Які є способи розкладання на множники. Складні випадки розкладання многочленів на множники
Це один з найбільш елементарних способів спростити вираз. Для застосування цього методу давай згадаємо розподільний закон множення відносно додавання (не лякайтеся цих слів, ти обов'язково знаєш цей закон, просто міг забути його назву).
Закон говорить: щоб суму двох чисел помножити на третє число, потрібно кожний доданок помножити на це число і отримані результати скласти, інакше кажучи,.
Так само можна зробити і зворотну операцію, ось саме ця зворотна операція нас і цікавить. Як видно з зразка, загальний множник а, можна винести за дужки.
Подібну операцію можна проробляти як зі змінними, такими як і, наприклад, так і з числами:.
Так, це занадто елементарний приклад, так само, як і наведений раніше приклад, з розкладанням числа, адже всі знають, що числа, і діляться на, а як бути, якщо вам дісталося вираз складніше:
Як дізнатися на що, наприклад, ділиться число, неет, з калькулятором-то будь-хто зможе, а без нього слабо? А для цього існують ознаки подільності, ці ознаки дійсно варто знати, вони допоможуть швидко зрозуміти, чи можна винести за дужки загальний множник.
ознаки подільності
Запам'ятати їх не так складно, швидше за все, більшість з них і так тобі були знайомі, а щось буде новим корисним відкриттям, докладніше в таблиці:
Примітка: У таблиці не вистачає ознаки подільності на 4. Якщо дві останні цифри діляться на 4, то і все число ділиться на 4.
Ну як тобі табличка? Раджу її запам'ятати!
Що ж, повернемося до вираження, може винести за дужки та й вистачить з нього? Ні, у математиків прийнято спрощувати, так по повній, виносити ВСЕ що виноситься!
І так, з Ігрек все зрозуміло, а що з числовою частиною вираження? Обидва числа непарні, так що на розділити не вдасться,
Можна скористатися ознакою подільності на, сума цифр, і, з яких складається число, дорівнює, а ділиться на, значить і ділиться на.
Знаючи це, можна сміливо ділити в стовпчик, в результаті поділу на отримуємо (ознаки подільності в нагоді!). Таким чином, число ми можемо винести за дужки, так само, як y і в результаті маємо:
Щоб упевнитися, що розклали все вірно, можна перевірити розклад, множенням!
Також загальний множник можна виносити і в статечних виразах. Ось тут, наприклад, бачиш загальний множник?
У всіх членів цього виразу є ікси - виносимо, все діляться на - знову виносимо, дивимося що вийшло:.
2. Формули скороченого множення
Формули скороченого множення вже згадувалися в теорії, якщо ти насилу пам'ятаєш що це, то тобі варто освіжити їх у пам'яті.
Ну, а якщо ти вважаєш себе дуже розумним і тобі лінь читати таку хмару інформації, то просто читай далі, глянь на формули і відразу берися за приклади.
Суть цього розкладання в тому, що б помітити в наявному перед тобою вираженні якусь певну формулу, застосувати її і отримати, таким чином, твір чогось і чогось, ось і все розкладання. Далі наведені формули:
А тепер спробуй, розклади на множники такі вирази, використовуючи наведені вище формули:
А ось що повинно було статися:
Як ти встиг помітити, ці формули - дуже дієвий спосіб розкладання на множники, він підходить не завжди, але може дуже стати в нагоді!
3. Угруповання або метод угруповання
А ось тобі ще прімерчік:
ну і що з ним робити будеш? Начебто і на щось ділиться і на, а щось на і на
Але все разом на щось одне не даси, ну немає тут загального множника, Як не шукай, що, так і залишити, чи не розкладаючи на множники?
Тут треба кмітливість проявити, а ім'я цієї кмітливості - угруповання!
Застосовується вона як раз, коли загальні дільники є не у всіх членів. Для угруповання необхідно знайти групки доданків, що мають спільні дільники і переставити їх так, щоб з кожної групи можна було отримати один і той же множник.
Переставляти місцями звичайно не обов'язково, але це дає наочність, для наочності же можна взяти окремі частини вираження в дужки, їх ставити не забороняється скільки завгодно, головне зі знаками не наплутав.
Не дуже зрозуміло все це? Поясню на прикладі:
У многочлене - ставимо член - після члена - отримуємо
групуємо перші два члена разом в окремій скобці і так само групуємо третій і четвертий члени, винісши за дужки знак «мінус», отримуємо:
А тепер дивимося окремо на кожну з двох "купок", на які ми розбили вираз дужками.
