складні інтеграли

Дана стаття завершує тему невизначених інтегралів, і в неї включені інтеграли, які я вважаю досить складними. Урок створений за неодноразовими проханнями відвідувачів, які висловлювали побажання, щоб на сайті були розібрані і більш важкі приклади.

Передбачається, що читач цього тексту добре підготовлений і вміє застосовувати основні прийоми інтегрування. Чайникам і людям, які не дуже впевнено розбираються в інтеграли, слід звернутися до найпершого уроку - Невизначений інтеграл. приклади рішень, Де можна освоїти тему практично з нуля. Більш досвідчені студенти можуть ознайомитися з прийомами і методами інтегрування, які в моїх статтях ще не зустрічалися.

Які інтеграли будуть розглянуті?

Спочатку ми розглянемо інтеграли з корінням, для вирішення яких послідовно використовується заміна змінної і інтегрування по частинах. Тобто, в одному прикладі комбінуються відразу два прийому. І навіть більше.

Потім ми познайомимося з цікавим і оригінальним методом відомості інтеграла до самого себе. Даним способом вирішується не так уже й мало інтегралів.

Третім номером програми підуть інтеграли від складних дробів, які пролетіли повз касу в попередніх статтях.

По-четверте, будуть розібрані додаткові інтеграли від тригонометричних функцій. Зокрема, існують методи, які дозволяють уникнути трудомісткої універсальної тригонометричної підстановки.

(2) В підінтегральної функції почленно ділимо чисельник на знаменник.

(3) Використовуємо властивість лінійності невизначеного інтеграла. В останньому інтегралі відразу підводимо функцію під знак диференціала.

(4) Беремо залишилися інтеграли. Зверніть увагу, що в логарифм можна використовувати дужки, а не модуль, так як.

(5) Проводимо зворотну заміну, висловивши з прямої заміни «те»:

Студенти-мазохісти можуть продифференцировать відповідь і отримати вихідну підінтегральної функції, як тільки що це зробив я. Ні-ні, я-то в правильному розумінні виконав перевірку \u003d)

Як бачите, в ході рішення довелося використовувати навіть більше двох прийомів рішення, таким чином, для розправи з подібними інтегралами потрібні впевнені навички інтегрування і не найменший досвід.

На практиці, звичайно ж, частіше зустрічається квадратний корінь, ось три приклади для самостійного рішення:

приклад 2

Знайти невизначений інтеграл

приклад 3

Знайти невизначений інтеграл

приклад 4

Знайти невизначений інтеграл

Дані приклади однотипні, тому повне рішення в кінці статті буде тільки для Прикладу 2, в прикладах 3-4 - одні відповіді. Яку заміну застосовувати на початку рішень, думаю, очевидно. Чому я підібрав однотипні приклади? Часто зустрічаються в своєму амплуа. Найчастіше, мабуть, тільки що-небудь на зразок .

Але не завжди, коли під арктангенсом, синусом, косинусом, експонентою і ін. Функціями знаходиться корінь з лінійної функції, доводиться застосовувати відразу кілька методів. У ряді випадків вдається «легко звільнитися», тобто відразу після заміни виходить простий інтеграл, який елементарно береться. Найлегшим із запропонованих вище завдань є Приклад 4, в ньому після заміни виходить відносно нескладний інтеграл.

Методом відомості інтеграла до самого себе

Дотепний і красивий метод. Негайно розглянемо класику жанру:

приклад 5

Знайти невизначений інтеграл

Під коренем знаходиться квадратний двочлен, і при спробі проинтегрировать даний приклад чайник може мучитися годинами. Такий інтеграл береться по частинах і зводиться до самого себе. В принципі не складно. Якщо знаєш як.

Позначимо розглянутий інтеграл латинською буквою і почнемо рішення:

Інтегруємо частинами:

(1) Готуємо підінтегральної функції для почленного ділення.

