Фізика рух тіла по похилій площині. Приклади розв'язання і завдання

Нехай невелике тіло знаходиться на похилій площині з кутом нахилу a (рис. 14.3, а). З'ясуємо: 1) чому дорівнює сила тертя, якщо тіло ковзає по похилій площині; 2) чому дорівнює сила тертя, якщо тіло лежить нерухомо; 3) при якому мінімальному значенні кута нахилу a тіло починає зісковзувати з похилій площині.

а) б)

Сила тертя буде перешкоджати руху, отже, вона буде спрямована вгору по похилій площині (рис. 14.3, б). Крім сили тертя, на тіло діють ще сила тяжіння і сила нормальної реакції. Введемо систему координат ХОУ, Як показано на малюнку, і знайдемо проекції всіх зазначених сил на координатні осі:

Х: F тр Х = –F тр, N X = 0, mg X \u003d mgsina;

Y: F тр Y = 0, N Y \u003d N, mg Y \u003d -mgcosa.

Оскільки прискорюватися тіло може тільки по похилій площині, тобто вздовж осі X, То очевидно, що проекція вектора прискорення на вісь Y завжди буде дорівнює нулю: а Y \u003d 0, а значить, сума проекцій всіх сил на вісь Y також повинна дорівнювати нулю:

F тр Y + N Y + mg Y\u003d 0 Þ 0 + N - mgcosa \u003d 0 Þ

N \u003d mgcosa. (14.4)

Тоді сила тертя ковзання відповідно до формули (14.3) дорівнює:

F тр.ск \u003d m N \u003d m mgcosa. (14.5)

якщо тіло спочиває, То сума проекцій всіх сил, що діють на тіло, на вісь Х повинна дорівнювати нулю:

F тр Х + N Х + mg Х= 0 Þ – F тр + 0 + mgsina \u003d 0 Þ

F тр.п \u003d mgsina. (14.6)

Якщо ми будемо поступово збільшувати кут нахилу, то величина mgsina буде поступово збільшуватися, а значить, буде збільшуватися і сила тертя спокою, яка завжди «автоматично підлаштовується» під зовнішній вплив і компенсує його.

Але, як ми знаємо, «можливості» сили тертя спокою не безмежні. При якомусь куті a 0 весь «ресурс» сили тертя спокою буде вичерпано: вона досягне свого максимального значення, рівного силі тертя ковзання. Тоді буде справедливо рівність:

F тр.ск \u003d mgsina 0.

Підставивши в цю рівність значення F тр.ск з формули (14.5), отримаємо: m mgcosa 0 \u003d mgsina 0.

Розділивши обидві частини останнього рівності на mgcosa 0, отримаємо:

Þ a 0 \u003d arctgm.

Отже, кут a, при якому починається ковзання тіла по похилій площині, задається формулою:

a 0 \u003d arctgm. (14.7)

Зауважимо, що якщо a \u003d a 0, то тіло може або лежати нерухомо (якщо до нього не торкатися), або ковзати з постійною швидкістю вниз по похилій площині (якщо його трохи штовхнути). якщо a< a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a > a 0, то тіло буде зісковзувати з похилій площині з прискоренням і без жодних поштовхів.

Завдання 14.1. Людина везе двоє пов'язаних між собою саней (рис. 14.4, а), Прикладаючи силу F під кутом a до горизонту. Маси саней однакові і рівні т. Коефіцієнт тертя полозів по снігу m. Знайти прискорення саней і силу натягу Т мотузки між саньми, а також силу F 1, з якої повинен тягнути мотузку людина для того, щоб сани рухалися рівномірно.

F a m m	а)	б) Мал. 14.4
а = ? Т = ? F 1 = ?

Рішення. Запишемо другий закон Ньютона для кожних саней в проекціях на осі х і у (Рис. 14.4, б):

I у: N 1 + Fsina - mg = 0, (1)

x: Fcosa - T - m N 1 = ma; (2)

II у: N 2 – mg = 0, (3)

x: T - m N 2 = ma. (4)

З (1) знаходимо N 1 = mg - Fsina, з (3) і (4) знаходимо Т \u003dm mg + + ma. Підставляючи ці значення N 1 і Т в (2), отримуємо

підставляючи а в (4), отримуємо

T \u003d m N 2 + ma\u003d m mg + та =

M mg + т .