Хитрість в тому, щоб розбити на такі купки, з яких можна буде винести максимально великий множник, або, як у цьому прикладі, постаратися згрупувати члени так, щоб після винесення з купок множників за дужку у нас всередині дужок залишалися однакові вирази.
З обох дужок виносимо за дужки загальні множники членів, з першої дужки, а з другої, отримуємо:
Але це ж не розкладання!
Пвіслюку розкладання має залишитися тільки множення, А поки у нас многочлен просто поділений на дві частини ...
АЛЕ! Цей многочлен має загальний множник. це
за дужку і отримуємо фінальне твір
Бінго! Як бачиш, тут вже твір і поза дужками немає ні складання, ні віднімання, розкладання завершено, тому що винести за дужки нам більше нічого.
Може здатися дивом, що після винесення множників за дужки у нас в дужках залишилися однакові вирази, які знову ж таки ми і винесли за дужки.
І зовсім це не диво, справа в тому, що приклади в підручниках і в ЄДІ спеціально зроблені так, що більшість виразів в завданнях на спрощення або розкладання на множники при правильному до них підході легко спрощуються і різко схлопиваются як парасольку при натисканні на кнопку, ось і шукай в кожному вираженні ту саму кнопку.
Щось я відволікся, що у нас там з спрощенням? Хитромудрий многочлен прийняв більш простий вигляд:.
Погодься, вже не такий громіздкий, як був?
4. Виділення повного квадрата.
Іноді для застосування формул скороченого множення (повтори тему) необхідно перетворити наявний многочлен, представивши одне з його складових у вигляді суми або різниці двох членів.
В якому випадку доводиться це робити, дізнаєшся з прикладу:
Многочлен в такому вигляді не може бути розкладений за допомогою формул скороченого множення, тому його необхідно перетворити. Можливо, спочатку тобі буде не очевидно який член на які розбивати, але з часом ти навчишся відразу бачити формули скороченого множення, навіть якщо вони не присутні не цілком, і будете досить швидко визначати, чого тут не вистачає до повної формули, а поки - учись , студент, точніше школяр.
Для повної формули квадрата різниці тут потрібно замість. Уявімо третій член як різниця, отримаємо: До висловом в дужках можна застосувати формулу квадрата різниці (Не плутати з різницею квадратів !!!), Маємо:, до цього виразу можна застосувати формулу різниці квадратів (Не плутати з квадратом різниці !!!), Уявивши, як, отримаємо:.
Не завжди розкладене на множники вираз виглядає простіше і менше, ніж було до розкладання, але в такому вигляді воно стає більш рухливим, в тому плані, що можна не паритися про зміну знаків та іншу математичну дурницю. Ну а ось тобі для самостійного рішення, такі вирази потрібно розкласти на множники.
приклади:
відповіді:
5. Розкладання квадратного тричлена на множники
Про розкладання квадратного тричлена на множники дивись далі в прикладах розкладання.
Приклади 5 методів розкладання многочлена на множники
1. Винесення спільного множника за дужки. Приклади.
Пам'ятаєш, що таке розподільний закон? Це таке правило:
приклад:
Розкласти многочлен на множники.
Рішення:
Ще приклад:
Розклади на множники.
Рішення:
Якщо доданок цілком виноситься за дужки, в дужках замість нього залишається одиниця!
2. Формули скороченого множення. Приклади.
Найчастіше використовуємо формули різницю квадратів, різниця кубів і сума кубів. Пам'ятаєш ці формули? Якщо немає, терміново повтори тему!
приклад:
Розкладіть на множники вираз.
Рішення:
У цьому виразі нескладно дізнатися різницю кубів:
приклад:
Рішення:
3. Метод угруповання. приклади
Іноді можна поміняти доданки місцями таким чином, щоб з кожної пари сусідніх доданків можна було виділити один і той же множник. Цей загальний множник можна винести за дужки і вихідний многочлен перетвориться на витвір.
приклад:
Розкладіть на множники многочлен.
Рішення:
Згрупуємо доданки наступним чином:
.
У першій групі винесемо за дужки загальний множник, а в другій -:
.
Тепер загальний множник також можна винести за дужки:
.
4. Метод виділення повного квадрата. Приклади.
Якщо многочлен вдасться представити у вигляді різниці квадратів двох виразів, залишиться тільки застосувати формулу скороченого множення (різниця квадратів).
приклад:
Розкладіть на множники многочлен.
