Знайти точку максимуму похідної. Критичні точки функції
Як знаємо з курсу суспільствознавства, суспільство у сенсі слова є форму організації та способи взаємодії людей. Поруч із динамічності, стійкістю і відкритістю, однією з найважливіших ознак суспільства є цілісність. Під цілісністю суспільства розуміється зв'язок елементів суспільства між собою. До елементів суспільства належать політична, економічна, соціальна та духовна сфери. Усі вони між собою взаємопов'язані. Прибравши одну із сфер суспільства і воно, суспільство, швидше за все, розпадеться. Ось що мав на увазі Сенека, говорячи про склепіння каменів.
Я повністю погоджуюся з висловом автора. Візьмемо будь-яку державу, де відбувається переворот у політичній сфері, чи то революція, чи то Громадянська війна. У будь-якому разі страждає все суспільство загалом, всі його сфери перестають нормально функціонувати. Далеко за прикладами ходити не треба, достатньо згадати конфлікт, що триває в Україні.
Інший приклад візьмемо із ЗМІ. Нам у новинах постійно кажуть, що президент підписав один закон про захист прав споживача (політика та економіка), поїхав на зустріч у сфері охорони здоров'я (політика та соціум), відвідав сферу освіти (політика та духовна сфера). Як видно з прикладів дії глави держави, політика тісно пов'язана із духовною, економічною та соціальною сферами. Так само, освіта пов'язана з політикою та економікою, а також виробництво матеріальних благ пов'язано з соціальною сфероюта політичною і так далі.
Усі сфери тісно пов'язані між собою і утворюють єдине ціле, єдину систему – суспільство.
Підтримка – це коли ви поділяєте почуття людини, даєте зрозуміти, що він не один у своїй біді. Іноді вона потрібна кожному: люди - соціальні істоти, вони орієнтовані те що, щоб жити групи і зближуватися із собі подібними. Ніхто не може впоратися з усіма труднощами на самоті, але в традиціях нашої культури підтримкою називають навіть те, що не має до неї жодного відношення, наприклад заклики «зібратися» і «триматися», повчання, нотації, голосіння і навіть залякування. Розбираємось, як треба підтримувати інших, а як – ні.
Як не треба
Якщо людина каже вам, що чудово обходиться без підтримки і зовсім її не потребує, цілком імовірно, що під підтримкою вона розуміє саме ці токсичні та шкідливі реакції. Той, хто стикався в основному з ними, коли потребував допомоги і прийняття, дійсно воліє тримати почуття в собі та справлятися самостійно. У чому відмінність токсичних реакцій від реальної підтримки? Як підтримувати один одного грамотно та правильно? Почнемо з того, що підтримкою не є, лише маскується під неї.
«Зберись!»
Фрази «Тримайся», «Крепис», «Мужайся» та інші заклики до стійкості – не надто гарний спосібпідтримати. Людина, яка звертається за підтримкою, мета рівно протилежна. Він хоче з кимось розділити емоційний вантаж і якраз не «триматися», а хоч трохи розслабитися і відчути себе краще. Слова «тримайся» або «мужся» транслюють йому: «У підтримці відмовлено. Вирішуй все сам, будь сильним. Зберися».
«А у мого сусіда кішку бездомні собаки загризли»
Ще в екстремальній ситуації людині ніяк не допомагають голосіння. У подруги потрапив у реанімацію хтось із близьких, вкрали гаманець, пропав собака? Не кажіть їй: «Який жах!» Вона вже знає, що це справді кошмар. І не розповідайте їй про аналогічні випадки, що сталися у ваших знайомих. Це нічим їй не допоможе, лише посилить паніку. Взагалі, якщо ви хочете поспівчувати, не варто навантажувати людину своїми емоціями. Зараз він сам потребує втіхи, і в нього точно немає ресурсу заспокоювати співрозмовника. Ваші сльози і голосіння в дусі «Який жах, що ж тепер робити?» лише переконають налякану людину в тому, що все справді дуже погано.
