Розкладання квадратного многочлена на множники. «Розкладання квадратного тричлена на множники

На даному уроці ми з вами навчимося розкладати квадратні тричлена на лінійні множники. Для цього необхідно пригадати теорему Вієта і зворотний їй. Дане вміння допоможе нам швидко і зручно розкладати квадратні тричлена на лінійні множники, а також спростить скорочення дробів, що складаються з виразів.

Отже повернемося до квадратного рівняння, де.

Те, що стоїть біля нас в лівій частині, називається квадратним тричленної.

Справедлива теорема: Якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо тотожність

Де - старший коефіцієнт, - коріння рівняння.

Отже, ми маємо квадратне рівняння - квадратний тричлен, де коріння квадратного рівняння також називаються корінням квадратного тричлена. Тому якщо ми маємо коріння квадратного тричлена, то цей тричлен розкладається на лінійні множники.

Доведення:

Доказ цього факту виконується за допомогою теореми Вієта, розглянутої нами в попередніх уроках.

Давайте згадаємо, про що говорить нам теорема Вієта:

Якщо - коріння квадратного тричлена, у якого, то.

З даної теореми випливає наступне твердження, що.

Ми бачимо, що, по теоремі Вієта,, т. Е., Підставивши дані значення в формулу вище, ми отримуємо такий вираз

що і потрібно було довести.

Згадаймо, що ми довели теорему, що якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо розкладання.

Тепер давайте згадаємо приклад квадратного рівняння, до якого за допомогою теореми Вієта ми підбирали коріння. З цього факту ми можемо отримати наступне рівність завдяки доведеною теоремою:

Тепер давайте перевіримо правильність даного факту простим розкриттям дужок:

Бачимо, що на множники ми розклали вірно, і будь-який тричлен, якщо він має коріння, то, можливо розкладено по даній теоремі на лінійні множники за формулою

Однак давайте перевіримо, для будь-якого чи рівняння можливо таке розкладання на множники:

Візьмемо, наприклад, рівняння. Для початку перевіримо знак дискримінанту

А ми пам'ятаємо, що для виконання вивченої нами теореми D повинен бути більше 0, тому в даному випадку розкладання на множники з вивченої теоремі неможливо.

Тому сформулюємо нову теорему: якщо квадратний тричлен не має коренів, то його не можна розкласти на лінійні множники.

Отже, ми розглянули теорему Вієта, можливість розкладання квадратного тричлена на лінійні множники, і тепер вирішимо кілька завдань.

завдання №1

У даній групі ми будемо за фактом вирішувати завдання, зворотний до поставленої. У нас було рівняння, і ми знаходили його коріння, розкладаючи на множники. Тут ми будемо діяти навпаки. Припустимо, у нас є коріння квадратного рівняння

Зворотній завдання таке: складіть квадратне рівняння, щоб були його корінням.

Для вирішення даного завдання існує 2 способи.

Оскільки - коріння рівняння, то - це квадратне рівняння, коренями якого є задані числа. Тепер розкриємо дужки і перевіримо:

Це був перший спосіб, за яким ми створили квадратне рівняння з заданими корінням, в якому немає будь-яких інших коренів, оскільки будь-яке квадратне рівняння має не більше двох коренів.

Даний спосіб передбачає використання зворотної теореми Вієта.

Якщо - корінь рівняння, то вони задовольняють умові, що.

Для наведеного квадратного рівняння ,, Т. Е. В даному випадку, а.

Таким чином, ми створили квадратне рівняння, яке має задані коріння.

завдання №2

Необхідно скоротити дріб.

Ми маємо тричлен в чисельнику і тричлен в знаменнику, причому тричлена можуть як розкладатися, так і не розкладатися на множники. Якщо ж і чисельник, і знаменник розкладаються на множники, то серед них можуть опинитися рівні множники, які можна скоротити.

В першу чергу необхідно розкласти на множники чисельник.

Спочатку необхідно перевірити, чи можна розкласти дане рівнянні на множники, знайдемо дискримінант. Оскільки, то знак залежить від твору (повинно бути менше 0), в даному прикладі, т. Е. Задане рівняння має коріння.

Для вирішення використовуємо теорему Вієта:

В даному випадку, оскільки ми маємо справу з корінням, то просто підібрати коріння буде досить складно. Але ми бачимо, що коефіцієнти врівноважені, т. Е. Якщо припустити, що, і підставити це значення в рівняння, то виходить наступна система:, т. Е. 5-5 \u003d 0. Таким чином, ми підібрали один з коренів даного квадратного рівняння.

Другий корінь ми будемо шукати методом підставляння вже відомого в систему рівнянь, наприклад,, тобто .

Таким чином, ми знайшли обидва кореня квадратного рівняння і можемо підставити їх значення у вихідне рівняння, щоб розкласти його на множники:

Згадаймо початкову задачу, нам необхідно було скоротити дріб.

Спробуємо вирішити поставлене завдання, підставивши замість чисельника.

Необхідно не забути, що при цьому знаменник не може дорівнювати 0, т. Е.,.

Якщо дані умови будуть виконуватися, то ми скоротили вихідну дріб до виду.

Завдання №3 (завдання з параметром)

При яких значеннях параметра сума коренів квадратного рівняння

Якщо коріння даного рівняння існують, то , Питання: коли.