Рішення:приклад:
\\ Begin (array) (* (35) (l))
((X) ^ (2)) + 6 (x) -7 \u003d \\ underbrace (((x) ^ (2)) + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 9) _ (квадрат \\ суми \\ ((\\ left (x + 3 \\ right)) ^ (2))) - 9-7 \u003d ((\\ left (x + 3 \\ right)) ^ (2)) - 16 \u003d \\\\
\u003d \\ Left (x + 3 + 4 \\ right) \\ left (x + 3-4 \\ right) \u003d \\ left (x + 7 \\ right) \\ left (x-1 \\ right) \\\\
\\ End (array)
Розкладіть на множники многочлен.
Рішення:
\\ Begin (array) (* (35) (l))
((X) ^ (4)) - 4 ((x) ^ (2)) - 1 \u003d \\ underbrace (((x) ^ (4)) - 2 \\ cdot 2 \\ cdot ((x) ^ (2) ) +4) _ (квадрат \\ різниці ((\\ left (((x) ^ (2)) - 2 \\ right)) ^ (2))) - 4-1 \u003d ((\\ left (((x) ^ (2)) - 2 \\ right)) ^ (2)) - 5 \u003d \\\\
\u003d \\ Left (((x) ^ (2)) - 2 + \\ sqrt (5) \\ right) \\ left (((x) ^ (2)) - 2 \\ sqrt (5) \\ right) \\\\
\\ End (array)
5. Розкладання квадратного тричлена на множники. Приклад.
Квадратний тричлен - многочлен виду, де - невідоме, - деякі числа, причому.
Значення змінної, які звертають квадратний тричлен в нуль, називаються країнами трехчлена. Отже, коріння трехчлена - це коріння квадратного рівняння.
Теорема.
приклад:
Розкладемо на множники квадратний тричлен:.
Спочатку вирішимо квадратне рівняння: Тепер можна записати розкладання даного квадратного тричлена на множники:
Тепер твоя думка ...
Ми розписали докладно як і для чого розкладати многочлен на множники.
Ми привели безліч прикладів як це робити на практиці, вказали на підводні камені, дали рішення ...
А що скажеш ти?
Як тобі ця стаття? Ти користуєшся цими прийомами? Розумієш їх суть?
Пиши в комментріях і ... готуйся до іспиту!
Поки що він найважливіший в твоєму житті.
Що робити, якщо в процесі виконання завдання з ЄДІ або на вступному іспиті з математики ви отримали многочлен, який не виходить розкласти на множники стандартними методами, якими ви навчилися в школі? У цій статті репетитор з математики розповість про один ефективний спосіб, вивчення якого знаходиться за рамками шкільної програми, але за допомогою якого розкласти многочлен на множники не складе особливих труднощів. Дочитайте цю статтю до кінця і подивіться прикладений видеоурок. Знання, які ви отримаєте, допоможуть вам на іспиті.
Розкладання многочлена на множники методом ділення
З тому випадку, якщо ви отримали многочлен більше другого ступеня і змогли вгадати значення змінної, при якій цей многочлен стає рівним нулю (наприклад, це значення дорівнює), знайте! Цей многочлен можна без залишку розділити на.
Наприклад, легко бачити, що многочлен четвертого ступеня звертається в нуль при. Значить його без залишку можна розділити на, отримавши при цьому многочлен третього ступеня (менше на одиницю). Тобто уявити у вигляді:
де A, B, C і D - деякі числа. Розкриємо дужки:
Оскільки коефіцієнти при однакових ступенях повинні бути однакові, то отримуємо:
Отже, отримали:
Йдемо далі. Досить перебрати кілька невеликих цілих чисел, що побачити, що многочлен третього ступеня знову ділиться на. При цьому виходить многочлена другого ступеня (менше на одиницю). Тоді переходимо до нового запису:
де E, F і G - деякі числа. Знову розкриваємо дужки і приходимо до наступного виразу:
Знову з умови рівності коефіцієнтів при однакових ступенях отримуємо:
Тоді отримуємо:
Тобто вихідний многочлен може бути розкладений на множники таким чином:
В принципі, при бажанні, використовуючи формулу різницю квадратів, результат можна уявити також в наступному вигляді:
Ось такий простий і ефективний спосіб розкладання многочленів на множники. Запам'ятайте його, він може вам стати в нагоді на іспиті або олімпіаді з математики. Перевірте, чи навчилися ви користуватися цим методом. Спробуйте вирішити наступне завдання самостійно.
