Елементи механіки суцільних середовищ. Елементи механіки суцільних середовищ Методи руйнування гірських порід

Лекція № 5 Елементи механіки суцільних середовищ Фізична модель: суцільне середовище - це модель речовини, в рамках якої нехтують внутрішньою будовою речовини, вважаючи, що речовина безперервно розподілено по всьому займаного ним обсягу і цілком заповнює цей обсяг. Однорідної називається среда, що має в кожній точці однакові властивості. Ізотропної називається среда, властивості якої однакові в усіх напрямках. Агрегатні стани речовини Тверде тіло - стан речовини, що характеризується фіксованим обсягом і незмінністю форми. Рідина - стан речовини, що характеризується фіксованим обсягом, але не має певної форми. Газ - стан речовини, при якому речовина заповнює весь наданий йому об'єм.

Механіка деформованого тіла Деформація - зміна форми і розмірів тіла. Пружність - властивість тіл чинити опір зміні їх об'єму і форми під впливом навантажень. Деформація називається пружною, якщо вона зникає після зняття навантаження і - пластичної, якщо вона після зняття навантаження не зникає. В теорії пружності доводиться, що всі види деформацій (розтягнення - стиснення, зрушення, вигин, крутіння) можуть бути зведені до одночасно відбувається деформацій розтягу - стиску та зсуву.

Деформація розтягу - стиску Розтягування - стиснення - збільшення (або зменшення) довжини тіла циліндричної або призматичної форми, що викликається силою, спрямованої уздовж поздовжньої його осі. Абсолютна деформація - величина, що дорівнює зміні розмірів тіла, викликаного зовнішнім впливом:, (5. 1) де l 0 і l - початкова і кінцева довжина тіла. Закон Гука (I) (Роберт Гук 1660 г.): сила пружності пропорційна величині абсолютної деформації і спрямована в бік її зменшення:, (5. 2) де k - коефіцієнт пружності тіла.

Відносна деформація:. (5. 3) Механічне напруження - величина, що характеризує стан деформованого тіла \u003d Па:, (5. 4) де F - сила, що викликає деформацію, S - площа перетину тіла. Закон Гука (II): Механічне напруження, що виникає в тілі, пропорційно величині його відносної деформації:, (5. 5) де E - модуль Юнга - величина, що характеризує пружні властивості матеріалу, що чисельно дорівнює напрузі, що виникає в тілі при одиничної відносної деформації, [E] \u003d Па.

Деформації твердих тіл підкоряються закону Гука до певної межі. Зв'язок між деформацією і напругою представляється у вигляді діаграми напруг, якісний хід якої розглянуто для металевого бруска.

Енергія пружної деформації При розтягуванні - стисканні енергія пружної деформації, (5. 8) де V - об'єм тіла, що деформується. Густина розтягуванні - стисканні енергії пружною деформації при (5. 9) Густина деформації зсуву енергії пружною деформації (5. 10) при

Елементи механіки рідин і газів (гідро- і механіка) Перебуваючи в твердому агрегатному стані, тіло одночасно володіє як пружністю форми, так і пружністю обсягу (або, що те ж саме, при деформаціях в твердому тілі виникають як нормальні, так і тангенціальні механічні напруги ). Рідини і гази мають лише пружністю обсягу, але не володіють пружністю форми (вони приймають форму посудини, в якому знаходяться). Наслідком цієї загальної особливості рідин і газів є однаковість в якісному відношенні більшості механічних властивостей рідин і газів, а їх відмінністю є лише кількісні характеристики (наприклад, як правило, щільність рідини більше щільності газу). Тому в рамках механіки суцільних середовищ використовується єдиний підхід до вивчення рідин і газів.

Вихідні характеристики Щільність речовини скалярна фізична величина, що характеризує розподіл маси за обсягом речовини і визначається відношенням маси речовини, укладеної в деякому обсязі, до величини цього обсягу \u003d м / кг 3. У разі однорідного середовища щільність речовини розраховується за формулою (5. 11) В загальному випадку неоднорідного середовища маса і щільність речовини пов'язані співвідношенням (5. 12) Тиск - скалярна величина, що характеризує стан рідини або газу і рівна силі, яка діє на одиничну поверхню в напрямку нормалі до неї [p] \u003d Па: (5. 13)

Елементи гідростатики Особливості сил, що діють всередині спочиває рідини (газу) 1) Якщо всередині спочиває рідини виділити невеликий обсяг, то рідина на цей обсяг має однаковий тиск у всіх напрямках. 2) Відпочиваюча рідина діє на дотичну з нею поверхню твердого тіла з силою, спрямованої по нормалі до цієї поверхні.

Рівняння нерозривності Трубка струму - частина рідини, обмежена лініями струму. Стаціонарним (або сталим) називається такий перебіг рідини, при якому форма і розташування ліній струму, а також значення швидкостей в кожній точці рідини, що рухається з часом не змінюються. Масова витрата рідини - маса рідини, що проходить через поперечний переріз трубки струму в одиницю часу \u003d кг / с:, (5. 15) де і v - щільність і швидкість течії рідини в перерізі S.

Рівняння нерозривності - математичне співвідношення, відповідно до якого при стаціонарному перебігу рідини її масова витрата в кожному перетині трубки струму один і той же:, (5. 16)

Нестисливої \u200b\u200bназивається рідина, щільність якої не залежить від температури і тиску. Об'ємна витрата рідини - об'єм рідини, що проходить через поперечний переріз трубки струму в одиницю часу \u003d м 3 / с:, (5. 17) Рівняння нерозривності нестисливої \u200b\u200bоднорідної рідини - математичне співвідношення, відповідно до якого при стаціонарному перебігу несжимаемой однорідної рідини її об'ємна витрата в кожному перетині трубки струму один і той же:, (5. 18)

В'язкість - властивість газів і рідин чинити опір переміщенню однієї їх частини щодо іншої. Фізична модель: ідеальна рідина - уявна нестисливої \u200b\u200bрідина, в якій відсутні в'язкість і теплопровідність. Рівняння Бернуллі (Данило Бернуллі 1738 г.) - рівняння, що є наслідком закону збереження механічної енергії для стаціонарного потоку ідеальної нестисливої \u200b\u200bрідини і записане для довільного перерізу трубки струму, що знаходиться в полі сил тяжіння:. (5. 19)

У рівнянні Бернуллі (5. 19): p - статичний тиск (тиск рідини на поверхню обтічного нею тіла; - динамічний тиск; - гідростатичний тиск.

