Презентація «Функція y = ax2, її графік і властивості. Як побудувати параболу? Що таке парабола? Як вирішуються квадратні рівняння? Функція ax2 bx c її властивості

Конспект уроку з алгебри для 8 класу середньої загальноосвітньої школи

Тема урока: Функція

Мета уроку:

· освітня:визначити поняття квадратичної функції виду (порівняти графіки функцій і), показати формулу знаходження координат вершини параболи (навчити застосовувати цю формулу на практиці); сформувати вміння визначення властивостей квадратичної функції за графіком (знаходження осі симетрії, координат вершини параболи, координат точок перетину графіка з осями координат).

· розвиваюча: Розвиток математичної мови, вміння правильно, послідовно та раціонально викладати свої думки; розвиток навички правильної записи математичного тексту за допомогою символів і позначень; розвиток аналітичного мислення; розвиток пізнавальної діяльності учнів через вміння аналізувати, систематизувати і узагальнювати матеріал.

· Виховна: Виховання самостійності, вміння вислухати інших, формування акуратності й уваги в письмовій математичної мови.

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Методи навчання:

узагальнено-репродуктивний, індуктивно-евристичний.

Вимоги до знань і вмінь учнів

знати, що таке квадратична функція виду, формулу знаходження координат вершини параболи; вміти знаходити координати вершини параболи, координати точок перетину графіка функції з осями координат, за графіком функції визначати властивості квадратичної функції.

устаткування:

план уроку

I. Організаційний момент (1-2 хв)

II. Актуалізація знань (10 хв)

III. Виклад нового матеріалу (15 хв)

IV. Закріплення нового матеріалу (12 хв)

V. Підведення підсумків (3 хв)

VI. Завдання на будинок (2 хв)

Хід уроку

I. Організаційний момент

Привітання, перевірка відсутніх, збір зошитів.

II. актуалізація знань

учитель: На сьогоднішньому уроці ми вивчимо нову тему: "Функція". Але для початку повторимо раніше вивчений матеріал.

Фронтальне опитування:

1) Що називається квадратичною функцією? (Функція, де задані дійсні числа,, дійсна змінна, називається квадратичною функцією.)

2) Що є графіком квадратичної функції? (Графіком квадратичної функції є парабола.)

3) Що таке нулі квадратичної функції? (Нулі квадратичної функції - значення, при яких вона звертається в нуль.)

4) Перерахуйте властивості функції. (Значення функції позитивні при і дорівнює нулю при; графік функції симетричний відносно ос ординат; при функція зростає, при - убуває.)

5) Перерахуйте властивості функції. (Якщо, то функція набуває додатних значень при, якщо, то функція набуває від'ємних значень при, значення функції дорівнює 0 тільки; парабола симетрична щодо осі ординат; якщо, то функція зростає при і убуває при, якщо, то функція зростає при, убуває - при.)

III. Виклад нового матеріалу

учитель: Приступимо до вивчення нового матеріалу. Відкрийте зошити, запишіть число і тему уроку. Зверніть увагу на дошку.

Запис на дошці: Число.

Функція.

учитель: На дошці ви бачите два графіка функцій. Перший графік, а другий. Давайте спробуємо порівняти їх.

Властивості функції ви знаєте. На їх підставі, і порівнюючи наші графіки, можна виділити властивості функції.

Отже, як ви думаєте, від чого буде залежати напрямок гілок параболи?

учні:Напрямок гілок обох парабол буде залежати від коефіцієнта.

учитель:Абсолютно вірно. Так само можна помітити, що у обох парабол є вісь симетрії. У першого графіка функції, що є віссю симетрії?

учні:У параболи виду віссю симетрії є вісь ординат.

учитель:Вірно. А що є віссю симетрії параболи

учні:Віссю симетрії параболи є лінія, яка проходить через вершину параболи, паралельно осі ординат.

учитель: Правильно. Отже, віссю симетрії графіка функції будемо називати пряму, що проходить через вершину параболи, паралельну осі ординат.

А вершина параболи - це точка з координатами. Вони визначаються за формулою:

Запишіть формулу в зошит і обведіть в рамочку.

Запис на дошці і в зошитах

Координати вершини параболи.

учитель: Тепер, щоб було зрозуміліше, розглянемо приклад.

приклад 1: Знайдіть координати вершини параболи.

Рішення: За формулою

учитель: Як ми вже відзначили, вісь симетрії проходить через вершину параболи. Подивіться на дошку. Накресліть цей малюнок в зошиті.

