Як визначити найбільше значення похідної за графіком. В якій точці значення похідної найбільше? Обчислення значення похідної

У проміжку ( а,b), А х - є випадково вибраним пунктом даного проміжку. дамо аргументу х приріст Δх (позитивне чи негативне).

Функція у \u003d f (x) одержить збільшення Δу рівне:

Δy \u003d f (x + Δx) -f (x).

При нескінченно малому Δх приріст Δу теж нескінченно мало.

наприклад:

Розглянемо рішення похідної функції на прикладі вільного падіння тіла.

Так як t 2 \u003d t l + Δt, то

.

Обчисливши межа, знайдемо:

Позначення t 1 вводиться з метою підкреслення сталості t при обчисленні границі функції. Так як t 1 є довільним значенням часу, то індекс 1 можна відкинути; тоді отримуємо:

Видно, що швидкість v, як і шлях s, є функція часу. вид функції v цілком залежить від виду функції s, Так що функція s як би «виробляє» функцію v. Звідси назва « похідна функція».

Розглянь ще один приклад.

Знайти значення похідної функції:

у \u003d х 2 при х \u003d 7.

Рішення. при х \u003d 7 маємо у \u003d 7 2 \u003d 49. дамо аргументу х приріст Δ х. Аргумент стане рівним 7 + Δ х, А функція отримає значення (7 + Δ х) 2.

Похідна функції - одна зі складних тем в шкільній програмі. Не кожен випускник відповість на питання, що таке похідна.

У цій статті просто і зрозуміло розказано про те, що таке похідна і для чого вона потрібна. Ми не будемо зараз прагнути до математичної строгості викладу. Найголовніше - зрозуміти сенс.

Запам'ятаємо визначення:

Похідна - це швидкість зміни функції.

На малюнку - графіки трьох функцій. Як ви думаєте, яка з них швидше росте?

Відповідь очевидна - третя. У неї найбільша швидкість зміни, тобто найбільша похідна.

Ось ще один приклад.

Костя, Гриша і Матвій одночасно влаштувалися на роботу. Подивимося, як змінювався їхній дохід протягом року:

На графіку відразу все видно, чи не так? Дохід Кістки за півроку виріс більше ніж в два рази. І у Гриші дохід теж виріс, але зовсім трохи. А дохід Матвія зменшився до нуля. Стартові умови однакові, а швидкість зміни функції, тобто похідна, - різна. Що стосується Матвія - у його доходу похідна взагалі негативна.

Інтуїтивно ми без праці оцінюємо швидкість зміни функції. Але як же це робимо?

Насправді ми дивимося, наскільки круто йде вгору (або вниз) графік функції. Іншими словами - наскільки швидко змінюється у зі зміною х. Очевидно, що одна і та ж функція в різних точках може мати різне значення похідної - тобто може змінюватися швидше або повільніше.

Похідна функції позначається.

Покажемо, як знайти за допомогою графіка.

Намальований графік деякої функції. Візьмемо на ньому точку з абсцисою. Проведемо в цій точці дотичну до графіка функції. Ми хочемо оцінити, наскільки круто вгору йде графік функції. Зручна величина для цього - тангенс кута нахилу дотичної.

Похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці.

Зверніть увагу - в якості кута нахилу дотичній ми беремо кут між дотичній і позитивним напрямом осі.

Іноді учні запитують, що таке дотична до графіка функції. Це пряма, має на даній ділянці єдину спільну точку з графіком, причому так, як показано на нашому малюнку. Схоже на дотичну до кола.

Знайдемо. Ми пам'ятаємо, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. З трикутника:

Ми знайшли похідну за допомогою графіка, навіть не знаючи формулу функції. Такі завдання часто зустрічаються в ЄДІ з математики під номером.

Є й інше важливе співвідношення. Згадаймо, що пряма задається рівнянням

Величина в цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Вона дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі.

.

