Геометрична прогресія приклад. Геометрична прогресія
Арифметична і геометрична прогресії
теоретичні відомості
теоретичні відомості
Арифметична прогресія |
Геометрична прогресія |
|
визначення |
арифметичною прогресією a n називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим же числом d (d - різниця прогресій) |
геометричною прогресією b n називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й теж число q (q - знаменник прогресії) |
рекурентна формула |
Для будь-якого натурального n |
Для будь-якого натурального n |
Формула n-ого члена |
a n \u003d a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| характеристичне властивість |  |
|
| Сума n-перше членів |  |
 |
Приклади завдань з коментарями
Завдання 1
В арифметичній прогресії ( a n) a 1 = -6, a 2
За формулою n-ого члена:
a 22 = a 1 + D (22 - 1) \u003d a 1 + 21 d
За умовою:
a 1 \u003d -6, значить a 22 \u003d -6 + 21 d.
Необхідно знайти різницю прогресій:
d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
відповідь: a 22 = -48.
завдання 2
Знайдіть п'ятий член геометричної прогресії: -3; 6; ....
1-й спосіб (з допомогою формули n-членів)
За формулою n-ого члена геометричної прогресії:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Так як b 1 = -3,
2-й спосіб (з допомогою рекурентної формули)
Так як знаменник прогресії дорівнює -2 (q \u003d -2), то:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
відповідь: b 5 = -48.
завдання 3
В арифметичній прогресії ( a n) a 74 = 34; a 76 \u003d 156. Знайдіть сімдесят п'ятий член цієї прогресії.
Для арифметичної прогресії характеристичне властивість має вигляд 
.
З цього слід:
.
Підставами дані в формулу:
Відповідь: 95.
завдання 4
В арифметичній прогресії ( a n) a n \u003d 3n - 4. Знайдіть суму сімнадцяти перших членів.
Для знаходження суми n-перших членів арифметичної прогресії використовують дві формули:
.
Яку з них в даному випадку зручніше застосовувати?
За умовою відома формула n-ого члена вихідної прогресії ( a n) a n \u003d 3n - 4. Можна знайти відразу і a 1, і a 16 без знаходження d. Тому скористаємося першою формулою.
Відповідь: 368.
завдання 5
В арифметичній прогресії ( a n) a 1 = -6; a 2 \u003d -8. Знайдіть двадцять другого член прогресії.
За формулою n-ого члена:
a 22 \u003d a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d.
За умовою, якщо a 1 \u003d -6, то a 22 \u003d -6 + 21d. Необхідно знайти різницю прогресій:
d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
відповідь: a 22 = -48.
завдання 6
Записані кілька послідовних членів геометричної прогресії:
Знайдіть член прогресії, позначений буквою x.
При вирішенні скористаємося формулою n-го члена b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 для геометричних прогресій. Перший член прогресії. Щоб знайти знаменник прогресії q необхідно взяти будь-який з даних членів прогресії і розділити на попередній. У нашому прикладі можна взяти і поділити на. Отримаємо, що q \u003d 3. Замість n в формулу підставимо 3, так як необхідно знайти третій член, заданої геометричної прогресії.
Підставивши знайдені значення в формулу, отримаємо:
.
Відповідь:.
завдання 7
З арифметичних прогресій, заданих формулою n-го члена, виберіть ту, для якої виконується умова a 27 > 9:
Так як задана умова має виконуватися для 27-го члена прогресії, підставимо 27 замість n в кожну з чотирьох прогресій. В 4-й прогресії отримаємо:
.
Відповідь: 4.
завдання 8
В арифметичній прогресії a 1 \u003d 3, d \u003d -1,5. Вкажіть найбільше значення n, для якого виконується нерівність a n > -6.
Урок і презентація на тему: "Числові послідовності. Геометрична прогресія"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Ступеня і коріння Функції та графіки
Хлопці, сьогодні ми познайомимося з ще одним видом прогресії.
Тема сьогоднішнього заняття - геометрична прогресія.
Геометрична прогресія
Визначення. Числова послідовність, в якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює добутку попереднього і деякого фіксованого числа, називається геометричною прогресією.Задамо нашу послідовність рекуррентно: $ b_ (1) \u003d b $, $ b_ (n) \u003d b_ (n-1) * q $,
де b і q - певні задані числа. Число q називається знаменником прогресії.
Приклад. 1,2,4,8,16 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює одиниці, а $ q \u003d 2 $.
Приклад. 8,8,8,8 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює восьми,
а $ q \u003d 1 $.
Приклад. 3, -3,3, -3,3 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює трьом,
а $ q \u003d -1 $.
Геометрична прогресія має властивості монотонності.
Якщо $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 $,
то послідовність зростаюча.
Якщо $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Послідовність прийнято позначати у вигляді: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.
Також як і в арифметичній прогресії, якщо в геометричній прогресії кількість елементів звичайно, то прогресія називається кінцевої геометричною прогресією.
$ B_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Відзначимо, якщо послідовність є геометричною прогресією, то і послідовність квадратів членів, також є геометричною прогресією. У другій послідовність перший член дорівнює $ b_ (1) ^ 2 $, а знаменник дорівнює $ q ^ 2 $.
Формула n-ого члена геометричної прогресії
Геометричну прогресію можна задавати і в аналітичній формі. Давайте подивимося, як це зробити:$ B_ (1) \u003d b_ (1) $.
$ B_ (2) \u003d b_ (1) * q $.
$ B_ (3) \u003d b_ (2) * q \u003d b_ (1) * q * q \u003d b_ (1) * q ^ 2 $.
$ B_ (4) \u003d b_ (3) * q \u003d b_ (1) * q ^ 3 $.
$ B_ (5) \u003d b_ (4) * q \u003d b_ (1) * q ^ 4 $.
Ми легко помічаємо закономірність: $ b_ (n) \u003d b_ (1) * q ^ (n-1) $.
Наша формула називається "формулою n-ого члена геометричної прогресії".
Повернемося до наших прикладів.
Приклад. 1,2,4,8,16 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює одиниці,
а $ q \u003d 2 $.
$ B_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.
Приклад. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює шістнадцяти, а $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ B_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.
Приклад. 8,8,8,8 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює восьми, а $ q \u003d 1 $.
$ B_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.
Приклад. 3, -3,3, -3,3 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює трьом, а $ q \u003d -1 $.
$ B_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.
Приклад. Дана геометрична прогресія $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n), ... $.
а) Відомо, що $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 $. Знайти $ b_ (5) $.
б) Відомо, що $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 $. Знайти n.
в) Відомо, що $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 $. Знайти $ b_ (1) $.
г) Відомо, що $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $. Знайти q.