Внутрішнє тертя (в'язкість). Закон Ньютона (Ісаак Ньютон, 1686 г.): сила внутрішнього тертя, яка припадає на одиницю площі рухомих шарів рідини або газу, прямо пропорційна градієнту швидкості руху шарів:, (5. 20) де - коефіцієнт внутрішнього тертя (динамічна в'язкість), \u003d м 2 / с.

Види течії в'язкої рідини Ламінарний плин - форма протягом, при якій рідина або газ переміщається шарами без перемішування і пульсацій (тобто безладних швидких змін швидкості і тиску). Турбулентний плин - форма перебігу рідини або газу, при якій їх елементи здійснюють неврегульовані, несталі руху по складних траєкторіях, що призводить до інтенсивного перемішування між шарами рухомих рідини або газу.

Число Рейнольдса Критерій переходу ламінарного режиму течії рідини в турбулентний режим заснований на використанні числа Рейнольдса (Про сборн Рéйнольдс, 1876 -1883 рр.). У разі руху рідини по трубі число Рейнольдса визначається як, (5. 21) де v - середня по перерізу труби швидкість рідини; d - діаметр труби; і - щільність і коефіцієнт внутрішнього тертя рідини. При значеннях Re 4000 - турбулентний режим. При значеннях 2000

Ламінарний плин в'язкої рідини в горизонтальній трубі Розглянемо течія в'язкої рідини, звернувшись безпосередньо до досвіду. За допомогою гумового шланга подсоединим до водопровідного крану тонку горизонтальну скляну трубку з упаяними в неї вертикальними манометричними трубками (див. Малюнок). При невеликій швидкості течії добре видно зниження рівня води в манометрических трубках в напрямку течії (h 1\u003e h 2\u003e h 3). Це вказує на наявність градієнта тиску уздовж осі трубки - статичний тиск в рідині зменшується по потоку.

Ламінарний плин в'язкої рідини в горизонтальній трубі При рівномірному прямолінійному перебігу рідини сили тиску врівноважуються силами в'язкості.

Розподіл швидкостей в поперечному перерізі потоку в'язкої рідини можна спостерігати при її витіканні з вертикальної трубки через вузький отвір (див. Малюнок). Якщо, наприклад, при закритому крані До налити спочатку неподкрашенний гліцерин, а потім зверху обережно додати підфарбований, то в стані рівноваги межа розділу Г буде горизонтальною. Якщо кран До відкрити, то межа прийме форму, схожу на параболоїд обертання. Це вказує на існування розподілу швидкостей в перетині трубки при в'язкому перебігу гліцерину.

Формула Пуазейля Розподіл швидкостей в перетині горизонтальної труби при ламінарному плині в'язкої рідини визначається формулою, (5. 23) де R і l радіус і довжина труби, відповідно, p - різниця тисків на кінцях труби, r - відстань від осі труби. Об'ємна витрата рідини визначається формулою Пуазейля (Жан Пуазейль, 1840 г.): (5. 24)

Рух тіл у в'язкому середовищі При русі тіл в рідині або газі на тіло діє сила внутрішнього тертя, що залежить від швидкості руху тіла. При малих швидкостях спостерігається ламінарний обтікання тіла рідиною або газу і сила внутрішнього тертя виявляється пропорційною швидкості руху тіла і визначається формулою Стокса (Джордж Стокс, 1851 г.):, (5. 25) де b - постійна, що залежить від форми тіла і його орієнтації щодо потоку, l - характерний розмір тіла. Для кулі (b \u003d 6, l \u003d R) сила внутрішнього тертя:, (5. 26) де R - радіус кулі.

Загальні властивості рідин і газів. Рівняння рівноваги і рух рідини. Гідростатика нестисливої \u200b\u200bрідини. Стаціонарне рух ідеальної рідини. Рівняння Бернуллі. Ідеально пружне тело.Упругіе напруги і деформації. Закон Гука. Модуль Юнга.

Релятивістська механіка.

Принцип відносності і перетворення Галілея. Експериментальні обґрунтування спеціальної теорії відносності (СТО). Постулати спеціальної теорії відносності Ейнштейна. Перетворення Лоренца. Поняття одночасності. Відносність довжин і проміжків часу. Релятивістський закон додавання швидкостей. Релятивістський імпульс. Рівняння руху релятивістської частинки. Релятивістське вираз для кінетичної енергії. Взаємозв'язок маси і енергії. Співвідношення між повною енергією і імпульсом частинки. Межі застосування класичної (ньютонівської) механіки.

Основи молекулярної фізики і термодинаміки

Термодинамічні сістеми.Ідеальний газ.

Динамічні і статистичні закономірності в фізиці. Статистичний і термодинамічний методи дослідження макроскопічних явищ.

Тепловий рух молекул. Взаємодія між молекулами. Ідеальний газ. Стан системи. Термодинамічні параметри стану. Рівноважні стану та процеси, їх зображення на термодинамічних діаграмах. Рівняння стану ідеального газу.

Основи молекулярно-кінетичної теорії.

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеальних газів і його порівняння з рівнянням Клапейрона-Менделєєва. Середня кінетична енергія молекул. Молекулярно-кінетичне тлумачення термодинамічної температури. Число ступенів свободи молекули. Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями свободи молекул. Внутрішня енергія і теплоємність ідеального газу.

Закон Максвелла для розподілу молекул за швидкостями і енергій теплового руху. Ідеальний газ в силовому полі. Больцманівського розподіл молекул в силовому полі. Барометрична формула.

Ефективний діаметр молекул. Число зіткнень і середня довжина вільного пробігу молекул. Явища переносу.

Основи термодинаміки.

Робота газу при зміні його об'єму. Кількість теплоти. Перший початок термодинаміки. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцессам і адіабатичному процесу ідеального газу. Залежність теплоємності ідеального газу від виду процесу. Другий закон термодинаміки. Тепловий двигун. Кругові процеси. Цикл Карно, коефіцієнт корисної дії циклу Карно.

3 .електростатика

Електричне поле в вакуумі.

Закон збереження електричного заряду. Електричне поле. Основні характеристики електричного поля: напруженість і потенціал. Напруженість як градієнт потенціалу. Розрахунок електростатичних полів методом суперпозиції. Потік вектора напруженості. Теорема Остроградського-Гаусса для електростатичного поля в вакуумі. Застосування теореми Остроградського-Гаусса до розрахунку поля.