Запис на дошці і в зошитах:

учитель:На кресленні: - рівняння осі симетрії параболи з вершиною в точці, де абсциса вершини параболи.

Розглянемо приклад.

Приклад 2:За графіком функції визначте рівняння осі симетрії параболи.

Рівняння осі симетрії має вигляд:, значить, рівняння осі симетрії даної параболи.

Відповідь: - рівняння осі симетрії.

IV.Закрепленіе нового матеріалу

учитель: На дошці записані завдання, які необхідно вирішити в класі.

Запис на дошці: № 609(3), 612(1), 613(3)

учитель:Але спочатку вирішимо приклад не з підручника. Вирішувати будемо біля дошки.

Приклад 1: Знайти координати вершини параболи

Рішення: За формулою

Відповідь: координати вершини параболи.

Приклад 2: Знайти координати точок перетину параболи з осями координат.

Рішення: 1) З віссю:

Тобто

По теоремі Вієта:

Точки перетину з віссю абсцис (1; 0) і (2; 0).

2) З віссю:

Точка перетину з віссю ординат (0; 2).

Відповідь: (1; 0), (2; 0), (0; 2) - координати точок перетину з осями координат.

Конспект уроку з алгебри для 8 класу середньої загальноосвітньої школи

Тема урока: Функція

Мета уроку:

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Методи навчання:

узагальнено-репродуктивний, індуктивно-евристичний.

Вимоги до знань і вмінь учнів

устаткування:

план уроку

I. Організаційний момент (1-2 хв)

II. Актуалізація знань (10 хв)

III. Виклад нового матеріалу (15 хв)

IV. Закріплення нового матеріалу (12 хв)

V. Підведення підсумків (3 хв)

VI. Завдання на будинок (2 хв)

Хід уроку

I. Організаційний момент

Привітання, перевірка відсутніх, збір зошитів.

II. актуалізація знань

Фронтальне опитування:

2) Що є графіком квадратичної функції? (Графіком квадратичної функції є парабола.)

3) Що таке нулі квадратичної функції? (Нулі квадратичної функції - значення, при яких вона звертається в нуль.)

III. Виклад нового матеріалу

Запис на дошці: Число.

Функція.

учитель: На дошці ви бачите два графіка функцій. Перший графік, а другий. Давайте спробуємо порівняти їх.

Властивості функції ви знаєте. На їх підставі, і порівнюючи наші графіки, можна виділити властивості функції.

Отже, як ви думаєте, від чого буде залежати напрямок гілок параболи?

учні:Напрямок гілок обох парабол буде залежати від коефіцієнта.

учні:У параболи виду віссю симетрії є вісь ординат.

учитель:Вірно. А що є віссю симетрії параболи

учні:Віссю симетрії параболи є лінія, яка проходить через вершину параболи, паралельно осі ординат.

А вершина параболи - це точка з координатами. Вони визначаються за формулою:

Запишіть формулу в зошит і обведіть в рамочку.

Запис на дошці і в зошитах

Координати вершини параболи.

учитель: Тепер, щоб було зрозуміліше, розглянемо приклад.

приклад 1: Знайдіть координати вершини параболи .

Рішення: За формулою

маємо:

Запис на дошці і в зошитах:

учитель:На кресленні: - рівняння осі симетрії параболи з вершиною в точці, де абсциса вершини параболи.

Розглянемо приклад.

Приклад 2:За графіком функції визначте рівняння осі симетрії параболи.

Рівняння осі симетрії має вигляд:, значить, рівняння осі симетрії даної параболи.

Відповідь: - рівняння осі симетрії.

IV.Закрепленіе нового матеріалу

учитель: На дошці записані завдання, які необхідно вирішити в класі.

Запис на дошці: № 609(3), 612(1), 613(3)

учитель:Але спочатку вирішимо приклад не з підручника. Вирішувати будемо біля дошки.

Приклад 1: Знайти координати вершини параболи

Рішення: За формулою

маємо:

Відповідь: координати вершини параболи.

Приклад 2: Знайти координати точок перетину параболи з осями координат.

Рішення: 1) З віссю:

Тобто

По теоремі Вієта:

Точки перетину з віссю абсцис (1; 0) і (2; 0).

2) З віссю:

VI.Домашнее завдання

учитель:На дошці записано завдання додому. Запишіть його в щоденники.

Запис на дошці і в щоденниках: §38, № 609 (2), 612 (2), 613 (2).

