Теорія масового обслуговування. Порівняльний аналіз ефективності найпростіших систем масового обслуговування Побудова імітаційних моделей

Розрахунок показників ефективності відкритої одноканальної СМО з відмовами. Розрахунок показників ефективності відкритої багатоканальної СМО з відмовами. Розрахунок показників ефективності багатоканальної СМО з обмеженням на довжину черги. Розрахунок показників ефективності багатоканальної СМО очікуванням.

1. Потоки заявок до СМО

2. Закони обслуговування

3. Критерії якості роботи СМО

5. Параметри моделей черг. При аналізі систем масового

6. I. Модель А – модель одноканальної системи масового обслуговування з Пуассонівським вхідним потоком заявок та Експоненційним часом обслуговування.

7. ІІ. Модель – багатоканальна система обслуговування.

8. ІІІ. Модель С – модель із постійним часом обслуговування.

9. IV. Модель D – модель із обмеженою популяцією.

Потоки заявок до СМО

Потоки заявок бувають вхідні та вихідні.
Вхідний потік заявок – це тимчасова послідовність подій на вході СМО, на яку поява події (заявки) підпорядковується імовірнісним (або детермінованим) законам. Якщо вимоги обслуговування приходять у відповідність, з яким – чи графіком (наприклад, автомобілі приїжджають на АЗС кожні 3 хвилини) такий потік підпорядковується детермінованим (певним) законам. Але, зазвичай, надходження заявок підпорядковується випадковим законам.
Для опису випадкових законів теорії масового обслуговування вводиться на розгляд модель потоків подій. Потоком подій називається послідовність подій, що йдуть одна за одною у випадкові моменти часу.
Як події можуть фігурувати надходження заявок на вхід СМО (на вхід блоку черги), поява заявок на вході приладу обслуговування (на виході блоку черги) та поява обслужених заявок на виході СМО.

Потоки подій мають різні властивості, які дозволяють розрізняти різні типи потоків. Насамперед, потоки можуть бути однорідними і неоднорідними.
Однорідні потоки – такі потоки, у яких потік вимог має однакові властивості: мають пріоритет першим прийшов – першим обслужений, оброблювані вимоги мають однакові фізичні властивості.
Неоднорідні потоки – такі потоки, у яких вимоги мають неоднаковими властивостями: вимоги задовольняються за принципом пріоритетності (приклад, карта переривань в ЕОМ), оброблювані вимоги мають різні фізичні властивості.
Схематично неоднорідний потік подій може бути зображений таким чином

Відповідно, можна використовувати кілька моделей СМО для обслуговування неоднорідних потоків: одноканальна СМО з дисципліною черги, що враховує пріоритети неоднорідних заявок, і багатоканальна СМО з індивідуальним каналом для кожного типу заявок.
Регулярним потоком називається потік, у якому події слідують одна одною через однакові проміжки часу. Якщо позначити через – моменти появи подій, причому через інтервали між подіями, то для регулярного потоку

Рекурентний потік відповідно визначається як потік, для якого всі функції розподілу інтервалів між заявками

збігаються, тобто

Фізично рекурентний потік є таку послідовність подій, на яку всі інтервали між подіями хіба що " ведуть себе " однаково, тобто. підкоряються одному й тому закону розподілу. Таким чином, можна дослідити лише один якийсь інтервал і отримати статистичні характеристики, які будуть справедливі для решти інших інтервалів.
Для характеристики потоків часто вводять у розгляд ймовірність розподілу числа подій у заданому інтервалі часу , яка визначається так:

де - Число подій, що з'являються на інтервалі .
Потік без післядії характеризується тим властивістю, що з двох неперетинних інтервалів часу і , де , , , ймовірність появи числа подій другому інтервалі залежить від кількості появи подій першому інтервалі.

Відсутність післядії означає відсутність імовірнісної залежності подальшого перебігу процесу від попереднього. Якщо є одноканальна СМО з часом обслуговування, то при потоці заявок без післядії на вході системи вихідний потік буде з післядією, оскільки заявки на виході СМО не з'являються частіше, ніж інтервал. У регулярному потоці, в якому події йдуть одна за одною через певні проміжки часу, є найжорсткіша післядія.
Потоком з обмеженою післядією називається такий потік, для якого інтервали між подіями є незалежними.
Потік називається стаціонарним, якщо можливість появи якогось числа подій на інтервалі часу залежить тільки від довжини цього інтервалу і не залежить від його розташування на осі часу. Для стаціонарного потоку подій середня кількість подій за одиницю часу постійно.
Ординарним потоком називається такий потік, для якого ймовірність попадання на даний малий відрізок часу dt двох і більше вимог зневажливо мала порівняно з ймовірністю попадання однієї вимоги.
Потік, який має властивості стаціонарності, відсутності післядії та ординарності називають пуассонівським (найпростішим). Цей потік займає центральне місце серед всього різноманіття потоків, так само як випадкові величини або процеси з нормальним законом розподілу прикладної теорії ймовірності.
Пуасонівський потік описується такою формулою:
,
де - ймовірність появи подій за час, - Інтенсивність потоку.
Інтенсивністю потоку називають середню кількість подій, які виникають за одиницю часу.
Для пуасонівського потоку інтервали часу між заявками розподілені за експоненційним законом

Потоком з обмеженою післядією, для якого інтервали часу між заявками розподілені за нормальним законом, називається нормальним потоком.

Закони обслуговування

Режим обслуговування (час обслуговування), як і режим надходження заявок, може бути або постійним, або випадковим. У багатьох випадках час обслуговування підпорядковується експоненційному розподілу.
Імовірність того, що обслуговування закінчиться до моменту t, дорівнює:

де – щільність потоку заявок
Звідки щільність розподілу часу обслуговування

Подальшим узагальненням експоненційного закону обслуговування може бути закон розподілу Ерланга, коли кожен інтервал обслуговування підпорядковується закону:

де - Інтенсивність вихідного пуассонівського потоку, k - Порядок потоку Ерланга.

Критерії якості роботи СМО

Ефективність роботи СМО оцінюється різними показниками залежно від ланцюга та типу СМО. Найбільшого поширення набули такі:

Абсолютна пропускна здатність СМО з відмовами (продуктивність системи) – середня кількість вимог, які може опрацювати система.

Відносна пропускна здатність СМО - відношення середньої кількості вимог, оброблених системою, до середньої кількості вимог, що надійшли на вхід СМО.

Середня тривалість простою системи.

Для СМО з чергою додаються такі характеристики:
Довжина черги, яка залежить від низки факторів: від того, коли і скільки вимог надійшло до системи, скільки часу витрачено на обслуговування вимог, що надійшли. Довжина черги є випадковою величиною. Від довжини черги залежить ефективність роботи системи обслуговування.

Для СМО з обмеженим очікуванням у черзі важливі всі перелічені характеристики, а систем з необмеженим очікуванням абсолютна і відносна пропускна здатність СМО втрачають сенс.

На рис. 1 наведено системи обслуговування різної конфігурації.

Параметри моделей черг. При аналізі систем масовогоДля обслуговування використовуються технічні та економічні характеристики.

Найчастіше використовуються такі Технічні характеристики:

1) середній час, який клієнт проводить у черзі;

2) середня довжина черги;

3) середній час, який клієнт проводить у системі обслуговування (час очікування плюс час обслуговування);

4) середня кількість клієнтів у системі обслуговування;

5) ймовірність того, що система обслуговування виявиться незайнятою;

6) ймовірність певної кількості клієнтів у системі.

Серед економічних характеристик найбільший інтерес становлять такі:

1) витрати очікування у черзі;

2) витрати очікування у системі;

3) Витрати обслуговування.

Моделі систем масового обслуговування. Залежно від поєднання наведених характеристик можуть розглядатися різні моделі систем масового обслуговування.

Тут ми ознайомимося з декількома найвідомішими моделями. Усі вони мають такі загальні характеристики:

А) пуассонівський розподіл ймовірностей надходження заявок;

Б) стандартне поведінка клієнтів;

В) правило обслуговування FIFO (першим прийшов – першим обслужений);

г) єдина фаза обслуговування.

I. Модель А – модель одноканальної системи масового обслуговування М/М/1 з Пуассонівським вхідним потоком заявок та Експоненційним часом обслуговування.