Ми отримуємо, що

Запам'ятаємо цю формулу. Вона висловлює геометричний зміст похідної.

Похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці.

Іншими словами, похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичній.

Ми вже сказали, що у однієї і тієї ж функції в різних точках може бути різна похідна. Подивимося, як же пов'язана похідна з поведінкою функції.

Намалюємо графік деякої функції. Нехай на одних ділянках ця функція зростає, на інших - зменшується, причому з різною швидкістю. І нехай у цій функції будуть точки максимуму і мінімуму.

У точці функція зростає. Дотична до графіка, проведена в точці, утворює гострий кут з позитивним напрямом осі. Значить, в точці похідна позитивна.

У точці наша функція спадає. Дотична в цій точці утворює тупий кут з позитивним напрямом осі. Оскільки тангенс тупого кута від'ємний, в точці похідна негативна.

Ось що виходить:

Якщо функція зростає, її похідна позитивна.

Якщо убуває, її похідна негативна.

А що ж буде в точках максимуму і мінімуму? Ми бачимо, що в точках (точка максимуму) і (точка мінімуму) дотична горизонтальна. Отже, тангенс кута нахилу дотичної в цих точках дорівнює нулю, і похідна теж дорівнює нулю.

Точка - точка максимуму. У цій точці зростання функції змінюється спадання. Отже, знак похідної змінюється в точці з «плюса» на «мінус».

У точці - точці мінімуму - похідна теж дорівнює нулю, але її знак змінюється з «мінуса» на «плюс».

Висновок: за допомогою похідної можна дізнатися про поведінку функції все, що нас цікавить.

Якщо похідна позитивна, то функція зростає.

Якщо похідна негативна, то функція спадає.

У точці максимуму похідна дорівнює нулю і змінює знак з «плюса» на «мінус».

У точці мінімуму похідна теж дорівнює нулю і змінює знак з «мінуса» на «плюс».

Запишемо ці висновки у вигляді таблиці:

	зростає	точка максимуму	убуває	точка мінімуму	зростає
+	0	-	0	+

Зробимо два невеликих уточнення. Одне з них знадобиться вам при вирішенні завдань ЄДІ. Інше - на першому курсі, при більш серйозному вивченні функцій і похідних.

Можливий випадок, коли похідна функції в будь-якій точці дорівнює нулю, але ні максимуму, ні мінімуму у функції в цій точці немає. Це так звана :

У точці дотична до графіка горизонтальна, і похідна дорівнює нулю. Однак до точки функція зростала - і після точки продовжує зростати. Знак похідної не змінюється - вона як була позитивною, так і залишилася.

Буває і так, що в точці максимуму або мінімуму похідна не існує. На графіку це відповідає різкого зламу, коли дотичну в даній точці провести неможливо.

А як знайти похідну, якщо функція задається не графіком, а формулою? У цьому випадку застосовується

З'явилися нові завдання. Давайте розберемо їх рішення.

Прототип завдання B8 (№ 317543)

На малюнку зображено графік функції y \u003d f (x) і відзначені точки -2, -1, 1, 2. В якій з цих точок значення похідної найбільше? У відповіді вкажіть цю точку.

Як ми знаємо, називається

границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

Похідна в точці показує швидкість зміни функції в даній точці. Чим швидше змінюється функція, тобто чим більше приріст функції, тим більше кут нахилу дотичній. Оскільки в задачі потрібно визначити точку, в якій значення похідної найбільше, виключимо з розгляду точки з абсциссами -1 і 1 - в цих точках функція спадає, і похідна в них негативна.

Функція зростає в точках -2 і 2. Однак, зростає вона в них по-різному - в точці -2 графік функції піднімається крутіше, ніж в точці 2, і отже, приріст функції в цій точки, а, отже, і похідна - більше.

