Дивитися що таке "кут" в інших словниках. Кути з сонаправленнимі сторонами
Даний матеріал присвячений такого поняття, як кут між двома пересічними прямими. У першому пункті ми пояснимо, що він із себе представляє, і покажемо його на ілюстраціях. Потім розберемо, якими способами можна знайти синус, косинус цього кута і сам кут (окремо розглянемо випадки з площиною і тривимірним простором), наведемо потрібні формули і покажемо на прикладах, як саме вони застосовуються на практиці.
Для того щоб зрозуміти, що таке кут, що утворюється при перетині двох прямих, нам буде потрібно згадати саме визначення кута, перпендикулярності і точки перетину.
визначення 1
Ми називаємо дві прямі перетинаються, якщо у них є одна загальна точка. Ця точка називається точкою перетину двох прямих.
Кожна пряма розділяється точкою перетину на промені. Обидві прямі при цьому утворюють 4 кута, з яких два - вертикальні, а два - суміжні. Якщо ми знаємо міру одного з них, то можемо визначити і інші залишилися.
Припустимо, нам відомо, що один з кутів дорівнює α. В такому випадку кут, який є вертикальним по відношенню до нього, теж буде дорівнює α. Щоб знайти залишилися кути, нам треба обчислити різницю 180 ° - α. Якщо α дорівнюватиме 90 градусам, то всі кути будуть прямими. Пересічні під прямим кутом лінії називаються перпендикулярними (поняттю перпендикулярності присвячена окрема стаття).
Погляньте на малюнок:
Перейдемо до формулювання основного визначення.
визначення 2
Кут, утворений двома пересічними прямими - це міра меншого з 4-х кутів, які утворюють дві ці прямі.
З визначення потрібно зробити важливий висновок: розмір кута в цьому випадку буде виражений будь-яким дійсним числом в інтервалі (0, 90]. Якщо прямі є перпендикулярними, то кут між ними в будь-якому випадку буде дорівнює 90 градусам.
Уміння знаходити міру кута між двома пересічними прямими корисно для вирішення багатьох практичних завдань. Метод рішення можна вибрати з декількох варіантів.
Для початку ми можемо взяти геометричні методи. Якщо нам відомо щось про додаткові кутах, то можна пов'язати їх з потрібним нам кутом, використовуючи властивості рівних або подібних фігур. Наприклад, якщо ми знаємо боку трикутника і потрібно обчислити кут між прямими, на яких ці сторони розташовані, то для вирішення нам підійде теорема косинусів. Якщо у нас в умови є прямокутний трикутник, то для підрахунків нам також стане в нагоді знання синуса, косинуса і тангенса кута.
Координатний метод теж вельми зручний для вирішення завдань такого типу. Пояснимо, як правильно його використовувати.
У нас є прямокутна (декартова) система координат O x y, в якій задані дві прямі. Позначимо їх буквами a і b. Прямі при цьому можна описати за допомогою будь-яких рівнянь. Вихідні прямі мають точку перетину M. Як визначити шуканий кут (позначимо його α) між цими прямими?
Почнемо з формулювання основного принципу знаходження кута в заданих умовах.
Нам відомо, що з поняттям прямої лінії тісно пов'язані такі поняття, як спрямовує і нормальний вектор. Якщо у нас є рівняння деякої прямої, з нього можна взяти координати цих векторів. Ми можемо зробити це відразу для двох пересічних прямих.
Кут, утворений двома пересічними прямими, можна знайти за допомогою:
- кута між напрямними векторами;
- кута між нормальними векторами;
- кута між нормальним вектором одній прямій і спрямовуючим вектором інший.
Тепер розглянемо кожен спосіб окремо.