Найчастіше зустрічаються завдання масового обслуговування з єдиним каналом. І тут клієнти формують одну чергу до єдиного пункту обслуговування. Припустимо, що з систем цього виконуються такі условия:

1. Заявки обслуговуються за принципом «першим прийшов – першим обслужений» (FIFO), причому кожен клієнт чекає своєї черги до кінця незалежно від довжини черги.

2. Появи заявок є незалежними подіями, однак середня кількість заявок, що надходять в одиницю часу, є незмінною.

3. Процес надходження заявок описується пуасонівським розподілом, причому заявки надходять з необмеженої множини.

4. Час обслуговування описується експонентним розподілом ймовірностей.

5. Темп обслуговування вищий за темп надходження заявок.

Нехай - число заявок в одиницю часу;

μ – кількість клієнтів, які обслуговуються в одиницю часу;

n – кількість заявок у системі.

Тоді система масового обслуговування описується рівняннями, наведеними нижче.

Формули для опису системи М/М/1:

Середній час обслуговування одного клієнта у системі (час очікування плюс час обслуговування);

Середня кількість клієнтів у черзі;

Середній час очікування клієнта у черзі;

Характеристика завантаженості системи (частка часу, протягом якого система зайнята обслуговуванням);

Ймовірність відсутності заявок у системі;

Імовірність того, що в системі знаходиться більш ніж K заявок.

ІІ. Модель - багатоканальна система обслуговування M/M/S.У багатоканальній системі для обслуговування відкрито два канали або більше. Передбачається, що клієнти очікують у загальній черзі і звертаються до першого звільненого каналу обслуговування.

Приклад такої багатоканальної однофазової системи можна побачити в багатьох банках: із загальної черги клієнти звертаються в перше віконце для обслуговування, що звільнилося.

У багатоканальній системі потік заявок підпорядковується Пуассонівському закону, а час обслуговування - Експонентному. Той, хто приходить першим, обслуговується першим, і всі канали обслуговування працюють в однаковому темпі. Формули, що описують модель, досить складні для використання. Для розрахунку параметрів багатоканальної системи обслуговування зручно використати відповідне програмне забезпечення.

Час перебування заявки у черзі;

Час перебування заявки у системі.

ІІІ. Модель С – модель з постійним часом обслуговування M/D/1.

Деякі системи мають постійний, а не експоненційно розподілений час обслуговування. У таких системах клієнти обслуговуються протягом фіксованого періоду часу, як, наприклад, автоматичного миття автомобілів. Для моделі З постійним темпом обслуговування значення величин Lq і Wq Вдвічі менше, ніж відповідні значення моделі А, що має змінний темп обслуговування.

Формули, що описують модель С:

Середня довжина черги;

Середній час очікування у черзі;

Середня кількість клієнтів у системі;

Середній час очікування у системі.

IV. Модель D – модель з обмеженою популяцією.

Якщо кількість потенційних клієнтів системи обслуговування обмежена, ми маємо справу зі спеціальною моделлю. Таке завдання може виникнути, наприклад, якщо йдеться про обслуговування обладнання фабрики, що має п'ять верстатів.

Особливість цієї моделі в порівнянні з трьома розглянутими раніше в тому, що існує взаємозалежність між довжиною черги і темпом надходження заявок.

V. Модель Е – модель з обмеженою чергою. Модель відрізняється від попередніх тим, що кількість місць у черзі обмежується. У цьому випадку заявка, яка прибула в систему, коли всі канали та місця у черзі зайняті, залишає систему необслуженою, тобто отримує відмову.

Як окремий випадок моделі з обмеженою чергою можна розглядати Модель з відмовами, якщо кількість місць у черзі скоротити до нуля.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Курсовий проект

Порівняльний аналіз ефективностінайпростішіх систем масового обслуговування

Вступ

масове обслуговування продуктивність

У виробничій діяльності та повсякденному житті часто виникають ситуації, коли з'являється вкрай важливість в обслуговуванні вимог чи заявок вступників до системи. Часто зустрічаються ситуації, у яких дуже важливо перебувати у ситуації очікування. Прикладами тому може бути черга покупців біля кас великого магазину, група пасажирських літаків, які чекають дозволу на зліт в аеропорту, ряд верстатів і механізмів, що вийшли з ладу, поставлених у чергу для ремонту в ремонтному цеху підприємства і т.д. Іноді системи обслуговування мають обмежені можливості для задоволення попиту, і це призводить до утворення черг. Як правило, ні час виникнення потреб в обслуговуванні, ні тривалість обслуговування наперед не відомі. Уникнути ситуації очікування найчастіше не вдається, але можна скоротити час очікування до якоїсь терпимої межі.

Предметом теорії масового обслуговування є системи масового обслуговування (СМО). Завданнями теорії масового обслуговування є аналіз та дослідження явищ, що виникають у системах обслуговування. Одне з базових завдань теорії полягає у визначенні таких параметрів системи, які забезпечують задану якість функціонування, наприклад, мінімум часу очікування, мінімум середньої довжини черги. Мета вивчення режиму функціонування обслуговуючої системи за умов, коли фактор випадковості є суттєвим, контролювати деякі кількісні показники функціонування системи масового обслуговування. Такими показниками, зокрема, є середній час перебування клієнта в черзі або частка часу, протягом якої обслуговуюча система простоює. При цьому в першому випадку ми оцінюємо систему з позиції клієнта, тоді як у другому випадку ми оцінюємо ступінь завантаженості обслуговуючої системи. Шляхом варіювання операційними характеристиками обслуговуючої системи може бути досягнутий розумний компроміс між вимогами клієнтів і потужністю обслуговуючої системи.

1. Теоретична частина

1.1 Класифікація СМО

Системи масового обслуговування (СМО) класифікуються за різними ознаками, що детально зображено малюнку 1.1.

Малюнок 1.1. Класифікація СМО

За кількістю каналів обслуговування (n) СМО поділяються на одноканальні (n = 1) та багатоканальні (n > 2). До одноканальних СМО в торгівлі можна віднести практично будь-який варіант локального обслуговування, наприклад, виконуваний одним продавцем, товарознавцем, економістом, торговим апаратом.

Залежно від взаємного розташування каналів системи поділяються на СМО з паралельними та з послідовними каналами. У СМО з паралельними каналами вхідний потік заявок на обслуговування є загальним, тому заявки в черзі можуть обслуговуватися будь-яким вільним каналом. У таких СМО чергу обслуговування можна розглядати як загальну.

У багатоканальній СМО з послідовним розташуванням каналів кожен канал може розглядатися як окрема одноканальна СМО або фаза обслуговування. Очевидно, вихідний потік обслужених заявок однієї СМО є вхідним потоком наступної СМО.

Залежно від характеристик каналів обслуговування багатоканальні СМО поділяються на СМО з однорідними та неоднорідними каналами. Відмінність полягає в тому, що в СМО з однорідними каналами заявка може обслуговуватися будь-яким вільним каналом, а в СМО з неоднорідними каналами окремі заявки обслуговуються спеціально для цієї мети призначеними каналами, наприклад каси для оплати одного-двох предметів в універсамі.

Залежно від можливості освіти черги СМО поділяються на два основні типи: СМО з відмовими обслуговування та СМО з очікуванням (чергою) обслуговування.

У СМО з відмовами можлива відмова в обслуговуванні, якщо всі канали вже зайняті обслуговуванням, а утворювати чергу і очікувати на обслуговування не можна. Прикладом такої СМО є стіл замовлень у магазині, де прийом замовлень здійснюється за телефоном.

У СМО з очікуванням, якщо заявка знаходить усі канали обслуговування зайнятим, то вона очікує, доки не звільниться хоча б один із каналів.

СМО з очікуванням поділяються на СМО з необмеженим очікуванням або з необмеженою чергою lоч та часом очікування Точ та СМО з обмеженим очікуванням, в яких накладаються обмеження або на максимально можливу довжину черги (max lоч = m), або на максимально можливий час перебування заявки у черзі (max Точ = Тогр), або тимчасово роботи системи.

Залежно від організації потоку заявок СМО поділяються на розімкнені та замкнуті.