(2) Почленно ділимо підінтегральної функції. Можливо, не всім зрозуміло, розпишу докладніше:

(3) Використовуємо властивість лінійності невизначеного інтеграла.

(4) Беремо останній інтеграл ( «довгий» логарифм).

Тепер дивимося на самий початок вирішення:

І на кінцівку:

Що сталося? В результаті наших маніпуляцій інтеграл звівся до самого себе!

Прирівнюємо початок і кінець:

Переносимо в ліву частину зі зміною знака:

А двійку зносимо в праву частину. В результаті:

Константу, строго кажучи, треба було додати раніше, але приписав її в кінці. Настійно рекомендую прочитати, в чому тут строгість:

Примітка: Більш строго заключний етап рішення виглядає так:

Таким чином:

Константу можна переобозначив через. Чому можна переобозначив? Тому що все одно приймає будь-які значення, і в цьому сенсі між константами і немає ніякої різниці.
В результаті:

Подібний трюк з переобозначеніе константи широко використовується в диференціальні рівняння. І там я буду суворий. А тут така зухвалість допускається мною тільки для того, щоб не плутати вас зайвими речами і акцентувати увагу саме на самому методі інтегрування.

приклад 6

Знайти невизначений інтеграл

Ще один типовий інтеграл для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку. Різниця з відповіддю попереднього прикладу буде!

Якщо під квадратним коренем знаходиться квадратний тричлен, то рішення в будь-якому випадку зводиться до двох розібраним прикладів.

Наприклад, розглянемо інтеграл . Все, що потрібно зробити - попередньо виділити повний квадрат:
.
Далі проводиться лінійна заміна, яка обходиться «без всяких наслідків»:
, В результаті чого виходить інтеграл. Щось знайоме, правда?

Або такий приклад, з квадратним Двочленні:
Виділяємо повний квадрат:
І, після лінійної заміни, отримуємо інтеграл, який також вирішується по вже розглянутого алгоритму.

Розглянемо ще два типових прикладу на прийом відомості інтеграла до самого себе:
- інтеграл від експоненти, помноженої на синус;
- інтеграл від експоненти, помноженої на косинус.

У перерахованих інтеграли по частинах доведеться інтегрувати вже два рази:

приклад 7

Знайти невизначений інтеграл

Підінтегральна функція - експонента, помножена на синус.

Двічі інтегруємо частинами і зводимо інтеграл до себе:

В результаті дворазового інтегрування частинами інтеграл звівся до самого себе. Прирівнюємо початок і кінцівку рішення:

Переносимо в ліву частину зі зміною знака і висловлюємо наш інтеграл:

Готово. Попутно бажано причесати праву частину, тобто винести експоненту за дужки, а в дужках розташувати синус з косинусом в «красивому» порядку.

Тепер повернемося до початку прикладу, а точніше - до інтегрування по частинах:

За ми позначили експоненту. Виникає питання, саме експоненту завжди потрібно позначати за? Не обов'язково. Насправді в розглянутому інтегралі принципово без різниці, Що позначати за, можна було піти іншим шляхом:

Чому таке можливо? Тому що експонента перетворюється сама в себе (і при диференціюванні, і при інтегруванні), синус з косинусом взаємно перетворюються один в одного (знову ж - і при диференціюванні, і при інтегруванні).

Тобто, за можна позначити і тригонометричну функцію. Але, в розглянутому прикладі це менш раціонально, оскільки з'являться дробу. При бажанні можете спробувати вирішити цей приклад другим способом, відповіді обов'язково повинні співпасти.

приклад 8

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад для самостійного рішення. Перед тим як вирішувати, подумайте, що вигідніше в даному випадку позначити за, експоненту або тригонометричну функцію? Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

І, звичайно, не забувайте, що більшість відповідей даного уроку досить легко перевірити диференціюванням!