1. Припустимо, що у нас є пряма a з напрямних вектором a → \u003d (a x, a y) і пряма b з напрямних вектором b → (b x, b y). Тепер відкладемо два вектора a → і b → від точки перетину. Після цього ми побачимо, що вони будуть розташовуватися кожен на своїй прямій. Тоді у нас є чотири варіанти їх взаємного розташування. Див. Ілюстрацію:
Якщо кут між двома векторами не є тупим, то він і буде потрібним нам кутом між пересічними прямими a і b. Якщо ж він тупий, то шуканий кут буде рівний куту, суміжному з кутом a →, b → ^. Таким чином, α \u003d a →, b → ^ в тому випадку, якщо a →, b → ^ ≤ 90 °, і α \u003d 180 ° - a →, b → ^, якщо a →, b → ^\u003e 90 °.
Виходячи з того, що косинуси рівних кутів рівні, ми можемо переписати отримані рівності так: cos α \u003d cos a →, b → ^, якщо a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α \u003d cos 180 ° - a →, b → ^ \u003d - cos a →, b → ^, якщо a →, b → ^\u003e 90 °.
У другому випадку були використані формули приведення. Таким чином,
cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Запишемо останню формулу словами:
визначення 3
Косинус кута, утвореного двома пересічними прямими, буде дорівнює модулю косинуса кута між його направляючими векторами.
Загальний вигляд формули косинуса кута між двома векторами a → \u003d (a x, a y) і b → \u003d (b x, b y) виглядає так:
cos a →, b → ^ \u003d a →, b → ^ a → · b → \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
З неї ми можемо вивести формулу косинуса кута між двома заданими прямими:
cos α \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Тоді сам кут можна знайти за такою формулою:
α \u003d a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Тут a → \u003d (a x, a y) і b → \u003d (b x, b y) - це напрямні вектори заданих прямих.
Наведемо приклад рішення задачі.
приклад 1
У прямокутній системі координат на площині задані дві пересічні прямі a і b. Їх можна описати параметричними рівняннями x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R і x 5 \u003d y - 6 - 3. Обчисліть кут між цими прямими.
Рішення
У нас в умови є параметричне рівняння, значить, для цієї прямої ми відразу можемо записати координати її направляючого вектора. Для цього нам потрібно взяти значення коефіцієнтів при параметрі, тобто пряма x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R буде мати направляючий вектор a → \u003d (4, 1).
Друга пряма описана за допомогою канонічного рівняння x 5 \u003d y - 6 - 3. Тут координати ми можемо взяти з знаменників. Таким чином, у цій прямій є спрямовує вектор b → \u003d (5, - 3).
Далі переходимо безпосередньо до знаходження кута. Для цього просто підставляємо наявні координати двох векторів в наведену вище формулу α \u003d a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2. Отримуємо наступне:
α \u003d a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 \u003d a r c cos 17 17 · 34 \u003d a r c cos 1 2 \u003d 45 °
відповідь: Дані прямі утворюють кут в 45 градусів.
Ми можемо вирішити це завдання за допомогою знаходження кута між нормальними векторами. Якщо у нас є пряма a з нормальним вектором na → \u003d (nax, nay) і пряма b з нормальним вектором nb → \u003d (nbx, nby), то кут між ними буде дорівнює куту між na → і nb → або кутку, який буде суміжних з na →, nb → ^. Цей спосіб показаний на зображенні:
Формули для обчислення косинуса кута між пересічними прямими і самого цього кута за допомогою координат нормальних векторів виглядають так:
cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2 α \u003d a r c cos n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Тут n a → і n b → позначають нормальні вектори двох заданих прямих.
приклад 2
У прямокутній системі координат задані дві прямі за допомогою рівнянь 3 x + 5 y - 30 \u003d 0 і x + 4 y - 17 \u003d 0. Знайдіть синус, косинус кута між ними і величину самого цього кута.
Рішення
Вихідні прямі задані за допомогою нормальних рівнянь прямої виду A x + B y + C \u003d 0. Нормальний вектор позначимо n → \u003d (A, B). Знайдемо координати першого нормального вектора для однієї прямої і запишемо їх: n a → \u003d (3, 5). Для другої прямої x + 4 y - 17 \u003d 0 нормальний вектор матиме координати n b → \u003d (1, 4). Тепер додамо отримані значення в формулу і підрахуємо підсумок:
cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 × 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 · 17 \u003d 23 2 34
Якщо нам відомий косинус кута, то ми можемо обчислити його синус, використовуючи основне тригонометричну тотожність. Оскільки кут α, утворений прямими, не є тупим, то sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
В такому випадку α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34.