Електричне поле в діелектриках.

Вільні і зв'язані заряди. Типи діелектриків. Електронна і орієнтаційна поляризації. Поляризованность. Діелектрична сприйнятливість речовини. Електричне зміщення. Діелектрична проникність середовища. Обчислення напруженості поля в однорідному діелектрику.

Провідники в електричному полі.

Поле всередині провідника і у його поверхні. Розподіл зарядів у провіднику. Електроємність відокремленого провідника. Взаємна ємність двох провідників. Конденсатори. Енергія заряджених провідника, конденсатора і системи провідників. Енергія електростатичного поля. Густина енергії.

Постійний електричний струм

Сила струму. Щільність струму. Умови існування струму. Сторонні сили. Електрорушійна сила джерела струму. Закон Ома для неоднорідної ділянки електричного кола. Правила Кірхгофа. Робота і потужність електричного струму. Закон Джоуля - Ленца. Класична теорія електропровідності металів. Труднощі класичної теорії.

електромагнетизм

Магнітне поле у \u200b\u200bвакуумі.

Магнітна взаємодія постійних струмів. Магнітне поле. Вектор магнітної індукції. Закон Ампера. Магнітне поле струму. Закон Біо-Савара-Лапласа і його застосування до розрахунку магнітного поля прямолінійного провідника зі струмом. Магнітне поле кругового струму. Закон повного струму (циркуляція вектора магнітної індукції) для магнітного поля у вакуумі і його застосування до розрахунку магнітного поля тороїда і довгого соленоїда. Магнітний потік. Теорема Остроградського-Гаусса для магнітного поля. Вихровий характер магнітного поля під впливом магнітних полів на рухомий заряд. Сила Лоренца. Рух заряджених частинок в магнітному полі. Обертання контуру зі струмом в магнітному полі. Робота переміщення провідника і контура зі струмом в магнітному полі.

Електромагнітна індукція.

Явище електромагнітної індукції (досліди Фарадея). Правило Ленца. Закон електромагнітної індукції і його висновок із закону збереження енергії. Явище самоіндукції. Індуктивність. Токи при замиканні і розмиканні електричного кола, що містить індуктивність. Енергія котушки з струмом. Густина енергії магнітного поля.

Магнітне поле в речовині.

Магнітний момент атомів. Типи магнетиков. Намагніченість. Мікро- та макротокі. Елементарна теорія діа- і парамагнетизму. Закон повного струму для магнітного поля в речовині. Напруженість магнітного поля. Магнітна проникність середовища. Ферромагнетики. Магнітний гістерезис. Точка Кюрі. Спінова природа феромагнетизму.

Рівняння Максвелла.

Фарадеевского і максвелловскую трактування явища електромагнітної індукції. Струм зміщення. Система рівнянь Максвелла в інтегральній формі.

коливальний рух

Поняття про коливальних процесах. Єдиний підхід до коливань різної фізичної природи.

Амплітуда, частота, фаза гармонічних коливань. Додавання гармонічних коливань. Векторні діаграми.

Маятник, вантаж на пружині, коливальний контур. Вільні затухаючі коливання. Диференціальне рівняння затухаючих коливань Коефіцієнт загасання, логарифмічний декремент, добротність.

Вимушені коливання при синусоидальном впливі. Амплітуда і фаза при вимушених коливаннях. Резонансні криві. Вимушені коливання в електричних ланцюгах.

хвилі

Механізм утворення хвиль в пружному середовищі. Поздовжні і поперечні хвилі. Плоска синусоїдальна хвиля. Ті, що біжать і стоячі хвилі. Фазова швидкість, довжина хвилі, хвильове число. Одномірне хвильове рівняння. Групова швидкість і дисперсія хвиль. Енергетичні співвідношення. Вектор Умова. Плоскі електромагнітні хвилі. Поляризація хвиль. Енергетичні співвідношення. Вектор Пойнтінга. Випромінювання диполя. діаграма спрямованості

8 . хвильова оптика

інтерференція світла.

Когерентність і монохроматичность світлових хвиль. Розрахунок інтерференційної картини від двох когерентних джерел. Досвід Юнга. Інтерференція світла в тонких плівках. Інтерферометри.

Дифракція світла.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Прямолінійне поширення світла. Дифракція Френеля на круглому отворі. Дифракція Фраунгофера на одній щілині. Дифракційна решітка як спектральний прилад. Поняття про голографическом методі отримання і відновлення зображення.

Поляризація світла.

Природний і полярізовнний світло. Поляризація при відбитті. Закон Брюстера. Аналіз лінійно-поляризованого світла. Закон Малюса. Подвійне променезаломлення. Штучна оптична анізотропія. Електрооптичні і магнітооптичні ефекти.

Дисперсія світла.

Області нормальної і аномальної дисперсії. Електронна теорія дисперсії світла.

Квантова природа випромінювання

Теплове випромінювання.

Характеристики теплового випромінювання. Поглинальна здатність. Чорне тіло. Закон Кірхгофа для теплового випромінювання. Закон Стефана-Больцмана. Розподіл енергії в спектрі абсолютно чорного тіла. Закон зміщення Віна. Квантова гіпотеза і формула Планка.

Квантова природа світла.

Зовнішній фотоефект і його закони. Рівняння Ейнштейна для зовнішнього фотоефекту. Фотони. Маса і імпульс фотона. Тиск світла. Досліди Лебедєва. Квантове і хвильове пояснення тиску світла. Корпускулярно-хвильовий дуалізм світла.

7.1. Загальні властивості рідин і газів. Кинематическое опис руху рідини. Векторні поля. Потік і циркуляція векторного поля. Стаціонарна течія ідеальної рідини. Лінії і трубки струму. Рівняння руху і рівноваги рідини. Рівняння нерозривності для нестисливої \u200b\u200bрідини

Механіка суцільних середовищ - це розділ механіки, присвячений вивченню руху і рівноваги газів, рідин, плазми і деформуються твердих тіл. Основне допущення механіки суцільних середовищ полягає в тому, що речовина можна розглядати як безперервну суцільну середу, нехтуючи його молекулярною (атомним) будовою, і одночасно вважати безперервним розподіл в середовищі всіх її характеристик (щільності, напруг, швидкостей частинок).

