Розв'язання лінійних рівнянь із прикладами. Лінійні рівняння

Рівнянням називається рівність, де є невідомий член - x. Його значення треба знайти.

Невідома величина називається коренем рівняння. Вирішити рівняння означає знайти його корінь, а цього потрібно знати властивості рівнянь. Рівняння за 5 клас нескладні, але якщо ви навчитеся правильно вирішувати їх, у вас не буде проблем з ними і надалі.

Головна властивість рівнянь

При зміні обох частин рівняння на однакову величину воно продовжує залишатися тим самим рівнянням з тим самим коренем. Давайте розв'яжемо кілька прикладів, щоб краще зрозуміти це правило.

Як вирішувати рівняння: додаток або віднімання

Припустимо, у нас є рівняння виду:

• a + x = b – тут a та b – числа, а x – невідомий член рівняння.

Якщо ми до обох частин рівняння додамо (або віднімемо з них) величину с, воно не зміниться:

• a + x + с = b + с
• a + x – с = b – с.

Приклад 1

Скористаємося цією властивістю для вирішення рівняння:

• 37+х=51

Віднімемо з обох частин число 37:

• 37+х-37=51-37

отримуємо:

• х = 51-37.

Корінь рівняння х = 14.

Якщо ми уважно подивимося на останнє рівняння, то побачимо, що воно таке саме, як перше. Ми просто перенесли доданок 37 з однієї частини рівняння до іншої, замінивши плюс на мінус.

Виходить, будь-яке число можна переносити з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком.

Приклад 2

• 37+х=37+22

Проведемо ту ж дію, перенесемо число 37 з лівої частини рівняння до правої:

• х = 37-37 +22

Оскільки 37-37=0, це ми просто скорочуємо і отримуємо:

• х =22.

Однакові члени рівняння з одним знаком, що у різних частинах рівняння, можна скорочувати (викреслювати).

Множення та розподіл рівнянь

Обидві частини рівності можна також множити або ділити на те саме число:

Якщо рівність а = b поділити чи помножити на с, вона не зміниться:

• а/с = b/с,
• ас = bс.

Приклад 3

• 5х = 20

Поділимо обидві частини рівняння на 5:

• 5х/5 = 20/5.

Оскільки 5/5 = 1, то ці множник та дільник у лівій частині рівняння скорочуємо та отримуємо:

• х = 20/5, х = 4

Приклад 4

• 5х = 5а

Якщо обидві частини рівняння поділити на 5, отримаємо:

• 5х/5 = 5а/5.

5 у чисельнику та знаменнику лівої та правої частини скорочуються, виходить х = а. Значить, однакові множники у лівій та правій частині рівнянь скорочуються.

Вирішимо ще один приклад:

• 13 + 2х = 21

Переносимо доданок 13 з лівої частини рівняння у праву з протилежним знаком:

• 2х = 21 – 13
• 2х = 8.

Ділимо обидві частини рівняння на 2, отримуємо:

• х = 4.

Макарова Т.П., ГБОУ ЗОШ №618 Тренінг «Рівняння» 5 клас

Тренінг для 5 класу на тему «Рівняння» у 2 – х варіантах

Макарова Тетяна Павлівна,

Вчитель ДБОУ ЗОШ №618 м. Москви

Контингент: 5 клас

Тренінг спрямований на перевірку знань та умінь учнів на тему «Рівняння». Тренінг призначений для учнів 5 класу до підручника Н.Я.Віленкін, В.І.Жохова та ін. Підручник для 5 класу. - М.: Мнемозіна, 2013. - 288с. Тест містить два паралельні варіанти рівної проблеми по дев'ять завдань у кожному (4 завдань з вибором відповіді, 3 завдання з короткою відповіддю, 2 завдання з розгорнутим рішенням).

Даний тренінг повністю відповідає федеральному державному освітньому стандарту (другого покоління), може бути використаний при проведенні класно-урочного контролю, а також може бути використаний учнями 5 класу для самостійної роботи на тему.

На виконання тесту виділяється від 15 до 25 хвилин часу уроку. Ключі додаються.

Тренінг для 5 класу на тему «Рівняння». Варіант 1.