Щоб знайти F 1, прирівняємо вираз для а до нуля:

відповідь: ; ;

СТОП! Вирішіть самостійно: В1, В6, С3.

Завдання 14.2. Два тіла масами т і М пов'язані ниткою, як показано на рис. 14.5, а. З яким прискоренням рухається тіло М, Якщо коефіцієнт тертя об поверхню столу m. Яке натяг нитки Т? Яка сила тиску на вісь блоку?

т М m	Рішення. Запишемо другий закон Ньютона в проекціях на осі х 1 і х 2 (рис. 14.5, б), враховуючи що : х 1: Т - m Mg = ма, (1) х 2: mg - T \u003d ma. (2) Вирішуючи систему рівнянь (1) і (2), знаходимо:
а = ? Т = ? R = ?

Якщо вантаж не рухаються, то.

відповідь: 1) якщо т < mМ, то а = 0, Т = mg,; 2) якщо т ³ m М, То, , .

СТОП! Вирішіть самостійно: В9-В11, С5.

Завдання 15.3. Два тіла масами т 1 і т 2 пов'язані ниткою, перекинутою через блок (рис. 14.6). тіло т 1 знаходиться на похилій площині з кутом нахилу a. Коефіцієнт тертя об площину m. тіло масою т 2 висить на нитці. Знайти прискорення тіл, силу натягу нитки і силу тиску блоку на вісь за умови, коли т 2 < т 1. Вважати tga\u003e m.

Мал. 14.7

Запишемо другий закон Ньютона в проекціях на осі х 1 і х 2, з огляду на, що і:

х 1: т 1 gsina - Т - m m 1 g cosa \u003d m 1 a,

х 2: T - m 2 g \u003d m 2 a.

, .

Так як а \u003e 0, то

Якщо нерівність (1) не виконується, то вантаж т 2 точно не рухається вгору! Тоді можливі ще два варіанти: 1) система нерухома; 2) вантаж т 2 рухається вниз (а вантаж т 1, відповідно, вгору).

Припустимо, що вантаж т 2 рухається вниз (рис. 14.8).

Мал. 14.8

Тоді рівняння другого закону Ньютона на осі х 1 і х 2 матимуть вигляд:

х 1: Т - т 1 gsina – m m 1 gcosa \u003d m 1 a,

х 2: m 2 g - Т \u003d m 2 a.

Вирішуючи цю систему рівнянь, знаходимо:

, .

Так як а \u003e 0, то

Отже, якщо виконується нерівність (1), то вантаж т 2 їде вгору, а якщо виконується нерівність (2), то - вниз. Отже, якщо не виконується жодна з цих умов, тобто

система нерухома.

Залишилося знайти силу тиску на вісь блоку (рис. 14.9). Силу тиску на вісь блоку R в даному випадку можна знайти як діагональ ромба АВСD. Так як

Ð ADC \u003d 180 ° - 2,

де b \u003d 90 ° - a, то по теоремі косинусів

R 2 = .

Звідси .

відповідь:

1) якщо , то , ;

2) якщо , то , ;

3) якщо , то а = 0; Т = т 2 g.

У всіх випадках .

СТОП! Вирішіть самостійно: В13, В15.

Завдання 14.4. На візок масою М діє горизонтальна сила F (Рис. 14.10, а). Коефіцієнт тертя між вантажем т і візком дорівнює m. Визначити прискорення вантажів. Якою має бути мінімальна сила F 0, щоб вантаж т почав ковзати по візку?

M, т F m	а)	б) Мал. 14.10
а 1 = ? а 2 = ? F 0 = ?

Рішення. Спочатку зауважимо, що сила, яка веде вантаж т в рух, - це сила тертя спокою, з якої візок діє на вантаж. Максимально можливе значення цієї сили дорівнює m mg.

За третім законом Ньютона вантаж діє на візок з такою ж по величині силою - (рис. 14.10, б). Прослизання починається в той момент, коли вже досягла свого максимального значення, але система ще рухається як одне тіло масою т+М з прискоренням. Тоді за другим законом Ньютона

Проектування сил. Рух по похилій площині

Завдання по динаміці.

