Значення косинуса 0. Косинус гострого кута можна визначити за допомогою прямокутного трикутника - він дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Перш за все нагадаю простий, але дуже корисний висновок з уроку "Що таке синус і косинус? Що таке тангенс і котангенс?"

Ось цей висновок:

Синус, косинус, тангенс і котангенс міцно пов'язані зі своїми кутами. Знаємо одне - значить, знаємо й інше.

Іншими словами, при кожному розі є свій незмінний синус і косинус. І майже у кожного - свій тангенс і котангенс. чому майже? Про це нижче.

Це знання здорово допомагає в навчанні! Існує маса завдань, де потрібно перейти від синусів до кутів і навпаки. Для цього існує таблиця синусів. Аналогічно, для завдань з косинусом - таблиця косинусів. І, як ви вже здогадалися, існує таблиця тангенсов і таблиця котангенсів.)

Таблиці бувають різні. Довгі, де можна подивитися, чому дорівнює, скажімо, sin37 ° 6 '. Розкриваємо таблиці Брадіса, шукаємо кут тридцять сім градусів шість хвилин і бачимо значення 0,6032. Ясна річ, запам'ятовувати це число (і тисячі інших табличних значень) абсолютно не потрібно.

По суті, в наш час довгі таблиці косинусів синусів тангенсов котангенсів не особливо-то і потрібні. Один хороший калькулятор замінює їх повністю. Але знати про існування таких таблиць не заважає. Для загальної ерудиції.)

І навіщо тоді цей урок ?! - запитаєте ви.

А ось навіщо. Серед нескінченної кількості кутів існують особливі, про які ви повинні знати усе. На цих кутах побудована вся шкільна геометрія і тригонометрія. Це, свого роду, "таблиця множення" тригонометрії. Якщо ви не знаєте, чому дорівнює, наприклад, sin50 °, ніхто вас не засудить.) Але якщо ви не знаєте, чому дорівнює sin30 °, будьте готові отримати заслужену двійку ...

таких особливих кутів теж пристойно набирається. Шкільні підручники зазвичай люб'язно пропонують до запам'ятовування таблицю синусів і таблицю косинусів для сімнадцяти кутів. Ну і, зрозуміло, таблицю тангенсів і таблицю котангенсів для тих же сімнадцяти кутів ... Тобто пропонується запам'ятати 68 значень. Які, між іншим, дуже схожі між собою, раз у раз повторюються і змінюють знаки. Для людини без ідеальної зорової пам'яті - та ще задачка ...)

Ми підемо іншим шляхом. Замінимо механічне запам'ятовування на логіку і кмітливість. Тоді нам доведеться зазубрити 3 (три!) Значення для таблиці синусів і таблиці косинусів. І 3 (три!) Значення для таблиці тангенсів і таблиці котангенсів. І все. Шість значень запам'ятати легше, ніж 68, мені здається ...)

Всі інші необхідні значення ми будемо отримувати з цих шести з допомогою потужної законної шпаргалки - тригонометричного кола. Якщо ви не вивчали цю тему, сходіть по ссилочку, не лінуйтеся. Це коло не тільки для цього уроку потрібен. він незамінний для всієї тригонометрії відразу. Не користуватися таким інструментом просто гріх! Не хочете? Справа ваша. заучувати таблицю синусів. Таблицю косинусів. Таблицю тангенсів. Таблицю котангенсів. Всі 68 значень для різноманітних кутів.)

Тож почнемо. Для початку розіб'ємо всі ці особливі кути на три групи.

Перша група кутів.

Розглянемо першу групу кутів з сімнадцяти особливих. Це 5 кутів: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °.

Ось так виглядає таблиця синусів косинусів тангенсов котангенсів для цих кутів:

кут х (В градусах)	0	90	180	270	360
кут х (В радіанах)	0
sin x	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	не ім.	0	не ім.	0
ctg x	не ім.	0	не ім.	0	не ім.

Бажають запам'ятати - запам'ятовуйте. Але відразу скажу, що всі ці одинички і нулики дуже плутаються в голові. Набагато сильніше, ніж хочеться.) Тому включаємо логіку і тригонометричний коло.

Малюємо коло і відзначаємо на ньому ці самі кути: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °. Я ці кути зазначив червоними крапками:

Відразу видно, в чому особливість цих кутів. Так! Це кути, які потрапляють точно на осі координат! Власне, тому-то і плутається народ ... Але ми плутатися не будемо. Розберемося, як знаходити тригонометричні функції цих кутів без особливого запам'ятовування.

До речі, положення кута в 0 градусів повністю збігається з положенням кута в 360 градусів. Це означає, що синуси, косинуси, тангенси у цих кутів однакові. Кут в 360 градусів я зазначив, щоб замкнути коло.