Відповідь: cos α \u003d 23 2 34, sin α \u003d 7 2 34, α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34
Розберемо останній випадок - знаходження кута між прямими, якщо нам відомі координати направляючого вектора одній прямій і нормального вектора інший.
Припустимо, що пряма a має направляючий вектор a → \u003d (a x, a y), а пряма b - нормальний вектор n b → \u003d (n b x, n b y). Нам треба відкласти ці вектори від точки перетину і розглянути всі варіанти їх взаємного розташування. Див. На зображенні:
Якщо величина кута між заданими векторами не більше 90 градусів, виходить, що він буде доповнювати кут між a і b до прямого кута.
a →, n b → ^ \u003d 90 ° - α в тому випадку, якщо a →, n b → ^ ≤ 90 °.
Якщо він менше 90 градусів, то ми отримаємо наступне:
a →, n b → ^\u003e 90 °, тоді a →, n b → ^ \u003d 90 ° + α
Використовуючи правило рівності косинусів рівних кутів, запишемо:
cos a →, n b → ^ \u003d cos (90 ° - α) \u003d sin α при a →, n b → ^ ≤ 90 °.
cos a →, n b → ^ \u003d cos 90 ° + α \u003d - sin α при a →, n b → ^\u003e 90 °.
Таким чином,
sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 90 ° ⇔ sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 0 - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Сформулюємо висновок.
визначення 4
Щоб знайти синус кута між двома прямими, що перетинаються на площині, потрібно обчислити модуль косинуса кута між напрямних вектором першої прямої і нормальним вектором другий.
Запишемо необхідні формули. Знаходження синуса кута:
sin α \u003d cos a →, n b → ^ \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Знаходження самого кута:
α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Тут a → є напрямних вектором першої прямої, а n b → - нормальним вектором другий.
приклад 3
Дві пересічні прямі задані рівняннями x - 5 \u003d y - 6 3 та x + 4 y - 17 \u003d 0. Знайдіть кут перетину.
Рішення
Беремо координати направляючого і нормального вектора із заданих рівнянь. Виходить a → \u003d (- 5, 3) і n → b \u003d (1, 4). Беремо формулу α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 і вважаємо:
α \u003d a r c sin \u003d - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 \u003d a r c sin 7 2 34
Зверніть увагу, що ми взяли рівняння з попередньої задачі і отримали такий самий результат, але іншим способом.
відповідь: α \u003d a r c sin 7 2 34
Наведемо ще один спосіб знаходження потрібного кута за допомогою кутових коефіцієнтів заданих прямих.
У нас є пряма a, яка задана в прямокутній системі координат за допомогою рівняння y \u003d k 1 · x + b 1, і пряма b, задана як y \u003d k 2 · x + b 2. Це рівняння прямих з кутовим коефіцієнтом. Щоб знайти кут перетину, використовуємо формулу:
α \u003d a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, де k 1 і k 2 є кутовими коефіцієнтами заданих прямих. Для отримання цього запису були використані формули визначення кута через координати нормальних векторів.
приклад 4
Є дві пересічні на площині прямі, задані рівняннями y \u003d - 3 5 x + 6 і y \u003d посилання - 1 4 x + 17 4. Обчисліть величину кута перетину.
Рішення
Кутові коефіцієнти наших прямих рівні k 1 \u003d - 3 5 і k 2 \u003d - 1 4. Додамо їх в формулу α \u003d a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 і підрахуємо:
α \u003d a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 \u003d a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 \u003d a r c cos 23 2 34
відповідь: α \u003d a r c cos 23 2 34
У висновках цього пункту слід зазначити, що наведені тут формули знаходження кута не обов'язково вчити напам'ять. Для цього достатньо знати координати напрямних і / або нормальних векторів заданих прямих і вміти визначати їх по різних типах рівнянь. А ось формули для обчислення косинуса кута краще запам'ятати або записати.