I і II закон Ньютона.

Введення і напрямок осей.

Неколінеарна сили.

Проектування сил на осі.

Рішення систем рівнянь.

Самі типові завдання по динаміці

Почнемо з I і II законів Ньютона.

Відкриємо підручник фізики і прочитаємо. I закон Ньютона: існують такі інерційні системи відліку в яких ...Закриємо такий підручник, я теж не розумію. Гаразд жартую, розумію, але поясню простіше.

I закон Ньютона: якщо тіло стоїть на місці або рухається рівномірно (без прискорення), сума діючих на нього сил дорівнює нулю.

Висновок: Якщо тіло рухається з постійною швидкістю або стоїть на місці векторна сума сил буде нуль.

II закон Ньютона: якщо тіло рухається рівноприскореному або равнозамедленно (з прискоренням), сума сил, що діють на нього, дорівнює добутку маси на прискорення.

Висновок: Якщо тіло рухається зі змінною швидкістю, то векторна сума сил, які якось впливають на це тіло (сила тяги, сила тертя, сила опору повітря), дорівнює масі цього тіло помножити на прискорення.

При цьому один і той же тіло найчастіше рухається по-різному (рівномірно або з прискоренням) в різних осях. Розглянемо саме такий приклад.

Завдання 1. Визначте коефіцієнт тертя шин автомобіля масою 600 кг, якщо сила тяги двигуна 4500 Н викликає прискорення 5 м / с?.

Обов'язково в таких завданнях робити малюнок, і показувати сили, які дії який на машину:

На Вісь Х: рух з прискоренням

На Вісь Y: немає руху (тут координата, як була нуль так і залишиться, машина не піднімає в гори або спускається вниз)

Ті сили, напрямок яких збігається з напрямком осей, будуть з плюсом, в протилежному випадку - з мінусом.

По осі X: сила тяги спрямована вправо, так само як і вісь X, прискорення так само направлено вправо.

Fтр \u003d μN, де N - сила реакції опори. На осі Y: N \u003d mg, тоді в цьому завданню Fтр \u003d μmg.

Отримуємо, що:

Коефіцієнт тертя - безрозмірна величина. Отже, одиниць виміру немає.

Відповідь: 0,25

Завдання 2. Вантаж масою 5 кг, прив'язаний до невагомою нерастяжимой нитки, піднімають вгору з прискоренням 3м / с?. Визначте силу натягу нитки.

Зробимо малюнок, покажемо сили, які дії який на вантаж

T - сила натягу нитки

На вісь X: немає сил

Розберемося з напрямком сил на вісь Y:

Висловимо T (силу натягу) і підставимо числівники значення:

Відповідь: 65 Н

Найголовніше не заплутатися з напрямком сил (по осі або проти), все інше зробить калькулятор або всіма улюблений стовпчик.

Далеко не завжди все сили, що діють на тіло, спрямовані вздовж осей.

Простий приклад: хлопчик тягне санки

Якщо ми так само побудуємо осі X і Y, то сила натягу (тяги) не лежатиме на жодній з осей.

Щоб спроектувати силу тяги на осі, згадаємо прямокутний трикутник.

Відношення протилежного катета до гіпотенузи - це синус.

Відношення прилеглого катета до гіпотенузи - це косинус.

Сила тяги на вісь Y - відрізок (вектор) BC.

Сила тяги на вісь X - відрізок (вектор) AC.

Якщо це незрозуміло, подивіться завдання №4.

Чим довше буде верека і, відповідно, менше кут α, тим простіше буде тягнути санки. Ідеальний варіант, коли мотузка паралельна землі, Адже сила, яка діють на вісь X- це Fнcosα. При якому куті косинус максимальний? Чим більше буде цей катет, тим сильніше горизонтальна сила.

Завдання 3. Брусок підвішений на двох нитках. Сила натягу першої становить 34 Н, другий- 21Н, θ1 \u003d 45 °, θ2 \u003d 60 °. Знайдіть масу бруска.

