Як легко вирішити геометричну прогресію. Геометрична прогресія - Гіпермаркет знань

наприклад, Послідовність \\ (3 \\); \\ (6 \\); \\ (12 \\); \\ (24 \\); \\ (48 \\) ... є геометричною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього в два рази (інакше кажучи, може бути отриманий з попереднього множенням його на два):

Як і будь-яку послідовність, геометричну прогресію позначають маленької латинською літерою. Числа, що утворюють прогресію, називають її членами (Або елементами). Їх позначають тією ж буквою, що і геометричну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.

наприклад, Геометрична прогресія \\ (b_n \u003d \\ (3; 6; 12; 24; 48 ... \\) \\) складається з елементів \\ (b_1 \u003d 3 \\); \\ (B_2 \u003d 6 \\); \\ (B_3 \u003d 12 \\) і так далі. Іншими словами:

Якщо ви зрозуміли вищевикладену інформацію, то вже зможете вирішити більшість завдань на цю тему.

Приклад (ОГЕ):
Рішення:

відповідь : \(-686\).

Приклад (ОГЕ): Дано перші три члена прогресії \\ (324 \\); \\ (- 108 \\); \\ (36 \\) .... Знайдіть \\ (b_5 \\).
Рішення:

	Щоб продовжити послідовність, нам потрібно знати знаменник. Знайдемо його з двох сусідніх елементів: на що потрібно помножити \\ (324 \\), щоб вийшло \\ (- 108 \\)?
\\ (324 · q \u003d -108 \\)	Звідси без проблем обчислюємо знаменник.
\\ (Q \u003d - \\) \\ (\\ frac (108) (324) \\) \\ (\u003d - \\) \\ (\\ frac (1) (3) \\)	Тепер ми легко знаходимо потрібний нам елемент.
	Готовий відповідь.

відповідь : \(4\).

приклад: Прогресія задана умовою \\ (b_n \u003d 0,8 · 5 ^ n \\). Яке з чисел є членом цієї прогресії:

а) \\ (- 5 \\) б) \\ (100 \\) в) \\ (25 \\) г) \\ (0,8 \\)?

Рішення: З формулювання завдання очевидно, що одне з цих чисел точно є в нашій прогресії. Тому ми можемо просто обчислювати її члени по черзі, поки не знайдемо потрібне нам значення. Так як у нас прогресія задана формулою, то обчислюємо значення елементів, підставляючи різні \\ (n \\):
\\ (N \u003d 1 \\); \\ (B_1 \u003d 0,8 · 5 ^ 1 \u003d 0,8 · 5 \u003d 4 \\) - такого числа в списку немає. Продовжуємо.
\\ (N \u003d 2 \\); \\ (B_2 \u003d 0,8 · 5 ^ 2 \u003d 0,8 · 25 \u003d 20 \\) - і цього теж немає.
\\ (N \u003d 3 \\); \\ (B_3 \u003d 0,8 · 5 ^ 3 \u003d 0,8 · 125 \u003d 100 \\) - а ось і наш чемпіон!

відповідь: \(100\).

Приклад (ОГЕ): Дано кілька йдуть послідовно один за одним членів геометричної прогресії ... \\ (8 \\); \\ (X \\); \\ (50 \\); \\ (- 125 \\) .... Знайдіть значення елемента, позначеного літерою \\ (x \\).

Рішення:

відповідь: \(-20\).

Приклад (ОГЕ): Прогресія задана умовами \\ (b_1 \u003d 7 \\), \\ (b_ (n + 1) \u003d 2b_n \\). Знайдіть суму перших \\ (4 \\) членів цієї прогресії.

Рішення:

відповідь: \(105\).

Приклад (ОГЕ): Відомо, що в геометричній прогресії \\ (b_6 \u003d -11 \\), \\ (b_9 \u003d 704 \\). Знайдіть знаменник \\ (q \\).

Рішення:

	Зі схеми зліва видно, що щоб «потрапити» з \\ (b_6 \\) в \\ (b_9 \\) - ми робимо три «кроку», тобто три рази множимо \\ (b_6 \\) на знаменник прогресії. Іншими словами \\ (b_9 \u003d b_6 · q · q · q \u003d b_6 · q ^ 3 \\).
\\ (B_9 \u003d b_6 · q ^ 3 \\)	Підставами відомі нам значення.
\\ (704 \u003d (- 11) · q ^ 3 \\)	«Перевернемо» рівняння і розділимо його на \\ ((- 11) \\).
\\ (Q ^ 3 \u003d \\) \\ (\\ frac (704) (- 11) \\) \\ (\\: \\: \\: ⇔ \\: \\: \\: \\) \\ (q ^ 3 \u003d - \\) \\ (64 \\)	Яке число в кубі дасть \\ (- 64 \\)? Звичайно, \\ (- 4 \\)!
	Відповідь знайдений. Його можна перевірити, відновивши ланцюжок чисел від \\ (- 11 \\) до \\ (704 \\).
	Все зійшлося - відповідь вірний.