Приклади були розглянуті не найскладніші. На практиці частіше зустрічаються інтеграли, де константа є і в показнику експоненти і в аргументі тригонометричної функції, наприклад:. Поплутав в подібному інтеграл доведеться багатьом, часто плутаюся і я сам. Справа в тому, що в рішенні велика ймовірність появи дробів, і дуже просто що-небудь через неуважність втратити. Крім того, велика ймовірність помилки в знаках, зверніть увагу, що в показнику експоненти є знак «мінус», і це вносить додаткові труднощі.

На завершальному етапі часто виходить приблизно наступне:

Навіть в кінці рішення слід бути гранично уважним і грамотно розібратися з дробом:

Інтегрування складних дробів

Потихеньку підбираємося до екватора уроку і починаємо розглядати інтеграли від дробів. Знову ж, не всі вони суперскладні, просто з тих чи інших причин приклади були трохи «не в тему» \u200b\u200bв інших статтях.

Продовжуємо тему коренів

приклад 9

Знайти невизначений інтеграл

У знаменнику під коренем знаходиться квадратний тричлен плюс за межами кореня «доважок» у вигляді «ікси». Інтеграл такого виду вирішується за допомогою стандартної заміни.

вирішуємо:

Заміна тут проста:

Дивимося на життя після заміни:

(1) Після підстановки приводимо до спільного знаменника складові під коренем.
(2) Виносимо з-під кореня.
(3) Чисельник і знаменник скорочуємо на. Заодно під коренем я переставив складові в зручному порядку. При певному досвіді кроки (1), (2) можна пропускати, виконуючи прокоментовані дії усно.
(4) Отриманий інтеграл, як ви пам'ятаєте з уроку Інтегрування деяких дробів, вирішується шляхом виділення повного квадрата. Виділяємо повний квадрат.
(5) Інтегруванням отримуємо пересічний «довгий» логарифм.
(6) Проводимо зворотну заміну. Якщо спочатку, то назад:.
(7) Заключне дія спрямована на зачіску результату: під коренем знову наводимо складові до спільного знаменника і виносимо з-під кореня.

приклад 10

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад для самостійного рішення. Тут до самотнього «Іксу» додано константа, і заміна майже така ж:

Єдине, що потрібно додатково зробити - висловити «ікс» з проведеної заміни:

Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Іноді в такому інтегралі під коренем може перебувати квадратний двочлен, це не змінює спосіб вирішення, воно буде навіть ще простіше. Відчуйте різницю:

приклад 11

Знайти невизначений інтеграл

приклад 12

Знайти невизначений інтеграл

Короткі рішення і відповіді в кінці уроку. Слід зазначити, що Приклад 11 є в точності біноміальним інтегралом, Метод вирішення якого розглядався на уроці Інтеграли від ірраціональних функцій.

Інтеграл від нерозкладного многочлена 2-го ступеня в ступеня

(Многочлен в знаменнику)

Більш рідкісний, але, тим не менш, зустрічає в практичних прикладах вид інтеграла.

приклад 13

Знайти невизначений інтеграл

Але повернемося до прикладу зі щасливим номером 13 (чесне слово, що не подгадал). Цей інтеграл теж з розряду тих, з якими можна добряче промучувати, якщо не знаєш, як вирішувати.

Рішення починається з штучного перетворення:

Як почленно розділити чисельник на знаменник, думаю, вже всі розуміють.

Отриманий інтеграл береться по частинах:

Для інтеграла виду (- натуральне число) виведена рекуррентная формула зниження ступеня:
, де - інтеграл ступенем нижче.

Переконаємося в справедливості цієї формули для прорешать інтеграла.
В даному випадку:,, використовуємо формулу:

Як бачите, відповіді збігаються.

приклад 14

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад для самостійного рішення. У зразку рішення двічі послідовно використана вищезгадана формула.