література

1. Алімов Ш.А. Алгебра 8 клас

2. Саранцев Г.І. Методика навчання математики в середній школі

3. Мішин В.І. Приватна методика викладання математики в середній школі

Презентація «Функція y = ax 2, її графік і властивості» є наочним посібником, яке створено для супроводу пояснення вчителя з даної теми. В даній презентації детально розглядається квадратична функція, її властивості, особливості побудови графіка, практичне застосування використовуваних методів вирішення завдань у фізиці.

Надаючи високу ступінь наочності, даний матеріал допоможе вчителю підвищити ефективність навчання, дасть можливість більш раціонально розподілити час на уроці. За допомогою анімаційних ефектів, виділення понять і важливих моментів кольором, увагу учнів акцентується на досліджуваному предметі, досягається краще запам'ятовування визначень і ходу міркування під час вирішення завдань.

Презентація починається з ознайомлення з назвою презентації та поняттям квадратичної функції. Підкреслюється важливість даної теми. Учням пропонується запам'ятати визначення квадратичної функції як функціональної залежності виду y = ax 2 + bx + c, в якій є незалежною змінною, а - числа, при цьому a ≠ 0. Окремо на слайді 4 зазначається для запам'ятовування, що областю визначення даної функції є вся вісь дійсних значень. Умовно дане твердження позначається D (x) = R.

Прикладом квадратичної функції є важливе її додаток у фізиці - формула залежності шляху при рівноприскореному русі від часу. Паралельно на уроках фізики учні вивчають формули різних видів руху, тому вміння вирішувати подібні завдання їм буде необхідно. На слайді 5 учням нагадується, що при русі тіла з прискоренням і на початок відліку часу відомий пройдений шлях і швидкість руху, то функціональна залежність, що представляє такий рух, буде виражатися формулою S = (at 2) / 2 + v 0 t + S 0 . Нижче наводиться приклад перетворення цієї формули в задану квадратичную функцію, якщо значення прискорення = 8, початкової швидкості = 3 і початкового шляху = 18. У цьому випадку функція набуде вигляду S = 4t 2 + 3t + 18.

На слайді 6 розглядається вид квадратичної функції y = ax 2, в якому вона представляється при. Якщо ж = 1, то квадратична функція має вигляд y = x 2. Відзначається, що графіком даної функції буде парабола.

Наступна частина презентації присвячена побудові графіка квадратичної функції. Пропонується розглянути побудову графіка функції y = 3x 2. Спочатку в таблиці зазначається відповідність значень функції значенням аргументу. Відзначається, що відмінність побудованого графіка функції y = 3x 2 від графіка функції y = x 2 в тому, що кожне значення її буде більше відповідного в три рази. У табличному вигляді ця різниця добре відстежується. Поруч в графічному поданні також добре помітна різниця в звуженні параболи.

На наступному слайді розглядається побудова графіка квадратичної функції y = 1/3 x 2. Для побудови графіка необхідно в таблиці вказати значення функції в ряді її точок. Відзначається, що кожне значення функції y = 1/3 x 2 менше відповідного значення функції y = x 2 в 3 рази. Дана різниця, крім таблиці, добре видно і на графіку. Її парабола більш розширена щодо осі ординат, ніж парабола функції y = x 2.

Приклади допомагають засвоїти загальне правило, згідно з яким можна потім більш просто і швидко виробляти побудова відповідних графіків. На слайді 9 виділено окремо правило, що графік квадратичної функції y = ax 2 можна побудувати в залежності від значення коефіцієнта розтягуванням або звуженням графіка. Якщо a> 1, то графік розтягується від осі х в раз. Якщо ж 0

Висновок про симетричність графіків функцій y = ax 2 і y = -ax2 (при ≠ 0) щодо осі абсцис окремо виділений на слайді 12 для запам'ятовування і наочно відображений на відповідному графіку. Далі поняття про графік квадратичної функції y = x 2 поширюється на більш загальний випадок функції y = ax 2, стверджуючи, що такий графік також буде називатися параболою.

На слайді 14 розглядаються властивості квадратичної функції y = ax 2 при позитивному. Відзначається, що її графік проходить через початок координат, а всі крапки, крім, лежать у верхній півплощині. Відзначено симетричність графіка відносно осі ординат, уточнюючи, що протилежним значенням аргументу відповідають однакові значення функції. Зазначено, що проміжок убування даної функції (-∞; 0], а зростання функції виконується на проміжку. Значення даної функції охоплюють всю позитивну частину дійсної осі, нулю вона дорівнює в точці, а найбільшого значення не має.

На слайді 15 описуються властивості функції y = ax 2, якщо негативний. Відзначається, що її графік також проходить через початок координат, але все його точки, крім, лежать в нижній півплощині. Відзначено симетричність графіка відносно осі, і протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції. Зростає функція на проміжку, убуває на. Значення даної функції лежать в проміжку, нулю вона дорівнює в точці, а найменшого значення не має.

Узагальнюючи розглянуті характеристики, на слайді 16 виводиться, що гілки параболи спрямовані вниз при, а вгору - при. Парабола симетрична щодо осі, а вершина параболи знаходиться в точці її перетину з віссю. У параболи y = ax 2 вершина - початок координат.

Також важливий висновок про перетворення параболи відображається на слайді 17. На ньому представлені варіанти перетворень графіка квадратичної функції. Відзначено, що графік функції y = ax 2 перетворюється симетричним відображенням графіка відносно осі. Також можливо стиснення або розтягнення графіка відносно осі.

На останньому слайді робляться узагальнюючі висновки про перетвореннях графіка функції. Зроблено висновки про те, що графік функції виходить симетричним перетворенням щодо осі. А графік функції виходить з стисненням або розтягуванням початкового графіка від осі. При цьому розтягнення від осі в раз спостерігається в разі, коли. Стисненням до осі в 1 / a раз графік утворюється в разі.

Презентація «Функція y = ax 2, її графік і властивості» може бути використана вчителем в якості наочного посібника на уроці алгебри. Також даний посібник добре розкриває тему, даючи поглиблене розуміння предмета, тому може бути запропонована для самостійного вивчення учнями. Також даний матеріал допоможе вчителю дати пояснення в ході дистанційного навчання.

Урок: як побудувати параболу або квадратичну функцію?

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

Парабола - це графік функції описаний формулою ax 2 + bx + c = 0.
Щоб побудувати параболу потрібно слідувати простому алгоритму дій:

1) Формула параболи y = ax 2 + bx + c,
якщо а> 0то гілки параболи спрямовані вгору,
а то гілки параболи спрямовані вниз.
вільний член cця точці перетинається параболи з віссю OY;

2), її знаходять за формулою x = (- b) / 2a, Знайдений x підставляємо в рівняння параболи і знаходимо y;

3)нулі функціїабо по іншому точки перетину параболи з віссю OX вони ще називаються корінням рівняння. Щоб знайти коріння ми рівняння прирівнюємо до 0 ax 2 + bx + c = 0;

Види рівнянь:

a) Повний квадратне рівняння має вигляд ax 2 + bx + c = 0і вирішується по Дискримінант;
b) Неповне квадратне рівняння виду ax 2 + bx = 0.Щоб його вирішити потрібно винести х за дужки, потім кожен множник прирівняти до 0:
ax 2 + bx = 0,
х (ax + b) = 0,
х = 0 і ax + b = 0;
c) Неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0.Щоб його вирішити потрібно невідомі перенести в одну сторону, а відомі в іншу. x = ± √ (c / a);

4) Знайти кілька додаткових точок для побудови функції.

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

І так тепер на прикладі розберемо все по діям:
Приклад №1:
y = x 2 + 4x + 3
c = 3 означає парабола перетинає OY в точці х = 0 у = 3. Гілки параболи дивляться вгору так як а = 1 + 1> 0.
a = 1 b = 4 c = 3 x = (- b) / 2a = (- 4) / (2 * 1) = - 2 y = (-2) 2 +4 * (- 2) + 3 = 4 8 + 3 = -1 вершина знаходиться в точці (-2; -1)
Знайдемо коріння рівняння x 2 + 4x + 3 = 0
За Дискримінант знаходимо коріння
a = 1 b = 4 c = 3
D = b 2 -4ac = 16-12 = 4
x = (- b ± √ (D)) / 2a
x 1 = (- 4 + 2) / 2 = -1
x 2 = (- 4-2) / 2 = -3

Візьмемо кілька довільних точок, які знаходяться поруч з вершиною х = -2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Підставляємо замість х в рівняння y = x 2 + 4x + 3 значення
y = (- 4) 2 +4 * (- 4) + 3 = 16-16 + 3 = 3
y = (- 3) 2 +4 * (- 3) + 3 = 9-12 + 3 = 0
y = (- 1) 2 +4 * (- 1) + 3 = 1-4 + 3 = 0
y = (0) 2 + 4 * (0) + 3 = 0-0 + 3 = 3
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична відносно прямої х = -2

Приклад №2:
y = -x 2 + 4x
c = 0 означає парабола перетинає OY в точці х = 0 у = 0. Гілки параболи дивляться вниз так як а = -1 -1 Знайдемо коріння рівняння -x 2 + 4x = 0
Неповне квадратне рівняння виду ax 2 + bx = 0. Щоб його вирішити потрібно винести х за дужки, потім кожен множник прирівняти до 0.
х (-x + 4) = 0, х = 0 і x = 4.

Візьмемо кілька довільних точок, які знаходяться поруч з вершиною х = 2
х 0 середньому 1 3 4
у 0 3 3 0
Підставляємо замість х в рівняння y = -x 2 + 4x значення
y = 0 2 + 4 * 0 = 0
y = - (1) 2 + 4 * 1 = -1 + 4 = 3
y = - (3) 2 + 4 * 3 = -9 + 13 = 3
y = - (4) 2 + 4 * 4 = -16 + 16 = 0
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична відносно прямої х = 2

приклад №3
y = x 2 -4
c = 4 означає парабола перетинає OY в точці х = 0 у = 4. Гілки параболи дивляться вгору так як а = 1 + 1> 0.
a = 1 b = 0 c = -4 x = (- b) / 2a = 0 / (2 * (1)) = 0 y = (0) 2 -4 = -4 вершина знаходиться в точці (0; -4 )
Знайдемо коріння рівняння x 2 -4 = 0
Неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Щоб його вирішити потрібно невідомі перенести в одну сторону, а відомі в іншу. x = ± √ (c / a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2

Візьмемо кілька довільних точок, які знаходяться поруч з вершиною х = 0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Підставляємо замість х в рівняння y = x 2 -4 значення
y = (- 2) 2 -4 = 4-4 = 0
y = (- 1) 2 -4 = 1-4 = -3
y = 1 2 -4 = 1-4 = -3
y = 2 + 2 -4 = 4-4 = 0
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична відносно прямої х = 0

підписуйтесь на канал на YOUTUBE, Щоб бути в курсі всіх новинок і готується з нами до іспитів.

Урок по темі «Функція y = ax ^ 2, її графік і властивості» вивчається в курсі алгебри 9 класу в системі уроків по темі «Функції». Даний урок вимагає ретельної підготовки. А саме, таких методів і засобів навчання, які дадуть воістину хороші результати.

Автор даного відеоуроку подбав про те, щоб допомогти вчителям при підготовці до уроків по цій темі. Він розробив видеоурок з урахуванням всіх вимог. Матеріал підібраний за віком школярів. Він не перевантажений, але досить місткий. Автор докладно розповідає матеріал, зупиняючись на більш важливих моментах. Кожен теоретичний пункт супроводжується прикладом, щоб сприйняття навчального матеріалу було набагато ефективніше і якісніше.

Урок може бути використаний учителем на звичайному уроці алгебри в 9 класі в якості певного етапу уроку - пояснення нового матеріалу. Учителю не доведеться в цей період нічого говорити або розповідати. Йому досить включити цей відеоурок і стежити за тим, щоб учні уважно слухали і записували важливі моменти.

Урок може використовуватися і школярами при самостійній підготовці до уроку, а також для самоосвіти.

Тривалість уроку становить 8:17 хвилин. На початку уроку автор зауважує, що однією з важливих функцій є квадратична функція. Потім вводиться квадратична функція з математичної точки зору. Дається її визначення з поясненнями.

Далі автор знайомить учнів з областю визначення квадратичної функції. На екрані з'являється правильна математична запис. Після цього автор розглядає приклад квадратичної функції на реальну ситуацію: за основу взята фізична задача, де показано, як залежить шлях від часу при рівноприскореному русі.

Після цього автор розглядає функцію y = 3x ^ 2. На екрані з'являється побудова таблиці значень цієї функції і функції y = x ^ 2. Згідно з даними цих таблиць будуються графіки функцій. Тут же в рамці з'являється пояснення, як виходить графік функції y = 3x ^ 2 з y = x ^ 2.

Розглянувши два окремих випадки, приклад функції y = ax ^ 2, автор приходить до правилу, як виходить графік цієї функції з графіка y = x ^ 2.

Далі розглядається функція y = ax ^ 2, де a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.

Потім з властивостей виводяться слідства. Їх чотири. Серед них з'являється нове поняття - вершини параболи. Далі слід зауваження, де говориться, які перетворення можливі для графіка даної функції. Після цього говориться про те, як виходить графік функції y = -f (x) з графіка функції y = f (x), а також y = af (x) з y = f (x).

На цьому урок, що містить навчальний матеріал закінчується. Залишається його закріпити, підібравши відповідні завдання в залежності від здібностей учнів.