відповідь: \(-4\).

найважливіші формули

Як бачите, більшість завдань на геометричну прогресію можна вирішувати чистої логікою, просто розуміючи суть (це взагалі характерно для математики). Але іноді знання деяких формул і закономірностей прискорює і істотно полегшує вирішення. Ми вивчимо дві такі формули.

Формула \\ (n \\) - го члена: \\ (b_n \u003d b_1 · q ^ (n-1) \\), де \\ (b_1 \\) - перший член прогресії; \\ (N \\) - номер шуканого елемента; \\ (Q \\) - знаменник прогресії; \\ (B_n \\) - член прогресії з номером \\ (n \\).

За допомогою цієї формули можна, наприклад, вирішити задачу з самого першого прикладу буквально в одну дію.

Приклад (ОГЕ): Геометрична прогресія задана умовами \\ (b_1 \u003d -2 \\); \\ (Q \u003d 7 \\). Знайдіть \\ (b_4 \\).
Рішення:

відповідь: \(-686\).

Цей приклад був простим, тому формула нам полегшила обчислення не дуже сильно. Давайте розберемо завдання трохи складніше.

приклад: Геометрична прогресія задана умовами \\ (b_1 \u003d 20480 \\); \\ (Q \u003d \\ frac (1) (2) \\). Знайдіть \\ (b_ (12) \\).
Рішення:

відповідь: \(10\).

Звичайно, зводити \\ (\\ frac (1) (2) \\) в \\ (11 \\) - ую ступінь не дуже радісно, \u200b\u200bале все ж простіше ніж \\ (11 \\) раз ділити \\ (20480 \\) на два.

Сума \\ (n \\) перших членів: \\ (S_n \u003d \\) \\ (\\ frac (b_1 · (q ^ n-1)) (q-1) \\), де \\ (b_1 \\) - перший член прогресії; \\ (N \\) - кількість сумміруемих елементів; \\ (Q \\) - знаменник прогресії; \\ (S_n \\) - сума \\ (n \\) перших членів прогресії.

Приклад (ОГЕ): Дана геометрична прогресія \\ (b_n \\), знаменник якої дорівнює \\ (5 \\), а перший член \\ (b_1 \u003d \\ frac (2) (5) \\). Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:

відповідь: \(1562,4\).

І знову ми могли вирішити задачу «в лоб» - знайти по черзі всі шість елементів, а потім скласти результати. Однак кількість обчислень, а значить і шанс випадкової помилки, різко зросли б.

Для геометричній прогресії є ще кілька формул, які ми не стали розглядати тут через їх низьку практичної користі. Ви можете знайти ці формули.

Зростаючі і спадні геометричні прогресії

У розглянутої на самому початку статті прогресії \\ (b_n \u003d \\ (3; 6; 12; 24; 48 ... \\) \\) знаменник \\ (q \\) більше одиниці і тому кожен наступний член більше попереднього. Такі прогресії називаються зростаючими.

Якщо ж \\ (q \\) менше одиниці, але при цьому позитивний (тобто, лежить в межах від нуля до одиниці), то кожен наступний елемент буде менше ніж попередній. Наприклад, в прогресії \\ (4 \\); \\ (2 \\); \\ (1 \\); \\ (0,5 \\); \\ (0,25 \\) ... знаменник \\ (q \\) дорівнює \\ (\\ frac (1) (2) \\).

Ці прогресії називаються убутними. Зверніть увагу, що жоден з елементів такої прогресу не буде негативний, вони просто стають все менше і менше з кожним кроком. Тобто, ми будемо поступово наближатися до нуля, але ніколи його не досягнемо і за нього не перейдемо. Математики в таких випадках кажуть «прагнути до нуля».

Відзначимо, що при негативному знаменнику елементи геометричної прогресії будуть обов'язково міняти знак. наприклад, У прогресії \\ (5 \\); \\ (- 15 \\); \\ (45 \\); \\ (- 135 \\); \\ (675 \\) ... знаменник \\ (q \\) дорівнює \\ (- 3 \\), і через це знаки елементів «блимають».

Розглянемо деякий ряд.

7 28 112 448 1792...

Абсолютно ясно видно, що значення будь-якого його елемента більше попереднього рівно в чотири рази. Значить, даний ряд є прогресією.

Геометричній прогрессіейіменуется нескінченна послідовність чисел, головною особливістю якої є те, що наступне число виходить з попереднього за допомогою множення на якесь певне число. Це виражається наступною формулою.

a z +1 \u003d a z · q, де z - номер обраного елемента.

Відповідно, z ∈ N.

Період, коли в школі вивчається геометрична прогресія - 9 клас. Приклади допоможуть розібратися в понятті:

0.25 0.125 0.0625...