Рідина - це речовина в конденсованому стані, проміжному між твердим і газоподібним. Область існування рідини обмежена з боку низьких температур фазовим переходом в твердий стан (кристалізація), а з боку високих температур - в газоподібний (випаровування). При вивченні властивостей суцільного середовища саме середовище представляється складається з частинок, розміри яких багато більше розмірів молекул. Таким чином, кожна частка включає в себе величезну кількість молекул.

Щоб описати рух рідини, можна задати положення кожної частинки рідини як функцію часу. Такий спосіб опису розроблявся Лагранжем. Але можна стежити не за частками рідини, а за окремими точками простору, і відзначати швидкість, з якою проходять через кожну точку окремі частинки рідини. Другий спосіб називається методом Ейлера.

Стан руху рідини можна визначити, вказавши для кожної точки простору вектор швидкості як функцію часу.

Сукупність векторів, заданих для всіх точок простору, утворює поле вектора швидкості, яке можна зобразити таким чином. Проведемо в рухомої рідини лінії так, щоб дотична до них в кожній точці збіглася у напрямку з вектором (рис.7.1). Ці лінії називаються лініями струму. Домовимося проводити лінії струму так, щоб їх густота (відношення числа ліній до величини перпендикулярної до них майданчики, через яку вони проходять) була пропорційна величині швидкості в даному місці. Тоді по картині ліній струму можна буде судити не тільки про направлення, але й про величину вектора в різних точках простору: там, де швидкість більше, лінії струму будуть гущі.

Число ліній струму, що проходять через площадку, перпендикулярну до ліній струму, так само, якщо майданчик орієнтована довільно до ліній струму, число ліній струму одно, де - кут між напрямком вектора і нормаллю до майданчика. Часто використовують позначення. Число ліній струму через майданчик кінцевих розмірів визначається інтегралом:. Інтеграл такого виду називається потоком вектора через майданчик.

Величина і напрямок вектора змінюється з часом, отже, і картина ліній не залишається постійною. Якщо в кожній точці простору вектор швидкості залишається постійним за величиною і напрямком, то протягом називається сталим або стаціонарним. При стаціонарному перебігу будь-яка частка рідини проходить цю точку простору з одним і тим же значенням швидкості. Картина ліній струму в цьому випадку не змінюється, і лінії струму збігаються з траєкторіями часток.

Потік вектора через деяку поверхню і циркуляція вектора по заданому контуру дозволяють судити про характер векторного поля. Однак ці величини дають середню характеристику поля в межах обсягу, визначеного поверхнею, через яку визначається потік, або в околиці контура, по якому береться циркуляція. Зменшуючи розміри поверхні або контуру (стягуючи їх в точку), можна прийти до величинам, які будуть характеризувати векторне поле в даній точці.

Розглянемо поле вектора швидкості несжимаемой нерозривному рідини. Потік вектора швидкості через деяку поверхню дорівнює обсягу рідини, що протікає через цю поверхню в одиницю часу. Побудуємо в околиці точки Р уявну замкнуту поверхню S (мал.7.2). Якщо в обсязі V, обмеженому поверхнею, рідина не виникає і не зникає, то потік, що випливає назовні через поверхню, буде дорівнює нулю. Відмінність потоку від нуля буде вказувати на те, що всередині поверхні є джерела або стоки рідини, т.е.точкі, в яких рідина надходить в об'єм (джерела) або віддаляється з обсягу (стоки) Величина потоку визначає сумарну потужність джерел і стоків. При переважанні джерел над стоками потік позитивний, при переважанні стоків - негативний.

Частка від ділення потоку на величину обсягу, з якого потік випливає,, є середня питома потужність джерел, укладених в обсязі V. Чим менше об'єм V, що включає в себе точку Р, тим ближче це середнє значення до істинної питомої потужності в цій точці. У межі при, тобто при стягуванні обсягу в точку, ми отримаємо справжню питому потужність джерел в точці Р, звану дивергенцией (розбіжністю) вектора:. Отриманий вираз справедливо для будь-якого вектора. Інтегрування ведеться по замкнутій поверхні S, яка обмежує обсяг V. Дивергенція визначається поведінкою векторної функції поблизу точки Р. Дивергенція - це скалярна функція координат, що визначають положення точки Р в просторі.

Знайдемо вираз для дивергенції в декартовій системі координат. Розглянемо в околиці точки Р (x, y, z) малий обсяг у вигляді паралелепіпеда з ребрами, паралельними осям координат (рис.7.3). З причини малості обсягу (його будемо стремить до нуля) значення в межах кожної з шести граней паралелепіпеда можна вважати незмінними. Потік через всю замкнуту поверхню утворюється з потоків, що течуть через кожну з шести граней окремо.

Знайдемо потік через пару граней, перпендикулярних ост Х на рис.7.3 межі 1 та 2). Зовнішня нормаль до межі 2 збігається з напрямком осі Х. Тому і потік через грань 2 дорівнює .Нормаль має напрям, протилежний осі Х. Проекції вектора на вісь Х і на нормаль мають протилежні знаки,, і потік через грань 1 дорівнює. Сумарний потік в напрямку Х дорівнює. Різниця є приріст при зміщенні вздовж осі Х на. Зважаючи на крихту це збільшення можна представити у вигляді. Тоді отримуємо. Аналогічно, через пари граней, перпендикулярних осях Y і Z, потоки рівні і. Повний потік через замкнуту поверхню. Розділивши цей вираз на, знайдемо дивергенцію вектора в точці Р:

Знаючи дивергенцію вектора в кожній точці простору, можна обчислити потік цього вектора через будь-яку поверхню кінцевих розмірів. Для цього розіб'ємо обсяг, обмежений поверхнею S, на нескінченно велике число нескінченно малих елементів (рис.7.4).

Для будь-якого елементу потік вектора через поверхню цього елемента дорівнює. Підсумувавши за всіма елементами, отримуємо потік через поверхню S, що обмежує обсяг V:, інтегрування проводиться обсягом V, або

Це теорема Остроградського - Гаусса. Тут, - одиничний вектор нормалі до поверхні dS в даній точці.