Введемо осі і спроеціруем сили:

Отримуємо два прямокутних трикутника. Гіпотенузи AB і KL - сили натягу. LM і BC - проекції на вісь X, AC і KM - на вісь Y.

Відповідь: 4,22 кг

Завдання 4. Брусок масою 5 кг (маса в цьому завданні не потрібна, але, щоб в рівняннях все було відомо, візьмемо конкретне значення) зісковзує з площини, яка нахилена під кутом 45 °, з коефіцієнтом тертя μ \u003d 0,1. Знайдіть прискорення руху бруска?

Коли ж є похила площина, осі (X і Y) найкраще направити у напрямку руху тіла. Деякі сили в даному випадку (тут це mg) ні лежати ні на одній з осей. Цю силу потрібно спроектувати, щоб вона мала такий же напрямок, як і взяті осі.
Завжди ΔABC подібний ΔKOM в таких завданнях (за прямим кутом і куту нахилу площини).

Розглянемо детальніше ΔKOM:

Отримаємо, що KO лежить на осі Y, і проекція mg на вісь Y буде з косинусом. А вектор MK коллінеарен (паралельний) осі X, проекція mg на вісь X буде з синусом, і вектор МК спрямований проти осі X (тобто буде з мінусом).

Не забуваємо, що, якщо напрямку осі і сили не збігаються, її потрібно взяти з мінусом!

З осі Y висловлюємо N і підставляємо в рівняння осі X, знаходимо прискорення:

Відповідь: 6,36 м / с ²

Як видно, масу в чисельнику можна винести за дужки і скоротити зі знаменаталем. Тоді знати її не обов'язково, отримати відповідь реально і без неї.
Так Так,в ідеальних умовах (коли немає сили опору повітря і т.п.), що перо, що гиря скотяться (впадуть) за одне і теж час.

Завдання 5. Автобус з'їжджає з гірки під ухилом 60 ° з прискоренням 8 м / с? І з силою тяги 8 кН. Коефіцієнт тертя шин об асфальт дорівнює 0,4. Знайдіть масу автобуса.

Зробимо малюнок з силами:

Введемо осі X і Y. Спроектуємо mg на осі:

Запишемо другий закон Ньютона на X і Y:

Відповідь: 6000 кг

Завдання 6. Поїзд рухається по заокругленню радіуса 800 м зі швидкістю 72 км / ч. Визначити, на скільки зовнішній рейок повинен бути вище внутрішнього. Відстань між рейками 1,5 м.

Найскладніше - зрозуміти, які сили куди діють, і як кут впливає на них.

Згадай, коли їдеш по колу на машині або в автобусі, куди тебе виштовхує? Для цього і потрібен нахил, щоб поїзд не впав набік!

кут α задає відношення різниці висоти рейок до відстані між ними (якби рейки перебували горизонтально)

Запишемо які сили діють на осі:

Прискорення в даній задачі доцентрове!

Поділимо одне рівняння на інше:

Тангенс - це відношення протилежного катета до прилеглого:

Відповідь: 7,5 см

Як ми з'ясували, рішення подібних завдань зводиться до розстановці напрямків сил, проецированию їх на осі і до вирішення систем рівнянь, майже суща дрібниця.

Як закріплення матеріалу вирішите декілька схожих завдань з підказками і відповідями.

Букіна Марина, 9 В

Рух тіла по похилій площині

з переходом на горизонтальну

В якості досліджуваного тіла я взяла монету номіналом 10 рублів (межі ребристі).

Технічні характеристики:

Діаметр монети - 27,0 мм;

Маса монети - 8,7 г;

Товщина - 4 мм;

Монету виготовлено зі сплаву латунь-мельхіор.

За похилу площину я вирішила прийняти книгу довжиною 27 см. Вона і буде похилою площиною. Горизонтальна ж площину необмежена, т. К. Циліндричне тіло, а в подальшому монета, скочуючись з книги, буде продовжувати свій рух на підлозі (паркетна дошка). Книга піднята на висоту 12 см від підлоги; кут між вертикальною площиною і горизонтальною дорівнює 22 градусам.

В якості додаткового обладнання для вимірювань були взяті: секундомір, лінійка звичайна, довга нитка, транспортир, калькулятор.