Відповідь: -2

І аналогічна задача:

Прототип завдання B8 (№ 317544)

На малюнку зображено графік функції і відзначені точки -2, -1, 1, 4. В якій з цих точок значення похідної найменше? У відповіді вкажіть цю точку.

Вирішення цього завдання аналогічно рішенням попередньої "з точністю до навпаки"

Нас цікавить точка, в якій похідна приймає найменше значення, тобто ми шукаємо точку, в якій функція зменшується найшвидше - на графіку це точка, в якій найкрутіший "спуск". Це точка з абсцисою 4.

Цей розділ містить завдання ЄДІ з математики на теми, пов'язані з дослідженням функцій і їх похідних.

У демонстраційних варіантах ЄДІ 2020 року вони можуть зустрітися під номером 14 для базового рівня і під номером 7 для профільного рівня.

Подивіться уважно на ці три графіка функцій.
Чи помітили ви, що ці функції в певному сенсі "родичі"?
Наприклад, на тих ділянках, де графік зеленої функції розташований вище нуля, червона функція зростає. На тих ділянках, де графік зеленої функції нижче нуля, червона функція спадає.
Аналогічні зауваження можна зробити щодо червоного і синього графіків.
Також можна помітити, що нулі зеленої функції (точки x \u003d -1 і x \u003d 3) збігаються з точками екстремумів червоного графіка: при x \u003d -1 на червоному графіку ми бачимо локальний максимум, при х \u003d 3 на червоному графіку локальний мінімум.
Неважко помітити, що локальні максимуми і мінімуми синього графіка досягаються в тих же точках, де червоний графік проходить через значення y = 0.
Можна зробити ще кілька висновків про особливості поведінки цих графіків, тому що вони дійсно пов'язані між собою. Подивіться на формули функцій, розташовані під кожним з графіків, і шляхом обчислень переконайтеся, що кожна попередня є похідною для подальшої і, відповідно, кожна наступна є однією з превообразних попередньої функції.

φ 1 (x ) = φ" 2 (x ) φ 2 (x ) = Φ 1 (x )
φ 2 (x ) = φ" 3 (x ) φ 3 (x ) = Φ 2 (x )

Згадаймо, що ми знаємо про похідну:

Похідна функції y = f(x) В точці х висловлює швидкість зміни функції в точці x.

Фізичний зміст похідної полягає в тому, що похідна виражає швидкість протікання процесу, що описується залежністю y \u003d f (x).

Геометричний зміст похідної полягає в тому, що її значення в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції, що диференціюється в цій точці.

А тепер нехай червоного графіка на малюнку немає. Припустимо, що і формули функцій нам невідомі.

Чи можу я запитати вас про щось, пов'язаному з поведінкою функції φ 2 (x ), Якщо відомо, що вона є похідною функції φ 3 (x ) І первісної функції φ 1 (x )?
Можу. І на багато питань можна дати точну відповідь, адже ми знаємо, що похідна є характеристикою швидкості зміни функції, тому можемо судити про деякі особливості поведінки однієї з цих функцій, дивлячись на графік інший.

Перш, ніж відповідати на такі питання, перейдіть вгору так, щоб зник верхній малюнок, що містить червоний графік. Коли відповіді будуть дані, поверніть його назад, щоб перевірити результат. І тільки після цього дивіться моє рішення.

Увага: Для посилення навчального ефекту відповіді і рішення завантажуються окремо для кожного завдання послідовним натисканням кнопок на жовтому тлі. (Коли завдань багато, кнопки можуть з'явитися з затримкою. Якщо кнопок не видно зовсім, перевірте, чи дозволений у вашому браузері JavaScript.)

1) Користуючись графіком похідної φ" 2 (x ) (В нашому випадку це зелений графік), визначте яке з 2-ух значень функції більше φ 2 (-3) або φ 2 (−2)?

За графіком похідної видно, що на ділянці [-3; -2] її значення строго позитивні, це свідчить про те на цій ділянці тільки зростає, тому значення функції в лівому кінці x \u003d -3 менше, ніж її значення в правому кінці x = −2.