Рішення.
а) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
б) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $, так як $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $.
в) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
г) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.
Приклад. Різниця між сьомим і п'ятим членами геометричної прогресії рівні 192, сума п'ятого і шостого члена прогресії дорівнює 192. Знайти десятий член цієї прогресії.
Рішення.
Нам відомо, що: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ і $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Ми так само знаємо: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ B_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ B_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
тоді:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ B_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Отримали систему рівнянь:
$ \\ Begin (cases) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ end (cases) $.
Прирівнявши, наші рівняння отримаємо:
$ B_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ Q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
Отримали два рішення q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Послідовно підставимо в друге рівняння:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ B_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ немає рішень.
Отримали що: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
Знайдемо десятий член: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.
Сума кінцевої геометричній прогресії
Нехай у нас є кінцева геометрична прогресія. Давайте, також як і для арифметичної прогресії, порахуємо суму її членів.Нехай дана кінцева геометрична прогресія: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n-1), b_ (n) $.
Введемо позначення суми її членів: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
У разі, коли $ q \u003d 1 $. Всі члени геометричної прогресії рівні першого члену, тоді очевидно, що $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Розглянемо тепер випадок $ q ≠ 1 $.
Помножимо зазначену вище суму на q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Зауважимо:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.
$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
Ми отримали формулу суми кінцевої геометричній прогресії.
Приклад.
Знайти суму перших семи членів геометричної прогресії, у якої перший член дорівнює 4, а знаменник 3.
Рішення.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.
Приклад.
Знайти п'ятий член геометричної прогресії, про яку відомо: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ B_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.
Рішення.
$ B_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ Q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ Q ^ (n) \u003d 1024q $.
$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
$ 341q \u003d тисячі триста шістьдесят чотири $.
$ Q \u003d 4 $.
$ B_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d 3 * 4 ^ 4 \u003d 3 * 256 \u003d -768 $.
Характеристичне властивість геометричної прогресії
Хлопці, дана геометрична прогресія. Давайте розглянемо три послідовних її члена: $ b_ (n-1), b_ (n), b_ (n + 1) $.Ми знаємо, що:
$ \\ Frac (b_ (n)) (q) \u003d b_ (n-1) $.
$ B_ (n) * q \u003d b_ (n + 1) $.
тоді:
$ \\ Frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q \u003d b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
$ B_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Якщо прогресія кінцева, то це рівність виконується для всіх членів, крім першого і останнього.
Якщо заздалегідь невідомо, який вигляд у послідовності, але відомо що: $ b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Тоді можна сміливо говорити, що це геометрична прогресія.
Числова послідовність є геометричною прогресією, тільки коли квадрат кожного її члена дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів прогресії. Не забуваємо, що для кінцевої прогресії ця умова не виконується для першого і останнього члена.
Давайте подивимося ось на це тотожність: $ \\ sqrt (b_ (n) ^ (2)) \u003d \\ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ | B_ (n) | \u003d \\ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ \\ Sqrt (a * b) $ називається середнім геометричним чисел a і b.
Модуль будь-якого члена геометричної прогресії дорівнює середньому геометричному двох сусідніх з ним членів.
Приклад.
Знайти такі х, що б $ х + 2; 2x + 2; 3x + 3 $ були трьома послідовними членами геометричної прогресії.
Рішення.
Скористаємося характеристичним властивістю:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ X ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ X_ (1) \u003d 2 $ і $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Підставами послідовно в вихідні вираз, наші рішення:
При $ x \u003d 2 $, отримали послідовність: 4; 6; 9 - геометрична прогресія, у якої $ q \u003d 1,5 $.
При $ х \u003d -1 $, отримали послідовність: 1; 0; 0.
Відповідь: $ x \u003d 2. $
Завдання для самостійного рішення
1. Знайдіть восьмий перший член геометричної прогресії 16; -8; 4; -2 ....2. Знайдіть десятий член геометричної прогресії 11,22,44 ....
3. Відомо, що $ b_ (1) \u003d 5, q \u003d 3 $. Знайти $ b_ (7) $.
4. Відомо, що $ b_ (1) \u003d 8, q \u003d -2, b_ (n) \u003d 512 $. Знайти n.
5. Знайдіть суму перших 11 членів геометричної прогресії 3; 12; 48 ....
6. Знайти такі х, що $ 3х + 4; 2x + 4; x + 5 $ є трьома послідовними членами геометричної прогресії.
Приклад геометричній прогресії: 2, 6, 18, 54, 162.
Тут кожен член після першого в 3 рази більше попереднього. Тобто кожний наступний член є результатом множення попереднього члена на 3:
2 · 3 \u003d 6
6 · 3 \u003d 18
18 · 3 \u003d 54
54 · 3 \u003d 162 .
У нашому прикладі при розподілі другого члена на перший, третього на другий і т.д. ми отримуємо 3. Число 3 і є знаменником даної геометричній прогресії.
приклад:
Повернемося до нашої геометричній прогресії 2, 6, 18, 54, 162. Візьмемо чевертий член і зведемо його в квадрат:
54 2 = 2916.
Тепер перемножимо члени, які стоять ліворуч і праворуч від числа 54:
18 · 162 \u003d 2916.
Як бачимо, квадрат третього члена дорівнює добутку сусідніх другого і четвертого членів.
приклад 1: Візьмемо якусь геометричну прогресію, в якій перший член дорівнює 2, а знаменник геометричної прогресії дорівнює 1,5. Треба знайти 4-й член цієї прогресії.
дано:
b 1 = 2
q = 1,5
n = 4
————
b 4 - ?
Рішення.
застосовуємо формулу b n \u003d B 1 · q n - 1, вставляючи в неї відповідні значення:
b 4 \u003d 2 · 1,5 4 - 1 \u003d 2 · 1,5 3 \u003d 2 · 3,375 \u003d 6,75.
відповідь: Четвертий член заданої геометричної прогресії - число 6,75.
приклад 2: Знайдемо п'ятий член геометричної прогресії, якщо перший і третій члени дорівнюють відповідно 12 і 192.
дано:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?
Рішення.
1) Спочатку нам треба знайти знаменник геометричної прогресії, без якої вирішити задачу неможливо. В якості першого кроку за допомогою нашої формули виводимо формулу для b 3:
b 3 \u003d b 1 · q 3 - 1 \u003d b 1 · q 2
Тепер ми можемо знайти знаменник геометричної прогресії:
b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12
q \u003d √16 \u003d 4 або -4.
2) Залишилося знайти значення b 5 .
якщо q \u003d 4, то
b 5 = b 1 q 5-1 \u003d 12 · 4 4 \u003d 12 · 256 \u003d 3072.