Розкладіть многочлен на множники:
Свої відповіді пишіть в коментарях.
Матеріал підготував, Сергій Валерійович
- 1. Винесення спільного множника за дужки і спосіб угруповання. У ряді випадків, доцільно замінити деякі члени на суму (різницю) подібних доданків або ввести взаємно знищували члени.
- 2. Використання формул скороченого множення.Іноді доводиться виносити множники за дужки, групувати члени, виділяти повний квадрат і тільки потім суму кубів, різниця квадратів або різниця кубів представляти у вигляді твору.
- 3. Використання теореми Безу і методу невизначених коефіцієнтів.
приклад . Розкласти на множники:
P 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2;
Так як P 3 (-1) \u003d 0, то многочлен P 3 (x) ділиться на x + 1. Методом невизначених коефіцієнтів знайдемо частка від ділення многочлена
P 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2 на двочлен x + 1.
Нехай приватне є многочлен x 2 +. Так як x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) · (x 2 +) \u003d
X 3 + (+ 1) · x 2 + () · x +, отримаємо систему:
Звідки. Отже, P 3 (x) \u003d (x + 1) · (x 2 + 3x + 2).
Оскільки x 2 + 3x + 2 \u003d x 2 + x + 2x + 2 \u003d x · (x + 1) + 2 · (x + 1) \u003d (x + 1) · (x + 2), то P 3 (x ) \u003d (x + 1) 2 · (x + 2).
4. Використання теореми Безу і ділення «стовпчиком».
приклад . Розкласти на множники
P 4 (x) \u003d 5 · x 4 + 9 · x 3 -2 · x 2 -4 · x -8.
Рішення . Оскільки P 4 (1) \u003d 5 + 9-2-4-8 \u003d 0, то P 4 (x) ділиться на (x-1). Розподіл «стовпчиком» знайдемо приватне
отже,
P 4 (x) \u003d (x-) · (5 · x 3 + 14x 2 + 12x + 8) \u003d
\u003d (X-1) · P 3 (x).
Так як P 3 (-2) \u003d -40 + 56-24 + 8 \u003d 0, то многочлен P 3 (x) \u003d 5 · x 3 + 14x 2 + 12x + 8 ділиться на x + 2.
Знайдемо приватне розподілом «стовпчиком»:
отже,
P 3 (x) \u003d (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4).
Так як дискримінант квадратного тричлена 5 · x 2 + 4x + 4 дорівнює D \u003d -24<0, то этот
квадратний тричлен на лінійні множники не розкладається.
Отже, P 4 (x) \u003d (x-1) · (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4)
5. Використання теореми Безу і схеми Горнера. Отримане цими способами приватне можна розкладати на множники будь-яким іншим або цим же способом.
приклад . Розкласти на множники:
P 3 (x) \u003d 2 · x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99;
Рішення .
Якщо даний многочлен має раціональні коріння, то вони можуть бути тільки серед чисел 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.
Для знаходження кореня даного многочлена скористаємося наступним твердженням:
Якщо на кінцях деякого відрізка значення многочлена мають різні знаки, то на інтервалі (A; b) існує хоча б один корінь цього многочлена.
Для даного многочлена P 3 (0) \u003d 99, P 3 (1) \u003d - 100. Отже, на інтервалі (0; 1) є принаймні один корінь даного многочлена. Тому серед виписаних вище 24 чисел доцільно спочатку перевірити ті числа, які належать інтервалу
(0; 1). З цих чисел тільки число належить цьому інтервалу.
Значення P 3 (x) при x \u003d 1/2 можна знаходити не тільки безпосередній підстановкою, а й іншими способами, наприклад за схемою Горнера, так як P () дорівнює залишку від ділення многочлена P (x) на x-. Більш того, у багатьох прикладах цей спосіб краще, оскільки одночасно знаходяться і коефіцієнти приватного.
За схемою Горнера для даного прикладу отримаємо:
Так як P 3 (1/2) \u003d 0, то x \u003d 1/2 є коренем многочлена P 3 (x), і многочлен P 3 (x) ділиться на x-1/2, тобто 2 · x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99 \u003d (x-1/2) · (2 \u200b\u200b· x 2 -4 · x-198).
Оскільки 2 · x 2 -4 · x-198 \u003d 2 · (x 2 -2 · x + 1-100) \u003d 2 · ((x-1) 2 -10 2) \u003d 2 · (x + 9) · ( x-11), то
P 3 (x) \u003d 2 · x 3 -5 · x 2 -196 · x + 99 \u003d 2 · (x-1/2) · (x + 9) · (x-11).
