Зворотній пропорційна функція приклад. Практичне застосування прямої та зворотної пропорційної залежності

Виконав: Чепкасов Родіон

учень 6 «Б» класу

МБОУ «ЗОШ № 53»

м Барнаул

Керівник: Буликін О.Г.

учитель математики

МБОУ «ЗОШ № 53»

м Барнаул

Вступ. 1

Відношення і пропорції. 3

Пряма і зворотна пропорційні залежності. 4

Застосування прямої і зворотної пропорційної 6

залежно при вирішенні різних завдань.

Висновок. 11

Література. 12

Вступ .

Слово пропорція походить від латинського слова proportion, що означає взагалі співмірність, вирівняність частин (певне співвідношення частин між собою). У давнину вчення про пропорції було у великій пошані у піфагорійців. З пропорціями вони пов'язували думки про порядок і красу в природі, про співзвучних акордах в музиці і гармонії у всесвіті. Деякі види пропорцій вони називали музичними або гармонійними.

Ще в давні часи людиною було виявлено, що всі явища в природі пов'язані один з одним, що все перебуває в безперервному русі, зміні, і, будучи виражено числом, виявляє дивовижні закономірності.

Піфагорійці і їх послідовники всього сущого в світі шукали числове вираження. Ними було виявлено; що математичні пропорції лежать в основі музики (відношення довжини струни до висоти тону, відносини між інтервалами, співвідношення звуків в акордах, що дають гармонійне звучання). Піфагорійці намагалися математично обгрунтувати ідею єдності світу, стверджували, що а основі світобудови лежать симетричні геометричні форми. Піфагорійці шукали математичне обґрунтування красі.

Слідом за піфагорійцями середньовічний вчений Августин назвав красу "числовим рівністю". Філософ-схоласт Бонавентура писав: "Краси і насолоди немає без пропорційності, пропорційність ж перш за все існує в числах. Необхідно, щоб всі піддавалося числення". Про використання пропорції в мистецтві Леонардо да Вінчі писав в своєму трактаті про живопис: "Художник втілює в формі пропорції ті ж криються в природі закономірності, які у формі числового закону по знає вчений".

Пропорціями користувалися при вирішенні різних завдань і в давнину і в середні віки. Певні типи завдань і тепер легко і швидко вирішуються за допомогою пропорцій. Пропорції і пропорційність застосовувалися і застосовуються не тільки в математиці, але і в архітектурі, мистецтві. Пропорційність в архітектурі та мистецтві означає дотримання певних співвідношень між розмірами різних частин будівлі, фігури, скульптури або іншого твору мистецтв. Пропорційність в таких випадках є умовою правильного і красивого побудови і зображення

У своїй роботі я намагався розглянути застосування прямої та зворотної пропорційної залежностей в різних областях навколишнього життя, простежити зв'язок з навчальними предметами через завдання.

Відношення і пропорції.

Приватне двох чисел називається ставленнямцих чисел.

ставлення показує, У скільки разів перше число більше другого або яку частину перше число складає від другого.

Завдання.

У магазин привезли 2,4 т груш і 3,6 т яблук. Яку частину привезених фруктів складають груші?

Рішення . Знайдемо скільки всього привезли фруктів: 2,4 + 3,6 \u003d 6 (т). Щоб знайти якусь частину привезених фруктів складають груші, складемо відношення 2,4: 6 \u003d. Відповідь можна також записати у вигляді десяткового дробу або у відсотках: \u003d 0,4 \u003d 40%.

взаємно зворотними називають числа, Твори яких дорівнює 1. Тому відносини називають зворотним відношенню.

Розглянемо два рівних відносини: 4,5: 3 і 6: 4. Поставимо між ними знак рівності і отримаємо пропорцію: 4,5: 3 \u003d 6: 4.

Пропорція - це рівність двох відносин: a: b \u003d c: d або \u003d , Де a і d - крайні члени пропорції, C і b - середні члени (Всі члени пропорції відмінні від нуля).

Основна властивість пропорції:

у вірній пропорції твір крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.