при q \u003d -4 результат буде той же. Таким чином, завдання має одне рішення.
відповідьП'ятий член заданої геометричної прогресії - це число 3072.
приклад: Знайдемо суму перших п'яти членів геометричної прогресії ( b n), В якій перший член дорівнює 2, а знаменник геометричній прогресії 3.
дано:
b 1 = 2
q = 3
n = 5
————
S 5 - ?
Рішення.
Застосовуємо другу формулу з двох наведених вище:
b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 · (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2
відповідь: Сума перших п'яти членів заданої геометричної прогресії дорівнює 242.
Сума нескінченної геометричної прогресії.
Слід розрізняти поняття «сума нескінченної геометричної прогресії» і «сума n членів геометричної прогресії ». Друге поняття відноситься до будь-якої геометричної прогресії, а перше - тільки до такої, де знаменник менше 1 по модулю.
Геометрична прогресія - це новий вид числової послідовності, з яким нам належить познайомитися. Для успішного знайомства не завадить хоча б знати і розуміти,. Тоді і з геометричною прогресією проблем не буде.)
Що таке геометрична прогресія? Поняття геометричній прогресії.
Починаємо екскурсію, як зазвичай, з елементарщину. Пишу незакінчену послідовність чисел:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Чи зможете вловити закономірність і сказати, які числа підуть далі? Ясен перець, далі підуть числа 100000, 1000000 і так далі. Навіть без особливого розумового напруження все ясно, правда ж?)
Гаразд. Ще приклад. Пишу ось таку послідовність:
1, 2, 4, 8, 16, …
Чи зможете сказати, які числа підуть далі, слідом за числом 16 і назвати восьмий член послідовності? Якщо ви зрозуміли, що це буде число 128, то дуже добре. Значить, півсправи в розумінні сенсу і ключових моментів геометричній прогресії вже зроблено. Можна рости далі.)
А тепер знову переходимо від відчуттів до суворої математики.
Ключові моменти геометричній прогресії.
Ключовий момент №1
Геометрична прогресія - це послідовність чисел. Як і прогресія. Нічого хитрого. Тільки влаштована ця послідовність по іншому.Звідси, природно, й іншу назву носить, так ...
Ключовий момент №2
З другим ключовим моментом хитрішого буде. Давайте повернемося трохи назад і згадаємо ключове властивість арифметичної прогресії. Ось воно: кожен член відрізняється від попереднього на одну і ту ж величину.
А чи можна схоже ключове властивість сформулювати для геометричної прогресії? Подумайте трохи ... Придивіться до наведених прикладів. Здогадалися? Так! У геометричній прогресії (будь-який!) Кожен її член відрізняється від попереднього в один і той же число раз.Завжди!
У першому прикладі це число - десятка. Який член послідовності не візьми, він більше попереднього в десять разів.
У другому прикладі це - двійка: кожен член більше попереднього в два рази.
Саме цим ключовим моментом геометрична прогресія і відрізняється від арифметичної. В арифметичній прогресії кожен наступний член виходить додатком однієї і тієї ж величини до попереднього члену. А тут - множенням попереднього члена на одну і ту ж величину. Ось і вся різниця.)
Ключовий момент №3
Цей ключовий момент повністю ідентичний такому для арифметичної прогресії. А саме: кожен член геометричної прогресії стоїть на своєму місці.Все точь-в-точь як і в арифметичній прогресії і коментарі, я думаю, зайві. Є перший член, є сто перший і т.д. Переставимо місцями хоча б два члена - закономірність (а разом з нею і геометрична прогресія) зникнуть. Чи залишиться просто послідовність чисел без будь-якої логіки.
От і все. Ось і весь сенс геометричній прогресії.
Терміни і позначення.
А ось тепер, розібравшись зі здоровим глуздом і ключовими моментами геометричній прогресії, можна і до теорії переходити. А інакше яка ж теорія без розуміння сенсу, правда?
Як позначати геометричну прогресію?
Як записується геометрична прогресія в загальному вигляді? Ніяких проблем! Кожен член прогресії також записується у вигляді букви. Тільки для арифметичної прогресії, зазвичай, використовується буква "А", Для геометричної - буква "B". номер члена, Як зазвичай, вказується індексом справа внизу. Самі члени прогресії просто перераховуємо через кому або крапку з комою.
Ось так:
b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Коротко таку прогресію записують ось так: (b n) .
Або ось так, для кінцевих прогресій:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, ..., b 29, b 30.
Або, в короткій записи:
(b n), n=30 .
Ось, власне, і все позначення. Все те ж саме, тільки буква інша, так.) А тепер переходимо безпосередньо до визначення.
Визначення геометричної прогресії.
Геометрична прогресія - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожний наступний член дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме нульове число.
Ось і все визначення. Більшість слів і фраз вам зрозумілі і добре знайомі. Якщо, звичайно, розумієте сенс геометричній прогресії "на пальцях" і взагалі. Але є і кілька нових фраз, на які я хотів би звернути особливу увагу.
По-перше, слова: "Перший член якої відмінний від нуля".
Це обмеження на перший член введено не випадково. Як ви думаєте, що станеться, якщо перший член b 1 виявиться рівним нулю? Чому буде дорівнює другий член, якщо кожен член більше попереднього в один і той же число раз? Припустимо, в три рази? Подивимося ... Множимо перший член (тобто 0) на 3 і отримуємо ... нуль! А третій член? Теж нуль! І четвертий член - теж нуль! І так далі…
Отримуємо просто мішок бубликів послідовність нулів:
0, 0, 0, 0, …
Звичайно, така послідовність має право на життя, але ніякого практичного інтересу вона не представляє. Все і так зрозуміло. Будь її член - нуль. Сума будь-якої кількості членів - теж нуль ... Що з нею цікавого можна робити? Нічого ...
Наступні ключові слова: "Помноженому на одне й те саме нульове число".
Це саме число теж носить свою спеціальну назву - знаменник геометричної прогресії. Починаємо знайомство.)
Знаменник геометричній прогресії.
Все простіше простого.
Знаменник геометричній прогресії - це нульове число (або величина), що показує,у скільки разів кожен член прогресії більше попереднього.
Знову ж, за аналогією з арифметичною прогресією, ключовим словом, на яке слід звернути увагу в цьому визначенні, є слово "Більше". Воно означає, що кожен член геометричної прогресії виходить множеннямна цей самий знаменник попереднього члена.
Пояснюю.
Для розрахунку, скажімо, другого члена, треба взяти перший член і помножити його на знаменник. Для розрахунку десятого члена, треба взяти дев'ятий член і помножити його на знаменник.