Поняття кільця многочлена
нехай Доі L комутативність кільця
визначення 1 : Кільце До називається простим розширенням кільця K за допомогою елементів x і пишуть:
L \u003d K [x], Якщо виконуються умови:
подкольцо кільця
Основне безліч K [x]позначають сомволамі L, K [x].
визначення 2 : Просте розширення L \u003d K [x] кільця K за допомогою x - просте трансцендентне розширення кільця K за допомогою x, Якщо виконуються умови:
подкольцо кільця
Якщо то
визначення 3 : Елемент x називається трансцендентним над кільцем K, Якщо виконується умова:, якщо, то
Речення. нехай K [x] просте трансцендентне розширення. Якщо і, де, то
Доведення . За умовою, віднімемо з першого виразу друге, отримаємо: так як елемент x трансцендентний над K, То з (3) отримаємо :.
Висновок. Будь-який елемент простого трансцендентного розширення нерівного нулю, комутативного кільця K за допомогою елемента x допускає єдине уявлення у вигляді лінійної комбінації цілих невід'ємних ступенів елемента x
визначення: Кільцем многочлена від невідомого x над, нерівним нулю, кільцем K називається просте трансцендентне розширення не нульовий комутативного кільця K за допомогою елемента x.
теорема . Для будь-якого не нульовий комутативного кільця K, існує його просте трансцендентне розширення за допомогою елемента x, k [x]
Операції над многочленами
Нехай k [x] кільце многочленів не нульовий комутативного кільця K
Визначення 1: Багаточлени f і g належать k [x], називаються рівними і пишуть f \u003d g, якщо рівні між собою всі коеффіцінти многочленів f і g, що стоять при одних ступенях невідомого x.
слідство . У записі многочлена порядок проходження доданків не суттєво. Приписуючи і виключаючи з записи многочлена складові з нульовим коефіцієнтом, не змінить многочлен.
Визначення 2. Сумою многочленів f і g називається многочлен f + g, який визначається рівністю:
визначення 3 : - твір многочленів, позначається, який визначається за правилом:
ступінь многочленів
Нехай коммутативное кільце. k [x] кільце многочленів над полем K : ,
визначення : Нехай - будь-який многочлен. Якщо, то ціле невід'ємне число n - ступінь многочленів f. При цьому пишуть n \u003d deg f.
Числа - коефіцієнти многочлена, де - старший коефіцієнт.
якщо, f - нормований. Ступінь нульового многочлена невизначена.
Властивості ступеня многочлена
K - область цілісності
Доведення :
Так як і. До - область цілісності.
слідство 1 : K [x] над полем До (Область цілісності) в свою чергу є областю цілісності. Для будь-якої області цілісності існує область зокрема.
слідство 2 : Для будь-якого k [x] над областю цілісності До існує поле приватних.
Розподіл на двочлен і коріння многочлена.
Нехай, елемент називається значенням многочлена f від аргументу.
теорема Безу : Для будь-якого многочлена і елемента, існує елемент:.
Доведення : Нехай - будь-який многочлен
слідство : Залишок від ділення многочлена на, так само.
визначення : Елемент називається коренем многочлена f, Якщо.
теорема : Нехай, елемент є коренем f тоді і тільки тоді, коли ділить f
Доведення:
Необхідності. Нехай, з теореми Безу слід, що, з властивостей подільності слід, що
Достатності. Нехай, що. ч.т.д.
Максимальне число коренів многочлена над областю цілісності.
теорема : Нехай k - область цілісності. Число коренів многочлена f в області цілісності k не більш ступеня n многочлена f.
Доведення :
Індукцією за ступенем многочлена. нехай многочлен f має нуль коренів, і їх число не перевищує.
Нехай теорема доведена для будь-кого.
Покажемо, що з пункту 2 слід істинність затвердження теореми для многочленів.
Нехай і, можливі два випадки:
- А) Многочлен f не має коренів, отже, твердження теореми істинно.
- Б) Многочлен f має, принаймні, корінь, по теоремі Безу, так як k - область цілісності то по властивості 3 (ступеня многочлена), випливає, що
Так як, k - область цілісності.
Таким чином, всі корені многочлена, є коренем многочлена g так як, то по індукційному припущенням, число всіх коренів многочлена g не більше n, Отже, f має не більше ( n +1) корінь.
слідство : Нехай k - область цілісності, якщо число коренів многочлена f більше числа n,де, то f - нульовий многочлен.
