Синус, косинус, тангенс: що таке? Як знайти синус, косинус і тангенс? Основні тригонометричні тотожності.
Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити в твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж на почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самим корисним ресурсу для
Синус, косинус, тангенс, котангенс
Поняття синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенс () нерозривно пов'язані з поняттям кута. Щоб добре розібратися в цих, на перший погляд, складні поняття (які викликають у багатьох школярів стан жаху), і переконатися, що «не такий страшний чорт, як його малюють», почнемо з самого початку і розберемося в понятті кута.
Поняття кута: радіан, градус
Давай подивимося на малюнку. Вектор "повернувся» щодо точки на якусь величину. Так ось мірою цього повороту щодо початкового положення і буде виступати кут.
Що ж ще необхідно знати про поняття кута? Ну, звичайно ж, одиниці виміру кута!
Кут, як в геометрії, так і в тригонометрії, може вимірюватися в градусах і радіанах.
Кутом в (один градус) називають центральний кут в окружності, що спирається на кругову дугу, рівну частині кола. Таким чином, вся окружність складається з «шматочків» кругових дуг, або кут, описуваний окружністю, рівний.
Тобто на малюнку вище зображено кут, рівний, тобто цей кут спирається на кругову дугу розміром довжини окружності.
Кутом в радіан називають центральний кут в окружності, що спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. Ну що, розібрався? Якщо немає, то давай розбиратися по малюнку.
Отже, на малюнку зображений кут, рівний радіану, тобто цей кут спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (довжина дорівнює довжині або радіус дорівнює довжині дуги). Таким чином, довжина дуги обчислюється за формулою:
Де - центральний кут в радіанах.
Ну що, можеш, знаючи це, відповісти, скільки радіан містить кут, описуваний окружністю? Так, для цього треба згадати формулу довжини кола. Ось вона:
Ну ось, тепер соотнесём ці дві формули і отримаємо, що кут, що описується окружністю дорівнює. Тобто, віднісши величину в градусах і радіанах, отримуємо, що. Відповідно,. Як можна помітити, на відміну від «градусів», слово «радіан» опускається, так як одиниця виміру зазвичай зрозуміла з контексту.
А скільки радіан складають? Все вірно!
Вловив? Тоді вперед закріплювати:
Виникли труднощі? тоді дивись відповіді:
Прямокутний трикутник: синус, косинус, тангенс, котангенс кута
Отже, з поняттям кута розібралися. А що ж все-таки таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута? Давай розбиратися. Для цього нам допоможе прямокутний трикутник.
Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза - це сторона, яка лежить навпроти прямого кута (в нашому прикладі це сторона); катети - це дві що залишилися боку і (ті, що прилягають до прямого кута), Причому, якщо розглядати катети щодо кута, то катет - це прилегла катет, а катет - протилежні. Отже, тепер відповімо на питання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?
синус кута - це відношення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.
У нашому трикутнику.
косинус кута - це відношення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.
У нашому трикутнику.
тангенс кута - це відношення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близькій).
У нашому трикутнику.
котангенс кута - це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).
У нашому трикутнику.
Ці визначення необхідно запам'ятати! Щоб було простіше запам'ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що в тангенс і котангенс сидять тільки катети, а гіпотенуза з'являється тільки в синусе і косинусів. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:
Косинус → стосуватися → доторкнутися → прилегла;
Котангенс → стосуватися → доторкнутися → прилегла.
В першу чергу, необхідно запам'ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжини цих сторін (при одному куті). Не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:
Розглянемо, наприклад, косинус кута. За визначенням, з трикутника:, але ж ми можемо обчислити косинус кута і з трикутника:. Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне і те ж. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенса і котангенс залежать виключно від величини кута.
Якщо розібрався в визначеннях, то вперед закріплювати їх!
Для трикутника, зображеного нижче на малюнку, знайдемо.
Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те ж саме для кута.
Одинична (тригонометрическая) окружність
Розбираючись в поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з радіусом, рівним. Така окружність називається одиничної. Вона дуже стане в нагоді при вивченні тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи детальніше.
Як можна помітити, дана окружність побудована в декартовій системі координат. Радіус кола дорівнює одиниці, при цьому центр окружності лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано уздовж позитивного напрямку осі (в нашому прикладі, це радіус).
Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі і координата по осі. А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до теми? Для цього треба згадати про розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити цілих два прямокутних трикутника. Розглянемо трикутник. Він прямокутний, так як є перпендикуляром до осі.
Чому дорівнює з трикутника? Все вірно. Крім того, нам адже відомо, що - це радіус одиничному колі, а значить, . Підставами це значення в нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:
А чому дорівнює з трикутника? Ну звичайно, ! Підставами значення радіуса в цю формулу і отримаємо:
Так, а можеш сказати, які координати має точка, що належить колу? Ну що, ніяк? А якщо збагнути, що і - це просто числа? Який координаті відповідає? Ну, звичайно, координаті! А який координаті відповідає? Все вірно, координаті! Таким чином, точка.
А чому тоді рівні і? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенса і котангенс і отримаємо, що, а.
А що, якщо кут буде більше? Ось, наприклад, як на цьому малюнку:
Що ж змінилося в даному прикладі? Давай розбиратися. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник: кут (як прилегла до кута). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенса і котангенс для кута? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:
Ну ось, як бачиш, значення синуса кута все так же відповідає координаті; значення косинуса кута - координаті; а значення тангенса і котангенс відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення застосовні до будь-яких поворотів радіус-вектора.
Уже згадувалося, що початкове положення радіус-вектора - уздовж позитивного напрямку осі. До сих пір ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але тільки він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути, А при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.
Отже, ми знаємо, що цілий оборот радіус-вектора по колу становить або. А можна повернути радіус-вектор на або на? Ну звичайно, можна! У першому випадку, таким чином, радіус-вектор зробить один повний оборот і зупиниться в положенні або.
У другому випадку, тобто радіус-вектор зробить три повних оберти і зупиниться в положенні або.
Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на або (де - будь-яке ціле число), відповідають одному і тому ж положенню радіус-вектора.
Нижче на малюнку зображений кут. Це ж зображення відповідає розі і т.д. Цей список можна продовжити до безкінечності. Всі ці кути можна записати загальною формулою або (де - будь-яке ціле число)
Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій і використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому дорівнюють значення:
Ось тобі на допомогу одиничне коло:
Виникли труднощі? Тоді давай розбиратися. Отже, ми знаємо, що:
Звідси, ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку в відповідає точка з координатами, отже:
Не існує;
Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутах в відповідають точки з координатами, відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.
відповіді:
Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:
Немає необхідності пам'ятати всі ці значення. Досить пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі і значень тригонометричних функцій:
А ось значення тригонометричних функцій кутів в і, наведених нижче в таблиці, необхідно запам'ятати:
Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовування відповідних значень:
Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута (), а також значення тангенса кута в. Знаючи ці значення, досить просто відновити всю таблицю цілком -Значення косинуса переносяться відповідно до стрілочками, тобто:
Знаючи це можна відновити значення для. Чисельник «» буде відповідати, а знаменник «» відповідає. Значення котангенс переносяться відповідно до стрілочками, зазначеними на малюнку. Якщо це усвідомити і запам'ятати схему зі стрілками, то буде досить пам'ятати всього значення з таблиці.
Координати точки на колі
А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, її радіус і кут повороту?
Ну, звичайно, можна! Давай виведемо загальну формулу для знаходження координат точки.
Ось, наприклад, перед нами така окружність:
Нам дано, що точка - центр окружності. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом точки на градусів.
Як видно з малюнка, координаті точки відповідає довжина відрізка. Довжина відрізка відповідає координаті центру кола, тобто дорівнює. Довжину відрізка можна висловити, використовуючи визначення косинуса:
Тоді маємо, що для точки координата.
За тією ж логікою знаходимо значення координати y для точки. Таким чином,
Отже, в загалом вигляді координати точок визначаються за формулами:
Координати центру кола,
Радіус кола,
Кут повороту радіуса вектора.
Як можна помітити, для розглянутої нами одиничному колі ці формули значно скорочуються, так як координати центру дорівнюють нулю, а радіус дорівнює одиниці:
Ну що, спробуємо ці формули на смак, поупражняясь в знаходженні точок на окружності?
1. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманої поворотом точки на.
2. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманої поворотом точки на.
3. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманої поворотом точки на.
4. Точка - центр окружності. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора на.
5. Точка - центр окружності. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора на.
Виникли проблеми в знаходженні коордінот точки на колі?