Сам знаменник геометричній прогресії може при цьому бути яким завгодно. Абсолютно будь-яким! Цілим, дробовим, позитивним, негативним, ірраціональним - всяким. Крім нуля. Про це і говорить нам слово "нульове" у визначенні. Навіщо це слово тут потрібно - про це далі.
Знаменник геометричної прогресії позначається, найчастіше, буквою q.
Як знайти це саме q ? Не питання! Треба взяти будь-який член прогресії і поділити на попередній член. Розподіл - це дріб. Звідси і назва - "знаменник прогресії". Знаменник, він зазвичай в дроби сидить, так ...) Хоча, за логікою, величину q слід було б називати приватним геометричній прогресії, за аналогією з різницею для арифметичній прогресії. Але домовилися називати знаменником. І ми теж не будемо винаходити велосипед.)
Визначимо, наприклад, величину q для такої геометричної прогресії:
2, 6, 18, 54, …
Все елементарно. беремо будь-який число послідовності. Яке хочемо, таке і беремо. Крім самого першого. Наприклад, 18. І ділимо на попереднє число. Тобто, на 6.
отримуємо:
q = 18/6 = 3
От і все. Це вірний відповідь. Для даної геометричній прогресії знаменник дорівнює трьом.
Знайдемо тепер знаменник q для іншої геометричної прогресії. Наприклад, ось такий:
1, -2, 4, -8, 16, …
Все теж саме. Які б знаки не були у самих членів, все одно беремо будь-який число послідовності (наприклад, 16) і ділимо на попереднє число (Тобто -8).
отримаємо:
d = 16/(-8) = -2
І всі справи.) Цього разу знаменник прогресії виявився негативним. Мінус два. Буває.)
Візьмемо тепер ось таку прогресію:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
І знову, незалежно від виду чисел, що стоять в послідовності (хоч цілі, хоч дробові, хоч негативні, хоч ірраціональні), беремо будь-яке число (наприклад, 1/9) і ділимо на попереднє число (1/3). За правилами дій з дробами, природно.
отримаємо:
І все.) Тут знаменник виявився дробовим: q = 1/3.
А ось така "прогресія" як вам?
3, 3, 3, 3, 3, …
Очевидно, тут q = 1 . Формально це теж геометрична прогресія, тільки з однаковими членами.) Але такі прогресії для вивчення та практичного застосування не цікаві. Так само, як і прогресії із суцільними нулями. Тому ми їх розглядати і не будемо.
Як ви бачите, знаменник прогресії може бути яким завгодно - цілим, дробовим, позитивним, негативним - всяким! Не може бути тільки нулем. Чи не здогадалися, чому?
Ну, давайте на якомусь конкретному прикладі подивимося, що буде, якщо взяти в якості знаменника q нулик.) Нехай у нас, припустимо, буде b 1 = 2 , а q = 0 . Чому тоді буде дорівнює другий член?
вважаємо:
b 2 = b 1 · q \u003d 2 · 0 \u003d 0
А третій член?
b 3 = b 2 · q \u003d 0 · 0 \u003d 0
Види і поведінку геометричних прогресій.
З все було більш-менш ясно: якщо різниця прогресії d позитивна, то прогресія зростає. Якщо ж різниця негативна, то прогресія убуває. Всього два варіанти. Третього не дано.)
А ось з поведінкою геометричній прогресії все буде вже набагато цікавіше і різноманітніше!)
Як тільки себе тут члени ні ведуть: і зростають, і зменшуються, і необмежено наближаються до нуля, і навіть змінюють знаки, поперемінно кидаючись то в "плюс", то в "мінус"! І в усьому цьому різноманітті треба вміти добре розбиратися, так ...
Розбираємося?) Починаємо з самого простого випадку.
Знаменник позитивний ( q >0)
При позитивному знаменнику, по-перше, члени геометричної прогресії можуть йти в плюс нескінченність (Тобто необмежено зростати) і можуть йти в мінус нескінченність(Тобто необмежено зменшуватися). До такої поведінки прогресій ми вже звикли.
наприклад:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Тут все просто. Кожен член прогресії виходить більше попереднього. Причому кожен член виходить множенням попереднього члена на позитивне число +2 (тобто q = 2 ). Поведінка такої прогресії очевидно: всі члени прогресії необмежено ростуть, йдучи в космос. В плюс нескінченність ...
А тепер ось така прогресія:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Тут теж кожен член прогресії виходить множенням попереднього члена на позитивне число +2. А ось поведінка такої прогресії вже прямо протилежне: кожен член прогресії виходить менше попереднього, І все її члени необмежено зменшуються, йдучи в мінус нескінченність.
А тепер давайте подумаємо: що спільного у цих двох прогресій? Правильно, знаменник! І там і там q = +2 . Додатне число.Двійка. А от поведінка цих двох прогресій - принципово різний! Чи не здогадалися, чому? Так! Вся справа в першому члені!Саме він, як то кажуть, і замовляє музику.) Дивіться самі.
У першому випадку перший член прогресії позитивний (+1) і, отже, всі наступні члени, одержувані множенням на позитивнийзнаменник q = +2 , Також будуть позитивними.
А от у другому випадку перший член негативний (-1). Тому і всі наступні члени прогресії, одержувані множенням на позитивне q = +2 , Також будуть виходити негативними. Бо "мінус" на "плюс" завжди дає "мінус", так.)
Як ви бачите, на відміну від арифметичної прогресії, геометрична прогресія може вести себе зовсім по-різному не тільки в залежності від знаменникаq, Але ще і в залежності від першого члена, Так.)
Запам'ятовуємо: поведінка геометричній прогресії однозначно визначається її першим членом b 1 і знаменникомq .
А тепер починаємо розбір менш звичних, але зате набагато більш цікавих випадків!
Візьмемо, наприклад, ось таку послідовність:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Ця послідовність - теж геометрична прогресія! Кожен член цієї прогресії теж виходить множенням попереднього члена, на одне і те ж число. Тільки число це - дробове: q = +1/2 . або +0,5 . Причому (важливо!) Число, менше одиниці:q = 1/2<1.
Чим цікава ця геометрична прогресія? Куди прагнуть її члени? Давайте подивимося:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Що цікавого тут можна помітити? По-перше, відразу кидається в очі спадання членів прогресії: кожен її член менше попереднього рівно у 2 рази. Або, відповідно до визначення геометричній прогресії, кожен член більшепопереднього в 1/2 рази, Тому що знаменник прогресії q = 1/2 . А від множення на позитивне число, менше одиниці, результат зазвичай зменшується, так ...