Алгебраїчне і функціональне рівність многочленів
Нехай, - якийсь многочлен, він визначає деяку функцію
в загальному випадку, будь-який многочлен може визначати одну функцію.
теорема : Нехай k- область цілісності, таким чином, для рівності многочленів і рівність (тотожна рівність ()) визначаються і.
Доведення :
Необхідності. Нехай і - область цілісності,.
Нехай, тобто
Достатності. Припустимо, що. Розглянемо, так як k область цілісності, то многочлен h має число коренів, з слідства випливає, що h нульовий многочлен. Таким чином, ч.т.д.
Теорема про подільність із залишком
визначення : Евклідовому кільцем K називається така область цілісності k,що на безлічі визначена функція h,приминаю цілі невід'ємні значення і задовольняє умові
У процесі знаходження елементів для даних елементів називається розподілом із залишком, - неповна частка, - залишок від ділення.
Нехай - кільце многочленів над полем.
Теорема (про розподіл із залишком) : Нехай - кільце многочленів над полем і многочлен існує єдина пара многочленів, така, що і виконується умова або. або
Доведення : Існування многочлена. Нехай, тобто. Теорема вірна, очевидно, якщо - нульовий або, так як або. Доведемо теорему, коли. Доказ проведемо по індукції ступеня многочлена, припустимо, що теорема доведена (крім єдиності), для многочлена. Покажемо, що в цьому випадку твердження теореми виконано для. Дійсно, нехай - старший коефіцієнт многочлена, отже, многочлен буде мати той же старший коефіцієнт і тужу ступінь, що у многочлена, отже многочлен буде мати або є нульовим многочленом. Якщо, то, отже, при і отримаємо. Якщо, то по індуктивному припущенню, отже, тобто, при отримуємо або. Існування многочлена доведено.
Покажемо, що така пара многочленів єдина.
Нехай існує або, віднімемо:. Можливі два випадки або.
З іншого боку. За умовою ступеня або, або.
Якщо. Отримано протиріччя, таким чином. Единственность доведена.
слідство 1 : Кільцем многочленів над полем, є Евклід простір.
слідство 2 : Кільцем многочленів над, є кільцем головних ідеалів (будь-який ідеал має єдину творчу)
Будь-яке Евклидово кільце факторіальною: Кільце многочлена над, називається факторіальним кільцем.
Алгоритм Евкліда. НСД двох многочленів
Нехай кільце многочленів над.
визначення 1 : Нехай і, якщо існує многочлен, то залишок від ділення дорівнює нулю, то називається дільником многочлена і позначається: ().
визначення 2 : Найбільший спільний дільник многочленів і називається многочлен:
і (- загальний дільник і).
(На будь-який спільний дільник і).
Найбільший спільний дільник многочленів і позначається НСД (;). До числа загальних дільників будь-яких многочленів відносять всі многочлени нульового ступеня з, тобто не нульового поля. Може виявитися так, що два даних многочлена і не мають спільних дільників, які не є нульовими многочленами.
визначення : Якщо многочлени і не мають спільних дільників не є многочленами нульової ступеня, то вони називаються взаємно простими.
Лемма : Якщо многочлени від над полем, має місце, то найбільшим загальним дільником многочленів і асоційовані НСД. ~
запис ( a ~ b) Означає, що (і) за визначенням.
Доведення : Нехай і
і, звідси випливає, що і повчає, що - загальний дільник многочлена і.
загальний дільник і, отримуємо
алгоритм Евкліда
Розкладання многочленів на множники - це тотожне перетворення, в результаті якого многочлен перетворюється на витвір кількох співмножників - многочленів або одночленним.
Існує кілька способів розкладання многочленів на множники.
Спосіб 1. Винесення спільного множника за дужки.
Це перетворення грунтується на розподільному законі множення: ac + bc \u003d c (a + b). Суть перетворення полягає в тому, щоб виділити в двох розглянутих компонентах загальний множник і «винести» його за дужки.
Розкладемо на множники многочлен 28х 3 - 35х 4.
Рішення.
1. Знаходимо у елементів 28х 3 і 35х 4 загальний дільник. Для 28 і 35 це буде 7; для х 3 і х 4 - х 3. Іншими словами, наш загальний множник 7х 3.
2. Кожен з елементів представляємо у вигляді твору множників, один з яких
7х 3: 28х 3 - 35х 4 \u003d 7х 3 ∙ 4 - 7х 3 ∙ 5х.