Якщо під ступенем знаходиться нерозкладний на множники квадратний тричлен, то рішення зводиться до Двочленні шляхом виділення повного квадрата, наприклад:

Що робити, якщо додатково в чисельнику є многочлен? У цьому випадку використовується метод невизначених коефіцієнтів, і підінтегральна функція розкладається в суму дробів. Але в моїй практиці такого прикладу не зустрічалося жодного разу, Тому я пропустив цей випадок в статті Інтеграли від дрібно-раціональної функції, Пропущу і зараз. Якщо такий інтеграл все-таки зустрінеться, дивіться підручник - там все просто. Не вважаю за доцільне включати матеріал (навіть нескладний), ймовірність зустрічі з яких прагне до нуля.

Інтегрування складних тригонометричних функцій

Прикметник «складний» для більшості прикладів знову носить багато в чому умовний характер. Почнемо з тангенсов і котангенсів в високих ступенях. З точки зору використовуваних методів рішення тангенс і котангенс - майже одне і теж, тому я більше буду говорити про тангенс, маючи на увазі, що продемонстрований прийом рішення інтеграла справедливий і для котангенс теж.

На вищезгаданому уроці ми розглядали універсальну тригонометричну підстановку для вирішення певного виду інтегралів від тригонометричних функцій. Недолік універсальної тригонометричної підстановки полягає в тому, що при її застосуванні часто виникають громіздкі інтеграли з важкими обчисленнями. І в ряді випадків універсальної тригонометричної підстановки можна уникнути!

Розглянемо ще один канонічний приклад, інтеграл від одиниці, поділеній на синус:

приклад 17

Знайти невизначений інтеграл

Тут можна використовувати універсальну тригонометричну підстановку і отримати відповідь, але існує більш раціональний шлях. Я приведу повне рішення з коментарями до кожного кроку:

(1) Використовуємо тригонометричну формулу синуса подвійного кута.
(2) Проводимо штучне перетворення: В знаменнику ділимо і множимо на.
(3) За відомою формулою в знаменнику перетворюємо дріб в тангенс.
(4) Підводимо функцію під знак диференціала.
(5) Беремо інтеграл.

Пара простих прикладів для самостійного рішення:

приклад 18

Знайти невизначений інтеграл

Вказівка: Найпершим дією слід використовувати формулу приведення і акуратно провести аналогічні попередньому прикладу дії.

приклад 19

Знайти невизначений інтеграл

Ну, це зовсім простий приклад.

Повні рішення і відповіді в кінці уроку.

Думаю, тепер ні в кого не виникне проблем з інтегралами:
і т.п.

В чому полягає ідея методу? Ідея полягає в тому, щоб за допомогою перетворень, тригонометричних формул організувати в підінтегральної функції тільки тангенси і похідну тангенса. Тобто, мова йде про заміну: . У прикладах 17-19 ми фактично і застосовували цю заміну, але інтеграли були настільки прості, що справа обійшлася еквівалентним дією - підведенням функції під знак диференціала.

Аналогічні міркування, як я вже наголошував, можна провести для котангенс.

Існує і формальна передумова для застосування вищевказаної заміни:

Сума ступенів косинуса і синуса - ціле негативне парне число, Наприклад:

для інтеграла - ціле негативне парне число.

! Примітка : Якщо підінтегральна функція містить ТІЛЬКИ синус або ТІЛЬКИ косинус, то інтеграл береться і при негативній непарної ступеня (найпростіші випадки - в прикладах №№17, 18).

Розглянемо пару більш змістовних завдань на це правило:

приклад 20

Знайти невизначений інтеграл

Сума ступенів синуса і косинуса: 2 - 6 \u003d -4 - ціле негативне парне число, значить, інтеграл можна звести до тангенсам і його похідної:

(1) Перетворимо знаменник.
(2) За відомою формулою отримуємо.
(3) Перетворимо знаменник.
(4) Використовуємо формулу .
(5) Підводимо функцію під знак диференціала.
(6) Проводимо заміну. Більш досвідчені студенти заміну можуть і не проводити, але все-таки краще замінити тангенс однією літерою - менше ризик заплутатися.