№п/п

Завдання

Відповідь

Розв'яжіть рівняння

574

1124

1114

1024

Знайдіть корінь рівняння

(156-x )+43=170.

1)Корнем рівняння називають значення літери.

2) Корінь рівняння (23 – х) - 21 = 2 не є натуральним числом.

3) Щоб знайти невідоме віднімається, треба від зменшуваного відняти різницю.

4) Рівняння х – х= 0 має рівно один корінь.

Петя задумав число. Якщо до цього числа додати 43, а до отриманої суми додати 77, то вийде 258. Яке число задумав Петя?

1) (х + 43) – 77 = 258

2) (х + 43) + 77 = 258

3) (х – 43) + 77 = 258

4) (х – 43) – 77 = 258

Розв'яжіть рівняння: (5· з – 8) : 2 = 121: 11.

Розв'яжіть рівняння: 821 – ( m + 268) = 349.

Знайдіть значення числа а, якщо 8 а + 9х= 60 та х=4.

Розв'яжіть задачу за допомогою рівняння. У бібліотеці було 125 книг з математики. Після того, як учні взяли кілька книг, а потім 3 книги повернули, їх стало 116. Скільки всього книг брали учні?

Розв'яжіть рівняння:

456 + (х – 367) – 225 =898

Тренінг для 5 класу на тему «Рівняння». Варіант 2.

№п/п

Завдання

Відповідь

Частина 1. Завдання із вибором відповіді

Розв'яжіть рівняння

525

1081

535

1071

Знайдіть корінь рівняння

942 – (y + 142) = 419.

391

481

1219

381

Вкажіть номери вірних тверджень:

1) Рівняння – це рівність, що містить букву, значення якої треба визначити.

2) Будь-яке натуральне число є коренем рівняння

3) Коренем рівняння називають значення літери, у якому з рівняння виходить правильне числове вираз.

4) Щоб знайти невідоме ділене, треба до приватного додати дільник.

Даша задумала число. Якщо до цього числа додати 43, а від отриманої суми відібрати 77, то вийде 258. Яку кількість задумала Даша?

1) (х + 43) – 77 = 258

2) (х + 43) + 77 = 258

3) (х – 43) + 77 = 258

4) (х – 43) – 77 = 258

Частина 2. Завдання з короткою відповіддю

Розв'яжіть рівняння: 63: (2· х – 1) = 21: 3.

Розв'яжіть рівняння: 748 – ( b +248) = 300.

Знайдіть значення числа а, якщо 7 а – 3х= 41 та х=5.

Частина 3. Завдання з розгорнутим рішенням

Розв'яжіть задачу за допомогою рівняння. На складі було 197 верстатів. Після того як частину продали, а ще 86 привезли, на складі залишилося ще 115 верстатів. Скільки всього верстатів продали?

Лінійні рівняння. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Лінійні рівняння.

Лінійні рівняння – не найскладніша тема шкільної математики. Але є там свої фішки, які можуть спантеличити навіть підготовленого учня. Розберемося?)

Зазвичай лінійне рівняння визначається як рівняння виду:

ax + b = 0 де а і b- Будь-які числа.

2х + 7 = 0. Тут а=2, b=7

0,1 х - 2,3 = 0 Тут а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Тут а=12, b=1/2

Нічого складного, правда? Особливо, якщо не помічати слова: "де а і b – будь-які числа"... А якщо помітити, та необережно замислитись?) Адже, якщо а=0, b=0(будь-які числа можна?), то виходить кумедний вираз:

Але це ще не все! Якщо, скажімо, а=0,а b=5,виходить зовсім щось несусвітне:

Що напружує та підриває довіру до математики, так...) Особливо на іспитах. Адже з цих дивних виразів ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі. І що дивно, цей ікс дуже просто знаходиться. Ми навчимося це робити. У цьому уроці.

Як дізнатися лінійне рівняння на вигляд? Це, дивлячись який зовнішній вигляд.) Фішка в тому, що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду ax + b = 0 , а й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. А хто ж його знає, чи зводиться воно, чи ні?)