У розімкнених СМО вихідний потік обслужених заявок не пов'язаний із вхідним потоком заявок на обслуговування. У замкнених СМО обслужені заявки після деякої тимчасової затримки Тз знову надходять на вхід СМО і джерело заявок входить до складу СМО. У замкнутій СМО циркулює те саме кінцеве число потенційних заявок, наприклад, посуд у їдальні - через торговий зал, мийку і роздачу. Поки потенційна заявка циркулює і не перетворилася на вході СМО на заявку на обслуговування, вважається, що вона знаходиться у лінії затримки.

Типові варіанти СМО визначаються і встановленої дисципліною черги, що залежить від переваги в обслуговуванні, тобто. пріоритету. Пріоритет відбору заявок на обслуговування може бути наступним: перший прийшов – перший обслужений; останній прийшов – перший обслужений; довільний відбір. Для СМО з очікуванням та обслуговуванням за пріоритетом можливі такі види: абсолютний пріоритет, наприклад, для співробітників контрольно-ревізійного управління, міністра; відносний пріоритет, наприклад, для директора торгу на підвідомчих йому підприємствах; спеціальні правила пріоритету, коли обслуговування заявок застережено у відповідних документах. Існують інші типи СМО: з надходженням групових заявок, з каналами різної продуктивності, зі змішаним потоком заявок.

Сукупності СМО різних типів, об'єднані послідовно і паралельно, утворюють складніші структури СМО: секції, відділи магазину, універсаму, організації торгівлі тощо. Таке моделювання дозволяє виявити суттєві зв'язки у торгівлі, застосувати методи та моделі теорії масового обслуговування для їх опису, оцінити ефективність обслуговування та розробити рекомендації щодо його вдосконалення.

1.2 Приклади СМО

Прикладами СМО можуть бути:

телефонні станції;

ремонтні майстерні;

квиткові каси;

довідкові бюро;

магазини;

перукарні.

Як своєрідні системи масового обслуговування можна розглядати:

інформаційно-обчислювальні мережі;

операційні системи електронних обчислювальних машин;

системи збору та обробки інформації;

автоматизовані виробничі цехи; потокові лінії;

транспортні системи;

системи протиповітряної оборони

p align="justify"> Близькими до завдань теорії масового обслуговування є багато завдань, що виникають при аналізі надійності технічних пристроїв.

Випадковий характер як потоку заявок, так і тривалості обслуговування призводить до того, що в СМО відбуватиметься якийсь випадковий процес. Щоб дати рекомендації щодо раціональної організації цього процесу та пред'явити розумні вимоги до СМО, необхідно вивчити випадковий процес, що протікає в системі, описати його математично. Цим і займається теорія масового обслуговування.

Зауважимо, що сфера застосування математичних методів теорії масового обслуговування безперервно розширюється і дедалі більше виходить межі завдань, що з обслуговуючими організаціями у буквальному значенні слова.

Число моделей систем (мереж) обслуговування, що використовуються на практиці та вивчаються в теорії, дуже і дуже велике. Навіть для того, щоб описати схематично основні їх типи, потрібно не один десяток сторінок. Ми розглянемо лише системи з чергою. При цьому будемо припускати, що ці системи є відкритими для викликів, тобто заявки, що надходять у систему ззовні (у деякому вхідному потоці), кожному з них потрібна кінцева кількість обслуговувань, після закінчення останнього з яких заявка назавжди залишає систему; а дисципліни обслуговування такі, що будь-якої миті часу кожен прилад може обслуговувати трохи більше одного виклику (іншими словами, не допускається паралельного обслуговування двох і більше заявок одним приладом).

У всіх випадках ми обговоримо умови, що гарантують стабільну роботу системи.

2 . Розрахункова частина

2.1 Перший етап. Система з відмовами

На даному етапі проведемо мінімізацію середньої вартості обслуговування однієї заявки за одиницю часу для системи з відмовами. Для цього визначимо кількість каналів обслуговування, що забезпечує в системі з відмови найменше значення параметра - середньої вартості обслуговування однієї заявки в одиницю часу.

Відповідно до варіанта завдання визначено такі параметри системи:

Інтенсивність вхідного потоку (середня кількість заявок, що надходять до системи в одиницю часу) 1/од. часу.

середній час обслуговування однієї заявки од. часу;

Вартість експлуатації одного каналу од. стоїмо./канал;

Вартість простою одного каналу од. стоїмо./канал;

вартість експлуатації одного місця у черзі

од. стоїмо./заявка в черзі;

вартість збитків, пов'язаних з відходом заявки із системи, що отримала відмову в обслуговуванні од. стоїмо.од. брешемо.

Задаючи значення (число каналів обслуговування) від одиниці до шести, обчислимо фінальні ймовірності та відповідно до них показники ефективності системи. Результати обчислень наведені в Таблиці 2.1 та Таблиці 2.2, а також показані на графіках функцій, наведених на Рисунок 2.1.

Виконаємо розрахунки за формулами 2.1.

Імовірність того, що зайнятий один (в даному випадку всі) канал дорівнює:

Оскільки канал лише один, то.

1/од. часу.

Коефіцієнт завантаження дорівнює:

од. часу.

Оскільки аналізована система з відмовами немає черги, то середня кількість заявок, що у черзі дорівнює нулю за будь-якої кількості каналів обслуговування.

Обчислимо показники ефективності системи з відмовими при.

Імовірність того, що всі канали вільні дорівнює:

Імовірність того, що зайнято два (в даному випадку всі) канали дорівнює:

Так як канали всього два, то.

Імовірність обслуговування заявки дорівнює:

Абсолютна пропускна спроможність системи (середня кількість обслужених заявок в одиницю часу) дорівнює:

1/од. часу.

Інтенсивність потоку не обслужених заявок (середня кількість заявок, які отримали відмову в обслуговуванні, в одиницю часу) дорівнює:

1/од. часу.

Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:

Середня кількість вільних каналів дорівнює:

Коефіцієнт завантаження дорівнює:

Час перебування заявки в системі дорівнює:

од. часу.

Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:

Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:

Обчислимо показники ефективності системи з відмовими при.

Імовірність того, що всі канали вільні дорівнює:

Імовірність того, що зайнятий один канал дорівнює:

Імовірність того, що зайнято три (в даному випадку всі) канали дорівнює:

Оскільки канали лише три, то.

Імовірність обслуговування заявки дорівнює:

Абсолютна пропускна спроможність системи (середня кількість обслужених заявок в одиницю часу) дорівнює:

1/од. часу.

Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:

Середня кількість вільних каналів дорівнює:

Коефіцієнт завантаження дорівнює:

Час перебування заявки в системі дорівнює:

од. часу.

Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:

Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:

Обчислимо показники ефективності системи з відмовими при.

Імовірність того, що всі канали вільні дорівнює:

Імовірність того, що зайнятий один канал дорівнює:

Імовірність того, що зайнято два канали дорівнює:

Імовірність того, що зайнято три канали дорівнює:

Імовірність того, що зайнято чотири (в даному випадку всі) канали дорівнює:

Так як канали всього чотири, то.

Імовірність обслуговування заявки дорівнює:

Абсолютна пропускна спроможність системи (середня кількість обслужених заявок в одиницю часу) дорівнює:

1/од. часу.

Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:

Середня кількість вільних каналів дорівнює:

Коефіцієнт завантаження дорівнює:

Час перебування заявки в системі дорівнює:

од. часу.

Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:

Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:

Для обчислення виконуються аналогічно, тому докладного наводити не потрібно. Результати розрахунків також внесені до Таблиці 2.1 та Таблиці 2.2. та показані на Рисунок 2.1.

Таблиця 2.1. Результати розрахунків для СМО з відмовами

Система з відмовами 1/од. часу, од. часу	Результуючі показники

Таблиця 2.2. Допоміжні розрахунки для СМО з відмовами


од. стоїмо.	од. стоїмо.	од. стоїмо.	од. стоїмо.	од. стоїмо.

Отримані розрахунки дозволяють зробити висновок, що найбільш оптимальною кількістю каналів системи з відмовими буде, тому що при цьому забезпечується мінімальне значення середньої вартості обслуговування однієї заявки в одиницю часу, економічного показника, що характеризує систему як з точки зору споживача, так і її експлуатаційних властивостей.

Малюнок 2.1. Графіки результуючих показників СМО із відмовами

Значення основних показників ефективності оптимальної СМО з відмовами:

од. часу.