Виходячи з цієї формули, знаменник прогресії можливо визначити наступним чином:

Ні q, ні b z не можуть дорівнювати нулю. Так само кожен з елементів прогресії не повинен дорівнювати нулю.

Відповідно, щоб дізнатися наступне число ряду, потрібно помножити останнім на q.

Щоб задати дану прогресію, необхідно вказати перший її елемент і знаменник. Після цього можливе знаходження будь-якого з наступних членів і їх суми.

різновиди

Залежно від q і a 1, дана прогресія розділяється на кілька видів:

• Якщо і a 1, і q більше одиниці, то така послідовність - зростаюча з кожним наступним елементом геометрична прогресія. Приклад такої представлений далі.

Приклад: a 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - обидва параметри більше одиниці.

Тоді числова послідовність може бути записана так:

3 6 12 24 48 ...

• Якщо | q | менше одиниці, тобто, множення на нього еквівалентно поділу, то прогресія з подібними умовами - спадна геометрична прогресія. Приклад такої представлений далі.

Приклад: a 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - a 1 більше одиниці, q - менше.

Тоді числову послідовність можна записати таким чином:

6 2 2/3 ... - будь-який елемент більше елемента, наступного за ним, в 3 рази.

• Знакозмінна. якщо q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Приклад: a 1 \u003d -3, q \u003d -2 - обидва параметри менше нуля.

Тоді числову послідовність можна записати так:

3, 6, -12, 24,...

формули

Для зручного використання геометричних прогресій існує безліч формул:

• Формула z-го члена. Дозволяє розрахувати елемент, що стоїть під конкретним номером без розрахунку попередніх чисел.

приклад:q = 3, a 1 \u003d 4. Потрібно порахувати четвертий елемент прогресії.

Рішення:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сума перших елементів, чия кількість одно z. Дозволяє розрахувати суму всіх елементів послідовності доa z включно.

Так як (1q) Коштує в знаменнику, то (1 - q)≠ 0, отже, q не дорівнює 1.

Зауваження: якщо б q \u003d 1, то прогресія представляла б собою ряд з нескінченно повторюваного числа.

Сума геометричній прогресії, приклади:a 1 = 2, q \u003d -2. Порахувати S 5.

Рішення:S 5 = 22 - розрахунок за формулою.

• Сума, якщо |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

приклад:a 1 = 2 , q \u003d 0.5. Знайти суму.

Рішення:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Деякі властивості:

• Характеристичне властивість. Якщо така умова виконується для будь-якогоz, То заданий числовий ряд - геометрична прогресія:

a z 2 = a z -1 · a z + 1

• Так само квадрат будь-якого числа геометричній прогресії знаходиться за допомогою додавання квадратів двох інших будь-яких чисел в заданому ряду, якщо вони рівновіддалені від цього елемента.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , деt - відстань між цими числами.

• елементи розрізняються в qраз.
• Логарифми елементів прогресії так само утворюють прогресію, але вже арифметичну, тобто кожен з них більше попереднього на певне число.

Приклади деяких класичних задач

Щоб краще зрозуміти, що таке геометрична прогресія, приклади з рішенням для 9 класу можуть допомогти.

• умови:a 1 = 3, a 3 \u003d 48. Знайтиq.

Рішення: кожен наступний елемент більше попереднього вq раз.Необхідно висловити одні елементи через інші за допомогою знаменника.

отже,a 3 = q 2 · a 1

при підстановціq= 4

• умови:a 2 = 6, a 3 \u003d 12. Розрахувати S 6.

Рішення:Для цього достатньо знайти q, перший елемент і підставити в формулу.

a 3 = q· a 2 , Отже,q= 2

a 2 \u003d q · A 1,тому a 1 \u003d 3

S 6 \u003d 189

• · a 1 = 10, q \u003d -2. Знайти четвертий елемент прогресії.

Рішення: для цього достатньо висловити четвертий елемент через перший і через знаменник.

a 4 \u003d q 3· a 1 \u003d -80

Приклад застосування:

• Клієнт банку зробив внесок на суму 10000 рублів, за умовами якого щороку клієнту до основної суми будуть додаватися 6% від неї ж. Скільки коштів буде на рахунку через 4 роки?

Рішення: Початкова сума дорівнює 10 тисячам рублів. Значить, через рік після вкладення на рахунку буде сума, рівна 10000 + 10000 · 0.06 \u003d 10000 · 1.06

Відповідно, сума на рахунку ще через один рік виражатиметься наступним чином:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 \u003d 1.06 · 1.06 · 10000

Тобто з кожним роком сума збільшується в 1.06 раз. Значить, щоб знайти кількість коштів на рахунку через 4 роки, досить знайти четвертий елемент прогресії, яка задана першим елементом, рівним 10 тисячам, і знаменником, рівним 1.06.