План - конспект уроку (МБОУ «Чорноморська середня школа №2»

ПІБ вчителя

Пономаренко Владислав Вадимович

предмет

алгебра

Дата проведення уроку

19.09.2018

№ уроку

клас

9Б

Тема урока

(Відповідно до КТП)

«Розкладання квадратного тричлена на множники»

цілепокладання

- навчальні: навчити учнів розкладати на множники квадратний тричлен, навчити застосовувати алгоритм розкладання на множники квадратного тричлена при вирішенні прикладів, розглянути завдання бази даних ДПА, в яких використовується алгоритм розкладання квадратного тричлена на множники

-розвивати: розвивати у школярів вміння формулювати проблеми, пропонувати шляхи їх вирішення, сприяти розвитку у школярів умінь виділяти головне в пізнавальному об'єкті.

виховного: допомогти учням усвідомити цінність спільної діяльності, сприяти розвитку у дітей умінь здійснювати самоконтроль, самооцінку і самокоррекцию навчальної діяльності.

Тип уроку

вивчення та первинного закріплення нових знань.

устаткування:

мультимедійний проектор, екран, комп'ютер, дидактичний матеріал, підручники, зошити, презентація до уроку

Хід уроку

1. Організаційний момент: учитель вітає учнів, перевіряє готовність до уроку.

Мотивує учнів:

Сьогодні на уроці в спільну діяльність ми підтвердимо слова Пойа (Слайд 1). ( «Завдання, яке ви вирішуєте, може бути дуже скромною, але якщо вона кидає виклик вашої допитливості, і якщо ви вирішуєте її власними силами, то ви зможете випробувати веде до відкриттю напруження розуму і насолодитися радістю перемоги ». Двердь Пойа.)

Повідомлення про Пойа (Слайд 2)

Я хочу зробити виклик вашої допитливості. Розглянемо завдання з ДПА. Побудуйте графік функції .

Чи можемо ми, насолодитися радістю перемоги і виконати дане завдання? (проблемна ситуація).

Як вирішити цю проблему?

- Намітити план дій для вирішення цієї проблеми.

Коригує план уроку, коментує принцип самостійної роботи.

Самостійна робота (класу роздати листочки з текстом самостійної роботи) (Додаток 1)

Самостійна робота

Розкладіть на множники:

x 2 - 3x;

x 2 – 9;

x 2 - 8x + 16;

2a 2 - 2b 2 -a + b;

2x 2 - 7x - 4.

Скоротити дріб:

слайдЗ відповідями для самоперевірки.

питання класу:

Які способи розкладання многочлена на множники ви використовували?

Чи всі многочлени ви змогли розкласти на множники?

Чи всі дроби змогли скоротити?

Проблема2:слайд

Як розкласти на множники многочлен

2 x 2 – 7 x – 4?

Як скоротити дріб?

фронтальне опитування:

Що собою являють многочлени

2 x 2 – 7 x - 4 іx 2 – 5 x +6?

Дайте визначення квадратного тричлена.

Що ми знаємо про квадратному тричленну?

Як знайти його коріння?

Від чого залежить кількість коренів?

Зіставте ці знання з тим, що ми повинні дізнатися і сформулюйте тему уроку. (Після цього на екрані тема уроку)слайд

Поставимо мета урокуслайд

Намети кінцевий результатслайд

Питання класу: Як вирішити цю проблему?

Клас працює в групах.

Завдання групам:

по змісту знайти потрібну сторінку, з олівцем в руках прочитати п.4, виділити головну думку, скласти алгоритм, за яким будь-який квадратний тричлен можна розкласти на множники.

Перевірка виконання завдання класом (фронтальна робота):

Яка головна думка пункту 4?слайд (На екрані формула розкладання квадратного тричлена на множники).

Алгоритм на екрані.слайд

1.Пріравнять квадратний тричлен до нуля.

2.Найті дискриминант.

3.Найті коріння квадратного тричлена.

4.Подставіть знайдені коріння в формулу.

5. Якщо необхідно, то внести старший коефіцієнт в дужки.

Ще однамаленька проблема : Якщо D \u003d 0, то чи можна розкласти квадратний тричлен на множники, і якщо можна, то як?

(Дослідницька робота в групах).

слайд (на екрані:

Якщо D \u003d 0, то
.

Якщо квадратний тричлен не має коренів,

то його розкласти на множники не можна.)

Повернемося до завдання в самостійній роботі. Чи зможемо тепер розкласти на множники квадратні тричлен2 x 2 – 7 x - 4 іx 2 – 5 x +6?

Клас працює самостійно, розкладає на множники, я працюю індивідуально зі слабкими учнями.

слайд (З рішенням)взаимопроверка

Чи зможемо скоротити дріб?

Скоротити дріб, викликаю до дошки сильного учня.

Повернемося до завдання з ДПА. Чи зможемо ми тепер побудувати графік функції?

Що є графіком даної функції?

Побудуйте графік функції у себе в зошиті.

тест (замостоятельная робота) Додаток 2

Самоперевірка і самооцінка Учням видані листочки (Додаток 3), в які треба записати відповіді. У них дано критерії оцінок.

Критерії оцінок:

3 завдання - оцінка »4»

4заданія - оцінка «5»

рефлексія: (Слайд)

1.Сегодня на уроці я навчився ...

2.Сегодня на уроці я повторив ...

3.Я закріпив ...

4.Мне сподобалося ...