Допустиме для змішаної СМО значення часу перебування заявки у системі обчислюється за такою формулою 2.2.

од. часу.

2.2 Другий етап. Змішана система

На даному етапі вивчається відповідна завданням система масового обслуговування з обмеженням на час перебування в черзі. Основним завданням цього етапу є вирішення питання про можливість із запровадженням черги забезпечити зменшення значення оптимального для аналізованої системи значення економічного показника С та покращити інші показники ефективності системи, що вивчається.

Задаючи значення параметра (середнього часу перебування заявки у системі), обчислимо самі показники ефективності, як і системи з отказами. Результати обчислень наведені в Таблиці 2.3 та Таблиці 2.4, а також показані на графіках функцій, наведених на Рисунок 2.2.

Для обчислення ймовірностей та основних показників ефективності використовуємо такі формули:

,

, . 2.3

Виконаємо розрахунки за формулами 2.3.

Значення показника однаково всім.

.

Імовірність того, що всі канали є вільними, обчислюється за формулами:

,

, . 2.4

Обчислимо кілька перших членів низки, використовуючи формули 2.3:

.

Виконаємо інші розрахунки за формулами 2.2.

Обчислимо фінальні ймовірності:

.

Середня кількість вільних каналів дорівнює:

Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:

.

1/од. часу.

.

од. часу.

Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:

од. ст.

Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:

од. ст.

Оскільки отримана середня вартість обслуговування однієї заявки менша за аналогічний параметр оптимальної СМО з відмовими

слід збільшити.

Виконаємо розрахунок показників ефективності СМО з обмеженням на час перебування у черзі од. часу.

.

Потрібна за завданням точність розрахунку фінальних ймовірностей становить 0,01. Для забезпечення цієї точності достатньо обчислити приблизну суму нескінченного ряду з аналогічною точністю.

Для розрахунків також використовуємо формули 2.2 та формули 2.3.

.

Середня кількість вільних каналів дорівнює:

Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:

каналу

Імовірність обслуговування дорівнює:

.

Абсолютна пропускна спроможність системи дорівнює:

1/од. часу.

Коефіцієнт завантаження системи дорівнює:

.

Середня кількість заявок у черзі дорівнює:

Обчислимо середній час перебування заявки у системі, що має задовольняти умові од. часу.

од. часу.

Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:

од. ст.

Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:

од. ст.

Як очевидно з розрахунків, збільшення призводить до зменшення середньої вартості обслуговування однієї заявки. Аналогічно виконаємо розрахунки зі збільшенням середнього часу перебування заявки у черзі, результати внесемо до Таблиці 2.3 та Таблиці 2.4, а також відобразимо на Малюнок 2.2.

Таблиця 2.3. Результати розрахунків для змішаної системи

Система з обмеженням на час перебування у черзі 1/од. брешемо, од. брешемо.	Результуючі показники

Дані системи з відмовами

Таблиця 2.4. Допоміжні розрахунки для змішаної системи

До обчислення загальної вартості обслуговування заявок за одиницю часу
	од. стоїмо.	од. стоїмо.	од. стоїмо.	од. стоїмо.	од. стоїмо.
Дані системи з відмовами

Дані системи з обмеженням на час перебування у черзі

Отримані розрахунки дозволяють зробити висновок, що найбільш оптимальним середнім часом перебування заявки в черзі для системи з обмеженням на час перебування в черзі слід прийняти, оскільки при цьому найменша середня вартість обслуговування однієї заявки, а середній час перебування заявки в системі не перевищує допустимого, то є умова виконується.

Малюнок 2.2. Графіки результуючих показників змішаної системи

Значення основних показників ефективності оптимальної СМО з обмеженням на час перебування заявки у черзі:

од. часу.

Порівнювання показники ефективності оптимальної системи з відмовами та оптимальної змішаної системи, що вивчається, з обмеженням на час перебування в черзі можна помітити, крім зменшення середньої вартості обслуговування однієї заявки, підвищення завантаженості системи та ймовірності обслуговування заявки, що дозволяє оцінити досліджувану системи як більш ефективну. Незначне збільшення часу перебування заявки у системі впливає оцінку системи, оскільки очікувано під час запровадження черги.

2.3 Третій етап. Вплив продуктивності каналів

На цьому етапі досліджуємо вплив продуктивності каналів обслуговування на ефективність системи. Продуктивність каналу обслуговування визначається значенням середнього часу обслуговування однієї заявки. Як предмет дослідження приймемо змішану систему, визнану оптимальною на попередньому етапі. Показники ефективності цієї первісної системи можна порівняти з аналогічними показниками двох варіантів цієї системи.

Варіант А. Система із зменшеною продуктивністю каналів обслуговування за рахунок збільшення вдвічі середнього часу обслуговування та зі зменшеними витратами, пов'язаними з експлуатацією та простоєм обладнання.

, .

Варіант Б. Система зі збільшеною продуктивністю каналів обслуговування за рахунок зменшення вдвічі середнього часу обслуговування та зі збільшеними витратами, пов'язаними з експлуатацією та простоєм обладнання.

, .

Результати обчислень наведено в Таблиці 2.5 та Таблиці 2.6.

Виконаємо розрахунок показників ефективності СМО із зменшеною продуктивністю каналів обслуговування.

од. часу.

.

Обчислимо ймовірність того, що всі канали є вільними.

Обчислимо кілька перших членів низки:

.

Обчислимо інші фінальні ймовірності:

.

Середня кількість вільних каналів дорівнює:

Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:

каналу

Імовірність обслуговування дорівнює:

.

Абсолютна пропускна спроможність системи дорівнює:

1/од. часу.

Інтенсивність потоку не обслужених заявок (середня кількість заявок, які отримали відмову в обслуговуванні, в одиницю часу) дорівнює:

1/од. часу.

Коефіцієнт завантаження системи дорівнює:

.

Середня кількість заявок у черзі дорівнює:

заявки.

од. часу.

Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:

од. ст.

Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:

од. ст.

Виконаємо розрахунок показників ефективності СМО зі збільшеною продуктивністю каналів обслуговування.

од. часу.

.

Обчислимо ймовірність того, що всі канали є вільними.

Обчислимо кілька перших членів низки:

.

Обчислимо інші фінальні ймовірності:

.

Середня кількість вільних каналів дорівнює:

Середня кількість зайнятих каналів дорівнює:

каналу.

Імовірність обслуговування дорівнює:

.

Абсолютна пропускна спроможність системи дорівнює:

1/од. часу.

Інтенсивність потоку не обслужених заявок (середня кількість заявок, які отримали відмову в обслуговуванні, в одиницю часу) дорівнює:

1/од. часу.

Коефіцієнт завантаження системи дорівнює:

.

Середня кількість заявок у черзі дорівнює:

заявки.

Обчислимо середній час перебування заявки у системі.

од. часу.

Загальна вартість обслуговування всіх заявок за одиницю часу дорівнює:

од. ст.

Середня вартість обслуговування однієї заявки в одиницю часу дорівнює:

од. ст.

Таблиця 2.5. Результати розрахунків третього етапу

Задана змішана система

1/од. брешемо, од. брешемо.

Результати

показники

Первонач. варіант

Варіант А

Варіант Б

Таблиця 2.6. Допоміжні розрахунки третього етапу

До обчислення загальної вартості обслуговування заявок за одиницю часу
	од. стоїмо.	од. стоїмо.	од. стоїмо.	од. стоїмо.	од. стоїмо.
Первонач. варіант
Варіант А
Варіант Б

Отримані результати показують не доцільність збільшувати чи зменшувати продуктивність каналів обслуговування. Оскільки при зменшенні продуктивності каналів обслуговування зростає середній час перебування заявки у системі, хоча завантаженість системи близька до максимальної. При збільшенні продуктивності більшість каналів обслуговування простоює, але з погляду споживача система ефективна, оскільки можливість обслуговування близька до одиниці, а час перебування заявки у системі невелико. Цей розрахунок демонструє два варіанти системи, перший у тому числі ефективний з погляду експлуатаційних властивостей і ефективний з погляду споживача, а другий - навпаки.

Висновок

У ході виконання курсового проекту було вивчено та розглянуто систему масового обслуговування з відмовими та змішану систему масового обслуговування з обмеженням на час перебування у черзі, а також досліджено вплив продуктивності каналів обслуговування на ефективність системи, обраної оптимальною.