що ще можна помітити в поведінці цієї прогресії? Зменшуються чи її члени необмежено, Йдучи в мінус нескінченність? Ні! Вони зменшуються по-особливому. Спочатку досить швидко зменшуються, а потім все повільніше і повільніше. Причому весь час залишаючись позитивними. Нехай і дуже-дуже маленькими. А до чого ж вони самі при цьому прагнуть? Чи не здогадалися? Так! До нулю вони прагнуть!) Причому, зверніть увагу, самого нуля члени нашої прогресії ніколи не досягають!Лише нескінченно близько до нього наближаються. Це дуже важливо.)
Схожа ситуація буде і в такий прогресії:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
тут b 1 = -1 , а q = 1/2 . Все те ж саме, тільки до нуля тепер члени будуть наближатися вже з іншого боку, знизу. Весь час залишаючись негативними.)
Така геометрична прогресія, члени якої необмежено наближаються до нуля (Неважливо, з позитивною або з негативного боку), в математиці носить особливу назву - нескінченно спадна геометрична прогресія. Прогресія ця настільки цікава і незвичайна, що про неї навіть буде окремий урок .)
Отже, ми розглянули всі можливі позитивні знаменники - і великі одинички і менші одиниці. Саму одиничку в якості знаменника ми не розглядаємо з причин, викладених вище (згадайте приклад з послідовністю трійок ...)
Підсумуємо:
позитивний і більше одиниці (q\u003e 1), то члени прогресії:
a) Необмежено зростають (якщоb 1 >0);
б) необмежено зменшується (якщоb 1 <0).
Якщо знаменник геометричної прогресії позитивний і менше одиниці (0< q<1), то члены прогрессии:
а) нескінченно близько наближаються до нуля зверху (якщоb 1 >0);
б) нескінченно близько наближаються до нуля знизу (якщоb 1 <0).
Залишилося тепер розглянути випадок негативного знаменника.
Знаменник негативний ( q <0)
За прикладом далеко ходити не будемо. Чого, власне, лахміття бабусю ?!) Нехай, наприклад, перший член прогресії буде b 1 = 1 , А знаменник візьмемо q \u003d -2.
Отримаємо ось таку послідовність:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
І так далі.) Кожен член прогресії виходить множенням попереднього члена на від'ємне число -2. При цьому всі члени, які стоять на непарних місцях (перший, третій, п'ятий і т.д.) будуть позитивними, А на парних місцях (другий, четвертий і т.д.) - негативними. Знаки строго чергуються. Плюс-мінус-плюс-мінус ... Така геометрична прогресія так і називається - зростаючої Знакозмінні.
Куди ж прагнуть її члени? А нікуди.) Так, за абсолютною величиною (тобто по модулю) члени нашої прогресії необмежено зростають (звідси і назва "зростаюча"). Але при цьому кожен член прогресії по черзі кидає то в жар, то в холод. То в "плюс", то в "мінус". Коливається наша прогресія ... Причому розмах коливань з кожним кроком стрімко зростає, так.) Стало бути, прагнення членів прогресії кудись конкретно тут немає.Ні до плюс нескінченності, ні до мінус нескінченності, ні до нуля - нікуди.
Розглянемо тепер якийсь дрібний знаменник між нулем і мінус одиницею.
Наприклад, нехай буде b 1 = 1 , а q \u003d -1/2.
Тоді отримаємо прогресію:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
І знову маємо чергування знаків! Але, на відміну від попереднього прикладу, тут вже простежується чітка тенденція наближення членів до нуля.) Тільки в цей раз наші члени наближаються до нуля не строго зверху чи знизу, а знову вагаючись. По черзі приймаючи то позитивні, то негативні значення. Але при цьому їх модулі стають все ближче і ближче до заповітного нулики.)
Така геометрична прогресія називається нескінченно спадної Знакозмінні.
Чим цікаві ці два приклади? А тим, що в обох випадках має місце чергування знаків! Така фішка характерна тільки для прогресій з негативним знаменником, так.) Стало бути, якщо в якомусь завданні ви побачите геометричну прогресію зі Знакозмінні членами, то вже твердо будете знати, що її знаменник на 100% негативний і не помилитеся в знаку.)
До речі, в разі негативного знаменника знак першого члена абсолютно не впливає на поведінку самої прогресії. З яким би знаком перший член прогресії не був, в будь-якому випадку буде спостерігатися знакочередованіе членів. Все питання лише в тому, на яких місцях (Парні або непарні) стоятимуть члени з конкретними знаками.
запам'ятовуємо:
Якщо знаменник геометричної прогресії негативний , То знаки членів прогресії завжди чергуються.
При цьому самі члени:
а) необмежено зростаютьпо модулю, якщоq<-1;
б) нескінченно наближаються до нуля, якщо -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
От і все. Всі типові випадки розібрані.)
В процесі розбору самих різних прикладів геометричних прогресій, я періодично вживав слова: "Прагне до нуля", "Прагне до плюс нескінченності", "Прагне до мінус нескінченності"... Нічого страшного.) Ці мовні звороти (і конкретні приклади) - всього лише початкову знайомство з поведінкою найрізноманітніших числових послідовностей. На прикладі геометричній прогресії.
Навіщо нам взагалі потрібно знати поведінку прогресії? Яка різниця, куди вона там прагне? До нулю чи, до плюс нескінченності, до мінус нескінченності ... Нам-то що від цього?
Справа все в тому, що вже в ВУЗі, в курсі вищої математики, вам знадобиться вміння працювати з різними числовими послідовностями (з будь-якими, а не тільки прогресіями!) І вміння представляти, як саме себе веде та чи інша послідовність - зростає вона необмежено, убуває чи, чи прагне до конкретного числа (причому не обов'язково до нуля) або навіть взагалі ні до чого не прагне ... Цій темі в курсі матаналізу присвячений цілий розділ - теорія меж. А трохи конкретніше - поняття межі числової послідовності.Дуже цікава тема! Має сенс вступити до інституту і розібратися.)
Деякі приклади з цього розділу (послідовності, з межею) і зокрема, нескінченно спадна геометрична прогресія починають освоюватися ще в школі. Звикаємо.)
Більш того, вміння добре дослідити поведінку послідовностей надалі здорово зіграє на руку і дуже стане в нагоді в дослідженні функцій. Найрізноманітніших. А ось вміння грамотно працювати з функціями (обчислювати похідні, досліджувати їх по повній програмі, будувати їх графіки) вже різко підвищує ваш математичний рівень! Сумніваєтеся? Не треба. Ще згадайте мої слова.)
Подивимося на геометричну прогресію в житті?
У навколишньому нас життя з геометричною прогресією ми стикаємося дуже і дуже часто. Навіть самі того не підозрюючи.)
Наприклад, різні мікроорганізми, які оточують нас всюди у величезних кількостях і яких ми навіть не бачимо без мікроскопа, розмножуються саме в геометричній прогресії.