Чітко розпізнати лінійне рівняння можна у випадках. Скажімо, якщо перед нами рівняння, в яких є лише невідомі в першому ступені та числа. Причому в рівнянні немає дробів з розподілом на невідоме , це важливо! А розподіл на число,або дріб числовий – це будь ласка! Наприклад:

Це лінійне рівняння. Тут є дроби, але немає іксів у квадраті, кубі тощо, і немає іксів у знаменниках, тобто. ні поділу на ікс. А ось рівняння

не можна назвати лінійним. Тут ікси все в першому ступені, але є розподіл на вираз з іксом. Після спрощень та перетворень може вийти і лінійне рівняння, і квадратне, і все, що завгодно.

Виходить, що дізнатися лінійне рівняння в якомусь мудрому прикладі не можна, поки його майже не вирішиш. Це засмучує. Але у завданнях, як правило, не питають про вид рівняння, правда? У завданнях велять рівняння вирішувати.Це радує.)

Вирішення лінійних рівнянь. приклади.

Все рішення лінійних рівнянь складається з тотожних перетворень рівнянь. До речі, ці перетворення (цілі два!) лежать в основі рішень всіх рівнянь математики.Іншими словами, рішення будь-якогорівняння починається з цих самих перетворень. Що стосується лінійних рівнянь, воно (рішення) цих перетвореннях і закінчується повноцінним відповіддю. Чи має сенс за посиланням сходити, правда?) Тим більше, там теж приклади розв'язання лінійних рівнянь є.

Для початку розглянемо найпростіший приклад. Без будь-яких підводних каменів. Нехай нам потрібно вирішити таке рівняння.

х - 3 = 2 - 4х

Це лінійне рівняння. Ікси все в першому ступені, поділу на ікс немає. Але, власне, нам все одно, яке це рівняння. Нам його вирішувати треба. Схема тут проста. Зібрати все, що з іксами в лівій частині рівності, все, що без іксів (числа) - у правій.

Для цього потрібно перенести - 4х у ліву частину, зі зміною знака, зрозуміло, а - 3 - У праву. До речі, це і є перше тотожне перетворення рівнянь.Здивовані? Значить, за посиланням не ходили, а дарма...) Отримаємо:

х + 4х = 2 + 3

Наводимо подібні, вважаємо:

Що нам не вистачає на повне щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс був! П'ятірка заважає. Позбавляємося п'ятірки за допомогою другого тотожного перетворення рівнянь.А саме - ділимо обидві частини рівняння на 5. Отримуємо готову відповідь:

Приклад елементарний, ясна річ. Це для розминки.) Не дуже зрозуміло, чого я тут тотожні перетворення згадував? Ну добре. Беремо бика за роги.) Вирішимо що-небудь солідніше.

Наприклад, ось це рівняння:

З чого почнемо? З іксами – вліво, без іксів – вправо? Можна і так. Маленькими кроками довгою дорогою. А можна відразу, універсальним та потужним способом. Якщо, звичайно, у вашому арсеналі є тотожні перетворення рівнянь.

Задаю вам ключове питання: що вам найбільше не подобається у цьому рівнянні?

95 людей зі 100 відповідають: дроби ! Відповідь правильна. От і давайте їх позбудемося. Тому починаємо відразу з другого тотожного перетворення. На що потрібно помножити дріб зліва, щоб знаменник скоротився геть? Правильно, на 3. А справа? 4. Але математика дозволяє нам множити обидві частини на одне й те саме число. Як викрутимося? А помножимо обидві частини на 12! Тобто. на спільний знаменник. Тоді і трійка скоротиться і четвірка. Не забуваймо, що множити треба кожну частину повністю. Ось як виглядає перший крок:

Розкриваємо дужки:

Зверніть увагу! Чисельник (х+2)я взяв у дужки! Це тому, що при множенні дробів, чисельник множиться весь, цілком! А тепер дроби і скоротити можна:

Розкриваємо дужки, що залишилися:

Не приклад, а суцільне задоволення!) Ось тепер згадуємо заклинання з молодших класів: з іксом - вліво, без ікса - вправо!І застосовуємо це перетворення:

Наводимо такі:

І ділимо обидві частини на 25, тобто. знову застосовуємо друге перетворення:

От і все. Відповідь: х=0,16

Беремо на замітку: щоб привести вихідне замороченого рівняння до приємного вигляду, ми використовували два (всього два!) тотожні перетворення- Перенесення вліво-вправо зі зміною знака і множення-розподіл рівняння на те саме число. Це є універсальний спосіб! Працювати таким чином ми будемо з будь-якими рівняннями! Абсолютно будь-якими. Саме тому я про ці тотожні перетворення постійно повторюю.)

Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь простий. Беремо рівняння та спрощуємо його за допомогою тотожних перетворень до отримання відповіді. Основні проблеми тут у обчисленнях, а не в принципі вирішення.

Але... Зустрічаються в процесі вирішення найпростіших лінійних рівнянь такі сюрпризи, що можуть і у сильний ступор увігнати...) На щастя, таких сюрпризів може бути лише два. Назвемо їх особливими випадками.

Особливі випадки під час вирішення лінійних рівнянь.

Сюрприз перший.

Припустимо, трапилося вам елементарне рівняння, що-небудь типу:

2х +3 = 5х +5 - 3х - 2

Злегка нудна, переносимо з іксом вліво, без ікса - вправо... Зі зміною знаку, все чин-чинарем... Отримуємо:

2х-5х+3х=5-2-3

Вважаємо, і... опаньки! Отримуємо:

Сама собою ця рівність не викликає заперечень. Нуль справді дорівнює нулю. Але ікс пропав! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс.Інакше, рішення не вважається, так ...) Тупик?

Спокій! У таких сумнівних випадках рятують найзагальніші правила. Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння? Це означає, знайти всі значення ікса, які, при підстановці у вихідне рівняння, дадуть нам правильну рівність.

Але вірна рівність у нас вжевийшло! 0=0, куди вже вірніше? Залишається збагнути, за яких іксів це виходить. Які значення ікса можна підставляти в вихіднерівняння, якщо ці ікси все одно скорочуються на повний нуль?Нумо?)

Так! Ікси можна підставляти будь-які!Які бажаєте. Хоч 5, хоч 0,05, хоч -220. Вони все одно скоротяться. Якщо не вірите - можете перевірити.) Підставляйте будь-які значення ікса в вихіднерівняння та порахуйте. Весь час виходитиме чиста правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 і так далі.

Ось вам і відповідь: х – будь-яке число.

Відповідь можна записати різними математичними значками, суть не змінюється. Це абсолютно правильна та повноцінна відповідь.

Сюрприз другий.

Візьмемо те саме елементарне лінійне рівняння і змінимо в ньому лише одне число. Ось таке вирішуватимемо:

2х +1 = 5х +5 - 3х - 2

Після тих самих тотожних перетворень ми отримаємо щось інтригуюче:

Ось так. Вирішували лінійне рівняння, здобули дивну рівність. Говорячи математичною мовою, ми отримали неправильна рівність.А говорячи простою мовою, неправда це. Маячня. Але тим не менш, це марення - цілком вагома основа для правильного вирішення рівняння.)

Знову міркуємо, виходячи із загальних правил. Які ікси, при підстановці у вихідне рівняння, дадуть нам вірнерівність? Та ніякі! Немає таких іксів. Чого не підставляй, все скоротиться, залишиться марення.)

Ось вам і відповідь: рішень немає.

Це також цілком повноцінна відповідь. У математиці такі відповіді часто зустрічаються.

Ось так. Зараз, сподіваюся, зникнення іксів у процесі вирішення будь-якого (не тільки лінійного) рівняння вас анітрохи не збентежить. Справа вже знайома.)

Тепер, коли ми розібралися з усіма підводними каменями в лінійних рівняннях, має сенс їх вирішувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Одним з найважливіших навичок при вступ до 5 класє вміння розв'язувати найпростіші рівняння. Так як 5 клас ще не такий далекий від початкової школи, то і видів рівнянь, які може вирішувати учень не так вже й багато. Ми познайомимо Вас з усіма основними видами рівнянь, які необхідно вміти вирішувати, якщо Ви хочете вступити до фізико-математичної школи.