3. Виносимо за дужки загальний множник
7х 3: 28х 3 - 35х 4 \u003d 7х 3 ∙ 4 - 7х 3 ∙ 5х \u003d 7х 3 (4 - 5х).
Спосіб 2. Використання формул скороченого множення. «Майстерність» володінням цим способом полягає в тому, щоб помітити в вираженні одну з формул скороченого множення.
Розкладемо на множники многочлен х 6 - 1.
Рішення.
1. До цього виразу ми можемо застосувати формулу різниці квадратів. Для цього представимо х 6 як (х 3) 2, а 1 як 1 2, тобто 1. Вираз прийме вигляд:
(Х 3) 2 - 1 \u003d (х 3 + 1) ∙ (х 3 - 1).
2. До отриманого виразу ми можемо застосувати формулу суми і різниці кубів:
(Х 3 + 1) ∙ (х 3 - 1) \u003d (х + 1) ∙ (х 2 - х + 1) ∙ (х - 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Отже,
х 6 - 1 \u003d (х 3) 2 - 1 \u003d (х 3 + 1) ∙ (х 3 - 1) \u003d (х + 1) ∙ (х 2 - х + 1) ∙ (х - 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Спосіб 3. Угруповання. Спосіб угруповання полягає в об'єднання компонентів многочлена таким чином, щоб над ними було легко здійснювати дії (додавання, віднімання, винесення спільного множника).
Розкладемо на множники многочлен х 3 - 3х 2 + 5х - 15.
Рішення.
1. Згрупуємо компоненти таким чином: 1-ий з 2-м, а 3-ий з 4-х
(Х 3 - 3х 2) + (5х - 15).
2. В отриманому виразі винесемо загальні множники за дужки: х 2 в першому випадку і 5 - у другому.
(Х 3 - 3х 2) + (5х - 15) \u003d х 2 (х - 3) + 5 (х - 3).
3. Виносимо за дужки загальний множник х - 3 і отримуємо:
х 2 (х - 3) + 5 (х - 3) \u003d (х - 3) (х 2 + 5).
Отже,
х 3 - 3х 2 + 5х - 15 \u003d (х 3 - 3х 2) + (5х - 15) \u003d х 2 (х - 3) + 5 (х - 3) \u003d (х - 3) ∙ (х 2 + 5 ).
Закріпимо матеріал.
Розкласти на множники многочлен a 2 - 7ab + 12b 2.
Рішення.
1. Уявімо одночлен 7ab у вигляді суми 3ab + 4ab. Вираз прийме вигляд:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Розкриємо дужки і отримаємо:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.
2. Згрупуємо компоненти многочлена таким чином: 1-ий з 2-м і 3-ий з 4-х. отримаємо:
(A 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Винесемо за дужки загальні множники:
(A 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d а (а - 3b) - 4b (а - 3b).
4. Винесемо за дужки загальний множник (а - 3b):
а (а - 3b) - 4b (а - 3b) \u003d (а - 3 b) ∙ (а - 4b).
Отже,
a 2 - 7ab + 12b 2 \u003d
\u003d A 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 \u003d
\u003d A 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 \u003d
\u003d (A 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d
\u003d А (а - 3b) - 4b (а - 3b) \u003d
\u003d (А - 3 b) ∙ (а - 4b).
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Будь-алгебраїчний многочлен ступеня n може бути представлений у вигляді добутку n-лінійних множників виду і постійного числа, яке є коефіцієнтів многочлена при вищому щаблі х, тобто
де 
- є країнами многочлена.
Коренем многочлена називають число (дійсне або комплексне), що звертає многочлен в нуль. Корінням многочлена можуть бути як дійсні корені, так і комплексно-зв'язані коріння, тоді многочлен може бути представлений в наступному вигляді:
Розглянемо методи розкладання многочленів ступеня «n» в твір множників першого та другого ступеня.
Спосіб №1.Метод невизначених коефіцієнтів.
Коефіцієнти такого перетвореного вираження визначаються методом невизначених коефіцієнтів. Суть методу зводиться до того, що заздалегідь відомий вид множників, на які розкладається даний многочлен. При використанні методу невизначених коефіцієнтів справедливі наступні твердження:
П.1. Два багаточлена тотожний рівні в разі, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових степенях х.
П.2. Будь многочлен третього ступеня розкладається в добуток лінійного і квадратного множників.
П.3. Будь многочлен четвертого ступеня розкладається на добуток двох многочленів другого ступеня.