Скажімо, одна бактерія розмножується діленням навпіл, даючи потомство в 2 бактерії. У свою чергу, кожна з них, розмножуючись, теж ділиться навпіл, даючи загальне потомство в 4 бактерії. Наступне покоління дасть уже 8 бактерій, потім 16 бактерій, 32, 64 і так далі. З кожним наступним поколінням число бактерій подвоюється. Типовий приклад геометричній прогресії.)
Також в геометричній прогресії розмножуються і деякі комахи - попелиця, мухи. І кролики іноді, до речі, теж.)
Інший приклад геометричній прогресії, вже ближче до повсякденного життя, - це так звані складні відсотки. Таке цікаве явище часто зустрічається в банківських вкладах і називається капіталізацією відсотків. Що це таке?
Самі ви поки що ще, звичайно, юні. В школе учитесь, в банки не звертаєтеся. А ось батьки ваші - люди вже дорослі і самостійні. На роботу ходять, гроші на хліб насущний заробляють, а частина грошей кладуть в банк, роблячи заощадження.)
Скажімо, ваш тато хоче накопичити певну грошову суму на сімейний відпочинок в Туреччині і поклав в банк 50000 рублів під 10% річних терміном на три роки з щорічної капіталізацією відсотків. Причому протягом усього цього терміну робити зі внеском нічого не можна. Не можна ні поповнювати вклад, ні знімати гроші з рахунку. Який прибуток він отримає через ці три роки?
Ну, по-перше, треба розібратися, що ж таке 10% річних. Це означає що через рік до первісної суми вкладу банком будуть нараховані 10%. Від чого? Звичайно ж, від первісної суми вкладу.
Вважаємо розмір рахунку через рік. Якщо початкова сума вкладу становила 50000 рублів (тобто 100%), то через рік на рахунку буде скільки відсотків? Правильно, 110%! Від 50000 рублів.
Ось і вважаємо 110% від 50000 рублів:
50000 · 1,1 \u003d 55000 рублів.
Сподіваюся, ви розумієте, що знайти 110% від величини означає помножити цю величину на число 1,1? Якщо не розумієте, чому це саме так, згадуйте п'ятий і шостий класи. А саме - зв'язок відсотків з дробом і частинами.)
Таким чином, надбавка за перший рік складе 5000 рублів.
А скільки грошей буде на рахунку через два роки? 60000 рублів? На жаль (а вірніше, на щастя), все не так просто. Весь фокус капіталізації відсотків полягає в тому, що при кожному новому нарахуванні відсотків, ці самі відсотки будуть вважатися вже від нової суми!Від тієї, яка вже лежить на рахунку в даний момент.А нараховані за попередній термін відсотки додаються до початкової суми вкладу і, таким чином, самі беруть участь в нарахуванні нових відсотків! Тобто, вони стають повноправною частиною загального рахунку. або загального капіталу.Звідси і назва - капіталізація відсотків.
Це в економіці. А в математиці такі відсотки називаються складними відсотками.або відсотками від відсотків.) Їх фішка полягає в тому, що при послідовному обчисленні відсотки кожен раз вважаються від нової величини.А чи не від первісної ...
Стало бути, для підрахунку суми через два роки, Нам треба порахувати 110% від тієї суми, яка буде на рахунку через рік. Тобто, вже від 55000 рублів.
Вважаємо 110% від 55000 рублів:
55000 · 1,1 \u003d 60500 рублів.
Значить, процентна надбавка за другий рік складе вже 5500 рублів, а за два роки - 10500 рублів.
Тепер уже можна здогадатися, що через три роки сума на рахунку становитиме 110% від 60500 рублів. Тобто знову 110% від попередньої (торішньої)суми.
Ось і вважаємо:
60500 · 1,1 \u003d 66550 рублів.
А тепер вибудовуємо наші грошові суми за роками в послідовність:
50000;
55000 \u003d 50000 · 1,1;
60500 \u003d 55000 · 1,1 \u003d (50000 · 1,1) · 1,1;
66550 \u003d 60500 · 1,1 \u003d ((50000 · 1,1) · 1,1) · 1,1
Ну і як? Чим не геометрична прогресія? перший член b 1 = 50000 , А знаменник q = 1,1 . Кожен член більше попереднього строго в 1,1 рази. Все в суворій відповідності з визначенням.)
І скільки ж додаткових процентних бонусів "накапає" вашому татові, поки його 50000 рублів три роки лежали на банківському рахунку?
вважаємо:
66550 - 50000 \u003d 16550 рублів
Не густо, звичайно. Але це якщо початкова сума вкладу - маленька. А якщо побільше? Скажімо, не 50, а 200 тисяч рублів? Тоді надбавка за три роки складе вже 66200 рублів (якщо порахувати). Що вже дуже непогано.) А якщо вклад ще більше? Ото ж бо й воно ...
Висновок: чим вище початковий внесок, тим вигідніше стає капіталізація відсотків. Саме тому вклади з капіталізацією відсотків надаються банками на тривалі терміни. Скажімо, на п'ять років.
Також в геометричній прогресії люблять поширюватися всякі нехороші хвороби типу грипу, кору і навіть більш страшних захворювань (тієї ж атипової пневмонії на початку 2000-х або чуми в Середньовіччі). Звідси й такі масштаби епідемій, так ...) А все через те, що геометрична прогресія з цілим позитивним знаменником (q>1) - штука, зростаюча дуже швидко! Згадайте розмноження бактерій: з однієї бактерії виходять дві, з двох - чотири, з чотирьох - вісім і так далі ... З поширенням всякої зарази все те ж саме.)
Найпростіші задачі по геометричній прогресії.
Почнемо, як завжди, з нескладною завдання. Чисто на розуміння сенсу.
1. Відомо, що другий член геометричної прогресії дорівнює 6, а знаменник дорівнює -0,5. Знайдіть перший, третій і четвертий її члени.
Отже, нам дана нескінченна геометрична прогресія, а відомий другий член цієї прогресії:
b 2 \u003d 6
Крім того, нам ще відомий знаменник прогресії:
q \u003d -0,5
А знайти потрібно перший, третійі четвертийчлени цієї прогресії.
Ось і діємо. Записуємо послідовність за умовою завдання. Прямо в загальному вигляді, де другий член - шістка:
b 1, 6,b 3 , b 4 , …
А тепер приступаємо до пошуків. Починаємо, як завжди, з самого простого. Можна порахувати, наприклад, третій член b 3? Можна, можливо! Ми ж з вами вже знаємо (прямо за змістом геометричній прогресії), що третій член (B 3) більше другого (b 2 ) в "Q" раз!