«Ти маєш рацію, він дурень»
Будьте обережні, якщо хочете приєднатися до гніву чи невдоволення співрозмовника: розпалювання негативних емоцій швидше дезадаптує, ніж допомагає впоратися із ситуацією. А людина, яка скаржиться на близьких, зазвичай відчуває суперечливі почуття: з нею погано надійшли ті, кого вона любить. Говорячи: "Так, твій чоловік справжній егоїст!" або «Схоже, твоя сестра взагалі не здатна логічно мислити» - ви ніби підтверджуєте його найгірші побоювання.
Ніхто насправді не хоче думати, що його близькі – монстри. Навіть якщо ситуація дійсно вимагає різкої негативної оцінки (у разі фізичного чи емоційного насильства, наприклад), краще подати цю інформацію більш виважено: «Знаєш, мені здається, що такі слова – це чистої водиманіпуляція», «Такий вчинок здається мені нечесним стосовно тебе», «Мені здається, те, що відбувається, небезпечне для тебе».
"Я знаю прекрасного гомеопата, він допоможе!"
Непрохані поради – теж погана ідея. «Часто хворіє дитина? Слухай, у мене є контакти чудового педіатра, зараз підкажу. Тобі треба його загартовувати, я надішлю тобі посилання на статтю про те, як це робити».
Практична допомога дуже важлива, але лише у тому випадку, коли вас про неї попросили. Нав'язувати її без запиту небажано. По-перше, не факт, що людина, яка потрапила в важку ситуацію, готова до активних дій прямо зараз - можливо, їй для цього спочатку потрібно отямитися і зібратися з думками. По-друге, невідомо, чи потрібна йому та форма допомоги, яку ви хочете запропонувати. Тільки сама людина може вирішувати, які дії будуть для неї правильними: загартовувати дитину, звернутися до перевіреного лікаря або просто перечекати період нескінченних дитячих застуд. Нав'язуючи співрозмовнику конкретні дії, ми закладаємо в це ідею про його безпорадність: «Ти сам не здатний ні з чим упоратися, зараз я розповім тобі, як треба чинити».
«Зі мною такого не буває»
Розмова зверхня, що демонструє, що у вас у цій сфері точно все гаразд, - це нечесний спосіб поведінки, який жодною мірою не є підтримкою. Наприклад, у ситуації, коли ви кажете людині, у якої діагностували депресію: «Треба ж, як тобі не пощастило. А я ось практикую позитивний спосіб мислення і намагаюся радіти кожному дню, і в мене депресій не буває», - немає нічого, крім бажання відчути себе краще за рахунок співрозмовника, який перебуває у скрутній ситуації.
"Сама винна!"
Зовсім неприйнятні звинувачення, «чарівні стусани» та інші засоби «народної» психології – це віктимблеймінг та повна протилежність підтримці. Приклад такої токсичної реакції, на жаль, часто подають батьки дітей та підлітків: «Все-таки завалив четверту контрольну? А я тобі казала, треба менше за комп'ютером сидіти. Але ж ти не слухаєш, ти ж у нас найрозумніший! Не знаю, як ти тепер виправлятимеш оцінку».
Вважається, що така реакція допомагає зібратися та діяти, а також усвідомити свої минулі помилки та більше не повторювати їх. Насправді ефект буде прямо протилежним: у ситуації стресу ніхто не здатний аналізувати помилки та робити висновки на майбутнє, а звинувачення та жорстка манера розмови лише посилюють травму. На короткий час людина може справді зібратися та діяти, але не тому, що «чарівний стусан» працює, а тому, що це стресова реакція, коли всі почуття заморожені.
Але у довгостроковій перспективі цей спосіб дуже токсичний. Він несе посил: «У тебе трапилася неприємність? Значить, ти найгірша (сам поганий). Не чекай, що я тобі допомагатиму». Окрім додаткового стресу для людини, у якої щось трапилося, «чарівні стусани» руйнують стосунки. Важко довіряти тому, хто добиває лежачого.