відповідь: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Користуючись графіком первообразной Φ 2 (x ) (В нашому випадку це синій графік), визначте яке з 2-ух значень функції більше φ 2 (-1) або φ 2 (4)?

За графіком первообразной видно, що точка x \u003d -1 знаходиться на ділянці зростання, отже значення відповідної похідної позитивно. Крапка x \u003d 4 знаходиться на ділянці убування і значення відповідної похідної негативно. Оскільки позитивне значення більше негативного, робимо висновок - значення невідомої функції, яка як раз і є похідною, в точці 4 менше, ніж в точці -1.

відповідь: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Подібних питань по відсутньому графіку можна задати багато, що обумовлює велику разноообразіе завдань з короткою відповіддю, побудованих за такою ж схемою. Спробуйте вирішити деякі з них.

Завдання на визначення характеристик похідної за графіком функції.

Малюнок 1.

Малюнок 2.

завдання 1

y = f (x ), Визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Визначте кількість цілих точок, в яких похідна функції позитивна.

Похідна функції позитивна на тих ділянках, де функція зростає. За малюнком видно, що це проміжки (-10,5; -7,6), (-1; 8,2) і (15,7; 19). Перерахуємо цілі точки всередині цих інтервалів: "-10", "- 9", "-8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "16", "17", "18". Всього 15 точок.

відповідь: 15

Зауваження.
1. Коли в задачах про графіки функцій вимагають назвати "точки", як правило, мають на увазі тільки значення аргументу x , Які є абсциссами відповідних точок, розташованих на графіку. Ординати цих точок - значення функції, вони є залежними і можуть бути легко обчислені при необхідності.
2. При перерахуванні точок ми не враховували краю інтервалів, так як функція в цих точках не збільшується і не зменшується, а "розгортається". Похідна в таких точках не позитивний і не негативна, вона дорівнює нулю, тому вони називаються стаціонарними точками. Крім того, ми не розглядаємо тут кордону області визначення, тому що в умові сказано, що це інтервал.

завдання 2

На малюнку 1 зображено графік функції y = f (x ), Визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Визначте кількість цілих точок, в яких похідна функції f " (x ) Негативна.

Похідна функції негативна на тих ділянках, де функція спадає. За малюнком видно, що це проміжки (-7,6; -1) і (8,2; 15,7). Цілі точки всередині цих інтервалів: "-7", "- 6", "-5", "- 4", "3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Всього 13 точок.

відповідь: 13

Див. Зауваження до попередньої задачі.

Для вирішення таких завдань потрібно згадати ще одну постанову.

Точки максимуму і мінімуму функції об'єднуються загальною назвою - точки екстремуму .

У цих точках похідна функції або дорівнює нулю, або не існує ( необхідна умова екстремуму).
Однак необхідна умова - це ознака, але не гарантія існування екстремуму функції. Достатньою умовою екстремуму є зміна знака похідної: якщо похідна в точці змінює знак з "+" на "-", то це точка максимуму функції; якщо похідна в точці змінює знак з "-" на "+", то це точка мінімуму функції; якщо в точці похідна функції дорівнює нулю, або не існує, але знак похідної при переході через цю точку не змінюється на протилежний, то зазначена точка не є точкою екстремуму функції. Це може бути точка перегину, точка розриву або точка зламу графіка функції.

завдання 3

На малюнку 1 зображено графік функції y = f (x ), Визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Знайдіть кількість точок, в яких дотична до графіка функції паралельна прямій y \u003d 6 або збігається з нею.

Згадаймо, що рівняння прямої має вигляд y = kx + b , де k - коефіцієнт нахилу цієї прямої до осі Ox. У нашому випадку k \u003d 0, тобто пряма y \u003d 6 Не нахилена, а паралельна осі Ox. Значить шукані дотичні також повинні бути паралельні осі Ox і також повинні мати коефіцієнт нахилу 0. Таким властивістю дотичні мають в точках екстремумів функцій. Тому для відповіді на питання потрібно просто порахувати всі точки екстремумів на графіку. Тут їх 4 - дві точки максимуму і дві точки мінімуму.