Повернемося до течії нестисливої \u200b\u200bрідини. Побудуємо контур. Уявімо собі, що ми якимось чином заморозили миттєво рідина в усьому обсязі за винятком дуже тонкого замкнутого каналу постійного перетину, що включає в себе контур (ріс.7.5). Залежно від характеру перебігу рідина в нинішньому каналі виявиться або нерухомою, або рухається (циркулюючої) уздовж контуру в одному з можливих напрямків. В якості запобіжного цього руху вибирається величина, що дорівнює добутку швидкості рідини в каналі і довжини контуру,. Ця величина називається циркуляцією вектора по контуру (так як канал має постійний перетин і модуль швидкості не змінюється). У момент затвердіння стінок у кожної частинки рідини в каналі буде гаситися складова швидкості, перпендикулярна до стінки і залишиться лише складова, дотична до контуру. З цієї складової пов'язаний імпульс, модуль якого для частинки рідини, укладеної в відрізку каналу довжиною, дорівнює, де - щільність рідини, - перетин каналу. Рідина ідеальна - тертя немає, тому дія стінок може змінити тільки напрямок, його величина залишиться незмінною. Взаємодія між частинками рідини викличе такий перерозподіл імпульсу між ними, яке вирівняє швидкості всіх частинок. При цьому сума алгебри імпульсів зберігається, тому, де - швидкість циркуляції, - дотична складова швидкості рідини в обсязі в момент часу, що передував затвердіння стінок. Розділивши на, отримаємо.

Циркуляція характеризує властивості поля, усереднені по області з розмірами порядку діаметра контуру. Щоб отримати характеристику поля в точці Р, потрібно зменшить розміри контуру, стягуючи його в точку Р. При цьому в якості характеристики поля беруть межа відносини циркуляції вектора по плоскому контуру, стягується в точку Р, до величини площині контуру S:. Величина цієї межі залежить не тільки від властивостей поля в точці Р, а й від орієнтації контуру в просторі, яка може бути задана напрямком позитивної нормалі до площини контура (позитивної вважається нормаль, пов'язана з напрямком обходу контуру правилом правого гвинта). Визначаючи цю межу для різних напрямків, ми отримаємо різні його значення, причому для протилежний напрямків нормаль ці значення відрізняються знаком. Для деякого напряму нормалі величина межі буде максимальною. Таким чином, величина межі поводиться як проекція деякого вектора на напрямок нормалі до площини контура, по якому береться циркуляція. Максимальне значення межі визначає модуль цього вектора, а напрямок позитивної нормалі, при якому досягається максимум, дає напрямок вектора. Цей вектор називається ротором або вихором вектора:.

Щоб знайти проекції ротора на осі декартової система координат, потрібно визначити значення межі для таких орієнтацій майданчики S, при яких нормаль до майданчика збігається з однією з осей X, Y, Z. Якщо, наприклад, направити по осі Х, знайдемо. Контур розташований в цьому випадку в площині, паралельній YZ, візьмемо контур у вигляді прямокутника зі сторонами і. При значення і на кожній з чотирьох сторін контура можна вважати незмінними. Ділянка 1 контуру (рис.7.6) протилежний осі Z, тому на цій ділянці збігається з, на ділянці 2, на ділянці 3, на ділянці 4. Для циркуляції по цьому контуру отримуємо значення:. Різниця є приріст при зміщенні вздовж Y на. Зважаючи на крихту це збільшення можна представити у вигляді Аналогічно, різниця. Тоді циркуляція з даного контуру,

де - площа контуру. Розділивши циркуляцію на, знайдемо проекцію ротора на вісь Х:. Аналогічно,,. Тоді ротор вектора визначається виразом: +,

Знаючи ротор вектора в кожній точці деякої поверхні S, можна обчислити циркуляцію цього вектора по контуру, що обмежує поверхню S. Для цього розіб'ємо поверхню на дуже малі елементи (ріс.7.7). Циркуляція по контуру, що обмежує дорівнює, де - позитивна нормаль до елемента. Підсумувавши ці вирази по всій поверхні S і підставивши вираз для циркуляції, отримаємо. Це теорема Стокса.

Частина рідини, обмежена лініями струму, називається трубкою струму. Вектор, будучи в кожній точці дотичним до лінії струму, буде дотичним до поверхні трубки струму, і частки рідини не перетинають стінок трубки струму.

Розглянемо перпендикулярний до напрямку швидкості перетин трубки струму S (рис.7.8.). Будемо вважати, що швидкість часток рідини однакова у всіх точках цього перетину. За час через перетин S пройдуть всі частинки, відстань яких в початковий момент не перевищує значення. Отже, за час через перетин S пройде обсяг рідини, що дорівнює, а за одиницю часу через перетин S пройде обсяг рідини, що дорівнює .. Будемо вважати, що трубка струму настільки тонка, що швидкість часток в кожному її перерізі можна вважати постійною. Якщо рідина нестисливої \u200b\u200b(тобто її щільність усюди однакова і не змінюється), то кількість рідини між перетинами і (ріс.7.9.) Буде залишатися незмінним. Тоді обсяги рідини, що протікають за одиницю часу через перетину і, повинні бути однаковими:

Таким чином, для нестисливої \u200b\u200bрідини величина в будь-якому перетині однієї і тієї ж трубки струму повинна бути однакова:

Це твердження називається теоремою про нерозривність струменя.

Рух ідеальної рідини описується рівнянням Нав'є-Стокса:

де t - час, x, y, z - координати рідкої частки, - проекції об'ємної сили, р - тиск, ρ - щільність середовища. Це рівняння дозволяє визначити проекції швидкості частинки середовища як функції координат і часу. Щоб замкнути систему, до рівняння Навье- Стокса додають рівняння нерозривності, яке є наслідком теореми про нерозривність струменя:

Для інтегрування цих рівнянь потрібно задати початкові (якщо рух не є стаціонарним) і граничні умови.

7.2. Тиск в поточній рідини. Рівняння Бернуллі і наслідок з нього

Розглядаючи рух рідин, в ряді випадків можна вважати, що переміщення одних рідин щодо інших не пов'язане з виникненням сил тертя. Рідина, якою внутрішнє тертя (в'язкість) повністю відсутня, називається ідеальною.

Виділимо в стаціонарно поточної ідеальної рідини трубку струму малого перетину (ріс.7.10). Розглянемо обсяг рідини, обмежений стінками трубки струму і перпендикулярними до ліній струму перетинами і .За час цей обсяг переміститися уздовж трубки струму, причому перетин переміститися в положення, пройшовши шлях, перетин переміститися в положення, пройшовши шлях .В силу нерозривності струменя заштриховані обсяги матимуть однакову величину:

Енергія кожної частки рідини дорівнює сумі її кінетичної енергії і потенційної в полі сили тяжіння. Внаслідок стаціонарності течії частка, що знаходиться через час в будь-який з точок незаштриховані частини розглянутого обсягу (наприклад точка O на рис. 7.10), має таку ж швидкість (і таку ж кінетичну енергію), яку мала частка, яка перебувала в тій же точці в початковий момент часу. Тому приріст енергії всього розглянутого обсягу дорівнює різниці енергій заштрихованих обсягів і.