Так і пишемо:
b 3 \u003db 2 · q
Підставляємо в цей вислів шістку замість b 2і -0,5 замість q і вважаємо. І мінус теж не ігноруємо, зрозуміло ...
b 3 \u003d 6 · (-0,5) \u003d -3
Ось так. Третій член виявився з мінусом. Не дивно: наш знаменник q - негативний. А плюс помножити на мінус, буде, Певна річ, мінус.)
Вважаємо тепер наступний, четвертий член прогресії:
b 4 \u003db 3 · q
b 4 \u003d 3 · (-0,5) \u003d 1,5
Четвертий член - знову з плюсом. П'ятий член буде знову з мінусом, шостий - з плюсом і так далі. Знаки - чергуються!
Так, третій і четвертий члени знайшли. Вийшла ось така послідовність:
b 1; 6; -3; 1,5; ...
Залишилося тепер знайти перший член b 1 за відомим другого. Для цього крокуємо вже в іншу сторону, вліво. Це означає, що в даному випадку другий член прогресії нам треба не помножити на знаменник, а поділити.
Ділимо і отримуємо:
Ось і все.) Відповідь до завданню буде такою:
-12; 6; -3; 1,5; …
Як ви бачите, принцип вирішення той же самий, що і в. знаємо будь-який член і знаменник геометричній прогресії - можемо знайти і будь-який інший її член. Який хочемо, такий і відшукаємо.) З тією лише різницею, що додавання / віднімання замінюється на множення / ділення.
Запам'ятовуємо: якщо нам відомий хоча б один член і знаменник геометричної прогресії, то ми завжди можемо знайти будь-який інший член цієї прогресії.
Наступна задача, за традицією, з реального варіанту ОГЕ:
2.
...; 150; х; 6; 1,2; ...
Ну і як? Цього разу ні першого члена немає, ні знаменника q, Задана просто послідовність чисел ... Щось знайоме вже, правда? Так! Схожа завдання вже розбиралася в по арифметичній прогресії!
Ось і не лякаємося. Все теж саме. Включаємо голову і згадуємо елементарний сенс геометричній прогресії. Дивимося уважно на нашу послідовність і міркуємо, які параметри геометричної прогресії з трьох головних (перший член, знаменник, номер члена) в ній заховані.
Номери членів? Номерів членів нету, так ... Але зате є чотири послідовних числа. Що означає це слово, пояснювати на даному етапі сенсу не бачу.) Чи є в цій послідовності два сусідніх відомих числа?Є! Це 6 і 1,2. Значить, ми можемо знайти знаменник прогресії.Ось і беремо число 1,2 і ділимо на попереднє число. На шістку.
отримуємо:
отримаємо:
x \u003d 150 · 0,2 \u003d 30
відповідь: x = 30 .
Як ви бачите, все досить просто. Основна складність полягає лише в обчисленнях. Особливо тяжко буває в разі негативних і дрібних знаменників. Так що ті, у кого проблеми, повторіть арифметику! Як працювати з дробом, як працювати з негативними числами і так далі ... Інакше тут будете гальмувати нещадно.
А тепер трохи видозмінимо завдання. Зараз цікаво стане! Приберемо в ній останнє число 1,2. Ось таке завдання тепер вирішимо:
3. Виписано кілька послідовних членів геометричної прогресії:
...; 150; х; 6; ...
Знайдіть член прогресії, позначений буквою х.
Все те ж саме, тільки двох сусідніх відомих членів прогресії у нас тепер не стало. В цьому і полягає основна проблема. Тому, що величину q через два сусідніх члена ми так просто визначити вже не зможемо. Є у нас шанс впоратися з завданням? Звісно!
Розпишемо невідомий член " x"Прямо за змістом геометричній прогресії! У загальному вигляді.
Так Так! Прямо з невідомим знаменником!
З одного боку, для ікси ми можемо записати ось таке співвідношення:
x \u003d 150 ·q
З іншого боку, цей же самий ікс ми маємо повне право розписати і через наступного член, через шістку! Поділивши шістку на знаменник.
Ось так:
x = 6/ q
Очевидно, тепер можна прирівняти обидва цих співвідношення. Раз вже ми висловлюємо одну й ту саму величину (ікс), але двома різними способами.
Отримаємо рівняння:
Помноживши все на q, Спрощуючи, скорочуючи, отримаємо рівняння:
q 2 \u003d 1/25
Вирішуємо і отримуємо:
q \u003d ± 1/5 \u003d ± 0,2
От чорт! Знаменник-то подвійний вийшов! +0,2 і -0,2. І який з них вибрати? Глухий кут?
Спокій! Так, завдання дійсно має два рішення!Нічого страшного в цьому немає. Буває.) Ви ж не дивуєтеся, коли, наприклад, отримуєте два кореня, вирішуючи звичайне? Ось і тут та сама історія.)
для q \u003d +0,2 ми отримаємо:
X \u003d 150 · 0,2 \u003d 30
А для q = -0,2 буде:
X \u003d 150 · (-0,2) \u003d -30
Отримуємо подвійний відповідь: x = 30; x = -30.
Що означає цей цікавий факт? А то, що існує дві прогресії, Що задовольняють умові завдання!
Ось такі:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Обидві - підходять.) Як ви думаєте, через що у нас відбулося роздвоєння відповідей? Якраз через ліквідацію конкретного члена прогресії (1,2), що йде після шістки. А знаючи тільки попередній (n-1) -й і подальший (n + 1) -й члени геометричної прогресії, ми вже нічого не можемо однозначно сказати про n-й член, що стоїть між ними. Можливі два варіанти - з плюсом і з мінусом.
Але не біда. Як правило, в завданнях на геометричну прогресію є додаткова інформація, що дає однозначну відповідь. Скажімо, слова: "Знакозмінні прогресія"або "Прогресія з позитивним знаменником" і так далі ... Саме ці слова і повинні служити зачіпкою, який знак, плюс або мінус, слід вибрати при оформленні остаточної відповіді. Якщо ж такої інформації немає, то тоді - так, завдання буде мати два рішення.)
А тепер вирішуємо самостійно.
4. Визначте, чи буде число 20 членом геометричній прогресії:
4 ; 6; 9; …
5. Задана Знакозмінні геометрична прогресія:
…; 5; x ; 45; …
Знайдіть член прогресії, позначений буквою x .
6. Знайдіть четвертий позитивний член геометричної прогресії:
625; -250; 100; …
7. Другий член геометричної прогресії дорівнює -360, а п'ятий її член дорівнює 23,04. Знайдіть перший член цієї прогресії.
Відповіді (в безладді): -15; 900; немає; 2,56.
Вітаю, якщо все вийшло!