відповідь: 4

завдання 4

функції y = f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть суму точок екстремуму функції на відрізку.

На зазначеному відрізку ми бачимо 2 точки екстремуму. Максимум функції досягається в точці x 1 \u003d 4, мінімум у точці x 2 = 8.
x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

відповідь: 12

завдання 5

На малюнку 1 зображено графік функції y = f (x ), Визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Знайдіть кількість точок, в яких похідна функції f " (x ) Дорівнює 0.

Похідна функції дорівнює нулю в точках екстремуму, яких на графіку видно 4:
2 точки максимуму і 2 точки мінімуму.

відповідь: 4

Завдання на визначення характеристик функції за графіком її похідної.

Малюнок 1.

Малюнок 2.

завдання 6

На малюнку 2 зображений графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). В якій точці відрізка [-6; 2] функція f (x ) Приймає найбільше значення.

На зазначеному відрізку похідна ніде не була позитивною, отже функція не збільшується. Вона спадала або проходила через стаціонарні точки. Таким чином, найбільшого значення функція досягала на лівій межі відрізка: x = −6.

відповідь: −6

зауваження: За графіком похідної видно, що на відрізку [-6; 2] вона дорівнює нулю тричі: в точках x = −6, x = −2, x \u003d 2. Але в точці x \u003d -2 вона не змінювала знака, значить в цій точці не могло бути екстремуму функції. Швидше за все там була точка перегину графіка вихідної функції.

завдання 7

На малюнку 2 зображений графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). В якій точці відрізка функція приймає найменше значення.

На відрізку похідна строго позитивна, отже функція на цій ділянці лише зростала. Таким чином, найменшого значення функція досягала на лівій межі відрізка: x = 3.

відповідь: 3

завдання 8

На малюнку 2 зображений графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть кількість точок максимуму функції f (x ), Що належать відрізку [-5; 10].

Згідно необхідної умови екстремуму максимум функції може бути в точках, де її похідна дорівнює нулю. На заданому відрізку це точки: x = −2, x = 2, x = 6, x \u003d 10. Але згідно достатньому умові він точно будетільки в тих з них, де знак похідної змінюється з "+" на "-". На графіку похідною ми бачимо, що з перерахованих точок такою є тільки точка x = 6.

відповідь: 1

завдання 9

На малюнку 2 зображений графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f (x ), Що належать відрізку.

Екстремуми функції можуть бути в тих точках, де її похідна дорівнює 0. На заданому відрізку графіка похідної ми бачимо 5 таких точок: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x \u003d 18. Але в точці x \u003d 14 похідна не поміняла знак, отже її треба виключити з розгляду. Таким чином, залишаються 4 точки.

відповідь: 4

завдання 10

На малюнку 1 зображено графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Знайдіть проміжки зростання функції f (x ). У відповіді вкажіть довжину найбільшого з них.

Проміжки зростання функції збігаються з проміжками позитивності похідною. На графіку ми бачимо їх три - (-9; -7), (4; 12), (18; 19). Найдовший з них другий. його довжина l = 12 − 4 = 8.

відповідь: 8

завдання 11

На малюнку 2 зображений графік f " (x ) - похідної функції f (x ), Визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть кількість точок, в яких дотична до графіка функції f (x ) Паралельна прямій y = −2x − 11 або збігається з нею.

Кутовий коефіцієнт (він же тангенс кута нахилу) заданої прямої k \u003d -2. Нас цікавлять паралельні або збігаються дотичні, тобто прямі з таким же нахилом. Виходячи з геометричного сенсу похідної - кутовий коефіцієнт дотичної в даній точці графіка функції, перераховуємо точки, в яких похідна дорівнює -2. На малюнку 2 таких точок 9. Їх зручно вважати по перетину графіка і лінії координатної сітки, що проходить через значення -2 на осі Oy.