S \u003d 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 \u003d 12625

Приклади завдань на обчислення суми:

У різних завданнях використовується геометрична прогресія. Приклад на знаходження суми може бути заданий наступним чином:

a 1 = 4, q \u003d 2, розрахуватиS 5.

Рішення: всі необхідні для розрахунку дані відомі, потрібно просто підставити їх в формулу.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 \u003d 18. Розрахувати суму перших шести елементів.

Рішення:

У геом. прогресії кожен наступний елемент більше попереднього в q разів, тобто для обчислення суми необхідно знати елементa 1 і знаменникq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Аналогічним чином потрібно знайтиa 1 , знаючиa 2 іq.

a 1 · q = a 2

a 1 \u003d2

S 6 = 728.

22.09.2018 22:00

Геометрична прогресія, поряд з арифметичної, є важливим числовим рядом, який вивчається в шкільному курсі алгебри в 9 класі. У цій статті розглянемо знаменник геометричній прогресії, і то, як його значення впливає на її властивості.

Визначення прогресії геометричної

Для початку наведемо визначення цього числового ряду. Прогресією геометричній називають такий ряд раціональних чисел, який формується шляхом послідовного множення його першого елемента на постійне число, що носить назву знаменника.

Наприклад, числа в ряду 3, 6, 12, 24, ... - це прогресія геометрична, оскільки якщо помножити 3 (перший елемент) на 2, то отримаємо 6. Якщо 6 помножити на 2, то отримаємо 12, і так далі.

Члени даної послідовності прийнято позначати символом ai, де i - це ціле число, яке вказує на номер елемента в ряду.

Наведене вище визначення прогресії можна записати на мові математики наступним чином: an \u003d bn-1 * a1, де b - знаменник. Перевірити цю формулу легко: якщо n \u003d 1, то b1-1 \u003d 1, і ми отримуємо a1 \u003d a1. Якщо n \u003d 2, тоді an \u003d b * a1, і ми знову приходимо до визначення розглянутого ряду чисел. Аналогічні міркування можна продовжити для великих значень n.

Знаменник прогресії геометричної

Число b повністю визначає, який характер буде носити весь числовий ряд. Знаменник b може бути позитивний, негативний, а також мати значення більше одиниці або менше. Всі перераховані варіанти призводять до різних послідовностей:

• b\u003e 1. Має місце зростаючий ряд раціональних чисел. Наприклад, 1, 2, 4, 8, ... Якщо елемент a1 буде негативним, тоді вся послідовність буде зростати тільки по модулю, але спадати з урахуванням знака чисел.
• b \u003d 1. Часто такий випадок не називають прогресією, оскільки має місце звичайний ряд однакових раціональних чисел. Наприклад, -4, -4, -4.

Формула для суми

Перед тим як перейти до розгляду конкретних завдань з використанням знаменника розглянутого виду прогресії, слід привести важливу формулу для суми її перших n елементів. Формула має вигляд: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Отримати цей вислів можна самостійно, якщо розглянути рекурсивную послідовність членів прогресії. Також зауважимо, що в наведеній формулі досить знати тільки перший елемент і знаменник, щоб знайти суму довільного числа членів.

Нескінченно спадна послідовність

Вище було дано пояснення, що вона собою являє. Тепер, знаючи формулу для Sn, застосуємо її до цього числовому ряду. Так як будь-яке число, модуль якого не перевищує 1, при зведенні в великі ступеня прагне до нуля, тобто b∞ \u003d\u003e 0, якщо -1

Оскільки різниця (1 - b) завжди буде позитивною, незалежно від значення знаменника, то знак суми спадної нескінченно прогресії геометричної S∞ однозначно визначається знаком її першого елемента a1.

Тепер розглянемо кілька завдань, де покажемо, як застосовувати отримані знання на конкретних числах.

Завдання № 1. Обчислення невідомих елементів прогресії і суми

Дана прогресія геометрична, знаменник прогресії 2, а її перший елемент 3. Чому дорівнюватимуть її 7-й і 10-й члени, і яка сума її семи початкових елементів?

Умова завдання складено досить просто і передбачає безпосереднє використання вищезгаданих формул. Отже, для обчислення елемента з номером n використовуємо вираз an \u003d bn-1 * a1. Для 7-го елемента маємо: a7 \u003d b6 * a1, підставляючи відомі дані, отримуємо: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Аналогічним чином поступаємо для 10-го члена: a10 \u003d 29 * 3 \u003d тисячу п'ятсот тридцять шість.

Скористаємося відомою формулою для суми і визначимо цю величину для 7-ми перших елементів ряду. Маємо: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Завдання № 2. Визначення суми довільних елементів прогресії

Нехай -2 дорівнює знаменник прогресії в геометричній прогресії bn-1 * 4, де n - ціле число. Необхідно визначити суму з 5-го по 10-й елемент цього ряду включно.