Застосувавши переместительное властивість множення, одержимо, що в вірній пропорції можна міняти місцями крайні члени або середні члени. Утворені пропорції також будуть вірними.

Використовуючи основну властивість пропорції, можна знаходити її невідомий член, якщо всі інші члени відомі.

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, треба перемножити середні члени і розділити на відомий крайній член. x: b \u003d c: d, x \u003d

Щоб знайти невідомий середній член пропорції, треба перемножити крайні члени і розділити на відомий середній член. a: b \u003d x: d, x \u003d .

Пряма і зворотні пропорційні залежності.

Значення двох різних величин можуть взаємно залежати один від одного. Так, площа квадрата залежить від довжини його сторони, і назад - довжина сторони квадратазавісіт від його площі.

Дві величини називають пропорційними, якщо при збільшенні

(Зменшення) однієї з них в кілька разів, інша збільшується (зменшується) у стільки ж разів.

Якщо дві величини прямо пропорційні, то відносини відповідних значень цих величин рівні.

приклад прямій пропорційній залежності .

На заправній станції2 л бензину важать 1,6 кг. Скільки будуть важити5 л бензину?

Рішення:

Вага гасу пропорційний його обсягу.

2л - 1,6 кг

5л - х кг

2: 5 \u003d 1,6: х,

х \u003d 5 * 1,6 х \u003d 4

Відповідь: 4 кг.

Тут відношення ваги до об'єму залишається незмінним.

Дві величини називаються обернено пропорційними, якщо при збільшенні (зменшенні) однієї з них в кілька разів, інша зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Якщо величини обернено пропорційні, то ставлення значень однієї величини дорівнює зворотному відношенню відповідних значень іншої величини.

П римерзворотній пропорційній залежності.

Два прямокутники мають однакову площу. Довжина першого прямокутника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Довжина другого прямокутника 4,8 м. Знайдемо ширину другого прямокутника.

Рішення:

1 прямокутник 3,6 м 2,4 м

2 прямокутник 4,8 м х м

3,6 м х м

4,8 м 2,4 м

х \u003d 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 м

Відповідь: 1,8 м.

Як бачимо, завдання на пропорційні величини можна вирішувати за допомогою пропорцій.

Чи не всякі дві величини є прямо пропорційними або обернено пропорційними. Наприклад, зростання дитини збільшується при збільшенні його віку, але ці величини не є пропорційними, так як при подвоєнні віку зростання дитині не подвоюється.

Практичне застосування прямий і зворотній пропорційній залежності.

Завдання № 1

У шкільній бібліотеці 210 підручників математики, що становить 15% усього бібліотечного фонду. Скільки всього книг в бібліотечному фонді?

Рішення:

Всього підручників -? - 100%

Математики - 210 -15%

15% 210 уч.

Х \u003d 100 * 210 \u003d 1400 підручників

100% х уч. 15

Відповідь 1400 підручників.

Завдання № 2

Велосипедист за 3 години проїжджає 75 км. За якийсь час велосипедист проїдемо 125 км з тією ж швидкістю?

Рішення:

3 ч - 75 км

Ч - 125 км

Час і відстань є прямо пропорційними величинами, тому

3: х \u003d 75: 125,

х \u003d
,

х \u003d 5.

Відповідь: за 5 год.

Завдання № 3

8 однакових труб заповнюють басейн за 25 хвилин. За скільки хвилин заповнять басейн 10 таких труб?

Рішення:

8 труб - 25 хвилин

10 труб -? хвилин

Кількість труб обернено пропорційно часу, тому

8: 10 \u003d х: 25,

х \u003d

х \u003d 20

Відповідь: за 20 хвилин.

Завдання № 4

Бригада з 8 робочих виконує завдання за 15 днів. Скільки робочих зможе виконати завдання за 10 днів, працюючи з тією ж продуктивністю?

Рішення:

8 робочих - 15 днів

Робітників - 10 днів

Кількість робочих обернено пропорційно кількості днів, тому

х: 8 \u003d 15: 10,

х \u003d
,

х \u003d 12.

Відповідь: 12 робочих.

Завдання № 5

З 5,6 кг помідорів отримують 2 л соусу. Скільки літрів соусу можна отримати з 54 кг помідорів?