відповідь: 9

Як бачите, по одному і тому ж графіку можна задати найрізноманітніші питання про поведінку функції і її похідної. Також один той же питання можна віднести до графіків різних функцій. Будьте уважні при вирішенні цього завдання на іспиті, і вона здасться Вам дуже легкою. Інші види завдань цього завдання - на геометричний сенс первообразной - будуть розглянуті в іншому розділі.

Вітаю! Вдаримо по наближається ЄДІ якісної систематичної підготовкою, і завзятістю в подрібненні граніту науки !!! В Наприкінці посту є конкурсна завдання, будьте першим! В одній зі статей даної рубрики ми з вами, в яких було дано графік функції, і ставилися різні питання, що стосуються екстремумів, проміжків зростання (спадання) та інші.

У цій статті розглянемо завдання, які в ЄДІ з математики, в яких дано графік похідної функції, і ставляться наступні питання:

1. В якій точці заданого відрізка функція приймає найбільше (або найменше) значення.

2. Знайти кількість точок максимуму (або мінімуму) функції, що належать заданому відрізку.

3. Знайти кількість точок екстремуму функції, що належать заданому відрізку.

4. Знайти точку екстремуму функції, що належить заданому відрізку.

5. Знайти проміжки зростання (або зменшення) функції і у відповіді вказати суму цілих точок, що входять в ці проміжки.

6. Знайти проміжки зростання (або зменшення) функції. У відповіді вказати довжину найбільшого з цих проміжків.

7. Знайти кількість точок, в яких дотична до графіка функції паралельна прямій виду у \u003d kx + b або збігається з нею.

8. Знайти абсциссу точки, в якій дотична до графіка функції паралельна осі абсцис або збігається з нею.

Можуть стояти і інші питання, але вони не викличуть у вас труднощів, якщо ви зрозуміли і (посилання вказані на статті, в яких представлена \u200b\u200bнеобхідна для вирішення інформація, рекомендую повторити).

Основна інформація (коротко):

1. Похідна на інтервалах зростання має позитивний знак.

Якщо похідна в певній точці з деякого інтервалу має позитивне значення, то графік функції на цьому інтервалі зростає.

2. На інтервалах убування похідна має негативний знак.

Якщо похідна в певній точці з деякого інтервалу має від'ємне значення, то графік функції на цьому інтервалі убуває.

3. Похідна в точці х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в цій же точці.

4. У точках екстремуму (максимуму-мінімуму) функції похідна дорівнює нулю. Дотична до графіка функції в цій точці паралельна осі ох.

Це потрібно чітко усвідомити і пам'ятати !!!

Багатьох графік похідної «бентежить». Деякі через неуважність приймають його за графік самої функції. Тому в таких будівлях, де бачите, що даний графік, відразу ж акцентуйте свою увагу в умови на те, що дано: графік функції або графік похідної функції?

Якщо це графік похідної функції, то ставитеся до нього як би до «відображенню» самої функції, яке просто дає вам інформацію про цю функцію.

Розглянемо завдання:

На малюнку зображений графік у \u003df'(Х) - похідної функції f(Х), Визначеної на інтервалі (-2; 21).

Відповімо на наступні питання:

1. В якій точці відрізка функція f(Х) приймає найбільше значення.

На заданому відрізку похідна функції негативна, це свідчить про те на цьому відрізку убуває (вона убуває від лівої межі інтервалу до правої). Таким чином, найбільше значення функції досягається на лівій межі відрізка, т. Е. В точці 7.