5.Я поставив собі оцінку за діяльність на уроці ...

6. Які види робіт викликали труднощі і вимагають повторення ...

7. Чи виконали ми намічений результат?

Слайд: Дякую за урок!

Додаток 1

Самостійна робота

Розкладіть на множники:

x 2 - 3x;

x 2 – 9;

x 2 - 8x + 16;

x 2 + X - 2;

2a 2 - 2b 2 -a + b;

2 x 2 – 7 x – 4.

Скоротити дріб:

Додаток 2

тест

1 варіант

азложіть на множники?

x 2 - 8x+ 7;

x 2 - 8x+ 16 ;

x 2 - 8x+ 9;

x 2 - 8x+ 1 7.

2 x 2 – 9 x – 5 = 2( x – 5)(…)?

відповідь:_________ .

Скоротіть дріб:

x – 3;

x + 3;

x – 4;

інша відповідь.

тест

2 варіант

Який квадратний тричлен не можна разложіть на множники?

5 x 2 + x+ 1;

⅓ x 2 -8x+ 2;

0,1 x 2 + 3 x - 5;

x 2 + 4 x+ 5.

Який многочлен треба підставити замість трьох крапок, щоб була рівність:2 x 2 + 5 x – 3 = 2( x + 3)(…)?

відповідь:_________ .

Скоротіть дріб:

3 x 2 – 6 x – 15;

0,25(3 x - 1);

0,25( x - 1);

інша відповідь.

додаток 3

Запишіть відповіді.

Критерії оцінок:

Вірно виконано: 2 завдання - оцінка «3»

3 завдання - оцінка »4»

4заданія - оцінка «5»

завдання №1

завдання №2

завдання №3

1 варіант

2 варіант

Для того, щоб розкласти на множники, необхідно спрощувати вирази. Це необхідно для того, щоб можна було в подальшому скоротити. Розкладання многочлена має сенс тоді, коли його ступінь не нижче другої. Многочлен з першим ступенем називають лінійним.

Стаття розкриє всі поняття розкладання, теоретичні основи і способи розкладів многочлена на множники.

теорія

теорема 1

Коли будь-який многочлен зі ступенем n, мають вигляд P n x \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + a 0, представляють у вигляді твору з постійним множником зі старшою ступенем an і n лінійних множників (x - xi), i \u003d 1, 2, ..., n, тоді P n (x) \u003d an (x - xn) (x - xn - 1) ·. . . · (X - x 1), де x i, i \u003d 1, 2, ..., n - це і є коріння многочлена.

Теорема призначена для коренів комплексного типу x i, i \u003d 1, 2, ..., n і для комплексних коефіцієнтів a k, k \u003d 0, 1, 2, ..., n. Це і є основа будь-якого розкладу.

Коли коефіцієнти виду a k, k \u003d 0, 1, 2, ..., n є дійсними числами, тоді комплексні корені, які будуть зустрічатися сполученими парами. Наприклад, коріння x 1 і x 2, що відносяться до многочлену виду P n x \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + a 0 вважаються комплексно зв'язаних, тоді інші корені є дійсними, звідси отримуємо, що многочлен набуде вигляду P n (x) \u003d a n (x - x n) (x - x n - 1) ·. . . · (X - x 3) x 2 + p x + q, де x 2 + p x + q \u003d (x - x 1) (x - x 2).

зауваження

Коріння многочлена можуть повторюватися. Розглянемо доказ теореми алгебри, слідства з теореми Безу.

Основна теорема алгебри

теорема 2

Будь многочлен зі ступенем n має як мінімум один корінь.

теорема Безу

Після того, як зробили поділ многочлена виду P n x \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + a 0 на (x - s), тоді отримуємо залишок, який дорівнює многочлену в точці s, тоді отримаємо

P n x \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + a 0 \u003d (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s), де Q n - 1 (x) є многочленом зі ступенем n - 1.

Слідство з теореми Безу

Коли корінь многочлена P n (x) вважається s, тоді P n x \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + a 0 \u003d (x - s) · Q n - 1 (x). Дане наслідок є достатнім при вживанні для опису рішення.

Розкладання на множники квадратного тричлена

Квадратний тричлен виду a x 2 + b x + c можна розкласти на лінійні множники. тоді отримаємо, що a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), де x 1 і x 2 - це коріння (комплексні або дійсні).

Звідси видно, що саме розкладання зводиться до вирішення квадратного рівняння згодом.

приклад 1

Провести розкладання квадратного тричлена на множники.

Рішення

Необхідно знайти корені рівняння 4 x 2 - 5 x + 1 \u003d 0. Для цього необхідно знайти значення дискримінанту за формулою, тоді отримаємо D \u003d (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 \u003d 9. Звідси маємо, що

x 1 \u003d 5 - 9 2 · 4 \u003d 1 4 x 2 \u003d 5 + 9 2 · 4 \u003d 1

Звідси отримуємо, що 4 x 2 - 5 x + 1 \u003d 4 x - 1 4 x - 1.

Для виконання перевірки потрібно розкрити дужки. Тоді отримаємо вираз виду:

4 x - 1 4 x - 1 \u003d 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 \u003d 4 x 2 - 5 x + 1

Після перевірки приходимо до вихідного виразу. Тобто можна зробити висновок, що розкладання виконано вірно.

приклад 2

Провести розкладання на множники квадратний тричлен виду 3 x 2 - 7 x - 11.