Як обчислити кут між пересічними прямими в просторі
Обчислення такого кута можна звести до обчислення координат напрямних векторів і визначення величини кута, утвореного цими векторами. Для таких прикладів використовуються такі ж міркування, які ми приводили до цього.
Припустимо, що у нас є прямокутна система координат, розташована в тривимірному просторі. У ній задані дві прямі a і b з точкою перетину M. Для визначення координат направляючих векторів, нам потрібно знати рівняння цих прямих. Позначимо напрямні вектори a → \u003d (a x, a y, a z) і b → \u003d (b x, b y, b z). Для обчислення косинуса кута між ними скористаємося формулою:
cos α \u003d cos a →, b → ^ \u003d a →, b → a → · b → \u003d a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Для знаходження самого кута нам знадобиться ця формула:
α \u003d a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
приклад 5
У нас є пряма, задана в тривимірному просторі за допомогою рівняння x 1 \u003d y - 3 \u003d z + 3 - 2. Відомо, що вона перетинається з віссю O z. Обчисліть кут перетину і косинус цього кута.
Рішення
Позначимо кут, який треба обчислити, буквою α. Запишемо координати направляючого вектора для першої прямої - a → \u003d (1, - 3, - 2). Для осі аплікат ми можемо взяти координатний вектор k → \u003d (0, 0, 1) в якості направляючого. Ми отримали необхідні дані і можемо додати їх в потрібну формулу:
cos α \u003d cos a →, k → ^ \u003d a →, k → a → · k → \u003d 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2
У підсумку ми отримали, що потрібний нам кут дорівнюватиме a r c cos 1 2 \u003d 45 °.
відповідь: cos α \u003d 1, 2, α \u003d 45 °.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter
На цьому уроці ми дамо визначення сонаправленнимі променів і доведемо теорему про рівність кутів з сонаправленнимі сторонами. Далі дамо визначення кута між пересічними прямими і перехресними прямими. Розглянемо, яким може бути кут між двома прямими. В кінці уроку вирішимо кілька завдань на знаходження кутів між перехресними прямими.
Тема: Паралельність прямих і площин
Урок: Кути з сонаправленнимі сторонами. Кут між двома прямими
Будь-яка пряма, наприклад ГО 1 (Рис. 1.), розсікає площину на дві півплощини. якщо промені ОА і О 1 А 1 паралельні і лежать в одній півплощині, то вони називаються сонаправленнимі.
промені О 2 А 2 і ОА не є сонаправленнимі (Рис. 1.). Вони паралельні, але не лежать в одній півплощині.
Якщо сторони двох кутів сонаправленнимі, то такі кути рівні.
Доведення
Нехай нам дано паралельні промені ОА і О 1 А 1 і паралельні промені ОВ і О 1 В 1 (Рис. 2.). Тобто, ми маємо два кута АОВ і А 1 О 1 В 1, Чиї боку лежать на сонаправленнимі променях. Доведемо, що ці кути рівні.
На стороні променя ОА і О 1 А 1 виберемо точки А і А 1 так, щоб відрізки ОА і О 1 А 1 були рівні. Аналогічно, точки В і В 1 виберемо так, щоб відрізки ОВ і О 1 В 1були рівні.
Розглянемо чотирикутник А 1 О 1 ОА (Рис. 3.) ОА і О 1 А 1 А 1 О 1 ОА А 1 О 1 ОА ГО 1 і АА 1 паралельні і рівні.
Розглянемо чотирикутник В 1 О 1 ОВ. У цьому чотирикутники боку ОВ і О 1 В 1 паралельні і рівні. За ознакою паралелограма, чотирикутник В 1 О 1 ОВ є паралелограма. Так як В 1 О 1 ОВ - паралелограм, то сторони ГО 1 і ВВ 1 паралельні і рівні.
І пряма АА 1 паралельна прямій ГО 1, І пряма ВВ 1 паралельна прямій ГО 1, Значить прямі АА 1 і ВВ 1 паралельні.