Припустимо, в складній стресовій обстановці ЄДІ ви якось засумнівалися ... Чому дорівнює синус 0 градусів? Начебто нуль ... А раптом одиниця ?! Механічне запам'ятовування така штука. У суворих умовах сумніви гризти починають ...)

Спокій, тільки спокій!) Я підкажу вам практичний прийом, який видасть стовідсотково правильну відповідь і начисто прибере всі сумніви.

Як приклад розберемося, як чітко і надійно визначити, скажімо, синус 0 градусів. А заодно, і косинус 0. Саме в цих значеннях, як не дивно, часто люди плутаються.

Для цього на колі намалюємо довільний кут х. У першій чверті, щоб недалеко від 0 градусів було. Відзначимо на осях синус і косинус цього кута х, все чин-чінарём. Ось так:

А тепер - увага! зменшимо кут х, Наблизимо рухливу сторону до осі ОХ. Наведіть курсор на картинку (або торкніться картинки на планшеті) і все побачите.

Тепер включаємо елементарну логіку !. Дивимося і розмірковуємо: як поводиться sinx при зменшенні кута х? При наближенні кута до нуля? Він зменшується! А cosx - збільшується! Залишається зрозуміти, що стане з синусом, коли кут схлопнется зовсім? Коли рухлива сторона кута (точка А) вляжеться на вісь ОХ і кут стане рівним нулю? Очевидно, і синус кута піде в нуль. А косинус збільшиться до ... до ... Чому дорівнює довжина рухомий боку кута (радіус тригонометричного кола)? Одиниці!

Ось і відповідь. Синус 0 градусів дорівнює 0. Косинус 0 градусів дорівнює 1. Абсолютно залізно і без жодних сумнівів!) Просто тому, що інакше бути не може.

Цілком аналогічно можна дізнатися (або уточнити) синус 270 градусів, наприклад. Або косинус 180. Намалювати коло, довільний кут в чверті поряд з цікавій для нас віссю координат, подумки посувати сторону кута і вловити, ніж стане синус і косинус, коли сторона кута вляжеться на вісь. От і все.

Як бачите, для цієї групи кутів нічого заучувати не треба. Чи не потрібна тут таблиця синусів ... та й таблиця косинусів - теж.) До речі, після декількох застосувань тригонометричного кола всі ці значення запам'ятаються самі по собі. А якщо забудуться - намалював за 5 секунд коло і уточнив. Куди простіше, ніж дзвонити одному з туалету з ризиком для атестата, правда?)

Що стосується тангенса і котангенс - все те ж саме. Малюємо на колі лінію тангенса (котангенс) - і все відразу видно. Де вони дорівнюють нулю, а де - не існують. Що, не знаєте про лінії тангенса і котангенс? Це сумно, але можна виправити.) Відвідали Розділ 555 Тангенс і котангенс на тригонометричному колі - і немає проблем!

Якщо ви зрозуміли, як чітко визначити синус, косинус, тангенс і котангенс для цих п'яти кутів - я вас вітаю! Про всяк випадок повідомляю, що ви тепер можете визначати функції будь-яких кутів, що потрапляють на осі. А це і 450 °, і 540 °, і 1800 °, і ще нескінченну кількість ...) Відрахував (правильно!) Кут на колі - і немає проблем з функціями.

Але, як раз, з відліком кутів і трапляються проблеми та помилки ... Як їх уникнути, написано в уроці: Як намалювати (відрахувати) будь-яким кутом на тригонометричному колі в градусах. Елементарно, але дуже допомагає в боротьбі з помилками.)

А ось урок: Як намалювати (відрахувати) будь-яким кутом на тригонометричному колі в радіанах - покруче буде. У сенсі можливостей. Скажімо, визначити на яку з чотирьох піввісь потрапляє кут

ви зможете за пару секунд. Я не шуткую! Саме за пару секунд. Ну звичайно, не тільки 345 "пі" ...) І 121, і 16, і -1345. Будь цілий коефіцієнт годиться для миттєвого відповіді.

А якщо кут

Подумаєш! Вірна відповідь виходить секунд за 10. Для будь-якого дрібного значення радіанів з двійкою в знаменнику.

Власне, цим і хороший тригонометричний коло. Тим, що вміння працювати з деякими кутами він автоматично розширює на безліч кутів.

Отже, з п'ятьма кутами з сімнадцяти - розібралися.

Друга група кутів.

Наступна група кутів - це кути 30 °, 45 ° і 60 °. Чому саме ці, а не, наприклад, 20, 50 і 80? Та якось склалося так ... Історично.) Далі буде видно, чим хороші ці кути.