Порівнюючи оптимальні СМО з відмовами та змішану систему за параметрами ефективності, найкращою слід визнати змішану систему. Оскільки середня вартість обслуговування однієї заявки у змішаній системі менша за аналогічний параметр у СМО з відмовими на 9%.

Аналізуючи ефективність з погляду експлуатаційних властивостей системи, змішана система показує кращі результати проти СМО з отказами. Коефіцієнт завантаження та абсолютна пропускна здатність змішаної системи більше на 10%, ніж аналогічні параметри у СМО з відмовами. З погляду споживача висновок не такий очевидний. Імовірність обслуговування змішаної системи вища майже на 10%, що говорить про більшу ефективність змішаної системи порівняно із СМО з відмовами. Але також спостерігається збільшення часу перебування заявки у системі на 20%, що характеризує СМО з відмовами як ефективнішу за цим параметром.

В результаті досліджень найбільш ефективною визнано оптимальну змішану систему. Ця система має такі переваги перед СМО з відмовами:

менші витрати на обслуговування однієї заявки;

менше простою каналів обслуговування, зважаючи на більшу завантаженість;

велика дохідність, оскільки пропускна спроможність системи вище;

є можливість витримати нерівномірність інтенсивності заявок, що надходять (збільшення навантаження), через наявність черги.

Дослідження впливу продуктивності каналів обслуговування ефективність змішаної системи масового обслуговування з обмеженням на час перебування у черзі дозволяють зробити висновок, що найкращим варіантом буде вихідна оптимальна змішана система. Оскільки при зменшенні продуктивності каналів обслуговування система дуже «просідає» з погляду споживача. Час перебування заявки в системі збільшується у 3,6 рази! А при збільшенні продуктивності каналів обслуговування система настільки легко справляється з навантаженням, що 75% часу простоюватиме, що є іншою, економічно не ефективною, крайністю.

З огляду на вищевикладене оптимальна змішана система є найкращим вибором, оскільки демонструє баланс показників ефективності з погляду споживача та експлуатаційних властивостей, маючи при цьому найкращі економічні показники.

Бібліография

1 Дворецький С.І. Моделювання систем: підручник для студ. вищ. навч. закладів/М.: Видавничий центр «Академія». 2009.

2 Лабскер Л.Г. Теорія масового обслуговування економічній сфері: Учеб. посібник для вузів/М.: ЮНІТІ. 1998.

3 Самусевич Г.А. Теорія масового обслуговування. Найпростіші системи масового обслуговування. Методичні вказівки щодо виконання курсового проекту. / Є.: Уртіс СібГУТІ. 2015 року.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Витоки та історія становлення економічного аналізу. Економічний аналіз за умов царської Росії, післяжовтневий період й у період початку ринкових відносин. Теорія масового обслуговування, її застосування та використання при прийнятті рішень.

контрольна робота , доданий 03.11.2010

Економічна система у різних наукових школах. Порівняльне дослідження механізму функціонування різних економічних систем. Співвідношення плану та ринку (алокація ресурсів). Види систем: сучасна, традиційна, планова та змішана (гібридна).

курсова робота , доданий 25.12.2014

Дослідження особливостей погодинної та відрядної заробітної плати. Опис акордної, контрактної та безтарифної систем оплати праці. Бригадна форма організації праці. Аналіз чинників, які впливають зарплатню. Огляд причин нерівності у доходах.

курсова робота , доданий 28.10.2013

Методологія порівняльного дослідження економічних систем. Розвиток поглядів на доіндустріальну економічну систему. Ринкова економіка: концептуальна схема побудови та реальна дійсність. Моделі змішаної економіки в країнах, що розвиваються.

книга , доданий 27.12.2009

Сутність масового типу організації виробництва та сфера його застосування, основні показники. Основні особливості застосування масового типу організації виробництва на конкретному підприємстві. Удосконалення управління масовим типом виробництва.

курсова робота , доданий 04.04.2014

Підходи до вивчення економіки та економічного процесу. Господарський механізм, як частина економічної системи. Види економічних систем. Капіталізм, соціалізм та змішана економіка в теорії та на практиці. Національні моделі економічних систем.

курсова робота , доданий 14.04.2013

Поняття економічних систем та підходи до їх класифікації. Основні моделі розвинутих країн у межах економічних систем. Основні риси та особливості шведської, американської, німецької, японської, китайської та російської моделей перехідної економіки.

курсова робота , доданий 11.03.2010

Сутність портфельного, бюджетного, проектного підходів до оцінки проектів щодо впровадження інформаційних технологій у компанії. Опис традиційних фінансових та ймовірнісних методик визначення ефективності застосування корпоративних інформаційних систем.

реферат, доданий 06.12.2010

Поняття виробничої функції та ізокванти. Класифікація малоеластичних, середньоеластичних та високоеластичних товарів. Визначення та використання коефіцієнтів прямих витрат. Використання методу теорії ігор торгівлі. Системи масового обслуговування.

практична робота, доданий 04.03.2010

Поняття та класифікація економічних систем, їх різновиди та порівняльний опис. Сутність та основні умови існування ринку, закономірності та напрями його розвитку. Поняття суб'єкта та об'єкта ринкової економіки, принципи управління.

Показники ефективності СМО

абсолютна та відносна пропускна здатність системи;
коефіцієнти завантаження та простою;
середній час повного завантаження системи;
середній час перебування заявки у системі.

Показники, що характеризують систему з погляду споживачів:

P обс - ймовірність обслуговування заявки,
t сист – час перебування заявки у системі.

Показники, що характеризують систему з погляду її експлуатаційних властивостей:

λ b- Абсолютна пропускна здатність системи (середня кількість обслужених заявок в одиницю часу),
P обс - відносна пропускна здатність системи,
k з - Коефіцієнт завантаження системи.

див. також Параметри економічної ефективності СМО

Завдання. До обчислювального центру колективного користування з трьома ЕОМ надходять замовлення від підприємств на обчислювальні роботи. Якщо працюють всі три ЕОМ, то знову надходить замовлення не приймається, і підприємство змушене звернутися до іншого обчислювального центру. Середній час роботи з одним замовленням становить 3 години. Інтенсивність потоку заявок 0,25 (1/год). Знайти граничні ймовірності станів та показники ефективності роботи обчислювального центру.
Рішення. За умовою n=3, λ=0,25(1/год), t про. =3 (год). Інтенсивність потоку обслуговувань μ=1/t про. = 1/3 = 0,33. Інтенсивність навантаження ЕОМ за формулою (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Знайдемо граничні ймовірності станів:
за формулою (25) p 0 = (1 +0,75 +0,75 2 / 2! +0,75 3 / 3!) -1 = 0,476;
за формулою (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 = (0,75 3 /3!) ∙ 0,476 = 0,033 тобто. у стаціонарному режимі роботи обчислювального центру в середньому 47,6% часу немає жодної заявки, 35,7% - є одна заявка (зайнята одна ЕОМ), 13,4% - дві заявки (дві ЕОМ), 3,3% часу - три заявки (зайняті три ЕОМ).
Імовірність відмови (коли зайняті всі три ЕОМ), таким чином, P отк. = p 3 = 0,033.
За формулою (28) відносна пропускну здатність центру Q = 1-0,033 = 0,967, тобто. у середньому із кожних 100 заявок обчислювальний центр обслуговує 96,7 заявок.
За формулою (29) абсолютна пропускна спроможність центру A=0,25∙0,967=0,242, тобто. за одну годину в середньому обслуговується 0,242 заявки.
За формулою (30) середня кількість зайнятих ЕОМ k =0,242/0,33 = 0,725, тобто. кожна з трьох ЕОМ буде зайнята обслуговуванням заявок у середньому лише 72,5/3 =24,2%.
При оцінці ефективності роботи обчислювального центру необхідно зіставити доходи від виконання заявок із втратами від простою дорогих ЕОМ (з одного боку, ми маємо високу пропускну здатність СМО, з другого боку - значний простий каналів обслуговування) і вибрати компромісне рішення.