Рішення:

5,6 кг - 2 л

54 кг -? л

Кількість кілограмів помідорів прямо пропорційно кількості одержуваного соусу, тому

5,6: 54 \u003d 2: х,

х \u003d
,

х \u003d 19.

Відповідь: 19 л.

Завдання № 6

Для опалення будівлі школи заготовлено вугілля на 180 днів при нормі витрати

0,6 т вугілля в день. На скільки днів вистачить цього запасу, якщо його витрачати щодня по 0,5 т?

Рішення:

Кількість днів

Норма витрат

Кількість днів назад пропорційно нормі витрати вугілля, тому

180: х \u003d 0,5: 0,6,

х \u003d 180 * 0,6: 0,5,

х \u003d 216.

Відповідь: на 216 днів.

Завдання № 7

В залізній руді на 7 частин заліза доводиться 3 частини домішок. Скільки тонн домішок в руді, яка містить 73,5 т заліза?

Рішення:

Кількість частин

маса

Залізо

73,5

домішки

Кількість частин прямо пропорційно масі, тому

7: 73,5 \u003d 3: х.

х \u003d 73,5 * 3: 7,

х \u003d 31,5.

Відповідь: 31,5 т

Завдання № 8

Автомобіль проїхав 500 км, витративши 35 л бензину. Скільки літрів бензину потрібно, щоб проїхати 420 км?

Рішення:

Відстань, км

Бензин, л

Відстань прямо пропорційно витрачання бензину, тому

500: 35 \u003d 420: х,

х \u003d 35 * 420: 500,

х \u003d 29,4.

Відповідь: 29,4 л

Завдання № 9

За 2 години зловили 12 карасів. Скільки карасів зловлять за 3 години?

Рішення:

Кількість карасів не залежить від часу. Ці величини не є ні прямо пропорційними, ні обернено пропорційними.

Відповідь: відповіді не існує.

Завдання № 10

Гірничорудного підприємству потрібно закупити на певну суму грошей 5 нових машин за ціною 12 тис.рублей за одну. Скільки таких машин зможе купити підприємство, якщо ціна за одну машину стане 15 тис.рублей?

Рішення:

Кількість машин, шт.

Ціна, тис.руб.

Кількість машин обернено пропорційно вартості, тому

5: х \u003d 15: 12,

х \u003d 5 * 12: 15,

х \u003d 4.

Відповідь: 4 машини.

Завдання № 11

В місті N на площі P знаходиться магазин, господар якого настільки суворий, що за запізнення віднімає з заробітної плати 70 рублів за 1 запізнення в день. В одному відділі працюють дві дівчини Юля і Наташа. Їх заробітна плата залежить від числа робочих днів. Юля за 20 днів отримала 4100 рублів, а Наташа за 21 день отримати мала б більше, але вона спізнювалася 3 дні поспіль. Скільки рублів отримає Наташа?

Рішення:

Робочі дні

Зарплата, руб.

Юля

4100

Наташа

Зарплата прямо пропорційно кількості робочих днів, тому

20: 21 \u003d 4100: х,

х \u003d 4305.

4305 руб. повинна була отримати Наташа.

4305 - 3 * 70 \u003d 4095 (руб.)

Відповідь: Наташа отримає 4095 руб.

Завдання № 12

Відстань між двома містами на карті дорівнює 6 см. Знайдіть відстань між цими містами на місцевості, якщо масштаб карти 1: 250000.

Рішення:

Позначимо відстань між містами на місцевості через х (в сантиметрах) і знайдемо відношення довжини відрізка на карті до відстані на місцевості, яке дорівнюватиме масштабу карти: 6: х \u003d 1: 250000,

х \u003d 6 * 250000,

х \u003d 1500000.

1500000 см \u003d 15 км

Відповідь: 15 км.

Завдання № 13

В 4000 г розчину міститься 80 г солі. Яка концентрація солі в цьому розчині?

Рішення:

Маса, г

Концентрація,%

розчин

4000

сіль

4000: 80 \u003d 100: х,

х \u003d
,

х \u003d 2.