Виріши ці п'ять прикладів (або розберися добре в рішенні) і ти навчишся їх знаходити!
КОРОТКИЙ ВИКЛАД ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Синус кута - це відношення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.
Косинус кута - це відношення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.
Тангенс кута - це відношення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близькій).
Котангенс кута - це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).
Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.
Тому що тільки 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав остаточно, значить ти потрапив в ці 5%!
Тепер найголовніше.
Ти розібрався з теорією по цій темі. І, повторюся, це ... це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.
Проблема в тім, що цього може не вистачити ...
Для чого?
для успішної здачі ЄДІ, Для вступу до інституту на бюджет і, НАЙГОЛОВНІШЕ, для життя.
Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ ...
Люди, які отримали хороша освіта, Заробляють набагато більше, ніж ті, хто його не отримав. Це статистика.
Але і це - не головне.
Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...
Але, думай сам ...
Що треба, аби бути напевно кращі за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... більш щасливим?
Набити руку, вирішуючи завдання ПО ЦІЙ ТЕМІ.
На іспиті у тебе не будуть питати теорію.
Тобі потрібно буде вирішувати задачі на час.
І, якщо ти не вирішував їх (БАГАТО!), Ти обов'язково десь нерозумно помилишся або просто не встигнеш.
Це як у спорті - потрібно багато разів повторити, щоб виграти напевно.
Знайди де хочеш збірник, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!
Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково) і ми їх, звичайно, радимо.
Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань потрібно допомогти продовжити життя підручником YouClever, який ти зараз читаєш.
Як? Є два варіанта:
- Відкрий доступ до всіх прихованим завданням в цій статті -
- Відкрий доступ до всіх прихованим завданням у всіх 99-ти статтях підручника - Купити підручник - 499 руб
Так, у нас в підручнику 99 таких статей і доступ для всіх завдань і всіх прихованих текстів в них можна відкрити відразу.
Доступ до всіх прихованим завданням надається на ВСЕ час існування сайту.
І на закінчення ...
Якщо наші завдання тобі не подобаються, знайди інші. Тільки не зупиняйся на теории.
"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це абсолютно різні навички. Тобі потрібні обидва.
Знайди завдання та вирішуй!
лекція: Синус, косинус, тангенс, котангенс довільного кута
Синус, косинус довільного кута
Щоб зрозуміти, що таке тригонометричні функції, звернемося до кола з одиничним радіусом. Дана окружність має центр на початку координат на координатної площині. Для визначення заданих функцій будемо використовувати радіус-вектор ЗР, Який починається в центрі кола, а точка Р є точкою кола. Даний радіус-вектор утворює кут альфа з віссю ОХ. Так як окружність має радіус, що дорівнює одиниці, то ВР \u003d R \u003d 1.
Якщо з точки Р опустити перпендикуляр на вісь ОХ, То отримаємо прямокутний трикутник з гіпотенузою, що дорівнює одиниці.
Якщо радіус-вектор рухається за годинниковою стрілкою, то даний напрямок називається негативним, Якщо ж він рухається проти руху годинникової стрілки - позитивним.
синусом кута ЗР, Є ордината точки Р вектора на окружності.
Тобто, для отримання значення синуса цього кута альфа необхідно визначитися з координатою У на площині.
Як дане значення було отримано? Так як ми знаємо, що синус довільного кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи, отримаємо, що
А так як R \u003d 1, то sin (α) \u003d y 0 .
В одиничному колі значення ординати не може бути менше -1 і більше 1, значить,
Синус приймає позитивне значення в першій і другій чверті одиничному колі, а в третій і четвертій - негативне.
косинусом кута даного кола, утвореного радіусом-вектором ЗР, Є абсциса точки Р вектора на окружності.
Тобто, для отримання значення косинуса цього кута альфа необхідно визначитися з координатою Х на площині.
Косинус довільного кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи, отримаємо, що
А так як R \u003d 1, то cos (α) \u003d x 0 .
В одиничному колі значення абсциси не може бути менше -1 і більше 1, значить,
Косинус приймає позитивне значення в першій і четвертій чверті одиничному колі, а в другій і в третій - негативне.
тангенсом довільного кута вважається відношення синуса до косинусу.
Якщо розглядати прямокутний трикутник, то це відношення протилежного катета до прилеглого. Якщо ж мова йде про одиничному колі, то це відношення ординати до абсциссе.