Відповідь: 7

2. В якій точці відрізка функція f(Х)

За даним графіком похідної можемо сказати наступне. На заданому відрізку похідна функції позитивна, це свідчить про те на цьому відрізку зростає (вона зростає від лівої межі інтервалу до правої). Таким чином, найменше значення функції досягається на лівій межі відрізка, тобто в точці х \u003d 3.

Відповідь: 3

3. Знайдіть кількість точок максимуму функції f(Х)

Точки максимуму відповідають точкам зміни знака похідної з позитивного на негативний. Розглянемо, де таким чином змінюється знак.

На відрізку (3; 6) похідна позитивна, на відрізку (6; 16) негативна.

На відрізку (16; 18) похідна позитивна, на відрізку (18; 20) негативна.

Таким чином, на заданому відрізку функція має дві точки максимуму х \u003d 6 і х \u003d 18.

Відповідь: 2

4. Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(Х), Що належать відрізку.

Точки мінімуму відповідають точкам зміни знака похідної з негативного на позитивний. У нас на інтервалі (0; 3) похідна негативна, на інтервалі (3; 4) позитивна.

Таким чином, на відрізку функція має тільки одну точку мінімуму х \u003d 3.

* Будьте уважні при запису відповіді - записується кількість точок, а не значення х, таку помилку можна допустить через неуважність.

Відповідь: 1

5. Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(Х), Що належать відрізку.

Зверніть увагу, що необхідно знайти кількість точок екстремуму (це і точки максимуму і точки мінімуму).

Точки екстремуму відповідають точкам зміни знака похідної (з позитивного на негативний або навпаки). На даному в умови графіку це нулі функції. Похідна звертається в нуль в точках 3, 6, 16, 18.

Таким чином, на відрізку функція має 4 точки екстремуму.

Відповідь: 4

6. Знайдіть проміжки зростання функції f(Х)

Проміжки зростання даної функції f(Х) відповідають проміжкам, на яких її похідна позитивна, тобто інтервалах (3; 6) і (16; 18). Зверніть увагу, що межі інтервалу не входять до нього (круглі дужки - кордони не включені в інтервал, квадратні - включені). Дані інтервали містять цілі точки 4, 5, 17. Їх сума дорівнює: 4 + 5 + 17 \u003d 26

Відповідь: 26

7. Знайдіть проміжки спадання функції f(Х) на заданому інтервалі. У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять в ці проміжки.

Проміжки спадання функції f(Х) відповідають проміжкам, на яких похідна функції негативна. У цьому завданню це інтервали (-2; 3), (6; 16), (18; 21).

Дані інтервали містять такі цілі точки: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Їх сума дорівнює:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Відповідь: 140

* Звертайте увагу в умови: чи включені кордону в інтервал чи ні. Якщо кордону будуть включені, то і в розглянутих в процесі вирішення інтервалах ці кордони також необхідно враховувати.

8. Знайдіть проміжки зростання функції f(Х)

Проміжки зростання функції f(Х) відповідають проміжкам, на яких похідна функції позитивна. Ми вже вказували їх: (3; 6) і (16; 18). Найбільшим з них є інтервал (3; 6), його довжина дорівнює 3.

Відповідь: 3

9. Знайдіть проміжки спадання функції f(Х). У відповіді вкажіть довжину найбільшого з них.

Проміжки спадання функції f(Х) відповідають проміжкам, на яких похідна функції негативна. Ми вже вказували їх, це інтервали (-2; 3), (6; 16), (18; 21), їх довжини відповідно рівні 5, 10, 3.

Довжина найбільшого дорівнює 10.

Відповідь: 10

10. Знайдіть кількість точок, в яких дотична до графіка функції f(Х) паралельна прямій у \u003d 2х + 3 або збігається з нею.

Значення похідної в точці дотику одно кутовому коефіцієнту дотичної. Так як дотична паралельна прямій у \u003d 2х + 3 або збігається з нею, то їх кутові коефіцієнти рівні 2. Значить, необхідно знайти кількість точок, в яких у '(х 0) \u003d 2. Геометрично це відповідає кількості точок перетину графіка похідною з прямою у \u003d 2. На даному інтервалі таких точок 4.