Як треба
Підтримка за своєю суттю - це повідомлення іншій людині: «Я тебе чую, розумію, приймаю твої почуття та твою важку ситуацію, і я готовий бути в ній з тобою». Бути з кимось у важкій ситуації можна по-різному - це залежить і від ступеня близькості з людиною, і від самої ситуації, а ще - від сил, ресурсів і бажання допомагати. Як же у такому разі підтримувати?
Тверезо оцініть свої сили
Невелика, але щира підтримка краща за її симуляцію. Часто на скарги реагують токсичними способами саме тому, що співрозмовник, від якого чекає підтримки, не має на неї сил чи ресурсу, але він боїться зізнатися в цьому. Не треба соромитися: абсолютно нормально не хотіти або не підтримувати когось. Пропонуйте тільки те, що насправді зможете надати без насильства над собою. Можливо, ви зараз здатні послухати співрозмовника лише п'ять хвилин і не більше. Або можете поговорити півгодини, але не готові надавати практичну допомогу.
Якщо у вас немає сил навіть на те, щоб побути поруч із людиною, коли вона відчуває важкі почуття, найчесніше сказати про це: «Пробач, будь ласка, але я зараз дуже втомився, на нервах, зовсім вимотаний. Я міг би поговорити з тобою завтра, якщо це буде зручно». Не факт, що співрозмовник на вас не образиться, але це краще, ніж чинити над собою насильство, а потім зливати агресію на іншого.
Вислухайте та розділіть
почуття іншого
Словесна підтримка – спосіб, який здається найпростішим, але насправді перебувати поруч із людиною, яка відчуває сильні негативні почуття, непросто. Нам хочеться емоційно відгородитися, вискочити з неприємної теми, і тому ми часто повертаємося в одну з токсичних реакцій.
Щоб підтримати людину у розмові, потрібно просто бути поруч, розділяти емоції співрозмовника та не відштовхувати його. Дайте йому виговоритись. Використовуйте активне слухання: кивайте, підтакуйте, ставте короткі уточнюючі питання. Людини в стресі, засмученої або роздратованої, дуже підтримує просто словесне вираження співчуття. У російській мові форма «Мені шкода» досі звучить трохи кострубато, але вона підходить - так само, як і «Співчую» або «Як шкода, що з тобою це сталося». Можете відобразити почуття співрозмовника: "Це, схоже, дійсно неприємно", "Звучить дуже сумно", "Розумію, чому ти на них так злишся". Утримайтеся від того, щоб оцінювати ситуацію, дії та вчинки.
Запитайте, чи потрібна допомога
Ще один чудовий спосіб підтримати - прямим текстом запитати людину, що їй потрібно в цій ситуації: «Я можу щось для тебе зробити? Скажи, якщо чимось можу тобі допомогти». Можливо, розмови було достатньо. Або виявиться, що потрібна практична допомога, порада, контакти - це буде доречно, якщо людина попросила про це безпосередньо.
Цей вислів присвячено проблемі взаємодії елементів системи суспільства. Над цією темою замислювалися філософи різних епох, намагаючись визначити провідну сферу життя, наприклад, у Середні віки панувало уявлення про важливість релігії, в Новий час увагу мислителів привертало наукове знання, пізніше Маркс висловив гіпотезу про верховенство економічної сфери. Найдавніші цивілізаціїслідували шляхи гармонійної роботи всіх сфер, і сучасні держави намагаються забезпечити нормальне їхнє функціонування.
Автор висловлювання говорить про те, що в будь-якому суспільстві його елементи взаємно доповнюють один одного, і без зв'язків, що їх об'єднують, і відносин воно б занепало. Єдність цих елементів визначають шлях життя суспільства.
Аргументую власну позицію теоретично. Суспільство – це у сенсі сукупність форм об'єднання покупців, безліч способів їх взаємодії.