В ідеальній рідині сили тертя відсутні, тому приріст енергії (7.1) дорівнює роботі, яку здійснюють над виділеним об'ємом силами тиску. Сили тиску на бічну поверхню перпендикулярні в кожній точці до напрямку переміщення частинок і роботи не здійснюють. Робота сил, прикладених до перетинів і дорівнює

Прирівнявши (7.1) і (7.2), отримуємо

Так як перетину і були взяті довільно, то можна стверджувати, що вираз залишається постійним в будь-якому перетині трубки струму, тобто в стаціонарно поточної ідеальної рідини уздовж будь-якої лінії струму виконується умова

Це рівняння Бернуллі. Для горизонтальної лінії струму рівняння (7.3) приймає вид:

7.3.ІСТЕЧЕНІЕ РІДИНИ ІЗ ОТВОРИ

Застосуємо рівняння Бернуллі до випадку витікання рідини з малого отвору в широкому відкритому посуді. Виділимо в рідині трубку струму, верхнє перетин якої лежить на поверхні рідини, а нижня збігається з отвором (рис.7.11). У кожному з цих перетинів швидкість і висоту над деякими вихідним рівнем можна вважати однаковими, тиску в обох перетинах рівні атмосферного і також однакові, швидкість переміщення відкритій поверхні будемо вважати рівною нулю. Тоді рівняння (7.3) приймає вид:

імпульс

7.4 .Вязкая рідина. Сили внутрішнього тертя

Ідеальна рідина, тобто рідина без тертя, є абстракцією. Всім реальним рідин і газів в більшій чи меншій мірі властива в'язкість або внутрішнє тертя.

В'язкість проявляється в тому, що виникло в рідині або газі рух після припинення дії сил, що стали причиною його, поступово припиняється.

Розглянемо дві паралельні один одному пластини, поміщені в рідину (ріс.7.12). Лінійні розміри пластин багато більше відстані між ними d. Нижня пластина утримується на місці, верхня приводиться в рух щодо нижньої з деякою

швидкістю. Експериментально доведено, що для переміщення верхньої пластини з постійною швидкістю необхідно впливати на неї цілком певної постійної за величиною силою. Пластина не отримує прискорення, отже, дія цієї сили врівноважується рівною їй за величиною силою, яка і є сила тертя, що діє на пластину при її русі в рідині. Позначимо її, а частина рідини, що лежить під площиною, діє на частину рідини, що лежить над площиною, з силою. При цьому і визначаються формулою (7.4). Таким чином, ця формула виражає силу між дотичними шарами рідини.

Експериментально доведено, що швидкість часток рідини змінюється в напрямку z, перпендикулярному пластин (рис.7.6) за лінійним законом

Частинки рідини, що безпосередньо стикаються з пластинами, як би прилипають до них і мають таку ж швидкість, як і самі пластини. З формули (7.5) отримуємо

Знак модуля в цій формулі поставлений з наступних причин. При зміні напрямку руху похідна швидкості змінить знак, в той час як відношення завжди позитивно. З урахуванням сказаного вираз (7.4) приймає вигляд

Одиницею в'язкості з СІ служить така в'язкість, при якій градієнт швидкості з модулем, призводить до виникнення сили внутрішнього тертя в 1 Н на 1м поверхні торкання шарів. Ця одиниця називається Паскаль - секундою (Па · с).

1 | | | |

Стан руху рідини можна визначити, вказавши для кожної точки простору вектор швидкості як функцію часу.

сукупність векторів , Заданих для всіх точок простору, утворює поле вектора швидкості, яке можна зобразити таким чином. Проведемо в рухомої рідини лінії так, щоб дотична до них в кожній точці збіглася у напрямку з вектором (Рис.7.1). Ці лінії називаються лініями струму. Домовимося проводити лінії струму так, щоб їх густота (відношення числа ліній
до величини перпендикулярної до них майданчики
, Через яку вони проходять) була пропорційна величині швидкості в даному місці. Тоді по картині ліній струму можна буде судити не тільки про направлення, але й про величину вектора в різних точках простору: там, де швидкість більше, лінії струму будуть гущі.

Число ліній струму, що проходять через площадку
, Перпендикулярну до ліній струму, так само
, Якщо майданчик орієнтована довільно до ліній струму, число ліній струму одно, де
- кут між напрямком вектора і нормаллю до майданчика . Часто використовують позначення
. Число ліній струму через майданчик кінцевих розмірів визначається інтегралом:
. Інтеграл такого виду називається потоком вектора через майданчик .

В елічіна і напрямок вектора змінюється з часом, отже, і картина ліній не залишається постійною. Якщо в кожній точці простору вектор швидкості залишається постійним за величиною і напрямком, то протягом називається сталим або стаціонарним. При стаціонарному перебігу будь-яка частка рідини проходить цю точку простору з одним і тим же значенням швидкості. Картина ліній струму в цьому випадку не змінюється, і лінії струму збігаються з траєкторіями часток.

Розглянемо поле вектора швидкості несжимаемой нерозривному рідини. Потік вектора швидкості через деяку поверхню дорівнює обсягу рідини, що протікає через цю поверхню в одиницю часу. Побудуємо в околиці точки Р уявну замкнуту поверхню S(Рис.7.2) . Якщо в обсязі V, Обмеженому поверхнею, рідина не виникає і не зникає, то потік, що випливає назовні через поверхню, буде дорівнює нулю. Відмінність потоку від нуля буде вказувати на те, що всередині поверхні є джерела або стоки рідини, т.е.точкі, в яких рідина надходить в об'єм (джерела) або віддаляється з обсягу (стоки) Величина потоку визначає сумарну потужність джерел і стоків. При переважанні джерел над стоками потік позитивний, при переважанні стоків - негативний.