Поставлена \u200b\u200bпроблема не може бути вирішена безпосередньо з використанням відомих формул. Вирішити її можна 2-ма різними методами. Для повноти викладу теми наведемо обидва.

Метод 1. Ідея його проста: необхідно розрахувати дві відповідні суми перших членів, а потім відняти від однієї іншу. Обчислюємо меншу суму: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Тепер обчислюємо велику суму: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Відзначимо, що в останньому виразі підсумовувалися тільки 4 доданків, оскільки 5-е вже входить в суму, яку потрібно обчислити за умовою задачі. Нарешті, беремо різницю: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Метод 2. Перед тим, як підставляти цифри і вважати, можна отримати формулу для суми між членами m і n розглянутого ряду. Вступаємо абсолютно так само, як в методі 1, тільки працюємо спочатку з символьним поданням суми. Маємо: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В отриманий вираз можна підставляти відомі числа і обчислювати кінцевий результат: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Завдання № 3. Чому дорівнює знаменник?

Нехай a1 \u003d 2, знайдіть знаменник прогресії геометричної, за умови, що її нескінченна сума становить 3, і відомо, що це регресний ряд чисел.

За умовою завдання неважко здогадатися, якою формулою слід користуватися для її вирішення. Звичайно ж, для суми прогресії нескінченно спадної. Маємо: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Звідки висловлюємо знаменник: b \u003d 1 - a1 / S∞. Залишилося підставити відомі значення і отримати необхідне число: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 або -0,333 (3). Можна якісно перевірити цей результат, якщо згадати, що для цього типу послідовності модуль b не повинен виходити за межі 1. Як видно, | -1 / 3 |

Завдання № 4. Відновлення ряду чисел

Нехай дано 2 елементи числового ряду, наприклад, 5-й дорівнює 30 і 10-й дорівнює 60. Необхідно за цими даними відновити весь ряд, знаючи, що він задовольняє властивостям прогресії геометричної.

Щоб вирішити задачу, необхідно для початку записати для кожного відомого члена відповідний вираз. Маємо: a5 \u003d b4 * a1 і a10 \u003d b9 * a1. Тепер розділимо другий вираз на перше, отримаємо: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Звідси визначаємо знаменник, взявши корінь п'ятого ступеня від відносини відомих з умови задачі членів, b \u003d 1,148698. Отримане число підставляємо в один з виразів для відомого елемента, отримуємо: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1,148698) 4 \u003d 17,2304966.

Таким чином, ми знайшли, чому дорівнює знаменник прогресії bn, і геометричну прогресію bn-1 * 17,2304966 \u003d an, де b \u003d 1,148698.

Де застосовуються прогресії геометричні?

Якби не існувало застосування цього числового ряду на практиці, то його вивчення зводилося б до чисто теоретичному інтересу. Але таке застосування існує.

Нижче перераховані 3 найзнаменитіших прикладу:

• Парадокс Зенона, в якому спритний Ахіллес не може наздогнати повільну черепаху, вирішується з використанням поняття спадної нескінченно послідовності чисел.
• Якщо на кожну клітину шахівниці класти зерна пшениці так, що на 1-ю клітину покласти 1 зерно, на 2-ю - 2, на 3-ю - 3 і так далі, то щоб заповнити всі клітини дошки знадобиться 18446744073709551615 зерен!
• У грі "Вежа Ханоя", щоб переставити диски з одного стрижня на інший, необхідно виконати 2n - 1 операцій, тобто їх число зростає в геометричній прогресії від кількості використовуваних дисків n.

Вулиця Кіевян, 16 0016 Вірменія, Єреван +374 11 233 255

\u003e\u003e Математика: Геометрична прогресія

Для зручності читача цей параграф будується точно за тим же планом, якого ми дотримувалися в попередньому параграфі.

1. Основні поняття.

Визначення. Числову послідовність, всі члени якої відмінні від 0 і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням його на одне і те ж число називають геометричною прогресією. При цьому число 5 називають знаменником геометричної прогресії.

Таким чином, геометрична прогресія - це числова послідовність (b n), задана рекуррентно співвідношеннями

Чи можна, дивлячись на числову послідовність, визначити, чи є вона геометричною прогресією? Можна, можливо. Якщо ви переконалися в тому, що ставлення будь-якого члена послідовності до попереднього члену постійно то перед вами-геометрична прогресія.
Приклад 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 \u003d 1, q \u003d 3.

Приклад 2.

Це геометрична прогресія, у якої
Приклад 3.

Це геометрична прогресія, у якої
Приклад 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Це геометрична прогресія, у якої b 1 - 8, q \u003d 1.

Зауважимо, що ця послідовність є і арифметичною прогресією (див. Приклад 3 з § 15).