Розглянемо чотирикутник В 1 А 1 АВ. У цьому чотирикутники боку АА 1 і ВВ 1 паралельні і рівні. За ознакою паралелограма, чотирикутник В 1 А 1 АВ є паралелограма. Так як В 1 А 1 АВ - паралелограм, то сторони АВ і А 1 В 1 паралельні і рівні.
Розглянемо трикутники АОВ і А 1 О 1 В 1.сторони ОА і О 1 А 1рівні з побудови. сторони ОВ і О 1 В 1є рівними з побудови. А як ми довели, і сторони АВ і А 1 В 1 теж рівні. Значить, трикутники АОВ і А 1 О 1 В 1рівні за трьома сторонами. У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути. Значить, кути АОВ і А 1 О 1 В 1рівні, що й треба було довести.
1) Пересічні прямі.
Якщо прямі перетинаються, то ми маємо чотири різних кута. Кутом між двома прямими, Називається найменший з кутів між двома прямими. Кут між пересічними прямими а і b позначимо α (Рис. 4.). Кут α такий, що.
Мал. 4. Кут між двома пересекающімімся прямими
2) Перехресні прямі
нехай прямі а і b перехресні. Виберемо довільну точку Про. через точку Про проведемо пряму а 1, Паралельну прямий а, І пряму b 1, Паралельну прямий b (Рис. 5.). прямі а 1 і b 1 перетинаються в точці Про. Кут між двома пересічними прямими а 1 і b 1 , Кут φ, і називається кутом між перехресними прямими.
Мал. 5. Кут між двома перехресними прямими
Чи залежить величина кута від обраної точки О? виберемо точку Про 1. через точку Про 1 проведемо пряму а 2, Паралельну прямий а, І пряму b 2, Паралельну прямий b (Рис. 6.). Кут між пересічними прямими а 2 і b 2 позначимо φ 1. тоді кути φ і φ 1 -кути з сонаправленнимі сторонами. Як ми довели, такі кути рівні між собою. Значить, величина кута між перехресними прямими не залежить від вибору точки Про.
прямі ОВ і СD паралельні, ОА і СD схрещуються. Знайдіть кут між прямими ОА і СD, Якщо:
1) ∠АОВ \u003d 40 °.
виберемо точку З. Через неї проходь пряма СD. проведемо СА 1 паралельно ОА (Рис. 7.). тоді кут А 1 СD - кут між перехресними прямими ОА і СD. По теоремі про кути з сонаправленнимі сторонами, кут А 1 СD дорівнює куту АОВ, Тобто 40 °.
Мал. 7. Знайти кут між двома прямими
2) ∠АОВ \u003d 135 °.
Зробимо те ж саме побудова (Рис. 8.). Тоді кут між перехресними прямими ОА і СD дорівнює 45 °, так як він найменший з кутів, які виходять при перетині прямих СD і СА 1.
3) ∠АОВ \u003d 90 °.
Зробимо те ж саме побудова (Рис. 9.). Тоді всі кути, які виходять при перетині прямих СD і СА 1 рівні 90 °. Шуканий кут дорівнює 90 °.
1) Доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника є вершинами паралелограма.
Доведення
Нехай нам дано просторовий чотирикутник ABCD. M,N,K,L - середини ребер BD,AD,AC,BC відповідно (Рис. 10.). Потрібно довести, що MNKL - паралелограм.
Розглянемо трикутник АВD. МN МN паралельна АВ і дорівнює її половині.
Розглянемо трикутник АВС. LК - середня лінія. По властивості середньої лінії, LК паралельна АВ і дорівнює її половині.
І МN, і LК паралельні АВ. значить, МN паралельна LК по теоремі про три паралельних прямих.
Отримуємо, що в чотирикутнику MNKL - сторони МN і LК паралельні і рівні, так як МN і LК рівні половині АВ. Значить, за ознакою паралелограма, чотирикутник MNKL - паралелограм, що й треба було довести.
2) Знайдіть кут між прямими АВ і СD, Якщо кут МNК \u003d 135 °.