Приклад 1.1. Необхідно розкласти на множники кубічну вираз:
П.1. Відповідно до прийнятих твердженнями для кубічного вираження справедливо тотожна рівність:
П.2. Права частина вираження може бути представлена \u200b\u200bу вигляді доданків наступним чином:
П.3. Складаємо систему рівнянь з умови рівності коефіцієнтів при відповідних ступенях кубічного вираження.
Дана система рівнянь може бути вирішена методом підбору коефіцієнтів (якщо проста академічна завдання) або використані методи вирішення нелінійних систем рівнянь. Вирішуючи цю систему рівнянь, отримаємо, що невизначені коефіцієнти визначаються наступним чином:
Таким чином, вихідне вираз розкладається на множники в наступному вигляді:
Даний метод може використовуватися як при аналітичних викладках, так і при комп'ютерному програмуванні для автоматизації процесу пошуку кореня рівняння.
Спосіб №2.Теорема Вієта
Теорема Вієта - це формули, що зв'язують коефіцієнти алгебраїчних рівнянь ступеня n і його коріння. Дані формули були неявно представлені в роботах французького математика Франсуа Вієта (1540 - 1603). У зв'язку з тим, що Виет розглядав тільки позитивні речові коріння, тому у нього не було можливості записати ці формули в загальному явному вигляді.
Для будь-якого многочлена ступеня n, який має n-дійсних коренів,
справедливі наступні співвідношення, які пов'язують коріння многочлена з його коефіцієнтами:
Формулами Вієта зручно користуватися для перевірки правильності знаходження коренів многочлена, а також для складання многочлена по заданих коріння.
Приклад 2.1. Розглянемо, як пов'язані коріння многочлена з його коефіцієнтами на прикладі кубічного рівняння
Відповідно до формулами Вієта взаємозв'язок коренів многочлена з його коефіцієнтами має такий вигляд:
Аналогічні співвідношення можна скласти для будь-якого полінома ступеня n.
Спосіб №3. Розкладання квадратного рівняння на множники з раціональними коренями
З останньої формули Вієта випливає, що коріння многочлена є дільниками його вільного члена і старшого коефіцієнта. У зв'язку з цим, якщо в умові завдання поставлене многочлен ступеня n c цілими коефіцієнтами
то даний многочлен має раціональний корінь (нескоротний дріб), де p - дільник вільного члена, а q - дільник старшого коефіцієнта. В такому випадку многочлен ступеня n можна представити у вигляді (теорема Безу):
Многочлен, ступінь якого на 1 менше ступеня початкового многочлена, визначається діленням многочлена ступеня n двочлен, наприклад, за допомогою схеми Горнера або найпростішим способом - «стовпчиком».
Приклад 3.1. Необхідно розкласти многочлен на множники
П.1. У зв'язку з тим, що коефіцієнт при старшому слагаемом дорівнює одиниці, то раціональні коріння даного многочлена є дільниками вільного члена вирази, тобто можуть бути цілими числами 
. Підставляємо кожне з представлених чисел у вихідне вираз знайдемо, що корінь представленого многочлена дорівнює.
Виконаємо поділ вихідного многочлена на двочлен:
Скористаємося схемою Горнера
У верхньому рядку виставляються коефіцієнти вихідного многочлена, при цьому перша осередок верхнього рядка залишається порожньою.
У першій клітинці другого рядка записується знайдений корінь (в розглянутому прикладі записується число «2»), а наступні значення в осередках обчислюються певним чином і вони є коефіцієнтами многочлена, який вийде в результаті поділу многочлена на двочлен. Невідомі коефіцієнти визначаються наступним чином:
У другу осередок другого рядка переноситься значення з відповідної комірки першого рядка (в розглянутому прикладі записується число «1»).
У третій осередок другого рядка записується значення твори першого осередку на другий осередок другого рядка плюс значення з третьої осередки першого рядка (в розглянутому прикладі 2 ∙ 1 -5 \u003d -3).
У четверту осередок другого рядка записується значення твори першого осередку на третій осередок другого рядка плюс значення з четвертої комірки першого рядка (в розглянутому прикладі 2 ∙ (-3) +7 \u003d 1).
Таким чином, вихідний многочлен розкладається на множники:
Спосіб №4.Використання формул скороченого множення
Формули скороченого множення застосовують для спрощення обчислень, а також розкладання многочленів на множники. Формули скороченого множення дозволяють спростити рішення окремих завдань.
Формули, що використовуються для розкладання на множники