На Рис.1. схематичне зображення монети на похилій площині.

Виконаємо пуск монети.

Отримані результати занесемо в таблицю 1

вид площині
похила площину


горизонтальна площину


* 0,27 м величина постійна tобщ \u003d 90,04

Таблиця 1

Траєкторія руху монети в усіх дослідах була різна, але деякі частини траєкторії були схожі. По похилій площині монета рухалася прямолінійно, а при русі на горизонтальній площині - криволинейно.

На рисунку 2 зображено сили, що діють на монету під час її руху по похилій площині:

За допомогою II Закону Ньютона виведемо формулу для знаходження прискорення монети (по Рис.2.):

Для початку, запишемо формулу II Закону Ньютона у векторному вигляді.

Де - прискорення, з яким рухається тіло, - рівнодіюча сила (сили, що діють на тіло), https://pandia.ru/text/78/519/images/image008_3.gif "width \u003d" 164 "height \u003d" 53 " \u003e, на наше тіло під час руху діють три сили: сила тяжіння (Fтяж), сила тертя (Fтр) і сила реакції опори (N);

Позбудемося векторів, за допомогою проектування на осі X і Y:

Де - коефіцієнт тертя

Т. к. У нас немає даних про числовому значенні коефіцієнта тертя монети про нашу площину, скористаємося іншою формулою:

Де S - шлях, пройдений тілом, V0- початкова швидкість тіла, а - прискорення, з яким рухалося тіло, t - проміжок часу руху тіла.

т. к. ,

в ході математичних перетворень отримуємо наступну формулу:

При проектуванні цих сил на вісь Х (Рис.2.) Видно, що напрями векторів шляху і прискорення збігаються, запишемо отриману форму, позбувшись від векторів:

За S і t приймемо середні значення з таблиці, знайдемо прискорення і швидкість (по похилій площині тіло рухалося прямолінійно равноускоренно).

https://pandia.ru/text/78/519/images/image021_1.gif "align \u003d" left "width \u003d" 144 "height \u003d" 21 "\u003e

Аналогічно знайдемо прискорення тіла на горизонтальній площині (по горизонтальній площині тіло рухалося прямолінійно равнозамедленно)

R \u003d 1, 35 см, де R - радіус монети

де - кутова швидкість, -центростремітельное прискорення, - частота звернення тіла по колу

Рух тіла по похилій площині з переходом на горизонтальну - прямолінійний рівноприскореному, складне, яке можна розділити на обертальний і поступальний руху.

Рух тіла на похилій площині є прямолінійним рівноприскореному.

За II Закону Ньютона видно, що прискорення залежить тільки від рівнодіючої сили (R), а вона на протязі всього шляху по похилій площині залишається величиною постійною, т. К. В кінцевій формулі, після проектування II Закону Ньютона, величини, що задіяні у формулі є постійними https://pandia.ru/text/78/519/images/image029_1.gif "width \u003d" 15 "height \u003d" 17 "\u003e повороту з деякого початкового положення.

Поступальним називається такий рух абсолютно твердого тіла, при якому будь-яка пряма, жорстко пов'язана з тілом, переміщається, залишаючись паралельною самій собі. Всі точки тіла, що рухається поступально, в кожен момент часу мають однакові швидкості і прискорення, а їх траєкторії повністю поєднуються при паралельному перенесенні.

Фактори, що впливають на час руху тіла

по похилій площині

з переходом на горизонтальну

Залежність часу від монет різного номіналу (тобто. Е. Мають різний d (діаметр)).

гідність монети	d монети, см	tср, з

Таблиця 2

Чим більше діаметр монети, тим більше час її руху.

Залежність часу від кута нахилу

	Кут нахилу		tср, з

Таблиця 3

На поверхні Землі сила тяжіння (гравітація) Постійна і дорівнює добутку маси падаючого тіла на прискорення вільного падіння: F g \u003d mg

Слід зауважити, що прискорення вільного падіння величина постійна: g \u003d 9,8 м / с 2, і спрямована до центру Землі. Виходячи з цього можна сказати, що тіла з різною масою будуть падати на Землю однаково швидко. Як же так? Якщо кинути з однакової висоти шматочок вати і цегла, то останній зробить свій шлях до землі швидше. Не забувайте про опір повітря! Для вати воно буде істотним, оскільки її щільність дуже мала. У безповітряному просторі цегла і вата впадуть одночасно.