Частка від ділення потоку на величину обсягу, з якого потік випливає,
, Є середня питома потужність джерел, укладених в обсязі V. Чим менше об'єм V,що включає в себе точку Р,тим ближче це середнє значення до істинної питомої потужності в цій точці. У межі при
, Тобто при стягуванні обсягу в точку, ми отримаємо справжню питому потужність джерел в точці Р, звану дивергенцией (розбіжністю) вектора :
. Отриманий вираз справедливо для будь-якого вектора. Інтегрування ведеться по замкнутій поверхні S,обмежує обсяг V. Дивергенція визначається поведінкою векторної функції поблизу точки Р. Дивергенція - це скалярна функція координат, що визначають п оложеніе точки Р в просторі.

Знайдемо вираз для дивергенції в декартовій системі координат. Розглянемо в околиці точки Р (x, y, z) малий обсяг у вигляді паралелепіпеда з ребрами, паралельними осям координат (рис.7.3). З причини малості обсягу (його будемо стремить до нуля) значення
в межах кожної з шести граней паралелепіпеда можна вважати незмінними. Потік через всю замкнуту поверхню утворюється з потоків, що течуть через кожну з шести граней окремо.

Знайдемо потік через пару граней, перпендикулярних ост Хна рис.7.3 межі 1 та 2) . зовнішня нормаль до межі 2 збігається з напрямком осі Х. Тому
і потік через грань 2 дорівнює
.Нормаль має напрям, протилежний осі Х.проекції вектора на вісь Х і на нормаль мають протилежні знаки,
, І потік через грань 1 дорівнює
. Сумарний потік в напрямку Х дорівнює
. різниця
являє собою приріст при зміщенні вздовж осі Х на
. зважаючи на крихту

. тоді отримуємо
. Аналогічно, через пари граней, перпендикулярних осях Yі Z , Потоки рівні
і
. Повний потік через замкнуту поверхню. Розділивши цей вираз на
, знайдемо дивергенцію вектора в точці Р:

Знаючи дивергенцію вектора в кожній точці простору, можна обчислити потік цього вектора через будь-яку поверхню кінцевих розмірів. Для цього розіб'ємо обсяг, обмежений поверхнею S, На нескінченно велике число нескінченно малих елементів
(Рис.7.4).

Для будь-якого елементу
потік вектора через поверхню цього елемента дорівнює
. Підсумувавши за всіма елементами
, Отримуємо потік через поверхню S, Що обмежує обсяг V:
, Інтегрування проводиться обсягом V,або

Е то теорема Остроградського - Гаусса. тут
,- одиничний вектор нормалі до поверхні dS в даній точці.

Повернемося до течії нестисливої \u200b\u200bрідини. побудуємо контур . Уявімо собі, що ми якимось чином заморозили миттєво рідина в усьому обсязі за винятком дуже тонкого замкнутого каналу постійного перетину, що включає в себе контур (Ріс.7.5). Залежно від характеру перебігу рідина в нинішньому каналі виявиться або нерухомою, або рухається (циркулюючої) уздовж контуру в одному з можливих напрямків. В якості запобіжного цього руху вибирається величина, що дорівнює добутку швидкості рідини в каналі і довжини контуру,
. Ця величина називається циркуляцією вектора по контуру (Так як канал має постійний перетин і модуль швидкості не змінюється). У момент затвердіння стінок у кожної частинки рідини в каналі буде гаситися складова швидкості, перпендикулярна до стінки і залишиться лише складова, дотична до контуру. З цієї складової пов'язаний імпульс
, Модуль якого для частинки рідини, укладеної в відрізку каналу довжиною
, дорівнює
, де - щільність рідини, - перетин каналу. Рідина ідеальна - тертя немає, тому дія стінок може змінити тільки напрямок
, Його величина залишиться незмінною. Взаємодія між частинками рідини викличе такий перерозподіл імпульсу між ними, яке вирівняє швидкості всіх частинок. При цьому сума алгебри імпульсів зберігається, тому
, де - швидкість циркуляції, - дотична складова швидкості рідини в обсязі
в момент часу, що передував затвердіння стінок. розділивши на
, отримаємо
.

Ц іркуляція характеризує властивості поля, усереднені по області з розмірами порядку діаметра контуру . Щоб отримати характеристику поля в точці Р, Потрібно зменшить розміри контуру, стягуючи його в точку Р. При цьому в якості характеристики поля беруть межа відносини циркуляції вектора по плоскому контуру , Стягується в точку Р, До величини площині контуру S:
. Величина цієї межі залежить не тільки від властивостей поля в точці Р, Але і від орієнтації контуру в просторі, яка може бути задана напрямком позитивної нормалі до площини контуру (позитивної вважається нормаль, пов'язана з напрямком обходу контуру правилом правого гвинта). Визначаючи цю межу для різних напрямків , Ми отримаємо різні його значення, причому для протилежний напрямків нормаль ці значення відрізняються знаком. Для деякого напряму нормалі величина межі буде максимальною. Таким чином, величина межі поводиться як проекція деякого вектора на напрямок нормалі до площини контура, по якому береться циркуляція. Максимальне значення межі визначає модуль цього вектора, а напрямок позитивної нормалі, при якому досягається максимум, дає напрямок вектора. Цей вектор називається ротором або вихором вектора :
.

Щоб знайти проекції ротора на осі декартової система координат, потрібно визначити значення межі для таких орієнтацій майданчики S , При яких нормаль до майданчика збігається з однією з осей X, Y, Z.Якщо, наприклад, направити по осі Х, знайдемо
. контур розташований в цьому випадку в площині, паралельній YZ, Візьмемо контур у вигляді прямокутника зі сторонами
і
. при
значення і на кожній з чотирьох сторін контура можна вважати незмінними. Ділянка 1 контуру (рис.7.6) протилежний осі Z, тому на цій ділянці збігається з
, На ділянці 2
, На ділянці 3
, На ділянці 4
. Для циркуляції по цьому контуру отримуємо значення: . різниця
являє собою приріст при зміщенні вздовж Y на
. зважаючи на крихту
це збільшення можна представити у вигляді
Аналогічно, різницю
. Тоді циркуляція з даного контуру
,

де
- площа контуру. Розділивши циркуляцію на
, Знайдемо проекцію ротора на вісь Х:
. аналогічно,
,
. Тоді ротор вектора визначається виразом:

+
,

або
.

З ная ротор вектора в кожній точці деякої поверхні S, Можна обчислити циркуляцію цього вектора по контуру , Що обмежує поверхню S. Для цього розіб'ємо поверхню на дуже малі елементи
(Ріс.7.7). Циркуляція по контуру, що обмежує
дорівнює
, де - позитивна нормаль до елемента
. Підсумувавши ці вирази по всій поверхні Sі підставивши вираз для циркуляції, отримаємо
. Це теорема Стокса.