Відповідь: 4

11. Знайдіть точку екстремуму функції f(Х), Що належить відрізку.

Точка екстремуму функції це така точка, в якій її похідна дорівнює нулю, при чому в околиці цієї точки похідна змінює знак (з позитивного на негативний або навпаки). На відрізку графік похідної перетинає вісь абсцис, похідна змінює знак з негативного на позитивний. Отже, точка х \u003d 3 є точкою екстремуму.

Відповідь: 3

12. Знайдіть абсциси точок, в яких дотичні до графіка у \u003d f (x) паралельні осі абсцис або збігаються з нею. У відповіді вкажіть найбільшу з них.

Дотична до графіка у \u003d f (x) може бути паралельна осі абсцис або збігатися з нею, тільки в точках, де похідна дорівнює нулю (це можуть бути точки екстремуму або стаціонарні точки, в околицях яких похідна свій знак не змінює). За даним графіком видно, що похідна дорівнює нулю в точках 3, 6, 16,18. Найбільша дорівнює 18.

Можна побудувати міркування таким чином:

Значення похідної в точці дотику одно кутовому коефіцієнту дотичної. Оскільки дотична паралельна осі абсцис або збігається з нею, її кутовий коефіцієнт дорівнює 0 (дійсно тангенс кута в нуль градусів дорівнює нулю). Отже, ми шукаємо точку, в якій кутовий коефіцієнт, дорівнює нулю, а значить, і похідна дорівнює нулю. Похідна дорівнює нулю в тій точці, в якій її графік перетинає вісь абсцис, а це точки 3, 6, 16,18.

Відповідь: 18

На малюнку зображений графік у \u003df'(Х) - похідної функції f(Х), Визначеної на інтервалі (-8; 4). В якій точці відрізка [-7; -3] функція f(Х) приймає найменше значення.

На малюнку зображений графік у \u003df'(Х) - похідної функції f(Х), Визначеної на інтервалі (-7; 14). Знайдіть кількість точок максимуму функції f(Х), Що належать відрізку [-6; 9].

На малюнку зображений графік у \u003df'(Х) - похідної функції f(Х), Визначеної на інтервалі (-18; 6). Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(Х), Що належать відрізку [-13; 1].

На малюнку зображений графік у \u003df'(Х) - похідної функції f(Х), Визначеної на інтервалі (-11; -11). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(Х), Що належать відрізку [10; -10].

На малюнку зображений графік у \u003df'(Х) - похідної функції f(Х), Визначеної на інтервалі (-7; 4). Знайдіть проміжки зростання функції f(Х). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять в ці проміжки.

На малюнку зображений графік у \u003df'(Х) - похідної функції f(Х), Визначеної на інтервалі (-5; 7). Знайдіть проміжки спадання функції f(Х). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять в ці проміжки.

На малюнку зображений графік у \u003df'(Х) - похідної функції f(Х), Визначеної на інтервалі (-11; 3). Знайдіть проміжки зростання функції f(Х). У відповіді вкажіть довжину найбільшого з них.

F На малюнку зображений графік

Умова завдання той же (яку ми розглядали). Знайдіть суму трьох чисел:

1. Сума квадратів екстремумів функції f (х).

2. Різниця квадратів суми точок максимуму і суми точок мінімуму функції f (х).

3. Кількість дотичних до f (х), паралельних прямій у \u003d 3х + 5.

Перший, хто дасть правильну відповідь, отримає заохочувальний приз - 150 рублів. Відповіді пишіть в коментарях. Якщо це ваш перший коментар на блозі, то відразу він не з'явиться, трохи пізніше (не турбуйтеся, час написання коментаря реєструється).

Успіху вам!

З повагою, Олександр Крутіцах.

P.S: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт в соціальних мережах.