Рішення

Отримаємо, що необхідно обчислити вийшло квадратне рівняння виду 3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 0.

Щоб знайти коріння, треба визначити значення дискримінанту. Отримаємо, що

3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 0 D \u003d (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) \u003d 181 x 1 \u003d 7 + D 2 · 3 \u003d 7 + 181 6 x 2 \u003d 7 - D 2 · 3 \u003d 7 - 181 6

Звідси отримуємо, що 3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

приклад 3

Провести розкладання многочлена 2 x 2 + 1 на множники.

Рішення

Тепер потрібно вирішити квадратне рівняння 2 x 2 + 1 \u003d 0 і знайти його коріння. Отримаємо, що

2 x 2 + 1 \u003d 0 x 2 \u003d - 1 2 x 1 \u003d - 1 2 \u003d 1 2 · i x 2 \u003d - 1 2 \u003d - 1 2 · i

Ці корені називають комплексно сполученими, значить саме розкладання можна зобразити як 2 x 2 + 1 \u003d 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

приклад 4

Провести розкладання квадратного тричлена x 2 + 1 3 x + 1.

Рішення

Для початку необхідно вирішити квадратне рівняння виду x 2 + 1 3 x + 1 \u003d 0 і знайти його коріння.

x 2 + 1 3 x + 1 \u003d 0 D \u003d 1 3 2 - 4 · 1 · 1 \u003d - 35 9 x 1 \u003d - 1 3 + D 2 · 1 \u003d - 1 3 + 35 3 · i 2 \u003d - 1 + 35 · i 6 \u003d - 1 6 + 35 6 · ix 2 \u003d - 1 3 - D 2 · 1 \u003d - 1 3 - 35 3 · i 2 \u003d - 1 - 35 · i 6 \u003d - 1 6 - 35 6 · i

Отримавши коріння, запишемо

x 2 + 1 3 x + 1 \u003d x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i \u003d \u003d x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

зауваження

Якщо значення дискримінанту негативне, то многочлени залишаться многочленами другого порядку. Звідси випливає, що розкладати їх не будемо на лінійні множники.

Способи розкладання на множники многочлена ступеня вище другий

При розкладанні передбачається універсальний метод. Більшість всіх випадків засноване на слідстві з теореми Безу. Для цього необхідно підбирати значення кореня x 1 і знизити його ступінь за допомогою ділення на многочлена на 1 розподілом на (x - x 1). Отриманий многочлен потребує знаходженні кореня x 2, причому процес пошуку циклічний до тих пір, поки не отримаємо повне розкладання.

Якщо корінь не знайшли, тоді застосовуються інші способи розкладання на множники: угруповання, додаткові складові. Дана тема вважає рішення рівнянь з вищими ступенями і цілими коефіцієнтами.

Винесення спільного множника за дужки

Розглянемо випадок, коли вільний член дорівнює нулю, тоді вид многочлена стає як P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x.

Видно, що корінь такого многочлена буде дорівнювати x 1 \u003d 0, тоді можна уявити многочлен у вигляді виразу P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x \u003d \u003d x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 +... + A 1)

Даний спосіб вважається винесенням загального множника за дужки.

приклад 5

Виконати розкладання многочлена третього ступеня 4 x 3 + 8 x 2 - x на множники.

Рішення

Бачимо, що x 1 \u003d 0 - це корінь заданого многочлена, тоді можна зробити винесення х за дужки всього виразу. отримуємо:

4 x 3 + 8 x 2 - x \u003d x (4 x 2 + 8 x - 1)

Переходимо до знаходження коренів квадратного тричлена 4 x 2 + 8 x - 1. Знайдемо дискримінант і коріння:

D \u003d 8 2 - 4 · 4 · (- 1) \u003d 80 x 1 \u003d - 8 + D 2 · 4 \u003d - 1 +5 2 x 2 \u003d - 8 - D 2 · 4 \u003d - 1 - 5 2

Тоді виходить, що

4 x 3 + 8 x 2 - x \u003d x 4 x 2 + 8 x - 1 \u003d \u003d 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 \u003d \u003d 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Для початку приймемо за розгляд спосіб розкладання, що містить цілі коефіцієнти виду P n (x) \u003d x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + a 0, де коефіцієнта при старшій ступеня дорівнює 1.

Коли многочлен має цілі корені, тоді їх вважають делителями вільного члена.

приклад 6

Провести розкладання виразу f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Рішення

Розглянемо, чи є цілі коріння. Необхідно виписати подільники числа - 18. Отримаємо, що ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. Звідси випливає, що даний многочлен має цілі корені. Можна провести перевірку за схемою Горнера. Вона дуже зручна і дозволяє швидко отримати коефіцієнти розкладання многочлена:

Звідси випливає, що х \u003d 2 і х \u003d - 3 - це коріння вихідного многочлена, який можна представити як добуток виду:

f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) \u003d \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Переходимо до розкладання квадратного тричлена виду x 2 + 2 x + 3.

Так як дискримінант отримуємо негативний, значить, дійсних коренів немає.

відповідь: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

зауваження

Допускається використання підбором кореня і розподіл многочлена на многочлен замість схеми Горнера. Перейдемо до розгляду розкладання многочлена, що містить цілі коефіцієнти виду P n (x) \u003d x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + a 0, старший з яких на дорівнює одиниці.