Приклад 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Це геометрична прогресія, у якої b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Очевидно, що геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1\u003e 0, q\u003e 1 (див. Приклад 1), і спадною, якщо b 1\u003e 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Для позначення того, що послідовність (b n) є геометричною прогресією, іноді буває зручна наступна запис:

Значок замінює словосполучення «геометрична прогресія».
Відзначимо один цікавий і в той же час досить очевидне властивість геометричної прогресії:
якщо послідовність є геометричною прогресією, то і послідовність квадратів, тобто є геометричною прогресією.
У другій геометричній прогресії перший член дорівнює а дорівнює q 2.
Якщо в геометричній прогресії відкинути всі члени, які йдуть за b n, то вийде кінцева геометрична прогресія
У подальших пунктах цього параграфа ми розглянемо найбільш важливі властивості геометричної прогресії.

2. Формула п-го члена геометричної прогресії.

Розглянемо геометричну прогресію знаменником q. маємо:

Неважко здогадатися, що для будь-якого номера n справедливо рівність

Це - формула n-го члена геометричної прогресії.

Зауваження.

Якщо ви прочитали важливе зауваження з попереднього параграфа і зрозуміли його, то спробуйте довести формулу (1) методом математичної індукції подібно до того, як зто було зроблено для формули n-го члена арифметичної прогресії.

Перепишемо формулу n-го члена геометричної прогресії

і введемо позначення: Отримаємо у \u003d mq 2, або, докладніше,
Аргумент х міститься в показнику ступеня, тому таку функцію називають показовою функцією. Значить, геометричну прогресію можна розглядати як показову функцію, задану на множині N натуральних чисел. На рис. 96а зображено графік функції рис. 966 - графік функції В обох випадках маємо ізольовані точки (з абсциссами х \u003d 1, х \u003d 2, х \u003d 3 і т.д.), що лежать на деякій кривій (на обох малюнках представлена \u200b\u200bодна і та ж крива, тільки по-різному розташована і зображена в різних масштабах). Цю криву називають експонентою. Детальніше про показовою функції і її графіку мова піде в курсі алгебри 11-го класу.

Повернемося до прикладів 1-5 з попереднього пункту.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Це геометрична прогресія, у якої Ь 1 \u003d 1, q \u003d 3. Складемо формулу n-го члена
2) Це геометрична прогресія, у якої Складемо формулу n-го члена

Це геометрична прогресія, у якої Складемо формулу n-го члена
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Це геометрична прогресія, у якої b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Складемо формулу n-го члена
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Це геометрична прогресія, у якої b 1 \u003d 2, q \u003d -1. Складемо формулу n-го члена

Приклад 6.

Дана геометрична прогресія

У всіх випадках в основі рішення лежить формула n-го члена геометричної прогресії

а) Поклавши у формулі n-го члена геометричної прогресії n \u003d 6, отримаємо

б) Маємо

Так як 512 \u003d 2 9, то отримуємо п - 1 \u003d 9, п \u003d 10.

г) Маємо

Приклад 7.

Різниця між сьомим і п'ятим членами геометричної прогресії дорівнює 48, сума п'ятого і шостого членів прогресії також дорівнює 48. Знайти дванадцятий член цієї прогресії.

Перший етап. Складання математичної моделі.

Умови завдання можна коротко записати так:

Скориставшись формулою n-го члена геометричної прогресії, отримаємо:
Тоді друга умова завдання (b 7 - b 5 \u003d 48) можна записати у вигляді

Третя умова завдання (b 5 + b 6 \u003d 48) можна записати у вигляді

В результаті отримуємо систему двох рівнянь з двома змінними b 1 і q:

яка в поєднанні з записаним вище умовою 1) і являє собою математичну модель задачі.

Другий етап.

Робота з складеної моделлю. Прирівнявши ліві частини обох рівнянь системи, отримаємо:

(Ми розділили обидві частини рівняння на вираз b 1 q 4, відмінне від нуля).

З рівняння q 2 - q - 2 \u003d 0 знаходимо q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1. Підставивши значення q \u003d 2 в друге рівняння системи, отримаємо
Підставивши значення q \u003d -1 в друге рівняння системи, отримаємо b 1 1 0 \u003d 48; це рівняння не має рішень.

Отже, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ця пара є рішенням складеної системи рівнянь.

Тепер ми можемо записати геометричну прогресію, про яку йде мова в задачі: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Третій етап.

Відповідь на питання завдання. Потрібно обчислити b 12. маємо

Про т в е т: b 12 \u003d 2048.

3. Формула суми членів кінцевої геометричній прогресії.

Нехай дана кінцева геометрична прогресія

Позначимо через S n суму її членів, тобто

Виведемо формулу для відшукання цієї суми.