Завдання. У порту є один причал для розвантаження суден. Інтенсивність потоку суден дорівнює 0,4 (судів на добу). Середній час розвантаження одного судна складає 2 доби. Передбачається, що черга може бути необмеженою довжиною. Знайти показники ефективності роботи причалу, а також ймовірність того, що очікують розвантаження не більше ніж 2 судна.
Рішення. Маємо ρ = λ/μ = μt про. =0,4∙2=0,8. Оскільки ρ = 0,8 < 1, то черга на розвантаження не може нескінченно зростати та граничні ймовірності існують. Знайдемо їх.
Імовірність того, що причал вільний, (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, а ймовірність того, що він зайнятий, P зан. = 1-0,2 = 0,8. За формулою (34) ймовірності того, що біля причалу знаходяться 1, 2, 3 судна (тобто очікують на розвантаження 0, 1, 2 судна), дорівнюють p 1 = 0,8(1-0,8) = 0, 16; p 2 = 0,8 2 ∙ (1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙ (1-0,8) = 0,1024.
Імовірність того, що очікують розвантаження не більше ніж 2 судна, дорівнює
P = p 1 + p 2 + p 3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
За формулою (40) середня кількість суден, що очікують на розвантаження
L jч =0,8 2 /(1-0,8) = 3,2
а середній час очікування розвантаження за формулою (15.42)
T оч =3,2/0,8 = 4 добу.
За формулою (36) середня кількість суден, що знаходяться у причалу, L сист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (доба) (або простіше за (37) L сист. = 3,2+0,8 = 4 (доба), а середній час перебування судна у причалу за формулою (41) T сист = 4/0,8 = 5 (добу).
Очевидно, що ефективність розвантаження суден невисока. Для її підвищення необхідно зменшення середнього часу розвантаження судна t або збільшення числа причалів n .

Завдання. В універсамі до вузла розрахунку надходить потік покупців з інтенсивністю λ = 81 чол. в годину. Середня тривалість обслуговування контролером-касиром одного покупця t про = 2 хв. Визначити:
а. Мінімальна кількість контролерів-касирів п min ,при якому черга не зростатиме до нескінченності, і відповідні характеристики обслуговування при n = n min.
б. Оптимальна кількість опт. контролерів-касирів, при якому відносна величина витрат С отн., пов'язана з витратами на утримання каналів обслуговування і з перебуванням у черзі покупців, що задається, наприклад, як буде мінімальна, і порівняти характеристики обслуговування при n=n min і n=n опт .
в. Імовірність того, що у черзі буде не більше трьох покупців.
Рішення.
а. За умовою l = 81(1/год) = 81/60 = 1,35 (1/хв.). За формулою (24) r = l/m = lt = 1,35×2 = 2,7. Черга не зростатиме до нескінченності за умови r/n< 1, т.е. при n >r = 2,7. Отже, мінімальна кількість контролерів-касирів n min = 3.
Знайдемо характеристики обслуговування СМО при п= 3.
Імовірність того, що у вузлі розрахунку відсутні покупці, за формулою (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3 -2,7)) -1 = 0,025, тобто. у середньому 2,5% часу контролери-касири простоюватимуть.
Імовірність те, що у вузлі розрахунку буде черга, по (48) P оч. = (2,7 4 /3! (3-2,7)) 0,025 = 0,735
Середня кількість покупців, що у черзі, по (50) L оч. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Середній час очікування в черзі (42) T оч. = 7,35 / 1,35 = 5,44 (хв).
Середня кількість покупців у вузлі розрахунку (51) L сист. = 7,35 +2,7 = 10,05.
Середній час перебування покупців у вузлі розрахунку (41) T сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (хв).
Таблиця 1

Характеристика обслуговування	Число контролерів-касирів
Характеристика обслуговування	3	4	5	6	7
Імовірність простою контролерів-касирів p 0	0,025	0,057	0,065	0,067	0,067
Середня кількість покупців у черзі T оч.	5,44	0,60	0,15	0,03	0,01
Відносна величина витрат З отн.	18,54	4,77	4,14	4,53	5,22

Середня кількість контролерів-касирів, зайнятих обслуговуванням покупців, (49) k = 2,7.
Коефіцієнт (частка) зайнятих обслуговуванням контролерів-касирів
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютна пропускна спроможність вузла розрахунку А = 1,35 (1/хв) або 81 (1/год), тобто. 81 покупець за годину.
Аналіз характеристик обслуговування свідчить про значне навантаження вузла розрахунку за наявності трьох контролерів-касирів.
б. Відносна величина витрат за n = 3
З отн. = = 3 / 1,35 +3 ∙ 5,44 = 18,54.
Розрахуємо відносну величину витрат за інших значень п(Табл. 1).
Як очевидно з табл. 2, мінімальні витрати отримані за n = n опт. = 5 контролерах-касирах.
Визначимо характеристики обслуговування вузла розрахунку за n = n опт. =5. Отримаємо P оч. = 0,091; L оч. = 0,198; Т оч. = 0,146 (хв); L сист. = 2,90; T снст. = 2,15 (хв); k = 2,7; k 3 = 0,54.
Як бачимо, при n = 5 в порівнянні з n = 3 суттєво зменшилися ймовірність виникнення черги P оч. , довжина черги L оч. та середній час перебування у черзі T оч. і відповідно середня кількість покупців L сист. і середнє час перебування у вузлі розрахунку T сист., і навіть частка зайнятих обслуговуванням контролерів k 3. Але середнє число зайнятих обслуговуванням контролерів-касирів k і абсолютна пропускна спроможність вузла розрахунку А звичайно змінилися.
в. Імовірність того, що в черзі буде не більше 3 покупців, визначиться як
= 1-P оч. + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , де кожен доданок знайдемо за формулами (45) – (48). Отримаємо при n=5:

Зауважимо, що у разі n=3 контролерів-касирів та сама ймовірність істотно менша: P(r ≤ 3) =0,464.

4. ТЕОРІЯ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

4.1. Класифікація систем масового обслуговування та їх показники ефективності

Системи, в яких у випадкові моменти часу виникають заявки на обслуговування та є пристрої для обслуговування цих заявок, називаються системами масового обслуговування(СМО).

СМО можуть бути класифіковані за ознакою організації обслуговування таким чином:

Системи з відмовами не мають черг.

Системи з очікуванням мають черги.

Заявка, що надійшла в момент, коли всі канали обслуговування зайняті:

Залишає систему з відмовами;

Стає у чергу на обслуговування в системах з очікуванням при необмеженій черзі або на вільне місце при обмеженій черзі;

Залишає систему з очікуванням при обмеженій черзі, якщо у цій черзі немає вільного місця.

Як захід ефективності економічної СМО розглядають суму втрат часу:

На очікування у черзі;

На простої каналів обслуговування.

Для всіх видів СМО використовуються наступні показники ефективності :

- відносна пропускна спроможність - це середня частка заявок, що обслуговуються системою;

- абсолютна пропускна спроможність - це середня кількість заявок, що обслуговуються системою в одиницю часу;

- ймовірність відмови - це ймовірність того, що заявка залишить систему без обслуговування;

- середня кількість зайнятих каналів - для багатоканальних СМО.

Показники ефективності СМО розраховуються за формулами спеціальних довідників (таблиць). Вихідними для таких розрахунків є результати моделювання СМО.

4.2. Моделювання системи масового обслуговування:

основні параметри, граф станів

При всьому різноманітті СМО вони мають загальні риси , які дозволяють уніфікувати їхнє моделювання для знаходження найефективніших варіантів організації таких систем .

Для моделювання СМО необхідно мати такі вихідні дані:

Основні параметри;

Граф стану.

Результатами моделювання СМО є ймовірності її станів, якими виражаються всі показники її ефективності.

Основні параметри для моделювання СМО включають:

Характеристики вхідного потоку заявок обслуговування;

Характеристика механізму обслуговування.

Розглянемо х арактеристики потоку заявок .

Потік заявок - послідовність заявок, що надходять обслуговування.

Інтенсивність потоку заявок - Середня кількість заявок, що надходять до СМО в одиницю часу.

Потоки заявок бувають найпростішими та відміннішими від найпростіших.

Для найпростіших потоків заявок використовуються моделі СМО.

Найпростішим , або пуассонівським називається потік, що є стаціонарним, одинарнимі в ньому відсутні післядії.

Стаціонарність означає незмінність інтенсивності надходження заявок з часом.