Таблиця синусів косинусів тангенсов котангенсів для цих кутів виглядає так:

кут х (В градусах)	0	30	45	60	90
кут х (В радіанах)	0
sin x	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		не ім.
ctg x	не ім.		1		0

Я залишив значення для 0 ° і 90 ° з попередньої таблиці для завершеності картини.) Щоб було видно, що ці кути лежать в першій чверті і зростають. Від 0 до 90. Це стане в нагоді нам далі.

Значення таблиці для кутів 30 °, 45 ° і 60 ° треба запам'ятати. Зазубрити, якщо хочете. Але і тут є можливість полегшити собі життя.) Зверніть увагу на значення таблиці синусів цих кутів. І порівняйте з значеннями таблиці косинусів ...

Так! вони одні й ті ж! Тільки розташовані в зворотному порядку. Кути зростають (0, 30, 45, 60, 90) - і значення синуса зростають від 0 до 1. Чи можете переконатися з калькулятором. А значення косинуса - зменшуються від 1 до нуля. Причому, самі значення одні й ті ж. Для кутів 20, 50, 80 так би не вийшло ...

Звідси корисний висновок. досить вивчити три значення для кутів 30, 45, 60 градусів. І пам'ятати, що у синуса вони зростають, а у косинуса - зменшуються. Назустріч синусу.) На половині шляху (45 °) вони зустрічаються, тобто синус 45 градусів дорівнює косинусу 45 градусів. А далі знову розходяться ... Три значення можна вивчити, правда?

З тангенса - Котангенс картина виключно та ж сама. Один в один. Тільки значення інші. Ці значення (ще три!) Теж треба вивчити.

Ну ось, практично все запам'ятовування і закінчилося. Ви зрозуміли (сподіваюся), як визначати значення для п'яти кутів потрапляють на осі і вивчили значення для кутів 30, 45, 60 градусів. Всього 8.

Залишилося розібратися з останньою групою з 9 кутів.

Ось ці кути:
120 °; 135 °; 150 °; 210 °; 225 °; 240 °; 300 °; 315 °; 330 °. Для цих кутів треба залізно знати таблицю синусів, таблицю косинусів і т.д.

Кошмар, правда?)

А якщо додати сюди кути, типу: 405 °, 600 °, або 3000 ° і багато-багато такого ж красивого?)

Або кути в радіанах? Наприклад, про кути:

і багато інших, ви повинні знати усе.

Найцікавіше, що знати це усе - неможливо в принципі. Якщо використовувати механічну пам'ять.

І дуже легко, фактично елементарно - якщо використовувати тригонометричний коло. Якщо ви освоїте практичну роботу з тригонометричним колом, всі ці жахливі кути в градусах будуть легко і елегантно зводитися до старих добрих:

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

приклади:

\\ (\\ Cos (\u206130 ^ °) \u003d \\) \\ (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \\)
\\ (\\ Cos\u2061 \\) \\ (\\ frac (π) (3) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ Cos\u20612 \u003d -0,416 ... \\)

Аргумент і значення

Косинус гострого кута

Косинус гострого кута можна визначити за допомогою прямокутного трикутника - він дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

приклад :

1) Нехай дано кут і потрібно визначити косинус цього кута.

2) Добудуємо на цьому вугіллі будь прямокутний трикутник.

3) Вимірявши, потрібні боку, можемо обчислити косинус.

Косинус гострого кута більше \\ (0 \\) і менше \\ (1 \\)

Якщо при вирішенні завдання косинус гострого кута вийшов більше 1 або негативним, то значить десь в рішенні є помилка.

косинус числа

Числова окружність дозволяє визначити косинус будь-якого числа, але зазвичай знаходять косинус чисел якось пов'язаних з: \\ (\\ frac (π) (2) \\), \\ (\\ frac (3π) (4) \\), \\ (- 2π \\ Наприклад, для числа \\ (\\ frac (π) (6) \\) - косинус буде дорівнює \\ (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \\). А для числа \\ (- \\) \\ (\\ frac (3π) (4) \\) він буде дорівнює \\ (- \\) \\ (\\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\) (приблизно \\ (- 0 , 71 \\)).

Косинус для інших часто зустрічаються в практиці чисел дивись ст.

Значення косинуса завжди лежить в межах від \\ (- 1 \\) до \\ (1 \\). При цьому обчислений косинус може бути для абсолютно будь-якого кута і числа.

Косинус будь-якого кута

Завдяки числовий окружності можна визначати косинус не тільки гострого кута, але і тупого, негативного, і навіть більшого, ніж \\ (360 ° \\) (повний оборот). Як це робити - простіше один раз побачити, ніж \\ (100 \\) раз почути, тому дивіться картинку.

Тепер пояснення: нехай потрібно визначити косинус кута

КОА з градусної мірою в \\ (150 ° \\). поєднуємо точку Про з центром кола, а сторону ОК - з віссю \\ (x \\). Після цього відкладаємо \\ (150 ° \\) проти годинникової стрілки. Тоді ордината точки А покаже нам косинус цього кута.