Куля рухається по похилій площині довжиною 10 метрів, кут нахилу площини 30 °. Яка буде швидкість кулі в кінці площині?

На кулю діє тільки сила тяжіння F g, спрямована вниз перпендикулярно до основи площині. Під дією цієї сили (складової, спрямованої уздовж поверхні площини) куля буде рухатися. Чому буде дорівнювати складова сили тяжіння, що діє уздовж похилій площині?

Для визначення складової необхідно знати кут між вектором сили F g і похилою площиною.

Визначити кут досить просто:

сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °;
кут між вектором сили F g і підставою похилій площині дорівнює 90 °;
кут між похилою площиною і її підставою дорівнює α

Виходячи з вищесказаного, шуканий кут дорівнюватиме: 180 ° - 90 ° - α \u003d 90 ° - α

З тригонометрії:

F g накл \u003d F g · cos (90 ° -α)

Sinα \u003d cos (90 ° -α)

F g накл \u003d F g · sinα

Це дійсно так:

при α \u003d 90 ° (вертикальна площина) F g накл \u003d F g
при α \u003d 0 ° (горизонтальна площина) F g накл \u003d 0

Визначимо прискорення кулі з відомої формули:

F g · sinα \u003d m · a

A \u003d F g · sinα / m

A \u003d m · g · sinα / m \u003d g · sinα

Прискорення кулі вздовж похилій площині не залежить від маси кулі, а тільки від кута нахилу площини.

Визначаємо швидкість кулі в кінці площині:

V 1 2 - V 0 2 \u003d 2 · a · s

(V 0 \u003d 0) - куля починає рух з місця

V 1 2 \u003d √2 · a · s

V \u003d 2 · g · sinα · S \u003d √2 · 9,8 · 0,5 · 10 \u003d √98 \u003d 10 м / с

Зверніть увагу на формулу! Швидкість тіла в кінці похилій площині буде залежати тільки від кута нахилу площини і її довжини.

У нашому випадку швидкість 10 м / с в кінці площині буде мати і більярдна куля, і легковий автомобіль, і самоскид, і школяр на санках. Звичайно ж, тертя ми не враховуємо.

У нашому випадку F н \u003d m · g, Тому що поверхню горизонтальна. Але, нормальна сила по величині не завжди збігається з силою тяжіння.

Нормальна сила - сила взаємодії поверхонь дотичних тіл, чим вона більша - тим сильніше тертя.

Нормальна сила і сила тертя пропорційні один одному:

F тр \u003d μF н

0 < μ < 1 - коефіцієнт тертя, який характеризує шорсткість поверхонь.

При μ \u003d 0 тертя відсутнє (ідеалізований випадок)

При μ \u003d 1 максимальна сила тертя, дорівнює нормальній силі.

Сила тертя не залежить від площі зіткнення двох поверхонь (якщо їх маси не змінюються).

Зверніть увагу: рівняння F тр \u003d μF н не є співвідношенням між векторами, оскільки вони спрямовані в різні боки: нормальна сила перпендикулярна поверхні, а сила тертя - паралельна.

1. Різновиди тертя

Тертя буває двох видів: статичне і кінетичне.

статична тертя (тертя спокою) Діє між дотичними тілами, що знаходяться в спокої один щодо одного. Статична тертя проявляється на мікроскопічному рівні.

кінетичне тертя (тертя ковзання) Діє між дотичними і рухаються один щодо одного тілами. Кінетичне тертя проявляється на макроскопічному рівні.

Статична тертя більше кінетичного для одних і тих же тіл, або коефіцієнт тертя спокою більше коефіцієнт тертя ковзання.

Напевно вам це відомо з особистого досвіду: шафа дуже важко зрушити з місця, але підтримувати рух шафи набагато легше. Це пояснюється тим, що при русі поверхні тіл "не встигають" перейти на зіткнення на мікроскопічному рівні.