Одинарним потік заявок в тому випадку, коли за малий проміжок часу ймовірність надходження більш ніж однієї заявки близька до нуля.

Відсутність післядії полягає в тому, що кількість заявок, що надійшли до СМО за один інтервал часу, не впливає на кількість заявок, отриманих за інший інтервал часу.

Для відмінних від найпростіших потоків заявок використовуються імітаційні моделі.

Розглянемо характеристики механізму обслуговування .

Механізм обслуговування характеризується:

- числом каналів обслуговування ;

Продуктивністю каналу, або інтенсивністю обслуговування - Середнім числом заявок, що обслуговуються одним каналом в одиницю часу;

Дисципліною черги (наприклад, обсягом черги , порядком відбору з черги до механізму обслуговування тощо).

Граф станів визначає функціонування системи обслуговування як переходи з одного стану до іншого під впливом потоку заявок та його обслуговування.

Для побудови графа станів СМО необхідно:

Скласти перелік усіх можливих станів СМО;

Уявити перелічені стани графічно та відобразити можливі переходи між ними стрілками;

Зважити відображені стрілки, тобто приписати їм числові значення інтенсивностей переходів, що визначаються інтенсивністю потоку заявок та інтенсивністю їх обслуговування.

4.3. Обчислення ймовірностей станів

системи масового обслуговування

Граф станів СМО зі схемою "загибелі та народження" являє собою лінійний ланцюжок, де кожен із середніх станів має прямий і зворотний зв'язок з кожним із сусідніх станів, а крайні стани тільки з одним сусіднім:

Число станів у графі на одиницю більше, ніж сумарна кількість каналів обслуговування та місць у черзі.

СМО може бути в будь-якому зі своїх можливих станів, тому очікувана інтенсивність виходу з будь-якого стану дорівнює очікуваній інтенсивності входу системи в цей стан. Звідси система рівнянь визначення ймовірностей станів при найпростіших потоках матиме вид:

де - ймовірність того, що система перебуває в стані

- Інтенсивність переходу, або середня кількість переходів системи в одиницю часу зі стану в стан.

Використовуючи цю систему рівнянь, а також рівняння

ймовірність будь-якого стану можна обчислити за наступним загальному правилу :

ймовірність нульового стану розраховується як

а потім береться дріб, в чисельнику якої стоїть добуток всіх інтенсивностей потоків за стрілками, що ведуть зліва направо від стану до стану а в знаменнику - добуток всіх інтенсивностей за стрілками, що йде праворуч наліво від стану до стану, і цей дріб множиться на розраховану ймовірність

Висновки з четвертого розділу

Системи масового обслуговування мають один або кілька каналів обслуговування і можуть мати обмежену чи необмежену чергу (системи з очікуванням) заявок на обслуговування, не мати черги (системи з відмовами). Заявки обслуговування виникають у випадкові моменти часу. Системи масового обслуговування характеризуються такими показниками ефективності: відносна пропускна спроможність, абсолютна пропускна спроможність, можливість відмови, середня кількість зайнятих каналів.

Моделювання систем масового обслуговування здійснюється для знаходження найефективніших варіантів їхньої організації та передбачає такі вихідні дані для цього: основні параметри, граф станів. До таких даних належать такі: інтенсивність потоку заявок, кількість каналів обслуговування, інтенсивність обслуговування та обсяг черги. Число станів у графі на одиницю більше, ніж сума числа каналів обслуговування та місць у черзі.

Обчислення ймовірностей станів системи масового обслуговування із схемою «загибелі та народження» здійснюється за загальним правилом.

Запитання для самоперевірки

Які системи називають системами масового обслуговування?

Як класифікуються системи масового обслуговування за ознакою організації?

Які системи масового обслуговування називаються системами з відмовами, а які – з очікуванням?

Що відбувається із заявкою, що надійшла у момент часу, коли всі канали обслуговування зайняті?

Що розглядають як захід ефективності економічної системи масового обслуговування?

Які показники ефективності системи масового обслуговування використовуються?

Що є вихідними даними для розрахунків показників ефективності систем масового обслуговування?

Які вихідні дані потрібні для моделювання систем масового обслуговування?

Через які результати моделювання системи масового обслуговування виражають усі показники її ефективності?

Що включають основні параметри моделювання систем масового обслуговування?

Чим характеризуються потоки заявок на обслуговування?

Чим характеризуються механізми обслуговування?

Що описує граф станів системи масового обслуговування

Що потрібно для побудови графа станів системи масового обслуговування?

Що є граф станів системи масового обслуговування зі схемою «загибелі та народження»?

Чому дорівнює кількість станів у графі станів системи масового обслуговування?

Який вид має система рівнянь визначення ймовірностей станів системи масового обслуговування?

За яким загальним правилом обчислюється можливість будь-якого стану системи масового обслуговування?

Приклади розв'язання задач

1. Побудувати граф станів системи масового обслуговування та навести основні залежності її показників ефективності.

а) n-канальна СМО з відмовами (завдання Ерланга)

Основні параметри:

каналів ,

Інтенсивність потоку

Інтенсивність обслуговування.

Можливі стани системи:

Всі канали зайняті (заявки в системі).

Граф станів:

Відносна пропускна здатність ,

Ймовірність відмови ,

Середня кількість зайнятих каналів.

б) n-канальна СМО з m-обмеженою чергою

Можливі стани системи:

Усі канали вільні (нуль заявок у системі);

Один канал зайнятий, інші вільні (одна заявка у системі);

Два канали зайняті, інші вільні (дві заявки у системі);

...................................................................................

Усі канали зайняті, дві заявки у черзі;

Всі канали зайняті, заявок у черзі.

Граф станів:

в) Одноканальна СМО з необмеженою чергою

Можливі стани системи:

Усі канали вільні (нуль заявок у системі);

Канал зайнятий, нуль заявок у черзі;

Канал зайнятий, одна заявка у черзі;

...................................................................................

Канал зайнятий, заявка у черзі;

....................................................................................

Граф станів:

Показники ефективності системи:

Середній час перебування заявки у системі ,

Абсолютна пропускна спроможність

Відносна пропускна здатність.

г) n-канальна СМО з необмеженою чергою

Можливі стани системи:

Усі канали вільні (нуль заявок у системі);

Один канал зайнятий, інші вільні (одна заявка у системі);

Два канали зайняті, інші вільні (дві заявки у системі);

...................................................................................

Усі канали зайняті (заявок у системі), нуль заявок у черзі;

Усі канали зайняті, одна заявка у черзі;

....................................................................................

Всі канали зайняті, заявок у черзі;

....................................................................................

Граф станів:

Показники ефективності системи:

Середня кількість зайнятих каналів

Середня кількість заявок у системі ,

Середня кількість заявок у черзі ,

Середній час перебування заявки у черзі .

2. Обчислювальний центр має три ЕОМ. У центр надходить на рішення в середньому чотири завдання на годину. Середній час вирішення одного завдання – півгодини. Обчислювальний центр приймає і ставить у чергу вирішення трохи більше трьох завдань. Необхідно оцінити ефективність центру.

РІШЕННЯ. З умови ясно, що маємо багатоканальну СМО з обмеженою чергою:

Число каналів;

Інтенсивність потоку заявок (завдання/година);

Час обслуговування однієї заявки (година/завдання), інтенсивність обслуговування (завдання/година);

Довжина черги.

Перелік можливих станів:

Заявок немає, всі канали є вільними;

Один канал зайнятий, два вільні;

Два канали зайняті, один вільний;

Три канали зайняті;

Три канали зайняті, одна заявка у черзі;

Три канали зайняті, дві заявки у черзі;

Три канали зайняті, три заявки у черзі.

Граф станів:

Розрахуємо ймовірність стану:

Показники ефективності:

Імовірність відмови (всі три ЕОМ зайняті та три заявки стоять у черзі)

Відносна пропускна спроможність

Абсолютна пропускна спроможність

Середня кількість зайнятих ЕОМ

3. (Завдання з використанням СМО з відмовами.) У ВТК цеху працюють три контролери. Якщо деталь надходить у ВТК, коли всі контролери зайняті обслуговуванням деталей, що раніше надійшли, то вона проходить неперевіреною. Середня кількість деталей, що надходять у ВТК протягом години, дорівнює 24, середній час, який витрачає один контролер обслуговування однієї деталі, дорівнює 5 хв. Визначити ймовірність того, деталь пройде ВТК необслуженою, наскільки завантажені контролери та скільки їх необхідно поставити, щоб (* - задане значення ).