Як ми вже довели, МN паралельна прямій АВ. NК - середня лінія трикутника АСD, По властивості, NК паралельна DС. Значить, через точку N проходять дві прямі МN і NК, Які паралельні перехресних прямих АВ і DС відповідно. Значить, кут між прямими МN і NК є кутом між перехресними прямими АВ і DС. Нам дано тупий кут МNК \u003d 135 °. Кут між прямими МN і NК - найменший з кутів, отриманих при перетині цих прямих, тобто 45 °.
Отже, ми розглянули кути з сонаправленнимі сторонами і довели їх рівність. Розглянули кути між пересічними і перехресними прямими і вирішили кілька завдань на знаходження кута між двома прямими. На наступному уроці ми продовжимо рішення задач і повторення теорії.
1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с. : Ил.
2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. - М .: Дрофа, 1999. - 208 с .: іл.
3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх установ з поглибленим і профільним вивченням математики / Е. В. Потоскуев, Л. І. Зваліч. - 6-е видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. : Ил.
В) BC і D 1 В 1.
Мал. 11. Знайти кут між прямими
4. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М .: Мнемозина, 2008. - 288 с .: іл.
Завдання 13, 14, 15 стр. 54
Що складається з двох різних променів, що виходять з однієї точки. Промені зв. сторонами У., а їх загальне початок - вершиною У. Нехай [ ВА),[ ВС) -
боку кута, В - його вершина, - площину, яка визначається сторонами У. Фігура ділить площину на дві фігури Фігура 
i \u003d\u003d l, 2, також зв. У. або плоским кутом, наз. внутрішньою областю плоского У.
Два кута зв. рівними (або конгруентними), якщо вони можуть бути суміщені так, що співпадуть їх відповідні сторони і вершини. Від будь-якого променя на площині в дану сторону від нього можна відкласти єдиний У., рівний даному У. Порівняння У. здійснюється двома способами. Якщо У. розглядається як пара променів із загальним початком, то для з'ясування питання, який із двох У. більше, необхідно поєднати в одній площині вершини У. і одну пару їх сторін (див. Рис. 1). Якщо друга сторона одного У. виявиться розташованої усередині іншого У., то кажуть, що перший У. менше, ніж другий. Другий спосіб порівняння У. заснований на зіставленні кожному У. деякого числа. Так У. буде відповідати однакове градусів або (див. Нижче), більшого У.- більше число, меншому -Менше.
Два У. зв. суміжними, якщо у них загальна вершина і одна сторона, а дві інші сторони утворюють пряму (див. рис. 2). Взагалі, У., що мають загальну вершину і одну спільну сторону, наз. прилеглими. У. зв. вертикальними, якщо сторони одного є продовженнями за вершину сторін іншого У. Вертикальні У. рівні між собою. У., у к-якого боку утворюють пряму, наз. розгорнутим. Половина розгорнутого У. зв. прямим У. Прямий У. можна еквівалентно визначити інакше: У., рівний своєму суміжному, наз. прямим. Внутрішня плоского У., що не перевершує розгорнутого, є опуклою областю на площині. За одиницю виміру У. приймається 90-я частка прямого У., наз. градусом.
Використовується і т. Міра У. Числове значення радіанної заходи У. дорівнює довжині дуги, що висікається сторонами У. з одиничному колі. Один радіан приписується У., відповідному дузі, к-рій дорівнює її радіусу. Розгорнутий У. дорівнює радіан.
При перетині двох прямих, що лежать в одній площині, третьої прямий утворюються В. (див. Рис. 3): 1 і 5, 2 і 6, 4 і 8, З і 7 - наз. відповідними; 2 і 5, 3 і 8 - внутрішніми односторонніми; 1 і 6, 4 і 7 - зовнішніми односторонніми; 3 і 5, 2 і 8 внутрішніми навхрест лежать; 1 і 7, 4 і 6 - зовнішніми навхрест лежать.