Почнемо з найпростішого випадку, коли q \u003d 1. Тоді геометрична прогресія b 1, b 2, b 3, ..., bn складається з n чисел, рівних b 1, тобто прогресія має вигляд b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Сума цих чисел дорівнює nb 1.

Нехай тепер q \u003d 1 Для відшукання S n застосуємо штучний прийом: виконаємо деякі перетворення виразу S n q. маємо:

Виконуючи перетворення, ми, по-перше, користувалися визначенням геометричній прогресії, згідно з яким (див. Третій рядок міркувань); по-друге, додали і відняли чому значення виразу, зрозуміло, не змінилося (див. четвертий рядок міркувань); по-третє, скористалися формулою n-го члена геометричної прогресії:

З формули (1) знаходимо:

Це - формула суми n членів геометричної прогресії (для випадку, коли q \u003d 1).

Приклад 8.

Дана кінцева геометрична прогресія

а) суму членів прогресії; б) суму квадратів її членів.

б) Вище (див. с. 132) ми вже відзначали, що якщо всі члени геометричної прогресії звести в квадрат, то вийде геометрична прогресія з першим членом Ь 2 і знаменником q 2. Тоді сума шести членів нової прогресії буде обчислюватися по

Приклад 9.

Знайти 8-й член геометричної прогресії, у якої

Фактично ми довели наступну теорему.

Числова, послідовність є геометричною прогресією тоді й тільки тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого Теорема (і останнього, в разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього і наступного членів (характеристичне властивість геометричної прогресії).

Це число називається знаменником геометричної прогресії, т. Е. Кожен член відрізняється від попереднього в q разів. (Будемо вважати, що q ≠ 1, інакше все аж надто тривіально). Неважко бачити, що загальна формула n -го члена геометричної прогресії b n \u003d b 1 q n - 1; члени з номерами b n і b m відрізняються в q n - m раз.

Уже в Стародавньому Єгипті знали не тільки арифметичну, а й геометричну прогресію. Ось, наприклад, завдання з папірусу Райнд: «У семи осіб по семи кішок; кожна кішка з'їдає по семи мишей, кожна миша з'їдає по семи класів, з кожного колоса може вирости по сім мірок ячменю. Які то величні числа цього ряду і їх сума? »

Мал. 1. Давньоєгипетська завдання про геометричній прогресії

Це завдання багато разів з різними варіаціями повторювалася і у інших народів в інші часи. Наприклад, в написаній в XIII в. «Книзі про абаці» Леонардо Пізанського (Фібоначчі) є завдання, в якій фігурують 7 бабусь, що прямують до Риму (очевидно, паломниць), у кожній з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, в кожному з яких по 7 хлібів , в кожному з яких по 7 ножів, кожен з яких в 7 піхвах. У задачі питається, скільки всього предметів.

Сума перших n членів геометричної прогресії S n \u003d b 1 (q n - 1) / (q - 1). Цю формулу можна довести, наприклад, так: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Додамо до S n число b 1 q n і отримаємо:

S n + b 1 qn \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn - 1 + b 1 qn \u003d b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn -1) q \u003d b 1 + S nq.

Звідси S n (q - 1) \u003d b 1 (q n - 1), і ми отримуємо необхідну формулу.

Вже на одній із глиняних табличок Стародавнього Вавилона, що відноситься до VI ст. до н. е., міститься сума 1 + 2 + 2 + 2 + 2 3+ ... + 2 +9 \u003d 2 10 - 1. Правда, як і в ряді інших випадків ми не знаємо, звідки цей факт був відомий вавилонянам.

Швидке зростання геометричній прогресії в ряді культур, - зокрема, в індійській, - неодноразово використовується як наочний символ неозорості світобудови. У відомій легенді про появу шахів володар надає їх винахіднику можливість самому вибрати нагороду, і той просить таку кількість пшеничних зерен, яке вийде, якщо одне покласти на першу клітку шахівниці, два - на другу, чотири - на третю, вісім - на четверту і т. д., всякий раз число збільшується вдвічі. Владика думав, що мова йде, найбільше, про кількох мішках, але він прорахувався. Неважко бачити, що за всі 64 клітини шахової дошки винахідник мав би отримати (2 64 - 1) зерно, що виражається 20-значним числом; навіть якщо засівати всю поверхню Землі, треба було б не менше 8 років, щоб зібрати необхідну кількість зерен. Цю легенду іноді інтерпретують як вказівку на практично необмежені можливості, приховані в шаховій грі.

Те, що це число дійсно 20-значне, побачити неважко:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 \u003d 1,6 ∙ 10 19 (більш точний розрахунок дає 1,84 ∙ 10 19). А ось цікаво, чи зможете ви дізнатися, якою цифрою закінчується дане число?

Геометрична прогресія буває зростаючої, якщо знаменник по модулю більше 1, або спадної, якщо він менше одиниці. В останньому випадку число q n при досить великих n може стати як завгодно малим. У той час як зростаюча геометрична прогресія зростає несподівано швидко, спадна настільки ж швидко убуває.