Судячи з даних відносин, можна зрозуміти, що тангенс не може існувати, якщо значення абсциси дорівнює нулю, тобто при куті в 90 градусів. Всі інші значення тангенс приймати може.
Тангенс має позитивне значення в першій і третій чверті одиничному колі, а в другій і четвертій є негативним.
У цій статті зібрані таблиці синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів. Спочатку ми наведемо таблицю основних значень тригонометричних функцій, тобто, таблицю синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів кутів 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градусів ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π радіан). Після цього ми дамо таблицю синусів і косинусів, а також таблицю тангенсів і котангенсів В. М. Брадіса, і покажемо, як використовувати ці таблиці при знаходженні значень тригонометричних функцій.
Навігація по сторінці.
Таблиця синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів для кутів 0, 30, 45, 60, 90, ... градусів
Список літератури.
- алгебра: Учеб. для 9 кл. середовищ. шк. / Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; Під ред. С. А. Теляковского.- М .: Просвещение, 1990.- 272 с .: іл.- ISBN 5-09-002727-7
- Башмаков М. І. Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-е изд. - М .: Просвещение, 1993. - 351 с .: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
- алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин і ін .; Під ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е вид.- М .: Просвещение, 2004. 384 с .: іл.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г. Математика (посібник для вступників до технікумів): Учеб. посібник.- М .; Вища. шк., 1984.-351 с., іл.
- Брадис В. М. Чотиризначні математичні таблиці: Для загальноосвіт. навч. закладів. - 2-е вид. - М .: Дрофа, 1999. 96 с .: іл. ISBN 5-7107-2667-2
З центром в точці A.
α - кут, виражений в радіанах.
тангенс ( tg α) - це тригонометрическая функція, що залежить від кута α між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини протилежного катета | BC | до довжини прилеглого катета | AB | .
котангенс ( ctg α) - це тригонометрическая функція, що залежить від кута α між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета | AB | до довжини протилежного катета | BC | .
тангенс
де n - ціле.
У західній літературі тангенс позначається так:
.
;
;
.
Графік функції тангенс, y \u003d tg x
котангенс
де n - ціле.
У західній літературі котангенс позначається так:
.
Також прийняті наступні позначення:
;
;
.
Графік функції котангенс, y \u003d ctg x
Властивості тангенса і котангенс
періодичність
Функції y \u003d tg x і y \u003d ctg x періодичні з періодом π.
парність
Функції тангенс і котангенс - непарні.
Області визначення та значень, зростання, спадання
Функції тангенс і котангенс безперервні на своїй області визначення (див. доказ безперервності). Основні властивості тангенса і котангенс представлені в таблиці ( n - ціле).
| y \u003d tg x | y \u003d ctg x | |
| Область визначення і безперервність | ||
| область значень | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| зростання | - | |
| Зменшення | - | |
| екстремуми | - | - |
| Нулі, y \u003d 0 | ||
| Точки перетину з віссю ординат, x \u003d 0 | y \u003d 0 | - |
формули
Вирази через синус і косинус
;
;
;
;
;
Формули тангенса і котангенс від суми і різниці
Інші формули легко отримати, наприклад
твір тангенсов
Формула суми і різниці тангенсів
В даній таблиці представлені значення тангенсів і котангенсів при деяких значеннях аргументу. 
Вирази через комплексні числа
Вирази через гіперболічні функції
;
;
похідні
; .
.
Похідна n-го порядку по змінній x від функції:
.
Висновок формул для тангенса\u003e\u003e\u003e ; для котангенс\u003e\u003e\u003e
інтеграли
Розкладання в ряди
Щоб отримати розкладання тангенса за ступенями x, потрібно взяти кілька членів розкладання в статечної ряд для функцій sin x і cos x і розділити ці многочлени один на одного ,. При цьому виходять такі формули.
При.
при.
де B n - числа Бернуллі. Вони визначаються або з рекурентного співвідношення:
;
;
де.
Або за формулою Лапласа: 
Зворотні функції
зворотними функціями до тангенсу і котангенс є арктангенс і арккотангенс , Відповідно.
Арктангенс, arctg
, де n - ціле.
Арккотангенс, arcctg
, де n - ціле.
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань», 2009.
Г. Корн, Довідник з математики для науковців та інженерів, 2012.