У практич. завданнях доцільно розглядати У. як міру повороту фіксованого променя навколо його початку до заданого положення. Залежно від напрямку повороту У. в цьому випадку можна розглядати як позитивні, так і негативні. Тим самим У. в цьому сенсі може мати своєю величиною будь-яке. У. як повороту променя розглядається в теорії трігонометріч. функцій: для будь-яких значень аргументу (У.) можна визначити значення трігонометріч. функцій. Поняття У. в геометричний. системі, в основу к-рій покладена точково-векторна аксіоматика, в корені відрізняється від визначень У. як фігури - в цій аксіоматиці під У. розуміють певну метрич. величину, пов'язану з двома векторами за допомогою операції скалярного множення векторів. Саме, кожна пара векторів ай bопределяет недо-рий кут - число, пов'язане з векторами формулою
де ( a, b) -
скалярний добуток векторів.
Поняття У. як плоскої фігури і як деякої числової величини застосовується в різних геометричних. завданнях, в яких брало У. визначається спеціальним чином. Так, під У. між пересічними кривими, що мають певні дотичні в точці перетину, розуміють У., утворений цими дотичними.
За кут між прямою і площиною приймається У., утворений прямий і її прямокутної проекцією на площину; він вимірюється в межах від 0
Математична енциклопедія. - М .: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.
Синоніми:Дивитися що таке "КУТ" в інших словниках:
вугіллячко - кут / єк / ... Морфемно-орфографічний словник
Чоловік. перелом, злам, коліно, лікоть, виступ або залом (западина) про одну межі. Кут лінійний, всякі дві зустрічні риси і проміжок їх; кут площинний або в площинах, зустріч двох площин або стін; кут товстий, теловой, зустріч в одній ... Тлумачний словник Даля
Кута, про вугілля, на (в) кутку і (мат.) В вугіллі, м. 1. Частина площині між двома прямими лініями, що виходять із однієї точки (мат.). Вершина кута. Сторони кута. Вимірювання кута градусами. Прямий кут. (90 °). Гострий кут. (Менше 90 °). Тупий кут.… … Тлумачний словник Ушакова
КУТ - (1) атаки кут між напрямком повітряного потоку, що набігає на крило літака, і хордою перетину крила. Від цього кута залежить значення підйомної сили. Кут, при якому підйомна сила максимальна, називається критичним кутом атаки. У ... ... Велика політехнічна енциклопедія
- (плоский) геометрична фігура, утворена двома променями (сторонами кута), що виходять з однієї точки (вершини кута). Всякий кут з вершиною в центрі деякої окружності (центральний кут) визначає на окружності дугу АВ, обмежену точками ... ... Великий Енциклопедичний словник
Глава кута, з за рогу, ведмежий кут, непочатий кут, по всіх кутках .. Словник російських синонімів і схожих за змістом висловів. під. ред. Н. Абрамова, М .: Російські словники, 1999. кут вершина, кутова точка; пеленг, притулок, дев'ятину, румба, ... ... Словник синонімів
кут - кут, рід. кута; пропоз. про вугілля, в (на) кутку і в мові математиків у вугіллі; мн. кути, рід. кутів. В прийменникових і стійких поєднаннях: за кут і допустимо за кут (зайти, загорнути і т. П.), З кута на кут (рухатися, розташовуватися і т. П.), Кут ... ... Словник труднощів вимови і наголоси в сучасній російській мові
КУТ, кута, про вугілля, на (в) кутку, чоловік. 1. (у вугіллі.). В геометрії: плоска фігура, утворена двома променями (в 3 знач.), Що виходять із однієї точки. Вершина кута. Прямий у. (90 °). Гострий у. (Менше 90 °). Тупий у. (Більше 90 °). Зовнішні та внутрішні ... ... Тлумачний словник Ожегова
кут - КУТ, угла, м. Чверть ставки, при оголошенні якої загинається край карти. ◘ Туз і дама пік з кутом // Убито. А.І.Полежаев. День в Москві, 1832. ◘ Після обіду розсипає він червінці на стіл, тасує карти; понтёри тріщать колодами, ... ... Карткова термінологія і жаргон XIX століття