Цей випадок має місце бути для дрібно-раціональних дробів.

приклад 7

Провести розкладання на множники f (x) \u003d 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15.

Рішення

Необхідно виконати заміну змінної y \u003d 2 x, слід переходити до многочлену з коефіцієнтами рівними 1 при старшого ступеня. Необхідно почати з множення вираження на 4. Отримуємо, що

4 f (x) \u003d 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 \u003d \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 \u003d g (y)

Коли вийшла функція виду g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 має цілі корені, тоді їх знаходження серед дільників вільного члена. Запис набуде вигляду:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60

Перейдемо до обчислення функції g (y) в цих точка для того, щоб отримати в результаті нуль. Отримуємо, що

g (1) \u003d 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 \u003d 162 g (- 1) \u003d (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 \u003d - 4 g (2) \u003d 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 \u003d 308 g (- 2) \u003d (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 \u003d - 36 g (3) \u003d 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 \u003d 504 g (- 3) \u003d (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 \u003d - 42 g (4) \u003d 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 \u003d 756 g (- 4) \u003d (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 \u003d - 28 g (5) \u003d 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 \u003d 1070 g (- 5) \u003d (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) +60

Отримуємо, що у \u003d - 5 - це корінь рівняння виду y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, значить, x \u003d y 2 \u003d - 5 2 - це корінь вихідної функції.

приклад 8

Необхідно провести ділення стовпчиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2.

Рішення

Запишемо і отримаємо:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 \u003d x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) \u003d \u003d 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Перевірка подільників займе багато часу, тому вигідніше зробити розкладання на множники отриманого квадратного тричлена виду x 2 + 7 x + 3. Прирівнянням до нуля і знаходимо дискримінант.

x 2 + 7 x + 3 \u003d 0 D \u003d 7 2 - 4 · 1 · 3 \u003d 37 x 1 \u003d - 7 + 37 2 x 2 \u003d - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 \u003d x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Звідси слідує що

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 \u003d 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 \u003d \u003d 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Штучні прийоми при розкладанні многочлена на множники

Раціональні коріння не притаманні всім многочленів. Для цього необхідно користуватися спеціальними способами для знаходження множників. Але не всі многочлени можна розкласти або представити у вигляді добутку.

спосіб угруповання

Бувають випадки, коли можна згруповують складові многочлена для знаходження спільного множника і винесення його за дужки.

приклад 9

Провести розкладання многочлена x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 на множники.

Рішення

Тому як коефіцієнти - цілі числа, тоді коріння імовірно теж можуть бути цілими. Для перевірки візьмемо значення 1, - 1, 2 і - 2 для того, щоб обчислити значення многочлена в цих точках. Отримуємо, що

1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 \u003d - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 \u003d 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 \u003d 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 \u003d - 6 ≠ 0

Звідси видно, що коріння немає, необхідно використовувати інший спосіб розкладання і рішення.

Необхідно провести угруповання:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 \u003d \u003d (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 \u003d \u003d x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 \u003d \u003d (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Після угруповання вихідного многочлена необхідно представити його як твір двох квадратних тричленів. Для цього нам знадобиться провести розкладання на множники. отримуємо, що

x 2 - 2 \u003d 0 x 2 \u003d 2 x 1 \u003d 2 x 2 \u003d - 2 ⇒ x 2 - 2 \u003d x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 \u003d 0 D \u003d 4 2 - 4 · 1 · 1 \u003d 12 x 1 \u003d - 4 - D 2 · 1 \u003d - 2 - 3 x 2 \u003d - 4 - D 2 · 1 \u003d - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 \u003d x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 \u003d x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 \u003d \u003d x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

зауваження

Простота угруповання не говорить про те, що вибрати слагаеми досить легко. Певного способу вирішення не існує, тому необхідно користуватися спеціальними теоремами і правилами.

приклад 10

Провести розкладання на множники многочлен x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Рішення

Заданий многочлен не має цілих коренів. Слід зробити угруповання доданків. Отримуємо, що

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 \u003d \u003d (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 \u003d \u003d x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) \u003d \u003d (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) \u003d (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Після розкладання на множники отримаємо, що

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 \u003d x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 \u003d \u003d x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 +5 2 x + 1 2 - 5 2

Використання формул скороченого множення і бинома Ньютона для розкладання многочлена на множники

Зовнішній вигляд часто не завжди дає зрозуміти, яким способом необхідно скористатися при розкладанні. Після того, як були проведені перетворення, можна вибудувати рядок, що складається з трикутника Паскаля, інакше їх називають біном Ньютона.

приклад 11

Провести розкладання многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 на множники.

Рішення

Необхідно виконати перетворення виразу до виду

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

На послідовність коефіцієнтів суми в дужках вказує вираз x +1 4.

Значить, маємо x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3.

Після застосування різниці квадратів, отримаємо

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Розглянемо вираз, яке знаходиться в другій скобці. Зрозуміло, що там коней немає, тому слід застосувати формулу різниці квадратів ще раз. Отримуємо вираз виду

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 \u003d \u003d x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

приклад 12

Провести розкладання на множники x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6.

Рішення

Займемося перетворенням вираження. Отримуємо, що

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 \u003d x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 \u003d (x + 2) 3 - 2

Необхідно застосувати формулу скороченого множення різниці кубів. отримуємо:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 \u003d \u003d (x + 2) 3 - 2 \u003d \u003d x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x +2 +4 3 \u003d \u003d x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Спосіб заміни змінної при розкладанні многочлена на множники

При заміні змінної проводиться зниження ступеня і розкладання многочлена на множники.