приклад 21

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад для самостійного рішення.

Тримайтеся, починаються чемпіонські раунди \u003d)

Найчастіше в підінтегральної функції знаходиться «солянка»:

приклад 22

Знайти невизначений інтеграл

У цьому інтегралі спочатку присутня тангенс, що відразу наштовхує на вже знайому думка:

Штучне перетворення на самому початку і інші кроки залишу без коментарів, оскільки про все вже говорилося вище.

Пара творчих прикладів для самостійного рішення:

приклад 23

Знайти невизначений інтеграл

приклад 24

Знайти невизначений інтеграл

Так, в них, звичайно, можна знизити ступеня синуса, косинуса, використовувати універсальну тригонометричну підстановку, але рішення буде набагато ефективніше і коротше, якщо його провести через тангенси. Повне рішення і відповіді в кінці уроку

Ви шукали x корінь з x первісна? . Детальний рішення з описом і поясненнями допоможе вам розібратися навіть з найскладнішим завданням і інтеграл з корінь x, не виняток. Ми допоможемо вам підготуватися до домашніх робіт, контрольним, олімпіад, а так само до вступу до вузу. І якою б приклад, який би запит з математики ви не ввели - у нас вже є рішення. Наприклад, «x корінь з x первісна».

Застосування різних математичних задач, калькуляторів, рівнянь і функцій широко поширене в нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд і навіть спорті. Математику людина використовувала ще в давнину і з тих пір їх застосування тільки зростає. Однак зараз наука не стоїть на місці і ми можемо насолоджуватися плодами її діяльності, такими, наприклад, як онлайн-калькулятор, який може вирішити завдання, такі, як x корінь з x первісна, інтеграл з корінь x, інтеграл з кореня х, інтеграл квадратного кореня, інтеграл корінь з 1 x 2, інтеграл корінь з x, інтеграл корінь з x 2 1, інтеграл корінь з х, інтеграл кореня, інтеграл кореня з х, інтеграл кореня квадратного, інтеграл від кореня, інтеграл від кореня з х, інтеграли з корінням, корінь з x інтеграл, корінь з x первісна, корінь з х інтеграл, корінь з х первісна, первісна 3 корінь з х, первісна x корінь з x, первісна з кореня x, первісна з кореня х, первісна корінь з x, первісна корінь з х, первісна кореня, первісна кореня з x, первісна кореня з х, первісна від кореня, первісна від кореня з х, первісна х корінь з х. На цій сторінці ви знайдете калькулятор, який допоможе вирішити будь-яке питання, в тому числі і x корінь з x первісна. (Наприклад, інтеграл з кореня х).

Де можна вирішити будь-яке завдання з математики, а так само x корінь з x первісна Онлайн?

Вирішити задачу x корінь з x первісна ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити онлайн завдання будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити - це просто ввести свої дані в вирішувача. Так само ви можете подивитися відео інструкцію і дізнатися, як правильно ввести ваше завдання на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, то ви можете задати їх в чаті знизу зліва на сторінці калькулятора.

Визначення первісної функції

• функцію у \u003d F (x)називають первісною для функції у \u003d f (x) на заданому проміжку Х,якщо для всіх х ∈ Х виконується рівність: F '(x) \u003d f (x)

Можна прочитати двома способами:

1. f похідна функції F
2. F первісна для функції f

властивість первісних

• якщо F (x)- первісна для функції f (x) на заданому проміжку, то функція f (x) має нескінченно багато первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F (x) + С, Де С - довільна стала.

геометрична інтерпретація

• Графіки всіх первісних даної функції f (x) виходять з графіка якої-небудь однієї первісної паралельними переносами уздовж осі Про у.

