відкриття Піфагор приніс в жертву бика або, як розповідають інші, сто биків, послужила приводом для гумору в оповіданнях письменників і в віршах поетів.

Поет Генріх Гейне (1797-1856), відомий своїми антирелігійними поглядами і уїдливими насмішками над забобонами, в одному зі своїх творів висміює «вчення» про переселення душ в такий спосіб:

"Хто знає! Хто знає! Душа Піфагора оселилася, можливо, бідняку \u200b\u200b- кандидата, який не зумів довести теореми Піфагора і тому провалився на іспиті, тоді як в його екзаменаторів живуть душі тих самих биків, яких колись Піфагор приніс в жертву безсмертним богам, зраділий відкриттям своєї теореми ». Історія Піфагора теореми починається задовго до Піфагора. Протягом століть були дані численні різні доведення теореми Піфагора.

З історії теореми

Історичний огляд почнемо з древнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чу-пей. У цьому творі так говориться про Піфагора трикутнику зі сторонами 3, 4 і 5: "Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли підстава є 3, а висота 4". У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним з креслень індуської геометрії Басхари.

• Кантор (Найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність32 + 42 = 52 було відомо вжеєгиптянам ще близько 2300 р. до н.е. е., за часів царяАменемхета I (Згідно папірусу 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або "натягівателі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5. Дуже легко можна відтворити їх спосіб побудови. Візьмемо мотузку довжиною в 12 м. І прив'яжемо до неї по кольоровий смужці на відстані 3м. від одного кінця і 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться укладеним між сторонами довжиною в 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, застосовуваним усіма теслями. І дійсно, відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що зображають столярну майстерню.

• Дещо більше відомо про теорему Піфагора увавилонян . В одному тексті, относимом до часуХаммурабі , Т. Е. До 2000 р до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна зробити висновок, що в Дворіччя вміли робити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайней мере в деяких випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетській і вавилонській математиці, а з іншого-на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив наступний висновок:"Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація і обснованіе. В їх руках обчислювальні рецепти, засновані на неясних уявленнях, перетворилися в точну науку." Геометрія у індусів , Як і у єгиптян і вавилонян, була тісно пов'язана з культом. Досить імовірно, що теорема про квадраті гіпотенузи була відома в Індії вже близько 18 століття до н. е.

• У першому російською перекладі евклідових "Почав", зробленому Ф. І. Петрушевским, теорема Піфагора викладена так:"У прямокутних трикутниках квадрат з боку, протилежній прямого кута, дорівнює сумі квадратів зі сторін, що містять прямий кут". В даний час відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінне доказ, а інші відмовляють йому і в цій заслузі. Деякі приписують Піфагору доказ, яке Евклід приводить в першій книзі своїх "Почав". З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ в "Засадах" належить самому Евклиду. Як ми бачимо, історія математики майже не зберегла достовірних даних про життя Піфагора і його математичної діяльності. Зате легенда повідомляє, навіть найближчі обставини, що супроводжували відкриття теореми. Розповідають, що в честь цього відкриття Піфагор приніс в жертву 100 биків.

• Довгий час вважали, що до Піфагора ця теорема була відома і названа її тому «теоремою Піфагора». Ця назва збереглася донині. Однак в даний час встановлено, що ця найважливіша теорема зустрічається у вавилонських текстах, написаних за 1200 років до Піфагора.
• Про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутник, знали за 2000 років до н.е. єгиптяни, які, ймовірно користувалися цим ставленням для побудови прямих кутів при спорудженні будинків. У Китаї пропозицію про квадраті гіпотенузи було відомо, принаймні, за 500 років до Піфагора. Ця теорема була відома і в Стародавній, Індії; про це свідчать пропозиції, що містяться в «Сутра».

Піфагор зробив багато важливих відкриттів, але найбільшу славу вченому принесла доведена їм теорема, яка зараз носить його ім'я. Дійсно, в сучасних підручниках теорема сформульована так: "У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". - Як записати теорему Піфагора для прямокутного трикутникаАВС з катетами а, b і гіпотенузою с.

а 2 + b 2 \u003d з 2

Припускають, що за часів Піфагора теорема звучала по-іншому: "Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах". дійсно,з 2 - площа квадрата, побудованого на гіпотенузі,а 2 і b 2 - площі квадратів, побудованих на катетах.

Ймовірно, факт, викладений в теоремі Піфагора, був спочатку встановлений для рівнобедрених прямокутних трикутників. Квадрат, побудований на гіпотенузі, містить чотири трикутники. А на кожному катеті побудований квадрат, що містить два трикутника. З малюнка 9 видно, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Вірші про Піфагора.
Німецький письменник-романіст А. Шамиссо, який на початку Xl X ст. Брав участь в кругосвітній подорожі російською кораблі «Рюрик», написав такі вірші:
Хай буде вічною істина, як скоро
Її людина пізнає!
І нині теорема Піфагора
Верна, як і його далекий століття.
Рясно було жертвоприношення
Богам від Піфагора. Мудрець
Він віддав на заклання і спалення
За світла промінь, що прийшов з хмар.
Тому завжди з тих самих пір,
Ледь істина народжується на світ,
Бики ревуть, її почуя, слідом.
Вони не в змозі світло зупинить,
А можуть лише, закривши очі, тремтіти
Від страху, що вселив в них Піфагор

Підводимо підсумок:
Якщо дано нам трикутник
І до того ж з прямим кутом,
Те квадрат гіпотенузи
Ми завжди легко знайдемо:
Катети в квадрат зводимо,
Суму ступенів знаходимо
І таким простим шляхом
До результату ми прийдемо.