Відповідь: концентрація солі становить 2%.

Завдання № 14

Банк дає кредит під 10% річних. Ви отримали кредит 50 000 рублів. Яку суму Ви повинні повернути банку через рік?

Рішення:

50 000 руб.

100%

х руб.

50000: х \u003d 100: 10,

х \u003d 50000 * 10: 100,

х \u003d 5000.

5000 руб. становить 10%.

50 000 + 5000 \u003d 55 000 (руб.)

Відповідь: через рік банку повернуть 55 000 руб.

Висновок.

Як бачимо з наведених прикладів, пряма і зворотна пропорційні залежності застосовні в різних сферах життя:

економіці,

торгівлі,

На виробництві і промисловості,

Шкільного життя,

кулінарії,

Будівництві та архітектурі.

спорті,

тваринництві,

топографії,

фізики,

Хімії і т.д.

У російській мові також зустрічаються прислів'я і приказки, які встановлюють пряму і зворотну залежність:

Яке частування таке й дякування.

Чим вище пень, тим вище тінь.

Чим більше народу, тим менше кисню.

І готово, так безглуздо.

Математика - одна з найдавніших наук, Виникла вона на основі потреб і потреб людства. Пройшовши історію становлення ще з Стародавній Греції, Вона до цих пір залишається актуальною і необхідною в повсякденному житті будь-якої людини. Поняття про пряму і зворотної пропорційної залежності відомі ще з давніх часів, оскільки саме закони пропорції рухали архітекторами при будь-якої будівлі чи створенні будь-якої скульптури.

Знання про пропорції широко використовуються у всіх сферах життя і діяльності людини - без них не обійтися при написанні картин (пейзажів, натюрмортів, портретів та інше), також мають широке поширення серед архітекторів та інженерів, -, в загальному, важко собі уявити створення будь-чого -небудь без використання знань про пропорції і їх співвідношенні.

Література.

Математика-6, Н.Я. Виленкин і ін.

Алгебра -7, Г.В. Дорофєєв і ін.

Математика-9, ДПА-9, під редакцією Ф.Ф. Лисенко, С.Ю. Кулабухова

Математика-6, дидактичні матеріали, П.В. Чулков, А.Б. усамітнитися

Завдання з математики для 4-5 класів, І.В.Баранова і ін., М. «Просвещение» тисячу дев'ятсот вісімдесят вісім

Збірник завдань і прикладів по математиці 5-6 клас, Н.А. Терешин,

Т.Н. Терешина, М. «Акваріум" 1997

Головні цілі:

• ввести поняття прямий і зворотній пропорційній залежності величин;
• навчити вирішувати завдання, використовуючи ці залежності;
• сприяти розвитку вміння вирішувати завдання;
• закріпити навичку рішення рівнянь за допомогою пропорції;
• повторити дії з звичайними і десятковими дробами;
• розвивати логічне мислення учнів.

ХІД УРОКУ

I. Самовизначення до діяльності(Організаційний момент)

- Хлопці! Сьогодні на уроці ми познайомимося з завданнями, які розв'язуються за допомогою пропорції.

II. Актуалізація знань і фіксація утруднення в діяльності

2.1. усна робота (3 хв)

- Знайдіть значення виразів і дізнайтеся слово, зашифроване у відповідях.

14 - с; 0,1 - і; 7 - л; 0,2 - а; 17 - в; 25 - до

- Вийшло слово - сила. Молодці!
- Девіз нашого уроку сьогодні: Сила - в знаннях! Я шукаю - значить вчуся!
- Складіть пропорцію з вийшов чисел. (14: 7 \u003d 0,2: 0,1 і т.д.)