приклад 13

Провести розкладання на множники многочлена виду x 6 + 5 x 3 + 6.

Рішення

За умовою видно, що необхідно зробити заміну y \u003d x 3. отримуємо:

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6

Коріння отриманого квадратного рівняння рівні y \u003d - 2 і y \u003d - 3, тоді

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6 \u003d \u003d y + 2 y + 3 \u003d x 3 + 2 x 3 + 3

Необхідно застосувати формулу скороченого множення суми кубів. Отримаємо вирази виду:

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6 \u003d \u003d y + 2 y + 3 \u003d x 3 + 2 x 3 + 3 \u003d \u003d x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Тобто отримали шукане розкладання.

Розглянуті вище випадки допоможуть в розгляді і розкладанні многочлена на множники різними способами.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Це один з найбільш елементарних способів спростити вираз. Для застосування цього методу давай згадаємо розподільний закон множення відносно додавання (не лякайтеся цих слів, ти обов'язково знаєш цей закон, просто міг забути його назву).

Закон говорить: щоб суму двох чисел помножити на третє число, потрібно кожний доданок помножити на це число і отримані результати скласти, інакше кажучи,.

Так само можна зробити і зворотну операцію, ось саме ця зворотна операція нас і цікавить. Як видно з зразка, загальний множник а, можна винести за дужки.

Подібну операцію можна проробляти як зі змінними, такими як і, наприклад, так і з числами:.

Так, це занадто елементарний приклад, так само, як і наведений раніше приклад, з розкладанням числа, адже всі знають, що числа, і діляться на, а як бути, якщо вам дісталося вираз складніше:

Як дізнатися на що, наприклад, ділиться число, неет, з калькулятором-то будь-хто зможе, а без нього слабо? А для цього існують ознаки подільності, ці ознаки дійсно варто знати, вони допоможуть швидко зрозуміти, чи можна винести за дужки загальний множник.

ознаки подільності

Запам'ятати їх не так складно, швидше за все, більшість з них і так тобі були знайомі, а щось буде новим корисним відкриттям, докладніше в таблиці:

Примітка: У таблиці не вистачає ознаки подільності на 4. Якщо дві останні цифри діляться на 4, то і все число ділиться на 4.

Ну як тобі табличка? Раджу її запам'ятати!

Що ж, повернемося до вираження, може винести за дужки та й вистачить з нього? Ні, у математиків прийнято спрощувати, так по повній, виносити ВСЕ що виноситься!

І так, з Ігрек все зрозуміло, а що з числовою частиною вираження? Обидва числа непарні, так що на розділити не вдасться,

Можна скористатися ознакою подільності на, сума цифр, і, з яких складається число, дорівнює, а ділиться на, значить і ділиться на.

Знаючи це, можна сміливо ділити в стовпчик, в результаті поділу на отримуємо (ознаки подільності в нагоді!). Таким чином, число ми можемо винести за дужки, так само, як y і в результаті маємо:

Щоб упевнитися, що розклали все вірно, можна перевірити розклад, множенням!

Також загальний множник можна виносити і в статечних виразах. Ось тут, наприклад, бачиш загальний множник?

У всіх членів цього виразу є ікси - виносимо, все діляться на - знову виносимо, дивимося що вийшло:.

2. Формули скороченого множення

Формули скороченого множення вже згадувалися в теорії, якщо ти насилу пам'ятаєш що це, то тобі варто освіжити їх у пам'яті.

Ну, а якщо ти вважаєш себе дуже розумним і тобі лінь читати таку хмару інформації, то просто читай далі, глянь на формули і відразу берися за приклади.

Суть цього розкладання в тому, що б помітити в наявному перед тобою вираженні якусь певну формулу, застосувати її і отримати, таким чином, твір чогось і чогось, ось і все розкладання. Далі наведені формули:

А тепер спробуй, розклади на множники такі вирази, використовуючи наведені вище формули:

А ось що повинно було статися:

Як ти встиг помітити, ці формули - дуже дієвий спосіб розкладання на множники, він підходить не завжди, але може дуже стати в нагоді!

3. Угруповання або метод угруповання

А ось тобі ще прімерчік:

ну і що з ним робити будеш? Начебто і на щось ділиться і на, а щось на і на

Але все разом на щось одне не даси, ну немає тут загального множника, Як не шукай, що, так і залишити, чи не розкладаючи на множники?

Тут треба кмітливість проявити, а ім'я цієї кмітливості - угруповання!

Застосовується вона як раз, коли загальні дільники є не у всіх членів. Для угруповання необхідно знайти групки доданків, що мають спільні дільники і переставити їх так, щоб з кожної групи можна було отримати один і той же множник.

Переставляти місцями звичайно не обов'язково, але це дає наочність, для наочності же можна взяти окремі частини вираження в дужки, їх ставити не забороняється скільки завгодно, головне зі знаками не наплутав.

Не дуже зрозуміло все це? Поясню на прикладі:

У многочлене - ставимо член - після члена - отримуємо

групуємо перші два члена разом в окремій скобці і так само групуємо третій і четвертий члени, винісши за дужки знак «мінус», отримуємо:

А тепер дивимося окремо на кожну з двох "купок", на які ми розбили вираз дужками.