РІШЕННЯ. За умовою завдання, тоді.

1) Можливість простою каналів обслуговування:

3) Можливість обслуговування:

4) Середня кількість зайнятих обслуговуванням каналів:

5) Частка каналів, зайнятих обслуговуванням:

6) Абсолютна пропускна спроможність:

При . Зробивши аналогічні розрахунки для , отримаємо

Оскільки , то зробивши розрахунки для , отримаємо

ВІДПОВІДЬ. Імовірність того, що при деталі пройде ВТК необслуженою, становить 21%, і контролери будуть зайняті обслуговуванням на 53%.

Щоб забезпечити ймовірність обслуговування понад 95%, необхідно щонайменше п'ять контролерів.

4. (Завдання з використанням СМО з необмеженим очікуванням.) Ощадкас має трьох контролерів-касирів () для обслуговування вкладників . Потік вкладників надходить у ощадкасу з інтенсивністю чол./год. Середня тривалість обслуговування контролером-касиром одного вкладника мін.

Визначити характеристики ощадкаси як об'єкта СМО.

РІШЕННЯ. Інтенсивність потоку обслуговування, інтенсивність навантаження.

1) Імовірність простою контролерів-касирів протягом робочого дня (див. попереднє завдання №3):

2) Імовірність застати всіх контролерів-касирів зайнятими:

3) Імовірність черги:

4) Середня кількість заявок у черзі:

5) Середній час очікування заявки у черзі:

хв.

6) Середній час перебування заявки до СМО:

7) Середня кількість вільних каналів:

8) Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговування:

9) Середня кількість відвідувачів в ощадкасі:

ВІДПОВІДЬ. Імовірність простою контролерів-касирів дорівнює 21% робочого часу, ймовірність відвідувача опинитися в черзі становить 11,8%, середня кількість відвідувачів у черзі 0,236 чол., Середній час очікування відвідувачами обслуговування 0,472 хв.

5. (Завдання із застосуванням СМО з очікуванням та з обмеженою довжиною черги.) Магазин отримує ранні овочі з приміських теплиць. Автомобілі з вантажем прибувають у різний час з інтенсивністю машин щодня. Підсобні приміщення та обладнання для підготовки овочів до продажу дозволяють обробляти та зберігати товар, привезений двома автомашинами (). У магазині працюють три фасувальники (), кожен з яких у середньому може обробляти товар з однієї машини протягом години. Тривалість робочого дня при змінній роботі становить 12 год.

Визначити, якою має бути ємність підсобних приміщень, щоб ймовірність повної обробки товарів була .

РІШЕННЯ. Визначимо інтенсивність завантаження фасувальників:

Авт./Дн.

1) Знайдемо можливість простою фасувальників за відсутності машин (заявок):

причому 0! = 1,0.

2) Ймовірність відмови в обслуговуванні:

3) Можливість обслуговування:

Так як , Зробимо аналогічні обчислення для , отримаємо), при цьому ймовірність повної обробки товару буде .

Завдання для самостійної роботи

Для кожної з наступних ситуацій визначити:

a) якого класу належить об'єкт СМО;

b) число каналів;

c) довжину черги;

d) інтенсивність потоку заявок;

e) інтенсивність обслуговування одним каналом;

f) кількість всіх станів об'єкта СМО.

У відповідях вказати значення по кожному пункту, використовуючи такі скорочення та розмірності:

a) ГО – одноканальна з відмовами; МО – багатоканальна з відмовами; ОЖО – одноканальна з очікуванням з обмеженою чергою; ОЖН - одноканальна з очікуванням з необмеженою чергою; МЖО – багатоканальна з очікуванням з обмеженою чергою; МЖН - багатоканальна з очікуванням з необмеженою чергою;

b) =… (одиниць);

c) =… (одиниць);

d) =ххх/ххх(одиниць /хв);

e) =ххх/ххх(одиниць /хв);

f) (одиниць).

1. Черговий з адміністрації міста має п'ять телефонів. Телефонні дзвінки надходять з інтенсивністю 90 заявок на годину, середня тривалість розмови становить 2 хв.

2. На стоянці автомобілів біля магазину є 3 місця, кожне з яких відводиться під один автомобіль. Автомобілі прибувають на стоянку з інтенсивністю 20 автомобілів за годину. Тривалість перебування автомобілів на стоянці становить у середньому 15 хв. Стоянка на проїжджій частині не дозволяється.

3. АТС підприємства забезпечує трохи більше 5 переговорів одночасно. Середня тривалість розмов становить 1 хв. На станцію надходить у середньому 10 викликів у с.

4. У вантажний річковий порт надходить у середньому 6 суховантажів на добу. У порту є 3 крани, кожен з яких обслуговує 1 суховантажне в середньому за 8 год. Крани працюють цілодобово. Очікуючі на обслуговування суховантажівки стоять на рейді.

5. У службі «Швидкої допомоги» селища цілодобово чергують 3 диспетчери, які обслуговують 3 телефонні апарати. Якщо заявка на виклик лікаря до хворого надходить, коли диспетчери зайняті, абонент отримує відмову. Потік заявок складає 4 виклики на хвилину. Оформлення заявки триває у середньому 1,5 хв.

6. Салон-перукарня має 4 майстри. Потік відвідувачів, що входить, має інтенсивність 5 осіб на годину. Середній час обслуговування одного клієнта становить 40 хв. Довжина черги обслуговування вважається необмеженою.

7. На автозаправній станції встановлені 2 колонки для видачі бензину. Біля станції знаходиться майданчик на 2 автомобілі для очікування заправки. На станцію прибуває в середньому одна машина за 3 хв. Середній час обслуговування однієї машини становить 2 хв.

8. На вокзалі у майстерні побутового обслуговування працюють три майстри. Якщо клієнт заходить у майстерню, коли всі майстри зайняті, він йде з майстерні, не чекаючи обслуговування. Середня кількість клієнтів, які звертаються до майстерні за 1 год, дорівнює 20. Середній час, який витрачає майстер обслуговування одного клієнта, дорівнює 6 хв.

9. АТС селища забезпечує трохи більше 5 переговорів одночасно. Час переговорів у середньому становить близько 3 хв. Виклики на станцію надходять у середньому через 2 хв.

10. На автозаправній станції (АЗС) є 3 колонки. Майданчик при станції, на якій машини очікують заправку, може вмістити не більше однієї машини, і якщо вона зайнята, то чергова машина, яка прибула до станції, не стає в чергу, а проїжджає на сусідню станцію. У середньому машини прибувають на станцію кожні 2 хв. Процес заправки однієї машини продовжується в середньому 2,5 хв.

11. У невеликому магазині покупців обслуговують два продавці. Середній час обслуговування одного покупця – 4 хв. Інтенсивність потоку покупців – 3 особи на хвилину. Місткість магазину така, що одночасно в ньому в черзі можуть бути не більше 5 осіб. Покупець, який прийшов у переповнений магазин, коли в черзі вже стоять 5 людей, не чекає назовні і йде.

12. Залізничну станцію дачного селища обслуговує каса із двома вікнами. У вихідні дні, коли населення активно користується залізницею, інтенсивність потоку пасажирів становить 0,9 чол./хв. Касир витрачає обслуговування пасажира загалом 2 хв.

Для кожної із зазначених у варіантах СМО інтенсивність потоку заявок дорівнює і інтенсивність обслуговування одним каналом. Потрібно:

Скласти перелік можливих станів;

Побудувати граф станів за схемою "загибелі та розмноження".

У відповіді вказати для кожного завдання:

Кількість станів системи;

Інтенсивність переходу з останнього стану до передостаннього.

Варіант №1

1. одноканальна СМО із чергою довжиною в 1 заявку

2. 2-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 31-канальна СМО з 1-обмеженою чергою

5. 31-канальна СМО з необмеженою чергою

Варіант №2

1. одноканальна СМО з чергою довжиною у 2 заявки

2. 3-канальна СМО з відмовами (Завдання Ерланга)

3. 30-канальна СМО з 2-обмеженою чергою