2.2. Розглянемо залежність між відомими нам величинами (7 хв)

- шляхом, пройденим автомашиною з постійною швидкістю, і часом її руху: S \u003d v · t (зі збільшенням швидкості (часу) збільшується шлях);
- швидкістю автомашини і витраченим на шлях часом: v \u003d S: t(Зі збільшенням часу на проходження шляху, швидкість зменшується);
– вартістю товару, купленого за однією ціною і його кількістю: З \u003d а · n (зі збільшенням (зменшенням) ціни, збільшується (зменшується) вартість покупки);
- ціни товару і його кількістю: а \u003d С: n (зі збільшенням кількості, зменшується ціна)
- площі прямокутника і його довжини (ширини): S \u003d a · b (зі збільшенням довжини (ширини) збільшується площа;
- довжини прямокутника і ширини: a \u003d S: b (зі збільшенням довжини зменшується ширина;
- числом робітників, що виконують з однаковою продуктивністю праці деяку роботу, і часом виконання цієї роботи: t \u003d А: n (зі збільшенням числа робочих час, витрачений на виконання роботи зменшується) і т.д.

Ми отримали залежності, в яких зі збільшенням однієї величини в кілька разів, тут же в стільки ж разів збільшується інша (приклади показати стрілками) і залежності, в яких зі збільшенням однієї величини в кілька разів, друга величина зменшується в цю ж кількість разів.
Такі залежності називаються прямими і обернено пропорційна.
Прямо-пропорційна залежність - залежність, в якій зі збільшенням (зменшенням) однієї величини в кілька разів, збільшується (зменшується) друга величина у стільки ж разів.
Назад-пропорційна залежність - залежність, в якій зі збільшенням (зменшенням) однієї величини в кілька разів, зменшується (збільшується) друга величина у стільки ж разів.

III. постановка навчальної задачі

- Яка проблема постала перед нами? (Навчитися розрізняти прямі і зворотні залежності)
- Це - метанашого уроку. А тепер сформулюйте тему уроку. (Пряма і зворотна пропорційна залежність).
- Молодці! Запишіть тему уроку в зошитах. (Учитель записує тему на дошці.)

IV. «Відкриття» нового знання(10 хвилин)

Розберемо завдання № 199.

1. Принтер роздруковує 27 сторінок за 4,5 хв. За скільки часу він роздрукує 300 сторінок?

27 стр. - 4,5 хв.
300 стр. - х?

2. У коробці 48 пачок чаю по 250 г в кожній. Скільки вийде з цього чаю пачок по 150г?

48 пачок - 250 г.
х? - 150 г.

3. Автомобіль проїхав 310 км, витративши 25 л бензину. Яка відстань може проїхати автомобіль на повному баку, що вміщає 40л?

310 км - 25 л
х? - 40 л

4. На одній з зчіплюються шестерень 32 зубця, а на іншій - 40. Скільки оборотів зробить друга шестерня, в той час як перша зробить 215 оборотів?

32 зубця - 315 об.
40 зубців - х?

Для складання пропорції необхідно один напрямок стрілок, для цього в зворотній пропорційності одне відношення замінюють зворотним.

У дошки учні знаходять значення величин, на місцях учні вирішують одну на вибір завдання.

- Сформулюйте правило вирішення завдань з прямого і зворотного пропорційною залежністю.

На дошці з'являється таблиця:

V. Первинне закріплення у зовнішній промови(10 хвилин)

Завдання на аркушах:

1. З 21 кг бавовняного насіння отримали 5,1 кг масла. Скільки масла вийде з 7 кг бавовняного насіння?
2. Для будівництва стадіону 5 бульдозерів розчистили майданчик за 210 хв. За якийсь час 7 бульдозерів розчистили б цей майданчик?

VI. Самостійна робота з самопроверкой за зразком(5 хв)

Два учні виконують завдання № 225 самостійно на прихованих дошках, а решта - в зошитах. Потім вони перевіряють роботу за алгоритмом і зіставляють з рішенням на дошці. Помилки виправляються, з'ясовуються їх причини. Якщо завдання виконано, вірно, то поруч учні ставлять собі знак «+».
Учні, які допустили помилки в самостійній роботі можуть використовувати консультантів.

VII. Включення в систему знань і повторення№ 271, № 270.

Шестеро людей працюють біля дошки. Через 3-4 хвилини учні, які працювали біля дошки, представляють свої рішення, а інші - перевіряють завдання і беруть участь в їх обговоренні.