Поряд з динамічністю та відкритістю йому властива системність та цілісність. Своєю чергою, суспільство – це сукупність елементів суспільства, мають сенс лише у складі цілого та об'єднаних взаємними стійкими зв'язками. Елементами системи є соціальні групи та інституції. До неї також включена підсистема - 4 сфери життя як сукупність стійких відносин між соціальними суб'єктами: духовна, соціальна, політична та економічна. Всі сфери доповнюють одна одну, і в будь-якому суспільстві можна простежити їхній взаємний вплив. Якщо виключити хоча б один елемент, розірвуться стійкі зв'язки, а функції цього елемента залишаться невиконаними, тобто можна стверджувати, що суспільство буде неповноцінною.
Доведу власну думку на емпіричному рівні. Згадаймо конфлікт РПЦ та радянської влади в історії Росії XX століття. З приходом до влади більшовиків у результаті жовтневого перевороту розпочалася активна пропаганда атеїзму. У 1918 році було прийнято «Декрет про відокремлення Церкви від держави та школи від Церкви», за яким церква позбавлялася права мати будь-яку власність і виявлялася нелегальною у полі радянських законів. Патріарх Тихін зрадив радянську владуанафемі, багато релігійних діячів були репресовані. Новою владою активно заохочувалося оновлення та розкол у церкві. У зв'язку з цим загальний рівеньморалі та моральності у населення впав в умовах внутрішньої політичної та соціальної нестабільності. Проте гоніння на церкву тимчасово припинилися з початком Великої Вітчизняної війни, І.В. Сталін усвідомлював важливість релігії у справі боротьби з ворогом і вирішив використати її як інструмент для підняття бойового духу армії та патріотичних настроїв. Усе це спонукало його скоригувати політику до РПЦ. Це доводить, що без духовної сфери суспільство є нестійким і не може розвиватися нормально.
Також можна розглянути твір англійського філософа Т. Гоббса Левіафан. У ньому мислитель розмірковує над додержавним станом суспільства. На його думку, воно може характеризуватись як «війна всіх проти всіх». Спочатку людина агресивна, переступає суспільні норми заради власної вигоди. Тому люди уклали громадський договір, передавши частину своєї свободи суверену, який захищатиме їхні права згідно із законом. Цей договір носить незворотний характер і затверджує державотворення. Ця теорія доводить, що політичної сфери життя суспільство існувати неспроможна.
Таким чином, можна зробити висновок, що без синхронної дії елементів суспільство нормально функціонувати не зможе через відсутність згоди його складових.
значення
Найбільше
значення
Найменше
Крапка максимуму
Крапка мінімуму
Завдання на знаходження точок екстремумафункції вирішуються за стандартною схемою в 3 кроки.
Крок 1. Знайдіть похідну функції
- Запам'ятайте формули похідної елементарних функцій та основні правила диференціювання, щоб знайти похідну.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Крок 2. Знайдіть похідні нулі
- Розв'яжіть отримане рівняння, щоб знайти нулі похідної.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Крок 3. Знайдіть точки екстремуму
- Використовуйте метод інтервалів, щоб визначити похідні знаки;
- У точці мінімуму похідна дорівнює нулю і змінює знак з мінусу на плюс, а в точці максимуму - з плюсу на мінус.
Застосуємо цей підхід, щоб вирішити таке завдання:
Знайдіть точку максимуму функції y=x3−243x+19.