Частина рідини, обмежена лініями струму, називається трубкою струму. вектор , Будучи в кожній точці дотичним до лінії струму, буде дотичним до поверхні трубки струму, і частки рідини не перетинають стінок трубки струму.

Розглянемо перпендикулярний до напрямку швидкості перетин трубки струму S(Рис.7.8.). Будемо вважати, що швидкість часток рідини однакова у всіх точках цього перетину. За час
через перетин Sпройдуть всі частинки, відстань яких в початковий момент не перевищує значення
. Отже, за час
через перетин S
, А за одиницю часу через перетин S пройде обсяг рідини, що дорівнює
.. Будемо вважати, що трубка струму настільки тонка, що швидкість часток в кожному її перерізі можна вважати постійною. Якщо рідина нестисливої \u200b\u200b(тобто її щільність усюди однакова і не змінюється), то кількість рідини між перетинами і (Ріс.7.9.) Буде залишатися незмінним. Тоді обсяги рідини, що протікають за одиницю часу через перетину і , Повинні бути однаковими:

Таким чином, для нестисливої \u200b\u200bрідини величина
в будь-якому перетині однієї і тієї ж трубки струму повинна бути однакова:

.Це твердження називається теоремою про нерозривність струменя.

Рух ідеальної рідини описується рівнянням Нав'є-Стокса:

де t - час, x, y, z - координати рідкої частки,

- проекції об'ємної сили, р - тиск, ρ - щільність середовища. Це рівняння дозволяє визначити проекції швидкості частинки середовища як функції координат і часу. Щоб замкнути систему, до рівняння Навье- Стокса додають рівняння нерозривності, яке є наслідком теореми про нерозривність струменя:

. Для інтегрування цих рівнянь потрібно задати початкові (якщо рух не є стаціонарним) і граничні умови.

Рідини і гази багато в чому схожі за своїми властивостями. Вони текучі і приймають форму того судини, в якому знаходяться. Вони підпадають під дію законів Паскаля і Архімеда.

При розгляді руху рідин можна знехтувати силами тертя між шарами і вважати їх абсолютно нестисливими. Така абсолютно невязкая і абсолютно нестисливої \u200b\u200bрідина називається ідеальною.

Рух рідини можна описати, якщо показати траєкторії руху її частинок таким чином, щоб дотична в будь-якій точці траєкторії збігалася з вектором швидкості. Ці лінії називаються лініями струму. Лінії струму прийнято проводити так, щоб їх густота була більше там, де більше швидкість течії рідини (рис.2.11).

Величина і напрям вектора швидкості V в рідини можуть змінюватися з часом, то і картина ліній струму може безперервно змінюватися. Якщо ж вектора швидкості в кожній точці простору не змінюються, то протягом рідини називають стаціонарним.

Частина рідини, обмежена лініями струму, називається трубкою струму. Частинки рідини, рухаючись всередині трубки струму, не перетинають її стінок.

Розглянемо одну трубку струму і позначимо через S 1 і S 2 площі поперечного перерізу в ній (рис.2.12). Тоді за одиницю часу через S 1 і S 2 протікають однакові обсяги рідини:

S 1 V 1 \u003d S 2 V 2 (2.47)

це може бути застосовано до будь-якого перетину трубки струму. Отже, для ідеальної рідини величина SV \u003d const в будь-якому перетині трубки струму. Це співвідношення називається нерозривністю струменя. З нього випливає:

тобто швидкість V стаціонарного течії рідини обернено пропорційна площі перетину S трубки струму, а це може бути обумовлено градієнтом тиску в рідині уздовж трубки струму. Теорема про нерозривність струменя (2.47) може бути застосована і до реальних рідин (газів) при їх перебігу в трубах різного перетину, якщо сили тертя невеликі.

рівняння Бернуллі. Виділимо в ідеальній рідині трубку струму змінного перерізу (рис.2.12). В силу нерозривності струменя через S 1 і S 2 за один час протікають однакові обсяги рідини ΔV.

Енергія кожної частки рідини складається з її кінетичної енергії і потенційної енергії. Тоді при переході від одного перетину трубки струми до іншого приріст енергії рідини буде:

В ідеальній рідині приріст ΔW має дорівнювати роботі сил тиску на зміну обсягу ΔV, тобто А \u003d (Р 1 Р 2) · ΔV.

Прирівнюючи ΔW \u003d A і скорочуючи на ΔVі враховуючи, що ( ρ щільність рідини), отримаємо:

тому перетин трубки струму взяті довільно, то для ідеальної рідини уздовж будь-якої лінії струму виконується:

. (2.48)

де Р-Статичний тиск в певному перетині S трубки струму;

Динамічне тиск для цього перерізу; V-швидкість протікання рідини через це перетин;

ρgh-гідростатіческое тиск.

Рівняння (2.48) називається рівнянням Бернуллі.

в'язка рідина. У реальної рідини при переміщенні її шарів відносно один одного виникають сили внутрішнього тертя (В'язкість). Нехай два шари рідини відстоять один від одного на відстань Δх і рухаються зі швидкостями V 1 і V 2 (рис.2.13).

тоді сила внутрішнього тертя між шарами (Закон Ньютона):

, (2.49)

де η коефіцієнт динамічної в'язкості рідини:

Середня арифметична швидкість молекул;

Середня довжина вільного пробігу молекул;

Градієнт швидкості шарів; ΔS- площа дотичних шарів.

Шарувату протягом рідини називається ламінарним. При зростанні швидкості шаруватий характер перебігу порушується, відбувається перемішування рідини. Такий перебіг називають турбулентним.

При ламінарному плині потік рідини Q в трубі радіуса R пропорційний перепаду тиску на одиниці довжини труби ? Р / ℓ:

Формула Пуазейля. (2.51)

У реальних рідинах і газах рухомі тіла відчувають дії сили опору. Наприклад, сила опору, що діє на кульку, рівномірно рухається у в'язкому середовищі, пропорційна його швидкості V:

Формула Стокса, (2.52)

де rрадіус кульки.

При збільшенні швидкості руху обтікання тіла порушується, позаду тіла утворюються завихрення, на що додатково витрачається енергія. Це призводить до зростання лобового опору.