1 тип: "цибульні"
Це рівняння, які майже з ймовірністю зустрінуться Вам при вступ до будь-якої школиабо гурток 5 класу як окреме завдання. Їх легко відрізнити від інших: у них змінна є лише 1 раз. Наприклад, або .
Вирішуються вони дуже просто: необхідно просто "дістатись" до невідомої, поступово "знімаючи" все зайве, що оточує її - начебто почистити цибулину - звідси і така назва. Для вирішення достатньо пам'ятати кілька правил другого класу. Перерахуємо їх усі:

Додавання

1. доданок1 + доданок2 = сума
2. доданок1 = сума - доданок2
3. доданок2 = сума - доданок1

Віднімання

1. зменшуване - віднімається = різниця
2. зменшуване = віднімається + різницю
3. віднімається = зменшуване - різниця

Розмноження

1. множник1 * множник2 = добуток
2. множник1 = добуток: множник2
3. множник2 = добуток: множник1

Поділ

1. ділене: дільник = приватне
2. ділене = дільник * приватне
3. дільник = ділене: приватне

Розберемо з прикладу, як застосовувати дані правила.

Зауважимо, що ми ділимо і отримуємо . У цій ситуації ми знаємо дільник та приватне. Щоб знайти ділене, потрібно дільник помножити на приватне:

Ми стали трохи ближчими до самого. Тепер ми бачимо, що до додається і виходить. Отже, щоб знайти один із доданків, потрібно від суми відняти відомий доданок:

І ще один "шар" знятий із невідомої! Тепер ми бачимо ситуацію з відомим значенням твору () та одним відомим множником ().

Тепер ситуація "зменшуване - віднімається = різниця"

І останній крок - відомий твір () та один із множників ()

2 тип: рівняння з дужками
Рівняння даного типу найчастіше зустрічаються в задачах - саме до них зводиться 90% всіх завдань надходження до 5 клас. На відміну від "цибулинних рівнянь"Змінна тут може зустрітися кілька разів, тому вирішити її методами з попереднього пункту неможливо. Типові рівняння: або
Основна складність - це правильно розкрити дужки. Після того, як вдалося це правильно зробити, слід привести подібні доданки (числа до числа, змінні до змінних), а після цього ми отримуємо найпростіше "цибулинне рівняння", яке вміємо вирішувати Але про все гаразд.

Розкриття дужок. Ми наведемо кілька правил, якими слід користуватися у цьому випадку. Але, як показує практика, правильно розкривати дужки учень починає лише після 70-80 вирішуваних завдань. Основне правило таке: будь-який множник, що стоїть за дужками, необхідно помножити на кожне доданок усередині дужок. А мінус, що стоїть перед дужкою, змінює знак усіх висловів, що стоять усередині. Отже, основні правила розкриття:

Приведення подібних. Тут все набагато легше: Вам необхідно шляхом перенесення доданків через знак рівності домогтися того, щоб з одного боку стояли тільки доданки з невідомою, а з іншого боку - тільки числа. Основне правило таке: кожне доданок, що переноситься через , змінює свій знак - якщо воно було з ,то стане з , і навпаки. Після успішного перенесення необхідно порахувати підсумкову кількість невідомих, підсумкове число, що стоїть з іншого боку рівності, ніж змінні, і вирішити просте "цибулинне рівняння".

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.

Для початку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке їх називати найпростішим?

Лінійне рівняння — таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в інший;
3. Привести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. В цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер давайте подивимося, як це все працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише першою мірою.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або підрахунку «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із найпростіших завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить "ікси" переносимо в один бік, а без "іксів" - в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, в ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому етапі нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, але вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий вже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від дуже простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль — таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана із розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть "мінус", то ми його прибираємо, проте у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого факту дозволить вам не допускати дурні та образливі помилки у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до складніших рівнянь. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то у процесі перетворення всі одночлени, що містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже акуратно:

Тепер займемося усамітненням:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси вирішення

Обидва рівняння повністю вирішені. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак «мінус». Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно все перемножити на «ікс». Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що в низ, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що рішення рівнянь - це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, прийде день і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще складніших лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «ікс» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси вирішення

Найважливіше зауваження з приводу цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж доданок, то виконується це за таким правилом: ми беремо перше доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другої; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. У алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, жодних проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього до алгоритму потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функції, швидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, бувають трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам опанувати нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння всієї математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!