Чим більше n, тим слабкіше число q n відрізняється від нуля, і тим ближче сума n членів геометричної прогресії S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) до числа S \u003d b 1 / (1 - q). (Так міркував, наприклад, Ф. Вієт). Число S називається сумою нескінченно спадної геометричної прогресії. Проте, довгі століття питання про те, який сенс має підсумовування ВСІЄЇ геометричній прогресії, з її нескінченним числом членів, не був достатньо ясний математикам.

Спадну геометричну прогресію можна бачити, наприклад, в апориях Зенона «Розподіл навпіл» і «Ахіллес і черепаха». У першому випадку наочно показується, що вся дорога (припустимо, довжини 1) є сумою нескінченного числа відрізків 1/2, 1/4, 1/8 і т. Д. Так воно, звичайно, і є з точки зору уявлень про кінцевій сумі нескінченної геометричної прогресії. І все ж - як таке може бути?

Мал. 2. Прогресія з коефіцієнтом 1/2

В апорії про Ахіллеса ситуація трохи складніша, т. К. Тут знаменник прогресії рівний не 1/2, а якомусь іншому числу. Нехай, наприклад, Ахіллес біжить зі швидкістю v, черепаха рухається зі швидкістю u, а початкову відстань між ними одно l. Це відстань Ахіллес пробіжить за час l / v, черепаха за цей час зрушиться на відстань lu / v. Коли Ахіллес пробіжить і цей відрізок, дистанція між ним і черепахою стане рівною l (u / v) 2, і т. Д. Виходить, що наздогнати черепаху - значить знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом l і знаменником u / v. Ця сума - відрізок, який в підсумку пробіжить Ахіллес до місця зустрічі з черепахою - дорівнює l / (1 - u / v) \u003d lv / (v - u). Але, знову-таки, як треба інтерпретувати цей результат і чому він взагалі має якийсь сенс, довгий час було не дуже ясно.

Мал. 3. Геометрична прогресія з коефіцієнтом 2/3

Суму геометричній прогресії використовував Архімед при визначенні площі сегмента параболи. Нехай цей сегмент параболи відмежований хордою AB і нехай в точці D параболи дотична паралельна AB. Нехай C - середина AB, E - середина AC, F - середина CB. Проведемо прямі, паралельні DC, через точки A, E, F, B; нехай дотичну, проведену в точці D, ці прямі перетинають в точках K, L, M, N. Проведемо також відрізки AD і DB. Нехай пряма EL перетинає пряму AD в точці G, а параболу в точці H; пряма FM перетинає пряму DB в точці Q, а параболу в точці R. Відповідно до загальної теорії конічних перетинів, DC - діаметр параболи (тобто відрізок, паралельний її осі); він і дотична в точці D можуть служити осями координат x і y, в яких рівняння параболи записується як y 2 \u003d 2px (x - відстань від D до будь-якої точки даного діаметра, y - довжина паралельного даної дотичній відрізка від цієї точки діаметра до деякої точки на самій параболі).

В силу рівняння параболи, DL 2 \u003d 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 \u003d 2 ∙ p ∙ KA, а оскільки DK \u003d 2DL, то KA \u003d 4LH. Т. к. KA \u003d 2LG, LH \u003d HG. Площа сегмента ADB параболи дорівнює площі трикутника ΔADB і площами сегментів AHD і DRB, разом узятих. У свою чергу, площа сегмента AHD аналогічним чином дорівнює площі трикутника AHD і залишилися сегментів AH і HD, з кожним з яких можна провести ту ж операцію - розбити на трикутник (Δ) і два що залишилися сегмента (), і т. Д .:

Площа трикутника ΔAHD дорівнює половині площі трикутника ΔALD (у них спільне підґрунтя AD, а висоти відрізняються в 2 рази), яка, в свою чергу, дорівнює половині площі трикутника ΔAKD, а значить, і половині площі трикутника ΔACD. Таким чином, площа трикутника ΔAHD дорівнює чверті площі трикутника ΔACD. Аналогічно, площа трикутника ΔDRB дорівнює чверті площі трикутника ΔDFB. Отже, площі трикутників ΔAHD і ΔDRB, разом узяті, рівні чверті площі трикутника ΔADB. Повторення цієї операції в застосуванні до сегментів AH, HD, DR і RB виділить і з них трикутники, площа яких, разом узятих, буде в 4 рази менше, ніж площа трикутників ΔAHD і ΔDRB, разом узятих, а значить, в 16 разів менше, ніж площі трикутника ΔADB. І так далі:

Таким чином, Архімед довів, що «всякий сегмент, укладений між прямою і параболою, становить чотири третини трикутника, що має з ним один і той же підставу і рівну висоту».