1) Знайдемо похідну: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Розв'яжемо рівняння y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Похідна позитивна при x>9 та x<−9 и отрицательная при −9 Як шукати найбільше та найменше значення функції Для вирішення задачі на пошук найбільших та найменших значень функції необхідно: Багато завдань допомагає теорема: Якщо на відрізку лише одна точка екстремуму, причому це точка мінімуму, то ній досягається найменше значення функції. Якщо це точка максимуму, то ній досягається найбільше значення. 14. Поняття та основні властивості невизначеного інтеграла. Якщо функція f(x X, і k- Число, то Коротше: можна виносити за знак інтеграла. Якщо функції f(x) та g(x) мають первісні на проміжку X, то Коротше: інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів. Якщо функція f(x) має первісну на проміжку X, то для внутрішніх точок цього проміжку: Коротше: похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції. Якщо функція f(x) безперервна на проміжку Xі диференційована у внутрішніх точках цього проміжку, то: Коротше: Інтеграл від диференціала функції дорівнює цій функції плюс постійне інтегрування. Дамо суворе математичне визначення поняття невизначеного інтеграла. Вираз виду називається інтегралом від функції f(x)
, де f(x)
- підінтегральна функція, що задається (відома), dx
- диференціал x
, із символом завжди присутній dx
. Визначення. Невизначеним інтеграломназивається функція F(x) + C
, що містить довільне постійне C
, диференціал якої дорівнює підінтегральноговиразу f(x)dx
, тобто. Нагадаємо, що - диференціал функціїі визначається так: Завдання знаходження невизначеного інтегралаполягає у знаходженні такої функції, похіднаякою дорівнює підінтегральному виразу. Ця функція визначається з точністю до постійної, т.к. похідна від постійної дорівнює нулю. Наприклад, відомо, що , тоді виходить, що Завдання перебування невизначеного інтегралавід функцій не така проста і легка, як здається на перший погляд. У багатьох випадках має бути навичка роботи з невизначеними інтегралами,повинен бути досвід, який приходить з практикою та з постійним рішенням прикладів невизначені інтеграли.Варто враховувати той факт, що невизначені інтеграливід деяких функцій (їх досить багато) не беруться до елементарних функцій. 15. Таблиця основних невизначених інтегралів. Основні формули 16. Певний інтеграл як межа інтегральної суми. Геометричний та фізичний змил інтеграла. Нехай функція у = ƒ (х) визначена на відрізку [а; b], а< b. Выполним следующие действия. 1. За допомогою точок х 0 = а, х 1, х 2, ..., х n = В (х 0 2. У кожному частковому відрізку , i = 1,2,...,n виберемо довільну точку з i є і обчислимо значення функції у ній, т. е. величину ƒ(с i). 3. Помножимо знайдене значення функції ƒ (с i) на довжину ∆x i =x i -x i-1 відповідного часткового відрізка: ƒ (с i) ∆х i. 4. Складемо суму S n всіх таких творів: Сума виду (35.1) називається інтегральною сумою функції у = ƒ (х) на відрізку [а; b]. Позначимо через λ довжину найбільшого часткового відрізка:λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Знайдемо межу інтегральної суми (35.1), коли n → ∞ так, що λ→0. Якщо при цьому інтегральна сума S n має межу I, яка не залежить ні від способу розбиття відрізка [а; b] на часткові відрізки, ні від вибору точок у них, число I називається певним інтегралом від функції у = ƒ(х) на відрізку [а; b] і позначається Таким чином, Числа а і b називаються відповідними нижньою і верхньою межами інтегрування, ƒ(х) - підінтегральною функцією, ƒ(х) dx - підинтегральним виразом, х - змінною інтегрування, відрізок [а; b] - областю (відрізком) інтегрування. Функція у = ƒ (х), для якої на відрізку [а; b] існує певний інтеграл називається інтегрованою на цьому відрізку. Сформулюємо тепер теорему існування певного інтегралу. Теорема 35.1 (Коші). Якщо функція у = ƒ(х) безперервна на відрізку [а; b], то певний інтеграл Зазначимо, що безперервність функції є достатньою умовою її інтегрованості. Однак певний інтеграл може існувати і для деяких розривних функцій, зокрема для будь-якої обмеженої на відрізку функції, що має на ньому кінцеве число точок розриву. Вкажемо деякі властивості певного інтеграла, що безпосередньо випливають з його визначення (35.2). 