Правила обчислення первісних

1. Первісна суми дорівнює сумі первісних. якщо F (x) - первісна для f (x), А G (x) - первісна для g (x), то F (x) + G (x) - первісна для f (x) + g (x).
2. Постійний множник можна виносити за знак похідної. якщо F (x) - первісна для f (x), і k - постійна, то k · F (x) - первісна для k · f (x).
3. якщо F (x) - первісна для f (x), і k, b - постійні, причому k ≠ 0, то 1 / k · F (kx + b) - первісна для f (kx + b).

Запам'ятай!

Будь-яка функція F (x) \u003d х 2 + С , Де С - довільна стала, і тільки така функція, є первісною для функції f (x) \u003d 2х.

• наприклад:

  F "(x) \u003d (х 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2х, тому F "(x) \u003d (х 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2х, тому F "(x) \u003d (х 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Зв'язок між графіками функції і її первісної:

1. Якщо графік функції f (x)\u003e 0 на проміжку, то графік її первісної F (x) зростає на цьому проміжку.
2. Якщо графік функції f (x) на проміжку, то графік її первісної F (x) убуває на цьому проміжку.
3. якщо f (x) \u003d 0, То графік її первісної F (x) в цій точці змінюється з зростаючого на спадаючий (або навпаки).

Для позначення первісної використовують знак невизначеного інтеграла, тобто інтеграла без вказівки меж інтегрування.

невизначений інтеграл

визначення:

• Невизначеним інтегралом від функції f (x) називається вираз F (x) + С, тобто сукупність всіх первісних даної функції f (x). Позначається невизначений інтеграл так: \\ int f (x) dx \u003d F (x) + C

• f (x)- називають підінтегральної функцією;
• f (x) dx- називають подинтегрального виразом;
• x - називають змінної інтегрування;
• F (x) - одна з первісних функції f (x);
• З - довільна постійна.

Властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
2. Постійний множник подинтегрального вираження можна виносити за знак інтеграла: \\ Int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. Інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій: \\ Int (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int g (x) dx.
4. якщо k, b- постійні, причому k ≠ 0, то \\ Int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot F (kx + b) + C.

Таблиця первісних і невизначених інтегралів

функція f (x)	Первісна F (x) + C	невизначені інтеграли \\ Int f (x) dx \u003d F (x) + C
0	C	\\ Int 0 dx \u003d C
f (x) \u003d k	F (x) \u003d kx + C	\\ Int kdx \u003d kx + C
f (x) \u003d x ^ m, m \\ not \u003d -1	F (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C	\\ Int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	F (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C	\\ Int \\ frac (dx) (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C
f (x) \u003d e ^ x	F (x) \u003d e ^ x + C	\\ Int e (^ x) dx \u003d e ^ x + C
f (x) \u003d a ^ x	F (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C	\\ Int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C
f (x) \u003d \\ sin x	F (x) \u003d - \\ cos x + C	\\ Int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + C
f (x) \u003d \\ cos x	F (x) \u003d \\ sin x + C	\\ Int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin (^ 2) x)	F (x) \u003d - \\ ctg x + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	F (x) \u003d \\ tg x + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d \\ tg x + C
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	F (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	F (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin x + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg x + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arctg \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) \u003d \\ arctg + C	\\ Int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arctg + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) (a \\ not \u003d 0)	F (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (x ^ 2a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ tg x	F (x) \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C	\\ Int \\ tg x dx \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ ctg x	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C	\\ Int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C	\\ Int \\ frac (dx) (\\ cos x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C

Формула Ньютона-Лейбніца

нехай f (х) дана функція, F її довільна первісна.

\\ Int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d F (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - F (a)

де F (x) - первісна для f (x)

Тобто, інтеграл функції f (x) на інтервалі дорівнює різниці первісних в точках b і a.

Площа криволінійної трапеції

криволінійної трапецією називається фігура, обмежена графіком неотрицательной і безперервної на відрізку функції f, Віссю Ox і прямими x \u003d a і x \u003d b.

Площа криволінійної трапеції знаходять за формулою Ньютона-Лейбніца:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx