Формула розкладання трехчлена. квадратний тричлен

План - конспект уроку (МБОУ «Чорноморська середня школа №2»

ПІБ вчителя

Пономаренко Владислав Вадимович

предмет

алгебра

Дата проведення уроку

19.09.2018

№ уроку

клас

9Б

Тема урока

(Відповідно до КТП)

«Розкладання квадратного тричлена на множники»

цілепокладання

- навчальні: навчити учнів розкладати на множники квадратний тричлен, навчити застосовувати алгоритм розкладання на множники квадратного тричлена при вирішенні прикладів, розглянути завдання бази даних ДПА, в яких використовується алгоритм розкладання квадратного тричлена на множники

-розвивати: розвивати у школярів вміння формулювати проблеми, пропонувати шляхи їх вирішення, сприяти розвитку у школярів умінь виділяти головне в пізнавальному об'єкті.

виховного: допомогти учням усвідомити цінність спільної діяльності, сприяти розвитку у дітей умінь здійснювати самоконтроль, самооцінку і самокоррекцию навчальної діяльності.

Тип уроку

вивчення та первинного закріплення нових знань.

устаткування:

мультимедійний проектор, екран, комп'ютер, дидактичний матеріал, підручники, зошити, презентація до уроку

Хід уроку

1. Організаційний момент: учитель вітає учнів, перевіряє готовність до уроку.

Мотивує учнів:

Сьогодні на уроці в спільну діяльність ми підтвердимо слова Пойа (Слайд 1). ( «Завдання, яке ви вирішуєте, може бути дуже скромною, але якщо вона кидає виклик вашої допитливості, і якщо ви вирішуєте її власними силами, то ви зможете випробувати веде до відкриттю напруження розуму і насолодитися радістю перемоги ». Двердь Пойа.)

Повідомлення про Пойа (Слайд 2)

Я хочу зробити виклик вашої допитливості. Розглянемо завдання з ДПА. Побудуйте графік функції .

Чи можемо ми, насолодитися радістю перемоги і виконати дане завдання? (проблемна ситуація).

Як вирішити цю проблему?

- Намітити план дій для вирішення цієї проблеми.

Коригує план уроку, коментує принцип самостійної роботи.

Самостійна робота (класу роздати листочки з текстом самостійної роботи) (Додаток 1)

Самостійна робота

Розкладіть на множники:

x 2 - 3x;

x 2 – 9;

x 2 - 8x + 16;

2a 2 - 2b 2 -a + b;

2x 2 - 7x - 4.

Скоротити дріб:

слайдЗ відповідями для самоперевірки.

питання класу:

Які способи розкладання многочлена на множники ви використовували?

Чи всі многочлени ви змогли розкласти на множники?

Чи всі дроби змогли скоротити?

Проблема2:слайд

Як розкласти на множники многочлен

2 x 2 – 7 x – 4?

Як скоротити дріб?

фронтальне опитування:

Що собою являють многочлени

2 x 2 – 7 x - 4 іx 2 – 5 x +6?

Дайте визначення квадратного тричлена.

Що ми знаємо про квадратному тричленну?

Як знайти його коріння?

Від чого залежить кількість коренів?

Зіставте ці знання з тим, що ми повинні дізнатися і сформулюйте тему уроку. (Після цього на екрані тема уроку)слайд

Поставимо мета урокуслайд

Намети кінцевий результатслайд

Питання класу: Як вирішити цю проблему?

Клас працює в групах.

Завдання групам:

по змісту знайти потрібну сторінку, з олівцем в руках прочитати п.4, виділити головну думку, скласти алгоритм, за яким будь-який квадратний тричлен можна розкласти на множники.

Перевірка виконання завдання класом (фронтальна робота):

Яка головна думка пункту 4?слайд (На екрані формула розкладання квадратного тричлена на множники).

Алгоритм на екрані.слайд

1.Пріравнять квадратний тричлен до нуля.

2.Найті дискриминант.

3.Найті коріння квадратного тричлена.

4.Подставіть знайдені коріння в формулу.

5. Якщо необхідно, то внести старший коефіцієнт в дужки.

Ще однамаленька проблема : Якщо D \u003d 0, то чи можна розкласти квадратний тричлен на множники, і якщо можна, то як?

(Дослідницька робота в групах).

слайд (на екрані:

Якщо D \u003d 0, то
.

Якщо квадратний тричлен не має коренів,

то його розкласти на множники не можна.)

Повернемося до завдання в самостійній роботі. Чи зможемо тепер розкласти на множники квадратні тричлен2 x 2 – 7 x - 4 іx 2 – 5 x +6?

Клас працює самостійно, розкладає на множники, я працюю індивідуально зі слабкими учнями.

слайд (З рішенням)взаимопроверка

Чи зможемо скоротити дріб?

Скоротити дріб, викликаю до дошки сильного учня.

Повернемося до завдання з ДПА. Чи зможемо ми тепер побудувати графік функції?

Що є графіком даної функції?

Побудуйте графік функції у себе в зошиті.

тест (замостоятельная робота) Додаток 2

Самоперевірка і самооцінка Учням видані листочки (Додаток 3), в які треба записати відповіді. У них дано критерії оцінок.

Критерії оцінок:

3 завдання - оцінка »4»

4заданія - оцінка «5»

рефлексія: (Слайд)

1.Сегодня на уроці я навчився ...

2.Сегодня на уроці я повторив ...

3.Я закріпив ...

4.Мне сподобалося ...

5.Я поставив собі оцінку за діяльність на уроці ...

6. Які види робіт викликали труднощі і вимагають повторення ...

7. Чи виконали ми намічений результат?

Слайд: Дякую за урок!

Додаток 1

Самостійна робота

Розкладіть на множники:

x 2 - 3x;

x 2 – 9;

x 2 - 8x + 16;

x 2 + X - 2;

2a 2 - 2b 2 -a + b;

2 x 2 – 7 x – 4.

Скоротити дріб:

Додаток 2

тест

1 варіант

азложіть на множники?

x 2 - 8x+ 7;

x 2 - 8x+ 16 ;

x 2 - 8x+ 9;

x 2 - 8x+ 1 7.

2 x 2 – 9 x – 5 = 2( x – 5)(…)?

відповідь:_________ .

Скоротіть дріб:

x – 3;

x + 3;

x – 4;

інша відповідь.

тест

2 варіант

Який квадратний тричлен не можна разложіть на множники?

5 x 2 + x+ 1;

⅓ x 2 -8x+ 2;

0,1 x 2 + 3 x - 5;

x 2 + 4 x+ 5.

Який многочлен треба підставити замість трьох крапок, щоб була рівність:2 x 2 + 5 x – 3 = 2( x + 3)(…)?

відповідь:_________ .

Скоротіть дріб:

3 x 2 – 6 x – 15;

0,25(3 x - 1);

0,25( x - 1);

інша відповідь.

додаток 3

Запишіть відповіді.

Критерії оцінок:

Вірно виконано: 2 завдання - оцінка «3»

3 завдання - оцінка »4»

4заданія - оцінка «5»

завдання №1

завдання №2

завдання №3

1 варіант

2 варіант

На даному уроці ми з вами навчимося розкладати квадратні тричлена на лінійні множники. Для цього необхідно пригадати теорему Вієта і зворотний їй. Дане вміння допоможе нам швидко і зручно розкладати квадратні тричлена на лінійні множники, а також спростить скорочення дробів, що складаються з виразів.

Отже повернемося до квадратного рівняння, де.

Те, що стоїть біля нас в лівій частині, називається квадратним тричленної.

Справедлива теорема: Якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо тотожність

Де - старший коефіцієнт, - коріння рівняння.

Отже, ми маємо квадратне рівняння - квадратний тричлен, де коріння квадратного рівняння також називаються корінням квадратного тричлена. Тому якщо ми маємо коріння квадратного тричлена, то цей тричлен розкладається на лінійні множники.

Доведення:

Доказ цього факту виконується за допомогою теореми Вієта, розглянутої нами в попередніх уроках.

Давайте згадаємо, про що говорить нам теорема Вієта:

Якщо - коріння квадратного тричлена, у якого, то.

З даної теореми випливає наступне твердження, що.

Ми бачимо, що, по теоремі Вієта,, т. Е., Підставивши дані значення в формулу вище, ми отримуємо такий вираз

що і потрібно було довести.

Згадаймо, що ми довели теорему, що якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо розкладання.

Тепер давайте згадаємо приклад квадратного рівняння, до якого за допомогою теореми Вієта ми підбирали коріння. З цього факту ми можемо отримати наступне рівність завдяки доведеною теоремою:

Тепер давайте перевіримо правильність даного факту простим розкриттям дужок:

Бачимо, що на множники ми розклали вірно, і будь-який тричлен, якщо він має коріння, то, можливо розкладено по даній теоремі на лінійні множники за формулою

Однак давайте перевіримо, для будь-якого чи рівняння можливо таке розкладання на множники:

Візьмемо, наприклад, рівняння. Для початку перевіримо знак дискримінанту

А ми пам'ятаємо, що для виконання вивченої нами теореми D повинен бути більше 0, тому в даному випадку розкладання на множники з вивченої теоремі неможливо.

Тому сформулюємо нову теорему: якщо квадратний тричлен не має коренів, то його не можна розкласти на лінійні множники.

Отже, ми розглянули теорему Вієта, можливість розкладання квадратного тричлена на лінійні множники, і тепер вирішимо кілька завдань.