VIII. Рефлексія діяльності (підсумок уроку)

- Що нового ви дізналися на уроці?
- Що повторили?
- Який алгоритм вирішення завдань на пропорцію?
- Ми досягли поставленої мети?
- Як оцінюєте свою роботу?

I. Прямо пропорційні величини.

нехай величина y залежить від величини х. Якщо при збільшенні х в кілька разів величина у збільшується в стільки ж разів, то такі величини х і у називаються прямо пропорційними.

Приклади.

1 . Кількість купленого товару і вартість покупки (при фіксованій ціні однієї одиниці товару - 1 штуки або 1 кг і т. Д.) У скільки разів більше товару купили, у стільки разів більше і заплатили.

2 . Пройдений шлях і витрачений на нього час (при постійній швидкості). У скільки разів довше шлях, в стільки разів більше витратимо часу на те, щоб його пройти.

3 . Обсяг будь-якого тіла і його маса. ( Якщо один кавун в 2 рази більше іншого, то і маса його буде в 2 рази більше)

II. Властивість прямий пропорційності величин.

Якщо дві величини прямо пропорційні, то ставлення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Завдання 1. Для малинового варення взяли 12 кг малини і 8 кг цукру. Скільки цукру потрібно, якщо взяли 9 кг малини?

Рішення.

Міркуємо так: нехай буде потрібно х кг цукру на 9 кг малини. Маса малини і маса цукру - прямо пропорційні величини: у скільки разів менше малини, в стільки ж разів потрібно менше цукру. Отже, ставлення взятої (по масі) малини ( 12:9 ) Буде дорівнює відношенню взятого цукру ( 8: х). Отримуємо пропорцію:

12: 9=8: х;

х \u003d 9 · 8: 12;

х \u003d 6. відповідь: на 9 кг малини потрібно взяти 6 кг цукру.

Рішення задачі можна було оформити і так:

нехай на 9 кг малини потрібно взяти х кг цукру.

(Стрілки на малюнку спрямовані в одну сторону, а вгору або вниз - не має значення. Сенс: у скільки разів число 12 більше числа 9 , У стільки ж разів число 8 більше числа х, Т. Е. Тут пряма залежність).

відповідь: на 9 кг малини треба взяти 6 кг цукру.

Завдання 2.автомобіль за 3:00 проїхав відстань 264 км. За якийсь час він проїде 440 км, Якщо буде їхати з тією ж швидкістю?

Рішення.

нехай за х годин автомобіль пройде відстань 440 км.

відповідь: автомобіль пройде 440 км за 5 годин.

Дві величини називаються прямо пропорційними, Якщо при збільшенні однієї з них в кілька разів інша збільшується в стільки ж разів. Відповідно, при зменшенні однієї з них в кілька разів, інша зменшується у стільки ж разів.

Залежність між такими величинами - пряма пропорційна залежність. Приклади прямої пропорційної залежності:

1) при постійній швидкості пройдений шлях прямо пропорційно залежить від часу;

2) периметр квадрата і його сторона - прямо пропорційні величини;

3) вартість товару, купленого за однією ціною, прямо пропорційно залежить від його кількості.

Щоб відрізнити пряму пропорційну залежність від зворотного можна використовувати прислів'я: «Чим далі в ліс, тим більше дров».

Завдання на прямо пропорційні величини зручно вирішувати за допомогою пропорції.

1) Для виготовлення 10 деталей потрібно 3,5 кг металу. Скільки металу піде на виготовлення 12 таких деталей?

(Міркуємо так:

1. У заповненому стовпці стрілку ставимо в напрямку від більшого числа до меншого.

2. Чим більше деталей, тим більше металу потрібно для їх виготовлення. Значить, це прямо пропорційна залежність.

Нехай х кг металу потрібно для виготовлення 12 деталей. Складаємо пропорцію (в напрямку від початку стрілки до її кінця):

12: 10 \u003d х: 3,5

Щоб знайти, треба твір крайніх членів розділити на відомий середній член:

Значить, буде потрібно 4,2 кг металу.

Відповідь: 4,2 кг.

2) За 15 метрів тканини заплатили 1680 рублів. Скільки коштують 12 метрів такої тканини?