1. Певний інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування: Це випливає з того, що інтегральна сума (35.1), а отже, і її межа (35.2) не залежить від того, якою літерою позначається аргумент цієї функції. 2. Певний інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю: 3. Для будь-якого дійсного числа с. 17. Формула Ньютона-Лейбніца. Основні характеристики певного інтеграла. Нехай функція y = f(x)безперервна на відрізку
і F(x)- одна з першорядних функцій на цьому відрізку, тоді справедлива формула Ньютона-Лейбніца: Формулу Ньютона-Лейбніца називають основною формулою інтегрального обчислення. Для доказу формули Ньютона-Лейбніца нам знадобиться поняття інтеграла зі змінною верхньою межею. Якщо функція y = f(x)безперервна на відрізку
, то аргументу інтеграл виду є функцією верхньої межі. Позначимо цю функцію Дійсно, запишемо збільшення функції , що відповідає збільшенню аргументу і скористаємося п'ятою властивістю певного інтеграла і наслідком з десятої властивості: Перепишемо цю рівність у вигляді Обчислимо F(a), використовуючи першу властивість певного інтеграла: Приріст функції прийнято позначати як Для застосування формули Ньютона-Лейбніца нам достатньо знати одну з першорядних y=F(x)підінтегральної функції y=f(x)на відрізку
і обчислити збільшення цієї первісної на цьому відрізку. У статті методи інтегрування розібрано основні способи знаходження первісної. Наведемо кілька прикладів обчислення певних інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца для роз'яснення. приклад. Обчислити значення певного інтеграла за такою формулою Ньютона-Лейбніца. Рішення. Для початку відзначимо, що підінтегральна функція безперервна на відрізку
, Отже, інтегрується на ньому. (Про інтегровані функції ми говорили в розділі функції, для яких існує певний інтеграл). З таблиці невизначених інтегралів видно, що з функції безліч первісних всім дійсних значень аргументу (отже, і ) записується як Тепер залишилося скористатися формулою Ньютона-Лейбніца для обчислення певного інтеграла: 18. Геометричні програми певного інтеграла. ГЕОМЕТРИЧНІ ДОДАТКИ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ Обчислення об'єму тіла Обчислення об'єму тіла за відомими площами паралельних перерізів: Об'єм тіла обертання: ; . Приклад 1. Знайти площу фігури, обмеженою кривою y=sinx, прямими Рішення:Знаходимо площу фігури: Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями Рішення:Знайдемо абсциси точок перетину графіків даних функцій. Для цього вирішуємо систему рівнянь Звідси знаходимо x1=0, x2=2,5. 19. Поняття диференціальних управлінь. Диференціальні рівняння першого ладу. Диференціальне рівняння- Рівняння, що пов'язує значення похідної функції з самою функцією, значення незалежної змінної, числами (параметрами). Порядок похідних, що входять у рівняння, може бути різний (формально він нічим не обмежений). Похідні, функції, незалежні змінні та параметри можуть входити в рівняння у різних комбінаціях або всі, крім хоча б однієї похідної, бути зовсім відсутніми. Не будь-яке рівняння, що містить похідні невідомої функції є диференціальним рівнянням. Наприклад, Диференціальні рівняння у приватних похідних(УРЧП) - це рівняння, що містять невідомі функції від кількох змінних та їх приватні похідні. Загальний вигляд таких рівнянь можна подати у вигляді: де – незалежні змінні, а – функція цих змінних. Порядок рівнянь у приватних похідних може визначається як і, як звичайних диференціальних рівнянь. Ще однією важливою класифікацією рівнянь у похідних є їх поділ на рівняння еліптичного, параболічного і гіперболічного типу, особливо для рівнянь другого порядку. Як звичайні диференціальні рівняння, і рівняння у приватних похідних можна розділити на лінійніі нелінійні. Диференціальне рівняння є лінійним, якщо невідома функція та її похідні входять