завдання №1

У даній групі ми будемо за фактом вирішувати завдання, зворотний до поставленої. У нас було рівняння, і ми знаходили його коріння, розкладаючи на множники. Тут ми будемо діяти навпаки. Припустимо, у нас є коріння квадратного рівняння

Зворотній завдання таке: складіть квадратне рівняння, щоб були його корінням.

Для вирішення даного завдання існує 2 способи.

Оскільки - коріння рівняння, то - це квадратне рівняння, коренями якого є задані числа. Тепер розкриємо дужки і перевіримо:

Це був перший спосіб, за яким ми створили квадратне рівняння з заданими корінням, в якому немає будь-яких інших коренів, оскільки будь-яке квадратне рівняння має не більше двох коренів.

Даний спосіб передбачає використання зворотної теореми Вієта.

Якщо - корінь рівняння, то вони задовольняють умові, що.

Для наведеного квадратного рівняння ,, Т. Е. В даному випадку, а.

Таким чином, ми створили квадратне рівняння, яке має задані коріння.

завдання №2

Необхідно скоротити дріб.

Ми маємо тричлен в чисельнику і тричлен в знаменнику, причому тричлена можуть як розкладатися, так і не розкладатися на множники. Якщо ж і чисельник, і знаменник розкладаються на множники, то серед них можуть опинитися рівні множники, які можна скоротити.

В першу чергу необхідно розкласти на множники чисельник.

Спочатку необхідно перевірити, чи можна розкласти дане рівнянні на множники, знайдемо дискримінант. Оскільки, то знак залежить від твору (повинно бути менше 0), в даному прикладі, т. Е. Задане рівняння має коріння.

Для вирішення використовуємо теорему Вієта:

В даному випадку, оскільки ми маємо справу з корінням, то просто підібрати коріння буде досить складно. Але ми бачимо, що коефіцієнти врівноважені, т. Е. Якщо припустити, що, і підставити це значення в рівняння, то виходить наступна система:, т. Е. 5-5 \u003d 0. Таким чином, ми підібрали один з коренів даного квадратного рівняння.

Другий корінь ми будемо шукати методом підставляння вже відомого в систему рівнянь, наприклад,, тобто .

Таким чином, ми знайшли обидва кореня квадратного рівняння і можемо підставити їх значення у вихідне рівняння, щоб розкласти його на множники:

Згадаймо початкову задачу, нам необхідно було скоротити дріб.

Спробуємо вирішити поставлене завдання, підставивши замість чисельника.

Необхідно не забути, що при цьому знаменник не може дорівнювати 0, т. Е.,.

Якщо дані умови будуть виконуватися, то ми скоротили вихідну дріб до виду.

Завдання №3 (завдання з параметром)

При яких значеннях параметра сума коренів квадратного рівняння

Якщо коріння даного рівняння існують, то , Питання: коли.

Знайдемо суму і твір коренів квадратного рівняння. Використовуючи формули (59.8) для коренів наведеного рівняння, отримаємо

(Перша рівність очевидно, друге виходить після нескладного обчислення, яке читач проведе самостійно; зручно використовувати формулу для твору суми двох чисел на їх різницю).

доведено наступна

Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а їх добуток дорівнює вільному члену.

У разі неприведення квадратного рівняння слід в формули (60.1) підставити вираження формули (60.1) приймуть вид

Приклад 1. Скласти квадратне рівняння по його корінню:

Рішення, а) Знаходимо рівняння має вигляд

Приклад 2. Знайти суму квадратів коренів рівняння не вирішуючи самого рівняння.

Рішення. Відомі сума і твір коренів. Уявімо суму квадратів коренів у вигляді

і отримаємо

З формул Вієта легко отримати формулу

виражає правило розкладання квадратного тричлена на множники.

Справді, напишемо формули (60.2) у вигляді

тепер маємо

що і було потрібно отримати.

Вищевказаний висновок формул Вієта знаком читачеві з курсу алгебри середньої школи. Можна дати інший висновок, який використовує теорему Безу і розкладання многочлена на множники (пп. 51, 52).

Нехай коріння рівняння тоді за загальним правилом (52.2) тричлен в лівій частині рівняння розкладається на множники:

Розкриваючи дужки в правій частині цього тотожної рівності, отримаємо

і порівняння коефіцієнтів при однакових ступенях дасть нам формули Вієта (60.1).

Перевага цього висновку полягає в тому, що його можна застосувати і до рівнянь вищих ступенів з тим, щоб отримати вирази коефіцієнтів рівняння через його корені (не знаходячи самих коренів!). Наприклад, якщо коріння наведеного кубічного рівняння

суть то відповідно до рівності (52.2) знаходимо

(В нашому випадку Розкривши дужки в правій частині рівності і зібравши коефіцієнти при різних ступенях отримаємо

квадратним тричленної називається многочлен виду ax 2 +bx +c, де x - змінна, a,b,c - деякі числа, причому a ≠ 0.