(1. В заповненому стовпці стрілку ставимо в напрямку від більшого числа до меншого.

2. Чим менше тканини купують, тим менше за неї треба заплатити. Значить, це прямо пропорційна залежність.

3. Тому друга стрілка однаково спрямована з першої).

Нехай х рублів коштують 12 метрів тканини. Складаємо пропорцію (від початку стрілки до її кінця):

15: 12 \u003d 1680: х

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, твір середніх членів ділимо на відомий крайній член пропорції:

Значить, 12 метрів стоять 1344 рубля.

Відповідь: 1344 рубля.

Сьогодні ми розглянемо, які величини називаються обернено пропорційними, як виглядає графік оберненої пропорційності і як все це може вам стане в нагоді не тільки на уроках математики, а й поза шкільними стінами.

Такі різні пропорційності

пропорційністю називають дві величини, які взаємно залежні один від одного.

Залежність може бути прямий і зворотній. Отже, відносини між величинами описують прямий і зворотній пропорційність.

пряма пропорційність - це така залежність двох величин, при якій збільшення або зменшення однієї з них веде до збільшення або зменшення іншої. Тобто їхнє ставлення не змінюється.

Наприклад, чим більше зусиль ви докладаєте для підготовки до іспитів, тим вищі ваші оцінки. Або чим більше речей ви берете з собою в похід, тим важче нести ваш рюкзак. Тобто кількість витрачених на підготовку до іспитів зусиль прямо пропорційно отриманим оцінками. І кількість запакованих в рюкзак речей прямо пропорційно його вазі.

Зворотній пропорційність - це функціональна залежність, при якій зменшення або збільшення в кілька разів незалежної величини (її називають аргументом) викликає пропорційне (тобто в стільки ж разів) збільшення або зменшення залежною величини (її називають функцією).

Проілюструємо простим прикладом. Ви хочете купити на ринку яблук. Яблука на прилавку і кількість грошей у вашому гаманці знаходяться в зворотній пропорційності. Тобто чим більше ви купите яблук, тим менше грошей у вас залишиться.

Функція і її графік

Функцію обернену пропорційність можна описати як y \u003d k / x. В якому x≠ 0 і k≠ 0.

Ця функція має такі властивості:

1. Областю її визначення є множина всіх дійсних чисел, крім x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; + ∞).
2. Областю значень є всі дійсні числа, крім y= 0. Е (у): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Не має найбільших і найменших значень.
4. Є непарною і її графік симетричний відносно початку координат.
5. Неперіодичних.
6. Її графік не перетинає осі координат.
7. Не має нулів.
8. якщо k\u003e 0 (тобто аргумент зростає), функція пропорційно зменшується на кожному зі своїх проміжків. якщо k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. При зростанні аргументу ( k\u003e 0) негативні значення функції знаходяться в проміжку (-∞; 0), а позитивні - (0; + ∞). При убуванні аргументу ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Графік функції зворотної пропорційності називається гіперболою. Зображується наступним чином:

Завдання на зворотну пропорційність

Щоб стало зрозуміліше, давайте розберемо кілька завдань. Вони не дуже складні, а їх рішення допоможе вам наочно уявити, що таке зворотна пропорційність і як ці знання можуть стати в нагоді у вашій звичайному житті.

Завдання №1. Автомобіль рухається зі швидкістю 60 км / ч. Щоб доїхати до місця призначення, йому було потрібно 6 годин. Скільки часу йому буде потрібно, щоб подолати таку ж відстань, якщо він буде рухатися зі швидкістю в 2 рази вище?

Чи можемо почати з того, що запишемо формулу, яка описує відносини часу, відстані і швидкості: t \u003d S / V. Погодьтеся, вона дуже нагадує нам функцію зворотної пропорційності. І свідчить про те, що час, який автомобіль проводить в дорозі, і швидкість, з якою він рухається, перебувають у зворотній пропорційності.