Завдання №1: яка сила буде потрібно для підняття кулі масою 1 кг по похилій площині, розташованої під кутом α \u003d 30 ° до горизонту. Коефіцієнт тертя μ \u003d 0,1

Обчислюємо складову сили тяжіння. Для початку нам треба дізнатися кут між похилою площиною і вектором сили тяжіння. Подібну процедуру ми вже робили, розглядаючи гравітацію. Але, повторення - мати навчання :)

Сила тяжіння спрямована вертикально вниз. Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °. Розглянемо трикутник, утворений трьома силами: вектором сили тяжіння; похилою площиною; підставою площині (на малюнку він виділений червоним кольором).

Кут між вектором сили тяжіння і підставою площину дорівнює 90 °.
Кут між похилою площиною і її підставою дорівнює α

Тому, що залишився кут - кут між похилою площиною і вектором сили тяжіння:

180 ° - 90 ° - α \u003d 90 ° - α

Складові сили тяжіння вздовж похилій площині:

F g накл \u003d F g cos (90 ° - α) \u003d mgsinα

Необхідна сила для підняття кулі:

F \u003d F g накл + F тертя \u003d mgsinα + F тертя

Необхідно визначити силу тертя F тр. З урахуванням коефіцієнта тертя спокою:

F тертя \u003d μF норм

Обчислюємо нормальну силу F норм, Яка дорівнює складової сили тяжіння, перпендикулярно спрямованої до похилій площині. Ми вже знаємо, що кут між вектором сили тяжіння і похилою площиною дорівнює 90 ° - α.

F норм \u003d mgsin (90 ° - α) \u003d mgcosα
F \u003d mgsinα + μmgcosα

F \u003d 1 · 9,8 · sin30 ° + 0,1 · 1 · 9,8 · cos30 ° \u003d 4,9 + 0,85 \u003d 5,75 Н

Нам буде потрібно до кулі прикласти силу в 5,75 Н для того, щоб закотити його на вершину похилій площині.

Завдання №2: визначити як далеко прокотиться куля масою m \u003d 1 кг по горизонтальній площині, скотившись по похилій площині довжиною 10 метрів при коефіцієнті тертя ковзання μ \u003d 0,05

Сили, що діють на скочується куля, наведені на малюнку.

Складова сили тяжіння вздовж похилій площині:

F g cos (90 ° - α) \u003d mgsinα

Нормальна сила:

F н \u003d mgsin (90 ° - α) \u003d mgcos (90 ° - α)

Сила тертя ковзання:

F тертя \u003d μF н \u003d μmgsin (90 ° - α) \u003d μmgcosα

Результуюча сила:

F \u003d F g - F тертя \u003d mgsinα - μmgcosα

F \u003d 1 · 9,8 · sin30 ° - 0,05 · 1 · 9,8 · 0,87 \u003d 4,5 Н

F \u003d ma; a \u003d F / m \u003d 4,5 / 1 \u003d 4,5 м / с 2

Визначаємо швидкість кулі в кінці похилій площині:

V 2 \u003d 2as; V \u003d 2as \u003d 2 · 4,5 · 10 \u003d 9,5 м / с

Куля закінчує рух по похилій площині і починає рух по горизонтальній прямій з швидкістю 9,5 м / с. Тепер в горизонтальному напрямку на кулю діє тільки сила тертя, а складова сили тяжіння дорівнює нулю.

Сумарна сила:

F \u003d μF н \u003d μF g \u003d μmg \u003d 0,05 · 1 · 9,8 \u003d -0,49 Н

Знак мінус означає, що сила спрямована в протилежний бік від руху. Визначаємо прискорення уповільнення кулі:

a \u003d F / m \u003d -0,49 / 1 \u003d -0,49 м / с 2

Гальмівний шлях кулі:

V 1 2 - V 0 2 \u003d 2as; s \u003d (V 1 2 - V 0 2) / 2a

Оскільки ми визначаємо шлях кулі до повної зупинки, то V 1 \u003d 0:

s \u003d (-V 0 2) / 2a \u003d (-9,5 2) / 2 · (-0,49) \u003d 92 м

Наш кулька прокотився по прямій цілих 92 метри!