коефіцієнт а називають старшим коефіцієнтом, c – вільним членом квадратного тричлена.

Приклади квадратних тричленів:

2 x 2 + 5x + 4 (тут a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5 (тут a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9 (тут a = 9, b = 9, c = -9)

коефіцієнт b або коефіцієнт c або обидва коефіцієнта одночасно можуть бути рівні нулю. наприклад:

5 x 2 + 3x(тутa \u003d 5,b \u003d 3,c \u003d 0, тому значення c в рівнянні відсутній).

6x 2 - 8 (тут a \u003d 6, b \u003d 0, c \u003d -8)

2x 2 (тут a \u003d 2, b \u003d 0, c \u003d 0)

Значення змінної, при якому многочлен звертається в нуль, називають коренем многочлена.

Щоб знайти коріння квадратного тричленаax 2 + bx + c, Треба прирівняти його до нуля -
тобто вирішити квадратне рівнянняax 2 + bx + c \u003d0 (див.розділ "Квадратне рівняння").

Розкладання квадратного тричлена на множники

приклад:

Розкладемо на множники тричлен 2 x 2 + 7x - 4.

Ми бачимо: коефіцієнт а = 2.

Тепер знайдемо коріння трехчлена. Для цього прирівняємо його до нуля і вирішимо рівняння

2x 2 + 7x - 4 \u003d 0.

Як вирішується таке рівняння - див. Розділ «Формули коренів квадратного рівняння. Дискримінант ». Тут же ми відразу назвемо результат обчислень. Наш тричлен має два кореня:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

Підставами в нашу формулу значення коренів, винісши за дужки значення коефіцієнта а, І отримаємо:

2x 2 + 7x - 4 \u003d 2 (x - 1/2) (x + 4).

Отриманий результат можна записати інакше, помноживши коефіцієнт 2 на двочлен x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 \u003d (2x - 1) (x + 4).

Завдання вирішена: тричлен розкладений на множники.

Таке розкладання можна отримати для будь-якого квадратного тричлена, що має коріння.

УВАГА!

Якщо дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, то цей тричлен має один корінь, але при розкладанні трехчлена цей корінь приймають як значення двох коренів - тобто як однакове значення x 1 іx 2 .

Наприклад, тричлен має один корінь, який дорівнює 3. Тоді x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

Отже повернемося до квадратного рівняння, де.

Те, що стоїть біля нас в лівій частині, називається квадратним тричленної.

Справедлива теорема: Якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо тотожність

Де - старший коефіцієнт, - коріння рівняння.

Доведення:

Доказ цього факту виконується за допомогою теореми Вієта, розглянутої нами в попередніх уроках.

Давайте згадаємо, про що говорить нам теорема Вієта:

Якщо - коріння квадратного тричлена, у якого, то.

З даної теореми випливає наступне твердження, що.

Ми бачимо, що, по теоремі Вієта,, т. Е., Підставивши дані значення в формулу вище, ми отримуємо такий вираз

що і потрібно було довести.

Згадаймо, що ми довели теорему, що якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо розкладання.

Тепер давайте перевіримо правильність даного факту простим розкриттям дужок:

Однак давайте перевіримо, для будь-якого чи рівняння можливо таке розкладання на множники:

Візьмемо, наприклад, рівняння. Для початку перевіримо знак дискримінанту

завдання №1

Зворотній завдання таке: складіть квадратне рівняння, щоб були його корінням.

Для вирішення даного завдання існує 2 способи.

Даний спосіб передбачає використання зворотної теореми Вієта.

Якщо - корінь рівняння, то вони задовольняють умові, що.

Для наведеного квадратного рівняння ,, Т. Е. В даному випадку, а.

Таким чином, ми створили квадратне рівняння, яке має задані коріння.

завдання №2

Необхідно скоротити дріб.

В першу чергу необхідно розкласти на множники чисельник.

Для вирішення використовуємо теорему Вієта:

Другий корінь ми будемо шукати методом підставляння вже відомого в систему рівнянь, наприклад,, тобто .

Згадаймо початкову задачу, нам необхідно було скоротити дріб.

Спробуємо вирішити поставлене завдання, підставивши замість чисельника.

Необхідно не забути, що при цьому знаменник не може дорівнювати 0, т. Е.,.

Якщо дані умови будуть виконуватися, то ми скоротили вихідну дріб до виду.

Завдання №3 (завдання з параметром)

При яких значеннях параметра сума коренів квадратного рівняння

Якщо коріння даного рівняння існують, то , Питання: коли.