Щоб переконатися в цьому, давайте знайдемо V 2, яка за умовою вище в 2 рази: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 км / ч. Потім розрахуємо відстань за формулою S \u003d V * t \u003d 60 * 6 \u003d 360 км. Тепер зовсім нескладно дізнатися час t 2, яка вимагається від нас за умовою задачі: t 2 \u003d 360/120 \u003d 3 ч.

Як бачите час у дорозі і швидкість руху дійсно обернено пропорційні: зі швидкістю в 2 рази вище початкової автомобіль витратить в 2 рази менше часу на дорогу.

Вирішення цього завдання можна записати і у вигляді пропорції. Для чого спочатку складемо таку схему:

↓ 60 км / год - 6 год

↓ 120 км / год - х ч

Стрілки позначають назад пропорційну залежність. А також підказують, що при складанні пропорції праву частину запису треба перевернути: 60/120 \u003d х / 6. Звідки отримуємо х \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 ч.

Завдання №2. У майстерні працюють 6 робочих, які з заданим об'ємом роботи справляються за 4 години. Якщо кількість робочих скоротити в 2 рази, скільки часу буде потрібно залишилися, щоб виконати той же обсяг роботи?

Запишемо умови задачі у вигляді наочної схеми:

↓ 6 робочих - 4 год

↓ 3 робочих - х ч

Запишемо це у вигляді пропорції: 6/3 \u003d х / 4. І отримаємо х \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 ч. Якщо робочих стане в 2 рази менше, залишилися витратять на виконання всієї роботи в 2 рази більше часу.

Завдання №3. У басейн ведуть дві труби. Через одну трубу вода надходить зі швидкістю 2 л / с і наповнює басейн за 45 хвилин. Через іншу трубу басейн наповниться за 75 хвилин. З якою швидкістю вода надходить в басейн через цю трубу?

Для початку наведемо всі дані нам за умовою задачі величини до однакових одиницях виміру. Для цього висловимо швидкість наповнення басейну в літрах за хвилину: 2 л / с \u003d 2 * 60 \u003d 120 л / хв.

Оскільки з умови випливає, що через другу трубу басейн заповнюється повільніше, значить, і швидкість надходження води нижче. На обличчя зворотна пропорційність. Невідому нам швидкість висловимо через х і складемо таку схему:

↓ 120 л / хв - 45 хв

↓ х л / хв - 75 хв

А потім складемо пропорцію: 120 / х \u003d 75/45, звідки х \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 л / хв.

У задачі швидкість наповнення басейну виражена в літрах в секунду, наведемо яку ми здобули відповідь до такого ж виду: 72/60 \u003d 1,2 л / с.

Завдання №4. У невеликій приватній друкарні друкують візитки. Співробітник друкарні працює зі швидкістю 42 візитки на годину і працює повний робочий день - 8 годин. Якби він працював швидше і друкував 48 візиток за годину, наскільки раніше він зміг би піти додому?

Йдемо перевіреним шляхом і складаємо по умові завдання схему, позначивши шукану величину як х:

↓ 42 візитки / ч - 8 год

↓ 48 візитки / ч - х ч

Перед нами обернено пропорційна залежність: у скільки разів більше візиток на годину надрукує співробітник друкарні, у стільки ж разів менше часу йому буде потрібно на виконання однієї і тієї ж роботи. Знаючи це, складемо пропорцію:

42/48 \u003d х / 8, х \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 год.

Таким чином, впоравшись з роботою за 7 годин, співробітник друкарні зможу б піти додому на годину раніше.

висновок

Нам здається, що ці завдання на зворотний пропорційність дійсно нескладні. Сподіваємося, що тепер ви теж вважаєте їх такими. А головне, що знання про обернено пропорційну залежність величин дійсно може виявитися для вас корисним ще не раз.

Не тільки на уроках математики та іспитах. Але і тоді, коли ви зберетеся відправитися в подорож, підете за покупками, вирішите трохи підзаробити під час канікул і т.п.

Розкажіть нам у коментарях, які приклади зворотного і прямий пропорційної залежності ви помічаєте навколо себе. Нехай це буде така гра. Ось побачите, як це захоплююче. Не забудьте «розшарити» цю статтю в соціальних мережах, Щоб ваші друзі та однокласники теж змогли пограти.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.