Наближається залік по геометрії, а на заліках і іспитах іноді бувають випадки, коли учні, витягнувши квиток, пам'ятають формулювання теореми, але забувають з чого почати доказ. Щоб цього не сталося з вами, пропоную малюнок - опорний сигнал. Думаю, він надовго залишиться у вашій пам'яті.

Відрубав Іван-царевич дракону голову, а у нього дві нові виросли. На математичній мові це означає: провели в ΔАВС висоту CD , І утворилося два нових прямокутних трикутникаADC і BDC.

Висновок.

Після вивчення побудованого матеріалу можна зробити висновок, що теорема Піфагора - одна з найголовніших теорем геометрії тому, що з її допомогою можна довести багато інших теорем і вирішити безліч завдань.

Піфагор і школа Піфагора зіграли велику роль в удосконаленні методів вирішення наукових проблем: в математику твердо увійшло положення про необхідність строгих доказів, що й додало їй значення особливої \u200b\u200bнауки.

Переконайтеся, що даний вам трикутник є прямокутним, так як теорема Піфагора може бути застосована тільки до прямокутним трикутниках. У прямокутних трикутниках один з трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.

• Прямий кут в прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата, а не у вигляді кривої, яка позначає непрямі кути.

Позначте боку трикутника. Катети позначте як «а» і «b» (катети - сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу - як «с» (гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута).

Визначте, яку сторону трикутника потрібно знайти. Теорема Піфагора дозволяє знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника (якщо відомі дві інші сторони). Визначте, яку сторону (a, b, c) необхідно знайти.

• Наприклад, дана гіпотенуза, що дорівнює 5, і дано катет, що дорівнює 3. У цьому випадку необхідно знайти другий катет. Ми повернемося до цього прикладу пізніше.
• Якщо дві інші сторони невідомі, необхідно знайти довжину однієї з невідомих сторін, щоб мати можливість застосувати теорему Піфагора. Для цього використовуйте основні тригонометричні функції (якщо вам дано значення одного з непрямих кутів).

Підставте у формулу a 2 + b 2 \u003d c 2 дані вам значення (або знайдені вами значення). Пам'ятайте, що a і b - це катети, а с - гіпотенуза.

• У нашому прикладі напишіть: 3² + b² \u003d 5².

Зведіть в квадрат кожну відому сторону. Або ж залиште ступеня - ви можете звести числа в квадрат пізніше.

• У нашому прикладі напишіть: 9 + b² \u003d 25.

Обособьте невідому сторону на одному боці рівняння. Для цього перенесіть відомі значення на іншу сторону рівняння. Якщо ви знаходите гіпотенузи, то в теоремі Піфагора вона вже відособлена на одній стороні рівняння (тому робити нічого не потрібно).

• У нашому прикладі перенесіть 9 на праву сторону рівняння, щоб відокремити невідоме b². Ви отримаєте b² \u003d 16.

Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння. На даному етапі на одній стороні рівняння присутній невідоме (в квадраті), а на іншій стороні - вільний член (число).

• У нашому прикладі b² \u003d 16. Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння і отримаєте b \u003d 4. Таким чином, другий катет дорівнює 4 .

Використовуйте теорему Піфагора в повсякденному житті, так як її можна застосовувати у великому числі практичних ситуацій. Для цього навчитеся розпізнавати прямокутні трикутники в повсякденному житті - в будь-якій ситуації, в якій два предмета (або лінії) перетинаються під прямим кутом, а третій предмет (або лінія) з'єднує (по діагоналі) верхівки двох перших предметів (або ліній), ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти невідому сторону (якщо дві інші сторони відомі).

• Приклад: дана сходи, притулені до будівлі. Нижня частина сходів знаходиться в 5 метрах від підстави стіни. Верхня частина сходів знаходиться в 20 метрах від землі (вгору по стіні). Яка довжина сходів?
  • «В 5 метрах від підстави стіни» означає, що а \u003d 5; «Знаходиться в 20 метрах від землі» означає, що b \u003d 20 (тобто вам дано два катета прямокутного трикутника, так як стіна будівлі і поверхня Землі перетинаються під прямим кутом). Довжина сходів є довжина гіпотенузи, яка невідома.
    • a² + b² \u003d c²
    • (5) ² + (20) ² \u003d c²
    • 25 + 400 \u003d c²
    • 425 \u003d c²
    • з \u003d √425
    • з \u003d 20,6. Таким чином, приблизна довжина сходів дорівнює 20,6 метрів.