Хитрість в тому, щоб розбити на такі купки, з яких можна буде винести максимально великий множник, або, як у цьому прикладі, постаратися згрупувати члени так, щоб після винесення з купок множників за дужку у нас всередині дужок залишалися однакові вирази.

З обох дужок виносимо за дужки загальні множники членів, з першої дужки, а з другої, отримуємо:

Але це ж не розкладання!

Пвіслюку розкладання має залишитися тільки множення, А поки у нас многочлен просто поділений на дві частини ...

АЛЕ! Цей многочлен має загальний множник. це

за дужку і отримуємо фінальне твір

Бінго! Як бачиш, тут вже твір і поза дужками немає ні складання, ні віднімання, розкладання завершено, тому що винести за дужки нам більше нічого.

Може здатися дивом, що після винесення множників за дужки у нас в дужках залишилися однакові вирази, які знову ж таки ми і винесли за дужки.

І зовсім це не диво, справа в тому, що приклади в підручниках і в ЄДІ спеціально зроблені так, що більшість виразів в завданнях на спрощення або розкладання на множники при правильному до них підході легко спрощуються і різко схлопиваются як парасольку при натисканні на кнопку, ось і шукай в кожному вираженні ту саму кнопку.

Щось я відволікся, що у нас там з спрощенням? Хитромудрий многочлен прийняв більш простий вигляд:.

Погодься, вже не такий громіздкий, як був?

4. Виділення повного квадрата.

Іноді для застосування формул скороченого множення (повтори тему) необхідно перетворити наявний многочлен, представивши одне з його складових у вигляді суми або різниці двох членів.

В якому випадку доводиться це робити, дізнаєшся з прикладу:

Многочлен в такому вигляді не може бути розкладений за допомогою формул скороченого множення, тому його необхідно перетворити. Можливо, спочатку тобі буде не очевидно який член на які розбивати, але з часом ти навчишся відразу бачити формули скороченого множення, навіть якщо вони не присутні не цілком, і будете досить швидко визначати, чого тут не вистачає до повної формули, а поки - учись , студент, точніше школяр.

Для повної формули квадрата різниці тут потрібно замість. Уявімо третій член як різниця, отримаємо: До висловом в дужках можна застосувати формулу квадрата різниці (Не плутати з різницею квадратів !!!), Маємо:, до цього виразу можна застосувати формулу різниці квадратів (Не плутати з квадратом різниці !!!), Уявивши, як, отримаємо:.

Не завжди розкладене на множники вираз виглядає простіше і менше, ніж було до розкладання, але в такому вигляді воно стає більш рухливим, в тому плані, що можна не паритися про зміну знаків та іншу математичну дурницю. Ну а ось тобі для самостійного рішення, такі вирази потрібно розкласти на множники.

приклади:

відповіді:

5. Розкладання квадратного тричлена на множники

Про розкладання квадратного тричлена на множники дивись далі в прикладах розкладання.

Приклади 5 методів розкладання многочлена на множники

1. Винесення спільного множника за дужки. Приклади.

Пам'ятаєш, що таке розподільний закон? Це таке правило:

приклад:

Розкласти многочлен на множники.

Рішення:

Ще приклад:

Розклади на множники.

Рішення:

Якщо доданок цілком виноситься за дужки, в дужках замість нього залишається одиниця!

2. Формули скороченого множення. Приклади.

Найчастіше використовуємо формули різницю квадратів, різниця кубів і сума кубів. Пам'ятаєш ці формули? Якщо немає, терміново повтори тему!

приклад:

Розкладіть на множники вираз.

Рішення:

У цьому виразі нескладно дізнатися різницю кубів:

приклад:

Рішення:

3. Метод угруповання. приклади

Іноді можна поміняти доданки місцями таким чином, щоб з кожної пари сусідніх доданків можна було виділити один і той же множник. Цей загальний множник можна винести за дужки і вихідний многочлен перетвориться на витвір.

приклад:

Розкладіть на множники многочлен.

Рішення:

Згрупуємо доданки наступним чином:
.

У першій групі винесемо за дужки загальний множник, а в другій -:
.

Тепер загальний множник також можна винести за дужки:
.

4. Метод виділення повного квадрата. Приклади.

Якщо многочлен вдасться представити у вигляді різниці квадратів двох виразів, залишиться тільки застосувати формулу скороченого множення (різниця квадратів).

приклад:

Розкладіть на множники многочлен.

Рішення:приклад:

\\ Begin (array) (* (35) (l))
((X) ^ (2)) + 6 (x) -7 \u003d \\ underbrace (((x) ^ (2)) + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 9) _ (квадрат \\ суми \\ ((\\ left (x + 3 \\ right)) ^ (2))) - 9-7 \u003d ((\\ left (x + 3 \\ right)) ^ (2)) - 16 \u003d \\\\
\u003d \\ Left (x + 3 + 4 \\ right) \\ left (x + 3-4 \\ right) \u003d \\ left (x + 7 \\ right) \\ left (x-1 \\ right) \\\\
\\ End (array)

Розкладіть на множники многочлен.