Щось не стикується? Десь відповідь подвійний вийшов? Читаємо уважно умову завдання!
Остання задача не виходить? Там нічого складного.) Працюємо прямо за змістом геометричній прогресії. Ну і картинку можна намалювати. Це допомагає.)
Як ви бачите, все елементарно. Якщо прогресія - коротенька. А якщо довга? Або номер потрібного члена дуже великий? Хотілося б, за аналогією з арифметичною прогресією, як-то отримати зручну формулу, що дозволяє легко знаходити будь-який член будь-якої геометричної прогресії по його номеру. Чи не помножити багато-багато раз на q. І така формула є!) Подробиці - в наступному уроці.
Математика - це те, за допомогою чоголюди керують природою і собою.
Радянський математик, академік А.Н. Колмогоров
Геометрична прогресія.
Поряд із завданнями на арифметичні прогресії також поширеними на вступних випробуваннях з математики є завдання, пов'язані з поняттям геометричної прогресії. Для успішного вирішення таких завдань необхідно знати властивості геометричної прогресії і мати гарні навички їх використання.
Ця стаття присвячена викладенню основних властивостей геометричної прогресії. Тут також наводяться приклади розв'язання типових задач, запозичених із завдань вступних випробувань з математики.
Попередньо відзначимо основні властивості геометричної прогресії і нагадаємо найбільш важливі формули і затвердження, пов'язані з цим поняттям.
Визначення. Числова послідовність називається геометричною прогресією, якщо кожне її число, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Число називається знаменником геометричної прогресії.
Для геометричній прогресіїсправедливі формули
, (1)
де. Формула (1) називається формулою загального члена геометричній прогресії, а формула (2) являє собою основну властивість геометричної прогресії: кожен член прогресії збігається із середнім геометричним своїх сусідніх членів і.
Відзначимо, що саме через це властивості розглянута прогресія називається «геометричній».
Наведені вище формули (1) і (2) узагальнюються наступним чином:
, (3)
Для обчислення суми перших членів геометричної прогресії застосовується формула
Якщо позначити, то
де. Так як, то формула (6) є узагальненням формули (5).
У тому випадку, коли і, геометрична прогресія є нескінченно спадної. Для обчислення сумивсіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії використовується формула
. (7)
наприклад, за допомогою формули (7) можна показати, що
де. Дані рівності отримані з формули (7) за умови, що, (перша рівність) і, (друга рівність).
Теорема. Якщо то
Доведення. Якщо то ,
Теорема доведена.
Перейдемо до розгляду прикладів вирішення завдань на тему «Геометрична прогресія».
Приклад 1. Дано:, і. Знайти.
Рішення. Якщо застосувати формулу (5), то
Відповідь:.
Приклад 2.Нехай і. Знайти.
Рішення. Так як і, то скористаємося формулами (5), (6) і отримаємо систему рівнянь
Якщо друге рівняння системи (9) розділити на перше, То чи. Звідси випливає і . Розглянемо два випадки.
1. Якщо, то з першого рівняння системи (9) маємо.
2. Якщо, то.
Приклад 3.Нехай, і. Знайти.
Рішення. З формули (2) випливає, що або. Так як, то чи.
За умовою . Однак, тому. Оскільки і, то тут маємо систему рівнянь
Якщо друге рівняння системи розділити на перше, то чи.
Так як, то рівняння має єдиний підходящий корінь. В такому випадку з першого рівняння системи випливає.
Беручи до уваги формулу (7), отримуємо.
Відповідь:.
Приклад 4.Дано: і. Знайти.
Рішення. Так як, то.
Оскільки, то чи
Відповідно до формули (2) маємо. У зв'язку з цим з рівності (10) отримуємо або.
Однак за умовою, тому.
Приклад 5. Відомо що . Знайти.
Рішення. Згідно з теоремою маємо дві рівності
Так як, то чи. Оскільки, то.
Відповідь:.
Приклад 6. Дано: і. Знайти.
Рішення. Беручи до уваги формулу (5), отримуємо
Так як, то. Оскільки, і, то.
Приклад 7. Нехай і. Знайти.
Рішення. Відповідно до формули (1) можна записати
Отже, маємо або. Відомо, що і, тому і.
Відповідь:.
Приклад 8. Знайти знаменник нескінченної спадної геометричної прогресії, якщо
і.
Рішення. З формули (7) слід і . Звідси і з умови задачі отримуємо систему рівнянь
Якщо перше рівняння системи звести в квадрат, а потім отримане рівняння розділити на друге рівняння, То отримаємо
Або.
Відповідь:.
Приклад 9. Знайти всі значення, при яких послідовність,, є геометричною прогресією.
Рішення. Нехай, і. Відповідно до формули (2), яка задає основне властивість геометричної прогресії, можна записати або.
Звідси отримуємо квадратне рівняння, корінням якого є і.
Виконаємо перевірку: якщо, То, і; якщо, то, і.
У першому випадку маємо і, а в другому - і.
Відповідь:,.
Приклад 10.Розв'язати рівняння
, (11)
де і .
Рішення. Ліва частина рівняння (11) являє собою суму нескінченної спадної геометричної прогресії, в якій і, за умови: і.
З формули (7) слід, що . У зв'язку з цим рівняння (11) приймає вигляд або . відповідним коренем квадратного рівняння є
Відповідь:.
Приклад 11.П оследовательность позитивних чисел утворює арифметичну прогресію, а - геометричну прогресію, причому тут . Знайти.
Рішення.Так як арифметична послідовність, то (Основна властивість арифметичної прогресії). оскільки, То чи. Звідси випливає , що геометрична прогресія має вигляд. Відповідно до формули (2), Далі запишемо, що.
Так як і, то . У такому випадку вираз набуває вигляду або. За умовою , тому з рівняння отримуємо єдине рішення даної задачі, Тобто .
Відповідь:.
Приклад 12.обчислити суму
. (12)
Рішення. Помножимо на 5 обидві частини рівності (12) і отримаємо
Якщо з отриманого виразу відняти (12), то
або.
Для обчислення підставимо в формулу (7) значення, і отримаємо. Так як, то.
Відповідь:.
Наведені тут приклади розв'язання задач будуть корисні абітурієнтам при підготовці до вступних випробувань. Для більш глибокого вивчення методів вирішення завдань, пов'язаних з геометричною прогресією, можна використовувати навчальні посібники зі списку рекомендованої літератури.
1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / Под ред. М.І. Сканаві. - М .: Мир і Освіта, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.
3. Мединський М.М. Повний курс елементарної математики в задачах і вправах. Книга 2: Числові послідовності та прогресії. - М .: Едітус, 2015. - 208 с.
Залишилися питання?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