Якщо ж нас цікавить кут з градусною мірою, наприклад, в \\ (- 60 ° \\) (кут КОВ), Робимо також, але \\ (60 ° \\) відкладаємо за годинниковою стрілкою.

І, нарешті, кут більше \\ (360 ° \\) (кут КОС) - все аналогічно тупому, тільки пройшовши за годинниковою стрілкою повний оборот, вирушаємо на друге коло і «добираємо брак градусів». Саме в нашому випадку кут \\ (405 ° \\) відкладений як \\ (360 ° + 45 ° \\).

Нескладно здогадатися, що для відкладання кута, наприклад, в \\ (960 ° \\), треба зробити вже два обороту (\\ (360 ° +360 ° + 240 ° \\)), а для кута в \\ (2640 ° \\) - цілих сім.

Варто запам'ятати, що:

Косинус прямого кута дорівнює нулю. Косинус тупого кута - негативний.

Знаки косинуса по чвертях

За допомогою осі косинусів (тобто, осі абсцис, виділеної на малюнку червоним кольором) легко визначити знаки косинусів по числовий (тригонометричної) окружності:

Там, де значення на осі від \\ (0 \\) до \\ (1 \\), косинус матиме знак плюс (I і IV чверті - зелена область),
- там, де значення на осі від \\ (0 \\) до \\ (- 1 \\), косинус матиме знак мінус (II і III чверті - фіолетова область).

Приклад. Визначте знак \\ (\\ cos 1 \\).
Рішення: Знайдемо \\ (1 \\) на тригонометричному колі. Будемо відштовхуватися від цього, що \\ (π \u003d 3,14 \\). Значить одиниця, приблизно, в три рази ближче до нуля (точці «старту»).

Якщо провести перпендикуляр до осі косинусів, то стане очевидно, що \\ (\\ cos\u20611 \\) - позитивний.
відповідь: плюс.

Зв'язок з іншими тригонометричними функціями:

- того ж кута (або числа): основним тригонометричним тотожністю \\ (\\ Sin ^ 2\u2061x + \\ cos ^ 2\u2061x \u003d 1 \\)
- того ж кута (або числа): формулою \\ (1 + tg ^ 2\u2061x \u003d \\) \\ (\\ frac (1) (\\ cos ^ 2\u2061x) \\)
- і синусом того ж кута (або числа): формулою \\ (ctgx \u003d \\) \\ (\\ frac (\\ cos (x)) (\\ sin\u2061x) \\)
Інші найбільш часто застосовуються формули дивись.

Функція \\ (y \u003d \\ cos (x) \\)

Якщо відкласти по осі \\ (x \\) кути в радіанах, а по осі \\ (y \\) - відповідні цим кутах значення косинуса, ми отримаємо наступний графік:

Графік даної називається і має такі властивості:

Область визначення - будь-яке значення ікси: \\ (D (\\ cos (\u2061x)) \u003d R \\)
- область значень - від \\ (- 1 \\) до \\ (1 \\) включно: \\ (E (\\ cos (x)) \u003d [- 1; 1] \\)
- парна: \\ (\\ cos\u2061 (-x) \u003d \\ cos (x) \\)
- періодична з періодом \\ (2π \\): \\ (\\ cos\u2061 (x + 2π) \u003d \\ cos (x) \\)
- точки перетину з осями координат:
вісь абсцис: \\ ((\\) \\ (\\ frac (π) (2) \\) \\ (+ πn \\), \\ (; 0) \\), де \\ (n ε Z \\)
вісь ординат: \\ ((0; 1) \\)
- проміжки знакопостоянства:
функція позитивна на інтервалах: \\ ((- \\) \\ (\\ frac (π) (2) \\) \\ (+ 2πn; \\) \\ (\\ frac (π) (2) \\) \\ (+ 2πn) \\), де \\ (n ε Z \\)
функція негативна на інтервалах: \\ ((\\) \\ (\\ frac (π) (2) \\) \\ (+ 2πn; \\) \\ (\\ frac (3π) (2) \\) \\ (+ 2πn) \\), де \\ (n ε Z \\)
- проміжки зростання та спадання:
функція зростає на інтервалах: \\ ((π + 2πn; 2π + 2πn) \\), де \\ (n ε Z \\)
функція спадає на інтервалах: \\ ((2πn; π + 2πn) \\), де \\ (n ε Z \\)
- максимуми і мінімуми функції:
функція має максимальне значення \\ (y \u003d 1 \\) в точках \\ (x \u003d 2πn \\), де \\ (n ε Z \\)
функція має мінімальне значення \\ (y \u003d -1 \\) в точках \\ (x \u003d π + 2πn \\), де \\ (n ε Z \\).