Рішення:

\\ Begin (array) (* (35) (l))
((X) ^ (4)) - 4 ((x) ^ (2)) - 1 \u003d \\ underbrace (((x) ^ (4)) - 2 \\ cdot 2 \\ cdot ((x) ^ (2) ) +4) _ (квадрат \\ різниці ((\\ left (((x) ^ (2)) - 2 \\ right)) ^ (2))) - 4-1 \u003d ((\\ left (((x) ^ (2)) - 2 \\ right)) ^ (2)) - 5 \u003d \\\\
\u003d \\ Left (((x) ^ (2)) - 2 + \\ sqrt (5) \\ right) \\ left (((x) ^ (2)) - 2 \\ sqrt (5) \\ right) \\\\
\\ End (array)

5. Розкладання квадратного тричлена на множники. Приклад.

Квадратний тричлен - многочлен виду, де - невідоме, - деякі числа, причому.

Значення змінної, які звертають квадратний тричлен в нуль, називаються країнами трехчлена. Отже, коріння трехчлена - це коріння квадратного рівняння.

Теорема.

приклад:

Розкладемо на множники квадратний тричлен:.

Спочатку вирішимо квадратне рівняння: Тепер можна записати розкладання даного квадратного тричлена на множники:

Тепер твоя думка ...

Ми розписали докладно як і для чого розкладати многочлен на множники.

Ми привели безліч прикладів як це робити на практиці, вказали на підводні камені, дали рішення ...

А що скажеш ти?

Як тобі ця стаття? Ти користуєшся цими прийомами? Розумієш їх суть?

Пиши в комментріях і ... готуйся до іспиту!

Поки що він найважливіший в твоєму житті.

Розкладання квадратних тричленів на множники відноситься до шкільних завдань, з якими рано чи пізно стикається кожен. Як його виконати? Яка формула розкладання квадратного тричлена на множники? Розберемося покроково за допомогою прикладів.

Загальна формула

Розкладання квадратних тричленів на множники здійснюється рішенням квадратного рівняння. Це нескладне завдання, яке можна вирішити кількома способами - знаходженням дискримінанту, за допомогою теореми Вієта, існує і графічний спосіб вирішення. Перші два способи вивчаються в середній школі.

Загальна формула виглядає так:lx 2 + kx + n \u003d l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Алгоритм виконання завдання

Для того щоб виконати розкладання квадратних тричленів на множники, потрібно знати теорему Віта, мати під рукою програму для вирішення, вміти знаходити рішення графічно або шукати коріння рівняння другого ступеня через формулу дискримінанту. Якщо дан квадратний тричлен і його треба розкласти на множники, алгоритм дій такий:

1) Прирівняти вихідне вираз до нуля, щоб отримати рівняння.

2) Привести подібні доданки (якщо є така необхідність).

3) Знайти коріння будь-яким відомим способом. Графічний метод краще застосовувати в разі, якщо заздалегідь відомо, що коріння - цілі і невеликі числа. Потрібно пам'ятати, що кількість коренів одно максимальному ступені рівняння, тобто у квадратного рівняння коренів два.

4) Підставити значення х в вираз (1).

5) Записати розкладання квадратних тричленів на множники.

приклади

Остаточно зрозуміти, як виконується це завдання, дозволяє практика. Ілюструють розкладання на множники квадратного тричлена приклади:

необхідно розкласти вираз:

Вдамося до нашого алгоритму:

1) х 2 -17х + 32 \u003d 0

2) подібні доданки зведені

3) за формулою Вієта знайти коріння для цього прикладу складно, тому краще скористатися виразом для дискримінанту:

D \u003d 289-128 \u003d 161 \u003d (12,69) 2

4) Підставами знайдені нами коріння в основну формулу для розкладання:

(Х-2,155) * (х-14,845)

5) Тоді відповідь буде таким:

х 2 -17х + 32 \u003d (х-2,155) (х-14,845)

Перевіримо, чи відповідають знайдені дискримінантом рішення формулами Вієта:

14,845 . 2,155=32

Для даних коренів застосовується теорема Вієта, вони були знайдені правильно, а значить отримане нами розкладання на множники теж правильно.

Аналогічно розкладемо 12х 2 + 7х-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

У попередньому випадку рішення були нецілі, але дійсними числами, знайти які легко, маючи перед собою калькулятор. Тепер розглянемо більш складний приклад, в якому коріння будуть комплексними: розкласти на множники х 2 + 4х + 9. За формулою Вієта коріння знайти не вийде, і дискримінант від'ємний. Коріння будуть на комплексній площині.

D \u003d -20

Виходячи з цього, отримуємо нтерес нас коріння -4 + 2i * 5 1/2 і -4-2i * 5 1/2, оскільки (-20) 1/2 \u003d 2i * 5 1/2.

Отримуємо дані розкладання, підставивши коріння в загальну формулу.

Ще один приклад: потрібно розкласти на множники вираз 23х 2 -14х + 7.

маємо рівняння 23х 2 -14х + 7 =0

D \u003d -448

Значить, коріння 14 + 21,166i і 14-21,166i. Відповідь буде такою:

23х 2 -14х + 7 \u003d 23 (х- 14-21,166i )*(х- 14 + 21,166i ).

Наведемо приклад, вирішити який можна без допомоги дискримінанту.

Нехай потрібно розкласти квадратне рівняння х 2 -32х + 255. Очевидно, його можна вирішити і дискримінантом, проте швидше в даному випадку підібрати коріння.

x 1 \u003d 15

x 2 \u003d 17

значить х 2 -32х + 255 \u003d (Х-15) (х-17).