у рівняння лише першою мірою (і перемножуються друг з одним). Для таких рівнянь рішення утворюють афінний підпростір простору функцій. Теорія лінійних ДУ розвинена значно глибше, ніж теорія нелінійних рівнянь. Загальний вид лінійного диференціального рівняння n-го порядку: де p i(x) - відомі функції незалежної змінної, які називають коефіцієнтами рівняння. Функція r(x) у правій частині називається вільним членом(єдине доданок, яке залежить від невідомої функції) Важливим приватним класом лінійних рівнянь є лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами. Підкласом лінійних рівнянь є одноріднідиференціальні рівняння - рівняння, які містять вільного члена: r(x) = 0. Для однорідних диференціальних рівнянь виконується принцип суперпозиції: лінійна комбінація приватних розв'язків такого рівняння також буде його розв'язанням. Всі інші лінійні диференціальні рівняння називаються неодноріднимидиференціальними рівняннями. Нелінійні диференціальні рівняння у випадку немає розроблених методів рішення, крім деяких приватних класів. У деяких випадках (із застосуванням тих чи інших наближень) вони можуть бути зведені до лінійних. Наприклад, лінійне рівняння гармонійного осцилятора · - Однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Рішенням є сімейство функцій , де і - довільні константи, які для конкретного рішення визначаються з початкових умов, що задаються окремо. Це рівняння зокрема описує рух гармонійного осцилятора з циклічною частотою 3. · Другий закон Ньютона можна записати у формі диференціального рівняння · Диференціальне рівняння Бесселя - звичайне лінійне однорідне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами: Його рішеннями є функції Бесселя. · Приклад неоднорідного нелінійного звичайного диференціального рівняння 1-го порядку: У наступній групі прикладів невідома функція uзалежить від двох змінних xі tабо xі y. · Однорідне лінійне диференціальне рівняння у приватних похідних першого порядку: · Одномірне хвильове рівняння - однорідне лінійне рівняння у приватних похідних гіперболічного типу другого порядку з постійними коефіцієнтами, що визначає коливання струни, якщо - відхилення струни в точці з координатою xу момент часу t, а параметр aдає властивості струни: · Рівняння Лапласа у двовимірному просторі - однорідне лінійне диференціальне рівняння у приватних похідних другого порядку еліптичного типу з постійними коефіцієнтами, що виникає у багатьох фізичних завданнях механіки, теплопровідності, електростатики, гідравліки: · Рівняння Кортевега - де Фріза, нелінійне диференціальне рівняння у приватних похідних третього порядку, що описує стаціонарні нелінійні хвилі, у тому числі солітони: 20. Диференціальні рівняння з застосовними, що розділяються. Лінійні рівняння та метод Бернуллі. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, лінійне щодо невідомої функції та її похідної. Воно має вигляд
або 
Функцію називають первісної функції. Первинна функція визначається з точністю до постійної величини.
, тут – довільна постійна.
.
, причому ця функція безперервна і справедлива рівність 
.
де.
. Якщо згадати визначення похідної функції і перейти до межі, то отримаємо. Тобто, - це одна з першорядних функцій y = f(x)на відрізку
. Таким чином, безліч усіх первісних F(x)можна записати як 
, де З- Довільна постійна.
, Отже, . Скористаємося цим результатом під час обчислення F(b): , тобто 
. Ця рівність дає доведену формулу Ньютона-Лейбніца. .
. Користуючись цим позначенням, формула Ньютона-Лейбніца набуде вигляду. 
.
. Візьмемо первісну при C = 0: .
.Прямокутна С.К. Функція, задана параметрично Полярна С.К.
Обчислення площ плоских фігур
Обчислення довжини дуги плоскої кривої
Обчислення площі поверхні обертання
не є диференціальним рівнянням.
може розглядатися як наближення нелінійного рівняння математичного маятника 
для випадку малих амплітуд, коли y≈ sin y.
де m- маса тіла, x- Його координата, F(x, t) - сила, що діє на тіло з координатою xу момент часу t. Його розв'язком є траєкторія руху тіла під дією вказаної сили.
